精品解析：贵州省天柱民族中学2025-2026学年高一分班选拔性考试数学试题

天柱民族中学2025-2026学年分班选拔性考试 高一数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. . D. 2. 已知命题，则否定为（ ） A. B. C. D. 3. 已知，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 4. 设、、、，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若且，则 D. 若，则 5. 将函数的图象向右平移个单位后，得到函数的图象，则函数的图象的一条对称轴是（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数的值域为，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数的图象经过点，若在区间上具有单调性，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，则关于x的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列函数中，既是奇函数又在区间上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知正数满足，则（ ） A. 最大值为 B. 的最小值为 C. 的最小值为10 D. 的最大值为 11. 已知函数的定义域为，，若，且不恒为，则（ ） A. B. 的图象关于直线对称 C. 为奇函数 D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在平面直角坐标系中，角的顶点为坐标原点，始边为轴的非负半轴，已知的终边与单位圆在第二象限交于点，则____________. 13. 经科学研究，地震时释放出的能量E（单位：焦耳）与地震里氏级M之间有关系为，2011年某海域发生里氏9.0级地震，它所释放出来的能量是2008年5月12日我国汶川发生里氏8.0级地震的___________倍. 14. 已知函数 若函数有两个不同的零点，且，则实数的取值范围是_________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15 已知函数. （1）若解集为，求不等式的解集； （2）若且在上恒成立，求实数的取值范围. 16. 函数的部分图象如图所示. （1）求的解析式与单调递增区间； （2）求的解集； （3）关于的方程在区间上有两个解、且，求. 17. 已知函数 （1）计算，的值； （2）判断函数在上单调性，并根据定义证明你的判断； （3）函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是为奇函数，依据上述结论，证明：的图象成中心对称图形，并求其对称中心. 18. 高中数学中“万能公式”因其用半角的正切表示正弦、余弦、正切，而被我们称之为“万能”，例如：，根据以上数学变形转换方法，运用类比的方法解答下题． （1）试推导，； （2）试求函数的取值范围； （3）试求函数的取值范围． 19. 对于函数，若在定义域内存在实数，满足，则称为上的“局部奇函数”. （1）判断函数是否为上的“局部奇函数”，请说明理由； （2）若定义在区间上的函数为“局部奇函数”，求实数的取值范围； （3）若函数为上的“局部奇函数”，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 天柱民族中学2025-2026学年分班选拔性考试 高一数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. . D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据交集的定义计算即可. 【详解】由于，，则. 故选：D 2. 已知命题，则的否定为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据存在量词命题的否定可得出结论. 【详解】由题意可知，命题为存在量词命题， 该命题的否定为：. 故选：D. 3. 已知，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先利用指数函数的单调性比较 与的大小及范围，再利用对数函数的单调性判断 与 的大小关系，进而得出三者的大小关系. 【详解】因为，，，所以. 故选：A. 4. 设、、、，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若且，则 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【分析】利用特殊值法可判断AD选项；利用指数函数的单调性可判断B选项；利用不等式的基本性质可判断C选项. 【详解】对于A选项，取，则，A错； 对于B选项，因为指数函数在上为减函数， 因为，则，B错； 对于C选项，若且，则，由不等式的基本性质得，C对； 对于D选项，取，，则，D错. 故选：C. 5. 将函数的图象向右平移个单位后，得到函数的图象，则函数的图象的一条对称轴是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用三角函数图象变换求得函数的解析式，然后利用正弦型函数的性质求出的对称轴，逐一验证即可. 【详解】由题可知，， 令，得， 取，得，故A正确； 不存在使得等于，故B、C、D错误. 故选：A. 6. 已知函数的值域为，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】可得出时，，然后根据的值域为可得出，从而得出时，，从而可得出，从而解出的范围即可． 【详解】当时，， ∵的值域为，∴，即， ∴时，， ∴，解得，又因为，所以， ∴实数的取值范围是． 故选：B． 7. 已知函数的图象经过点，若在区间上具有单调性，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据函数经过的点确定的值，然后由的范围结合正弦函数的单调性求解. 【详解】由条件，因为，则， 又在上单调递增，于是， 则，解得. 故选：A. 8. 已知函数，则关于x的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】通过构造函数，分析其奇偶性与单调性，再将不等式转化为关于的不等式，最后利用函数性质求解. 【详解】令，因为所以的定义域为R，则． 因为，所以为奇函数． 函数，，在R上均为增函数，在定义域上为增函数， 所以根据复合函数的单调性，可得在R上为增函数． 等价于，即， 则，即， 解得或，则关于x的不等式的解集为． 故选：D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列函数中，既是奇函数又在区间上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用奇偶性、单调性的定义和初等函数单调性依次判断各个选项即可. 【详解】在A选项中，的定义域为，关于原点对称，，满足奇函数的定义，所以是奇函数，任取，，且， 则 ，由于，所以有， 而恒成立，因此，即， 所以在区间上单调递增， 在B选项中，的定义域为，关于原点对称，，满足奇函数的定义，所以是奇函数，任取，，且， 则， ， 由于，有，且，所以，即. 所以，所以， 所以在区间上单调递减， 在C选项中，的定义域为，关于原点对称，，满足奇函数的定义，所以是奇函数，任取，，且， 则， 由于指数函数单调递增，，所以，所以， 又因为单调递减，，即，所以，所以， 因此，所以， 所以在区间上单调递增， 在D选项中，的定义域为，关于原点对称， ，所以是奇函数， 由正切函数的性质可知，在上单调递增，区间，所以在区间上单调递增. 故选：ACD. 10. 已知正数满足，则（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为 C. 的最小值为10 D. 的最大值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于B，利用二次函数最值判断；对于A,C,D选项，利用基本不等式依次判断即可. 【详解】对于A，正数满足，则，即， 当且仅当时，取得最大值，A正确； 对于B，正数满足，则，， 当时，取得最小值，B正确； 对于C，正数满足，则， 当且仅当，即时取等号，则的最小值为9，故C错误； 对于D，，由A知，， 当且仅当时取等号，的最大值为，故D正确； 故选：ABD 11. 已知函数的定义域为，，若，且不恒为，则（ ） A. B. 的图象关于直线对称 C. 为奇函数 D. 【答案】AD 【解析】 【分析】令求出的值，可判断A选项；利用可判断C选项；令，可推导出函数是周期为的周期函数，计算、、、的值，可判断BD选项. 【详解】对于A选项，令，可得， 因为不恒为，所以，选项A正确； 对于C选项，因为函数的定义域为，且，故函数不是奇函数，选项C错误； 对于BD选项，若，令，有， 于是，所以， 因此是周期为的周期函数， 此时，，， 因为，选项B错误， 因为， 故，选项D正确， 故选：AD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在平面直角坐标系中，角的顶点为坐标原点，始边为轴的非负半轴，已知的终边与单位圆在第二象限交于点，则____________. 【答案】## 【解析】 【分析】本题需要先根据点在单位圆上求出值，再利用三角函数的定义求出. 【详解】因为点在单位圆上，代入可得：， 解得，又因为点在第二象限，所以， 则，因此. 故答案为： 13. 经科学研究，地震时释放出的能量E（单位：焦耳）与地震里氏级M之间有关系为，2011年某海域发生里氏9.0级地震，它所释放出来的能量是2008年5月12日我国汶川发生里氏8.0级地震的___________倍. 【答案】 【解析】 【分析】设对应的能量为，对应的能量为，将和代入，分别求出和，求出即可得解. 【详解】， 当时，， ，， 当时，， ，， . 故答案为：. 14. 已知函数 若函数有两个不同的零点，且，则实数的取值范围是_________. 【答案】 【解析】 【分析】令，转化为函数的图象与直线有两个交点，即可求解． 【详解】由， 得， 令， 转化为函数的图象与直线有两个交点，其横坐标分别为， 则， 因为当时，两根分别为，所以不满足题意， 所以， 得， 因为， 所以，得， 由，得， 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数. （1）若的解集为，求不等式的解集； （2）若且在上恒成立，求实数取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用不等式的解集，结合一元二次方程根与系数的关系列式求出，再代入求解不等式. （2）求出的关系，再由表示并利用一元二次不等式恒成立列式求解. 【小问1详解】 不等式，由不等式的解集为， 得且的两根为，则，解得， 不等式为，即，即， 解得，所以不等式的解集为. 【小问2详解】 由，得，将代入， 得对任意的恒成立， （i）当，即时，不等式变为恒成立，满足题意； （ii）当，即时，则，解得； 综上所述，实数的取值范围 16. 函数的部分图象如图所示. （1）求的解析式与单调递增区间； （2）求的解集； （3）关于的方程在区间上有两个解、且，求. 【答案】（1），单调递增区间为 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由函数的图象可得出的值，该函数的最小正周期，可求得的值，再由结合的取值范围可得出的值，结合正弦型函数的单调性可求出函数的单调递增区间； （2）由可得出，可得出关于的不等式，即可解得原不等式的解集； （3）由对称性得出，分析可知，利用同角三角函数的基本关系可求出的值，再由诱导公式可求得的值. 【小问1详解】 由函数的部分图象可知， 函数的最小正周期满足，于是，所以， 所以函数， 又，则，所以， 解得，由可得，所以. 令，解得， 故单调递增区间为. 【小问2详解】 由得， 可得，解得， 故的解集为. 【小问3详解】 当时，则，因为、，则、， 由于，所以， 所以，所以， 因为，所以， 则， 因此. 17. 已知函数 （1）计算，的值； （2）判断函数在上的单调性，并根据定义证明你的判断； （3）函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是为奇函数，依据上述结论，证明：的图象成中心对称图形，并求其对称中心. 【答案】（1） （2）函数在上单调递减，证明见解析 （3）证明见解析， 【解析】 【详解】（1）. （2）函数在上单调递减.证明如下： 由条件.任取，且， 因为，所以， 所以，即，故函数在上单调递减. （3）证明：设，则. 因为函数定义域为，且， 所以为奇函数，图象关于原点对称，故的图象关于点成中心对称图形. 18. 高中数学中“万能公式”因其用半角的正切表示正弦、余弦、正切，而被我们称之为“万能”，例如：，根据以上数学变形转换方法，运用类比的方法解答下题． （1）试推导，； （2）试求函数的取值范围； （3）试求函数的取值范围． 【答案】（1），． （2） （3）． 【解析】 【分析】（1）利用同角三角函数关系式化简得证； （2）利用换元法设，求解的值域． （3）利用换元法设，，转化为关于的二次函数，分类讨论计算求得函数值域． 【小问1详解】 ， ． 小问2详解】 已知，设， 则，即的取值范围为． 【小问3详解】 设，又，， 代入可得，整理得， ①当时，，， ②当时，由方程有解可得，即， 解得，综上，的取值范围为． 19. 对于函数，若在定义域内存在实数，满足，则称为上的“局部奇函数”. （1）判断函数是否为上的“局部奇函数”，请说明理由； （2）若定义在区间上的函数为“局部奇函数”，求实数的取值范围； （3）若函数为上的“局部奇函数”，求实数的取值范围. 【答案】（1）是，理由见解析 （2） （3）. 【解析】 【分析】（1）根据“局部奇函数”的定义列出关于的方程，然后根据方程解的情况判断是否为“局部奇函数”. （2）研究方程的解的情况，确定的取值范围. （3）研究方程的解的情况，确定的取值范围. 【小问1详解】 若为“局部奇函数”，则存在，满足. 即，解得， 因此方程有解， 所以函数为上的“局部奇函数”. 小问2详解】 （i）当时，， 此时， 于是， 当时， 有，因此. （ii）当时， ， 此时方程无解，不满足题意. （iii）当时，， 此时，于是. 当时， 有， 因此. 综上所述，实数的取值范围为. 【小问3详解】 由题意，方程在上有解. 即在上有解. 即在上有解. 记，此时. 于是在区间上有解，记. （i）当时， 在区间上有解. 由，有，解得. （ii）当时，方程在区间上有解. 当且仅当， 解得. 综上所述，实数的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $