第十八章 三角形（复习课件）数学新教材人教版五四制七年级下册

人教版五四制 七年级下册 第十八章 三角形单元复习 学习目标 1.学生能够理解三角形及其相关概念；掌握三角形的性质；能够运用这些知识进行简单的计算、证明和推理。 2.通过系统地整理和复习，使学生进一步巩固三角形的有关知识点，加深对知识内在联系的认识，提高运用知识解决实际问题的能力。 3.通过系统地整理和复习，让学生初步掌握自主复习的一般方法，自主建构知识网络。 1 思维导图 2 知识串讲 3 考点解析 5 布置作业 4 针对训练 思维导图 SI WEI DAO TU 三角形有关概念 与三角形有关的角 三角形的外角 三角形的分类 三角形的内角和180° 三角形的边 角平分线 高线 中线 三角形 与三角形有关线段 知识串讲 ZHI SHI CHUAN JIANG 三角形的定义： 由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形，叫做三角形。 注意点：（1）三条线段 （2）不在同一直线上 （3）首尾顺次相接 知识串讲 ZHI SHI CHUAN JIANG 三角形的分类： 按角分 锐角三角形 直角三角形 钝角三角形 按边分 三边都不相等的三角形 等腰三角形 底边和腰不相等的等腰三角形 等边三角形 三 角 形 分 类 知识串讲 ZHI SHI CHUAN JIANG 相等的两条边都叫腰； 另一边叫做底， 两腰的夹角叫做顶角， 腰和底边的夹角叫做底角。 腰 腰 底 顶角 底角 底角 等腰三角形有关概念： 知识串讲 ZHI SHI CHUAN JIANG 三角形的边： 三角形任意两边之和大于第三边 三角形任意两边之差小于第三边 知识串讲 ZHI SHI CHUAN JIANG 三角形的高线：从三角形一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫三角形的高。 几何语言： ∵AD是△ABC中BC边上的高(已知) ∴AD⊥BC (三角形高的定义) ∠ADB=90°或∠ADC=90° 三角形的高是线段，而垂线是直线 B C D A 知识串讲 ZHI SHI CHUAN JIANG ①.任意三角形都有三条高; ②.锐角三角形的三条高交于三角形内部一点，直角三角形的三条高交于直角顶点，钝角三角形的三条高的延长线交于三角形外部一点； ③三角形三条高线或其延长线的交点叫作三角形的垂心. 知识串讲 ZHI SHI CHUAN JIANG 等积思想 可利用面积相等作桥梁(但不求面积)求三角形的高． 三角形的中线：三角形中，连结一个顶点和它对边中点的线段叫三角形的中线。 知识串讲 ZHI SHI CHUAN JIANG B C D A 几何语言 ∵AD是△ABC中BC边上的中线(已知) ∴① (三角形中线的定义) 知识串讲 ZHI SHI CHUAN JIANG 三角形的三条中线会相交于一点,交点在三角形的内部.三角形三条中线的交点叫做三角形的重心. 知识串讲 ZHI SHI CHUAN JIANG 中线分周长和面积结论 ① ② B C D A B C D A E F O ③ ④顶点到重心的距离=重心到对边中点的距离的2倍 ;;; 知识串讲 ZHI SHI CHUAN JIANG 三角形角平分线：三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个顶点与交点之间的线段叫三角形的角平分线。 B C D A 几何语言 ∵AD是△ABC中∠BAC的平分线(已知) ∴∠BAD=∠CAD= ∠BAC=2∠BAD=2∠CAD(三角形角平分线的定义) 知识串讲 ZHI SHI CHUAN JIANG 任意三角形都有三条角平分线，并且都在三角形内部交于一点，到三边的距离相等，这个交点又叫内心。 知识串讲 ZHI SHI CHUAN JIANG 三角形的外角 B C D 相邻的内角 不相邻的内角 A 三角形的外角与内角的关系 1.三角形内角和为180°； 2.