专题03 平方差公式的三种考法（压轴题专项训练，四川成都专用）数学新教材北师大版七年级下册

专题03 平方差公式的三种考法 类型一、利用公式运算 1．运用乘法公式计算时，下列变形中，最适合运用平方差公式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了利用平方差公式对整式进行变形，解题的关键是掌握平方差公式． 利用平方差公式进行变形即可． 【详解】解： 故选：D． 2．下列两个整式相乘，可以用平方差公式计算的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平方差公式，关键是熟练掌握公式的适用形式； 根据平方差公式适用于形式为的表达式，其中和是整式，分析各选项进行选择即可. 【详解】解：选项A： 与即无相同项也无相反项，不能用平方差公式计算； 选项B： ∵ ， ∴可用平方差公式计算； 选项C： 与互为相反数，不能用平方差公式计算； 选项D： 与相同，乘积为完全平方式，不能用平方差公式计算； 故答案选：B. 3．运用乘法公式简便计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查平方差公式的运用，注意数字特点，灵活运算； （1）利用平方差公式展开； （2）把改为，利用平方差公式求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 4．已知，，，求的值． 【答案】56 【分析】本题考查了求代数式的值，平方差公式；由已知等式可得，由平方差公式得，即可求解． 【详解】解：因为，， 所以． 因为， 所以． 5．计算的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是平方差公式的应用，灵活运用平方差公式是解题的关键． 先利用平方差公式把原式改写为，再计算即可． 【详解】解： ． 故选：C． 6．计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了运用平方差公式，解决此题的关键是熟练掌握平方差公式；先根据式子形式把式子乘以，同时乘以，多次运用平方差公式得到答案即可； 【详解】解： ， ， ． 类型二、数形结合思想 1．如图，正方形和正方形按如图方式摆放，两个正方形面积之差为16，连接．若，则的面积为（   ） A． B．16 C．15 D．8 【答案】A 【分析】本题主要考查平方差公式与图形面积，解题的关键是理解题意；由题意可设正方形的边长为a，正方形的边长为b，则有，则有，然后可得，则有，进而问题可求解． 【详解】解：设正方形的边长为a，正方形的边长为b，则有， ∵， ∴， ∵两个正方形面积之差为16， ∴， ∴， ∴； 故选A． 2．如图，四边形是长方形，四边形是面积为17的正方形，点，分别在，上，且四边形是正方形，连接，．若正方形的面积为5，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质，平方差公式，解答关键是掌握平方差公式并熟练运用．设大正方形的边长为a，小正方形的边长为b，进而利用平方差公式和三角形的面积公式得到，再根据正方形的面积公式求解即可． 【详解】解：设大正方形的边长为a，小正方形的边长为b 则阴影面积的底为 ，高为， ∴阴影面积为， ∵大正方形的面积为，小正方形的面积为， ∴阴影面积为 故答案为：． 3．从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． (1)上述操作能验证的等式是__________（请选择正确的一个） A．  B． C． (2)应用你从（1）选出的等式，完成下列各题： ①已知．求的值； ②若，求的值． 【答案】(1)B (2)①；②127 【分析】此题考查了平方差公式的应用． （1）根据面积相等即可得到答案； （2）①根据平方差公式即可得到得到答案；②利用平方差公式得到，即可得到答案． 【详解】（1）解：因为图1中阴影部分的面积等于，图2是长为，宽为得长方形， ∵图2是由图1中的阴影部分拼成的， ∴， 故选：B； （2）解：①由（1）得， ∵ ∴， ∵， ∴. ② ∵， ∴． 类型三、平方差公式与几何综合应用 1．边长为的正方形剪掉一个边长为的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． (1)上述操作能验证的等式是________（请选择正确的一个选项） A．    B． C．        D． (2)若，，求的值； (3)计算：． 【答案】(1)B (2) (3) 【分析】本题主要考查平方差公式的几何背景，熟练掌握平方差公式是解题的关键． （1）结合图①和图②阴影部分面积相等建立等式即可． （2）利用平方差公式计算即可． （3）利用平方差公式展开计算化简，最后求值． 【详解】（1）解：边长为a的正方形面积是，边长为b的正方形面积是， ∴图①阴影部分面积为；图②长方形面积为； 则验证的等式是， 故答案为：B； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解： ． 2．【探究】如图①，边长为的大正方形中有一个边长为b的小正方形，把图①中的阴影部分拼成一个长方形（如图②所示），通过观察比较图②与图①中的阴影部分面积，可以得到乘法公式___________． （用含a，b的等式表示） 【应用】请应用这个公式完成下列各题： （1）已知，，则的值为___________． （2）计算：． 【扩展】计算： 【答案】【探究】【应用】（1）3，（2）；【扩展】 【分析】本题主要考查了平方差公式，解题的关键是掌握平方差公式的灵活应用． 探究：利用图形的面积得出平方差公式； 应用：（1）利用平方差公式进行求解即可； （2）利用平方差公式进行求解即可； 扩展：先利用平方差公式进行整理，再进行计算即可． 【详解】解：【探究】， 故答案为：； 【应用】（1）由得，， 即， 将代入上式得，； 故答案为：3； （2）原式 ； 【扩展】 ． 3．如图1，边长为的大正方形中有一个边长为的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个平行四边形（如图2所示）． (1)上述操作能验证的公式是 （填序号）． ① ② ③ (2)请应用上面的公式完成下列各题： ①若，，则 ． ②计算： 【答案】(1)② (2)①；② 【分析】本题主要考查了平方差公式的验证与应用． (1)根据拼接前后阴影的面积不变，可以验证平方差公式； (2)①把，代入即可求出的值； ②把转化为，用平方差公式展开进行计算． 【详解】（1）解：由图可知，阴影部分的面积为， 如下图所示，图中平行四边形的高为，底为， 平行四边形的面积为， 拼接前后阴影部分的面积没有变化， ， 能验证的公式是②， 故答案为②； （2）①解：，，， ∴ ， 故答案为：； ②解： ． 4．从边长为a的正方形中减去一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． (1)上述操作能验证的等式是 ； (2)计算：； (3)运用写出的等式，解答下列各题： ①已知，，求的值； ②计算： 【答案】(1) (2) (3)①；② 【分析】本题主要考查平方差公式的变形计算，掌握平方差公式是关键． （1）根据图形面积计算即可； （2）运用（1）中的结论计算即可； （3）①运用（1）中的结论计算即可； ②运用（1）中的结论分别计算出每一项，最后再计算乘法即可． 【详解】（1）解：图1的面积为，图2的面积为， ∴， 故答案为：； （2）解： ； （3）解：①，，， ， ； ② ． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 平方差公式的三种考法 类型一、利用公式运算 1．运用乘法公式计算时，下列变形中，最适合运用平方差公式的是（    ） A． B． C． D． 2．下列两个整式相乘，可以用平方差公式计算的是（   ） A． B． C． D． 3．运用乘法公式简便计算： (1)； (2)． 4．已知，，，求的值． 5．计算的值是（   ） A． B． C． D． 6．计算： ． 类型二、数形结合思想 1．如图，正方形和正方形按如图方式摆放，两个正方形面积之差为16，连接．若，则的面积为（   ） A． B．16 C．15 D．8 2．如图，四边形是长方形，四边形是面积为17的正方形，点，分别在，上，且四边形是正方形，连接，．若正方形的面积为5，则图中阴影部分的面积为 ． 3．从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． (1)上述操作能验证的等式是__________（请选择正确的一个） A．  B． C． (2)应用你从（1）选出的等式，完成下列各题： ①已知．求的值； ②若，求的值． 类型三、平方差公式与几何综合应用 1．边长为的正方形剪掉一个边长为的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． (1)上述操作能验证的等式是________（请选择正确的一个选项） A．    B． C．        D． (2)若，，求的值； (3)计算：． 2．【探究】如图①，边长为的大正方形中有一个边长为b的小正方形，把图①中的阴影部分拼成一个长方形（如图②所示），通过观察比较图②与图①中的阴影部分面积，可以得到乘法公式___________． （用含a，b的等式表示） 【应用】请应用这个公式完成下列各题： （1）已知，，则的值为___________． （2）计算：． 【扩展】计算： 3．如图1，边长为的大正方形中有一个边长为的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个平行四边形（如图2所示）． (1)上述操作能验证的公式是 （填序号）． ① ② ③ (2)请应用上面的公式完成下列各题： ①若，，则 ． ②计算： 4．从边长为a的正方形中减去一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． (1)上述操作能验证的等式是 ； (2)计算：； (3)运用写出的等式，解答下列各题： ①已知，，求的值； ②计算： 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $