5.3 正方形 第2课时 课件 2025-2026学年浙教版八年级数学下册

该初中数学课件聚焦正方形的判定与性质，从平行四边形、矩形、菱形的已有知识切入，通过定义辨析和“先菱形再矩形条件”“先矩形再菱形条件”等判定途径，构建知识支架，帮助学生理解正方形与特殊平行四边形的联系。 其亮点在于以数学思维和几何直观为核心，通过直角三角形中正方形判定、中点四边形等例题，结合分层随堂练习，引导学生用数学语言规范证明过程。课堂小结通过表格对比特殊四边形性质，提升学生抽象能力与应用意识，为教师提供结构化教学资源，助力高效教学。

第5章　特殊平行四边形 5.3 正方形　 第1课时　正方形的判定 初中数学浙教版（2024）八年级下册 1.理解并掌握正方形的判定和推导过程. 2.能熟练运用正方形的判定进行计算和证明. 学习目标 学习目标 2 由正方形的定义可知，正方形既是有一组邻边相等的矩形， 又是有一个角为直角的菱形. 有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫作正方形. 什么是正方形？ 新知探究 正方形判定的几条途径： 正方形 正方形 + + 先判定菱形 先判定矩形 矩形条件(二选一) 菱形条件(二选一) 一个直角， 一组邻边相等， 对角线相等 对角线垂直 平行四边形 正方形 一组邻边相等 一内角是直角 新知探究 (可从平行四边形、矩形、菱形入手判别) 有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫作正方形. 定义法 菱形法 矩形法 有一个角是直角的菱形是正方形. 有一组邻边相等的矩形是正方形. 我们可以得到哪些正方形的判定定理呢？ 新知探究 四边形 平行四边形 矩形 菱形 正方形 完成下图： 归纳总结 O A B C D (A) (B) (C) (D) 菱形和矩形都有对称性，我们来研究一下正方形的对称性吧！ 由此可见，正方形既是轴对称图形也是中心对称图形. 且正方形有4条对称轴 新知探究 例1.如图，直角三角形ABC中，∠ACB=90°，CD是∠ACB的平分线，DE⊥BC， DF⊥AC，垂足分别为E，F.求证：四边形CFDE是正方形. 证明：∵ DE⊥AC，DF⊥AB， ∴ ∠DEC=90°， ∠DFC=90°，而∠ACB=90° ∴ 四边形ABCD为矩形. ∵ CD平分∠ACB，DE⊥AC， DF⊥BC ∴ DE=DF. ∴四边形ABCD是正方形. 例题精讲 例2.如图，四边形EFGH是由矩形ABCD的外角平分线围成的， 求证：四边形EFGH是正方形. 证明：∵矩形的外角都为90°， ∴外角平分线平分后的角都45°， ∴∠GDC=∠GCD=45°，∠DGC=90°，DG=GC， 同理可证： DH=HA，CF=FB，AE=BE， ∴GH=HE=FE=GF，∠HGF=90°. 例题精讲 证明：∵四边形ABCD为正方形， ∴OB=OC，∠ABO=∠BCO =45°，∠BOC=90°=∠COH+∠BOH. ∵EG⊥FH，∴∠BOE+∠BOH=90°， ∴∠COH=∠BOE，∴△CHO ≌△BEO，∴OE=OH. 同理可证：OE=OF=OG，∴OE=OF=OG=OH. 又∵EG⊥FH，∴四边形EFGH为菱形. ∵EO+GO=FO+HO ，即EG=HF， ∴四边形EFGH为正方形. B A C D O E H G F 例3.如图，EG，FH过正方形ABCD的对角线的交点O，且EG⊥FH. 求证：四边形EFGH是正方形. 例题精讲 证明：∵DE⊥AC，DF⊥AB ， ∴∠DEC= ∠DFC=90°. 又∵∠C=90 °，∴四边形ADFC是矩形. 过点D作DG⊥AB，垂足为G. ∵AD是∠CAB的平分线DE⊥AC，DG⊥AB， ∴ DE=DG. 同理得DG=DF，∴ED=DF， ∴四边形ADFC是正方形. 例4.如图，在直角三角形中，∠C=90°，∠A、∠B的平分线交于点D. DE⊥AC，DF⊥AB.求证：四边形CEDF为正方形. A B C D E F G 例题精讲 思考：前面学菱形时我们探究了顺次连接任意四边形各边中点所得的四边形是 平行四边形.顺次连接矩形各边中点能得到菱形，那么顺次连接正方形各边中点 能得到怎样的特殊平行四边形？ A B C D A B C D A B C D 矩形 正方形 任意四边形 平行四边形 菱形 正方形 E F G H E F G H E F G H 新知探究 1.正方形具有而菱形不一定具有的性质( ) A.四条边相等 B.对角线互相垂直平分 C.对角线平分一组对角 D.对角线相等 D 随堂练习 2.正方形ABCD的边长为2，对角线AC、BD相交于点O，AE平分∠BAC交BD于E， 则DE的长为_______. 2 A B C D O E 随堂练习 3.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，过点C的直线 MN∥AB，D为AB边上一点， 过点D作DE⊥BC，交直线MN 于E，垂足为F，连结CD，BE. (1)求证：CE=AD. 证明：∵DE⊥BC，∴∠DFB=90°. ∵∠ACB=90°， ∴∠ACB=∠DFB. ∴AC∥DE. ∵MN∥AB，即CE∥AD， ∴四边形ADEC是平行四边形. ∴CE=AD. 随堂练习 3.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，过点C的直线 MN∥AB，D为AB边上一点， 过点D作DE⊥BC，交直线MN 于E，垂足为F，连结CD，BE. (2)当D在AB中点时，四边形BECD是什么特殊四边形？说明你的理由. 解：四边形 BECD是菱形，理由如下， ∵D为AB中点，∴AD=BD. ∵CE=AD，∴BD=CE. ∵BD∥CE，∴四边形 BECD是平行四边形. ∵∠ACB=90°，D为AB中点， ∴CD=BD. ∴四边形BECD是菱形. 随堂练习 3.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，过点C的直线 MN∥AB，D为AB边上一点， 过点D作DE⊥BC，交直线MN 于E，垂足为F，连结CD，BE. (3)若 D 为 AB 中点，则当∠A 的大小满足什么条件时，四边形 BECD 是正方形？ 请说明你的理由. 解：当∠A=45°时，四边形 BECD 是正方形，理由如下，∵∠ACB=90°，∠A=45°， ∴∠ABC=∠A=45°.∴AC=BC. ∵D为BA中点，∴CD⊥AB，∴∠CDB=90°. 又∵四边形BECD是菱形，∴菱形BECD是正方形. ∴当∠A=45°时，四边形BECD是正方形. 随堂练习 4.在矩形ABCD中，E，P，G，H分别是边AB，BC，CD，DA上的点(不与端点重合)， 对于任意矩形ABCD，下面四个结论中正确的是(　　) ①存在无数个四边形EFGH是平行四边形.②存在无数个四边形EFGH是矩形. ③存在且仅有一个四边形EFGH是菱形.④除非矩形ABCD为正方形，否则不存在四边 形EFGH是正方形. A.①② B.①②③ C.①②④ D.①③④ C 随堂练习 学习目标 18 证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠D=∠DAB=90°， ∵AE平分∠DAB，∴∠EAF=45°， ∵EF⊥AB，∴∠D=∠DAF=∠F=90°， ∴四边形ADEF是矩形， ∵∠EAF=45°，∴∠AEF=45°， ∴∠EAF=∠AEF，∴AF=EF， ∴矩形ADEF是正方形. 5.如图，在矩形ABCD中，AE平分∠DAB交DC的延长线于点E，过点E作EF⊥AB， 垂足F在边AB的延长线上.求证：四边形ADEF是正方形. 随堂练习 学习目标 5种判 定方法 三个角是直角 四条边相等 一个角是直角 或对角线相等 一组邻边相等 或对角线垂直 一组邻边相等 或对角线垂直 一个角是直角 或对角线相等 一个角是直角且一组邻边相等 平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定小结 课堂小结 第5章　特殊平行四边形 5.3 正方形　 　第2课时　正方形的性质 初中数学浙教版（2024）八年级下册 1.探索并证明正方形的性质，并了解平行四边形、矩形、菱形之间的联系和区别. 2.会应用正方形的性质解决相关证明及计算问题. 学习目标 22 由正方形的定义可知： 有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫作正方形. 正方形是特殊的平行四边形，也是特殊的矩形，也是特殊的菱形. 正方形的性质=菱形的性质+矩形的性质. 新知探究 矩形 菱形 正 方 形 平行四边形 平行四边形、矩形、菱形、正方形之间关系： 新知探究 正方形是特殊的平行四边形，也是特殊的矩形，也是特殊的菱形. 所以矩形、菱形有的性质，正方形都有. 性质：1.正方形的四个角都是直角，四条边相等. 2.正方形的对角线相等且互相垂直平分. 新知探究 例1.已知：如图，在正方形ABCD中，G是对角线BD上的一点，GE⊥CD，GF⊥BC， E、F分别为垂足，连结AG，EF.求证：AG=EF ∵ GE⊥CD， GF⊥BC， ∴ ∠GFC= ∠GEC =90°， 又∵∠BCD =90°，∴四边形FCEG是矩形， 证明：如图，连结CG， 在△AGD和△CGD中，∠ADG=∠CDG，DG=DG， AD=CD， ∴△AGD≌△CGD，∴ AG=CG， ∴ AG=EF. ∴ EF=CG， 例题精讲 例2.在正方形ABCD中，M是正方形内的一点，且MC=MD=AD， 求∠BAM的度数？ 证明：∵ MC=MD=AD， ∴△MDC是等边三角形， ∴∠MDC=60°， ∵∠ADC=90°，∠ADM=30°， ∴AD=MD， ∴∠DAM=75°， ∴∠BAM = 90° -75° =15°. 例题精讲 例3.已知：点E、F、G、H分别是正方形ABCD四条边上的中点， 求证：四边形EFGH是正方形. 证明：连结AC、BD， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AC=BD，AC⊥BD， 在△ABC中，F. G分别是AB、BC的中点， 故可得：FG=AC，同理得EH=AC，GH=BD，EF=BD， 例题精讲 在四边形ABCD中，AC=BD， ∴EF=FG=GH=HE， ∴四边形EFGH是菱形. 在△ABD中，E. H分别是AD、CD的中点， 则EH∥AC， 同理GH∥BD， 又∵AC⊥BD，∴EH⊥HG， ∴四边形EFGH是正方形. 例题精讲 定理1：正方形的四个角都是直角，四条边相等. 定理2：正方形的对角线相等，并且互相垂直平分. 正方形既是中心对称图形，又是轴对称图形. 有四条对称轴. 归纳总结 边 角 对 角 线 对 称 性 平 行 四边形 矩 形 菱 形 正方形 几种特殊四边形的性质 对边平行 且相等 对边平行且相等 对边平行，四边都相等 对边平行， 四边都相等 对角相等 邻角互补 四个角 都是直角 对角相等 邻角互补 四个角 都是直角 对角线互相平分 对角线相等且互相平分 对角线互相垂直平分，每条对角线平分一组对角 对角线互相垂直平分且相等，每条对角线平分一组对角 中心对称图形 轴对称图形、 中心对称图形 轴对称图形、 中心对称图形 轴对称图形、 中心对称图形 归纳总结 1.一个正方形的面积等于8，则其对角线的长为________. 4 2.正方形对角线长6，则它的面积为_____，周长为______. 36 24 随堂练习 3.在正方形ABCD的外侧作等边△ADE，则∠AEB的度数为( ) A.10° B.12.5° C.15° D.20° C 随堂练习 4.在四边形ABCD中，O是对角线的交点，能判定这个四边形是正方形的是( ) A.AC=BD，AB∥CD，AB=CD B.AD∥BC，∠A=∠C C.AO=BO=CO=DO，AC⊥BD D.AO=CO，BO=DO，AB=BC C 随堂练习 5.如图，在正方形ABCD 中，点E，F 分别是 AB，BC 边上的点，且 AE=BF. 求证：CE=DF. 证明：在正方形 ABCD 中， AB=BC=CD，∠B=∠BCD=90°. ∵AE=BF， ∴AB-AE=BC-BF，即BE=CF. 在△BCE 和△CDF 中，BC=CD，∠B=∠BCD=90°，BE=CF， ∴△BCE≌△CDF(SAS). ∴CE=DF. 随堂练习 解：DN=MC，DN⊥MC，证明如下， ∵四边形ABCD是正方形， ∴OC=OD ， ∠COD=∠COB=90°，∠1=∠BCO=45°， 又∵MN∥AB，∴∠OMN=∠1=∠BCO=∠ONM=45°， ∴OM=ON，∴△COM≌△DON(SAS)， ∴DN=MC. 由△COM≌△DON得∠2=∠3，又∠3+∠CMO=90°， ∴∠2+∠CMO=90°，∴∠DHM=90°，∴DN⊥MC. 6.已知：如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，M、N在OB和OC上， 且MN∥BC，连结DN、MC，试猜想DN与MC有什么关系？并证明你的猜想. 随堂练习 7.如图在正方形ABCD中，E为CD上一点，F为BC边延长线上一点，且CE=CF. BE与DF之间有怎样的关系？请说明理由. 解：BE=DF，且BE⊥DF.理由如下： ∵四边形ABCD是正方形. ∴BC=DC，∠BCE =90° . ∴∠DCF=180°-∠BCE=90°. ∴∠BCE=∠DCF. 又∵CE=CF. ∴△BCE≌△DCF. ∴BE=DF. A B D C F E 随堂练习 延长BE交DE于点M， ∵△BCE≌△DCF ， ∴∠CBE =∠CDF. ∵∠DCF =90° ， ∴∠CDF +∠F =90°， ∴∠CBE+∠F=90° ， ∴∠BMF=90°. ∴BE⊥DF. A B D F E C M 随堂练习 1.四个角都是直角 2.四条边都相等 3.对角线相等且互相垂直平分 正方形的性质 性质 定义 有一组邻相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫作正方形. 课堂小结 $