16.2 二次根式的运算（题型专练，10基础题型+10提升题型+培优）数学新教材沪科版八年级下册

16.2 二次根式的运算 题型一 二次根式的乘法 1．计算的值为（   ） A． B． C． D． 2．下列各数中，与的积为有理数的是（    ） A．2 B．3 C． D． 3．计算的结果为 ． 4．计算： ． 题型二 二次根式的除法 1．计算的结果是（   ） A．4 B．2 C．3 D． 2．方程的解为（    ） A． B． C． D． 3． ． 4． ． 题型三 二次根式的乘除混合运算 1．计算的结果是（　　） A．1 B． C． D． 2．计算结果为（   ） A． B． C． D． 3．计算 ． 4．计算： ． 题型四 最简二次根式的判别 1．下列各式是最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 2．若是最简二次根式，则a的值可以是（    ） A． B．2 C．4 D．8 3．任意写出一个最简二次根式 ． 4．在，，，，中最简二次根式有 个． 题型五 化为最简二次根式 1．化简的结果是 ． 2．将二次根式化为最简二次根式 ． 3．把下列根式化成最简二次根式： (1)． (2)． (3)． 4．化简： (1)； (2)． 题型六 同类二次根式 1．下列二次根式中，与是同类二次根式的是（   ） A． B． C． D． 2．下列各根式中，是同类二次根式的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 3．下列各式中，化简后能与合并的是（    ） A． B． C． D． 4．请写出一个的同类二次根式 ． 5．与 同类二次根式（填“是”或“不是”）． 题型七 二次根式的加减运算 1．计算的结果是（    ） A． B． C． D．3 2．计算的结果是（　　） A．25 B． C． D．5 3．能与相加得0的是（　　） A． B． C． D． 4．计算： ． 题型八 二次根式的混合运算 1．化简：（   ） A． B． C． D． 2．下列各式计算正确的是（   ） A． B． C． D． 3．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 4． 5．计算： ． 3．计算的结果是 ． 7．计算：． 37．计算： (1)； (2)． 8．计算： (1)； (2)； (3)． 题型九 比较二次根式的大小 1．下列各数中，大于的数是（　　） A． B． C． D． 2．已知，则下列数中比m大的是（   ） A． B．4 C． D． 3．比较大小： ．（选填“”、“”、“”）． 4．比较大小： （填“”或“”）． 5．比较大小：    (用“”、“”或“”填空)． 题型十 二次根式的应用 1．如图，矩形中，相邻两个正方形和的面积分别为2和4，则图中阴影部分的面积是（   ） A．2 B． C． D． 2．如图，从一个大正方形中裁去面积为和的两个小正方形，则留下的阴影部分的面积为（    ）    A． B． C． D． 3．三角形的一边长是，这条边上的高是，则这个三角形的面积是（    ） A． B． C． D． 4．【跨学科】“海阔千江辏，风翻大浪随”．海浪的大小与风速和风压有很大的关系，用风速估计风压的通用公式为，其中为风压（单位：），为风速（单位：）．当风压为时，估计风速为 ． 5．高空抛物严重威胁着人们的头顶安全，即便是常见小物件，一旦从高空落下，其威力也惊人，而且落地用时很短，行人常常来不及避让．据研究，从高度为（单位：）的高空抛出的物体下落的时间（单位：）和高度满足关系式（不考虑风速的影响，的值取），已知小杰家所住楼层的高度是，假如一个物品从小杰家抛出，求该物品落地的时间（结果保留根号）． 6．某居民小区有块形状为长方形绿地，长为米，宽为米，现在要长方形绿地中修建两个形状大小相同的长方形花坛（即图中阴影部分），每个长方形花坛的长为米，宽为米．除去修建花坛的地方，其它地方全修建成通道，通道上要铺上造价为30元/平方米的地砖，要铺完整个通道，则购买地砖需要花费多少元？    题型一 根据最简（同类）二次根式求参数的值 1．最简二次根式与是同类二次根式，则 ． 2．若最简二次根式与能合并，则k的值可以是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 3．若二次根式是最简二次根式，则m可取的最小整数为（    ） A．1 B．0 C． D． 4．已知最简二次根式与可以合并，则的值是 ． 5．如果最简根式与是同类二次根式，那么 ． 题型二 二次根式中的新定义运算 1．用表示不超过的最大整数，例如：．已知，，则（　　） A．4 B．2 C．-4 D．2 2．对于任意的正数，定义运算为：，计算的结果是（    ） A． B． C． D． 3．对于正整数，定义，例如：．则的值为() A． B． C． D． 4．定义两种新运算，规定：，，其中a、b为实数且． (1)求的值； (2)求的解． 题型三 二次根式的估算 1．估计的值应在（    ） A．4和5之间 B．5和6之间 C．6和7之间 D．7和8之间 2．估计的值应在（    ） A．2到3之间 B．3到4之间 C．4到5之间 D．5到6之间 3．估计的值应在（    ） A．4与5之间 B．5与6之间 C．6与7之间 D．7与8之间 题型四 二次根式中与整数部分有关的计算 1．已知，那么的整数部分是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．设的整数部分为a，小数部分为b，则的值是（   ） A．6 B． C．12 D． 3．已知，则与最接近的整数是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 4．若的整数部分为，小数部分为，则的值是（    ） A． B． C． D． 5．若的整数部分是a，小数部分是b，求的值为（    ） A． B．3 C．5 D． 6．实数的整数部分 ，小数部分 ． 题型五 二次根式中较复杂的代数式求值 1．已知，则（   ） A． B． C． D． 2．设n 为正整数且，则n的值为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 3．当时，代数式的值是（    ） A． B．1 C． D． 4．已知，则值为（   ） A． B． C． D． 5．如果，则的值是（　　） A．5 B．3 C． D． 6．已知实数满足，那么的值为（    ） A．2025 B． C．2026 D． 7．小芬在解决问题：已知，求的值．她是这样解的． ， ， ， ； ． 请你根据小芬的解答过程，解决如下问题： (1)计算：； (2)若； ①求的值； ②求的值． 题型六 数学文化与二次根式的应用 1．我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》一书中，给出了下面的公式：如果一个三角形的三边长分别为 a，b，c，则该三角形的面积为．已知 的三边长 a，b，c分别为 2，，4，则 的面积是（    ） A． B． C． D． 2．古希腊几何学家海伦和我国南宋数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，称为海伦一秦九韶公式．如果一个三角形的三边长分别是a，b，c，记，那么这个三角形的面积为．若，，，其面积S的小数部分为m，则m的值为 ． 3．古希腊几何学家海伦和我国南宋数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，称为海伦一秦九韶公式．如果一个三角形的三边长分别是a，b，c，记，那么这个三角形的面积为．若，，，其面积S的小数部分为m，则m的值为 ． 4．北师大（2024版）八年级（上）数学教材指出：设一个三角形的三边长分别为，，则有下列面积公式； （海伦公式）； （秦九韶公式）， 请选择合适的公式解决以下问题． （1）若一个三角形的三边长分别是，这个三角形的面积为 ； （2）若一个三角形边长依次为5、6、7，这个三角形三条边上的高之和为 5．古希腊几何学家海伦和我国宋代数学家秦九韶都曾提出利用三角形的三边求面积的公式，称为海伦--秦九韶公式：如果一个三角形的三边长分别是a，b，c，记，那么三角形的面积为．如图，在中，所对的边分别记为a、b、c，若，则的面积为 ． 6．问题情境：在学习了《勾股定理》和《实数》后，某班同学们以“已知三角形三边的长度，求三角形面积”为主题开展了数学活动，同学们想到借助曾经阅读的数学资料进行探究： 材料．古希腊的几何学家海伦（约公元50年，在他的著作《度量》一书中，给出了求其面积的海伦公式（其中a、b、c为三角形的三边长，，S为三角形的面积） 材料．我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边长求面积的秦九韶公式：，其中三角形边长分别为a、b、c，三角形的面积为． (1)利用材料1解决下面的问题：当时，求这个三角形的面积？ (2)利用材料2解决下面的问题：已知三条边的长度分别是，记的周长为 ①当时，请直接写出中最长边的长度； ②若x是满足的整数，当取得最大值时，请用秦九韶公式求出的面积． 题型七 分母有理化 1．下列二次根式中，与 互为有理化因式的是（     ） A． B． C． D． 2．化简的结果是（   ） A．42 B．43 C．44 D．45 3．阅读下列解题过程： ； ； 观察上面解题过程，的值为（     ） A． B． C． D．10+ 4．【阅读材料】 材料一：我们规定，如果两个含有二次根式的式子的积中不含二次根式，我们就称这两个含有二次根式的式子互为有理化因式，其中一个式子叫作另一个式子的有理化因式． 材料二：我们在进行二次根式的化简时，有时需要把分子、分母乘以分母的有理化因式从而去掉分母中的根号，这个过程就是分母有理化，如：． 材料三：我们有时又需要把分子、分母乘以分子的有理化因式从而去掉分子中的根号，这个过程就是分子有理化，如：． 【问题解决】 任务一：请写出的一个有理化因数为______； 任务二：与是否互为有理化因式？若是，请说明理由；若不是，请写出的一个有理化因式； 【知识应用】 （1）请利用分母有理化知识，化简：； （2）请利用分子有理化知识，比较大小：与． 5．【阅读与探究】在进行二次根式去分母时，我们有时会碰上如，，这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简： ；    ① ；        ② ．    ③ 以上这种化简的步骤叫做分母有理化． 还可以用以下方法化简： ．    ④ (1)【小试牛刀】请参照③式、④式用不同的方法化简． (2)【拓展应用】化简：． 题型八 二次根式中的规律类问题 1．观察下列各式：，，，…请你找出其中规律，则第2021个等式为（    ） A． B． C． D． 2．如图，原图是一块边长为1，面积记为的正三角形纸板，沿原图的底边剪去一块边长为正三角形纸板后得到图①，面积记为，然后沿同一底边依次剪去一块更小的正三角形纸板，即其边长为前一块被剪掉正三角形纸板边长的后，得图②、③面积依次记为，，……，记第块纸板的面积为 ，则等于（    ） A． B． C． D． 3．将一组数，2，，，，，…，，…，按以下方式进行排列： 则第七行左起第1个数是 ． 4．观察下列计算： ， ， ， …… 从以上计算过程中找出规律，并利用这一规律进行计算： ． 5．观察下列等式： ；；；… 按照上述规律，回答以下问题： (1)请写出第7个等式：________； (2)请写出第个等式：________； (3)求的值． 题型九 求参数的取值范围 1．若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．若，则x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．已知关于x的方程恰有两个实数解．则t的取值范围是（  ） A． B．且 C． D．且 4．若代数式的值为3，则a的取值范围是（　　） A． B． C． 或 D． 题型十 二次根式中最值问题 1．【阅读理解】通过二次根式和乘法公式可以发现：对于任意正实数，， ∵ ∴ ∴（当且仅当时，） 【获得结论】在（，均为正实数）中，若为定值，则，当且仅当时，有最小值． 如：若，则 ∴，当且仅当，即时，有最小值2． 【探索应用】根据上述内容，回答下列问题： (1)若，则的最小值是_____； (2)已知，是一个大于0的常数，若的最小值为1，求的值； (3)如图，四边形的对角线，相交于点，若，，，求的最大值． 2．阅读下面材料： 我们在学习二次根式时，熟悉的是分母有理化以及应用，其实，还有一个方法叫做“分子有理化”，与分母有理化类似，分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消掉分子中的根式比如：，分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，也可以用来处理一些二次根式的最值问题．例如：比较和的大小可以先将它们分子有理化如下：，，因为，所以．再例如：求的最大值．做法如下： 解：由，可知，而，当时，分母有最小值2，所以y的最大值是2． 解决下述问题： (1)由材料可知，； (2)比较和的大小； (3)式子的最大值是________． 1． 先化简，再求值：，其中a，b满足 2．观察下列一组等式，然后解答后面的问题： ； ； ； ． (1)观察以上规律，请写出第5个等式：________． (2)利用上面的规律，计算． (3)请利用上面的规律，比较与的大小，并写出详细过程 3．阅读下面内容：我们已经学习了《二次根式》和《乘法公式》，聪明的你可以发现：当时，，，当且仅当时取等号．请利用上述结论解决以下问题： (1)当时，的最小值为 ；当时，的最大值为 ． (2)当时，求代数式的最小值． (3)如图，四边形的对角线相交于点O，的面积分别为12和27，求四边形面积的最小值． 4．观察下列等式： ； ； ； … (1)求下列各式的值： ①______； ②______； ③______（为正整数）． (2)已知，，若的整数部分是，的小数部分是，则的值为______． (3)计算． 5．【发现问题】 由得，；如果两个正数，，即，，则有下面的不等式： ，当且仅当时取到等号． 【提出问题】若，，利用配方能否求出的最小值呢？ 【分析问题】例如：已知，求式子的最小值． 解：令，则由，得，当且仅当时，即时，式子有最小值，最小值为4． 【解决问题】 请根据上面材料回答下列问题： （1）__________（用“”“”“”填空）；当，式子的最小值为__________； 【能力提升】 （2）用篱笆围一个面积为32平方米的长方形花园，使这个长方形花园的一边靠墙（墙长20米），问这个长方形的长、宽各为多少时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少？ （3）如图，四边形的对角线、相交于点，、的面积分别是8和14，求四边形面积的最小值． 6．课堂情境：在学习完“实数”这一章后，数学王老师通过两个边长为整数的正方形的剪切和拼接可以得到边长为无理数的大正方形，从而让无理数直观地出现在我们面前． （1）如图，将两个边长为1的小正方形，拼成大正方形，则大正方形边长为___________． （2）如图，左边由边长分别为和的正方形组成，把它分成5个小块后重新组合成了右图所示的大正方形，则大正方形的边长为___________． 学习完二次根式后，王老师进一步讲解了二次根式的相关材料． 【材料一】两个含有二次根式且非零的代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式． 例：，我们称和互为有理化因式，和互为有理化因式． （3）的有理化因式___________．（写出一个即可） （4）的有理化因式___________．（写出一个即可） 【材料二】如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子、分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含根号，这种变形叫做分母有理化． 例： （5）请利用分母有理化化简___________． （6）___________． 【材料三】与分母有理化类似，将代数式分子、分母同乘分子的有理化因式，从而消去分子中的根式，这种变形叫做分子有理化． 比如： （7）试利用分子有理化比较和的大小． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 16.2 二次根式的运算 题型一 二次根式的乘法 1．计算的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式乘法，利用二次根式的乘法法则，将根号内的数相乘后化简． 【详解】解： ， 故选：B． 2．下列各数中，与的积为有理数的是（    ） A．2 B．3 C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次根式的乘法计算，根据二次根式的乘法计算法则求出对应选项中的数字与的积，再根据有理数的定义判断即可得到答案． 【详解】解：A、，是无理数，不符合题意； B、，是无理数，不符合题意； C、，是有理数，符合题意； D、，是无理数，不符合题意； 故选：C． 3．计算的结果为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的乘法法则，根据二次根式的乘法法则， ，直接计算即可． 【详解】解：，其中已是最简二次根式， 故答案为：． 4．计算： ． 【答案】6 【分析】本题考查了二次根式的乘法运算．利用二次根式的乘法法则，将两个二次根式相乘转化为被开方数相乘的算术平方根，即可作答． 【详解】解：， 故答案为：6． 题型二 二次根式的除法 1．计算的结果是（   ） A．4 B．2 C．3 D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的除法运算，掌握运算法则是解题的关键．根据二次根式的除法运算法则直接计算即可． 【详解】解： ， 故选：B． 2．方程的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】通过等式变形，将的系数化为，再对根式进行化简计算．本题主要考查二次根式的运算及一元一次方程的求解，熟练掌握二次根式的化简与运算，通过系数化为求解方程是解题的关键． 【详解】解：由，两边同时除以， 得 ， ∴ , 故选：B． 3． ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的除法，掌握知识点是解题的关键． 根据二次根式的除法法则计算即可． 【详解】解：． 故答案为：． 4． ． 【答案】3 【分析】本题主要考查了二次根式的除法计算，直接根据二次根式的除法计算法则求解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 题型三 二次根式的乘除混合运算 1．计算的结果是（　　） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次根式的乘除混合运算的运算顺序和运算法则进行计算即可． 【详解】解：原式 ． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了二次根式的乘除混合与运算，解题的关键是掌握二次根式的乘除混合运算法则和运算顺序． 2．计算结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的乘除运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据二次根式的乘除法则计算即可． 【详解】解： ， 故选：B． 3．计算 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的乘除法运算，熟练掌握二次根式的乘除法运算法则是解题关键． 先计算二次根式的乘法和化简，再进行有理数的除法运算即可求解． 【详解】解： ． 故答案为：． 4．计算： ． 【答案】1 【分析】本题考查了二次根式的乘除法混合运算，按照乘除法混合运算法则计算即可． 【详解】解： ， 故答案为：1． 题型四 最简二次根式的判别 1．下列各式是最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了最简二次根式的识别，被开方数不含分母且不含能开得尽方的因数或因式的二次根式叫做最简二次根式，据此求解即可． 【详解】解：A．，被开方数含分母，不是最简二次根式； B．是最简二次根式； C．，被开方数含分母，不是最简二次根式； D．，被开方数含有开得尽方的因数，不是最简二次根式． 故选：B． 2．若是最简二次根式，则a的值可以是（    ） A． B．2 C．4 D．8 【答案】B 【分析】本题主要考查了最简二次根式， 根据最简二次根式的定义，被开方数不含分母且不含完全平方因数，逐一验证选项即可． 【详解】解：∵时，，根号下有分母，不是最简二次根式； ∵时，，可化简为整数，不是最简二次根式； ∵时，，可化简，不是最简二次根式； ∵时，，被开方数2不含分母且不含完全平方因数，是最简二次根式． 故选：B． 3．任意写出一个最简二次根式 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查的是最简二次根式的定义，熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键； 最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分母、被开方数不含能开得尽方的因数或因式．据此进行解答即可． 【详解】解：一个最简二次根式可以为， 故答案为：（答案不唯一）． 4．在，，，，中最简二次根式有 个． 【答案】 【分析】本题考查了最简二次根式，熟知最简二次根式的定义是解本题的关键．根据最简二次根式的定义判断即可． 【详解】解： ， 不是最简二次根式， ， 不是最简二次根式， 最简二次根式有：，，，共个， 故答案为：． 题型五 化为最简二次根式 1．化简的结果是 ． 【答案】 【分析】直接利用二次根式的性质化简求得答案即可． 本题考查二次根式的性质及化简，熟练掌握计算法则是解题关键． 【详解】解：． 故答案为： 2．将二次根式化为最简二次根式 ． 【答案】 【分析】本题考查了最简二次根式，利用二次根式的性质化简即可，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 3．把下列根式化成最简二次根式： (1)． (2)． (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了二次根式的化简，解题的关键是熟练掌握二次根式的性质． （1）把24写成，然后化简； （2）把40写成，然后化简； （3）先把小数写成分数，然后分子分母都乘以2，再化简； 【详解】（1）解：． （2）解：． （3）解：． 4．化简： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的化简，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键． （1）利用二次根式的性质化简即可； （2）利用二次根式的性质化简即可． 【详解】（1）解：； （2）解：． 题型六 同类二次根式 1．下列二次根式中，与是同类二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次根式的性质以及同类二次根式的定义，正确对二次根式化简是关键．要判断与是同类二次根式的选项，需将各选项化简为最简二次根式，若被开方数为3，则为同类二次根式． 【详解】A、，与不是同类二次根式，故该选项不符合题意； B、是整数，与不是同类二次根式，故该选项不符合题意； C、，与是同类二次根式，故该选项符合题意； D、，与不是同类二次根式，故该选项不符合题意； 故选：C． 2．下列各根式中，是同类二次根式的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】B 【分析】本题考查同类二次根式的概念，判断同类二次根式需化简为最简二次根式后比较被开方数，对各选项逐一判断即可． 【详解】A、 已是最简，，所以A选项不是同类二次根式； B、 已是最简，，化简后被开方数均为2，所以B选项是同类二次根式； C、，，被开方数分别为和，所以C选项不是同类二次根式； D、 和 被开方数不同，所以D选项不是同类二次根式； 故选： B． 3．下列各式中，化简后能与合并的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了同类二次根式，理解其定义是解题的关键． 判断二次根式能否合并，需化简为最简二次根式后，若被开方数相同则为同类二次根式，可以合并． 【详解】解：A：，被开方数为，与不同，无法合并，故该选项不符合题意； B：，被开方数为，与相同，可以合并，故该选项符合题意； C：，被开方数为，与不同，无法合并，故该选项不符合题意； D：，被开方数为，与不同，无法合并，故该选项不符合题意． 故选：B． 4．请写出一个的同类二次根式 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查同类二次根式的知识，比较简单，注意掌握同类二次根式指化为最简二次根式后，被开方数相同．根据同类二次根式化为最简二次根式后，被开方数相同可写出的同类二次根式． 【详解】解：由题意得：是的同类二次根式． 故答案为：（答案不唯一）． 5．与 同类二次根式（填“是”或“不是”）． 【答案】是 【分析】本题考查了二次根式的化简，同类二次根式的定义，先利用二次根式的性质化简，再根据同类二次根式的定义判断． 【详解】解： ， 与是同类二次根式． 故答案为：是． 题型七 二次根式的加减运算 1．计算的结果是（    ） A． B． C． D．3 【答案】C 【分析】本题考查二次根式的加法，掌握算法是解决问题的关键．合并同类二次根式即可． 【详解】解：． 故选：C． 2．计算的结果是（　　） A．25 B． C． D．5 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的减法，熟练掌握运算法则是解题关键．先化简二次根式，再计算二次根式的减法即可得． 【详解】解：原式， 故选：C． 3．能与相加得0的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次根式的加减，掌握知识点是解题的关键． 根据二次根式的加减，逐项计算判断即可． 【详解】解：A． ，不符合题意； B． ，不符合题意； C． ，符合题意； D． ，不符合题意； 故选C． 4．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的加法运算，根据二次根式的性质，当被开方数相同时，可以直接合并系数. 【详解】解：. 故答案为 ． 题型八 二次根式的混合运算 1．化简：（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，正确的计算是解题的关键． 先把括号里的二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式，再算除法即可得答案． 【详解】解：， 故答案为：B． 2．下列各式计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】本题考查二次根式的运算，正确运算是解决本题的关键． 根据二次根式的运算法则，逐一验证各选项的正确性即可． 【分析】解：选项A：，故错误． 选项B：二次根式加法需满足同类根式才能合并，而与非同类根式，无法直接相加，故错误． 选项C：，故正确． 选项D：，故错误． 故选：C． 3．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次根式的乘法法则对A选项、B选项进行判断，根据二次根式的除法法则对C选项、D选项进行判断即可 本题考查了二次根式的运算，熟知以上知识是解题的关键． 【详解】解：A、,原式不正确，不符合题意； B、，原式不正确，不符合题意； C、，原式不正确，不符合题意； D、，正确，符合题意， 故选：D． 4． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，完全平方公式；使用完全平方公式展开即可求解． 【详解】解： 故答案为：． 5．计算： ． 【答案】2 【分析】本题考查二次根式的乘法运算以及加法运算．正确求解是解决本题的关键． 先根据乘法分配律展开式子，再分别计算各项乘积，最后进行化简和加法运算． 【详解】解： ． 故答案为：2． 3．计算的结果是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，根据平方差公式计算即可求解． 【详解】解： ． 故答案为：． 7．计算：． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，先利用完全平方公式和平方差公式计算，然后算加减法即可． 【详解】解： ． 37．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次根式的混合运算，正确计算是解题的关键： （1）先根据二次根式的性质化简，再根据二次根式的混合运算法则计算即可； （2）先根据二次根式的性质化简，再根据二次根式的混合运算法则计算即可． 【详解】（1）解： （2）解： 8．计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)5 (2)3-2 (3)2 【分析】本题考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则、除法法则和乘法公式是解决问题的关键． （1）先根据二次根式的乘法法则运算，再化简二次根式，然后合并同类二次根式即可； （2）先把各二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式，然后根据二次根式的除法法则运算； （3）先根据平方差公式和完全平方公式计算，然后合并即可． 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： 题型九 比较二次根式的大小 1．下列各数中，大于的数是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了实数的大小比较，实数的估算，熟练掌握实数的大小比较方法以及实数大小的估算解答本题的关键．对选项A、B、C分别与进行比较，选项D估值与比较即可得出． 【详解】解：A中，，故不符合题意； B ，，故不符合题意； C中，，故符合题意； D中，，故不符合题意； 故选：C． 2．已知，则下列数中比m大的是（   ） A． B．4 C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了二次根式的大小比较．熟练掌握平方法比较二次根式的大小，是解题的关键． 把m平方，四个选项的数分别平方与m平方比较大小，即可得解． 【详解】∵， ∴． A. ，∵，∴； B. 4，∵，∴； C. ，∵，∴； D. ，∵，∴． 故选：D． 3．比较大小： ．（选填“”、“”、“”）． 【答案】 【分析】此题主要考查实数的大小，二次根式性质，解题的关键是熟知实数的性质． 利用二次根式性质，比较实数的大小即可． 【详解】解：∵，有， ∴． 故答案为：． 4．比较大小： （填“”或“”）． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式比较大小，由于两个二次根式都大于0，因为只需要比较出两个二次根式平方后的结果的大小即可得到答案． 【详解】解：∵，且， ∴， 故答案为：． 5．比较大小：    (用“”、“”或“”填空)． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的大小比较．通过计算两数的差，根据差的符号判断大小关系，即可求解． 【详解】解： ， 由于，所以， 因此 ， 故 ． 故答案为：． 题型十 二次根式的应用 1．如图，矩形中，相邻两个正方形和的面积分别为2和4，则图中阴影部分的面积是（   ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查算术平方根，解答本题的关键是明确题意，求出大小正方形的边长，利用数形结合的思想解答． 先求出大、小正方形的边长，进而求出两个阴影图形面积之和即可． 【详解】解：由图可得，正方形和的边长分别为， ∴， ∴， 故选：C． 2．如图，从一个大正方形中裁去面积为和的两个小正方形，则留下的阴影部分的面积为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】直接利用正方形的性质得出两个小正方形的边长，进而得出大正方形的边长，即可得出答案． 【详解】解：∵两个小正方形面积为和， ∴大正方形边长为：， ∴大正方形面积为， ∴留下的阴影部分面积和为：， 故选：A． 【点睛】此题主要考查了二次根式的应用，正确得出大正方形的边长是解题关键． 3．三角形的一边长是，这条边上的高是，则这个三角形的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角形的面积公式底高计算即可得解． 【详解】解：由题意得： 故选：B． 【点睛】本题考查的知识点是二次根式的乘法，熟记二次根式乘法法则是解此题的关键，注意将结果化为最简二次根式． 4．【跨学科】“海阔千江辏，风翻大浪随”．海浪的大小与风速和风压有很大的关系，用风速估计风压的通用公式为，其中为风压（单位：），为风速（单位：）．当风压为时，估计风速为 ． 【答案】16 【分析】本题考查了二次根式的乘法运算，根据题中的通用公式表示出风速的表达式，求解即可得出答案． 【详解】解：由题中给出的公式可知， 当风压为时，风速为， 故答案为：16． 5．高空抛物严重威胁着人们的头顶安全，即便是常见小物件，一旦从高空落下，其威力也惊人，而且落地用时很短，行人常常来不及避让．据研究，从高度为（单位：）的高空抛出的物体下落的时间（单位：）和高度满足关系式（不考虑风速的影响，的值取），已知小杰家所住楼层的高度是，假如一个物品从小杰家抛出，求该物品落地的时间（结果保留根号）． 【答案】该物品落地的时间为秒． 【分析】本题考查二次根式的计算，代入求值，掌握相关知识是解决问题的关键．将已知条件代入所给公式进行计算，最终化为最简二次根式即可． 【详解】解：在中， 当时， ， 答：该物品落地的时间为 ． 6．某居民小区有块形状为长方形绿地，长为米，宽为米，现在要长方形绿地中修建两个形状大小相同的长方形花坛（即图中阴影部分），每个长方形花坛的长为米，宽为米．除去修建花坛的地方，其它地方全修建成通道，通道上要铺上造价为30元/平方米的地砖，要铺完整个通道，则购买地砖需要花费多少元？    【答案】元 【分析】先计算出通道的面积，再根据“通道上要铺上造价为30元/平方米的地砖”即可求出购买地砖需要的花费． 【详解】解： （平方米）， 则（元）， ∴要铺完整个通道，则购买地砖需要花费元． 题型一 根据最简（同类）二次根式求参数的值 1．最简二次根式与是同类二次根式，则 ． 【答案】4 【分析】本题考查了同类二次根式，熟练掌握定义是解题的关键．根据同类二次根式的定义，若两个最简二次根式是同类二次根式，则它们的被开方数必须相同，据此列出方程求解即可 【详解】解：由最简二次根式与是同类二次根式， ∴， 解得， 故答案为：4． 2．若最简二次根式与能合并，则k的值可以是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题考查了最简二次根式及同类二次根式的定义，熟知定义是解题的关键． 根据能合并的二次根式是同类二次根式，即化为最简二次根式后被开方数相同，据此列方程求解即可． 【详解】解：∵最简二次根式与能合并， ∴， 解得：． 故选：C 3．若二次根式是最简二次根式，则m可取的最小整数为（    ） A．1 B．0 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查最简二次根式，掌握最简二次根式的定义是解本题的关键 根据最简二次根式的定义，被开方数不含能开得尽方的因式或因数，不含分母，进行求解即可． 【详解】解：， ，当时，，不是最简二次根式； 当时，，是最简二次根式， 故可取的最小整数为， 故选：D． 4．已知最简二次根式与可以合并，则的值是 ． 【答案】4 【分析】本题考查了同类二次根式的定义． 根据同类二次根式的定义，两个最简二次根式可以合并的条件是被开方数相同． 【详解】解：由题意，与可以合并， 因此它们是同类二次根式， 故被开方数相等， 即， 解方程：， 移项得， 解得． 故答案为：4． 5．如果最简根式与是同类二次根式，那么 ． 【答案】10 【分析】本题主要考查了同类二次根式的定义，即：二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同的几个二次根式叫做同类二次根式． 根据给出的两个根式既是最简根式又是同类二次根式，由此可得出关于a、b的方程，进而可求出a、b的值． 【详解】解：∵最简根式与是同类二次根式， ∴，， 解得：， ∴， 故答案为：10． 题型二 二次根式中的新定义运算 1．用表示不超过的最大整数，例如：．已知，，则（　　） A．4 B．2 C．-4 D．2 【答案】A 【分析】本题考查新定义、无理数的估算，二次根式的混合运算，先估算出，根据题中新定义规定可求得和，进而求出的值，然后代入计算可得答案． 【详解】解：∵，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴． 故选：A． 2．对于任意的正数，定义运算为：，计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了二次根式的乘法运算，根据新运算定义分别计算和，再求乘积即可求解，理解新定义运算是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：． 3．对于正整数，定义，例如：．则的值为() A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分母有理化，正确掌握相关性质内容是解题的关键．通过有理化分母将化简为，然后计算总和． 【详解】解：∵ ∴ ， 故选：B． 4．定义两种新运算，规定：，，其中a、b为实数且． (1)求的值； (2)求的解． 【答案】(1)4 (2) 【分析】本题考查新定义运算，二次根式的混合运算，解分式方程． （1）根据新定义列式，并利用平方差公式计算即可； （2）根据新定义得到方程，进而求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ， ∵， ∴， 方程两边同乘 ，得 ， 解得：， 经检验，是原分式方程的解， ∴的解是． 题型三 二次根式的估算 1．估计的值应在（    ） A．4和5之间 B．5和6之间 C．6和7之间 D．7和8之间 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的乘法，无理数的估算． 先计算二次根式的乘法，再估计数值范围即可． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 2．估计的值应在（    ） A．2到3之间 B．3到4之间 C．4到5之间 D．5到6之间 【答案】C 【分析】本题考查了无理数的估算． 先将原表达式化为，然后通过估计的范围来确定该表达式的取值范围． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴ 因此，值在4到5之间． 故选：C． 3．估计的值应在（    ） A．4与5之间 B．5与6之间 C．6与7之间 D．7与8之间 【答案】B 【分析】本题主要考查二次根式混合运算、无理数估算及不等式性质，熟练掌握二次根式混合运算和无理数估算方法是解决问题的关键．先将表达式化简为，然后通过估计 的值范围，确定整个表达式的取值范围即可． 【详解】解：∵ ， 又∵， ∴， ∴， ∴原式的值在5与6之间； 故选：B． 题型四 二次根式中与整数部分有关的计算 1．已知，那么的整数部分是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，无理数的估算，熟练掌握运算法则是解题关键． 将代入计算，然后利用无理数的估算求解即可． 【详解】解：∵， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴的整数部分是3． 故选：C． 2．设的整数部分为a，小数部分为b，则的值是（   ） A．6 B． C．12 D． 【答案】A 【分析】本题考查的是不等式的性质，无理数的估算，二次根式的乘法运算，熟练地求解a，b的值是解本题的关键． 先判断得到，再代入代数式进行计算即可． 【详解】解：∵ ∴ ∴ ∴， ∴ 故选：A． 3．已知，则与最接近的整数是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的混合运算、无理数的估算，熟练掌握相关知识点是解题的关键．根据平方差公式可得，结合可得，进而求出，再根据无理数的估算即可得出结论． 【详解】解：， 又∵①， ∴②， 得，， 解得：， ∴， ∵， ∴， ∴与最接近的整数是3． 故选：B． 4．若的整数部分为，小数部分为，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了估算无理数的大小：利用完全平方数和算术平方根对无理数的大小进行估算．也考查了二次根式的混合运算． 先根据算术平方根的定义得到，可得，然后把x、y的值代入，再进行二次根式的混合运算即可． 【详解】解： ， ， 的整数部分为1，小数部分为， ， ． 故选：C． 5．若的整数部分是a，小数部分是b，求的值为（    ） A． B．3 C．5 D． 【答案】B 【分析】本题考查了无理数的估算，求代数式的值，估算出，从而可得，，代入所求式子计算即可得解，正确估算出是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵的整数部分是a，小数部分是b， ∴，， ∴， 故选：B． 6．实数的整数部分 ，小数部分 ． 【答案】 6 【分析】本题主要考查了分母有理化、估算无理数的大小等知识点，熟练掌握估算无理数大小的方法是解题的关键． 先进行分母有理化，然后再估算，从而确定其整数部分和小数部分． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴， ∴的整数部分为6，即实数的整数部分， ∴小数部分． 故答案为：6，． 题型五 二次根式中较复杂的代数式求值 1．已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，分母有理数，已知字母的值求代数式的值，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 先利用，分别求出，，，再代入计算即可． 【详解】解：当时，， ， 所以， 所以，，， 所以 ， 故选：A． 2．设n 为正整数且，则n的值为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】A 【分析】本题考查二次根式的化简，无理数的估值．先对式子进行化简，再对无理数估值即可解答． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 3．当时，代数式的值是（    ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次根式和去绝对值，熟练掌握二次根式的性质以及去绝对值的方法是解题的关键． 根据给定条件 ，可确定绝对值符号内的正负，从而化简表达式． 【详解】解：∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴， ∴ 原式， 故选：A． 4．已知，则值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次根式的化简求值，根据推出，再将化为，最后代入计算即可．掌握相应的运算法则、性质及公式是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴且， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴值为． 故选：A． 5．如果，则的值是（　　） A．5 B．3 C． D． 【答案】C 【分析】先根据已知等式求值，再利用完全平方公式变形求值即可得． 【详解】解：由题意可知，， ， ，即， ， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了二次根式的化简求值，熟练掌握完全平方公式是解题关键． 6．已知实数满足，那么的值为（    ） A．2025 B． C．2026 D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的被开方数的非负性，绝对值的化简，有理数的乘方，熟练掌握非负性是解题的关键． 根据二次根式的有意义的条件，化简绝对值，后计算解答即可． 【详解】解：根据题意得， 解得， ， ， ， ， ， 故选：C． 7．小芬在解决问题：已知，求的值．她是这样解的． ， ， ， ； ． 请你根据小芬的解答过程，解决如下问题： (1)计算：； (2)若； ①求的值； ②求的值． 【答案】(1) (2)①3；② 【分析】本题考查了分母有理化，二次根式混合运算，已知字母的值 ，求代数式的值，熟练掌握二次根式化简的方法是解题的关键． （1）根据分母有理化法则整理各项，再结合二次根式的加减运算法则计算求解，即可解题； （2）①类比于小芬的解答过程求解，即可解题； ②由①可知，将式子变形为，将代入计算，进而得到，再次代入计算，即可解题． 【详解】（1）解： ； （2）①解：， ， ， 即， ， ； ②解：由①可知， ． 题型六 数学文化与二次根式的应用 1．我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》一书中，给出了下面的公式：如果一个三角形的三边长分别为 a，b，c，则该三角形的面积为．已知 的三边长 a，b，c分别为 2，，4，则 的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了代数式求值，熟练掌握平方与开平方的计算方法是解题关键． 把的值代入所给公式即可求解． 【详解】解：将代入公式得， ． 故选：B． 2．古希腊几何学家海伦和我国南宋数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，称为海伦一秦九韶公式．如果一个三角形的三边长分别是a，b，c，记，那么这个三角形的面积为．若，，，其面积S的小数部分为m，则m的值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了代数式求值，利用二次根式的性质进行化简等知识．熟练掌握利用二次根式的性质进行化简是解题的关键．将各值代入计算求解即可． 先计算半周长，再代入公式求面积S，最后估算的整数部分并求小数部分． 【详解】解： 由题意，， ， 由于， 所以S的整数部分为，小数部分或． 故答案为：或． 3．古希腊几何学家海伦和我国南宋数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，称为海伦一秦九韶公式．如果一个三角形的三边长分别是a，b，c，记，那么这个三角形的面积为．若，，，其面积S的小数部分为m，则m的值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了代数式求值，利用二次根式的性质进行化简等知识．熟练掌握利用二次根式的性质进行化简是解题的关键．将各值代入计算求解即可． 【详解】解：由题意知，， ， ∵， ∴的值为， 故答案为：． 4．北师大（2024版）八年级（上）数学教材指出：设一个三角形的三边长分别为，，则有下列面积公式； （海伦公式）； （秦九韶公式）， 请选择合适的公式解决以下问题． （1）若一个三角形的三边长分别是，这个三角形的面积为 ； （2）若一个三角形边长依次为5、6、7，这个三角形三条边上的高之和为 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的应用，三角形面积公式，理解题意是解题的关键． （1）利用秦九韶公式计算即可； （2）利用海伦公式求出三角形的面积，再利用三角形面积公式求出这个三角形三条边上的高，即可求解． 【详解】解：（1）由题意得，，，， ∴，， ∴这个三角形的面积； 故答案为：； （2）由题意得，，，， ∴， ∴这个三角形的面积， ∴这个三角形三条边上的高之和为； 故答案为：． 5．古希腊几何学家海伦和我国宋代数学家秦九韶都曾提出利用三角形的三边求面积的公式，称为海伦--秦九韶公式：如果一个三角形的三边长分别是a，b，c，记，那么三角形的面积为．如图，在中，所对的边分别记为a、b、c，若，则的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查根式求值，根据题中所给公式，代入三角形的三边长度直接计算即可． 【详解】解：， ∴的面积 ， 故答案为：． 6．问题情境：在学习了《勾股定理》和《实数》后，某班同学们以“已知三角形三边的长度，求三角形面积”为主题开展了数学活动，同学们想到借助曾经阅读的数学资料进行探究： 材料．古希腊的几何学家海伦（约公元50年，在他的著作《度量》一书中，给出了求其面积的海伦公式（其中a、b、c为三角形的三边长，，S为三角形的面积） 材料．我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边长求面积的秦九韶公式：，其中三角形边长分别为a、b、c，三角形的面积为． (1)利用材料1解决下面的问题：当时，求这个三角形的面积？ (2)利用材料2解决下面的问题：已知三条边的长度分别是，记的周长为 ①当时，请直接写出中最长边的长度； ②若x是满足的整数，当取得最大值时，请用秦九韶公式求出的面积． 【答案】(1)3 (2)中最长边的长度为的面积为 【分析】（1）依据题意，由时，先求出p，再代入公式计算可以得解； （2）①依据题意，由，则，从而可以判断得解； ②依据题意，由，则，从而，可得，且x为整数，故当时，三边为，1，4，再分类讨论计算可以得解． 本题主要考查了二次根式的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次根式的性质是关键． 【详解】（1）解：由题意，当时， ， ， ， ， 三角形的面积为3； （2）解：①由题意，， ， 中最长边的长度为3； ②， ， ， ，且x为整数， 当时，此时三边为，1，4， ， 不合题意舍去， 当时，三边为2，2，3， ， ， ， 的面积为． 题型七 分母有理化 1．下列二次根式中，与 互为有理化因式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查有理化因式，根据有理化因式需满足相乘后结果为有理式，对于，其有理化因式应为本身或相反数，因平方后可得有理式或，即可得出结果． 【详解】解：∵，结果为有理式， ∴ 与 互为有理化因式； 故选A． 2．化简的结果是（   ） A．42 B．43 C．44 D．45 【答案】C 【分析】本题考查二次根式的混合运算，先进行分母有理化，再进行合并即可． 【详解】解：原式 ． 3．阅读下列解题过程： ； ； 观察上面解题过程，的值为（     ） A． B． C． D．10+ 【答案】B 【分析】本题考查阅读理解，掌握材料中分母有理化的方法是解决问题的关键． 根据材料中的分母有理化方法计算即可得到答案． 【详解】解： ， 故选：B． 4．【阅读材料】 材料一：我们规定，如果两个含有二次根式的式子的积中不含二次根式，我们就称这两个含有二次根式的式子互为有理化因式，其中一个式子叫作另一个式子的有理化因式． 材料二：我们在进行二次根式的化简时，有时需要把分子、分母乘以分母的有理化因式从而去掉分母中的根号，这个过程就是分母有理化，如：． 材料三：我们有时又需要把分子、分母乘以分子的有理化因式从而去掉分子中的根号，这个过程就是分子有理化，如：． 【问题解决】 任务一：请写出的一个有理化因数为______； 任务二：与是否互为有理化因式？若是，请说明理由；若不是，请写出的一个有理化因式； 【知识应用】 （1）请利用分母有理化知识，化简：； （2）请利用分子有理化知识，比较大小：与． 【答案】任务一：；任务二：是，理由见解析；知识应用（1）：；（2）： 【分析】本题考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握分母有理化的方法． 任务一：根据有理化因式的定义，寻找与相乘后结果为有理数的式子； 任务二：通过计算两式的乘积判断是否为有理化因式； 知识应用：（1）利用分母有理化将每项化为差的形式，通过求和化简； （2）利用分子有理化将差的形式转化为分式，通过比较分母大小得出结论． 【详解】解：任务一：为有理数． ∴的一个有理化因式为； 任务二：∵ ，为有理数， ∴与互为有理化因式． 知识应用：（1） ， ． （2） ， ， ， ， 即． 5．【阅读与探究】在进行二次根式去分母时，我们有时会碰上如，，这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简： ；    ① ；        ② ．    ③ 以上这种化简的步骤叫做分母有理化． 还可以用以下方法化简： ．    ④ (1)【小试牛刀】请参照③式、④式用不同的方法化简． (2)【拓展应用】化简：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，分母有理化： （1）根据二次根式的性质化简即可； （2）先分母有理化，再和并即可求解． 【详解】（1）解：方法一：； 方法二：； （2）解： 题型八 二次根式中的规律类问题 1．观察下列各式：，，，…请你找出其中规律，则第2021个等式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是数字的变化规律，根据所给等式，可得出一般规律，即第n个等式为，其中n为正整数，当时，代入计算即可． 【详解】解：根据上述等式，可知：第n个等式为，其中n为正整数， ∴第2021个等式为， 故选：C． 2．如图，原图是一块边长为1，面积记为的正三角形纸板，沿原图的底边剪去一块边长为正三角形纸板后得到图①，面积记为，然后沿同一底边依次剪去一块更小的正三角形纸板，即其边长为前一块被剪掉正三角形纸板边长的后，得图②、③面积依次记为，，……，记第块纸板的面积为 ，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了等边三角形的性质与数据的规律性知识，此题得出相邻三角形面积比，从而表示出各三角形面积是解决问题的关键． 由题意，表示剪去n个小正三角形后剩余图形的面积．和分别表示剪去2024个和2025个小正三角形后的剩余面积，其差值等于第2025个被剪去的小正三角形的面积．利用正三角形面积公式和边长变化规律，可计算该面积． 【详解】解：∵ 第n个被剪去的小正三角形的边长， ∴ 其面积． ∵ ∴． 故选：C． 3．将一组数，2，，，，，…，，…，按以下方式进行排列： 则第七行左起第1个数是 ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式中的规律探究，正确归纳类推出一般规律是解题关键．求出前六行共有个数，从而可得第七行左起第1个数是第个数，据此求解即可得． 【详解】解：由图可知，第一行共有1个数，第二行共有2个数，第三行共有3个数， 归纳类推得：前六行共有（个）数， 可得第七行左起第1个数是第个数， ∵原组数为，，，，，，，，… ∴第个数为， 即第七行左起第1个数是， 故答案为：． 4．观察下列计算： ， ， ， …… 从以上计算过程中找出规律，并利用这一规律进行计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍． 先分母有理化，然后合并后利用平方差公式计算． 【详解】解： ， 故答案为：． 5．观察下列等式： ；；；… 按照上述规律，回答以下问题： (1)请写出第7个等式：________； (2)请写出第个等式：________； (3)求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查分母有理化的运用及找规律． （1）从等式中找出规律，第二个等式：，，即5等于下标的2倍加1，3等于下标的2倍减1，仿照所给等式写出第7个等式即可； （2）由（1）知，第n个等式的下标是n，被开方数分别为，，仿照所给等式写出第n个等式即可； （3），观察分子中的项，互为相反数相加得0便可解出． 【详解】（1）解：观察，如的下标2，与中被开方数：5和3，得出，，即5等于下标的2倍加1，3等于下标的2倍减1； 写出第7个等式： 故答案为：． （2）解：由（1）知，第n个等式的下标是n，被开方数分别为，， 所以第n个等式为， 故答案为：； （3）解： 题型九 求参数的取值范围 1．若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次根式性质，把问题转化为绝对值，化简解答即可． 本题考查了二次根式的化简，熟练掌握绝对值的化简是解题的关键． 【详解】解： ∴， 解得． 故选：D． 2．若，则x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，正确求解是解题的关键． 根据二次根式的性质进行化简即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴； 故选：C． 3．已知关于x的方程恰有两个实数解．则t的取值范围是（  ） A． B．且 C． D．且 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的性质，两直线交点问题，解决本题的关键是画出函数图象． 设问题转化为与的图象恰好有两个不同的交点，画出函数图象，结合图形，即可求解． 【详解】解：设 ， 当时， ， 当时， ， 当时， ， 当时， ， ∴， 画函数图象如下图，要使原方程恰好有两个实数解， ∴与恰好有两个不同的交点， ∴，， 解得，， ∴t的取值范围是且． 故选B． 4．若代数式的值为3，则a的取值范围是（　　） A． B． C． 或 D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，分，，三种情况，根据二次根式的性质分类讨论即可． 【详解】解：当时， 原式 ， 当时， 原式， 当时， 原式． 故选：D． 题型十 二次根式中最值问题 1．【阅读理解】通过二次根式和乘法公式可以发现：对于任意正实数，， ∵ ∴ ∴（当且仅当时，） 【获得结论】在（，均为正实数）中，若为定值，则，当且仅当时，有最小值． 如：若，则 ∴，当且仅当，即时，有最小值2． 【探索应用】根据上述内容，回答下列问题： (1)若，则的最小值是_____； (2)已知，是一个大于0的常数，若的最小值为1，求的值； (3)如图，四边形的对角线，相交于点，若，，，求的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查二次根式和完全平方公式： （1）根据，即可求得答案； （2）根据，，即可求得答案； （3）设，则，，，则． 【详解】（1）解：根据题意，得 ，当且仅当，即时，有最小值． 故答案为： （2），，即的最小值为． 根据题意，得． ∴ 将代入，得 原式 ． （3）设，则，，． ． 因为，当且仅当，即时，有最小值， 所以当时，取得最大值，最大值． 2．阅读下面材料： 我们在学习二次根式时，熟悉的是分母有理化以及应用，其实，还有一个方法叫做“分子有理化”，与分母有理化类似，分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消掉分子中的根式比如：，分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，也可以用来处理一些二次根式的最值问题．例如：比较和的大小可以先将它们分子有理化如下：，，因为，所以．再例如：求的最大值．做法如下： 解：由，可知，而，当时，分母有最小值2，所以y的最大值是2． 解决下述问题： (1)由材料可知，； (2)比较和的大小； (3)式子的最大值是________． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查二次根式的混合运算，分子有理化，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据分子有理化的方法进行求解即可； （2）模仿题干过程，进行整理，即可作答． （3）模仿题干过程，进行整理，即可作答． 【详解】（1）解：， 故答案为：． （2）解：依题意，， ∴，， ∵， ∴ ∴； （3）解：， ∵， ∴由，可知， 则 当时，分母有最小值， ∴的最大值是． 1．先化简，再求值：，其中a，b满足 【答案】， 【分析】本题考查分式的化简求值，非负性，先根据分式的混合运算法则进行计算，化简，再根据非负性求出的值，然后把的值代入化简后的结果，进行计算即可． 【详解】解：原式 ； ∵， ∴， ∴， ∴原式． 2．观察下列一组等式，然后解答后面的问题： ； ； ； ． (1)观察以上规律，请写出第5个等式：________． (2)利用上面的规律，计算． (3)请利用上面的规律，比较与的大小，并写出详细过程 【答案】(1) (2)9 (3)，过程见解析 【分析】本题考查规律探索，二次根式的混合运算，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）观察各式发现规律直接写出第5个等式即可； （2）通过有理化将各式转化为差的形式，求和计算即可； （3）将两式都看为分母为1 的式子，然后进行分子有理化，比较分母大小得出结论即可． 【详解】（1）解：观察规律，可得第5个等式为． 故答案为：； （2）解： ； （3）解：设，， 则， ， ， ， 即， 3．阅读下面内容：我们已经学习了《二次根式》和《乘法公式》，聪明的你可以发现：当时，，，当且仅当时取等号．请利用上述结论解决以下问题： (1)当时，的最小值为 ；当时，的最大值为 ． (2)当时，求代数式的最小值． (3)如图，四边形的对角线相交于点O，的面积分别为12和27，求四边形面积的最小值． 【答案】(1)2， (2) (3) 【分析】本题考查了配方法在二次根式、分式及四边形面积计算中的应用与拓展，读懂阅读材料中的方法并正确运用是解题的关键． （1）当时，直接根据公式计算即可；当时，先将变形为，再根据公式计算即可； （2）时，则，将原式变形为，继而得到，再由公式求解； （3）设，根据等高三角形的性质得到，再由进行求解即可． 【详解】（1）解：当时，，则， ∴的最小值为2， 当时，，， ∴， ∴， ∴当时，的最大值为； （2）解：时，则 （3）解：设， ∵与等高，与同高， ∴， 由题知，， ∴， ∴， ∵ ， ∵， ∴， ∴四边形面积的最小值为． 4．观察下列等式： ； ； ； … (1)求下列各式的值： ①______； ②______； ③______（为正整数）． (2)已知，，若的整数部分是，的小数部分是，则的值为______． (3)计算． 【答案】(1)①；②；③ (2) (3) 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，平方差公式，解答的关键是掌握分母有理化． （1）利用分母有理化的方法进行求解即可； （2）先化简，根据，求得的值，进而代入代数式求解即可； （3）分析所给的式子的特点，逆用积的乘方运算法则，结合平方差公式，进行求解即可． 【详解】（1）解：①； ②； ③． 故答案为：①；②；③． （2）解：∵，， 的整数部分是，的小数部分是， ∵，， ∴， ∴ （3）解： ． 5．【发现问题】 由得，；如果两个正数，，即，，则有下面的不等式： ，当且仅当时取到等号． 【提出问题】若，，利用配方能否求出的最小值呢？ 【分析问题】例如：已知，求式子的最小值． 解：令，则由，得，当且仅当时，即时，式子有最小值，最小值为4． 【解决问题】 请根据上面材料回答下列问题： （1）__________（用“”“”“”填空）；当，式子的最小值为__________； 【能力提升】 （2）用篱笆围一个面积为32平方米的长方形花园，使这个长方形花园的一边靠墙（墙长20米），问这个长方形的长、宽各为多少时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少？ （3）如图，四边形的对角线、相交于点，、的面积分别是8和14，求四边形面积的最小值． 【答案】（1），2；（2）当长、宽分别为8米，4米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是米；（3）四边形面积的最小值为 【分析】本题考查了配方法在最值问题中的应用，同时本题还考查了等高三角形的在面积计算中的应用． （1）当时，按照公式（当且仅当时取等号）来计算即可；当时，，，则也可以按公式（当且仅当时取等号）来计算； （2）设这个长方形花园靠墙的一边的长为米，另一边为米，则，可得，推出篱笆长，利用题中结论解决问题即可 （3）设，已知，，则由等高三角形可知：，用含的式子表示出来，再按照题中所给公式求得最小值，加上常数即可． 【详解】解：（1）∵，且， ∴； 当时，， 故答案为：，2； （2）设这个长方形花园靠墙的一边的长为米，另一边为米， 则， ， 这个篱笆长米， 根据材料可得，，当时，的值最小， 或（舍弃）， ， ∴当长、宽分别为8米，4米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是米． （3）设，已知，， 则由等高三角形可知：， ， ， 四边形面积 当且仅当，即时，取等号， 四边形面积的最小值为． 6．课堂情境：在学习完“实数”这一章后，数学王老师通过两个边长为整数的正方形的剪切和拼接可以得到边长为无理数的大正方形，从而让无理数直观地出现在我们面前． （1）如图，将两个边长为1的小正方形，拼成大正方形，则大正方形边长为___________． （2）如图，左边由边长分别为和的正方形组成，把它分成5个小块后重新组合成了右图所示的大正方形，则大正方形的边长为___________． 学习完二次根式后，王老师进一步讲解了二次根式的相关材料． 【材料一】两个含有二次根式且非零的代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式． 例：，我们称和互为有理化因式，和互为有理化因式． （3）的有理化因式___________．（写出一个即可） （4）的有理化因式___________．（写出一个即可） 【材料二】如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子、分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含根号，这种变形叫做分母有理化． 例： （5）请利用分母有理化化简___________． （6）___________． 【材料三】与分母有理化类似，将代数式分子、分母同乘分子的有理化因式，从而消去分子中的根式，这种变形叫做分子有理化． 比如： （7）试利用分子有理化比较和的大小． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7） 【分析】本题考查无理数，分母有理化，二次根式的性质及规律探索问题，熟练掌握分母有理化的步骤及方法是解题的关键． （1）根据面积公式解答即可； （2）先求出大正方形的面积，再根据面积公式解答即可； （3）根据有理化因式的定义解答即可； （4）根据有理化因式的定义解答即可； （5）根据分母有理化的方法化简即可； （6）先对每一项分母有理化，再根据规律化简即可． （7）利用分母有理化得到，然后比较大小即可． 【详解】解：（1）根据题意可得大正方形的边长为：， 故答案为：； （2）根据题意可得大正方形的面积为， 则大正方形的边长为：， 故答案为：； （3）∵， 则的有理化因式是． 故答案为：； （4）∵， 则的有理化因式是， 故答案为：； （5）， 故答案为：． （6） ． （7）， ， ， ， ． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $