第七章 随机变量及其分布列（高效培优讲义）数学人教A版高二选择性必修第三册

第七章 随机变量及其分布列 教学目标 1. 理解随机变量的定义，能区分离散型随机变量（取值可一一列举）与连续型随机变量（取值不可一一列举），掌握用字母表示随机变量的规范方法，能将随机试验结果数字化（如用0-1表示硬币正反面）。 2. 掌握离散型随机变量分布列的概念与结构，明确分布列“表格形式”“概率等式形式”的表示方法，牢记分布列的两大核心性质（所有概率非负、概率和为1），能依据性质检验分布列的合理性。 3. 熟练掌握两类经典分布模型：两点分布（0-1分布）、超几何分布与二项分布，理解各分布的适用场景（如放回抽样对应二项分布、不放回抽样对应超几何分布），能准确写出对应分布列。 4. 掌握数学期望与方差的定义式及计算方法，理解其统计意义（期望反映平均水平，方差刻画离散程度），能运用期望、方差分析随机现象的稳定性与集中趋势。 教学重难点 重点 1. 随机变量的概念理解与数字化转化：核心是让学生掌握“用数字表示随机试验结果”的方法，无论是自然对应（如骰子点数）还是人为约定（如硬币正反面用0-1表示），明确随机变量的本质是“刻画随机现象的变量”。 2. 离散型随机变量分布列的概念与性质：理解分布列是“随机变量取值与对应概率的对应关系”，能规范列出分布列，并利用“概率非负”“概率和为1”两大性质检验结果正确性。 3. 经典分布模型的识别与应用：能根据实际问题情境（放回/不放回、独立重复试验等）准确区分两点分布、超几何分布与二项分布，熟练写出分布列并计算相关概率。 4. 期望与方差的计算与意义解读：掌握期望、方差的基本计算方法，能结合具体问题解释其实际含义（如比较两组数据的稳定性、评估方案的合理性）。 难点 1. 随机变量的抽象理解：难以摆脱“变量必为确定性数值”的固有认知，对“随机变量取值的不确定性与概率的确定性”存在困惑，不会恰当定义随机变量。 2. 分布列与函数的关系辨析：类比函数研究分布列时，难以理解“随机变量为自变量、概率为因变量”的对应关系，对分布列的表示方法掌握不灵活。 3. 经典分布模型的精准区分：易混淆超几何分布与二项分布（核心是“不放回”与“放回/独立重复”的判断），对两点分布的适用条件（只有两个可能取值）理解不透彻。 4. 复杂情境下的概率计算与模型构建：面对含限制条件的实际问题（如多步随机试验、分层抽样中的概率问题），难以准确界定随机变量的取值范围，易出现概率计算重复或遗漏。 5. 期望与方差的意义内化：能机械套用公式计算，但无法结合具体情境解释结果的实际价值（如不知道方差越小说明数据越稳定），缺乏运用数字特征分析问题的意识。 知识点01 条件概率 （一）定义 一般地，设，为两个事件，且，称为在事件发生的条件下，事件发生的条件概率． 注意：（1）条件概率中“”后面就是条件；（2）若，表示条件不可能发生，此时用条件概率公式计算就没有意义了，所以条件概率计算必须在的情况下进行． （二）性质 （1）条件概率具有概率的性质，任何事件的条件概率都在和1之间，即． （2）必然事件的条件概率为1，不可能事件的条件概率为． （3）如果与互斥，则． 注意：（1）如果知道事件发生会影响事件发生的概率，那么； （2）已知发生，在此条件下发生，相当于发生，要求，相当于把看作新的基本事件空间计算发生的概率，即． 相互独立与条件概率的关系 （一）相互独立事件的概念及性质 （1）相互独立事件的概念 对于两个事件，，如果，则意味着事件的发生不影响事件发生的概率．设，根据条件概率的计算公式，，从而． 由此我们可得：设，为两个事件，若，则称事件与事件相互独立． （2）概率的乘法公式 由条件概率的定义，对于任意两个事件与，若，则．我们称上式为概率的乘法公式． （3）相互独立事件的性质 如果事件，互相独立，那么与，与，与也都相互独立． （4）两个事件的相互独立性的推广 两个事件的相互独立性可以推广到个事件的相互独立性，即若事件，，…，相互独立，则这个事件同时发生的概率． （二）事件的独立性 （1）事件与相互独立的充要条件是． （2）当时，与独立的充要条件是． （3）如果，与独立，则成立． 【即学即练】 1．袋中有10个大小相同的小球，其中6个白球和4个黑球，每次从袋中随机摸出1个球，摸出的球不再放回．现在从袋中摸出2个球，表示摸到白球的个数，设事件：第一次摸到白球，事件：第二次摸到白球，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】由全概率公式计算即可判断A选项；由条件概率公式计算求解即可判断B选项；由超几何分布的定义可判断C选项；根据超几何分布的期望公式计算可判断D. 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，已知第一次摸到白球，此时袋中还剩9个球，其中5个白球，所以，故B正确； 对于C，表示摸到白球的个数，从10个球中摸2个球，其中6个白球，4个黑球， 所以服从超几何分布，即，故C不正确； 对于D，，所以，故D正确； 故选：ABD 2．甲箱中有2个红球和2个黑球，乙箱中有1个红球和3个黑球．先从甲箱中等可能地取出2个球放入乙箱，再从乙箱中等可能地取出1个球，记事件“从甲箱中取出的球恰有个红球”为，“从乙箱中取出的球是黑球”为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据古典概型的概率公式、条件概率概率公式和全概率公式逐项判断即可. 【详解】根据题意，甲箱中有2个红球和2个黑球，则，故A正确； 乙箱中有1个红球和3个黑球，则，，，故B不正确； ，故C正确； ，故D正确； 故选：ACD 知识点02 全概率公式 （一）全概率公式 （1）； （2）定理若样本空间中的事件，，…，满足： ①任意两个事件均互斥，即，，； ②； ③，． 则对中的任意事件，都有，且 ． 注意：（1）全概率公式是用来计算一个复杂事件的概率，它需要将复杂事件分解成若干简单事件的概率计算，即运用了“化整为零”的思想处理问题． （2）什么样的问题适用于这个公式？所研究的事件试验前提或前一步骤试验有多种可能，在这多种可能中均有所研究的事件发生，这时要求所研究事件的概率就可用全概率公式． （二）贝叶斯公式 （1）一般地，当且时，有 （2）定理若样本空间中的事件满足： ①任意两个事件均互斥，即，，； ②； ③，． 则对中的任意概率非零的事件，都有， 且 注意：（1）在理论研究和实际中还会遇到一类问题，这就是需要根据试验发生的结果寻找原因，看看导致这一试验结果的各种可能的原因中哪个起主要作用，解决这类问题的方法就是使用贝叶斯公式．贝叶斯公式的意义是导致事件发生的各种原因可能性的大小，称之为后验概率． （2）贝叶斯公式充分体现了，，，，，之间的转关系，即，，之间的内在联系． 【即学即练】 1．某学校有A，B两家餐厅，王同学第1天午餐时随机地选择一家餐厅用餐，如果第1天去餐厅，那么第2天去餐厅的概率为0.6；如果第1天去餐厅，那么第2天去餐厅的概率为0.8．则王同学第2天去餐厅用餐的概率为 ． 【答案】/ 【分析】根据题意结合全概率公式和对立事件的概率公式计算即得. 【详解】设 “第1天去餐厅用餐”，“第1天去B餐厅用餐”，“第2天去A餐厅用餐”， 根据题意得，，， 由全概率公式，得， 即王同学第2天去餐厅用餐的概率为0.7，故王同学第2天去餐厅用餐的概率为. 故答案为： 2．全概率公式指的是：设为样本空间，若事件两两互斥，，则对任意的事件，有.小张一家打算去西安市或汉中市旅游，去西安市与汉中市的概率分别为0.7，0.3，在西安市去游乐园的概率为0.6，在汉中市去游乐园的概率为0.4，则小张一家去游乐园的概率为（    ） A．0.48 B．0.49 C．0.52 D．0.54 【答案】D 【分析】根据全概率公式计算即可. 【详解】设去西安市与汉中市旅游分别为事件，，则，. 设事件为去游乐园，则，. 所以. 故选：D 知识点03 离散型随机变量的分布列 1、随机变量 在随机试验中，我们确定了一个对应关系，使得每一个试验结果都用一个确定的数字表示．在这个对应关系下，数字随着试验结果的变化而变化．像这种随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量．随机变量常用字母，，，，…表示． 注意： （1）一般地，如果一个试验满足下列条件：①试验可以在相同的情形下重复进行；②试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个；③每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但在一次试验之前不能确定这次试验会出现哪个结果．这种试验就是随机试验． （2）有些随机试验的结果虽然不具有数量性质，但可以用数来表示．如掷一枚硬币，表示反面向上，表示正面向上． （3）随机变量的线性关系：若是随机变量，，是常数，则也是随机变量． 2、离散型随机变量 对于所有取值可以一一列出来的随机变量，称为离散型随机变量． 注意： （1）本章研究的离散型随机变量只取有限个值． （2）离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系：①如果随机变量的可能取值是某一区间内的一切值，这样的变量就叫做连续型随机变量；②离散型随机变量与连续型随机变量都是用变量表示随机试验的结果，但离散型随机变量的结果可以按一定的次序一一列出，而连续型随机变量的结果不能一一列出． 3、离散型随机变量的分布列的表示 一般地，若离散型随机变量可能取的不同值为，取每一个值的概率，以表格的形式表示如下： 我们将上表称为离散型随机变量的概率分布列，简称为的分布列．有时为了简单起见，也用等式，表示的分布列． 4、离散型随机变量的分布列的性质 根据概率的性质，离散型随机变量的分布列具有如下性质： （1），；（2）． 注意： ①性质（2）可以用来检查所写出的分布列是否有误，也可以用来求分布列中的某些参数． ②随机变量所取的值分别对应的事件是两两互斥的，利用这一点可以求相关事件的概率． 【即学即练】 1．人工智能对人们的生活有较大的影响，为了让老师更加重视人工智能，某校随机抽出30名男教师和20名女教师参加学校组织的“人工智能”相关知识问卷调查（满分100分），若分数为80分及以上的为优秀，其他为非优秀，统计并得到如下列联表： 男教师 女教师 总计 优秀 20 15 35 非优秀 10 5 15 总计 30 20 50 (1)根据小概率值的独立性检验，能否认为这次成绩是否优秀与性别有关？ (2)从样本中成绩非优秀的15名老师中，随机抽取2人进行调研，记抽出的2人中女老师的人数为，求的分布列和数学期望. 附：，其中. 0.1 0.05 0.01 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 【答案】(1)不能认为这次成绩是否优秀与性别有关. (2)分布列见解析， 【分析】（1）先作出零假设，根据列联表计算出，所以不能认为这次成绩是否优秀与性别有关. （2）先写出的可能取值为，再根据题目算出对应的概率，列出概率分布列，求出数学期望即可. 【详解】（1）零假设 : 这次成绩是否优秀与性别无关. 根据表中数据，计算得到 根据小概率值的独立性检验，推断成立，所以不能认为这次成绩是否优秀与性别有关. （2）的可能取值为. ; ; ; 的分布列为： 0 1 2 数学期望. 2．设离散型随机变量X可能取的值为1、2、3、4. ．又X的均值，则＝ . 【答案】 【分析】根据概率和为1和均值的定义列出关于的方程组，解出即可. 【详解】因为， 所以， 又因为， 所以， 解得，，所以， 故答案为：. 知识点04 离散型随机变量的均值与方差 1、均值 若离散型随机变量的分布列为 称为随机变量的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平． 注意：（1）均值刻画的是取值的“中心位置”，这是随机变量的一个重要特征； （2）根据均值的定义，可知随机变量的分布完全确定了它的均值．但反过来，两个不同的分布可以有相同的均值．这表明分布描述了随机现象的规律，从而也决定了随机变量的均值．而均值只是刻画了随机变量取值的“中心位置”这一重要特征，并不能完全决定随机变量的性质． 2、均值的性质 （1）（为常数）． （2）若，其中为常数，则也是随机变量，且． （3）． （4）如果相互独立，则． 3、方差 若离散型随机变量的分布列为 则称为随机变量的方差，并称其算术平方根为随机变量的标准差． 注意：（1）描述了相对于均值的偏离程度，而是上述偏离程度的加权平均，刻画了随机变量与其均值的平均偏离程度．随机变量的方差和标准差均反映了随机变量取值偏离于均值的平均程度．方差或标准差越小，则随机变量偏离于均值的平均程度越小； （2）标准差与随机变量有相同的单位，而方差的单位是随机变量单位的平方． 4、方差的性质 （1）若，其中为常数，则也是随机变量，且． （2）方差公式的变形：． 【即学即练】 1．设，随机变量的分布列如下： ξ 0 a 2 P a 当a增大时，有（   ） A．增大，先减小后增大 B．减小，减小 C．增大，先增大后减小 D．减小，增大 【答案】C 【分析】先根据分布列表求得的表达式，即可判断其单调性，然后列出变量的分布列表，同法求得的表达式，进而得到的表达式，利用二次函数的性质即可判断的单调性. 【详解】由随机变量的分布列表可知，，故单调递增； 因随机变量的分布列如下： 0 4 P a 所以， 则． 因为，而，所以先增大后减小． 故选：C. 2．在“一带一路”倡议推动下，中国与中亚国家合作日益紧密.2025年，某省计划向海外“郑和学院”项目派遣教师，为此举办了专项教学能力培训.参会人员包括600名高职院校教师和400名企业工程师转岗教师.培训后均参加教学能力考核，考核结果为优秀､合格两种情况，统计得到如下列联表： 高职院校教师 企业工程师 总计 优秀 350 170 520 合格 250 230 480 总计 600 400 1000 (1)根据小概率值的独立性检验，能否认为这次考核结果与教师背景类型有关？ (2)若从参会人员中，采用分层抽样的方法随机抽取10名教师，再从这10人中随机抽取3人进行海外教学意愿调研，设抽取的3人中企业工程师的人数为，求的分布列和数学期望. 附：，其中. 0.1 0.05 0.01 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 【答案】(1)能认为这次考核结果与教师背景类型有关 (2)分布列见解析， 【分析】（1）根据卡方的计算公式，结合独立性检验的思想即可下结论； （2）易知，利用超几何分布求出对应的概率，列出分布列，求出数学期望，即可求解. 【详解】（1）零假设为：这次考核结果与教师背景类型无关， 查临界值表，对应的临界值，由于， 故依据小概率值的独立性检验，我们推断不成立， 即认为这次考核结果与教师背景类型有关，此推断犯错的概率不大于0.01. （2）分层抽样时，总抽取比例为 因此：高职院校教师抽取人数：（人）， 企业工程师抽取人数：（人） 从10人中抽取3人，设企业工程师人数为X，则X服从超几何分布， 可能取值为， 则， ， ， 则的分布列为： 0 1 2 3 数学期望由超几何分布性质得： 知识点05 两点分布 1、若随机变量服从两点分布，即其分布列为 0 1 其中，则称离散型随机变量服从参数为的两点分布．其中称为成功概率． 注意： （1）两点分布的试验结果只有两个可能性，且其概率之和为； （2）两点分布又称分布、伯努利分布，其应用十分广泛． 2、两点分布的均值与方差：若随机变量服从参数为的两点分布，则，． 【即学即练】 1．若随机变量服从两点分布，其中，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】根据两点分布得，再根据期望和方差公式以及性质，即可求解. 【详解】由题意可知，， 所以，故A正确； ，故D错误； ，故B正确； ， 故C错误. 故选：AB 2．已知随机变量，均服从两点分布，且，，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用全概率公式，由的值，得到的值，再由条件概率计算公式即可. 【详解】由于 服从两点分布，且 ， 因此. 由全概率公式得， 即， 所以， 由条件概率计算公式得. 故选：D 知识点06 二项分布 次独立重复试验 1、定义 一般地，在相同条件下重复做的次试验称为次独立重复试验． 注意：独立重复试验的条件：①每次试验在同样条件下进行；②各次试验是相互独立的；③每次试验都只有两种结果，即事件要么发生，要么不发生． 2、特点 （1）每次试验中，事件发生的概率是相同的； （2）每次试验中的事件是相互独立的，其实质是相互独立事件的特例． 二项分布 1、定义 一般地，在次独立重复试验中，用表示事件发生的次数，设每次试验中事件发生的概率为，不发生的概率，那么事件恰好发生次的概率是（，，，…，） 于是得到的分布列 … … … … 由于表中第二行恰好是二项式展开式 各对应项的值，称这样的离散型随机变量服从参数为，的二项分布，记作，并称为成功概率． 注意：由二项分布的定义可以发现，两点分布是一种特殊的二项分布，即时的二项分布，所以二项分布可以看成是两点分布的一般形式． 2、二项分布的适用范围及本质 （1）适用范围： ①各次试验中的事件是相互独立的； ②每次试验只有两种结果：事件要么发生，要么不发生； ③随机变量是这次独立重复试验中事件发生的次数． （2）本质：二项分布是放回抽样问题，在每次试验中某一事件发生的概率是相同的． 3、二项分布的期望、方差 若，则，． 【即学即练】 1．甲、乙、丙三人参加“校史知识竞答”比赛，若甲、乙、丙三人荣获一等奖的概率分别为，且三人是否获得一等奖相互独立，则这三人中仅有两人获得一等奖的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据独立事件概率公式，计算即可得出答案. 【详解】设这三人中仅有两人获得一等奖为事件A， 则. 故选：B 2．已知一个古典概型的样本空间Ω和事件A，B如图所示.其中， 则事件A与事件B（   ）    A．是互斥事件，不是独立事件 B．不是互斥事件，是独立事件 C．既是互斥事件，也是独立事件 D．既不是互斥事件，也不是独立事件 【答案】B 【分析】根据互斥事件和独立事件的定义和概率公式计算即得. 【详解】因， 则， 于是， 因，则事件A与事件B不是互斥事件； 又，则事件A与事件B是独立事件. 故选：B. 知识点07 超几何分布 1、定义 在含有件次品的件产品中，任取件，其中恰有件次品，则事件发生的概率为，，1，2，…，，其中，且，，，，，称分布列为超几何分布列．如果随机变量的分布列为超几何分布列，则称随机变量服从超几何分布． 0 1 … … 2、超几何分布的适用范围件及本质 （1）适用范围： ①考察对象分两类； ②已知各类对象的个数； ③从中抽取若干个个体，考察某类个体个数的概率分布． （2）本质：超几何分布是不放回抽样问题，在每次试验中某一事件发生的概率是不相同的． 【即学即练】 1．高考结束后，小明一家四口到阳新仙岛湖度假，中午在某餐厅就餐，该餐厅推出七种特色美食，其中有1种汤类，3种炒菜类，3种米面类，小明一家要点四道美食（每道不重复）． (1)小明家点一道汤和恰好一种米面类美食的不同组合方式有多少种？ (2)用随机变量表示所选美食中米面类的数量，求的分布列和期望． 【答案】(1)9 (2)分布列见解析， 【分析】（1）根据分步乘法计数原理，结合组合即可求解， （2）根据超几何分布的概率公式求解概率，即可得分布列，由期望公式即可求解. 【详解】（1）汤有一种选择；米面类美食三种里选择一种方法数为；其他菜类3种里选择2种方法数为； 不同组合共计（种） （2）的可能取值有0、1、2、3； 分布列为： X 0 1 2 3 所以； 2．一批照明灯泡有100个，规定其使用寿命达到1000小时以上的为合格品，使用寿命不足1000小时的为不合格品．使用方从该批灯泡中抽样，采用抽样方案，即从该批灯泡中随机抽取5个，若全部合格，则该批灯泡通过验收，否则该批灯泡未通过验收． (1)假定生产方和使用方约定，允许这批灯泡有的不合格率，实际这批灯泡中有7个不合格品．经检测该批产品未通过验收的概率有多大？（结果精确到0.001） (2)现已知这批灯泡中有2个不合格品，写出抽样方案中合格品数的分布并求这批灯泡通过验收的概率．（结果精确到0.001） 【答案】(1) (2)分布列见解析， 【分析】（1）由超几何分布的概率、对立事件的概率公式求解即可. （2）由超几何分布的概率公式即可求解. 【详解】（1）记抽到的合格品数为，该批灯泡中的合格品为93个，不合格品为7个， 所以采取抽样方案时通过验收的概率为， 所以未通过验收的概率约为． （2）该批灯泡中的合格品为98个，不合格品为2个， ， 所以采取抽样方案时的合格品数的分布为 3 4 5 0.002 0.096 0.902 所以该批产品通过验收的概率为． 知识点08 正态分布 正态曲线 1、定义：我们把函数，（其中是样本均值，是样本标准差）的图象称为正态分布密度曲线，简称正态曲线．正态曲线呈钟形，即中间高，两边低． 2、正态曲线的性质 （1）曲线位于轴上方，与轴不相交； （2）曲线是单峰的，它关于直线对称； （3）曲线在处达到峰值（最大值）； （4）曲线与轴之间的面积为1； （5）当一定时，曲线的位置由确定，曲线随着的变化而沿轴平移，如图甲所示： （6）当一定时，曲线的形状由确定．越小，曲线越“高瘦”，表示总体的分布越集中；越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散，如图乙所示：： 　 甲乙 正态分布 1、定义 随机变量落在区间的概率为，即由正态曲线，过点和点的两条轴的垂线，及轴所围成的平面图形的面积，如下图中阴影部分所示，就是落在区间的概率的近似值． 一般地，如果对于任何实数，，随机变量满足，则称随机变量服从正态分布．正态分布完全由参数，确定，因此正态分布常记作．如果随机变量服从正态分布，则记为． 其中，参数是反映随机变量取值的平均水平的特征数，可以用样本的均值去估计；是衡量随机变量总体波动大小的特征数，可以用样本的标准差去估计． 2、原则 若，则对于任意的实数，为下图中阴影部分的面积，对于固定的和而言，该面积随着的减小而变大．这说明越小，落在区间的概率越大，即集中在周围的概率越大 特别地，有；；． 由，知正态总体几乎总取值于区间之内．而在此区间以外取值的概率只有，通常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生，即为小概率事件．在实际应用中，通常认为服从于正态分布的随机变量只取之间的值，并简称之为原则． 【即学即练】 1．某校舞蹈队队员的身高X（单位：cm）近似服从正态分布，则（    ） （附：若，则，） A．0.6827 B．0.8414 C．0.9544 D．0.9772 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用正态分布的对称性求出概率. 【详解】由，得 . 故选：D 2．实验测量中，测量数据往往存在误差，故测量数据常常服从正态分布.在一次实验测量中，某同学的测量数据近似服从正态分布，且. (1)在的条件下，求的概率； (2)已知事件“”与事件“”相互独立，求实数； (3)若认为该实验在时测量精度较高，且已知随机变量时，，请评价本次实验测量的测量精度. 【答案】(1)0.8 (2) (3)本次实验的测量精度不高 【分析】（1）利用正态分布的对称性及条件概率计算即可； （2）利用正态分布的对称性及事件的相互关系、相互独立事件的性质分类讨论计算参数即可； （3）设变量，分类讨论二者大小，结合条件得出的充要条件，利用正态分布的性质计算得出，从而判定测量精度即可. 【详解】（1）在的条件下，的概率等价于， 由题意可知，其概率密度函数图象关于直线对称， 所以， 根据对称性，， 故 （2）设事件为“”，事件为“”， 且事件“”等价于事件“或”. 由题意得， 则由对称性得， 由事件“”与“”互斥，则， 因为事件与相互独立，所以， 当时，等价于事件“”， 则，解得，无解； 当时，等价于事件“”， 则，即，解得， 由于，故. 当时，等价于事件“或”. 此时有， 故由正态分布性质，拆分可得 ， 又，代入解得， 而，故，无解. 综上所述，； （3）由题可计算得， 又对于任意，由于等价于 ， 则对于任意均有， 时，同理， 故是的充要条件. 由正态分布性质有，且数据比较， 即， 故，再由上述的充要条件， 这等价于的情况，故必有，即， 故，即可做出本次实验的测量精度不高的评价. 题型01 条件概率 【典例1】有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为6%，第2，3台加工的次品率均为5%，加工出来的零件混放在一起.已知第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的25%、30%，45%. (1)任取一个零件，计算它是次品的概率； (2)如果对加工的次品，要求操作员承担相应的责任，求每台车床操作员应承担的份额. 【答案】(1) (2)第1，2台车床操作员应分别承担的份额，第3台车床操作员应承担的份额. 【分析】的份额.（1）设“任取一零件为次品”，“零件为第i台车床加工”，则，且，，两两互斥，求出、、，以及、、，由全概率公式得； （2）求“次品为第台车床所加工的概率”，就是计算在B发生的条件下，事件发生的概率由条件概率公式计算可得答案. 【详解】（1）设“任取一零件为次品”，“零件为第i台车床加工”， 则，且，，两两互斥，根据题意得， ，，， ，，， 由全概率公式得 ； （2）“次品为第台车床所加工的概率”，就是计算在B发生的条件下，事件发生的概率， ； ， ， 故第1，2台车床操作员应承担的份额，第3台车床操作员应承担的份额. 【典例2】贵阳某调研机构调查了一个来自南宁的旅行团对贵阳两种特色小吃肠旺面和丝娃娃的喜爱情况，了解到其中有的人喜欢吃肠旺面，有的人喜欢吃丝娃娃，还有的人既不喜欢吃肠旺面也不喜欢吃丝娃娃．在已知该旅行团一游客喜欢吃肠旺面的条件下，他还喜欢吃丝娃娃的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设“喜欢吃肠旺面”为事件，“喜欢吃丝娃娃”为事件，由条件求得，然后由条件概率的公式求得答案． 【详解】设“喜欢吃肠旺面”为事件，“喜欢吃丝娃娃”为事件，则， 则“喜欢吃肠旺面或丝娃娃”为事件，“既喜欢吃肠旺面又喜欢吃丝娃娃”为事件， 由题意知，， 从而， 因此由条件概率的公式得． 故选：B． 用定义法求条件概率的步骤 （1）分析题意，弄清概率模型； （2）计算，； （3）代入公式求． 【变式1】某商场在五一节开展促销抽奖活动，用编号分别为的三个箱子装了一定数量的红球和白球，总数之比为，三个箱子中白球所占的比例分别为，，，顾客从这三个箱子中任意摸取1球，取到红球获奖．记事件“此球来自编号为的箱子”，事件“顾客获奖”，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】利用条件概率公式，全概率公式和贝叶斯概率公式进行求解即可． 【详解】对于A，由题意可知，故A错误； 对于B， ，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D， ，故D正确； 故选：BCD． 【变式2】有个编号分别为1，2，3，…，的盒子，1号盒子中有2个白球和1个黑球，其余盒子中均有1个白球和1个黑球．现从1号盒子任取一球放入2号盒子；再从2号盒子任取一球放入3号盒子；…；以此类推，记“从号盒子取出的球是白球”为事件，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】根据题意，利用全概率公式即可判断AC，由条件概率的公式即可判断B，由与的关系，即可得到，从而判断D. 【详解】由题意，从1号盒子取球有两种情况：取出的球是白球和取出的球是黑球， 若从1号盒子取出的球是白球，概率为， 此时2号盒子中有2个白球和1个黑球，则从2号盒子取出的球是白球，概率为， 即，依此类推， 若从1号盒子取出的球是黑球，概率为， 此时2号盒子中有1个白球和2个黑球，则从2号盒子取出的球是白球，概率为， 即，依此类推， 由全概率公式 ， 所以A错误； 因为，则，所以B正确； 由全概率公式，时， ， 所以， ，所以C正确； 由，则， 因为，， 所以，即， 则，当时，， 所以，所以D正确． 故选：BCD． 【变式3】某市场上供应的气球中，甲厂产品占60%，乙厂产品占40%，甲厂生产的气球合格率为90%，乙厂生产的气球合格率为80%． (1)从该市场上随便购买一个气球，求它是合格产品的概率； (2)如果小李购买了一个气球是次品，求该气球是甲厂生产的概率． 【答案】(1)0.86 (2) 【分析】（1）设“气球合格”为事件，“气球是甲厂生产”为事件，“气球是乙厂生产的为事件，根据全概率公式求解即可； （2）根据条件概率公式求解即可． 【详解】（1）设“气球合格”为事件，“气球是甲厂生产”为事件，“气球是乙厂生产的为事件， 由题可知，， 则． （2）． 题型02 相互独立事件概率的计算 【典例1】某单位入职面试中有三道题目，有三次答题机会，一旦某次答对抽到的题目，则面试通过，否则就一直抽题到第3次为止.若求职者小王答对每道题目的概率都是0.7，则他最终通过面试的概率为 . 【答案】 【分析】利用相互独立事件以及对立事件的概率公式计算即可. 【详解】依题意，小王3次都没有答对的概率为， 所以小王最终通过面试的概率为. 故答案为：. 【典例2】已知，，且与相互独立，则下列各式正确的有（   ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】根据相互独立事件，对立事件和概率加法公式逐一计算判断即可. 【详解】对于A，因为事件与相互独立，所以，故A正确； 对于B，，故B正确. 对于C，因为，， 所以，， 因为事件与相互独立，所以因为事件与相互独立， 所以，故C错误； 对于D，，故D错误. 故选：AB. （1）求相互独立事件同时发生的概率的步骤 ①首先确定各事件之间是相互独立的． ②求出每个事件的概率，再求积． （2）使用相互独立事件同时发生的概率计算公式时，要掌握公式的适用条件，即各个事件是相互独立的． 【变式1】甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶概率为，乙的中靶概率为，则甲乙中恰有一人中靶的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先分析事件“甲乙中恰有一人中靶”包含的两种互斥情况，分别计算两种情况的概率，再利用互斥事件概率加法公式求和即可． 【详解】甲乙中恰有一人中靶，事件包含两种情况：①甲中靶乙未中靶；②乙中靶甲未中靶， 设情况①的概率为，情况②的概率为， 甲的中靶概率为，乙的中靶概率为， ， ． 故选：C． 【变式2】连续抛掷一枚质地均匀的硬币次，记录这次实验的结果.设事件表示“次实验结果中，既出现正面又出现反面”，事件表示“次实验结果中，至多出现一次正面”，则下列结论正确的有  （   ）. A．若，则与互斥 B．若，则与不相互独立 C．若，则与不互斥 D．若，则与相互独立 【答案】BCD 【分析】依次写出和时样本总空间、事件的样本空间，以及利用古典概型求出相应的概率，再结合互斥事件和独立事件定义分析即可得解. 【详解】记抛掷一枚硬币正面向上为1，反面向上为0， 则连续抛掷一枚硬币两次的样本空间为， 此时事件的样本空间为，事件的样本空间为， 积事件的样本空间为， 所以事件交集不空，不互斥，且， 所以，故与不相互独立，故A错误，B正确； 连续抛掷一枚硬币3次的样本空间为共8个样本点， 此时事件的样本空间为共6个样本点， 事件的样本空间为共4个样本点， 积事件的样本空间为， 所以事件的交集不空，不互斥，且， 所以，故与相互独立，故CD正确； 故选：BCD 【变式3】下列对各事件发生的概率判断正确的是（  ） A．某学生在上学的路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是，那么该生在上学路上到第3个路口首次遇到红灯的概率为 B．小王逛书店，他买甲书和买乙书相互独立，若小王买甲书不买乙书的概率为，甲和乙两本书都买的概率为，则小王买乙书的概率为 C．三人独立地破译一份密码，他们能单独译出的概率分别为，，，假设他们破译密码是彼此独立的，则此密码被破译的概率为 D．甲袋中有8个白球，4个红球，乙袋中有6个白球，6个红球，从每袋中各任取一个球，则取到同色球的概率为 【答案】ABD 【分析】根据独立事件的乘法公式对每个选项由题意进行计算，从而进行判断即可. 【详解】对于A：该生在第3个路口首次遇到红灯的情况为前2个路口不是红灯，第3个路口是红灯， 所以概率为，故A正确； 对于B：设购买甲书的概率为，购买乙书的概率为， 则由题意可得解得.  故B正确； 对于C：用A、B、C分别表示甲、乙、丙三人能破译出密码， 则，，， “三个人都不能破译出密码”发生的概率为， 所以此密码被破译的概率为，故C不正确； 对于D：设“从甲袋中取到白球”为事件A，则， 设“从乙袋中取到白球”为事件B，则， 故取到同色球的概率为，故D正确. 故选：ABD 题型03 全概率公式及其应用 【典例1】在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立．由于随机因素的干扰，发送信号0或1有可能被错误地接收为1或0．已知发送0时，接收为0和1的概率分别为0.8和0.2；发送1时，接收为0和1的概率分别为0.1和0.9．以下叙述正确的是（   ） A．若重复发送信号0两次，则接收信号均为0的概率为0.96 B．若重复发送信号1两次，则两次接收信号不同的概率为0.18 C．若发送信号为1或0的概率均为0.5，则接收信号为1的概率为0.55 D．若接收信号为1的概率为0.76，则发送信号为1的概率为0.8 【答案】BCD 【分析】设出对应事件，根据条件概率和全概率公式计算即可得解. 【详解】根据题意，设事件为“发送信号0”，事件为“发送信号1”，事件为“接收信号为0”，事件为“接收信号为1”， 则，，，. 若重复发送信号0两次，则接收信号均为0的概率为 ，A错误； 若重复发送信号1两次，则两次接收信号不同的概率为 ，B正确； 若发送信号为1或0的概率均为0.5，则接收信号为1的概率为 ，C正确； 接收信号为1的概率为 ，解得 即发送信号为1的概率为0.8，D正确. 故选：BCD. 【典例2】一个袋子中有 10 个除颜色外完全相同的小球， 其中有 4 个黄球， 6 个白球， 分别采用有放回和不放回的方式，从袋子中随机摸出 2 个球作为样本，用 表示样本中黄球的个数，下列说法正确的有（    ） A．如果采用有放回地摸球，则两次都摸到黄球的概率是 B．如果采用不放回地摸球，第一次摸到黄球的条件下，则第二次也摸到黄球的概率为 C．如果采用不放回地摸球，则第二次摸到黄球的概率为 D．无论是采用有放回摸球还是不放回摸球， 的均值都是一样的 【答案】BCD 【分析】利用相互独立事件求出概率判断A；利用条件概率及全概率公式求解判断BC；利用二项分布及超几何分布均值求解判断D. 【详解】对于A，有放回地摸球，每次摸到黄球的概率为，且相互独立，则两次都摸到黄球的概率是，A错误； 对于BC，不放回地摸球，设” 第一次摸到黄球”，“第二次摸到黄球”， 则，，BC正确； 对于D，当分别采用有放回摸球和不放回摸球时，样本中的黄球个数分别服从二项分布 和超几何分布，其均值均为，D正确. 故选：BCD 全概率公式在解题中体现了“化整为零、各个击破”的转化思想，可将较为复杂的概率计算分解为一些较为容易的情况分别进行考虑． 【变式1】已知，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】运用全概率和条件概率公式，结合对立事件概率求解即可. 【详解】，则. 由于，则. 则， 则. 故选：B． 【变式2】某射击俱乐部开展青少年射击培训，俱乐部共有6支气枪，其中有2支气枪未经试射校正，有4支气枪已校正，若用校正过的气枪射击，射中10环的概率为0.8，用未校正过的气枪射击，射中10环的概率为0.4，某少年射手任取一支气枪进行1次射击，射中10环的概率是 ；若此少年射手任取一支气枪进行4次射击（每次射击后将气枪放回），每次射击结果相互不影响，则4次射击中恰有2次射中10环的概率为 ． 【答案】 【分析】①用全概率事件来求解即可；②用二项分布概率公式来求解即可. 【详解】①设事件表示使用已校正的气枪，事件表示射中10环， 则， 故任取一支气枪射中10环的概率是； ②4次射击中恰有2次射中10环的概率为：. 故答案为：①；②. 【变式3】某同学第1天午餐时随机选择中的一家就餐，若第1天去餐厅，则第2天去餐厅的概率为0.6；若第1天去餐厅，则第2天去餐厅的概率为0.8．则该同学第2天去餐厅的概率为 ． 【答案】0.3/ 【分析】根据题意结合全概率公式可直接求得. 【详解】设“第天去餐厅就餐”，“第天去餐厅就餐”， 则对立且， 所以． 故答案为：0.3. 题型04 贝叶斯公式及其应用 【典例1】袋中有4个红球，6个白球，不放回地摸两次球，求： (1)第二次摸到红球的概率； (2)已知第二次摸到红球，求第一次也摸到红球的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设事件表示“第一次摸到红球＂，事件表示”“第一次摸到白球”，事件表示“第二次摸到红球”，利用全概率公式即可求解； （2）利用贝叶斯公式即可求解. 【详解】（1）设事件表示“第一次摸到红球＂，事件表示”“第一次摸到白球”，事件表示“第二次摸到红球”， 则 由全概率公式有． （2）由贝叶斯公式有． 【典例2】某保险公司经统计后认为，人分为两类：一类是易出事故的人，他们一年出事故的概率为0.4；另一类是比较谨慎的人，他们一年出事故的概率为0.2．假定第一类人占，那么： (1)一位客户在他购买保险后一年内出事故的概率是多少？ (2)若一位客户在买保险后一年内出了事故，则他是易出事故的人的概率是多少？ 【答案】(1)0.26 (2) 【分析】（1）设事件表示“客户在购买保险后一年内出事故”，事件表示“易出事故的人”，事件表示“比较谨慎的人”，利用全概率公式即可求解； （2）利用贝叶斯公式即可求解. 【详解】（1）设事件表示“客户在购买保险后一年内出事故”，事件表示“易出事故的人”，事件表示“比较谨慎的人”， 则， 所以． （2）所以． 1、利用贝叶斯公式求概率的步骤 第一步：利用全概率公式计算，即； 第二步：计算，可利用求解； 第三步：代入求解． 2、贝叶斯概率公式反映了条件概率，全概率公式及乘法公式之间的关系，即． 【变式1】某同学参加数学竞赛，系统会随机匹配一套试卷，共有卷，卷，卷3套，若该同学抽到卷过关的概率为，抽到卷过关的概率为，抽到卷过关的概率为，记该同学过关的概率为.若已知该同学过关，则他抽到是卷的概率为，则 ， . 【答案】 / 【分析】设抽到试卷的概率记作，抽到试卷的概率记作，抽到试卷的概率记作，有，，，，由全概率公式和贝叶斯定理求解. 【详解】设抽到试卷的概率记作，抽到试卷的概率记作，抽到试卷的概率记作， 根据题意，有，，，， 由全概率公式 . 所以. 故答案为：；. 【变式2】某加工厂的某种生活用品由A和B两台机器生产，A机器生产该种生活用品的速度是B机器的3倍，且A机器生产出来的该种生活用品不合格的概率为，B机器生产出来的该种生活用品不合格的概率为假设A，B机器每天同时开启和关闭，且两台机器生产出来的该种生活用品是否合格相互之间不影响．现随机抽出一件该种生活用品，下列结论正确的是（   ） A．这件生活用品合格的概率为 B．这件生活用品不合格的概率为 C．若这件生活用品不合格，则它来自A机器生产的概率为 D．若这件生活用品不合格，则它来自B机器生产的概率为 【答案】AC 【分析】设该生活用品由机器生产为事件，该生活用品由机器生产为事件，该生活用品为合格品为事件，得到，且，结合全概率公式阿赫条件概率的计算公式，逐项求解，即可得到答案. 【详解】设该生活用品由机器生产为事件，该生活用品由机器生产为事件， 该生活用品为合格品为事件， 可得， 则， 对于A中，由，所以A正确； 对于B中，由，所以B错误； 对于C中，，所以C正确； 对于D中，，所以D错误. 故选：AC. 【变式3】假设小红口袋中有3个白球和3个红球，小兰口袋中有2个白球和2个红球，现小红从自己口袋中任取2个球放入小兰口袋中，小兰再从自己口袋中任取2个球，已知小兰取出的是2个红球，则小红从口袋中取出的也是2个红球的概率为 . 【答案】/ 【分析】根据全概率公式求解小兰取出的是2个红球的概率；进而求解小红从口袋中取出的也是2个红球的概率，即可利用贝叶斯公式求解即可. 【详解】设小红取出个球，其中红球的个数为个的事件为，从小兰取出个球，其中红球的个数为2个的事件为， 由题意可得：，； ，； ，； 则， 所以小兰取出的是2个红球，则小红取出的也是2个红球的概率为. 故答案为： 题型05 离散型随机变量的分布列 【典例1】设为实数，若随机变量的分布列为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由随机变量分布列所有概率之和等于1，计算即可. 【详解】根据题意，，且所有概率之和等于1， ， ，解得：， . 故选：A 【典例2】下表是离散型随机变量的概率分布，则常数的值是（   ） 3 4 5 6 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据概率和为1，列方程求得的值. 【详解】根据概率和为1，列方程得： ， 解得. 故选：C. 一般地，若离散型随机变量可能取的不同值为，取每一个值的概率，以表格的形式表示如下： 我们将上表称为离散型随机变量的概率分布列，简称为的分布列．有时为了简单起见，也用等式，表示的分布列． 【变式1】随机变量ξ的分布列如表格所示，其中，则b等于（   ） ξ ﹣1 0 1 P a b c A．   B． C． D． 【答案】A 【分析】根据分布列的性质及已知条件解题即可. 【详解】根据题意，由分布列可得： 解得：. 故选:A 【变式2】甲、乙两人下象棋，甲赢了得3分，平局得1分，输了得0分，共下三局.用表示甲的得分，则表示（    ） A．甲赢三局 B．甲赢一局 C．甲、乙平局三次 D．甲赢一局或甲、乙平局三次 【答案】D 【分析】根据题意，分两种情况，即甲赢一局或甲、乙平局三次. 【详解】由于甲赢了得3分，平局得1分，输了得0分，故分成两种情况， 即或者，即甲赢一局或甲、乙平局三次. 故选：D 【变式3】在一次购物抽奖活动中，假设某10张奖券中有一等奖奖券1张，可获价值50元的奖品；有二等奖奖券3张，每张可获价值10元的奖品；其余6张没有奖.某顾客从此10张奖券中任抽2张，求： (1)该顾客中奖的概率； (2)该顾客获得的奖品总价值的分布列，并求出的值. 【答案】(1)； (2)分布列见解析，. 【分析】（1）应用组合数及古典概型的概率、对立事件的概率求法求顾客中奖的概率； （2）由已知有的可能取值为0，10，20，50，60并求出对应概率，即得分布列，进而由求值. 【详解】（1）该顾客中奖的概率. （2）的可能取值为0，10，20，50，60. ，，， ，. 故随机变量的分布列为 0 10 20 50 60 所以. 题型06 离散型随机变量的均值与方差 【典例1】某企业将9个培训名额分配给4个部门，每个部门至少分得1个名额，设为这4个部门中分得的最少名额数，则的方差为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出的可能值及对应的概率，再利用期望、方差的定义求解. 【详解】依题意，的可能值为1，2，， 则的期望，方差. 故选：C 【典例2】某游戏推出两种抽奖活动和，玩家可以通过参与活动获得游戏币，从而换取稀有道具.活动和活动的抽奖收益，（单位：千个）及其概率分布如下表所示，则下列选项正确的是（   ） 活动的收益分布： 3 7 11 0.4 0.3 活动的收益分布： 0 8 18 0.6 0.1 A． B． C．两个活动的收益期望一样多 D．活动的收益风险低于活动 【答案】AC 【分析】根据分布列的性质求出、，再根据期望、方差公式计算可得. 【详解】依题意可得，所以，， 则，故A正确； 所以， ，则，故C正确； 而，故B错误； 因为， ， 即，所以活动的收益风险高于活动，故D错误. 故选：AC. 称为随机变量的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平． 则称为随机变量的方差，并称其算术平方根为随机变量的标准差． 【变式1】某数学研究小组对一家商铺进行了研究分析，发现每日客流量X服从正态分布，其密度函数峰值为，均值为100，且商铺规定消费一次可以获得不同数量的积分：获得1分的概率为，获得2分的概率为，获得3分的概率为.每次消费获取积分相互独立. (1)求； (2)记某顾客消费两次累计获得的积分为Z，求Z的分布列与期望. 附：正态密度函数，其中为均值，为标准差.，，. 【答案】(1) (2)分布列见解析， 【分析】（1）先求出，结合特定区间上的概率可求； （2）利用独立事件的概率公式求出的分布列后可求其期望. 【详解】（1）由于，所以， 所以. 那么 . （2）依题意，所有可能的取值为2，3，4，5，6. ，， ，， . 所以的分布列如下. 2 3 4 5 6 . 【变式2】高考数学的多选题每题分，每题有个或个正确选项，全部选对得分．若正确答案个数为个，则选对个且无错选得分；若正确答案个数为个，则选对个且无错选得分，选对个且无错选得分．若不选或有错选则不得分．现假设正确答案个数为个的多选题出现概率为，现随机填写某个多选题的若干个选项，则下列说法正确的有（   ） A．若，则随机填写个选项时可以使得分的数学期望最高 B．若，则随机填写个或个选项可以使得分的数学期望最高 C．若，则随机填写个选项时可以使得分的数学期望最高 D．随机填写个选项的得分数学期望一定高于随机填写个选项的得分数学期望 【答案】BCD 【分析】设随机填写个选项的得分为，求出、、关于的表达式，两两作差比较大小可得出结论. 【详解】设随机填写个选项的得分为， 则的可能取值有、、，， ，， 所以，， 的可能取值有、、，， ，， 所以，， 的可能取值有、，， ， 所以，. 对于D选项，， 所以，随机填写个选项的得分数学期望一定高于随机填写个选项的得分数学期望，D对； 对于A选项，若，，即，A错； 对于B选项，若，，即， 所以，随机填写个或个选项可以使得分的数学期望最高，B对； 对于C选项，若，，则， 所以，随机填写个选项时可以使得分的数学期望最高，C对. 故选：BCD. 【变式3】已知随机变量X的分布列如下： X P 若随机变量满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】由分布列的性质求出的值，可判断A选项；由期望公式可判断B选项；由方差公式可判断C选项；利用方差的性质可判断D选项. 【详解】由题意可知，，则， 则， 又，所以． 故选：AD. 题型07 两点分布 【典例1】下列选项中的随机变量服从两点分布的是（    ）． A．抛掷一枚骰子，所得点数X B．某射手射击一次，击中目标得2分，未击中目标得0分，射手的得分X C．从装有5个红球，3个白球的袋子中取1个球，定义：“取出白球”，“取出红球” D．某医生做一次手术，手术成功的次数X 【答案】CD 【分析】利用两点分布的定义，逐项分析判断即可作答. 【详解】两点分布又叫0-1分布，试验结果只有两个，并且随机变量的取值只有0，1两个，C，D满足题意； 抛掷一枚骰子，所得点数X可能的结果为1，2，3，4，5，6，共6个，不是两点分布，A不满足题意； 某射手射击一次的试验结果有两个，但随机变量X的取值是0，2，B不满足题意． 故选：CD 【典例2】袋内有10个红球，5个白球，从中摸出2个球，记求的分布列． 【答案】分布列见解析 【分析】由服从两点分布求解. 【详解】解：由题设知服从两点分布，且，． 所以的分布列为 0 1 两点分布的均值与方差：若随机变量服从参数为的两点分布，则，． 【变式1】已知服从两点分布，且，则 ． 【答案】0.7 【分析】利用两点分布的性质解答. 【详解】解：因为服从两点分布，所以． 故答案为：0.7 【变式2】已知离散型随机变量X的分布列服从两点分布，满足，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据两点分布的性质可得，结合题意求得，再根据两点分布的期望公式即可得解. 【详解】解：因为随机变量X的分布列服从两点分布， 所以， 则，解得或， 又因， 所以，则， 所以. 故选：C. 【变式3】若随机变量X服从两点分布，且．令，则( ) A．0.2      B．0.8      C．1      D．0 【答案】B 【详解】由题可知： 故选：B 题型08 二项分布 【典例1】设M，N为两个随机事件，下列命题是真命题的是（   ） A．若M，N为互斥事件，且，则 B．若，则M，N为相互独立事件 C．若，则M，N为相互独立事件 D．若，则M，N为相互独立事件 【答案】ABD 【详解】若M，N为互斥事件，且，则，由互斥事件的加法公式知A正确；若，则，得，满足，B正确；若，则，得，不满足，C错误；若，则，又，所以，满足，D正确． 【典例2】现有装有若干黄球和若干白球的不透明盒子，下列说法正确的是（   ） A．从盒子中摸出一个球，记录黄球的个数，则服从两点分布． B．从盒子中不放回的依次取4个球，则这个试验是4重伯努利试验． C．利用样本估计总体中黄球的比例，采用不放回摸球估计的结果更可靠 D．用X表示有放回方式下摸出黄球的个数，已知，则 【答案】ACD 【分析】利用两点分布、伯努利试验AB；利用有放回、无放回可靠性判断C；利用期望的性质计算判断D. 【详解】对于A，从盒子中摸出一个球，记录黄球的个数，的可能取值为0（白球）或1（黄球）， 因此服从两点分布，其中成功概率为黄球比例，A正确； 对于B，从盒子中不放回的依次取4个球，每次取到黄球概率不同，不是4重伯努利试验，B错误； 对于C，利用样本估计总体中黄球的比例，采用不放回摸球估计的结果更可靠，C正确； 对于D，，则，D正确. 故选：ACD 二项分布的适用范围及本质 （1）适用范围： ①各次试验中的事件是相互独立的； ②每次试验只有两种结果：事件要么发生，要么不发生； ③随机变量是这次独立重复试验中事件发生的次数． （2）本质：二项分布是放回抽样问题，在每次试验中某一事件发生的概率是相同的． 3、二项分布的期望、方差 若，则，． 【变式1】甲、乙两人独立地攻克一道难题，已知两人能攻克的概率分别是和，则该题被攻克的概率为 ． 【答案】/0.6 【分析】根据相互独立事件的概率公式求解. 【详解】由题意，该题被攻克的概率为. 故答案为：. 【变式2】随机变量，相互独立，且，，则 . 【答案】/ 【分析】先根据正态分布的性质得出，再利用二项分布的概率公式求出，最后利用概率的乘法公式即可. 【详解】由题意可得，， ， 因随机变量，相互独立，则. 故答案为：. 【变式3】某系统通过摄像头识别手势，准确率为．若连续识别3次手势，至少有一次识别错误的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据概率的乘法公式及对立事件即可求解． 【详解】若连续识别3次手势，至少有一次识别错误的对立事件为三次都识别正确， 所以至少有一次识别错误的概率为， 故选：A． 题型09 超几何分布 【典例1】为迎接中秋佳节，某公司开展抽奖活动，规则如下：在不透明的容器中有除颜色外完全相同的2个红球和3个白球，每位员工从中摸出2个小球．若摸到一红球一白球，可获得价值百元代金券；摸到两白球，可获得价值百元代金券；摸到两红球，可获得价值百元代金券（均为非负整数）．已知每位员工平均可得5.4百元代金券，则运气最好者获得至多 百元代金券． 【答案】18 【分析】根据题意可知百元代金券的所有可能取值为，根据超几何分布可得随机变量取各个值的概率，即可得的分布列，再求期望可知，最后结合基本不等式求的最大值，即可得解． 【详解】设抽奖一次可获得百元代金券，则的所有可能取值为， 摸到一红球一白球的概率， 摸到两白球的概率， 摸到两红球的概率． 则的分布列如下： a b ，即，． 由题意知，运气最好者获得百元代金券， 则， 当且仅当，即，时等号成立， 即的最大值为18. 故答案为：18． 【典例2】下列随机变量服从超几何分布的是（    ） A．表示次重复抛掷1枚骰子出现点数是3的倍数的次数 B．表示连续抛掷2枚骰子，所得的2个骰子的点数之和 C．有一批产品共有件，其中次品有件（），采用有放回抽取方法抽取次（），抽出的次品件数为 D．有一批产品共有件，其中件为次品，采用不放回抽取方法抽件，出现次品的件数为 【答案】D 【分析】服从二项分布列可判断AC；根据古典概型求概率可判断C；根据超几何分布可判断D. 【详解】对于A，因为，故A错误； 对于B，可取， 且， ， ， ， 所以随机变量不服从超几何分布，故B错误； 对于C，因为，故C错误； 对于D，可取，且 0 1 k n 所以随机变量服从超几何分布，故D正确. 故选：D. 在含有件次品的件产品中，任取件，其中恰有件次品，则事件发生的概率为，，1，2，…，，其中，且，，，，，称分布列为超几何分布列．如果随机变量的分布列为超几何分布列，则称随机变量服从超几何分布． 0 1 … … 【变式1】为深入学习贯彻党的二十大精神，推动全市党员干部群众用好“学习强国”学习平台，某单位组织“学习强国”知识竞赛，竞赛共有10道题目，随机抽取3道让参赛者回答，规定参赛者至少要答对其中2道才能通过初试.已知某参赛党员甲只能答对其中的6道，那么党员甲抽到能答对题目数的数学期望为 . 【答案】 【分析】分析题意，确定的所有可能的值，运用超几何分布的概率公式求得它们的概率，列出分布列表，计算其均值即得. 【详解】由题意可得 则， ， 可得的分布列为： 0 1 2 3 期望. 故答案为：. 【变式2】产品的质量是企业的根本，产品检测是生产中不可或缺的重要工作，某工厂为了保证产品质量，利用两种不同方法进行检测，两位员工随机从生产线上各抽取数量相同的一批产品，已知在两人抽取的一批产品中均有5件次品，员工甲从这一批产品中有放回地随机抽取3件产品，员工乙从这一批产品中无放回地随机抽取3件产品，设员工甲抽取到的3件产品中次品数量为，员工乙抽取到的3件产品中次品数量为，，则下列判断不正确的是（    ）（参考：超几何分布其均值） A．随机变量服从二项分布 B．随机变量服从超几何分布 C． D． 【答案】D 【分析】由二项分布的定义判断A；由超几何分布的定义判断B；通过计算判断CD. 【详解】对于A，员工甲从这一批产品中有放回地随机抽取3件产品，则随机变量服从二项分布，A正确； 对于B，员工乙从这一批产品中无放回地随机抽取3件产品，则随机变量服从超几何分布，B正确； 对于C，该批产品有件，则， ，C正确； 对于D，，，若， 则，与选项C矛盾，D错误． 故选：D 【变式3】一个班级共有30名学生，其中有10名女生，现从中任选三人代表班级参加学校开展的某项活动，假设选出的3名代表中的女生人数为变量，男生的人数为变量，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意结合超几何分布运算求解即可. 【详解】因为， 所以. 故选：C. 题型10 正态分布 【典例1】若随机变量服从标准正态分布，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据给定条件，利用标准正态分布的性质逐项计算判断. 【详解】对于AB，由，得，A正确，B错误； 对于CD，，则，C正确，D错误. 故选：AC 【典例2】给出以下四个说法，其中正确的说法有（    ） A．绘制频率分布直方图时，各小长方形的面积等于相应各组的组距 B．在刻画回归模型的拟合效果时，的值越大，说明拟合的效果越好 C．设随机变量服从正态分布，则 D．对分类变量与，若计算出的越小，则判断“与有关系”的犯错误的概率越小 【答案】BC 【分析】利用频率分布直方图相关知识可判断A选项；利用的值与回归模型的关系可判断B选项；利用正态分布密度曲线的对称性可判断C选项；利用独立型检验可判断D选项. 【详解】对于A选项，绘制频率分布直方图时，各小长方形的面积等于相应各组矩形的面积，A错； 对于B选项，在刻画回归模型的拟合效果时，的值越大，说明拟合的效果越差，B对； 对于C选项，设随机变量服从正态分布，则，C对； 对于D选项，对分类变量与，若计算出的越小，则判断“与有关系”的犯错误的概率越大，D错. 故选：BC. 1、在解决有关问题时，通常认为服从正态分布的随机变量只取之间的值．如果服从正态分布的随机变量的某些取值超出了这个范围就说明出现了意外情况． 2、求正态变量在某区间内取值的概率的基本方法： （1）根据题目中给出的条件确定与的值． （2）将待求问题向，，这三个区间进行转化； （3）利用在上述区间的概率、正态曲线的对称性和曲线与x轴之间的面积为1求出最后结果． 3、假设检验的思想 （1）统计中假设检验的基本思想：根据小概率事件在一次试验中几乎不可能发生的原则和从总体中抽测的个体的数值，对事先所作的统计假设作出判断：是拒绝假设，还是接受假设． （2）若随机变量ξ服从正态分布，则ξ落在区间内的概率为，亦即落在区间之外的概率为，此为小概率事件．如果此事件发生了，就说明不服从正态分布． （3）对于小概率事件要有一个正确的理解： 小概率事件是指发生的概率小于的事件．对于这类事件来说，在大量重复试验中，平均每试验大约次，才发生1次，所以认为在一次试验中该事件是几乎不可能发生的．不过应注意两点：一是这里的“几乎不可能发生”是针对“一次试验”来说的，如果试验次数多了，该事件当然是很可能发生的；二是当我们运用“小概率事件几乎不可能发生的原理”进行推断时，也有犯错的可能性． 【变式1】如图是正态分布，，（，，）对应的曲线，则，，的大小关系是（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】直接由正态分布曲线的特点及曲线所表示的几何意义结合已知图象得答案. 【详解】由的意义可知，图象越瘦高，数据越集中，越小，故有． 故选：A. 【变式2】在某项测量中，测量结果服从正态分布（），若在内取值的概率为0.8，则在内取值的概率为（    ） A．0.9 B．0.8 C．0.3 D．0.1 【答案】A 【分析】由正态分布的性质可得. 【详解】 因为服从正态分布（）， 所以正态分布曲线关于对称； 又因为在内取值的概率为0.8， 所以在内取值的概率为0.4， 所以在内取值的概率为． 故选：A 【变式3】某学校高二年级数学联考成绩，如果规定大于或等于105分为数学成绩“良好”，那么在参加考试的学生中随机选择一名，他的数学成绩为“良好”的概率是（   ） （提示：若，则，，）=0.9973） A．0.0455 B．0.15865 C．0.3173 D．0.34135 【答案】B 【分析】根据正态分布的性质计算可得. 【详解】因为，所以，， 所以. 故选：B. 1．设袋中装有只红球，只白球．每次取1只观察其颜色并放回，再放入只同色球，连续取四次．试求第一次、第二次取到红球，且第三次、第四次取到白球的概率． 【答案】 【分析】以表示事件“第次取到红球”，，则分别表示“第三次取到白球”“第四次取到白球”，利用乘法公式即可求解. 【详解】以表示事件“第次取到红球”，，则分别表示“第三次取到白球”“第四次取到白球”， 则， 由乘法公式有 ． 2．一周的天气情况如下表所示． 星期 日 一 二 三 四 五 六 预报 晴 阴 雨 雨 雨 晴 雨 实际 晴 雨 阴 雨 雨 晴 晴 求：在预报有雨的条件下，实际也下雨的概率． 【答案】 【分析】设事件表示“预报有雨”，事件表示“实际下雨”， 解法一：计算，利用即可求解； 解法二：计算，利用条件概率公式即可求解. 【详解】设事件表示“预报有雨”，事件表示“实际下雨”， 解法一：． 解法二：，所以． 3．某厂家主要生产玻璃制品，其生产的玻璃碗成箱出售，每箱30只．任意一箱中次品的数量是0，1，2只分别对应的概率是．某位顾客在购买时，任意提取一箱，从该箱中随机抽查5只玻璃碗，如果5只都不是次品，就买下该箱玻璃碗，否则不买．那么这位顾客买下这箱玻璃碗的概率是多少？ 【答案】 【分析】令事件表示该箱玻璃杯有只次品，，令事件表示顾客买下这箱玻璃碗，计算，再利用全概率公式即可求解. 【详解】令事件表示该箱玻璃杯有只次品，，令事件表示顾客买下这箱玻璃碗， 所以，， 所以. 故答案为：. 4．某人参加射击比赛，他击中目标的概率是． (1)设为他射击6次击中目标的次数，求随机变量的分布列； (2)若他只有6颗子弹，且当他击中目标时，就不再射击；当他未击中目标时，就继续射击，直至子弹打完，求他射击次数的分布列； (3)设为他第一次击中目标时所需要射击的次数，求的分布列． 【答案】(1)分布列见解析； (2)分布列见解析； (3)分布列见解析. 【分析】（1）某人每次的射击是相互独立且互不影响的，相当于多次重复试验．满足二项分布定义，可以用二项分布性质求解． （2）求离散型随机变量的分布列时要注意随机变量的所有可能取值． （3）应用独立重复试验的概率求法求分布列即可. 【详解】（1）因为此人每次击中目标的概率是， 所以他射击6次，击中目标次的概率． 所以的分布列为： 0 1 2 3 4 5 6 （2）的取值为，若，则前次均未击中目标． 则, 所以的分布列为： 1 2 3 4 5 6 （3）由（2）可得， 所以的分布列为： 1 2 3 5．若离散型随机变量的分布列为： 0 1 则实数的值为 ． 【答案】/ 【分析】根据分布列中概率和为1列方程求参数值，注意验证. 【详解】由题设，可得，所以或， 当时，，，显然不符； 当时，，，满足. 所以. 故答案为： 6．一名射手每次射击击中目标的概率都是0.8，求这名射手在10次射击中，恰有8次击中目标的概率及至少有8次击中目标的概率．（结果精确到0.001） 【答案】， 【分析】根据给定条件，利用独立重复试验的概率公式列式求解. 【详解】射手在10次射击中，击中目标的次数为，则， 所以恰有8次击中目标的概率； 至少有8次击中目标的概率 . 7．投掷四枚不同的金属纪念币，其中两枚正面向上的概率均为，两枚（质地不均匀）正面向上的概率均为．将这四枚纪念币同时投掷一次，设表示出现正面向上的枚数． (1)求的分布列（用表示）； (2)若恰有一枚纪念币正面向上对应的概率最大，求的取值范围． 【答案】(1)分布列见解析 (2) 【分析】（1）由可能的取值，根据古典概型运算公式，结合独立事件乘法公式进行求解即可； （2）根据的取值范围，结合（1）中的结论和题意列出不等式组进行求解即可. 【详解】（1）由题意可得的可能取值为0，1，2，3，4． ， ， ， ． 所以的分布列为 0 1 2 3 4 （2）因为，所以，． 所以 解得，或 故的取值范围是． 8．设为互不相等的正实数，随机变量X和Y的分布列如下表．若记分别为X，Y的期望，，分别为X，Y的方差，则 ， ．（填“>” “<”或“=”） X Y P 【答案】 ＝ ＞ 【分析】根据题意，解法1、求出数学期望和方差，根据基本不等式比较即可；解法2、根据期望相等，根据数据离散程度判断方差即可. 【详解】解法1：， ． ， ． 要比较与的大小，只需比较与． 两者作差并化简， ①， 由于为互不相等的正实数，故①， 即，所以． 解法2：易知． 由方差的定义知，方差刻画离散型随机变量取值的离散程度，而随机变量Y的取值是随机变量X的平均值，更集中，从而． 9．已知甲、乙两队参加知识竞赛，每队3人，每人回答一个问题，答对者为本队赢得一分，答错得零分．假设甲队中每人答对的概率均为，乙队中3人答对的概率分别为，，，且各人回答正确与否相互之间没有影响． (1)分别求甲队总得分为0分和2分的概率； (2)求甲队得2分且乙队得1分的概率． 【答案】(1)甲队总得分为0分和2分的概率分别为. (2)甲队得2分且乙队得1分的概率为. 【分析】（1）（2）运用独立事件概率相关知识，可容易解出. 【详解】（1）设甲队总得分为0分为事件，甲队总得分为2分为事件. 甲队总得分为0分，即甲队三人都回答错误，其概率. 甲队总得分为2分，即甲队三人中有1人答错，其余2人答对，其概率. （2）设乙队得1分为事件，甲队得2分且乙队得1分为事件.则 ， 所以. 综上，(1)甲队总得分为0分和2分的概率分别为；(2)甲队得2分且乙队得1分的概率为. 10．甲、乙、丙三名乒乓球选手进行单打对抗比赛，每两人比赛一场，共赛三场，每场比赛胜者得3分，负者得0分．在每一场比赛中，甲胜乙的概率为，丙胜甲的概率为，乙胜丙的概率为，且各场比赛结果互不影响．甲获得第一名且乙获得第三名的概率为． (1)求的值； (2)设在该次对抗比赛中，丙的得分为，求的分布列． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）利用相互独立事件乘法公式列式计算即可求解； （2）由题意丙的得分的取值可以为0，3，6，丙胜甲的概率为，丙胜乙的概率为，利用相互独立事件、互斥事件的概率计算公式即可得出概率、分布列. 【详解】（1）甲获第一名且乙获第三名的概率为，即甲胜乙、甲胜丙且丙胜乙的概率为， 由，得； （2）由题意知，丙的得分的取值可以为0，3，6，丙胜甲的概率为，丙胜乙的概率为， ， ， ， 所以丙的得分的分布列如下： X 0 3 6 P 11．指出下列随机变量是否是离散型随机变量，并说明理由． (1)某座大桥一天内经过的车辆数量； (2)某超市5月份每天的销售额； (3)当江西省九江市长江水位监测站所测水位在这一范围内变化时，该水位监测站所测水位． 【答案】(1)是，理由见解析； (2)是，理由见解析； (3)不是，理由见解析. 【分析】（1）（2）（3）离散型随机变量和连续型随机变量的主要区别在于离散型随机变量可以被一一列举出来，理解判断即可. 【详解】（1）车辆数量可以被一一列举出来，所以是离散型随机变量； （2）5月份每天的销售额可以被一一列举出来，所以是离散型随机变量； （3）水位监测站所测水位在这一范围内变化，不能被一一列举出来，所以不是离散型随机变量. 12．判断下列各个量，指出其中哪些是随机变量，哪些不是随机变量，并说明理由． (1)北京国际机场候机厅中，2030年4月1日的旅客数量； (2)体积为的球的半径； (3)在一次绘画作品评比中，设一、二、三等奖，你的一件作品所获得的奖次． 【答案】(1)是，理由见解析； (2)不是，理由见解析； (3)是，理由见解析. 【分析】（1）（2）（3）根据随机变量可以用数值表示，且结果是随机的，理解判断即可. 【详解】（1）旅客数量可能是出现的结果是随机的，因此旅客数量是随机变量； （2）当球的体积是时，球的半径为定值，因此球的半径不是随机变量； （3）你的一件作品所获得的奖次可能是一、二、三等奖，是随机的，因此奖次是随机变量. 13．一盒子中装有只产品，其中有只一等品、只二等品．从中任取产品两次，每次取只，不放回．事件表示“第一次取到的是一等品”，事件表示“第二次取到的是一等品”，试用两种方法求． 【答案】 【分析】解法一：记从只一等品、只二等品中任取只的所有取法，利用组合计数原理结合古典概型的概率公式可求得的值； 解法二：记从只一等品、只二等品中取只所有取法，事件表示“从只一等品、只二等品中取只，第一次取只一等品，第二次取到只一等品”，结合条件概率公式可求得的值. 【详解】解法一：样本空间改变法： 从只一等品、只二等品中任取只的所有取法，所以； 解法二：从只一等品、只二等品中取只所有取法， 所以中所含的基本事件数为， 事件表示“从只一等品、只二等品中取只，第一次取只一等品，第二次取到只一等品”， 所以中所含的基本事件为， 事件表示“从只一等品、只二等品中取2只，第一次取只一等品，第二次任取”， 所以中所含的基本事件为，故. 14．抛掷红、蓝两枚骰子，设事件表示“蓝骰子点数是4或6”，事件表示“两枚骰子点数之和大于8”．求当事件发生时，事件发生的概率． 【答案】 【分析】先求出所有可能的事件的总数，及事件，事件，事件包含的样本点个数，代入条件概率计算公式，可得答案． 【详解】样本空间是所有可能的骰子结果，共种： . 其中是红骰子点数，是蓝骰子点数. 事件 （蓝骰子为 4 或 6）： ， 共用种. 事件（蓝骰子为 4 或 6，且两骰子之和 > 8）： ， 共用6种. 。 。 故. 15．某学校举行游泳和乒乓球比赛，某学生只能参加一项比赛，他参加游泳和乒乓球项目的概率分别为0.4，0.6，若他在游泳、乒乓球比赛中获得冠军的概率分别为0.3，0.7.已知他获得冠军，则他参加游泳比赛的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据条件概率的计算公式计算即可. 【详解】设他获得冠军为事件，他参加游泳比赛为事件， 则， 故选：C. 76 / 76 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第七章 随机变量及其分布列 教学目标 1. 理解随机变量的定义，能区分离散型随机变量（取值可一一列举）与连续型随机变量（取值不可一一列举），掌握用字母表示随机变量的规范方法，能将随机试验结果数字化（如用0-1表示硬币正反面）。 2. 掌握离散型随机变量分布列的概念与结构，明确分布列“表格形式”“概率等式形式”的表示方法，牢记分布列的两大核心性质（所有概率非负、概率和为1），能依据性质检验分布列的合理性。 3. 熟练掌握两类经典分布模型：两点分布（0-1分布）、超几何分布与二项分布，理解各分布的适用场景（如放回抽样对应二项分布、不放回抽样对应超几何分布），能准确写出对应分布列。 4. 掌握数学期望与方差的定义式及计算方法，理解其统计意义（期望反映平均水平，方差刻画离散程度），能运用期望、方差分析随机现象的稳定性与集中趋势。 教学重难点 重点 1. 随机变量的概念理解与数字化转化：核心是让学生掌握“用数字表示随机试验结果”的方法，无论是自然对应（如骰子点数）还是人为约定（如硬币正反面用0-1表示），明确随机变量的本质是“刻画随机现象的变量”。 2. 离散型随机变量分布列的概念与性质：理解分布列是“随机变量取值与对应概率的对应关系”，能规范列出分布列，并利用“概率非负”“概率和为1”两大性质检验结果正确性。 3. 经典分布模型的识别与应用：能根据实际问题情境（放回/不放回、独立重复试验等）准确区分两点分布、超几何分布与二项分布，熟练写出分布列并计算相关概率。 4. 期望与方差的计算与意义解读：掌握期望、方差的基本计算方法，能结合具体问题解释其实际含义（如比较两组数据的稳定性、评估方案的合理性）。 难点 1. 随机变量的抽象理解：难以摆脱“变量必为确定性数值”的固有认知，对“随机变量取值的不确定性与概率的确定性”存在困惑，不会恰当定义随机变量。 2. 分布列与函数的关系辨析：类比函数研究分布列时，难以理解“随机变量为自变量、概率为因变量”的对应关系，对分布列的表示方法掌握不灵活。 3. 经典分布模型的精准区分：易混淆超几何分布与二项分布（核心是“不放回”与“放回/独立重复”的判断），对两点分布的适用条件（只有两个可能取值）理解不透彻。 4. 复杂情境下的概率计算与模型构建：面对含限制条件的实际问题（如多步随机试验、分层抽样中的概率问题），难以准确界定随机变量的取值范围，易出现概率计算重复或遗漏。 5. 期望与方差的意义内化：能机械套用公式计算，但无法结合具体情境解释结果的实际价值（如不知道方差越小说明数据越稳定），缺乏运用数字特征分析问题的意识。 知识点01 条件概率 （一）定义 一般地，设，为两个事件，且，称为在事件发生的条件下，事件发生的____________． 注意：（1）条件概率中“”后面就是条件；（2）若，表示条件不可能发生，此时用条件概率公式计算就没有意义了，所以条件概率计算必须在的情况下进行． （二）性质 （1）条件概率具有概率的性质，任何事件的条件概率都在和1之间，即． （2）必然事件的条件概率为1，不可能事件的条件概率为． （3）如果与互斥，则． 注意：（1）如果知道事件发生会影响事件发生的概率，那么； （2）已知发生，在此条件下发生，相当于发生，要求，相当于把看作新的基本事件空间计算发生的概率，即________________________． 相互独立与条件概率的关系 （一）相互独立事件的概念及性质 （1）相互独立事件的概念 对于两个事件，，如果，则意味着事件的发生不影响事件发生的概率．设，根据条件概率的计算公式，，从而． 由此我们可得：设，为两个事件，若，则称事件与事件____________． （2）概率的乘法公式 由条件概率的定义，对于任意两个事件与，若，则．我们称上式为概率的乘法公式． （3）相互独立事件的性质 如果事件，互相独立，那么与，与，与也都相互独立． （4）两个事件的相互独立性的推广 两个事件的相互独立性可以推广到个事件的相互独立性，即若事件，，…，相互独立，则这个事件同时发生的概率． （二）事件的独立性 （1）事件与相互独立的充要条件是____________． （2）当时，与独立的充要条件是． （3）如果，与独立，则成立． 【即学即练】 1．袋中有10个大小相同的小球，其中6个白球和4个黑球，每次从袋中随机摸出1个球，摸出的球不再放回．现在从袋中摸出2个球，表示摸到白球的个数，设事件：第一次摸到白球，事件：第二次摸到白球，则（   ） A． B． C． D． 2．甲箱中有2个红球和2个黑球，乙箱中有1个红球和3个黑球．先从甲箱中等可能地取出2个球放入乙箱，再从乙箱中等可能地取出1个球，记事件“从甲箱中取出的球恰有个红球”为，“从乙箱中取出的球是黑球”为，则（    ） A． B． C． D． 知识点02 全概率公式 （一）全概率公式 （1）； （2）定理若样本空间中的事件，，…，满足： ①任意两个事件均互斥，即，，； ②； ③，． 则对中的任意事件，都有，且 ________________________． 注意：（1）全概率公式是用来计算一个复杂事件的概率，它需要将复杂事件分解成若干简单事件的概率计算，即运用了“化整为零”的思想处理问题． （2）什么样的问题适用于这个公式？所研究的事件试验前提或前一步骤试验有多种可能，在这多种可能中均有所研究的事件发生，这时要求所研究事件的概率就可用全概率公式． （二）贝叶斯公式 （1）一般地，当且时，有____________________________________ （2）定理若样本空间中的事件满足： ①任意两个事件均互斥，即，，； ②； ③，． 则对中的任意概率非零的事件，都有， 且 注意：（1）在理论研究和实际中还会遇到一类问题，这就是需要根据试验发生的结果寻找原因，看看导致这一试验结果的各种可能的原因中哪个起主要作用，解决这类问题的方法就是使用贝叶斯公式．贝叶斯公式的意义是导致事件发生的各种原因可能性的大小，称之为后验概率． （2）贝叶斯公式充分体现了________________________________________________之间的转关系，即，，之间的内在联系． 【即学即练】 1．某学校有A，B两家餐厅，王同学第1天午餐时随机地选择一家餐厅用餐，如果第1天去餐厅，那么第2天去餐厅的概率为0.6；如果第1天去餐厅，那么第2天去餐厅的概率为0.8．则王同学第2天去餐厅用餐的概率为 ． 2．全概率公式指的是：设为样本空间，若事件两两互斥，，则对任意的事件，有.小张一家打算去西安市或汉中市旅游，去西安市与汉中市的概率分别为0.7，0.3，在西安市去游乐园的概率为0.6，在汉中市去游乐园的概率为0.4，则小张一家去游乐园的概率为（    ） A．0.48 B．0.49 C．0.52 D．0.54 知识点03 离散型随机变量的分布列 1、随机变量 在随机试验中，我们确定了一个对应关系，使得每一个试验结果都用一个确定的数字表示．在这个对应关系下，数字随着试验结果的变化而变化．像这种随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量．随机变量常用字母，，，，…表示． 注意： （1）一般地，如果一个试验满足下列条件：①试验可以在相同的情形下重复进行；②试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个；③每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但在一次试验之前不能确定这次试验会出现哪个结果．这种试验就是随机试验． （2）有些随机试验的结果虽然不具有数量性质，但可以用数来表示．如掷一枚硬币，表示反面向上，表示正面向上． （3）随机变量的线性关系：若是随机变量，，是常数，则也是随机变量． 2、离散型随机变量 对于所有取值可以一一列出来的随机变量，称为离散型随机变量． 注意： （1）本章研究的离散型随机变量只取____________个值． （2）离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系：①如果随机变量的可能取值是某一区间内的一切值，这样的变量就叫做连续型随机变量；②离散型随机变量与连续型随机变量都是用变量表示随机试验的结果，但离散型随机变量的结果可以按一定的次序一一列出，而连续型随机变量的结果不能一一列出． 3、离散型随机变量的分布列的表示 一般地，若离散型随机变量可能取的不同值为，取每一个值的概率，以表格的形式表示如下： 我们将上表称为离散型随机变量的概率分布列，简称为的分布列．有时为了简单起见，也用等式，表示的分布列． 4、离散型随机变量的分布列的性质 根据概率的性质，离散型随机变量的分布列具有如下性质： （1），；（2）． 注意： ①性质（2）可以用来检查所写出的分布列是否有误，也可以用来求分布列中的某些参数． ②随机变量所取的值分别对应的事件是____________的，利用这一点可以求相关事件的概率． 【即学即练】 1．人工智能对人们的生活有较大的影响，为了让老师更加重视人工智能，某校随机抽出30名男教师和20名女教师参加学校组织的“人工智能”相关知识问卷调查（满分100分），若分数为80分及以上的为优秀，其他为非优秀，统计并得到如下列联表： 男教师 女教师 总计 优秀 20 15 35 非优秀 10 5 15 总计 30 20 50 (1)根据小概率值的独立性检验，能否认为这次成绩是否优秀与性别有关？ (2)从样本中成绩非优秀的15名老师中，随机抽取2人进行调研，记抽出的2人中女老师的人数为，求的分布列和数学期望. 附：，其中. 0.1 0.05 0.01 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 2．设离散型随机变量X可能取的值为1、2、3、4. ．又X的均值，则＝ . 知识点04 离散型随机变量的均值与方差 1、均值 若离散型随机变量的分布列为 称为随机变量的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平． 注意：（1）均值刻画的是取值的“中心位置”，这是随机变量的一个重要特征； （2）根据均值的定义，可知随机变量的分布完全确定了它的均值．但反过来，两个不同的分布可以有相同的均值．这表明分布描述了随机现象的规律，从而也决定了随机变量的均值．而均值只是刻画了随机变量取值的“中心位置”这一重要特征，并不能完全决定随机变量的性质． 2、均值的性质 （1）（为常数）． （2）若，其中为常数，则也是随机变量，且________________________． （3）． （4）如果相互独立，则． 3、方差 若离散型随机变量的分布列为 则称为随机变量的方差，并称其算术平方根为随机变量的标准差． 注意：（1）描述了相对于均值的偏离程度，而是上述偏离程度的加权平均，刻画了随机变量与其均值的平均偏离程度．随机变量的方差和标准差均反映了随机变量取值偏离于均值的平均程度．方差或标准差越小，则随机变量偏离于均值的平均程度越小； （2）标准差与随机变量有相同的单位，而方差的单位是随机变量单位的平方． 4、方差的性质 （1）若，其中为常数，则也是随机变量，且____________． （2）方差公式的变形：____________． 【即学即练】 1．设，随机变量的分布列如下： ξ 0 a 2 P a 当a增大时，有（   ） A．增大，先减小后增大 B．减小，减小 C．增大，先增大后减小 D．减小，增大 2．在“一带一路”倡议推动下，中国与中亚国家合作日益紧密.2025年，某省计划向海外“郑和学院”项目派遣教师，为此举办了专项教学能力培训.参会人员包括600名高职院校教师和400名企业工程师转岗教师.培训后均参加教学能力考核，考核结果为优秀､合格两种情况，统计得到如下列联表： 高职院校教师 企业工程师 总计 优秀 350 170 520 合格 250 230 480 总计 600 400 1000 (1)根据小概率值的独立性检验，能否认为这次考核结果与教师背景类型有关？ (2)若从参会人员中，采用分层抽样的方法随机抽取10名教师，再从这10人中随机抽取3人进行海外教学意愿调研，设抽取的3人中企业工程师的人数为，求的分布列和数学期望. 附：，其中. 0.1 0.05 0.01 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 知识点05 两点分布 1、若随机变量服从两点分布，即其分布列为 0 1 其中，则称离散型随机变量服从参数为的两点分布．其中称为成功概率． 注意： （1）两点分布的试验结果只有两个可能性，且其概率之和为； （2）两点分布又称分布、伯努利分布，其应用十分广泛． 2、两点分布的均值与方差：若随机变量服从参数为的两点分布，则，． 【即学即练】 1．若随机变量服从两点分布，其中，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 2．已知随机变量，均服从两点分布，且，，若，则（   ） A． B． C． D． 知识点06 二项分布 次独立重复试验 1、定义 一般地，在相同条件下重复做的次试验称为次独立重复试验． 注意：独立重复试验的条件：①每次试验在同样条件下进行；②各次试验是相互独立的；③每次试验都只有两种结果，即事件要么发生，要么____________． 2、特点 （1）每次试验中，事件发生的概率是相同的； （2）每次试验中的事件是相互独立的，其实质是相互独立事件的特例． 二项分布 1、定义 一般地，在次独立重复试验中，用表示事件发生的次数，设每次试验中事件发生的概率为，不发生的概率，那么事件恰好发生次的概率是（，，，…，） 于是得到的分布列 … … … … 由于表中第二行恰好是二项式展开式 各对应项的值，称这样的离散型随机变量服从参数为，的二项分布，记作，并称为成功概率． 注意：由二项分布的定义可以发现，两点分布是一种特殊的二项分布，即时的二项分布，所以二项分布可以看成是两点分布的一般形式． 2、二项分布的适用范围及本质 （1）适用范围： ①各次试验中的事件是相互独立的； ②每次试验只有两种结果：事件要么发生，要么不发生； ③随机变量是这次独立重复试验中事件发生的次数． （2）本质：二项分布是放回抽样问题，在每次试验中某一事件发生的概率是相同的． 3、二项分布的期望、方差 若，则________________________． 【即学即练】 1．甲、乙、丙三人参加“校史知识竞答”比赛，若甲、乙、丙三人荣获一等奖的概率分别为，且三人是否获得一等奖相互独立，则这三人中仅有两人获得一等奖的概率为（    ） A． B． C． D． 2．已知一个古典概型的样本空间Ω和事件A，B如图所示.其中， 则事件A与事件B（   ）    A．是互斥事件，不是独立事件 B．不是互斥事件，是独立事件 C．既是互斥事件，也是独立事件 D．既不是互斥事件，也不是独立事件 知识点07 超几何分布 1、定义 在含有件次品的件产品中，任取件，其中恰有件次品，则事件发生的概率为，，1，2，…，，其中，且，，，，，称分布列为超几何分布列．如果随机变量的分布列为超几何分布列，则称随机变量服从超几何分布． 0 1 … … 2、超几何分布的适用范围件及本质 （1）适用范围： ①考察对象分两类； ②已知各类对象的个数； ③从中抽取若干个个体，考察某类个体个数的概率分布． （2）本质：超几何分布是不放回抽样问题，在每次试验中某一事件发生的概率是不相同的． 【即学即练】 1．高考结束后，小明一家四口到阳新仙岛湖度假，中午在某餐厅就餐，该餐厅推出七种特色美食，其中有1种汤类，3种炒菜类，3种米面类，小明一家要点四道美食（每道不重复）． (1)小明家点一道汤和恰好一种米面类美食的不同组合方式有多少种？ (2)用随机变量表示所选美食中米面类的数量，求的分布列和期望． 2．一批照明灯泡有100个，规定其使用寿命达到1000小时以上的为合格品，使用寿命不足1000小时的为不合格品．使用方从该批灯泡中抽样，采用抽样方案，即从该批灯泡中随机抽取5个，若全部合格，则该批灯泡通过验收，否则该批灯泡未通过验收． (1)假定生产方和使用方约定，允许这批灯泡有的不合格率，实际这批灯泡中有7个不合格品．经检测该批产品未通过验收的概率有多大？（结果精确到0.001） (2)现已知这批灯泡中有2个不合格品，写出抽样方案中合格品数的分布并求这批灯泡通过验收的概率．（结果精确到0.001） 知识点08 正态分布 正态曲线 1、定义：我们把函数，（其中是样本均值，是样本标准差）的图象称为正态分布密度曲线，简称正态曲线．正态曲线呈钟形，即中间高，两边低． 2、正态曲线的性质 （1）曲线位于轴上方，与轴不相交； （2）曲线是单峰的，它关于直线____________； （3）曲线在处达到峰值（最大值）； （4）曲线与轴之间的面积为1； （5）当一定时，曲线的位置由确定，曲线随着的变化而沿轴平移，如图甲所示： （6）当一定时，曲线的形状由确定．越小，曲线越“高瘦”，表示总体的分布越集中；越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散，如图乙所示：： 　 甲乙 正态分布 1、定义 随机变量落在区间的概率为，即由正态曲线，过点和点的两条轴的垂线，及轴所围成的平面图形的面积，如下图中阴影部分所示，就是落在区间的概率的近似值． 一般地，如果对于任何实数，，随机变量满足，则称随机变量服从正态分布．正态分布完全由参数，确定，因此正态分布常记作．如果随机变量服从正态分布，则记为． 其中，参数是反映随机变量取值的平均水平的特征数，可以用样本的均值去估计；是衡量随机变量总体波动大小的特征数，可以用样本的标准差去估计． 2、原则 若，则对于任意的实数，为下图中阴影部分的面积，对于固定的和而言，该面积随着的减小而变大．这说明越小，落在区间的概率越大，即集中在周围的概率越大 特别地，有；；． 由，知正态总体几乎总取值于区间之内．而在此区间以外取值的概率只有，通常认为这种情况在一次试验中几乎____________，即为小概率事件．在实际应用中，通常认为服从于正态分布的随机变量只取之间的值，并简称之为原则． 【即学即练】 1．某校舞蹈队队员的身高X（单位：cm）近似服从正态分布，则（    ） （附：若，则，） A．0.6827 B．0.8414 C．0.9544 D．0.9772 2．实验测量中，测量数据往往存在误差，故测量数据常常服从正态分布.在一次实验测量中，某同学的测量数据近似服从正态分布，且. (1)在的条件下，求的概率； (2)已知事件“”与事件“”相互独立，求实数； (3)若认为该实验在时测量精度较高，且已知随机变量时，，请评价本次实验测量的测量精度. 题型01 条件概率 【典例1】有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为6%，第2，3台加工的次品率均为5%，加工出来的零件混放在一起.已知第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的25%、30%，45%. (1)任取一个零件，计算它是次品的概率； (2)如果对加工的次品，要求操作员承担相应的责任，求每台车床操作员应承担的份额. 【典例2】贵阳某调研机构调查了一个来自南宁的旅行团对贵阳两种特色小吃肠旺面和丝娃娃的喜爱情况，了解到其中有的人喜欢吃肠旺面，有的人喜欢吃丝娃娃，还有的人既不喜欢吃肠旺面也不喜欢吃丝娃娃．在已知该旅行团一游客喜欢吃肠旺面的条件下，他还喜欢吃丝娃娃的概率为（    ） A． B． C． D． 用定义法求条件概率的步骤 （1）分析题意，弄清概率模型； （2）计算，； （3）代入公式求． 【变式1】某商场在五一节开展促销抽奖活动，用编号分别为的三个箱子装了一定数量的红球和白球，总数之比为，三个箱子中白球所占的比例分别为，，，顾客从这三个箱子中任意摸取1球，取到红球获奖．记事件“此球来自编号为的箱子”，事件“顾客获奖”，则（    ） A． B． C． D． 【变式2】有个编号分别为1，2，3，…，的盒子，1号盒子中有2个白球和1个黑球，其余盒子中均有1个白球和1个黑球．现从1号盒子任取一球放入2号盒子；再从2号盒子任取一球放入3号盒子；…；以此类推，记“从号盒子取出的球是白球”为事件，则（    ） A． B． C． D． 【变式3】某市场上供应的气球中，甲厂产品占60%，乙厂产品占40%，甲厂生产的气球合格率为90%，乙厂生产的气球合格率为80%． (1)从该市场上随便购买一个气球，求它是合格产品的概率； (2)如果小李购买了一个气球是次品，求该气球是甲厂生产的概率． 题型02 相互独立事件概率的计算 【典例1】某单位入职面试中有三道题目，有三次答题机会，一旦某次答对抽到的题目，则面试通过，否则就一直抽题到第3次为止.若求职者小王答对每道题目的概率都是0.7，则他最终通过面试的概率为 . 【典例2】已知，，且与相互独立，则下列各式正确的有（   ） A． B． C． D． （1）求相互独立事件同时发生的概率的步骤 ①首先确定各事件之间是相互独立的． ②求出每个事件的概率，再求积． （2）使用相互独立事件同时发生的概率计算公式时，要掌握公式的适用条件，即各个事件是相互独立的． 【变式1】甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶概率为，乙的中靶概率为，则甲乙中恰有一人中靶的概率为（    ） A． B． C． D． 【变式2】连续抛掷一枚质地均匀的硬币次，记录这次实验的结果.设事件表示“次实验结果中，既出现正面又出现反面”，事件表示“次实验结果中，至多出现一次正面”，则下列结论正确的有  （   ）. A．若，则与互斥 B．若，则与不相互独立 C．若，则与不互斥 D．若，则与相互独立 【变式3】下列对各事件发生的概率判断正确的是（  ） A．某学生在上学的路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是，那么该生在上学路上到第3个路口首次遇到红灯的概率为 B．小王逛书店，他买甲书和买乙书相互独立，若小王买甲书不买乙书的概率为，甲和乙两本书都买的概率为，则小王买乙书的概率为 C．三人独立地破译一份密码，他们能单独译出的概率分别为，，，假设他们破译密码是彼此独立的，则此密码被破译的概率为 D．甲袋中有8个白球，4个红球，乙袋中有6个白球，6个红球，从每袋中各任取一个球，则取到同色球的概率为 题型03 全概率公式及其应用 【典例1】在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立．由于随机因素的干扰，发送信号0或1有可能被错误地接收为1或0．已知发送0时，接收为0和1的概率分别为0.8和0.2；发送1时，接收为0和1的概率分别为0.1和0.9．以下叙述正确的是（   ） A．若重复发送信号0两次，则接收信号均为0的概率为0.96 B．若重复发送信号1两次，则两次接收信号不同的概率为0.18 C．若发送信号为1或0的概率均为0.5，则接收信号为1的概率为0.55 D．若接收信号为1的概率为0.76，则发送信号为1的概率为0.8 【典例2】一个袋子中有 10 个除颜色外完全相同的小球， 其中有 4 个黄球， 6 个白球， 分别采用有放回和不放回的方式，从袋子中随机摸出 2 个球作为样本，用 表示样本中黄球的个数，下列说法正确的有（    ） A．如果采用有放回地摸球，则两次都摸到黄球的概率是 B．如果采用不放回地摸球，第一次摸到黄球的条件下，则第二次也摸到黄球的概率为 C．如果采用不放回地摸球，则第二次摸到黄球的概率为 D．无论是采用有放回摸球还是不放回摸球， 的均值都是一样的 全概率公式在解题中体现了“化整为零、各个击破”的转化思想，可将较为复杂的概率计算分解为一些较为容易的情况分别进行考虑． 【变式1】已知，，，则（   ） A． B． C． D． 【变式2】某射击俱乐部开展青少年射击培训，俱乐部共有6支气枪，其中有2支气枪未经试射校正，有4支气枪已校正，若用校正过的气枪射击，射中10环的概率为0.8，用未校正过的气枪射击，射中10环的概率为0.4，某少年射手任取一支气枪进行1次射击，射中10环的概率是 ；若此少年射手任取一支气枪进行4次射击（每次射击后将气枪放回），每次射击结果相互不影响，则4次射击中恰有2次射中10环的概率为 ． 【变式3】某同学第1天午餐时随机选择中的一家就餐，若第1天去餐厅，则第2天去餐厅的概率为0.6；若第1天去餐厅，则第2天去餐厅的概率为0.8．则该同学第2天去餐厅的概率为 ． 题型04 贝叶斯公式及其应用 【典例1】袋中有4个红球，6个白球，不放回地摸两次球，求： (1)第二次摸到红球的概率； (2)已知第二次摸到红球，求第一次也摸到红球的概率． 【典例2】某保险公司经统计后认为，人分为两类：一类是易出事故的人，他们一年出事故的概率为0.4；另一类是比较谨慎的人，他们一年出事故的概率为0.2．假定第一类人占，那么： (1)一位客户在他购买保险后一年内出事故的概率是多少？ (2)若一位客户在买保险后一年内出了事故，则他是易出事故的人的概率是多少？ 1、利用贝叶斯公式求概率的步骤 第一步：利用全概率公式计算，即； 第二步：计算，可利用求解； 第三步：代入求解． 2、贝叶斯概率公式反映了条件概率，全概率公式及乘法公式之间的关系，即． 【变式1】某同学参加数学竞赛，系统会随机匹配一套试卷，共有卷，卷，卷3套，若该同学抽到卷过关的概率为，抽到卷过关的概率为，抽到卷过关的概率为，记该同学过关的概率为.若已知该同学过关，则他抽到是卷的概率为，则 ， . 【变式2】某加工厂的某种生活用品由A和B两台机器生产，A机器生产该种生活用品的速度是B机器的3倍，且A机器生产出来的该种生活用品不合格的概率为，B机器生产出来的该种生活用品不合格的概率为假设A，B机器每天同时开启和关闭，且两台机器生产出来的该种生活用品是否合格相互之间不影响．现随机抽出一件该种生活用品，下列结论正确的是（   ） A．这件生活用品合格的概率为 B．这件生活用品不合格的概率为 C．若这件生活用品不合格，则它来自A机器生产的概率为 D．若这件生活用品不合格，则它来自B机器生产的概率为 【变式3】假设小红口袋中有3个白球和3个红球，小兰口袋中有2个白球和2个红球，现小红从自己口袋中任取2个球放入小兰口袋中，小兰再从自己口袋中任取2个球，已知小兰取出的是2个红球，则小红从口袋中取出的也是2个红球的概率为 . 题型05 离散型随机变量的分布列 【典例1】设为实数，若随机变量的分布列为，则（    ） A． B． C． D． 【典例2】下表是离散型随机变量的概率分布，则常数的值是（   ） 3 4 5 6 A． B． C． D． 一般地，若离散型随机变量可能取的不同值为，取每一个值的概率，以表格的形式表示如下： 我们将上表称为离散型随机变量的概率分布列，简称为的分布列．有时为了简单起见，也用等式，表示的分布列． 【变式1】随机变量ξ的分布列如表格所示，其中，则b等于（   ） ξ ﹣1 0 1 P a b c A．   B． C． D． 【变式2】甲、乙两人下象棋，甲赢了得3分，平局得1分，输了得0分，共下三局.用表示甲的得分，则表示（    ） A．甲赢三局 B．甲赢一局 C．甲、乙平局三次 D．甲赢一局或甲、乙平局三次 【变式3】在一次购物抽奖活动中，假设某10张奖券中有一等奖奖券1张，可获价值50元的奖品；有二等奖奖券3张，每张可获价值10元的奖品；其余6张没有奖.某顾客从此10张奖券中任抽2张，求： (1)该顾客中奖的概率； (2)该顾客获得的奖品总价值的分布列，并求出的值. 题型06 离散型随机变量的均值与方差 【典例1】某企业将9个培训名额分配给4个部门，每个部门至少分得1个名额，设为这4个部门中分得的最少名额数，则的方差为（   ） A． B． C． D． 【典例2】某游戏推出两种抽奖活动和，玩家可以通过参与活动获得游戏币，从而换取稀有道具.活动和活动的抽奖收益，（单位：千个）及其概率分布如下表所示，则下列选项正确的是（   ） 活动的收益分布： 3 7 11 0.4 0.3 活动的收益分布： 0 8 18 0.6 0.1 A． B． C．两个活动的收益期望一样多 D．活动的收益风险低于活动 称为随机变量的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平． 则称为随机变量的方差，并称其算术平方根为随机变量的标准差． 【变式1】某数学研究小组对一家商铺进行了研究分析，发现每日客流量X服从正态分布，其密度函数峰值为，均值为100，且商铺规定消费一次可以获得不同数量的积分：获得1分的概率为，获得2分的概率为，获得3分的概率为.每次消费获取积分相互独立. (1)求； (2)记某顾客消费两次累计获得的积分为Z，求Z的分布列与期望. 附：正态密度函数，其中为均值，为标准差.，，. 【变式2】高考数学的多选题每题分，每题有个或个正确选项，全部选对得分．若正确答案个数为个，则选对个且无错选得分；若正确答案个数为个，则选对个且无错选得分，选对个且无错选得分．若不选或有错选则不得分．现假设正确答案个数为个的多选题出现概率为，现随机填写某个多选题的若干个选项，则下列说法正确的有（   ） A．若，则随机填写个选项时可以使得分的数学期望最高 B．若，则随机填写个或个选项可以使得分的数学期望最高 C．若，则随机填写个选项时可以使得分的数学期望最高 D．随机填写个选项的得分数学期望一定高于随机填写个选项的得分数学期望 【变式3】已知随机变量X的分布列如下： X P 若随机变量满足，则（   ） A． B． C． D． 题型07 两点分布 【典例1】下列选项中的随机变量服从两点分布的是（    ）． A．抛掷一枚骰子，所得点数X B．某射手射击一次，击中目标得2分，未击中目标得0分，射手的得分X C．从装有5个红球，3个白球的袋子中取1个球，定义：“取出白球”，“取出红球” D．某医生做一次手术，手术成功的次数X 【典例2】袋内有10个红球，5个白球，从中摸出2个球，记求的分布列． 两点分布的均值与方差：若随机变量服从参数为的两点分布，则，． 【变式1】已知服从两点分布，且，则 ． 【变式2】已知离散型随机变量X的分布列服从两点分布，满足，且，则（    ） A． B． C． D． 【变式3】若随机变量X服从两点分布，且．令，则( ) A．0.2      B．0.8      C．1      D．0 题型08 二项分布 【典例1】设M，N为两个随机事件，下列命题是真命题的是（   ） A．若M，N为互斥事件，且，则 B．若，则M，N为相互独立事件 C．若，则M，N为相互独立事件 D．若，则M，N为相互独立事件 【典例2】现有装有若干黄球和若干白球的不透明盒子，下列说法正确的是（   ） A．从盒子中摸出一个球，记录黄球的个数，则服从两点分布． B．从盒子中不放回的依次取4个球，则这个试验是4重伯努利试验． C．利用样本估计总体中黄球的比例，采用不放回摸球估计的结果更可靠 D．用X表示有放回方式下摸出黄球的个数，已知，则 二项分布的适用范围及本质 （1）适用范围： ①各次试验中的事件是相互独立的； ②每次试验只有两种结果：事件要么发生，要么不发生； ③随机变量是这次独立重复试验中事件发生的次数． （2）本质：二项分布是放回抽样问题，在每次试验中某一事件发生的概率是相同的． 3、二项分布的期望、方差 若，则，． 【变式1】甲、乙两人独立地攻克一道难题，已知两人能攻克的概率分别是和，则该题被攻克的概率为 ． 【变式2】随机变量，相互独立，且，，则 . 【变式3】某系统通过摄像头识别手势，准确率为．若连续识别3次手势，至少有一次识别错误的概率是（    ） A． B． C． D． 题型09 超几何分布 【典例1】为迎接中秋佳节，某公司开展抽奖活动，规则如下：在不透明的容器中有除颜色外完全相同的2个红球和3个白球，每位员工从中摸出2个小球．若摸到一红球一白球，可获得价值百元代金券；摸到两白球，可获得价值百元代金券；摸到两红球，可获得价值百元代金券（均为非负整数）．已知每位员工平均可得5.4百元代金券，则运气最好者获得至多 百元代金券． 【典例2】下列随机变量服从超几何分布的是（    ） A．表示次重复抛掷1枚骰子出现点数是3的倍数的次数 B．表示连续抛掷2枚骰子，所得的2个骰子的点数之和 C．有一批产品共有件，其中次品有件（），采用有放回抽取方法抽取次（），抽出的次品件数为 D．有一批产品共有件，其中件为次品，采用不放回抽取方法抽件，出现次品的件数为 在含有件次品的件产品中，任取件，其中恰有件次品，则事件发生的概率为，，1，2，…，，其中，且，，，，，称分布列为超几何分布列．如果随机变量的分布列为超几何分布列，则称随机变量服从超几何分布． 0 1 … … 【变式1】为深入学习贯彻党的二十大精神，推动全市党员干部群众用好“学习强国”学习平台，某单位组织“学习强国”知识竞赛，竞赛共有10道题目，随机抽取3道让参赛者回答，规定参赛者至少要答对其中2道才能通过初试.已知某参赛党员甲只能答对其中的6道，那么党员甲抽到能答对题目数的数学期望为 . 【变式2】产品的质量是企业的根本，产品检测是生产中不可或缺的重要工作，某工厂为了保证产品质量，利用两种不同方法进行检测，两位员工随机从生产线上各抽取数量相同的一批产品，已知在两人抽取的一批产品中均有5件次品，员工甲从这一批产品中有放回地随机抽取3件产品，员工乙从这一批产品中无放回地随机抽取3件产品，设员工甲抽取到的3件产品中次品数量为，员工乙抽取到的3件产品中次品数量为，，则下列判断不正确的是（    ）（参考：超几何分布其均值） A．随机变量服从二项分布 B．随机变量服从超几何分布 C． D． 【变式3】一个班级共有30名学生，其中有10名女生，现从中任选三人代表班级参加学校开展的某项活动，假设选出的3名代表中的女生人数为变量，男生的人数为变量，则等于（    ） A． B． C． D． 题型10 正态分布 【典例1】若随机变量服从标准正态分布，，则（    ） A． B． C． D． 【典例2】给出以下四个说法，其中正确的说法有（    ） A．绘制频率分布直方图时，各小长方形的面积等于相应各组的组距 B．在刻画回归模型的拟合效果时，的值越大，说明拟合的效果越好 C．设随机变量服从正态分布，则 D．对分类变量与，若计算出的越小，则判断“与有关系”的犯错误的概率越小 1、在解决有关问题时，通常认为服从正态分布的随机变量只取之间的值．如果服从正态分布的随机变量的某些取值超出了这个范围就说明出现了意外情况． 2、求正态变量在某区间内取值的概率的基本方法： （1）根据题目中给出的条件确定与的值． （2）将待求问题向，，这三个区间进行转化； （3）利用在上述区间的概率、正态曲线的对称性和曲线与x轴之间的面积为1求出最后结果． 3、假设检验的思想 （1）统计中假设检验的基本思想：根据小概率事件在一次试验中几乎不可能发生的原则和从总体中抽测的个体的数值，对事先所作的统计假设作出判断：是拒绝假设，还是接受假设． （2）若随机变量ξ服从正态分布，则ξ落在区间内的概率为，亦即落在区间之外的概率为，此为小概率事件．如果此事件发生了，就说明不服从正态分布． （3）对于小概率事件要有一个正确的理解： 小概率事件是指发生的概率小于的事件．对于这类事件来说，在大量重复试验中，平均每试验大约次，才发生1次，所以认为在一次试验中该事件是几乎不可能发生的．不过应注意两点：一是这里的“几乎不可能发生”是针对“一次试验”来说的，如果试验次数多了，该事件当然是很可能发生的；二是当我们运用“小概率事件几乎不可能发生的原理”进行推断时，也有犯错的可能性． 【变式1】如图是正态分布，，（，，）对应的曲线，则，，的大小关系是（   ）    A． B． C． D． 【变式2】在某项测量中，测量结果服从正态分布（），若在内取值的概率为0.8，则在内取值的概率为（    ） A．0.9 B．0.8 C．0.3 D．0.1 【变式3】某学校高二年级数学联考成绩，如果规定大于或等于105分为数学成绩“良好”，那么在参加考试的学生中随机选择一名，他的数学成绩为“良好”的概率是（   ） （提示：若，则，，）=0.9973） A．0.0455 B．0.15865 C．0.3173 D．0.34135 1．设袋中装有只红球，只白球．每次取1只观察其颜色并放回，再放入只同色球，连续取四次．试求第一次、第二次取到红球，且第三次、第四次取到白球的概率． 2．一周的天气情况如下表所示． 星期 日 一 二 三 四 五 六 预报 晴 阴 雨 雨 雨 晴 雨 实际 晴 雨 阴 雨 雨 晴 晴 求：在预报有雨的条件下，实际也下雨的概率． 3．某厂家主要生产玻璃制品，其生产的玻璃碗成箱出售，每箱30只．任意一箱中次品的数量是0，1，2只分别对应的概率是．某位顾客在购买时，任意提取一箱，从该箱中随机抽查5只玻璃碗，如果5只都不是次品，就买下该箱玻璃碗，否则不买．那么这位顾客买下这箱玻璃碗的概率是多少？ 4．某人参加射击比赛，他击中目标的概率是． (1)设为他射击6次击中目标的次数，求随机变量的分布列； (2)若他只有6颗子弹，且当他击中目标时，就不再射击；当他未击中目标时，就继续射击，直至子弹打完，求他射击次数的分布列； (3)设为他第一次击中目标时所需要射击的次数，求的分布列． 5．若离散型随机变量的分布列为： 0 1 则实数的值为 ． 6．一名射手每次射击击中目标的概率都是0.8，求这名射手在10次射击中，恰有8次击中目标的概率及至少有8次击中目标的概率．（结果精确到0.001） 7．投掷四枚不同的金属纪念币，其中两枚正面向上的概率均为，两枚（质地不均匀）正面向上的概率均为．将这四枚纪念币同时投掷一次，设表示出现正面向上的枚数． (1)求的分布列（用表示）； (2)若恰有一枚纪念币正面向上对应的概率最大，求的取值范围． 8．设为互不相等的正实数，随机变量X和Y的分布列如下表．若记分别为X，Y的期望，，分别为X，Y的方差，则 ， ．（填“>” “<”或“=”） 9．已知甲、乙两队参加知识竞赛，每队3人，每人回答一个问题，答对者为本队赢得一分，答错得零分．假设甲队中每人答对的概率均为，乙队中3人答对的概率分别为，，，且各人回答正确与否相互之间没有影响． (1)分别求甲队总得分为0分和2分的概率； (2)求甲队得2分且乙队得1分的概率． 10．甲、乙、丙三名乒乓球选手进行单打对抗比赛，每两人比赛一场，共赛三场，每场比赛胜者得3分，负者得0分．在每一场比赛中，甲胜乙的概率为，丙胜甲的概率为，乙胜丙的概率为，且各场比赛结果互不影响．甲获得第一名且乙获得第三名的概率为． (1)求的值； (2)设在该次对抗比赛中，丙的得分为，求的分布列． 11．指出下列随机变量是否是离散型随机变量，并说明理由． (1)某座大桥一天内经过的车辆数量； (2)某超市5月份每天的销售额； (3)当江西省九江市长江水位监测站所测水位在这一范围内变化时，该水位监测站所测水位． 12．判断下列各个量，指出其中哪些是随机变量，哪些不是随机变量，并说明理由． (1)北京国际机场候机厅中，2030年4月1日的旅客数量； (2)体积为的球的半径； (3)在一次绘画作品评比中，设一、二、三等奖，你的一件作品所获得的奖次． 13．一盒子中装有只产品，其中有只一等品、只二等品．从中任取产品两次，每次取只，不放回．事件表示“第一次取到的是一等品”，事件表示“第二次取到的是一等品”，试用两种方法求． 14．抛掷红、蓝两枚骰子，设事件表示“蓝骰子点数是4或6”，事件表示“两枚骰子点数之和大于8”．求当事件发生时，事件发生的概率． 15．某学校举行游泳和乒乓球比赛，某学生只能参加一项比赛，他参加游泳和乒乓球项目的概率分别为0.4，0.6，若他在游泳、乒乓球比赛中获得冠军的概率分别为0.3，0.7.已知他获得冠军，则他参加游泳比赛的概率为（   ） A． B． C． D． 2 / 20 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $