第七章 随机变量及其分布（高效培优单元自测·提升卷）数学人教A版高二选择性必修第三册

第七章 随机变量及其分布（高效培优单元测试·提升卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知A，B是两个随机事件，，则下列命题中错误的是（ ） A．若A包含于B，则 B．若A，B是对立事件，则 C．若A，B是互斥事件，则 D．若A，B相互独立，则 2．为庆祝神舟十八号载人飞船发射取得圆满成功，某中学举办了一次“航天知识知多少”的知识竞赛．参赛选手从7道题（4道多选题，3道单选题）中随机抽题作答，若某选手先随机抽取2道题，再在剩下的5道题中随机抽取1道题，则最后抽取到的题为多选题的概率为（    ） A． B． C． D． 3．箱子中有6个大小、材质都相问的小球，其中4个红球，2个白球，每次从箱子中随机地摸出一个球，摸出的球不放回.设事件表示“第1次摸球，摸到红球”，事件表示“第2次摸球，摸到红球”，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 4．设，且，则（    ） A．0.3 B．0.35 C．0.4 D．0.45 5．某工业园区安装了一套AⅠ水质污染监测系统，对每日的水质是否被化学污染进行检测．已知该园区水质每日发生化学污染的概率为0.1．当某日水质被化学污染时，系统正确发生警报的概率为0.95；当某日污染不存在时，系统误报的概率为0.05，则该监测系统每日发生警报的概率为（    ） A．0.095 B．0.45 C．0.14 D．0.1 6．设随机变量，函数在定义域R上是单调递减函数的概率为，则（   ） 附：若，则，． A．0.1355 B．0.1587 C．0.2718 D．0. 3413 7．宋代著名类书《太平御览》记载：“伏羲坐于方坛之上，听八风之气，乃画八卦、”乾为天，坤为地，震为雷，坎为水，艮为山，巽为风，离为火，兑为泽，象征八种自然现象，以类万物之情.如图所示为太极八卦图，八卦分据八方，中绘太极，古代常用此图作为除凶避灾的吉祥图案.八卦中的每一卦均由纵向排列的三个爻组成，其中“▂”为阳爻，“▂ ▂”为阴爻.现从八卦中任取两卦，已知取出的两卦中至少有一卦恰有一个阳爻，则另一卦至少有两个阳爻的概率为（  ） A． B． C． D． 8．随机变量的分布列为，若，则（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知甲口袋中装有3个红球，1个白球，乙口袋中装有2个红球，1个白球，这些球只有颜色不同．先从甲口袋中随机取出1个球放入乙口袋，再从乙口袋中随机取出1个球．记从甲口袋中取出的球是红球、白球分别为事件、，从乙口袋中取出的球是红球为事件，则下列结论正确的有（    ） A． B． C． D． 10．在数字通信中，信号是由数字“0”和“1”组成的序列．现连续发射信号次，每次发射信号“1”的概率均为．记发射信号“1”的次数为，为奇数的概率为，为偶数的概率为，则下列说法正确的有（    ） A．当时，随着的增大而增大 B．当，时， C．当时， D．当，时，当且仅当时概率最大 11．如图，一个质点在随机外力的作用下，从原点0出发，每隔向左或向右移动一个单位．向左移动的概率为，向右移动的概率为，设移动次后质点位于位置，则下列结论正确的有（   ） A．当，则 B．当，则 C．当，该质点共经过两次3的概率为 D．当，的期望 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．甲、乙两人参加玩游戏活动，每轮游戏活动由甲、乙各玩一盘，已知甲每盘获胜的概率为，乙每盘获胜的概率为.在每轮游戏活动中，甲和乙获胜与否互不影响，各轮结果也互不影响，则甲、乙两人在两轮玩游戏活动中共获胜3盘的概率为 . 13．为迎接中秋佳节，某公司开展抽奖活动，规则如下：在不透明的容器中有除颜色外完全相同的2个红球和3个白球，每位员工从中摸出2个小球．若摸到一红球一白球，可获得价值百元代金券；摸到两白球，可获得价值百元代金券；摸到两红球，可获得价值百元代金券（均为非负整数）．已知每位员工平均可得5.4百元代金券，则运气最好者获得至多 百元代金券． 14．如图，一个质点在随机外力的作用下，从原点0出发，每隔1s等可能地向左或向右移动一个单位，移动6次后质点对应的数为，则 ，在有且仅有一次经过1的条件下，事件“”的概率是 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）甲、乙、丙三人独立地破译一份密码，已知甲、乙、丙三人能破译密码的概率分别为． (1)求恰有两人成功破译的概率； (2)若甲、乙、丙三人都没有破译密码，则会派丁独立破译密码，丁能独立破译密码的概率为，求密码能被成功破译的概率． 16．（15分）一批产品的质量检验方案是：先从这批产品中任取4件作检验，这4件产品中优质品的件数记为.如果，再从这批产品中任取4件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果，再从这批产品中任取1件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验.假设这批产品的优质品率为50%，即取出的每件产品是优质品的概率都为0.5，且各件产品是否为优质品相互独立. (1)求这批产品通过检验的概率： (2)已知每件产品的检验费用为100元，且抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为X（单位：元），分别求和. 17．（16分）红蜘蛛是柚子的主要害虫之一，能对柚子树造成严重伤害，每只红蜘蛛的平均产卵数（个）和平均温度（℃）有关，现收集了以往某地的7组数据，得到下面的散点图及一些统计量的值． (1)根据散点图判断，与（其中为自然对数的底数）哪一个更适合作为平均产卵数（个）关于平均温度（℃）的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由） (2)由（1）的判断结果及表中数据，求出关于的回归方程． 附：参考数据如下表（其中）， 5215 17713 714 27 81.3 3.6 (3)根据以往每年平均气温以及对果园年产值的统计，得到以下数据：平均气温在22℃以下的年数占，对柚子产量影响不大，不需要采取防虫措施；平均气温在22℃至28℃的年数占，柚子产量会下降；平均气温在28℃以上的年数占，柚子产量会下降．为了更好地防治红蜘蛛虫害，农科所研发出各种防害措施供果农选择． 在每年价格不变，无虫害的情况下，某果园年产值为200万元，根据以上数据，以得到最高收益（收益＝产值－防害费用）为目标，请为果农从以下几个方案中推荐最佳方案，并说明理由． 方案1：选择防害措施，可以防止各种气温的红蜘蛛虫害不减产，费用是18万元； 方案2：选择防害措施，可以防治22℃至28℃的红蜘蛛虫害，但无法防治28℃以上的红蜘蛛虫害，费用是10万元； 方案3：不采取防虫害措施． 18．（16分）某位同学抛掷两枚质地均匀的骰子（标记为Ⅰ号和Ⅱ号），将Ⅰ号朝上的面的点数记为，将Ⅱ号朝上的面的点数记为，设事件“为偶数”，事件“”． (1)判断事件与是否相互独立.若不相互独立，求；若相互独立，请说明理由； (2)若该同学连续抛掷这两枚骰子3次，设事件发生的次数为，求的分布列与均值． 19．（17分）某市为提升农民的年收入，更好地实现2021年精准扶贫的工作计划，统计了2020年位农民的年收入并制成频率分布直方图，如图． （1）根据频率分布直方图，估计这位农民的年平均收入（单位：千元）（同一数据用该组数据区间的中点值表示）； （2）由频率分布直方图，可以认为该市农民年收入服从正态分布，其中近似为年平均收入，近似为样本方差，经计算得，利用该正态分布，求： ①在扶贫攻坚工作中，若使该市约有占农民人数的的农民的年收入高于本市规定的最低年收入标准，则此最低年收入标准大约为多少千元？ ②该市为了调研“精准扶贫，不落一人”的政策落实情况，随机走访了位农民．若每位农民的年收入互相独立，问：这位农民中的年收入不少于千元的人数最有可能是多少？ 附：；若，则，，． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第七章 随机变量及其分布（高效培优单元测试·提升卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知A，B是两个随机事件，，则下列命题中错误的是（ ） A．若A包含于B，则 B．若A，B是对立事件，则 C．若A，B是互斥事件，则 D．若A，B相互独立，则 【答案】B 【分析】根据概率性质和条件概率公式求解判断A，根据对立事件概率公式和条件概率公式求解判断B，根据互斥事件的概念和条件概率公式求解判断C，根据相互独立事件概率公式和条件概率公式求解判断D. 【详解】对于A，因为A包含于B，所以， 则，正确； 对于B，因为A，B是对立事件，所以， 所以，错误； 对于C，因为A，B是互斥事件，所以，所以，正确， 对于D，因为A，B相互独立，所以，所以，正确. 故选：B 2．为庆祝神舟十八号载人飞船发射取得圆满成功，某中学举办了一次“航天知识知多少”的知识竞赛．参赛选手从7道题（4道多选题，3道单选题）中随机抽题作答，若某选手先随机抽取2道题，再在剩下的5道题中随机抽取1道题，则最后抽取到的题为多选题的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出先抽取的2道题中多选题的题数分别为0，1，2的概率，然后根据全概率公式即得. 【详解】设先抽取2道题中多选题的题数为，则的可能取值为0，1，2， 可得，，， 所以最后抽取到的题为多选题的概率为 ． 故选：C. 3．箱子中有6个大小、材质都相问的小球，其中4个红球，2个白球，每次从箱子中随机地摸出一个球，摸出的球不放回.设事件表示“第1次摸球，摸到红球”，事件表示“第2次摸球，摸到红球”，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据古典概型、条件概率概念、全概率公式分别计算即可判断各选项. 【详解】对于，表示“第一次摸到红球且第二次摸到红球”，因事件表示“第1次摸球，摸到红球”，易得， 事件表示“第2次摸球，摸到红球” ，因摸出的球不放回，此时箱子里还剩3个红球，2个白球， 所以在第1次摸到红球的条件下，第2次摸到红球的概率是， 由概率的乘法公式可得，故错误. 对于，第1次摸球，摸到白球的概率. 同理在第1次摸到白球的条件下，第2次摸到红球的概率是， 由概率的乘法公式可得， 由全概率公式可得，故错误. 对于，由A项分析，已得，故错误. 对于，由B项分析，已得，故正确. 故选：. 4．设，且，则（    ） A．0.3 B．0.35 C．0.4 D．0.45 【答案】A 【分析】应用正态分布的对称性有，，即可求概率. 【详解】由对称性质知，且， 又， 所以. 故选：A 5．某工业园区安装了一套AⅠ水质污染监测系统，对每日的水质是否被化学污染进行检测．已知该园区水质每日发生化学污染的概率为0.1．当某日水质被化学污染时，系统正确发生警报的概率为0.95；当某日污染不存在时，系统误报的概率为0.05，则该监测系统每日发生警报的概率为（    ） A．0.095 B．0.45 C．0.14 D．0.1 【答案】C 【分析】根据题意，设事件A表示该园区水质每日发生化学污染，事件B表示该监测系统每日发生警报，结合全概率公式，即可求解. 【详解】设事件A表示该园区水质每日发生化学污染，事件B表示该监测系统每日发生警报， 由题意，可得， 所以． 故选：C． 6．设随机变量，函数在定义域R上是单调递减函数的概率为，则（   ） 附：若，则，． A．0.1355 B．0.1587 C．0.2718 D．0. 3413 【答案】A 【分析】求出函数的导函数，若恒成立，求出的取值范围，即可得到，，再由正态曲线的性质计算可得. 【详解】因为，所以， 若对任意实数恒成立，则，所以， 又，所以，，，，，， 所以，， 则. 故选：A. 7．宋代著名类书《太平御览》记载：“伏羲坐于方坛之上，听八风之气，乃画八卦、”乾为天，坤为地，震为雷，坎为水，艮为山，巽为风，离为火，兑为泽，象征八种自然现象，以类万物之情.如图所示为太极八卦图，八卦分据八方，中绘太极，古代常用此图作为除凶避灾的吉祥图案.八卦中的每一卦均由纵向排列的三个爻组成，其中“▂”为阳爻，“▂ ▂”为阴爻.现从八卦中任取两卦，已知取出的两卦中至少有一卦恰有一个阳爻，则另一卦至少有两个阳爻的概率为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设有1卦没有阳爻.设取出的两卦中“有一卦恰有一个阳爻”为事件，“另一卦至少有两个阳爻”为事件，然后根据古典概型和条件概率定义求解即可． 【详解】由八卦图可知，八卦中有1卦有三个阳爻，有3卦恰有一个阳爻，有3卦恰有两个阳爻，有1卦没有阳爻．设取出的两卦中“有一卦恰有一个阳爻”为事件，“另一卦至少有两个阳爻”为事件． 因为，，所以 故选：D 8．随机变量的分布列为，若，则（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】D 【分析】根据已知条件求得，然后由来求得正确答案. 【详解】首先，根据随机变量的概率分布性质，， 即，所以. 已知期望. 将代入期望公式可得： . 因为，所以. 然后求： . 同样将代入可得： . 已知，且，即. 用减去可得： . ，即. 又因为，两式相减得： ，即. 所以，则， 把变形为， 将和代入得：，则， 所以. 根据方差公式. 故选：D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知甲口袋中装有3个红球，1个白球，乙口袋中装有2个红球，1个白球，这些球只有颜色不同．先从甲口袋中随机取出1个球放入乙口袋，再从乙口袋中随机取出1个球．记从甲口袋中取出的球是红球、白球分别为事件、，从乙口袋中取出的球是红球为事件，则下列结论正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】使用古典概型方法可以计算得出，，利用缩小样本空间的方法求得，，再结合条件概率公式、全概率公式和贝叶斯公式计算判断各个选项即可. 【详解】对于A，由于甲口袋中装有4个球，其中有1个白球，所以，故A错误； 对于B，若从甲口袋中取出的球是白球，则此时乙口袋中有2个红球，2个白球， 从而此条件下从乙口袋中取出的球是红球的概率为，故B正确； 对于C，由于甲口袋中装有4个球，其中有3个红球，所以， 若从甲口袋中取出的球是红球，则此时乙口袋中有3个红球，1个白球， 从而此条件下从乙口袋中取出的球是红球的概率为， 所以，故C正确； 对于D，结合以上分析， ，故D正确. 故选：BCD. 10．在数字通信中，信号是由数字“0”和“1”组成的序列．现连续发射信号次，每次发射信号“1”的概率均为．记发射信号“1”的次数为，为奇数的概率为，为偶数的概率为，则下列说法正确的有（    ） A．当时，随着的增大而增大 B．当，时， C．当时， D．当，时，当且仅当时概率最大 【答案】ACD 【分析】由题意得发射信号“1”的次数服从二项分布．由二项分布的均值公式可判断A；利用二项分布概率公式计算可判断B；当时，为奇数的概率和为偶数的概率相等，即可判断C；由条件列不等式组求解可判断D． 【详解】由题意得发射信号“1”的次数服从二项分布，即． 对于A，由二项分布的均值公式知，当概率一定时，越大则的值越大，正确． B，当时，可取， 所以， 因为，所以． C，当时，即每次发射信号“1”和发射信号“0”的概率相等， 所以为奇数的概率和为偶数的概率相等，即，正确. D，当，时，，，， 当时，由得 解得，所以当且仅当时概率最大，正确． 故选：ACD． 11．如图，一个质点在随机外力的作用下，从原点0出发，每隔向左或向右移动一个单位．向左移动的概率为，向右移动的概率为，设移动次后质点位于位置，则下列结论正确的有（   ） A．当，则 B．当，则 C．当，该质点共经过两次3的概率为 D．当，的期望 【答案】ACD 【分析】设移动次中，向右移动次，则，，根据二项分布的相关知识逐一判断即可求解. 【详解】设移动次中，向右移动次，向左移动次，则， 则. 对于A：当时，要使得，则向左和向右移动的次数均为次， 根据二项分布概率公式， A正确； 对于B：当时，要使得，则向右移动次，向左移动次， ，B错误； 对于C：当时，R向右移动，L向左移动， 则该质点共经过两次3，前5次的移动情况共有2种情况：，， 所以概率为，C正确； 对于D：因为. 期望. 因为，所以，则. 当时，，D正确. 故选：ACD. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．甲、乙两人参加玩游戏活动，每轮游戏活动由甲、乙各玩一盘，已知甲每盘获胜的概率为，乙每盘获胜的概率为.在每轮游戏活动中，甲和乙获胜与否互不影响，各轮结果也互不影响，则甲、乙两人在两轮玩游戏活动中共获胜3盘的概率为 . 【答案】 【分析】根据题意，甲乙共胜3盘有如下两种情况：甲胜1盘，乙胜2盘或者甲胜2盘，乙胜1盘，列出式子，即可得到结果. 【详解】甲乙共胜3盘有如下两种情况： 甲胜1盘，乙胜2盘，其概率为， 甲胜2盘，乙胜1盘，其概率为， 故甲乙两人在两轮比赛中共胜三盘的概率为. 故答案为： 13．为迎接中秋佳节，某公司开展抽奖活动，规则如下：在不透明的容器中有除颜色外完全相同的2个红球和3个白球，每位员工从中摸出2个小球．若摸到一红球一白球，可获得价值百元代金券；摸到两白球，可获得价值百元代金券；摸到两红球，可获得价值百元代金券（均为非负整数）．已知每位员工平均可得5.4百元代金券，则运气最好者获得至多 百元代金券． 【答案】18 【分析】根据题意可知百元代金券的所有可能取值为，根据超几何分布可得随机变量取各个值的概率，即可得的分布列，再求期望可知，最后结合基本不等式求的最大值，即可得解． 【详解】设抽奖一次可获得百元代金券，则的所有可能取值为， 摸到一红球一白球的概率， 摸到两白球的概率， 摸到两红球的概率． 则的分布列如下： a b ，即，． 由题意知，运气最好者获得百元代金券， 则， 当且仅当，即，时等号成立， 即的最大值为18. 故答案为：18． 14．如图，一个质点在随机外力的作用下，从原点0出发，每隔1s等可能地向左或向右移动一个单位，移动6次后质点对应的数为，则 ，在有且仅有一次经过1的条件下，事件“”的概率是 ． 【答案】 6 /0.25 【分析】第一个空，假设为向右的次数，因为服从二项分布，易得，根据和的关系，可得； 第二个空，假设“有且仅有一次经过1”为事件，“质点仅在第1秒位于1”为事件，“质点仅在第3秒位于1”为事件，“质点仅在第5秒位于1”为事件，根据题干可得，由条件概率可得. 【详解】假设为向右的次数，则服从二项分布，故； 此时质点对应的数，所以. 假设“有且仅有一次经过1”为事件，“质点仅在第1秒位于1”为事件，“质点仅在第3秒位于1”为事件，“质点仅在第5秒位于1”为事件，则两两互斥，则， “质点仅在第1秒位于1”则质点的走法为（第六步不受影响），（第五六步不受影响），（第六步不受影响），（第五六步不受影响），； “质点仅在第3秒位于1” 则质点的走法为（第六步不受影响），（第六步不受影响），； “质点仅在第5秒位于1” 则质点的走法为（第六步不受影响），（第六步不受影响），； 则. 因为，所以，所以三种情况下, 事件“”的情况有：，，，，，则， 则. 故答案为：6；. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）甲、乙、丙三人独立地破译一份密码，已知甲、乙、丙三人能破译密码的概率分别为． (1)求恰有两人成功破译的概率； (2)若甲、乙、丙三人都没有破译密码，则会派丁独立破译密码，丁能独立破译密码的概率为，求密码能被成功破译的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）应用独立事件概率乘积公式及对立事件公式计算概率； （2）应用全概率公式结合独立事件概率乘积公式计算求解. 【详解】（1）记事件为“甲成功破译密码”、事件为“乙成功破译密码”、事件为“丙成功破译密码”，则 记恰有两人成功破译的概率为，则 （2）记事件为“丁成功破译密码，则， 设密码能被成功破译为事件E， . 16．（15分）一批产品的质量检验方案是：先从这批产品中任取4件作检验，这4件产品中优质品的件数记为.如果，再从这批产品中任取4件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果，再从这批产品中任取1件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验.假设这批产品的优质品率为50%，即取出的每件产品是优质品的概率都为0.5，且各件产品是否为优质品相互独立. (1)求这批产品通过检验的概率： (2)已知每件产品的检验费用为100元，且抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为X（单位：元），分别求和. 【答案】(1)； (2)，. 【分析】（1）先设出第一次和第二次的事件，再利用和事件和条件概率求解； （2）第一次取出的4件，费用400元；，再取4件，费用800元；如果，再取1件，费用500；其它情况（，，），不继续取出，费用保持400元，求相应的概率即可得解. 【详解】（1）设第一次取出的4件产品中恰有3件优质品为事件，第一次取出的4件产品全是优质品为事件， 第二次取出的4件产品都是优质品为事件，第二次取出的1件产品是优质品为事件， 这批产品通过检验为事件，依题意有，且与互斥， 则 . （2）第一次取出的4件，费用400元； 如果，再取4件，费用800元； 如果，再取1件，费用500； 其它情况（，，），不继续取出，费用保持400元， ， . 17．（16分）红蜘蛛是柚子的主要害虫之一，能对柚子树造成严重伤害，每只红蜘蛛的平均产卵数（个）和平均温度（℃）有关，现收集了以往某地的7组数据，得到下面的散点图及一些统计量的值． (1)根据散点图判断，与（其中为自然对数的底数）哪一个更适合作为平均产卵数（个）关于平均温度（℃）的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由） (2)由（1）的判断结果及表中数据，求出关于的回归方程． 附：参考数据如下表（其中）， 5215 17713 714 27 81.3 3.6 (3)根据以往每年平均气温以及对果园年产值的统计，得到以下数据：平均气温在22℃以下的年数占，对柚子产量影响不大，不需要采取防虫措施；平均气温在22℃至28℃的年数占，柚子产量会下降；平均气温在28℃以上的年数占，柚子产量会下降．为了更好地防治红蜘蛛虫害，农科所研发出各种防害措施供果农选择． 在每年价格不变，无虫害的情况下，某果园年产值为200万元，根据以上数据，以得到最高收益（收益＝产值－防害费用）为目标，请为果农从以下几个方案中推荐最佳方案，并说明理由． 方案1：选择防害措施，可以防止各种气温的红蜘蛛虫害不减产，费用是18万元； 方案2：选择防害措施，可以防治22℃至28℃的红蜘蛛虫害，但无法防治28℃以上的红蜘蛛虫害，费用是10万元； 方案3：不采取防虫害措施． 【答案】(1) (2) (3)选择方案1最佳，理由见解析 【分析】（1）根据散点图的形状，可判断更适宜作为平均产卵数关于平均温度的回归方程类型； （2）将两边同时取自然对数，转化为线性回归方程，即可得到答案； （3）求出三种方案的收益的均值，根据均值越大作为判断标准. 【详解】（1）由散点图可以判断，更适合作为平均产卵数关于平均温度的回归方程 （2）将两边同时取自然对数，可得，令， 由题中的数据可得，，， 所以 则， 所以关于的经验回归方程为， 故关于的回归方程为 （3）用，和（单位：万元）分别表示选择三种方案的收益． 采用方案1，无论气温如何，产值不受影响，收益为（万元），即； 采用方案2，不发生以上的红蜘蛛虫害时，收益为（万元）， 发生以上的红蜘蛛虫害时，收益为（万元），即； 同样，采用方案3，有 所以，， 显然，最大，所以选择方案1最佳 18．（16分）某位同学抛掷两枚质地均匀的骰子（标记为Ⅰ号和Ⅱ号），将Ⅰ号朝上的面的点数记为，将Ⅱ号朝上的面的点数记为，设事件“为偶数”，事件“”． (1)判断事件与是否相互独立.若不相互独立，求；若相互独立，请说明理由； (2)若该同学连续抛掷这两枚骰子3次，设事件发生的次数为，求的分布列与均值． 【答案】(1)事件不相互独立， (2)分布列见解析，1 【分析】（1）计算，验证是否成立，即可判断事件与是否相互独立，利用条件概率公式求，最后利用对立事件即可求解； （2）先求，进而得，利用独立重复试验以及二项分布的数学期望即可求解. 【详解】（1）有序数对共有36种可能结果，其中事件“为偶数”共有18种可能结果，即， 事件，共10种可能结果，， 事件，共6种可能结果，即， 故，则事件不相互独立， 所以， ∴； （2）事件发生的概率为： （或者）， ∴， 所以， ， 的概率分布列为： 0 1 2 3 ， ∴的均值． 19．（17分）某市为提升农民的年收入，更好地实现2021年精准扶贫的工作计划，统计了2020年位农民的年收入并制成频率分布直方图，如图． （1）根据频率分布直方图，估计这位农民的年平均收入（单位：千元）（同一数据用该组数据区间的中点值表示）； （2）由频率分布直方图，可以认为该市农民年收入服从正态分布，其中近似为年平均收入，近似为样本方差，经计算得，利用该正态分布，求： ①在扶贫攻坚工作中，若使该市约有占农民人数的的农民的年收入高于本市规定的最低年收入标准，则此最低年收入标准大约为多少千元？ ②该市为了调研“精准扶贫，不落一人”的政策落实情况，随机走访了位农民．若每位农民的年收入互相独立，问：这位农民中的年收入不少于千元的人数最有可能是多少？ 附：；若，则，，． 【答案】（1）千元．；（2）①千元；②人． 【分析】(1)求各组数据区间的中点值乘以相应的频率之和，即可得； (2)①根据正态分布曲线的对称性分析求解即可； ②根据正态分布求出每个农民的年收入不少于千元的概率，记个农民的年收入不少于千元的人数为，可得，其中，然后根据二项分布的概率计算公式，计算出“恰好有个农民的年收入不少于千元”中的最大值即可. 【详解】解：（1）由频率分布直方图可知： ， 故估计位农民的年平均收入为千元． （2）由题意知， ①因为， 时，满足题意，即最低年收入标准大约为千元； ②由， 每个农民的年收入不少于千元的概率为，记个农民的年收入不少于千元的人数为， 则，其中， 于是恰好有个农民的年收入不少于千元的事件概率为． 从而由，得，而， 所以当时，， 当时， 由此可知，在所走访位农民中，年收入不少于千元的人数最有可能是人． 1 / 22 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $