精品解析：北京市海淀区育英学校2025-2026学年下学期八年级期末数学试卷（五四制）

北京市海淀区育英学校2025-2026学年下学期八年级期末数学试卷（五四学制） 一、选择题（每题3分，共24分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个 1. 未来将是一个可以预见的时代，下列是国内常见人工智能品牌公司图标，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 二次函数的图象是由的函数图象经过怎样平移得到的（ ） A. 向左平移3个单位，向上平移5个单位 B. 向右平移3个单位，向上平移5个单位 C. 向左平移5个单位，向下平移3个单位 D. 向右平移5个单位，向上平移3个单位 3. 在一个布口袋里装有白、红、黑三种颜色的小球，它们除颜色外没有任何区别，其中白球2只，红球4只，黑球3只，将袋中的球搅匀，随机从袋中取出1只球，则取出黑球的概率是（　　） A. B. C. D. 4. 如图，若，，，则抛物线的图象大致为（ ） A. B. C. D. 5. 若是关于的方程的一个根，则关于的方程必有一个根为（ ） A. 2023 B. 2024 C. 2025 D. 2027 6. 如图，将绕顶点顺时针旋转得到对应．若点恰好落在边上，则的大小是（ ） A. B. C. D. 7. 近期国内油价连续上调，某种成品油原价每升8元，经过两次相同百分率的连续涨价后，单价变为元．设平均每次涨价的百分率为，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 如果一个圆的内接三角形有一边的长度等于半径，那么称其为该圆的“半径三角形”．给出下面四个结论，所有正确结论的序号是（ ） ①一个圆的“半径三角形”有无数个； ②一个圆的“半径三角形”可能是锐角三角形、直角三角形或钝角三角形； ③当一个圆的“半径三角形”为等腰三角形时，它的顶角可能是或； ④若一个圆的半径为2，则它的“半径三角形”面积最大值为． A. ①② B. ②③ C. ①②③ D. ①②④ 二、填空题（每题3分，共24分） 9. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是_________． 10. 如图1所示的铝合金窗帘轨道可以直接弯曲制作成弧形．若制作一个圆心角为160°的圆弧形窗帘轨道（如图2）需用此材料mm，则此圆弧所在圆的半径为________mm． 11. 如图，分别切于点A，B，Q是优弧上一点，若，则的度数是________． 12. 已知点，在二次函数的图象上，比较______．（填或）． 13. 某林业部门考察银杏树苗在一定条件下移植的成活率，所统计的银杏树苗移植成活的相关数据如下表所示： 移植棵数 100 300 600 1000 7000 15000 成活的棵数 87 279 535 887 6337 13581 成活的频率（保留小数点后三位） 根据表中的信息，估计银杏树苗在这个条件下移植成活的概率约为_____（精确到）． 14. 数学活动课上，小东想测算一个圆形齿轮内圈圆的半径．如图所示，小东首先在内圈圆上取点A，B，再作弦AB的垂直平分线，垂足为C，交于点D，连接CD，经测量cm，cm，那么这个齿轮内圈圆的半径为______cm． 15. 如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为，，则不等式的解集是___________ ． 16. 某滑雪场为迎接周末的“冰雪杯”滑雪赛事，需要使用1台造雪机和1台压雪机对A，B，C三条不同的雪道进行造雪和压雪作业．作业规则如下： ①每条雪道必须先造雪、造雪结束后再进行压雪，确保雪道安全； ②造雪机一旦对某一雪道开始造雪作业，直到该雪道造雪作业结束才能更换另一条雪道； ③压雪机一旦对某一雪道开始压雪作业，直到该雪道压雪作业结束才能更换另一条雪道： ④造雪机与压雪机可同时工作． 各雪道进行造雪和压雪作业所需时间（单位：小时）如下表： 雪道 造雪时间 压雪时间 A 10 5 B 8 7 C 6 10 在忽略造雪与压雪间隔的时间等其他因素的情况下： （1）如果雪道按“A-B-C”的先后顺序进行造雪和压雪作业，那么完成全部的造雪和压雪作业需要________小时； （2）如果合理安排雪道作业顺序，使完成全部的造雪和压雪作业的总时间最短，那么最短时间为________小时． 三、解答题（17-18，20题4分，19，22每题5分，21，23-26每题6分，共52分） 17. 解方程：． 18. 已知：圆O及圆外一点P，求作：过点P作圆O的切线． 作法：①连接，分别以O、P为圆心，大于长为半径作弧，两弧分别交于点C和E，连接，交于点D； ②以D为圆心，长为半径作圆D，交圆O于点A，B两点； ③作直线，． 所以直线，为的切线． （1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）； （2）完成下面的证明． 证明：连接，． 为的直径，A，B在上， （①_____）（填推理的依据）． 半径，半径． 直线，为的切线（②______）（填推理的依据）． 19. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论取何值，方程都有两个不相等的实数根． （2）若方程的一个根是，求的值和方程的另一个根． 20. 如图，在平面直角坐标系中，，将绕原点O顺时针旋转得到（分别是A，B的对应点）． （1）在图中画出，点的坐标为 ； （2）若点位于内（不含边界），点为点M绕原点O顺时针旋转的对应点，直接写出的纵坐标n的取值范围． 21. 已知，二次函数（a，b，c是常数，）的y与x的部分对应值如表： x … 2 3 … y … 3 0 3 … （1）求二次函数的解析式． （2）当时，y的取值范围是 ；当时，x的取值范围是 ． 22. 有甲、乙两个不透明的口袋，甲口袋中装有两个相同的球，它们分别写有数，2；乙口袋中装有三个相同的球，它们分别写有数，m，3．小明和小刚进行摸球游戏，规则如下：先从甲口袋中随机取出一个球，其上的数记为a；再从乙口袋中随机取出一个球，其上的数记为b．若，小明胜；若，为平局；若，小刚胜． （1）若，用树状图或列表法分别求出小明、小刚获胜的概率； （2）当m为何值时，小明和小刚获胜的概率相同？直接写出一个符合条件的整数m的值 ． 23. 如图，，是的两条切线，切点分别为B，C，连接并延长交于点D，过点D作的切线交的延长线于点E，于点F． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求的长． 24. 在平面直角坐标系中，抛物线经过点和． （1）求c的值，并用含a的式子表示b； （2）已知直线是x轴上一点，过A作x轴的垂线，交抛物线于点，交直线于点． ①m为何值时，和重合． ②已知，过B作x轴的垂线，交抛物线于点，交直线于点．若对于都有，求a的取值范围． 25. 在等腰中，，将线段绕点B顺时针旋转到，使于H，连结并延长交的延长线于点P． （1）依题意补全图形； （2）若，求的大小（用含α的式子表示）； （3）证明线段与之间的数量关系． 26. 定义：在平面直角坐标系中，对于内的一点P，若在外存在点，使得，则称点P为的“内半点”． （1）当的半径为4时， ①在点，，中，是的“内半点”的是 ； ②已知一次函数，若一次函数在第二象限的图象上的所有点都是的“内半点”，求k的取值范围； （2）已知点，的半径为6，若线段上存在的“内半点”，直接写出m的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京市海淀区育英学校2025-2026学年下学期八年级期末数学试卷（五四学制） 一、选择题（每题3分，共24分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个 1. 未来将是一个可以预见的时代，下列是国内常见人工智能品牌公司图标，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．根据中心对称图形的定义进行逐一判断即可． 【详解】解：A．不是中心对称图形，故A不符合题意； B．是中心对称图形，故B符合题意； C．不是中心对称图形，故C不符合题意； D．不是中心对称图形，故D不符合题意． 2. 二次函数的图象是由的函数图象经过怎样平移得到的（ ） A. 向左平移3个单位，向上平移5个单位 B. 向右平移3个单位，向上平移5个单位 C. 向左平移5个单位，向下平移3个单位 D. 向右平移5个单位，向上平移3个单位 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象的平移规律，熟练掌握针对“左加右减”，针对常数项“上加下减”是解题的关键．根据二次函数图象的平移规律“左加右减，上加下减”即可判断平移方向． 【详解】解：由题意的图象是由的函数图象平移而来， 相对于，水平方向向左平移3个单位，垂直方向向上平移5个单位， 故选A． 3. 在一个布口袋里装有白、红、黑三种颜色的小球，它们除颜色外没有任何区别，其中白球2只，红球4只，黑球3只，将袋中的球搅匀，随机从袋中取出1只球，则取出黑球的概率是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用取出黑球概率=口袋中黑球的个数÷所有球的个数，即可求出结论． 【详解】取出黑球的概率为． 故选：B． 【点睛】本题考查了概率公式，牢记随机事件的概率公式是解题的关键． 4. 如图，若，，，则抛物线的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由可以得出抛物线的开口向下，由得出抛物线与轴的交点在轴的负半轴上，由，可以得出抛物线的对称轴，即抛物线的对称轴在轴右侧，据此即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴抛物线的开口向下，故C选项错误； ∵， ∴抛物线与轴的交点在轴的负半轴上，故A选项错误； ∵，， 故抛物线的对称轴为， ∴抛物线的对称轴在轴右侧，故D选项错误． 5. 若是关于的方程的一个根，则关于的方程必有一个根为（ ） A. 2023 B. 2024 C. 2025 D. 2027 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，由关于x的一元二次方程有一个根为，可得出关于的一元二次方程有一个根为，解之可得出x的值，此题得解． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有一个根为， ∴关于的一元二次方程即有一个根为， 即， 解得：， 故选：A． 6. 如图，将绕顶点顺时针旋转得到对应．若点恰好落在边上，则的大小是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由旋转性质可知，，，，然后通过等边对等角，三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：由旋转性质可知，，，， ∴， ∴． 7. 近期国内油价连续上调，某种成品油原价每升8元，经过两次相同百分率的连续涨价后，单价变为元．设平均每次涨价的百分率为，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据增长率的基本计算规则：涨价后价格=原价涨价百分率)，进行列式，即可作答． 【详解】解：∵原价为每升元，平均每次涨价的百分率为， ∴第一次涨价后的价格为元，第二次涨价后的价格为元 即． 8. 如果一个圆的内接三角形有一边的长度等于半径，那么称其为该圆的“半径三角形”．给出下面四个结论，所有正确结论的序号是（ ） ①一个圆的“半径三角形”有无数个； ②一个圆的“半径三角形”可能是锐角三角形、直角三角形或钝角三角形； ③当一个圆的“半径三角形”为等腰三角形时，它的顶角可能是或； ④若一个圆的半径为2，则它的“半径三角形”面积最大值为． A. ①② B. ②③ C. ①②③ D. ①②④ 【答案】D 【解析】 【分析】先明确“半径三角形”的核心特征：三角形内接于圆，且其中一条边长等于圆的半径，结合圆周角定理，可得该边所对的圆心角为，对应的圆周角为或，这是所有结论判断的突破口． 对于结论①：因为长度等于半径的弦在圆上有无数条，且固定该弦后，第三个顶点可在圆上除弦端点外的任意位置，所以可判断“半径三角形”的数量． 对于结论②：如果固定长度为半径的边，调整第三个顶点的位置，那么三角形的另外两个角会发生变化，结合圆周角的取值范围，可判断三角形的类型是否包含锐角、直角、钝角． 对于结论③：当“半径三角形”为等腰三角形时，分两种情况讨论：长度为半径的边是腰或者是底边，结合三角形内角和、圆周角定理，可推导顶角的可能度数． 对于结论④：如果圆半径为2，那么长度等于半径的边的长度固定为2，该边对应的高的最大值为圆心到该边的距离加上半径，结合三角形面积公式 ，可计算面积的最大值． 【详解】解：①在中，弦等于的半径，连接，过点O作于点H，如图所示： ∴是等边三角形， 点C是上的任意一点， ∴是该圆的一个“半径三角形”， ∴一个圆的“半径三角形”有无数个， 故结论①正确； ②∵是等边三角形， ∴， 当点C在优弧上时，， 当点C在劣弧上时，， 当点C在优弧上移动时，与可能是， ∴一个圆的“半径三角形”可能是锐角三角形、直角三角形或钝角三角形， 故结论②正确； ③∵当点C在优弧上时，， ∴当时，等腰的顶角； 当时，则， ∴， 此时等腰的顶角； 当时，则， ∴， 此时等腰的顶角； ∵当点C在劣弧上时，， 当时，等腰的顶角， 综上所述：当一个圆的“半径三角形”为等腰三角形时，它的顶角可能是或或， 故结论③不正确； ④∵是等边三角形，的半径为2， ∴， ∵于点H， ∴，， 在中，， 当点C为优弧的中点时，的“半径三角形”面积取得最大值， 此时点C，O，H共线，的边上的高为， ∴的面积为：， 即的“半径三角形”面积最大值为， 故结论④正确， 综上所述：正确结论的序号是 ①②④． 二、填空题（每题3分，共24分） 9. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据平面直角坐标系内的点关于原点对称的规律即可求解． 【详解】解：点关于原点对称的点的坐标为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了关于原点对称点的坐标，掌握点的坐标的变化规律是解题的关键． 10. 如图1所示的铝合金窗帘轨道可以直接弯曲制作成弧形．若制作一个圆心角为160°的圆弧形窗帘轨道（如图2）需用此材料mm，则此圆弧所在圆的半径为________mm． 【答案】900 【解析】 【分析】由弧长公式l=得到R的方程，解方程即可． 【详解】解：根据题意得，=，解得，R=900（mm）． 答：这段圆弧所在圆的半径R是900 mm． 故答案是：900． 【点睛】本题考查了弧长的计算公式：l=，其中l表示弧长，n表示弧所对的圆心角的度数． 11. 如图，分别切于点A，B，Q是优弧上一点，若，则的度数是________． 【答案】70°##70度 【解析】 【分析】连接，根据切线性质可得，再根据四边形的内角和为360°求得，然后利用圆周角定理求解即可． 【详解】解：如图所示，连接， ∵分别切于点A，B， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故答案为：70°． 【点睛】本题考查切线性质、四边形内角和为360°、圆周角定理，熟练掌握切线性质和圆周角定理是解答的关键． 12. 已知点，在二次函数的图象上，比较______．（填或）． 【答案】 【解析】 【分析】根据解析式可得开口方向和对称轴，则可得到离对称轴越远，函数值越大，求出两点到对称轴的距离即可得到答案． 【详解】解：∵二次函数的解析式为， ∴二次函数的图象开口向上，对称轴为直线， ∴离对称轴越远，函数值越大， ∵点，在二次函数的图象上，且， ∴． 13. 某林业部门考察银杏树苗在一定条件下移植的成活率，所统计的银杏树苗移植成活的相关数据如下表所示： 移植棵数 100 300 600 1000 7000 15000 成活的棵数 87 279 535 887 6337 13581 成活的频率（保留小数点后三位） 根据表中的信息，估计银杏树苗在这个条件下移植成活的概率约为_____（精确到）． 【答案】 【解析】 【详解】解：由表格数据可得，随着移植棵数逐渐增加，成活的频率逐渐稳定在附近， 根据用频率估计概率的原理，估计银杏树苗在该条件下移植成活的概率约为， 将精确到，结果为． 14. 数学活动课上，小东想测算一个圆形齿轮内圈圆的半径．如图所示，小东首先在内圈圆上取点A，B，再作弦AB的垂直平分线，垂足为C，交于点D，连接CD，经测量cm，cm，那么这个齿轮内圈圆的半径为______cm． 【答案】5 【解析】 【分析】由垂径定理，可得出BC的长；连接OB，在Rt△OBC中，可用半径OB表示出OC的长，进而可根据勾股定理求出得出轮子的半径，即可得出轮子的直径长． 【详解】解：设圆心为O，连接OB． Rt△OBC中，BC＝AB＝4cm， 根据勾股定理得：OC2＋BC2＝OB2，即：（OB−2）2＋42＝OB2， 解得：OB＝5； 故轮子的半径为5cm． 故答案为：5． 【点睛】本题考查垂径定理，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题． 15. 如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为，，则不等式的解集是___________ ． 【答案】 【解析】 【分析】观察函数图象，二次函数的图象不在一次函数的图象上方时自变量的取值范围，即为不等式的解集． 【详解】解：∵抛物线与直线的两个交点坐标分别为，, ∴由图象可得，不等式的解集是． 16. 某滑雪场为迎接周末的“冰雪杯”滑雪赛事，需要使用1台造雪机和1台压雪机对A，B，C三条不同的雪道进行造雪和压雪作业．作业规则如下： ①每条雪道必须先造雪、造雪结束后再进行压雪，确保雪道安全； ②造雪机一旦对某一雪道开始造雪作业，直到该雪道造雪作业结束才能更换另一条雪道； ③压雪机一旦对某一雪道开始压雪作业，直到该雪道压雪作业结束才能更换另一条雪道： ④造雪机与压雪机可同时工作． 各雪道进行造雪和压雪作业所需时间（单位：小时）如下表： 雪道 造雪时间 压雪时间 A 10 5 B 8 7 C 6 10 在忽略造雪与压雪间隔的时间等其他因素的情况下： （1）如果雪道按“A-B-C”的先后顺序进行造雪和压雪作业，那么完成全部的造雪和压雪作业需要________小时； （2）如果合理安排雪道作业顺序，使完成全部的造雪和压雪作业的总时间最短，那么最短时间为________小时． 【答案】 ①. 35 ②. 29 【解析】 【分析】第一问按照给定作业顺序，根据规则依次确定每个雪道压雪的开始与结束时间，即可得到总时间；第二问列举所有不同作业的顺序，分别计算每种顺序的总时间，比较得到最短总时间即可． 【详解】解：(1) 按“”顺序作业，造雪完成时间依次为 ：， ：， ： 根据规则，压雪需满足压雪机空闲，且对应雪道已完成造雪，因此 压雪开始时间为，结束时间为， 压雪开始时间为，结束时间为， 压雪开始时间为，结束时间为， 即完成全部作业需要小时； (2) 三条雪道共种不同作业顺序，除顺序外，其余5种顺序的总时间分别为： ①顺序，总时间为， ②顺序，总时间为， ③顺序，总时间为， ④顺序，总时间为 ⑤顺序， 造雪完成时间依次为，，， 压雪结束：， 压雪结束：， 压雪结束：， 即该顺序总时间为． 综上可知，最短总时间为． 三、解答题（17-18，20题4分，19，22每题5分，21，23-26每题6分，共52分） 17. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法． 【详解】解：方法一、， 移项得：， 配方得：， 即， 开方得：， 方程的解为：，； 方法二、 其中，，， ， ，即， 方程的解为：，； 方法三、， 因式分解得：， 或， 方程的解为：． 18. 已知：圆O及圆外一点P，求作：过点P作圆O的切线． 作法：①连接，分别以O、P为圆心，大于长为半径作弧，两弧分别交于点C和E，连接，交于点D； ②以D为圆心，长为半径作圆D，交圆O于点A，B两点； ③作直线，． 所以直线，为的切线． （1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）； （2）完成下面的证明． 证明：连接，． 为的直径，A，B在上， （①_____）（填推理的依据）． 半径，半径． 直线，为的切线（②______）（填推理的依据）． 【答案】（1）见解析 （2）①直径所对的圆周角是直角；②经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图，圆周角定理，切线的判定定理． （1）根据题目中的叙述，利用尺规作图即可； （2）根据“直径所对的圆周角是直角”以及“经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线”进行证明即可． 【小问1详解】 解：如图所示． 【小问2详解】 证明：连接， 为的直径，A，B在上， （直径所对的圆周角是直角）. 半径，半径 直线，为的切线（经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线）. 故答案为：①直径所对的圆周角是直角；②经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线． 19. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论取何值，方程都有两个不相等的实数根． （2）若方程的一个根是，求的值和方程的另一个根． 【答案】（1） 证明：∵， ∴无论取何值，方程都有两个不相等的实数根． （2）的值为1，方程的另一个根为 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式和解一元二次方程，解题关键是牢记根的判别式的意义和解方程的方法． （1）求出根的判别式即可求证； （2）先将方程的根代入方程求出，确定方程后再解方程求另一个根． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：将代入方程可得：， ∴， ∴该方程为， ∴， ∴， ∴的值为1，方程的另一个根为． 20. 如图，在平面直角坐标系中，，将绕原点O顺时针旋转得到（分别是A，B的对应点）． （1）在图中画出，点的坐标为 ； （2）若点位于内（不含边界），点为点M绕原点O顺时针旋转的对应点，直接写出的纵坐标n的取值范围． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）首先回忆平面直角坐标系中点绕原点顺时针旋转的坐标变换规律，因为要得到A、B的对应点坐标，所以用该规律计算的坐标，再顺次连接O、得到旋转后的三角形． （2）对于点M的旋转，因为M的坐标是，所以同样用顺时针旋转的坐标变换公式得到的坐标，进而得到纵坐标n与m的关系．先确定M在内（不含边界）时m的取值范围，再根据n和m的对应关系，推导出n的取值范围． 【小问1详解】 解：根据旋转的性质，点绕原点顺时针旋转后对应点坐标为． ∵， 代入得坐标为， 同理得对应点， 连接、、即可画出． 【小问2详解】 解：∵是直角三角形，三个顶点为、、， 设斜边的解析式为， 则， 解得， ∴的解析式为． ∵ 点在内部（不含边界）， ∴满足， 解得的范围． ∵点顺时针旋转后，对应点的纵坐标， ∴由，两边同乘得： ． 答案： (1) ； (2) ． 21. 已知，二次函数（a，b，c是常数，）的y与x的部分对应值如表： x … 2 3 … y … 3 0 3 … （1）求二次函数的解析式． （2）当时，y的取值范围是 ；当时，x的取值范围是 ． 【答案】（1） （2）；或 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）先将解析式化成顶点式，再结合二次函数的性质解答即可． 【小问1详解】 解：由题意，结合表格数据可得， ． ∴． ∴二次函数的解析式为； 【小问2详解】 解：由题意，∵， ∴当时，y取最小值为． 又∵当时，；当时，， ∴当时，． 令，则或， 又∵抛物线的开口向上， ∴当时，或． 22. 有甲、乙两个不透明的口袋，甲口袋中装有两个相同的球，它们分别写有数，2；乙口袋中装有三个相同的球，它们分别写有数，m，3．小明和小刚进行摸球游戏，规则如下：先从甲口袋中随机取出一个球，其上的数记为a；再从乙口袋中随机取出一个球，其上的数记为b．若，小明胜；若，为平局；若，小刚胜． （1）若，用树状图或列表法分别求出小明、小刚获胜的概率； （2）当m为何值时，小明和小刚获胜的概率相同？直接写出一个符合条件的整数m的值 ． 【答案】（1）列表如下： 3 2 共有6种等可能的结果，其中小明获胜的结果有：，，共2种，小刚获胜的结果有：，，，共3种， ∴小明获胜的概率为，小刚获胜的概率为． 答：小明获胜的概率为，小刚获胜的概率为． （2）（答案不唯一） 【解析】 【分析】对于（1），因为m值确定，所以先通过列表法或树状图列出所有a、b的等可能组合，再分别统计满足的组合数，根据古典概型概率公式计算对应概率． 对于（2），因为要使两人获胜概率相同，所以需满足的组合数等于的组合数，分析a的两个取值分别与乙口袋三个数的大小关系，建立关于m的大小关系条件，选取符合要求的整数m． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 （2）列表如下： m 3 2 共有6种等可能的结果． 要使小明和小刚获胜的概率相同，则m的值应该满足， ∴整数m的值为，0，1中的任意一个． 23. 如图，，是的两条切线，切点分别为B，C，连接并延长交于点D，过点D作的切线交的延长线于点E，于点F． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明：∵、是的切线，是的直径， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形是矩形； （2）5 【解析】 【分析】（1）根据切线的性质和矩形的判定定理即可得到结论； （2）根据切线长定理可得，，再利用勾股定理即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，，是的切线， ∴，， 由（1）知，四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， 故的长为5． 24. 在平面直角坐标系中，抛物线经过点和． （1）求c的值，并用含a的式子表示b； （2）已知直线是x轴上一点，过A作x轴的垂线，交抛物线于点，交直线于点． ①m为何值时，和重合． ②已知，过B作x轴的垂线，交抛物线于点，交直线于点．若对于都有，求a的取值范围． 【答案】（1）； （2）①或；②或． 【解析】 【分析】对于小问（1），因为抛物线过点，代入抛物线方程可直接得到c的值；再把代入抛物线方程，结合已得的c值，即可用a表示b． 对于小问（2）①，因为横坐标均为m，二者重合意味着纵坐标相等，所以将分别代入抛物线和直线解析式，令纵坐标相等，解方程即可求m．②，先求出的长度表达式，二者均为同横坐标下两点纵坐标差的绝对值；因为是只含a的定值，所以要让内的都大于该定值，结合的函数性质，分析与函数对称轴的位置关系，列出关于a的不等式求解． 【小问1详解】 解：将点代入抛物线， 得： ，  ． 再将点、代入抛物线， 得： ， 整理得 ． 此时抛物线可整理为：． 【小问2详解】 解：①过作轴垂线，​、​横坐标均为： 在抛物线上，纵坐标为； 在直线上，纵坐标为． 两点重合，则纵坐标相等， ∴， （）， 两边同除以，得， 因式分解得， 解得  或 ， 即  或 时，和重合． ②横坐标相同的两点、的距离为纵坐标差的绝对值： ，，， ∴．  ． ∵， ∴， 两边同除以，得：． ∵， ∴ 整理得， 当时，或， ∴的解集为：或． 题目要求对任意，不等式都成立， ∴需全部满足或全部满足： 若全满足， 则左端点，解得； 若全满足， 则右端点，解得． 因此的取值范围是  或 ． 25. 在等腰中，，将线段绕点B顺时针旋转到，使于H，连结并延长交的延长线于点P． （1）依题意补全图形； （2）若，求的大小（用含α的式子表示）； （3）证明线段与之间的数量关系． 【答案】（1） （2）； （3）证明：如图，作点D关于的对称点E，连接，连接交于点G， ∵D关于的对称点为E， ∴， ∵， ∴， 由（2）知， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）先过点B作的垂线，确定垂足H，再根据旋转得到且的要求，在的延长线上截取，再连接并延长交延长线于点，完成补图． （2）因为，所以可先求出的度数，又因为是等腰三角形，所以利用等腰三角形内角和性质即可求出的大小． （3）可先通过角度推导得到的边的关系，再结合等腰中与的三角函数关系，或者构造全等三角形，建立和之间的数量联系． 【小问1详解】 解： 过点作，交于点，在射线上截取（旋转性质得）； 连接，延长交的延长线于点，补图完成． 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴． 【小问3详解】 略． 26. 定义：在平面直角坐标系中，对于内的一点P，若在外存在点，使得，则称点P为的“内半点”． （1）当的半径为4时， ①在点，，中，是的“内半点”的是 ； ②已知一次函数，若一次函数在第二象限的图象上的所有点都是的“内半点”，求k的取值范围； （2）已知点，的半径为6，若线段上存在的“内半点”，直接写出m的取值范围． 【答案】（1）①；②； （2）m的取值范围为或 【解析】 【分析】先明确“内半点”的判定条件：若点是的内半点，则首先在内，其次满足（为半径），即的范围是． （1）①计算每个点到圆心的距离，判断是否落在区间内，符合的即为内半点； ②先确定一次函数过定点，再结合“内半点”的范围，得到直线上第二象限的点到的距离需满足，据此找到边界临界情况：一是直线上的点到的最小距离，二是直线与轴交点的纵坐标满足限制，联立求解的范围． （2）由，得到，因为的半径为6，设点P为的“内半点”，所以．当点M在x轴的负半轴时，，令，令；当点M在x轴的正半轴时，，令，令．分情况讨论． 【小问1详解】 解：①设点P为的“内半点”， ∵的半径为4， ∴， ∵，，， ∴， ∴是的“内半点”的有：． 故答案为：； ②∵一次函数， ∴令，则，令，则， ∴一次函数与x轴交于点，与y轴交于点， 当时，一次函数在第二象限的图象为从A向左上方延伸的射线，不可能所有点都是的“内半点”，不合题意； 当时，一次函数在第二象限的图象为线段，如图， 过点O作于点H， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵一次函数在第二象限的图象上的所有点都是的“内半点”， ∴， ∴， ∴． ∴k的取值范围为． 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵的半径为6，设点P为的“内半点”， ∴， ①当点M在x轴的负半轴时，，令，如图， ∵， ∴， ∴， 令，过点C作轴于点D，如图， 则， ∴， ∴， ∵若线段上存在的“内半点”， ∴． ②当点M在x轴的正半轴时，，令，过点C作轴于点D，如图， 则， ∴， ∴， ∴； 令，如图， ∵， ∴， ∴， ∵若线段上存在的“内半点”， ∴． 综上，若线段上存在的“内半点”，m的取值范围为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $