专题03 全等和相似中的“一线三等角”模型（几何模型讲义）（江苏专用）2026年中考数学一轮复习几何模型系列

该初中数学中考复习讲义聚焦全等与相似中的“一线三等角”模型，覆盖锐角、直角（一线三垂直/K形图）、钝角等构型，按“模型提炼-演变拓展-题型应用”架构梳理知识。通过考点梳理（条件、结论、证明）、方法指导（模型识别、辅助线构造）、真题训练（2024苏州等中考题）帮助学生突破难点，体现复习系统性与针对性。 亮点在于“模型对比+真题联动”教学策略，如对比锐角、直角、钝角模型共性结论培养几何直观，结合2024苏州中考题展示模型在函数中的应用强化推理意识。设分层练习（例题到综合题）与即时反馈，保障高效复习，助力学生快速掌握模型应用，教师可精准把控节奏提升应考能力。

专题03 全等和相似中的“一线三等角”模型 “一线三等角”是一个常见的几何模型，指的是有三个等角的顶点在同一条直线上构成的几何图形，这个角可以是直角，也可以是锐角或钝角。这个模型通常可以构造全等、相似形来证明图形之间的关系在证明三角形全等或相似、计算角度和线段长度等方面有着广泛的应用，不同地区对此有不同的称呼，“K形图”,“三垂直”,“弦图”等，以下称为“一线三等角”。 1 模型来源 1 真题现模型 1 提炼模型 3 模型运用 5 10 名称由来：“一线三等角”模型并非由特定人物发明，是几何学习和研究中，人们对同一直线旁出现三个相等角这一典型几何图形结构的归纳与命名。该模型的形成源于对相似三角形判定场景的总结，在等腰三角形、矩形、坐标系等几何图形中，频繁出现“一线上有三个等角”的构型，且均能推导得出相似三角形，逐渐被提炼为固定的几何模型并广泛应用。 1.（2024·江苏苏州·中考真题）如图，点A为反比例函数图象上的一点，连接，过点O作的垂线与反比例的图象交于点B，则的值为（    ） A． B． C． D． 【分析】过A作轴于C，过B作轴于D，构成一个“一线三垂直”的模型，证明，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方求解即可． 【详解】解：过A作轴于C，过B作轴于D， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴（负值舍去）， 故选：A． 2.（2025·河南·中考真题）在中，点是的平分线上一点，过点作，垂足为点，过点作，垂足为点，直线交于点，过点作，垂足为点． (1)观察猜想 如图1，当为锐角时，用等式表示线段的数量关系：__________． (2)类比探究 如图2，当为钝角时，请依据题意补全图形（无需尺规作图），并判断（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出正确结论，并证明． (3)拓展应用 当，且时，若，请直接写出的值． 【分析】本题主要考查了角平分线的性质定理、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、矩形的判定与性质等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． （1）如图，过点C作于点P，由角平分线的性质定理可得，再证明可得，然后说明四边形是矩形可得，最后根据线段的和差以及等量代换即可解答； （2）如图，过点C作于点Q，由角平分线的性质定理可得，再证明可得，然后说明四边形是矩形可得，最后根据线段的和差以及等量代换即可解答； （3）图形是个典型的“一线三垂直”模型，可以证到，分和分别利用（1）（2）的相关结论以及相似三角形的判定与性质、勾股定理解答即可． 【详解】（1）解：如图，过点C作于点P， ∵平分，，， ∴， 在和中， ∵，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴． 故答案为：． （2）解：不成立，，证明如下： 如图，过点C作于点Q， ∵平分，，， ∴， 在和中， ∵，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴． （3）解：①如图：当时， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ②如图：当时， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 综上，的值为 或． 【基本模型】（三个等角的顶点共线相似特明显） 条件：∠ABC=∠ADE=∠ACB 结论：①△ABD∽△DCE ②若AB=DC，则△ABD≌△DCE 【分析】 ①外角性质得到∠ADC=∠ADE+∠EDC=∠ABC+∠BAD，结合条件∠ADE=∠ABC，可知∠BAD=∠EDC，即可得到结论. ②由AAS即可证到全等. 【模型演变】(由一般到特殊) 图（1）图（2）图（3）中三个等角分别为锐角、直角、钝角。 共性结论：①△ABD∽△DCE ②若AB=DC，则△ABD≌△DCE 【分析】证明方法同基本图形.其中，三个直角顶点共线是应用最广泛的模型，简称“一线三垂直”或“K形图” 【模型拓展】 （1）如图1，条件：三个直角在直线的同侧，且D为BC的中点， 结论：①△ABD∽△DCE ②AD、ED分别平分∠BAE、∠CEA; （2）如图2，条件：三个直角在直线异侧，结论：△ABC∽△CDE. 【分析】（1）延长AD与EC的延长线交于点M，由D是BC中点可证D也是AM的中点，由∠ADE=90o,可证△AEM是等腰三角形，所以DE平分∠AEM，同理AD平分∠BAE； （2）证法同基本模型. 【模型总结】 “一线三等角”的图形变化丰富，最常见的是锐角的“一线三等角”，应用最广泛的是“一线三垂直”，无论哪一种都是通过“AA”证明两个三角形相似（或全等）. 题型1：运用模型证全等 题型2：运用模型证相似 题型3：作辅助线构造模型解题 题型4：模型在直角坐标系中的应用 例1（2025·吉林长春·中考真题）如图，在中，，，点为边的中点，点为边上一动点，连接．将线段绕点顺时针旋转得到线段． (1)线段的长为 ； (2)当时，求的长； (3)当点在边上时，求证：； (4)当点到的距离是点到距离的2倍时，直接写出的长． 【分析】（1）利用勾股定理计算即可； （2）如图，求解，，证明，结合，可得，再进一步求解即可； （3）由“一线三等角”模型即可证得结论； （4）如图，当在的左边时，结合题意可得：，，，过作于，过作于，可得，结合（1）可得：，证明，可得，再进一步解得即可；如图，当在的右边时，过作于，过作于，同法可得答案. 【详解】（1）解：∵在中，，， ∴； （2）解：如图，在中，，，点为边的中点， ∴，， ∵， ∴，而， ∴， ∴； （3）证明：∵旋转， ∴， 如图，∵，， ∴， ∵，， ∴； （4）解：如图，当在的左边时，结合题意可得：，，， 过作于，过作于， ∴四边形为矩形， ∴， 结合（1）可得：， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 如图，当在的右边时，过作于，过作于， 同理：， 四边形四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， ∴，， 同理可得：，， ∴； 综上：的长为或. 【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质，勾股定理的应用，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，锐角三角函数的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键. 例2（24-25九年级上·河北唐山·期末）如图，在中，，点分别在边上，． (1)求证：； (2)如果，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)的长为2或4． 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，掌握相似三角形的性质是解题的关键． （1）由等腰三角形的性质可得，由“一线三等角”可得，可得结论； （2）根据，得到，进而求出解即可． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ． （2）解：， ， ， ， ，即， 解得或， 的长为2或4． 例3（2024·湖北恩施·二模）如图，在中，，，点D、A、E都在直线l上，且，探究线段之间的数量关系． (1)特例发现 先将问题特殊化．如图1，当，时，求证：． (2)类比探究 再探究一般情形，如图2，当，时，探究线段之间的数量关系（用含有k的式子表示）． (3)拓展运用 如图3，当，时，做直线l，直线l，垂足分别为F、G．已知，，请直接写出的长． 【答案】(1)见解析 (2) (3)， 【分析】此题考查了相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定和全等三角形的判定是解题的关键． （1）通过“一线三垂直”证明，则，即可得到结论； （2）通过“一线三等角”证明，得到，则，即可得到结论； （3）通过作辅助线构造“一线三等角”解题,作，求出，证明，得到，则，，求出，，由得到，则，即可得到． 【详解】（1）证明：当时， ，， ∵， ∴ ∴ 当时，， ∴ ∴， ∴ （2）∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴， ∴ ∴ （3）作 ∵直线l，直线l， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴，， ∴，， ∴ ∴ ∴， ∴ ∴ 例4（2025·黑龙江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点A、点B都在双曲线上，且点A在点B的右侧，点A的横坐标为，，则k的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征和全等三角形的判定与性质的综合运用，解一元二次方程，矩形的判定和性质，正确的作出辅助线构造“一线三垂直”是解题的关键； 过A作轴于M，过B作轴于D，直线与交于点N， 由等腰三角形的判定与性质得出，证出由证明，得出，，即可得出B点坐标，代入反比例函数，得到一元二次方程，解方程求解即可． 【详解】解：过A作轴于M，过B作轴于D，直线与交于点N，如图所示： 则， ∴四边形是矩形， ，，， ， ， ，， ， ， 把代入反比例函数的解析式得， ， 双曲线图象在第二象限， ， ，， ，，， ， ，， ， ， 双曲线经过B，则, ， 解得：（舍），， 故选D． 例5（2025·四川资阳·一模）【探究发现】 （1）如图1，已知，，，在同一直线上，若，则，请证明； 【灵活运用】 （2）如图2，在中，，，点在边上，于点，连接．若，求的值； 【拓展延伸】 （3）如图3，在四边形中，，，若，，求的长． 【答案】（1）见解析；（2）；（3） 【分析】（1）根据“一线三垂直”可知，，结合，即可通过三角形两角相等证明； （2）作出辅助线构造“一线三垂直”，过点作的延长线于点，易证，，从而得到，，再由，得到，结合，设，可求得，即可求得； （3）在上取点，使，过点作的延长线于点，易证，推出，从而求得，，结合直角三角形中30度所对直角边等于斜边的一半可知，得到，设，则，，然后利用勾股定理在中表示出，即可在中求得，最后在中即可求得． 【详解】（1）证明：，，， ， ，，， ， ． （2）解：过点作的延长线于点， 则，， ， ， ， 又， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 设，则， ，即 ，解得， ， ，， ， ． （3）解：在上取点，使，过点作的延长线于点，如图， 则，， ， ， ，， ， ， ， ， ，， ， ，， ， ， 设，则，， 在中，， 在中，，即， 解得（负值已舍去）， ，，， 在中，． 【点睛】本题考查了三角形外角的定义，相似三角形的判定与性质，勾股定理，直角三角形的性质，熟练掌握以上知识点并作出合适的辅助线构建出相似三角形是解题的关键． 1．（23-24九年级上·江西九江·阶段练习）如图，在等边中，点，分别在边，上，且，若，，则的长为（    ） A． B．9 C． D．4 【答案】D 【分析】本题主要查了等边三角形的性质，相似三角形的判定和性质．根据等边三角形的性质，可得，从而得到，可证明，即可求解． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：D 2．（2025·江苏泰州·三模）如图，已知矩形的顶点，分别落在轴，轴上，，，则点的坐标是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，坐标与图形性质，过作轴于，根据矩形的性质得到，，根据余角的性质得到，根据相似三角形的性质得到，，于是得到结论，正确的作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：过作轴于， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 故选：． 3．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在正方形中，点E在边上，且，连接，过点E作，交于点F，连接并延长交的延长线于点G，若，则正方形的边长为（  ） A．14 B．13 C．12 D．11 【答案】B 【分析】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握正方形的性质，相似三角形的判定与性质． 根据正方形的性质可得，由，可设，则，证明，根据相似三角形的性质表示出，证明得到，求出，即可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形， ， ， 设，则， ， ， ， 由 ∵， ， ，即， ， ， ， ，即， 解得：， ， 故选：B． 4．（2025·陕西·中考真题）如图，正方形的边长为4，点为的中点，点在上，，则的面积为（    ） A．10 B．8 C．5 D．4 【答案】C 【分析】该题考查了正方形的性质，相似三角形的性质和判定，勾股定理，证明三角形相似是解题的关键． 根据四边形为正方形，得出，，勾股定理求出，证明，根据相似三角形的性质求出，即可求出的面积． 【详解】解：∵四边形为正方形， ∵为的中点， ， ∴， ∵， ∴， 又， ∴， ， ∴，即， ∴， ∴的面积． 故选：C． 5.（2024·江苏苏州·中考真题）如图，点A为反比例函数图象上的一点，连接，过点O作的垂线与反比例的图象交于点B，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数系数k的几何意义，三角形相似的判定和性质，数形结合是解题的关键．过A作轴于C，过B作轴于D，证明，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方求解即可． 【详解】解：过A作轴于C，过B作轴于D， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴（负值舍去）， 故选：A． 6．（2024·重庆·中考真题）如图，在正方形的边上有一点，连接，把绕点逆时针旋转，得到，连接并延长与的延长线交于点．则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过点F作延长线的垂线，垂足为点H，则，证明，则，设，得到，则，故，同理可求，则，因此． 【详解】解：过点F作延长线的垂线，垂足为点H，则， 由旋转得， ∵四边形是正方形， ∴，，，设， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，，设， 则， ∴， ∴，而， ∴， ∴， ∵， ∴， 同理可求， ∴， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，解直角三角形，旋转的性质，正确添加辅助线，构造“一线三等角全等”是解题的关键． 7.（24-25九年级上·江苏无锡·期中）如图，等边沿折叠，点的对应点恰好落在上(端点除外)．下列结论，一定立的是(   ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，折叠的性质，等边三角形的性质，根据等边三角形的性质得到，由折叠的性质得到，，得到不一定等于，故A不符合题意；推出，根据相似三角形的判定定理得到，故B不符合题意；根据相似三角形的性质得到，故C不符合题意，根据相似三角形的性质得到，故D符合题意． 【详解】解：是等边三角形， ， 由折叠的性质可得：，， 点的对应点恰好落在上端点除外， 不一定等于D，故A不符合题意； ， ， ， ，故B不符合题意； 故C不符合题意， ，故D符合题意； 故选：D． 8．（21-22八年级下·江苏南京·期中）如图，在矩形中，，，点在边上，且，为边上的一个动点，连接，以为边作正方形，且点在矩形内，连接，则的最小值为(    )． A．3 B．4 C． D． 【答案】D 【分析】过点作于点，过点作，分别与、交于点、点，证明，得，，设根据勾股定理用表示，进而求得的最小值． 【详解】解：过点作于点，连接， 四边形是正方形， ，， ， ， 四边形是矩形， ， ， ，， 设则 ， 当时，有最小值为． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，矩形的性质，全等三角形的性质与判定，解题的关键是证明三角形全等，确定点运动的轨迹． 9.（24-25八年级上·重庆南川·期末）如图，在中，，点在上，满足，过点作，且，连接，过点作交的延长线于点与交于点，若，则（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．由可证，可得，，由可证，可得，即可求的长，即可求解． 【详解】解：设， ， ， ，， ， ， ，， ， ， ， 又， ， ，， ， 又，， ， ， ， ， ， ， 故选：A． 10.（24-25九年级上·四川宜宾·期末）如图，在矩形中，，，的顶点在边上，且，，，则的长为（   ） A．2 B． C．1 D． 【答案】A 【分析】作交的延长线于，由矩形的性质可得，，证明，得出，从而可得，设，则，，，再由勾股定理计算即可得解． 【详解】解：如图，作交的延长线于， ∵四边形为矩形， ∴，， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则，， ∴， 由勾股定理可得：， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 【点睛】题考查了矩形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、解直角三角形，利用相似是解题的关键． 11.（2025·宁夏银川·二模）综合与实践：如图1，这个图案是3世纪我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，受这幅图的启发，数学兴趣小组建立了“一线三直角模型”．如图2，在中，，将线段绕点顺时针旋转得到线段，作交的延长线于点． (1)【观察感知】如图2，通过观察，线段与有怎样的数量关系？ (2)【问题解决】如图3，连接并延长交的延长线于点，若，，求的面积； (3)【类比迁移】在（2）的条件下，连接交于点，求的值； 【答案】(1) (2)； (3)． 【分析】（）根据旋转的性质可得，，进而证明，即可求解； （）根据（）的方法证明，进而证明，求得，则，然后根据三角形的面积公式，即可求解； （）过点作于点，证明得出，证明，设，则，代入比例式，得出，进而即可求解； 本题考查了全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，旋转的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 【详解】（1）解：． ∵将线段绕点顺时针旋转得到线段，作交的延长线于点． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图所示，过点作于点， ∵，， ∴， ∴， 即，即， 又∵， ∴， ∴， 设，则， ， 解得：， ∴， ∴， 12.（21-22九年级上·吉林长春·期末）（1）【感知】如图①，在四边形中，点P在边上（点P不与点A、B合），．证明：． （2）【探究】如图②，在四边形中，点P在边上（点P不与点A、B重合），．若，求的长． （3）【拓展】如图③，在中，，点P在边上（点P不与点A、B重合），连结，作，与边交于点E，当是等腰三角形时，直接写出的长． 【答案】（1）见解析；（2）3；（3）4或 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质等知识点，把握“一线三等角”模型是解题的关键． （1）根据同角的余角相等得到，再由，即可证明相似； （2）证明，得到，代入数据即可求解； （3）同理可证明，然后分三种情况讨论，利用全等三角形和相似三角形的的判定与性质即可求解． 【详解】（1）证明： ∴， ∴ ∴ ∴；            （2）解：∵是的外角， ∴， 即， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴，解得： ； （3）解：∵， ∴， ∵是的外角， ∴，即， ∵， ∴， ∵， ∴， 当时，， ∵， ∴不成立； 当时，， 则， ∴； 当时，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， 解得：， ∴， 综上所述：是等腰三角形时，的长为4或． 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 全等和相似中的“一线三等角”模型 “一线三等角”是一个常见的几何模型，指的是有三个等角的顶点在同一条直线上构成的几何图形，这个角可以是直角，也可以是锐角或钝角。这个模型通常可以构造全等、相似形来证明图形之间的关系在证明三角形全等或相似、计算角度和线段长度等方面有着广泛的应用，不同地区对此有不同的称呼，“K形图”,“三垂直”,“弦图”等，以下称为“一线三等角”。 1 模型来源 1 真题现模型 1 提炼模型 3 模型运用 5 10 名称由来：“一线三等角”模型并非由特定人物发明，是几何学习和研究中，人们对同一直线旁出现三个相等角这一典型几何图形结构的归纳与命名。该模型的形成源于对相似三角形判定场景的总结，在等腰三角形、矩形、坐标系等几何图形中，频繁出现“一线上有三个等角”的构型，且均能推导得出相似三角形，逐渐被提炼为固定的几何模型并广泛应用。 1.（2024·江苏苏州·中考真题）如图，点A为反比例函数图象上的一点，连接，过点O作的垂线与反比例的图象交于点B，则的值为（    ） A． B． C． D． 2.（2025·河南·中考真题）在中，点是的平分线上一点，过点作，垂足为点，过点作，垂足为点，直线交于点，过点作，垂足为点． (1)观察猜想 如图1，当为锐角时，用等式表示线段的数量关系：__________． (2)类比探究 如图2，当为钝角时，请依据题意补全图形（无需尺规作图），并判断（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出正确结论，并证明． (3)拓展应用 当，且时，若，请直接写出的值． 【基本模型】（三个等角的顶点共线相似特明显） 条件：∠ABC=∠ADE=∠ACB 结论：①△ABD∽△DCE ②若AB=DC，则△ABD≌△DCE 【分析】 ①外角性质得到∠ADC=∠ADE+∠EDC=∠ABC+∠BAD，结合条件∠ADE=∠ABC，可知∠BAD=∠EDC，即可得到结论. ②由AAS即可证到全等. 【模型演变】(由一般到特殊) 图（1）图（2）图（3）中三个等角分别为锐角、直角、钝角。 共性结论：①△ABD∽△DCE ②若AB=DC，则△ABD≌△DCE 【分析】证明方法同基本图形.其中，三个直角顶点共线是应用最广泛的模型，简称“一线三垂直”或“K形图” 【模型拓展】 （1）如图1，条件：三个直角在直线的同侧，且D为BC的中点， 结论：①△ABD∽△DCE ②AD、ED分别平分∠BAE、∠CEA; （2）如图2，条件：三个直角在直线异侧，结论：△ABC∽△CDE. 【分析】（1）延长AD与EC的延长线交于点M，由D是BC中点可证D也是AM的中点，由∠ADE=90o,可证△AEM是等腰三角形，所以DE平分∠AEM，同理AD平分∠BAE； （2）证法同基本模型. 【模型总结】 “一线三等角”的图形变化丰富，最常见的是锐角的“一线三等角”，应用最广泛的是“一线三垂直”，无论哪一种都是通过“AA”证明两个三角形相似（或全等）. 题型1：运用模型证全等 题型2：运用模型证相似 题型3：作辅助线构造模型解题 题型4：模型在直角坐标系中的应用 例1（2025·吉林长春·中考真题）如图，在中，，，点为边的中点，点为边上一动点，连接．将线段绕点顺时针旋转得到线段． (1)线段的长为 ； (2)当时，求的长； (3)当点在边上时，求证：； (4)当点到的距离是点到距离的2倍时，直接写出的长． 例2（24-25九年级上·河北唐山·期末）如图，在中，，点分别在边上，． (1)求证：； (2)如果，，，求的长． 例3（2024·湖北恩施·二模）如图，在中，，，点D、A、E都在直线l上，且，探究线段之间的数量关系． (1)特例发现 先将问题特殊化．如图1，当，时，求证：． (2)类比探究 再探究一般情形，如图2，当，时，探究线段之间的数量关系（用含有k的式子表示）． (3)拓展运用 如图3，当，时，做直线l，直线l，垂足分别为F、G．已知，，请直接写出的长． 例4（2025·黑龙江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点A、点B都在双曲线上，且点A在点B的右侧，点A的横坐标为，，则k的值为（   ） A． B． C． D． 例5（2025·四川资阳·一模）【探究发现】 （1）如图1，已知，，，在同一直线上，若，则，请证明； 【灵活运用】 （2）如图2，在中，，，点在边上，于点，连接．若，求的值； 【拓展延伸】 （3）如图3，在四边形中，，，若，，求的长． 1．（23-24九年级上·江西九江·阶段练习）如图，在等边中，点，分别在边，上，且，若，，则的长为（    ） A． B．9 C． D．4 2．（2025·江苏泰州·三模）如图，已知矩形的顶点，分别落在轴，轴上，，，则点的坐标是（ ） A． B． C． D． 3．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在正方形中，点E在边上，且，连接，过点E作，交于点F，连接并延长交的延长线于点G，若，则正方形的边长为（  ） A．14 B．13 C．12 D．11 4．（2025·陕西·中考真题）如图，正方形的边长为4，点为的中点，点在上，，则的面积为（    ） A．10 B．8 C．5 D．4 5.（2024·江苏苏州·中考真题）如图，点A为反比例函数图象上的一点，连接，过点O作的垂线与反比例的图象交于点B，则的值为（    ） A． B． C． D． 6．（2024·重庆·中考真题）如图，在正方形的边上有一点，连接，把绕点逆时针旋转，得到，连接并延长与的延长线交于点．则的值为（    ） A． B． C． D． 7.（24-25九年级上·江苏无锡·期中）如图，等边沿折叠，点的对应点恰好落在上(端点除外)．下列结论，一定立的是(   ) A． B． C． D． 8．（21-22八年级下·江苏南京·期中）如图，在矩形中，，，点在边上，且，为边上的一个动点，连接，以为边作正方形，且点在矩形内，连接，则的最小值为(    )． A．3 B．4 C． D． 9.（24-25八年级上·重庆南川·期末）如图，在中，，点在上，满足，过点作，且，连接，过点作交的延长线于点与交于点，若，则（） A． B． C． D． 10.（24-25九年级上·四川宜宾·期末）如图，在矩形中，，，的顶点在边上，且，，，则的长为（   ） A．2 B． C．1 D． 11.（2025·宁夏银川·二模）综合与实践：如图1，这个图案是3世纪我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，受这幅图的启发，数学兴趣小组建立了“一线三直角模型”．如图2，在中，，将线段绕点顺时针旋转得到线段，作交的延长线于点． (1)【观察感知】如图2，通过观察，线段与有怎样的数量关系？ (2)【问题解决】如图3，连接并延长交的延长线于点，若，，求的面积； (3)【类比迁移】在（2）的条件下，连接交于点，求的值； 12.（21-22九年级上·吉林长春·期末）（1）【感知】如图①，在四边形中，点P在边上（点P不与点A、B合），．证明：． （2）【探究】如图②，在四边形中，点P在边上（点P不与点A、B重合），．若，求的长． （3）【拓展】如图③，在中，，点P在边上（点P不与点A、B重合），连结，作，与边交于点E，当是等腰三角形时，直接写出的长． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $