专题04 完全平方公式的五种考法（压轴题专项训练，四川成都专用）数学新教材北师大版七年级下册

专题04 完全平方公式的五种考法 类型一、利用公式运算 1．利用完全平方公式计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查完全平方公式的应用，熟练运用完全平方公式进行计算是解题的关键． （1）先把化成，再利用完全平方公式进行计算即可； （2）先把化成，再利用完全平方公式进行计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 2．利用简便方法计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2)400 (3)100 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，熟知完全平方公式是解题的关键． （1）利用完全平方公式进行计算即可； （2）利用完全平方公式进行计算即可； （3）利用完全平方公式进行计算即可． 【详解】（1）解：． （2）解：． （3）解：． 3．利用完全平方公式计算： ． 【答案】1 【分析】本题考查完全平方公式的应用，将原式识别为完全平方公式的形式，从而简化计算． 【详解】解：， ， ， ， ， 故答案为 1． 类型二、乘法公式综合运用 1．化简： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了乘法公式，熟知乘法公式是解题的关键． （1）利用完全平方公式和平方差公式去括号，再合并同类项即可得到答案； （2）把原式变形为，再利用平方差公式和完全平方公式求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 2．化简：． 【答案】 【分析】本题主要考查整式的混合运算，根据整式乘法运算法则和乘法公式进行计算，即可作答． 【详解】解： ． 3．先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】本题考查了运用完全平方公式进行运算，运用平方差公式进行运算，整式的混合运算，已知字母的值求代数式的值等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 先利用完全平方公式，平方差公式计算，再合并同类项，然后代入求值． 【详解】解： 当，时， 原式 ． 4．计算： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题主要考查了平方差公式和完全平方公式的应用，熟练掌握乘法公式的结构特征以及整体代换的思想是解题的关键． （1）将原式变形为，利用平方差公式展开，再对使用完全平方公式展开并化简． （2）将原式变形为，利用完全平方公式展开，再对使用完全平方公式展开并化简． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 类型三、完全平方公式与几何综合应用 1．将完全平方公式通过适当的变形，可以解决很多数学问题．试通过完全平方公式变形，解决下列问题． (1)已知，求ab的值； (2)已知，求的值； (3)如图，点C是线段上的一点，以、为边向两边作正方形，设，两正方形的面积和，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)22 (2)7 (3)2 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，灵活运用完全平方公式是解题的关键． （1）利用，代入已知条件即可解答； （2）设，则，，结合，即可解答； （3）设，则，，结合，求得的值，最后根据，即可解答． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴； （2）解：设， 则，， ∴， 即的值为7； （3）解：设，则， ∵， ∴， ， 即， ， ． 2．观察图①，用等式表示图中图形的面积的运算为， (1)观察图②，用等式表示图中阴影部分图形的面积的运算为 ． 【应用】 (2)根据图②所得的公式，若，，求的值． (3)若满足，求的值． 【拓展】 (4)如图③，某学校有一块梯形空地，于点，，，该校计划在和区域内种花，在和的区域内种草，经测量种花区域的面积和为平方米，种草区域的面积和为平方米，求的长． 【答案】(1) (2) (3) (4)长为米 【分析】本题考查完全平方公式的实际应用，利用完全平方式的变形求值是解题关键． （1）阴影面积为两个小正方形，也可以看作大正方形减去两个矩形，由此得到等式； （2）利用（1）的结论进行计算即可； （3）将看作，看作，则，，利用（1）的结论进行计算即可． （4）设，，由题意可得，，利用完全平方公式计算得． 【详解】（1）解：观察图②可知，阴影部分为两个小正方形，面积和为，也可以用大正方形减去两个矩形得到，即， ∴运算为：； （2）解：由（1）的结论得：， 又∵，， ∴； （3）解：设，，则， ∴， ∵， ∴， 由（1）的结论得：， ∴， ∴； （4）解：设，， ∵于点， ∴（平方米），（平方米），（平方米），平方米， ∵种花区域的面积和为平方米，种草区域的面积和为平方米， ∴，， ∴，， 由（1）的结论得：， ∴， ∴，即米， 答：长为米． 3．所谓完全平方式，就是对于一个整式，如果存在另一个整式，使，则称是完全平方式，例如：，，所以，就是完全平方式．请解决下列问题： (1)已知，，则______． (2)如果是一个完全平方式，则的值为______． (3)若x满足，求的值． (4)如图所示，在长方形中，，，点，分别是，上的点，且，分别以，为边在长方形外侧作正方形和． ①______，______；（用含的式子表示） ②若长方形的面积为，求图中阴影部分的面积和． 【答案】(1) (2)或 (3) (4)①，；② 【分析】本题考查完全平方公式的应用，利用完全平方公式变形求值，矩形与正方形的性质，掌握好相关知识是关键． （1）利用完全平方公式变形求值即可； （2）对比完全平方公式确认与，再计算出的值即可； （3）设，，利用完全平方公式求值即可； （4）①根据线段和差关系进行填空； ②由矩形的面积为，可得，利用完全平方公式变形求得，根据正方形面积公式求出阴影面积． 【详解】（1）解：， ∵， ∴， ∴； （2）解：在完全平方式中，，， ∴， 当时， ， ∴， 当时， ， ∴； 综上所述，或； （3）解：设，， ∴，， ， ∴， ∴； （4）解：①∵四边形是矩形， ∴，， ∴，； ②∵长方形的面积为， ∴． ∵， ∴， ∴． 类型四、知二求二 1．已知，，则 ． 【答案】30 【分析】本题考查了完全平方公式的变形应用，解题的关键是将所求式子转化为含与的形式，再代入已知条件计算． 先将变形为，再代入与进行计算． 【详解】解：∵，， ∴ ． 故答案为：． 2．已知，求下列代数式的值： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了完全平方公式的变形求值，熟知完全平方公式及其变形是解题的关键． （1）根据计算求解即可； （2）根据计算求解即可； （3）根据计算求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：∵， ∴； （3）解：由（1）得 ∴ ． 3．（1）已知，，求的值； （2）若，求的值． 【答案】（1）87；（2）8． 【分析】本题考查了完全平方公式的变形应用，整式的化简求值，整体代入思想，掌握完全平方公式的变形，整式化简后结合已知条件整体代入求值是解题的关键． （1）利用完全平方公式的变形，代入已知数值计算； （2）先展开并化简代数式，得到含的式子，再结合已知条件整体代入求值． 【详解】解：（1）∵，， ∴， ∴； （2） ． ∵， ∴，即， ∴原式． 4（1）已知，，求的值． （2）已知，，求的值． 【答案】（1） （2） 【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式的变形是解题的关键． （1）已知和的值，可利用完全平方公式的变形来求解． （2）已知和的值，可将两式展开后相减，消去和，从而求出的值． 【详解】解：（1）∵，， ∴ ； （2）∵，， ∴， ∴， ∴． 5．，，求下列各式的值： (1)和； (2)． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了完全平方公式的应用． （1）把所给的式子利用完全平方公式分解后，再把两式进行相加和相减即可求解； （2）先化简原式，再将（1）所求的和的值代入即可求解． 【详解】（1）解：由题意得，， ， 由得：， ∴， 将代入①得：． （2）解：原式， 将，代入原式得，． 类型五、参数问题 1．若代数式是完全平方式，则的值为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查完全平方公式的应用，关键是熟练应用公式进行解题；根据完全平方式的结构特征，建立关于的方程，进而求解的值。 【详解】解：∵代数式是完全平方式， ∴ ①当时， ， ∴ ②当时， ， ∴ 综上，的值为或． 故答案为：C． 2．若代数式可以配方为，则（    ） A．4 B．6 C．8 D．9 【答案】B 【分析】本题考查完全平方公式的应用，通过展开完全平方式，对比对应项系数求出m和n的值，进而计算． 【详解】解：∵， ， 可得，， 解得，， ， 故选：B． 3．要使多项式为一个完全平方式，则等于（   ） A．12 B．24 C．98 D．196 【答案】D 【分析】本题主要考查了多项式的乘法以及完全平方式的应用，熟练掌握完全平方式的结构特点是解题的关键． 将多项式分组相乘，转化为关于的二次三项式，再根据完全平方式的特点求出． 【详解】解： ， ∵多项式为完全平方式， ∴， 解得． 故选：D． 4．若是一个完全平方式，则k的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查完全平方式，记住完全平方式的特征是解题的关键，形如这样的式子是完全平方式． 根据完全平方式的定义，将表达式与标准形式比较系数，得出关于k的方程并求解即可 【详解】解：∵是完全平方式， ∴可表示为， 可知， 即． 故答案为：． 5．已知是一个完全平方式，那么k的值为 ． 已知M是含字母x的单项式，要使多项式是某个多项式的平方，则M为 ． 【答案】 或 【分析】本题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．对于第一问，利用完全平方公式的结构特征即可求解，对于第二问，考虑两种情形：M作为中间项或平方项两种情况，然后分类讨论求解． 【详解】解：对于第一问：∵是完全平方式，且，， ∴．故． 故答案为：． 对于第二问：解：要使是某个多项式的平方，有两种情况： ①当它是完全平方式时，可表示为，所以． ②当它是另一个多项式的平方时，如设为． 与比较，得，， 为M中的系数． 由，代入，得， 所以，． 故答案为：或． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 专题04完全平方公式的五种考法 类型一、利用公式运算 1.利用完全平方公式计算： 501 （50/ (2)19992. 2.利用简便方法计算： (1)99.92; (2)23.142-23.14×6.28+3.142; (3)3.6722+6.3282+6.328×7.344. 3.利用完全平方公式计算：20212-2021×4044+20222= 类型二、乘法公式综合运用 1.化简： (1)4x+1)2-(2x+5)(2x-5); (2(2x+y+3)(2x-y+3) 1/5 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 2.化简：n(m+2m)+(3m+mj(3m-n-(2m+n2. 3.先化简.再求值：(2x+3列-2x+2x-川，其中x=号= 2 4.计算： (1)(2a+b-3c2a-b+3c): (2(a-2b+3c2. 类型三、完全平方公式与几何综合应用 1.将完全平方公式(a±b)=a2±2ab+b2通过适当的变形，可以解决很多数学问题.试通过完全平方公式 变形，解决下列问题。 (1)已知a2+b2=56,(a+b)=100,求ab的值； (2)已知(7-x)(x-4)=1,求(7-x)+(x-4)2的值： (3)如图，点C是线段AB上的一点，以AC、BC为边向两边作正方形，设AB=5,两正方形的面积和 S,+S2=17,求图中阴影部分的面积. 2/5 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D S S2 2.观察图①，用等式表示图中图形的面积的运算为(a+b)2=a2+2ab+b2, D a b a 花 草E花 ab B 图① 图② 图③ (1)观察图②，用等式表示图中阴影部分图形的面积的运算为_ 【应用】(2)根据图②所得的公式，若a+b=6,ab=3,求a2+b2的值. (3)若x满足(5-x(x-1)=2,求(5-x)2+(x-1)2的值. 【拓展】(4)如图③，某学校有一块梯形空地ABCD,AC⊥BD于点E,AE=DE,BE=CE,该校计划在 △AED和BEC区域内种花，在ACDE和△ABE的区域内种草，经测量种花区域的面积和为60平方米，种 京区城腾面积和为智平方米，求4C的长。 3.所谓完全平方式，就是对于一个整式A,如果存在另一个整式B,使A=B',则称A是完全平方式，例 如：a2+2ab+b2=(a+b)2,a2-2ab+b2=(a-b)2,所以a2+2ab+b2,a2-2ab+b就是完全平方式.请 解决下列问题： (1)已知a2+b2=8,(a+b)2=20,则ab= (2)如果x2-(k+1x+9是一个完全平方式，则k的值为 (3)若x满足(2024-x)2+(x-2027=169,求(2024-xx-2027)的值. (4)如图所示，在长方形ABCD中，AB=10,AD=6,点E,F分别是BC,CD上的点，且BE=DF=x, 分别以FC,CE为边在长方形ABCD外侧作正方形CFGH和CEMN. 3/5 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 G H F C N E ①CF= CE= :(用含x的式子表示) ②若长方形CEPF的面积为32，求图中阴影部分的面积和. 类型四、知二求 1.己知x+y=3,y=-7,则x2-y+y2= 2.已知x+y=5,y=3,求下列代数式的值： (1)x2+y2[; (2(x-y); (3)x4+y4. 3.(1)已知x-y=9,y=3,求x2+y2的值： (2)若a2-a-6=0,求4+a(3-a+2a+2的值. 4(1)己知a+b=5,ab=3,求a2+b2的值. (2)已知(x+y)2=25,(x-y2=9,求y的值。 4/5 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 5.（a+b)=7,（a-b)=3,求下列各式的值： (1)a2+b2和ab; @as 1 类型五、参数问题 1.若代数式x2-k+1)x+25是完全平方式，则k的值为() A.9 B.-11 c.9或-11 D.11或-9 2.若代数式x2+4x+m可以配方为(x+n)2,则m+n=() A.4 B.6 C.8 D.9 3.要使多项式(x-1)(x+3)(-4)(x-8)+m为一个完全平方式，则m等于() A.12 B.24 C.98 D.196 4.若9x2-ky+25y2是一个完全平方式，则k的值为 5.己知4x2+x+9是一个完全平方式，那么k的值为 己知M是含字母x的单项式，要使多项式16x2+M+1是某个多项式的平方，则M为 5/5