专题09 反比例函数中与面积相关的几何模型（几何模型讲义）（江苏专用）2026年中考数学一轮复习几何模型系列

该初中数学中考复习讲义聚焦“反比例函数中与面积相关的几何模型”专题，针对中考高频考点k的几何意义及面积综合问题，构建“真题现模型-提炼模型-模型运用”的复习框架，通过考点梳理（汇总模型特点与结论）、方法指导（割补法等解题要点）、真题训练（典例解析与分层练习），帮助学生系统突破难点。 亮点在于以几何直观和推理意识为核心，通过表格对比基本模型与演变模型，结合2024-2025年中考真题（如江苏镇江、山东泰安等）演示面积计算方法，设计从选择到综合解答的分层练习，确保学生高效掌握解题技巧，教师可依此精准把控复习节奏，提升学生解题效率与应考能力。

专题09 反比例函数中与面积相关的几何模型 反比例函数中与面积相关的几何模型将抽象的函数表达式与直观的图形面积联系起来，它是初中数学数形结合思想的典型体现，能让学生学会从代数与几何两个角度分析问题，提升几何直观与逻辑推理能力。掌握这些模型，核心意义在于帮助学生深刻理解比例系数k的几何意义，不仅可以简化计算、快速解决中考中高频出现的面积与坐标综合问题，提高解题效率与准确率，还能，为后续更复杂的函数学习奠定思维基础，真正实现教学由重视“知识技能的培养”到“核心素养提升”的转变。 1 真题现模型 1 提炼模型 4 模型运用 6 11 1.（2024·江苏镇江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，一次函数的图像与x轴、y轴交于、B两点，与反比例函数（）的图像交于点． (1)求和的值； (2)已知四边形是正方形，连接，点在反比例函数（）的图像上．当的面积与的面积相等时，直接写出点P的坐标_________． 【答案】(1)， (2)或 【分析】本题考查一次函数和反比例函数的交点，三角形的面积，关键是用待定系数法求和的值；分两种情况求的坐标． （1）把的坐标代入，即可求出，把代入，求出，把代入，求出； （2）分两种情况，由三角形面积公式，即可求解． 【详解】（1）解：一次函数的图象过， ， ， 在函数的图象上， ， 在函数图象上， ； （2）解：当时，， ， 四边形是正方形， ， 当在反比例函数的图象右半支上， 设的坐标是， 的面积与的面积相等， ， ， ， 的坐标是， 当在反比例函数的图象左半支上， 设的坐标是， 的面积与的面积相等， ， ， ， 的坐标是， 综上的坐标为或． 2.（2025·江苏镇江·二模）如图，直线与双曲线交于点和点． (1)求k、b的值； (2)写出点的坐标_____； (3)点是轴正半轴上一动点，当的面积为3时，直接写出点的坐标_____． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求函数的解析式，三角形面积，求得交点坐标是解题的关键． （1）利用待定系数法即可求解； （2）解析式联立，解方程组即可求得； （3）求得C点的坐标，然后根据求得，进一步求得M的坐标． 【详解】（1）解：∵直线与双曲线交于点， ∴，， ∴，； （2）解：联立方程组， 解得或， ∴． 故答案为：； （3）解：如图， 令，则，解得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴或． 故答案为：或． 【基本模型】 反比例函数中 k 的几何意义是中考的核心考点，它建立了比例系数 k 与几何图形面积之间的桥梁。下表汇总了最常见的模型、结论和解题要点。 图示 模型特点 反比例y=图像上有点P， 设P（x，y），则k=xy 反比例y=图像上有点A， 设A（x，y），则k=xy 反比例y=图像上有两点A、B， 【模型演变】 图示 几何语言 过原点的直线AB与反比例y=图像上有交于点A、B 设A（x，y），则k=xy 点睛：双曲线是中心对称图形，A、B关于O对称. 反比例y=图像上有两点A、B，用割补法求△AOB的面积 方法一：= 方法二：= 【典例１】（2025·山东·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，A，C两点在坐标轴上，四边形是面积为4的正方形．若函数的图象经过点，则满足的的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了正方形的性质、坐标与图形、反比例函数与不等式等知识点，掌握数形结合思想是解题的关键． 由题意可设点B的坐标为，易得，即点B的坐标为，再结合反比例函数图象即可解答． 【详解】解：∵四边形是面积为4的正方形，设点B的坐标为， ∴，解得：（已舍弃负值）． ∴点B的坐标为， ∵函数的图象经过点， ∴满足的的取值范围为． 故选A． 【典例２】（2025·北京·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，，分别是横、纵轴正半轴上的动点，四边形是矩形，函数的图象与边交于点，与边交于点（，不重合）．给出下面四个结论： ①与的面积一定相等； ②与的面积可能相等； ③一定是锐角三角形； ④可能是等边三角形． 上述结论中，所有正确结论的序号是（    ） A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数与几何综合，反比例函数的图形和性质，矩形的性质，熟练掌握反比例函数图象的性质是解题的关键．根据矩形的性质结合反比例函数的意义即可判断①②，根据等边三角形和反比例函数的对称性即可判断④，根据是反比例函数图象上的动点，可得或为钝角，即可判断③，即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴ 又∵是反比例函数图象上的动点，轴，轴， ∴ ∴，即与的面积一定相等；故①正确， 由①可得 当与的面积相等时，如图，连接， ∴ ∴在直线上，则重合， ∴与的面积不可能相等，故②不正确， ∵等边三角形和反比例函数都是轴对称图形，当且对称轴都为直线，可能是等边三角形，故④正确, 如图 当在的同侧时，可能是钝角三角形，故③错误 综上，①④正确、②③错误. 故选：B． 【典例３】（2024·陕西·中考真题）如图，点和点在同一个反比例函数的图象上，AC和BC分别垂直于x轴和y轴．若的面积为32，则k的值为 ． 【答案】15 【分析】依题意得点，则，，根据的面积为32得，即，再根据反比例函数图象上点的坐标特征得，然后解方程组求出m，n的值，进而可得k的值． 【详解】解：点，点，AC和BC分别垂直于x轴和y轴， 点C的坐标为，且， ，， 的面积为32， ， ， 整理得：， 点，点在同一个反比例函数的图象上， ， 解方程组，得：， 故答案为： 【典例４】（2025·江苏南京·二模）如图，点A，B分别在反比例函数的图象上，点为轴正半轴上一点，若平行四边形的面积是4，则的值为 ． 【答案】6 【分析】此题考查了反比例函数的图象和性质，得到，即可得到答案． 【详解】解：如图，延长交x轴于点D，连接， ∵平行四边形的面积是4， ∴ ∵点A在反比例函数的图象上， ∴， 又∵点A在反比例函数的图象上， ∴， ∴ 故答案为：6 【典例５】（2025·江苏徐州·二模）如图，四边形是菱形，点B在x轴的正半轴上，轴于点D，反比例函数的图象经过点C，若菱形的面积为20，，则k的值为 ． 【答案】12 【分析】本题主要考查了反比例函数系数的几何意义、反比例函数图象上点的坐标特征及菱形的性质，求得点的坐标是解题的关键． 根据菱形的面积为，可求出，再结合菱形的性质得出点，利用勾股定理求得，即可求得点的坐标，利用待定系数法即可解决问题． 【详解】解：∵四边形是菱形，点在轴正半轴上，轴于点，菱形的面积为， ， ， ， ∴点的坐标为， ∵反比例函数的图象经过点， ， 故答案为：12 ． 1．反比例函数如图，则矩形的面积是（　　） A．6 B． C．3 D． 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数的比例系数k的几何意义．直接设点P的坐标，表示出和，再计算矩形的面积即可． 过双曲线上任意一点向x轴、y轴引垂线，所得矩形面积为．据此解答． 【详解】解：设， ∴，， ∴． 故选：A． 2．如图，已知A是反比例函数图象上的一点，过点A作轴，垂足为B，连接，则的面积为（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数与几何求面积，解题关键是掌握反比例函数k的几何意义．结合反比例函数关系，设出点A坐标，再根据三角形面积即可求出答案． 【详解】解析：∵A为反比例函数的图象上的一点， ∴设， ∵轴，， ∴，， ∴． 故选：B． 3．如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于A，B两点，轴于点，连结交轴于点，则的面积是（   ） A． B．2 C．3 D．6 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，相似三角形的判定与性质，交点坐标满足两个函数解析式是关键． 根据反比例函数图象的中心对称性质及反比例函数的性质解答即可． 【详解】解：如图，作轴，垂足为， 根据反比例函数图象关于原点成中心对称图形， 点与点关于原点对称， ， 在和中， ， ， ， ∴， 轴， ， ， ∴， 是的中点， ∴， ， 故选：A． 4. 如图，点A，B在反比例函数的图象上，点A，B的横坐标分别是3和6，连接，则的面积是（   ） A． B．4 C． D．5 【答案】C 【分析】此题考查了反比例函数系数的几何意义，关键是掌握图象中任取一点，过这一个点向轴和轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值． 根据图象上点的坐标特征求得、的坐标，将三角形的面积转化为梯形的面积，根据坐标可求出梯形的面积即可， 【详解】解：点A，B在反比例函数的图象上，点A，B的横坐标分别是3和6，，， 作轴于，轴于， ， ， ， 故选C． 5．（2025·山东淄博·中考真题）如图，为矩形（边，分别在，轴的正半轴上）对角线上的点，且，经过点的反比例函数的图象分别与，相交于点，，连接，，，若的面积是24，则的面积为（   ） A．25 B．26 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，设A点坐标为，点C的坐标为，得到点D，E，F的坐标，然后求出和的长，然后根据三角形面积公式求出的值，再根据解答即可． 【详解】解：设A点坐标为，点C的坐标为， 则点B的坐标为，点D的坐标为， 又∵点D在反比例函数的图象上， ∴， 又∵点E，F在反比例函数的图象上， ∴点F的坐标为，点E的坐标为， ∴，， ∴， 解得， ∴ ， 故选：D． 6．（2025·黑龙江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点A、点B都在双曲线上，且点A在点B的右侧，点A的横坐标为，，则k的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征和全等三角形的判定与性质的综合运用，解一元二次方程，矩形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键； 过A作轴于M，过B作轴于D，直线与交于点N， 由等腰三角形的判定与性质得出，证出由证明，得出，，即可得出B点坐标，代入反比例函数，得到一元二次方程，解方程求解即可． 【详解】解：过A作轴于M，过B作轴于D，直线与交于点N，如图所示： 则， ∴四边形是矩形， ，，， ， ， ，， ， ， 把代入反比例函数的解析式得， ， 双曲线图象在第二象限， ， ，， ，，， ， ，， ， ， 双曲线经过B，则, ， 解得：（舍），， 故选D． 7．（2023·江苏宿迁·中考真题）如图，直线、与双曲线分别相交于点．若四边形的面积为4，则的值是（    ）    A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】连接四边形的对角线，过作轴，过作轴，直线与轴交于点，如图所示，根据函数图像交点的对称性判断四边形是平行四边形，由平行四边形性质及平面直角坐标系中三角形面积求法，确定，再求出直线与轴交于点，通过联立求出纵坐标，代入方程求解即可得到答案． 【详解】解：连接四边形的对角线，过作轴，过作轴，直线与轴交于点，如图所示：        根据直线、与双曲线交点的对称性可得四边形是平行四边形， ， 直线与轴交于点， 当时，，即， 与双曲线分别相交于点， 联立，即，则，由，解得， ，即，解得， 故选：A． 【点睛】本题考查一次函数与反比例函数综合，涉及平行四边形的判定与性质，熟练掌握平面直角坐标系中三角形面积求法是解决问题的关键． 8．（2025·江苏南通·一模）如图，平行四边形OABC的顶点在轴的正半轴上，点在对角线上，反比例函数的图象经过、两点．已知平行四边形的面积是18，则点B的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式、平行四边形的性质、三角形面积，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键． 求出反比例函数，设的解析式为，由经过，得出的解式为，设，且，由平行四边形的性质得，，则，，代入面积公式即可得出结果． 【详解】解：反比例函数的图象经过点 ， ， 反比例函数， 经过原点O， 设的解析式为， 经过点， 则， ， 的解析式为， 反比例函数经过点C， 设，且， 四边形是平行四边形， ，， 点B的纵坐标为， 的解析式为， ∴， ∴ ， ， ， ， 解得：或（舍去）， 点B的坐标是， 故选：A． 9．（2025·新疆·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于，两点，过点A作直线交x轴于点C，连接，则的面积是 ． 【答案】20 【分析】本题考查反比例函数与几何的综合应用，根据反比例函数图象上的点的横纵坐标之积为，求出的值，设，根据，利用勾股定理求出的值，进而求出的长，进而求出的面积即可． 【详解】解：∵直线与双曲线交于，两点， ∴， ∴， ∴， 设， 则：，，， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的面积是； 故答案为：20． 12． 10．（2024·广东深圳·三模）如图，在中，点C在y轴正半轴上，D是的中点，若反比例函数 的图象经过A，D 两点，且的面积为2，则 ． 【答案】/ 【分析】此题考查了反比例函数的图象和性质、平行四边形的性质，数形结合是解题的关键． 延长交点轴于，由的面积，可求，设点坐标为，可得，进而求解坐标，由中点坐标公式得到坐标，由都在反比例函数图象上列等式，即可求解． 【详解】解：如图， 延长交点轴于， 的面积为，点是的中点， 设点坐标为， ， ， ， 根据中点坐标公式可得， 都在反比例函数图象上， ， 解得， ． 故答案为：． 11．（2025·四川绵阳·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，正比例函数的图象与反比例函数的图象交于两点，点在反比例函数的图象上，且在第一象限内点的右侧，连接的面积为5． (1)求点A，B的坐标及反比例函数的解析式； (2)探究在轴上是否存在点，使得以点O，C，M，N为顶点的四边形为菱形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，反比例函数解析式为 (2)点坐标为或或或 【分析】本题主要考查了反比例函数的表达式、反比例函数与一次函数交点问题、菱形的性质等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）先求出点值，可得点坐标，进而可得反比例函数解析式，进而可得坐标； （2）先求出点坐标，进而分类讨论很容易求出点坐标． 【详解】（1）解：将代入得，， 解得：， ∴正比例函数表达式为， ， ∴反比例函数解析式为， ∵点关于原点对称， ， 综上，，反比例函数解析式为； （2）解：过作轴，交于点， 设，则， ， ， 解得：或（舍去）， ， 则， 当为菱形的边时，有如下三种情况： ①如图，点在点左侧， 此时轴，且， ； ②如图，此点在点右侧， 此时轴，且， ； ③如图，为对角线， 此时点与点关于轴对称，则； 当为菱形的对角线时，如下有一种情况： 过作轴于点， 设，则， 在中，， 解得， ， ， 综上，点坐标为或或或． 12．（2025·四川攀枝花·中考真题）如图，函数和的图象相交于A、B两点． (1)点的坐标为__________，点的坐标为__________； 观察图象，不等式的解集为__________； (2)若轴上存在点，使，求点的坐标． 【答案】(1)，，或； (2)或 【分析】（1）联立方程组，解方程组求出A，B坐标，再利用图象求出不等式的解集即可； （2）将的面积转化为两个三角形的面积之和即可． 本题主要考查反比例函数与一次函数图象交点，函数与不等式的关系，三角形的面积等，能利用数形结合的思想是解题的关键． 【详解】（1）解：联立方程组得， 解得或’ ∴A点的坐标为，B点的坐标为， 观察图象，找出函数的图象在的图象上边位置时x的取值范围， ∴不等式的解集为或． 故答案为：，，或； （2）解：设与y轴的交点为M， 令时，， 则点M的坐标为， 设C点的坐标为， 由题意知， ， 解得， 当时，解得， 当时，解得， ∴点C的坐标为或． 13．（2024·甘肃甘南·中考真题）如图，反比例函数与一次函数的图象交于点，轴于点D，分别交反比例函数与一次函数的图象于点B、C． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)连接，若，求的面积． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数的交点问题，涉及待定系数法求函数解析式等知识点，正确求出函数解析式是解题的关键． （1）将点A坐标分别代入两个解析式得到k、m值即可； （2）将分别代入两个解析式求出点B、C坐标，根据三角形面积公式计算即可． 【详解】（1）解：∵点在反比例函数图象上， ∴， ∴反比例函数解析式为：， ∵的图象过点， ∴，解得， ∴一次函数解析式为：． （2）解：∵轴于点D，， ∴， ∴将代入得， ∴， 将代入得， ∴， ∴， ∴． 14．（2025·青海·中考真题）如图，直线与轴交于点，与轴交于点，与反比例函数（为常数）的图象在第二象限交于点． (1)求反比例函数的解析式； (2)求的面积． 【答案】(1)； (2)． 【分析】此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，待定系数法求函数解析式，三角形的面积求法，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． （）先由点代入求出点的坐标为，然后代入即可求解； （）过点作轴于点，然后求出，，再由即可求解． 【详解】（1）解：把点代入中得， ∴， ∴一次函数解析式为， 把点代入中， 得， ∴点的坐标为， 把代入中， 得，， ∴反比例函数解析式为； （2）解：过点作轴于点， ∵， ∴， 把代入得，， ∴， ∴， ∴． 15．（2024·湖北·中考真题）如图，一次函数的图象与x轴交于点，与反比例函数（k为常数，）的图象在第一象限的部分交于点． (1)求m，n，k的值； (2)若C是反比例函数的图象在第一象限部分上的点，且的面积小于的面积，直接写出点C的横坐标a的取值范围． 【答案】(1)，， (2) 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，交点坐标满足两个函数解析式是关键． （1）把点坐标代入求出，得到直线解析式，再把点坐标代入直线解析式求出，把点坐标代入反比例函数解析式求出值即可； （2）根据题意，列出不等式，解答即可． 【详解】（1）解：把点坐标代入得：， 解得， 直线解析式为， 把点坐标代入直线解析式得， 解得， 把点坐标代入反比例函数解析式得：， 解得， （2）∵ 反比例函数解析式为， 的面积小于的面积， ，即， 点在反比例函数图象上，且在第一象限， ， ． 16．（2024·山东泰安·中考真题）直线与反比例函数的图象相交于点，，与轴交于点． (1)求直线的表达式； (2)若，请直接写出满足条件的的取值范围； (3)过点作轴的平行线交反比例函数的图象于点，求的面积． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】本题主要考查反比例函数与一次函数的交点问题、根据函数图像求不等式解集、三角形的面积等知识点，掌握运用待定系数法求解析式及数形结合思想是解题的关键． （1）分别将点、点代入，求出m、n的值，再分别代入中即可解答； （2）根据函数图像确定不等式的解集即可； （3）先把代入中，求出点D的坐标，再根据三角形的面积公式计算即可． 【详解】（1）解：分别将点、点代入中，可得：，，解得：，， 点坐标为，点坐标为， 把A点坐标，点坐标分别代入,可得，解得： ， 一次函数表达式为． （2）解：∵直线与反比例函数的图象相交于点， ∴由图象可知，当时，或． （3）解：把时代入中，得， 点坐标为，即， ． 17．（2024·江苏连云港·中考真题）如图1，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与反比例函数的图像交于点A、B，与轴交于点C，点A的横坐标为2． (1)求的值； (2)利用图像直接写出时的取值范围； (3)如图2，将直线沿轴向下平移4个单位，与函数的图像交于点D，与轴交于点E，再将函数的图像沿平移，使点A、D分别平移到点C、F处，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1) (2)或 (3)8 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的综合应用： （1）先求出点坐标，再将点代入一次函数的解析式中求出的值即可； （2）图像法求不等式的解集即可； （3）根据平移的性质，得到阴影部分的面积即为的面积，进行求解即可． 【详解】（1）点在的图像上， 当时，． ∴， 将点代入，得． （2）由（1）知：， 联立，解得：或， ∴； 由图像可得：时的取值范围为：或． （3）∵， ∴当时，， ∴， ∵将直线沿轴向下平移4个单位， ∴，直线的解析式为：，设直线与轴交于点H ∴当时，，当时，， ∴，， ∴， ∴， 如图，过点作，垂足为， ∴． 又，， ． 连接， ∵平移， ∴，， ∴四边形为平行四边形， ∴阴影部分面积等于的面积，即． 18．（2025·江苏镇江·一模）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过点，将点B先向左平移4个单位，再向上平移个单位得到点A，点A恰好落在反比例函数的图象上，过A，B两点的直线与x轴交于点C． (1)求k，m的值及点C的坐标； (2)在x轴上有一点，连接、，求的面积． 【答案】(1)， ， (2) 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数综合． （1）把点代入求出，由题意可知点A横坐标为4，代入反比例函数解析式求出A的坐标，即可求出，设直线的解析式为，将代入求出，将代入计算即可求出点C的坐标； （2）先求出，再根据割补法计算即可． 【详解】（1）解：把点代入中，， ∴反比例函数解析式为， ∵将点B向左平移4个单位，再向上平移m个单位得到点A， ∴， 当时，， ∴， ∴， 设直线的解析式为， ∵， ， ， ， 当时，， ∴； （2）解：∵， ∴， ． 19．（2025·江苏苏州·二模）如图，直线与轴，轴分别交于点，反比例函数的图象经过的顶点． (1)求反比例函数的表达式； (2)已知动点从点到点，同时，动点从点到点，两点均以每秒1个单位的速度运动，任一点到达终点，另一点即停止．求在此过程中，面积的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了反比例函数表达式的求解、平行四边形的性质、动点问题中三角形面积最大值的计算，解题的关键是利用平行四边形对边平行且相等的性质确定点的坐标，以及通过建立二次函数模型求面积的最大值。 （1）在中，令，则，得到点的坐标为，再根据平行四边形的性质得到,点的坐标为（6，4），代入反比例函数表达式求出，从而求解； （2）如图，过点作，垂足为点,设动点的运动时间为秒，则，用其表示出三角形的底和高，从而得到面积关于时间的函数关系式，通过求函数的最值来解决问题。 【详解】（1）解：在中，令，则． 点的坐标为， 四边形ABCD为平行四边形， ．则点的坐标为（6，4）， 将代入，得． 即反比例函数的表达式为； （2）解：如图，过点作，垂足为点, 在中，令，则．则点A的坐标为． ， 在Rt中，可得． 设动点的运动时间为秒，则， ， ， ， ．即． ． ． 面积的最大值为． 20．（2025·江苏镇江·二模）如图，一次函数图像与反比例函数图像交于点，直线与轴交于点，与轴交于点． (1)求与一次函数的函数表达式； (2)连接、，点在双曲线上，若的面积是面积的一半，求点的坐标． 【答案】(1)； (2)点的坐标为或 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的综合应用，涉及反比例函数解析式的求解、一次函数解析式的确定、三角形面积的计算等知识点．熟练掌握反比例函数和一次函数的性质，以及利用坐标求三角形面积的方法是解题的关键． （1）先利用反比例函数性质，将点坐标代入设好的反比例函数表达式，求出反比例函数的，得到反比例函数解析式．再把点坐标代入反比例函数解析式，求出的值．最后设一次函数表达式，将、两点坐标代入，通过解方程组求出一次函数的和，确定一次函数表达式． （2）先求出一次函数与轴交点的坐标，再通过算出的面积．由面积是面积的一半，结合长度，利用三角形面积公式求出点纵坐标的绝对值，进而得到纵坐标的值．最后把点纵坐标代入反比例函数解析式，求出横坐标，确定点坐标． 【详解】（1）解：设反比例函数表达式为，将代入，得， 将代入，得 ， ∴； 设一次函数表达式为，将代入得 ， ∴， 一次函数表达式为； （2）解：在中，令，则， ∴． ∵，，， ∴． ∵的面积是面积的一半， ∴． 在中，令，则，解得， ∴，． 由，即， 解得， ∴． 当时，代入，得，解得； 当时，代入，得，解得． ∴点的坐标为或 ． 21．（2025·江苏泰州·二模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与反比例函数）的图像交于，． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)延长交反比例函数图像于点C，点D在x轴正半轴上，，求的面积． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的综合，正确理解交点坐标的意义，是解题的关键． （1）利用待定系数法列式求解即可求出两个函数解析式即可； （2）根据三角形的面积公式，以为底边计算即可． 【详解】（1）∵点在反比例函数的图象上， 将代入得 ， ∴反比例函数表达式为． 把代入反比例函数， 则，即． 把，代入一次函数，得 ． 解得． ∴一次函数表达式为． （2）∵，延长交反比例函数图象于点， ∴与关于原点对称， ∴． ∵， ∴． ∵，且在轴正半轴， ∴． 过作轴于，过作轴于， 则，． ． ，． ∴． 22．（2025·江苏常州·一模）如图，平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)若过点且平行于轴的直线上有一动点，当的面积为时，求点的坐标； (3)若，请直接写出关于的不等式的解． 【答案】(1)， (2)或 (3)或 【分析】本题考查一次函数与反比例函数的交点问题，求一次函数与反比例函数解析式， （1）把代入可得反比例函数解析式；把代入反比例函数解析式求出n的值，再利用待定系数法求一次函数解析式； （2）记直线与直线的交点为，求出点C的坐标，设点，根据即可求解． （3）运用数形结合思想，得出当时，则或，即可作答． 【详解】（1）解：依题意把代入，得出， 解得， 反比例函数的解析式为：； 把代入中，得出， ， 则把和分别代入， 得出， 解得， ； （2）解：如图，记直线与直线的交点为， 当时，则 ， 是直线上的一个动点， 设点， 的面积为21， ， 即， ， 解得或， 点坐标为或． （3）解：依题意，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点． 则结合图象，当时，则或． 1/13 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09 反比例函数中与面积相关的几何模型 反比例函数中与面积相关的几何模型将抽象的函数表达式与直观的图形面积联系起来，它是初中数学数形结合思想的典型体现，能让学生学会从代数与几何两个角度分析问题，提升几何直观与逻辑推理能力。掌握这些模型，核心意义在于帮助学生深刻理解比例系数k的几何意义，不仅可以简化计算、快速解决中考中高频出现的面积与坐标综合问题，提高解题效率与准确率，还能，为后续更复杂的函数学习奠定思维基础，真正实现教学由重视“知识技能的培养”到“核心素养提升”的转变。 1 真题现模型 1 提炼模型 2 模型运用 3 5 1.（2024·江苏镇江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，一次函数的图像与x轴、y轴交于、B两点，与反比例函数（）的图像交于点． (1)求和的值； (2)已知四边形是正方形，连接，点在反比例函数（）的图像上．当的面积与的面积相等时，直接写出点P的坐标_________． 2.（2025·江苏镇江·二模）如图，直线与双曲线交于点和点． (1)求k、b的值； (2)写出点的坐标_____； (3)点是轴正半轴上一动点，当的面积为3时，直接写出点的坐标_____． 【基本模型】 反比例函数中 k 的几何意义是中考的核心考点，它建立了比例系数 k 与几何图形面积之间的桥梁。下表汇总了最常见的模型、结论和解题要点。 图示 模型特点 反比例y=图像上有点P， 设P（x，y），则k=xy 反比例y=图像上有点A， 设A（x，y），则k=xy 反比例y=图像上有两点A、B， 【模型演变】 图示 几何语言 过原点的直线AB与反比例y=图像上有交于点A、B 设A（x，y），则k=xy 点睛：双曲线是中心对称图形，A、B关于O对称. 反比例y=图像上有两点A、B，用割补法求△AOB的面积 方法一：= 方法二：= 【典例１】（2025·山东·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，A，C两点在坐标轴上，四边形是面积为4的正方形．若函数的图象经过点，则满足的的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【典例２】（2025·北京·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，，分别是横、纵轴正半轴上的动点，四边形是矩形，函数的图象与边交于点，与边交于点（，不重合）．给出下面四个结论： ①与的面积一定相等； ②与的面积可能相等； ③一定是锐角三角形； ④可能是等边三角形． 上述结论中，所有正确结论的序号是（    ） A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 【典例３】（2024·陕西·中考真题）如图，点和点在同一个反比例函数的图象上，AC和BC分别垂直于x轴和y轴．若的面积为32，则k的值为 ． 【典例４】（2025·江苏南京·二模）如图，点A，B分别在反比例函数的图象上，点为轴正半轴上一点，若平行四边形的面积是4，则的值为 ． 【典例５】（2025·江苏徐州·二模）如图，四边形是菱形，点B在x轴的正半轴上，轴于点D，反比例函数的图象经过点C，若菱形的面积为20，，则k的值为 ． 1．反比例函数如图，则矩形的面积是（　　） A．6 B． C．3 D． 2．如图，已知A是反比例函数图象上的一点，过点A作轴，垂足为B，连接，则的面积为（   ） A． B．1 C． D．2 3．如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于A，B两点，轴于点，连结交轴于点，则的面积是（   ） A． B．2 C．3 D．6 4. 如图，点A，B在反比例函数的图象上，点A，B的横坐标分别是3和6，连接，则的面积是（   ） A． B．4 C． D．5 5．（2025·山东淄博·中考真题）如图，为矩形（边，分别在，轴的正半轴上）对角线上的点，且，经过点的反比例函数的图象分别与，相交于点，，连接，，，若的面积是24，则的面积为（   ） A．25 B．26 C． D． 6．（2025·黑龙江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点A、点B都在双曲线上，且点A在点B的右侧，点A的横坐标为，，则k的值为（   ） A． B． C． D． 7．（2023·江苏宿迁·中考真题）如图，直线、与双曲线分别相交于点．若四边形的面积为4，则的值是（    ）    A． B． C． D．1 8．（2025·江苏南通·一模）如图，平行四边形OABC的顶点在轴的正半轴上，点在对角线上，反比例函数的图象经过、两点．已知平行四边形的面积是18，则点B的坐标为（　　） A． B． C． D． 9．（2025·新疆·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于，两点，过点A作直线交x轴于点C，连接，则的面积是 ． 10．（2024·广东深圳·三模）如图，在中，点C在y轴正半轴上，D是的中点，若反比例函数 的图象经过A，D 两点，且的面积为2，则 ． 11．（2025·四川绵阳·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，正比例函数的图象与反比例函数的图象交于两点，点在反比例函数的图象上，且在第一象限内点的右侧，连接的面积为5． (1)求点A，B的坐标及反比例函数的解析式； (2)探究在轴上是否存在点，使得以点O，C，M，N为顶点的四边形为菱形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 12．（2025·四川攀枝花·中考真题）如图，函数和的图象相交于A、B两点． (1)点的坐标为__________，点的坐标为__________； 观察图象，不等式的解集为__________； (2)若轴上存在点，使，求点的坐标． 13．（2024·甘肃甘南·中考真题）如图，反比例函数与一次函数的图象交于点，轴于点D，分别交反比例函数与一次函数的图象于点B、C． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)连接，若，求的面积． 14．（2025·青海·中考真题）如图，直线与轴交于点，与轴交于点，与反比例函数（为常数）的图象在第二象限交于点． (1)求反比例函数的解析式； (2)求的面积． 15．（2024·湖北·中考真题）如图，一次函数的图象与x轴交于点，与反比例函数（k为常数，）的图象在第一象限的部分交于点． (1)求m，n，k的值； (2)若C是反比例函数的图象在第一象限部分上的点，且的面积小于的面积，直接写出点C的横坐标a的取值范围． 16．（2024·山东泰安·中考真题）直线与反比例函数的图象相交于点，，与轴交于点． (1)求直线的表达式； (2)若，请直接写出满足条件的的取值范围； (3)过点作轴的平行线交反比例函数的图象于点，求的面积． 17．（2024·江苏连云港·中考真题）如图1，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与反比例函数的图像交于点A、B，与轴交于点C，点A的横坐标为2． (1)求的值； (2)利用图像直接写出时的取值范围； (3)如图2，将直线沿轴向下平移4个单位，与函数的图像交于点D，与轴交于点E，再将函数的图像沿平移，使点A、D分别平移到点C、F处，求图中阴影部分的面积． 18．（2025·江苏镇江·一模）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过点，将点B先向左平移4个单位，再向上平移个单位得到点A，点A恰好落在反比例函数的图象上，过A，B两点的直线与x轴交于点C． (1)求k，m的值及点C的坐标； (2)在x轴上有一点，连接、，求的面积． 19．（2025·江苏苏州·二模）如图，直线与轴，轴分别交于点，反比例函数的图象经过的顶点． (1)求反比例函数的表达式； (2)已知动点从点到点，同时，动点从点到点，两点均以每秒1个单位的速度运动，任一点到达终点，另一点即停止．求在此过程中，面积的最大值． 20．（2025·江苏镇江·二模）如图，一次函数图像与反比例函数图像交于点，直线与轴交于点，与轴交于点． (1)求与一次函数的函数表达式； (2)连接、，点在双曲线上，若的面积是面积的一半，求点的坐标． 21．（2025·江苏泰州·二模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与反比例函数）的图像交于，． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)延长交反比例函数图像于点C，点D在x轴正半轴上，，求的面积． 22．（2025·江苏常州·一模）如图，平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)若过点且平行于轴的直线上有一动点，当的面积为时，求点的坐标； (3)若，请直接写出关于的不等式的解． 1/13 学科网（北京）股份有限公司 $