三角形的一个外角与它相邻的内角互补； 3.三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和. 考点解析 KAO DIAN JIE XI 考点一、三角形的定义和分类 例1.如图中都是由三条线段组成的图形，其中是三角形的是（　　） C A B C D 考点解析 KAO DIAN JIE XI 考点一、三角形的定义和分类 例2．下列说法：①等边三角形是等腰三角形；②三角形按边分类可分为等腰三角形、等边三角形、不等边三角形；③三角形的两边之差大于第三边；④三角形按角分类应分为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形． 其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 B 针对训练 ZHEN DUI XUN LIAN 1.如图，在△ABC中，∠BAC是直角，AD⊥BC，垂足为D，点E在线段BD 上，找出图中的锐角三角形、直角三角形和钝角三角形. 解:(1)锐角三角形△AEC (2)直角三角形是△ABD，△ACD, △AED (3)钝角三角形是△ABE 针对训练 ZHEN DUI XUN LIAN 2.已知为△ABC的边长，且满足,求△ABC的周长，并判断△ABC的形状. 解: , ∴, ∴, ∴△ABC的周长为7，△ABC是等腰三角形 考点解析 KAO DIAN JIE XI 考点二、三角形的三边 例1.下列长度的三条线段能否组成三角形？为什么？ （1）3，4，8； （2）5，6，11； （3）7，3，8； 解：(1)∵， ∴这三条线段不能组成一个三角形. (2)∵， ∴这三条线段不能组成一个三角形. (3)∵， ∴这三条线段能组成一个三角形. 注意：只要满足较小的两条线段之和大于第三条线段，或较长线段与最短线段之差小于中间线段，便可构成三角形;若不满足，则不能构成三角形. 考点解析 KAO DIAN JIE XI 考点二、三角形的三边 例2.如果是△ABC的三边，满足 (1)求的取值范围； 解(1)由题意可得：解得： 将代入可得： ∵ ∴ 方法总结:已知三角形的两边，确定第三边的取值范围，第三边大于已知两边之差，小于已知两边之和； 考点解析 KAO DIAN JIE XI 考点二、三角形的三边 (2)若为偶数，求三角形的周长. (2)∵为偶数 ∴或或 当时，三角形的周长为：13 当时，三角形的周长为：15 当时，三角形的周长为：17 综上所述：三角形的周长为13，15或17. 考点解析 KAO DIAN JIE XI 考点二、三角形的三边 例3.用一条长为18cm的细绳围成一个等腰三角形. （1）如果腰长是底边的2倍，那么各边的长是多少？ C B A 解（1）：设等腰三角形底边长为,则腰长为 ∴ 解得 ∴此时各边的长为，， 考点解析 KAO DIAN JIE XI 考点二、三角形的三边 （2）能围成有一边的长为4cm的等腰三角形吗？为什么？ 解(2) 能围成，理由如下： 当4cm为腰长时：底边长为：18-4×2=10 ∵4+4<10 ∴不能围成三角形，因此腰长不能为4cm. 当4cm为底边时：腰长为：（18-4）÷2=7 ∵7+4>7 ∴能围成底边长4cm的等腰三角形 综上所述：能围成底边长4cm的等腰三角形。 C B A 考点解析 KAO DIAN JIE XI 考点二、三角形的三边 （3）假设等腰三角形的腰长为cm,求的取值范围？ 解：设三边长为,, 当腰为短边时：解得 当腰为长边：解得 ∴取值范围为 C B A 针对训练 ZHEN DUI XUN LIAN 1.若三角形的两边分别为2和3，则第三条边可能是( ) A.1 B. 2 C.5 D.6 2.若三角形的两边分别为2和3，则第三条边长a的取值范围为___________ 3.若一个三角形有两边长为5和2，第三边长为奇数，则此三角形的周长为________ B 针对训练 ZHEN DUI XUN LIAN 4(1).已知等腰三角形的腰等于7，底边边等于8，则它的周长为__________ (2).已知等腰三角形的一边等于7，另一边等于8，则它的周长为________ (3).已知等腰三角形的一边等于3，另一边等于8，则它的周长为_________ 22 22或23 19 针对训练 ZHEN DUI XUN LIAN 5.已知是△ABC的三边,,且三角形的周长是大于14的偶数. (1)求的值; (2)判断ΔABC的形状. 解:(1)∵,∴. 又∵周长是大于14的偶数,即, ∴,且 为偶数，∴=6或8. (2)当=6时,=6,此时△ABC为等腰三角形; 当=8时，三边都不相等，此时△ABC为不等边三角形. 针对训练 ZHEN DUI XUN LIAN 6.若是△ABC的三边，化简： 解：∵两边之和大于第三边，两边之差小于第三边 ∴,, ∴原式= 针对训练 ZHEN DUI XUN LIAN 8.已知三角形三条边的长分别为，求的取值范围 7.已知三角形的三边长分别为，求的取值范围 解：由两边之和大于第三边，两边之差小于第三边 则：即 解：由题意可得 ∴ 针对训练 ZHEN DUI XUN LIAN 9.已知的三边长分别为，，10．求的取值范围． 解：由三角形三边关系定理得到：， 解①得， 解②得， 解③得， 不等式组的解集为． 考点解析 KAO DIAN JIE XI 考点三、三角形的高线 例1.如图，，，，垂足分别为C，D，E，下列说法不正确的是（　　） A．是的高 B．是的高 C．是的高 D．是的高 B 考点解析 KAO DIAN JIE XI 考点三、三角形的高线 例1.如图，中，，，，，P为直线上一动点，连接，求线段的最小值 解：在中，，，，， 当时，的值最小， 此时：的面积， ， 等积思想 针对训练 ZHEN DUI XUN LIAN 1.如图，在中，，P是上任意一点，且于点D，于点E．若面积为32，则的值是为__________． 8 2.在中, , 边上的高,则边上的高= ； 10cm 结论：等腰三角形两腰上的高相等 针对训练 ZHEN DUI XUN LIAN 3.等腰三角形一腰上的高与另一腰夹角为30°，则顶角为________ 结论：凡是无图注意分类讨论 60°或120° 考点解析 KAO DIAN JIE XI 考点四、三角形的中线 例1.如图，已知AD是△ABC的BC边上的中线，且AB=3,AC=7，△ABD的周长是12，求△ACD的周长。 解：∵AD是BC边上的中线（已知） ∴BD=CD=BC(中线定义） ∵△ABD的周长=AD+BD+AB=12 △ACD的周长=AD+CD+AC 又∵AB=3,AC=7∴△ACD的周长=12+（7-3）=16 考点解析 KAO DIAN JIE XI 考点四、三角形的中线 例2.是的中线，于点,于点, ，求的长. 解：∵AD是BC边上的中线 ∴ ∵ 又∵ ∴ 针对训练 ZHEN DUI XUN LIAN 1．如图，已知是的中线，的周长比的周长多4，且．则的长为___________． 2．如图，已知中，点，分别是边，的中点．若的面积等于20，则的面积等于________ 3．如图，在中，是边的中点，是边的中点，阴影部分的面积为2，则的面积是 ． 9 5 4 针对训练 ZHEN DUI XUN LIAN 4.在△ABC中，AB=AC，BD为△ABC的中线，且BD将△ABC的周长分为9cm和12cm两部分，求三角形的各边长. 解：如图，∵BD是AC边上的中线 ∴AB=CD，设AD=CD=,则AB=AC= ①当AB+AD=12时，，解得,∴ ∵中线BD将△ABC周长分成9cm和12cm ∴△ABC的周长为21cm 当AB=AC=8cm时，BC=5cm，能构成三角形。 ∴△ABC各边长依次是：8cm,8cm,5cm 针对训练 ZHEN DUI XUN LIAN ②当AB+AD=9时，，解得 ∴， 当AB=AC=6cm 时，BC=9cm ，能构成三角形 ∴△ABC的三边依次为：6cm,6cm,9cm 综上所述：△ABC的各边长分别为：8cm,8cm,5cm或6cm,6cm,9cm. 针对训练 ZHEN DUI XUN LIAN 5．已知，分别是的高和中线，若，，求的 解：分两种情况：①当在内部时，如图： 因为，， 所以． 因为是的中线， 所以， 所以； 针对训练 ZHEN DUI XUN LIAN ②当在外部时，如图： 因为，， 所以． 因为是的中线， 所以， 所以． 综上所述，的长为或． 考点解析 KAO DIAN JIE XI 考点五、三角形的角平分线 例1.(1)如图△ABC中，已知，平分，则的度数是_________ (2)如图，是的角平分线，是的角平分线，若，则的度数是_______ 30° 25° 考点解析 KAO DIAN JIE XI 考点五、三角形的角平分线 例2．（1）如图①，在中，，分别是的高和角平分线，若，．求的度数； 解（1）∵，， ∴在中，． ∵是的角平分线， ∴． ∵是的高， ∴， ∴； 考点解析 KAO DIAN JIE XI 考点五、三角形的角平分线 例2．（2）如图②，已知平分，交边于点，延长至点，过点作 于点．若， ①求的度数（含的代数式表示）； 解（2）①， ∴在中， ． ∵平分，∴． 考点解析 KAO DIAN JIE XI 考点五、三角形的角平分线 例2．（2）如图②，已知平分，交边于点，延长至点，过点作 于点．若， ②求的度数． 解②∵平分，∴． ∵是的一个外角， ∴， ∴． ∵， ∴在中，． 1.在△ABC中，BD平分∠ABC,CD平分∠ACB， (1)若∠ABC=60°，∠ACB=40°求∠A和∠D的度数; 针对训练 ZHEN DUI XUN LIAN 解：∵， 又∵ ∴． ∵平分平分， ∴， ∴， ∴． 1.在△ABC中，BD平分∠ABC,CD平分∠ACB， (2)若∠A=70°求：∠D的度数 针对训练 ZHEN DUI XUN LIAN 解：∵， 又∵． ∴ ∵平分平分， ∴， ∴， ∴． 1.在△ABC中，BD平分∠ABC,CD平分∠ACB， (3)若∠A=°求：∠D的度数(用含的式子表示) 针对训练 ZHEN DUI XUN LIAN 解：∵， 又∵．∴ ∵平分平分， ∴， ∴， ∴． 针对训练 ZHEN DUI XUN LIAN 2.如图，的外角和的平分线交于 点Q，若∠A=°，求的度数(用含的式子表示) 解：∵°， ∴． ∵平分平分， ∴， ∴， ∴． 针对训练 ZHEN DUI XUN LIAN 3.如图，的内角的平分线与的外角的平分线交于点P,若∠A=°,求的度数.(用含的式子表示) 解：∵平分平分， ∴． ∵， ∴． 又∵， ∴ 针对训练 ZHEN DUI XUN LIAN 两内角模型 两外角模型 一内一外模型 针对训练 ZHEN DUI XUN LIAN 4.已知中是角平分线，是边上的高线，，，求的度数 解:如图，， ∴ ∵是角平分线. ∴ 针对训练 ZHEN DUI XUN LIAN 4.已知中是角平分线，是边上的高线，，，求的度数 解:如图， ∴ ∵是角平分线. ∴ 综上所述： 考点解析 KAO DIAN JIE XI 考点六、三角形的内角和外角 例1.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，则下列结论不一定成立的是() A．∠1＋∠2＝90° B．∠2＝∠3 C．∠1＝∠4 D．∠1＝30° D 考点解析 KAO DIAN JIE XI 考点六、三角形的内角和外角 例2．如图，在△ABC中，∠C＝∠ABC=2∠A， BD平分∠ABC，求∠BDC的度数． 解：∵， ∴设，则 ∵在△ABC中，， ∴，解得. ∴ ∵平分， ∴ ∴ 利用三角形的内角和求度数时，若给出比例、倍分关系，可利用方程思想，设未知数列方程求解． 考点解析 KAO DIAN JIE XI 考点六、三角形的内角和外角 例3．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD为AB边上的高，BE平分∠ABC，分别交CD，AC于点F，E． （1）若∠CEF=62°，求∠A的度数； 解：∵∠CEF=62°，∠ACB=90°， ∴∠CBE=28°. ∵BE平分∠ABC， ∴∠ABC=2∠CBE=2×28°=56°. ∴∠A=90° ∠ABC=34°． 考点解析 KAO DIAN JIE XI 考点六、三角形的内角和外角 （2）证明：∠CFE=∠CEF． 证明：如图：∵∠ACB=90°， ∴∠CBE+∠CEF =90°， ∵CD⊥AB， ∴∠ABE+∠BFD=90°. 又∵BE平分∠ABC， ∴∠CBE=∠ABE， ∴∠CEF=∠BFD， ∵∠BFD=∠CFE， ∴∠CFE=∠CEF．  考点解析 KAO DIAN JIE XI 考点六、三角形的内角和外角 例4.如图，已知D是△ABC的边BC的延长线上一点，DF交AC于点E，∠A＝35°，∠ACD＝83°. (1)求∠B的度数； (2)若∠D＝42°，求∠AFE的度数． 解：(1)∵∠ACD是△ABC的一个外角，∠A＝35°，∠ACD＝83°， ∴∠B＝∠ACD－∠A＝48°. (2)∵∠AFE是△BDF的一个外角，∠B＝48°，∠D＝42°， ∴∠AFD＝∠B＋∠D＝48°＋42°＝90°. 针对训练 ZHEN DUI XUN LIAN 1.如图，一张直角三角形纸片，剪去直角后， 得到一个四边形，则∠1＋∠2＝____． 2.已知等腰三角形的底角为40°，则它的顶角度数为______ 3.已知等腰三角形的一个角为40°，则另外两个角的度数为___________________________ 4.在△ABC中，∠B＝∠A＋10°，∠C＝3∠A，则∠A的度数是________ 270° 34° 100° 40°、100°或者70°、70° 针对训练 ZHEN DUI XUN LIAN 5．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝4∠B，则∠A＝____． 6．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是高．若∠B∠A＝10°，则∠ACD的度数是　 　． 7.如图，∠CAE是△ABC的一个外角，AD平分∠CAE，交BC的延长线于点D，若∠B=30°，∠CAD=65°，则∠ACD=_____． 72° 500 80° 针对训练 ZHEN DUI XUN LIAN 8.如图是A，B，C三岛的平面图，C岛在A岛的北偏东50°方向，B岛在A岛的北偏东80°方向，C岛在B岛的北偏东30°方向，求从C岛看A，B 两岛的视角∠ACB的度数. 解：由题意，得∠DAC＝50°,∠DAB＝80°. ∴∠CAB＝∠DAB－∠DAC＝30°. ∵AD∥BE，∴∠DAB＋∠ABE＝180°. ∴∠ABE＝180°－∠DAB＝100°. 又∵∠CBE＝30°， ∴∠ABC＝∠ABE＋∠CBE＝130°. 由三角形内角和定理，得 ∠ACB＝180°－∠CAB－∠ABC＝20°. 针对训练 ZHEN DUI XUN LIAN 9.如图，在△ABC中，∠B＝∠C，D为边BC上一点(不与B，C重合)，点E为边AC上一点，∠ADE＝∠AED，∠BAC＝44°. (1)求∠C的度数； 解：(1)∵∠BAC＝44°， ∴∠B＋∠C＝180°－∠BAC＝180°－44°＝136°. ∵∠B＝∠C，∴2∠C＝136°. ∴∠C＝68°. 针对训练 ZHEN DUI XUN LIAN (2)若∠ADE＝75°，求∠CDE的度数． 解： (2)∵∠ADE＝∠AED，∠ADE＝75°， ∴∠AED＝75°. ∵∠AED＋∠CED＝180°， ∴∠CED＝180°－75°＝105° . ∵∠CDE＋∠CED＋∠C＝ 180°， ∴∠CDE＝180°－105°－68°＝7°. 布置作业 P21-22 练习1、2、5、6、7、8、9 人教版 八年级上册 感谢您的聆听！ THANKS $