精品解析：广东中山市纪中三鑫凯茵学校2025-2026学年八年级上学期数学阶段测试

2025—2026年广东省中山市纪中三鑫凯茵学校 八年级上学期数学开学考 一、单选题 1. 中国茶文化源远流长，在下列有关茶的标识中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 三角形的三边分别为3、、5，则的取值范围是（ ） A. B. 0 C. D. 3. 港珠澳大桥是目前世界最长的跨海大桥，主桥为三座大跨度钢结构斜拉式大桥，斜拉式大桥采用三角形结构，使其不易变形，这种做法的几何原理是（ ） A. 三角形两边之和大于第三边 B. 垂线段最短 C. 三角形两边之差小于第三边 D. 三角形的稳定性 4. 把分成两个面积相等的和，则是的（ ） A. 角平分线 B. 高线 C. 中线 D. 中垂线 5. 如图，某同学做了一个角平分仪，其中，将仪器上的点与的顶点重合，调整和，使它们分别落在角的两边上，过点画一条射线就是的平分线．此角平分仪的画图原理是（ ） A. B. C. D. 6. 数形结合是初中数学重要的思想方法，下图就是用几何图形描述了一个重要的数学公式，这个公式是（　　） A. a﹣b＝（a+b）（a﹣b） B. （a﹣b）＝a﹣2ab+b C. a（a﹣b）＝a﹣ab D. （a﹣b）＝a﹣b 7. 下列计算中，正确的个数有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 8. 如图，是的角平分线，于点E，的面积为15，，，则的长为（ ） A. 5 B. 8 C. 7 D. 6 9. 如果规定表示单项式，表示多项式，则计算的结果是（ ） A. B. C. D. 10. 如图1，已知和关于直线对称；在射线上取点E，连接，，如图2；在射线上取点F连接，，如图3，依此规律，第n个图形中全等三角形的对数是（　　） A. n B. C. D. 二、填空题 11. 一个正多边形的内角和为，则这个多边形的边数是_____． 12. 分解因式：___________． 13. 如果，（，是正整数），那么_____，_____． 14. 如图，已知四边形中，厘米，厘米，厘米，，点为的中点，如果点在线段上以2厘米/秒的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动．当点的运动速度为_____厘米/秒时，能够使与全等． 15. 如图，在中，，、分别平分外角、内角，以下结论：；；平分；；，其中正确的结论是___________(填序号)． 三、解答题 16. 先化简，再求值：其中． 17. 如图，点B、E、C、F在同一直线上，，，，求证：． 18. 如图，在中，，，点是边上的一点，将沿折叠，点恰好落在边上的点处． （1）填空： 度； （2）求的大小． 19. 已知，， （1）求的值（结果用含a，b的代数式表示）； （2）已知，求的值． 20. 已知：如图，在、中，，，，点、、三点在同一直线上，连接. （1）求证：； （2）请判断、有何大小、位置关系，并证明． 21. 在当今“互联网＋”时代，有一种用“因式分解法”生成密码的方法：将一个多项式因式分解，如将多项式分解结果为．当时，，，此时可得到数字密码201921，或者是192021 （1）根据上述方法，当，时，对于多项式分解因式后可以形成哪些数字密码（写出两个即可）？ （2）将多项式因式分解后，利用题目中所示的方法，当时可以得到密码101213，求，的值． 22. 为了测量一条两岸平行的河流宽度（跨河测量困难），三个数学小组开展了课题研究．他们在河西岸的点B处，利用工具测得河东岸的一棵树底部A点恰好在点B的正东方向，进而设计出了不同的测量方案，具体如表： 课题 测量河流宽度 工具 测量角度的仪器（仪器的高度忽略不计）、标杆、皮尺 小组 第一小组 第二小组 第三小组 测量方案 如图1，从点B向正南方向走到点C，此时恰好测得． 如图2，从点B向正南方向走到点D，O是的中点，继续从点D沿垂直于的方向走，直到点A，O，E在一条直线上． 测量方案示意图 （1）由第一小组的方案可知，河宽的长度就是线段 的长度； （2）第二小组在实际测量中，从点D走到点F处时发现前方有大石头挡路（如图4），他们商议后决定改变路线，向右转一个等于的角度，继续前行至点H，满足点A，O，H在一条直线上且点H在左侧．他们认为只要测得和的长就可求出河宽的长，你认为他们的方案是否可行．如果可行，请给出证明；如果不可行，请说明理由； （3）请你代表第三小组设计一个测量方案，把测量方案和测量方案示意图填入表格，然后指明你画的示意图中，只要测出哪条线段的长，就能推算出河宽AB长，并证明方案的可行性． 23. 在平面直角坐标系中，已知点，，连接． （1）如图①，动点在轴负半轴上，且交于点、交于点，求证：． （2）如图，在（1）的条件下，连接，求证：． （3）如图③，E为的中点，动点G在轴上，，，连接，作交轴于F，猜想，、之间的数量关系，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026年广东省中山市纪中三鑫凯茵学校 八年级上学期数学开学考 一、单选题 1. 中国茶文化源远流长，在下列有关茶的标识中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的知识，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，熟练掌握轴对称图形的概念，是解题的关键． 【详解】解：A、沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，故是轴对称图形，符合题意； B、沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能够互相重合，故不是轴对称图形，不符合题意； C、沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能够互相重合，故不是轴对称图形，不符合题意； D、沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能够互相重合，故不是轴对称图形，不符合题意； 故选：A． 2. 三角形的三边分别为3、、5，则的取值范围是（ ） A. B. 0 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系，熟练掌握三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边是解题的关键． 直接根据三角形的三边关系确定a的取值范围． 【详解】解：∵三角形的三边分别为3、、5， ∴的取值范围是，即． 故选A． 3. 港珠澳大桥是目前世界最长的跨海大桥，主桥为三座大跨度钢结构斜拉式大桥，斜拉式大桥采用三角形结构，使其不易变形，这种做法的几何原理是（ ） A. 三角形两边之和大于第三边 B. 垂线段最短 C. 三角形两边之差小于第三边 D. 三角形的稳定性 【答案】D 【解析】 【分析】利用三角形的稳定性求解即可． 【详解】港珠澳大桥是目前世界最长的跨海大桥，主桥为三座大跨度钢结构斜拉式大桥，斜拉式大桥采用三角形结构，使其不易变形，这种做法的依据是：三角形的稳定性． 故选D． 【点睛】题主要考查了三角形的稳定性，解题的关键是熟记三角形的稳定性． 4. 把分成两个面积相等的和，则是的（ ） A. 角平分线 B. 高线 C. 中线 D. 中垂线 【答案】C 【解析】 【分析】利用三角形面积公式即可求解． 【详解】解：设点A到边上的高为h，则，， ∵， ∴， ∴是的中线． 故选：C． 5. 如图，某同学做了一个角平分仪，其中，将仪器上的点与的顶点重合，调整和，使它们分别落在角的两边上，过点画一条射线就是的平分线．此角平分仪的画图原理是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是本题的关键．由“”可证，可得，可证就是的平分线，即可求解． 【详解】解：在和中， ， ， ， 是的平分线， 故选：B． 6. 数形结合是初中数学重要的思想方法，下图就是用几何图形描述了一个重要的数学公式，这个公式是（　　） A. a﹣b＝（a+b）（a﹣b） B. （a﹣b）＝a﹣2ab+b C. a（a﹣b）＝a﹣ab D. （a﹣b）＝a﹣b 【答案】A 【解析】 【分析】分别表示出图1和图2中的阴影面积，二者相等，比较各选项，即可求解. 【详解】图1中阴影部分面积等于大正方形的面积a2，减去小正方形的面积b2，即a2﹣b2； 图2中阴影部分为长等于（a+b），宽等于（a﹣b）的长方形，其面积等于（a+b）（a﹣b）， 二者面积相等，则有a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）． 比较各选项，可知只有A符合题意． 故选：A． 【点睛】此题主要考查了平方差公式的几何背景，熟练掌握通过不同的方法计算同一个图形的面积来证明一些公式的方法，利用数形结合是解题的关键． 7. 下列计算中，正确的个数有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了单项式乘以（除以）单项式，平方差公式，多项式除以单项式，根据单项式乘以（除以）单项式，平方差公式，多项式除以单项式运算法则逐一排除即可，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：故运算正确，符合题意； 故运算错误，不符合题意； 故运算错误，不符合题意； 故运算错误，不符合题意； 综上可知：运算正确，共个， 故选：． 8. 如图，是的角平分线，于点E，的面积为15，，，则的长为（ ） A. 5 B. 8 C. 7 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质，三角形的面积，过点作于，由角平分线的性质定理得出，然后利用的面积公式列式计算即可得解，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键． 【详解】如图，过点作于， ∵是的角平分线，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 9. 如果规定表示单项式，表示多项式，则计算的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了单项式乘以多项式，根据新定义和单项式乘以多项式法则计算即可． 【详解】解：根据题意，， 故选：D． 10. 如图1，已知和关于直线对称；在射线上取点E，连接，，如图2；在射线上取点F连接，，如图3，依此规律，第n个图形中全等三角形的对数是（　　） A. n B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了三角形全等的判定以及规律的归纳，解题的关键是根据条件证出图形中有几对三角形全等，然后寻找规律．根据条件可得图1中有1对三角形全等；图2中可证出，，有3对三角形全等；图3中有6对三角形全等，根据数据可分析出第n个图形中全等三角形的对数． 【详解】解：∵和关于直线对称， ∴，， 在与中， ， ∴． ∴图1中有1对三角形全等； 同理图2中，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴图2中有对三角形全等； 同理：图3中有对三角形全等； 由此发现：第n个图形中全等三角形的对数是． 故选：C． 二、填空题 11. 一个正多边形的内角和为，则这个多边形的边数是_____． 【答案】12 【解析】 【分析】本题主要考查了多边形内角和定理的应用．根据多边形内角和定理，列方程解答出即可． 【详解】解：设这个正多边形的边数为n， 根据正多边形内角和定理得， ， 解得． 故答案为：12． 12. 分解因式：___________． 【答案】 【解析】 【分析】先提取公因式，再根据平方差公式分解因式即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了分解因式，熟知分解因式的方法是解题的关键． 13. 如果，（，是正整数），那么_____，_____． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】运用幂的乘方与同底数幂的乘法法则，将所求式子转化为含已知条件的形式，再代入计算． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 14. 如图，已知四边形中，厘米，厘米，厘米，，点为的中点，如果点在线段上以2厘米/秒的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动．当点的运动速度为_____厘米/秒时，能够使与全等． 【答案】2或3 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定，根据题意，分两种情况：当时，与全等，或时，与全等，分别求解即可. 【详解】解：设点运动时间为秒，则，， ， 当时，与全等， 此时，， 解得， ， 此时，点的运动速度为（厘米/秒）， 当时，与全等， 此时，， 解得， 点的运动速度为（厘米/秒）． 故答案为：2或3． 15. 如图，在中，，、分别平分外角、内角，以下结论：；；平分；；，其中正确的结论是___________(填序号)． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义，等腰三角形的性质与判定；根据角平分线的定义得出，结合已知得出，进而证明，即可判断①，根据平行线的性质以及角平分线的定义得出，即可判断②，延长到，根据平行线的性质以及角平分线的定义，等腰三角形的性质与判定，逐项分析判断③④⑤，即可求解． 【详解】解：平分， ， ，， ， ，故正确； ， ， 平分，， ， ， ，故正确； 在中，， 如图，延长到， ， ，， 平分， ， ， ， ， ， ， ， 平分的外角， ， ，，， ，， ， ， ， ， ，故正确； 平分， ， ，， 不等于，故错误； ，， ， ， ， ，故正确， 正确的结论是， 故答案为：． 三、解答题 16. 先化简，再求值：其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了整式的混合运算，熟练掌握完全平方公式和平方差公式是解题的关键． 分别利用完全平方公式和平方差公式进行计算，再进行合并，然后代入求值即可． 【详解】解： ， ∴当时，原式 17. 如图，点B、E、C、F在同一直线上，，，，求证：． 【答案】 证明：∵， ∴，即， 在和中， ， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定定理，由得出，再利用证明即可，熟练掌握全等三角形的判定定理是解此题的关键． 【详解】略 18. 如图，在中，，，点是边上的一点，将沿折叠，点恰好落在边上的点处． （1）填空： 度； （2）求的大小． 【答案】（1）90 （2） 【解析】 【分析】本题考查了折叠的性质，三角形内角和定理，邻补角，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）由折叠可知，又，进而可得出结论； （2）由三角形内角和可得，由折叠可知，，所以，进而可得度数． 【小问1详解】 解：由折叠可知 故答案为：90； 【小问2详解】 解：由折叠可知， 在中， 在中，， 19. 已知，， （1）求的值（结果用含a，b的代数式表示）； （2）已知，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据积的乘方和幂的乘方的逆运算法则求解； （2）根据积的乘方和幂的乘方的逆运算列方程求解即可． 【小问1详解】 解：∵，， ∴ ； 【小问2详解】 解：∵， ∴，即， ∴， ∴． 【点睛】本题考查积的乘方和幂的乘方，熟练掌握运算法则及其逆运算是解答的关键． 20. 已知：如图，在、中，，，，点、、三点在同一直线上，连接. （1）求证：； （2）请判断、有何大小、位置关系，并证明． 【答案】（1）证明见解析； （2），且，证明见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定， （1）先说明，再根据“边角边”可得答案； （2）根据全等三角形的性质得，再说明,可得答案． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， 即. 在和中， ， ∴； 【小问2详解】 ，且，证明如下： 证明：∵， ∴. ∵， ∴， ∴， 即． 21. 在当今“互联网＋”时代，有一种用“因式分解法”生成密码的方法：将一个多项式因式分解，如将多项式分解结果为．当时，，，此时可得到数字密码201921，或者是192021 （1）根据上述方法，当，时，对于多项式分解因式后可以形成哪些数字密码（写出两个即可）？ （2）将多项式因式分解后，利用题目中所示的方法，当时可以得到密码101213，求，的值． 【答案】（1）可得到数字密码或．（答案不唯一） （2）， 【解析】 【分析】（1）由题干方法对其分解因式即可得出答案； （2）依题意，x的最高次项系数为1，因为时，密码为，所以，，所以 ，求出m，n的值即可． 【小问1详解】 解：， 当，时，，， 可得到数字密码或．（答案不唯一） 【小问2详解】 解：当时，密码为，且的系数是， 由（1）知，， ， 解得：，． 【点睛】本题主要考查了因式分解的应用及自定义题型的做法，第（2）小题考查了对题干的理解及逆向思维的运用． 22. 为了测量一条两岸平行的河流宽度（跨河测量困难），三个数学小组开展了课题研究．他们在河西岸的点B处，利用工具测得河东岸的一棵树底部A点恰好在点B的正东方向，进而设计出了不同的测量方案，具体如表： 课题 测量河流宽度 工具 测量角度的仪器（仪器的高度忽略不计）、标杆、皮尺 小组 第一小组 第二小组 第三小组 测量方案 如图1，从点B向正南方向走到点C，此时恰好测得． 如图2，从点B向正南方向走到点D，O是的中点，继续从点D沿垂直于的方向走，直到点A，O，E在一条直线上． 测量方案示意图 （1）由第一小组的方案可知，河宽的长度就是线段 的长度； （2）第二小组在实际测量中，从点D走到点F处时发现前方有大石头挡路（如图4），他们商议后决定改变路线，向右转一个等于的角度，继续前行至点H，满足点A，O，H在一条直线上且点H在左侧．他们认为只要测得和的长就可求出河宽的长，你认为他们的方案是否可行．如果可行，请给出证明；如果不可行，请说明理由； （3）请你代表第三小组设计一个测量方案，把测量方案和测量方案示意图填入表格，然后指明你画的示意图中，只要测出哪条线段的长，就能推算出河宽AB长，并证明方案的可行性． 【答案】（1） （2）第二小组的方案可行，证明见解析 （3）详见解析 【解析】 【分析】本题主要考查全等三角形的应用，等腰三角形的判定和性质理解题意，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键． （1）根据已知条件可判定是等腰直角三角形，据此可得河宽的长度就是线段的长度； （2）延长交的延长线于点E，，先证明得，，，设，则，，再根据可求出，由此得，则，进而，据此可得出答案； （3）观测者从B点向正西走到C点，使用测量角度的仪器测得，交延长线于D，河宽的长等于线段的长，证明即可． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴河宽的长度就是线段的长度． 故答案为：； 【小问2详解】 解：第二小组的方案可行，证明如下： ∵点A，O，H在一条直线上且点H在左侧， ∴延长交的延长线于点E，如图4所示： ∵O是的中点，，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴，， 设，则， 又∵， ∴在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故第二小组的方案可行． 【小问3详解】 解：第三小组的设计方案是： 观测者从B点向正北走到C点，使用测量角度的仪器测得，交延长线于D， 此时线段的长就是河宽长，理由如下： ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴河宽的长等于线段的长． 23. 在平面直角坐标系中，已知点，，连接． （1）如图①，动点在轴负半轴上，且交于点、交于点，求证：． （2）如图，在（1）的条件下，连接，求证：． （3）如图③，E为的中点，动点G在轴上，，，连接，作交轴于F，猜想，、之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）见详解 （2）见详解 （3）当点在线段上时，．当点在线段的延长线上时，， 【解析】 【分析】（1）欲证明已经有一边，一角相等，只要证明即可． （2）如图②中，过分别作于点，作于点，由，推出．因为，，推出平分，由此即可证明． （3）结论：当点在线段上时，．当点在线段的延长线上时，，分两种情况讨论，连接，证明，推出即可． 【小问1详解】 证明：如图①中， 即， ， ． 在与中， ， ， 【小问2详解】 证明：过分别作于点，作于点，如图②． 由（1）中结论，得， 在与中， ， ， ． ，， 平分， ， ， ． 【小问3详解】 结论：当点在线段上时，． 当点在线段的延长线上时，， 当点在线段上时，理由如下：连接，如图： ，，为的中点， ，，， ， 即， ， ， 在与中， ， ， ， ， ． 当点在线段的延长线上时，理由如下：连接，如图： ，，为的中点， ，，， ， 即， ， ， 在与中， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查三角形综合题、全等三角形的判定和性质、角平分线的判定定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $