专题1.3～1.4平行线与平行线的判定重难点题型专训（5个知识点+8大题型+2大拓展训练+自我检测）-2025-2026学年七年级数学下册重难点专题提升精讲精练（浙教版）

专题1.3~1.4 平行线与平行线的判定重难点题型专训 （5个知识点+8大题型+2大拓展训练+自我检测） 题型一 立体图形中平行的棱 题型二 用直尺、三角板画平行线 题型三 平行公理的应用 题型四 平面内两直线的位置关系 题型五 同位角相等两直线平行 题型六 在同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行 题型七 内错角相等两直线平行 题型八 同旁内角互补两直线平行 拓展题型一 利用平行公理解决问题 拓展题型二 综合同位角、内错角与内错角关系判定直线平行 知识点一：过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行． 如图（1），经过直线a外一点P，能且只能画出一条直线与直线a平行．如图（2），假设过点P画出的两条直线b，c都与直线a平行（实际上这种情况是不存在的），那么说明直线b，c是同一条直线，依据就是平行公理． 【即时训练】 1．（25-26七年级下·河南郑州·课后作业）下列说法中，正确的是（   ） A．经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直 B．经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 C．同位角相等 D．直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离 【答案】B 【分析】本题考查了垂直的性质、平行公理、同位角、点到直线的距离，根据相关知识点逐一判断选项的正误即可． 【详解】解：A、在同一平面内，经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故原说法错误，不符合题意； B、经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故原说法正确，符合题意； C、同位角不一定相等，故原说法错误，不符合题意； D、直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，故原说法错误，不符合题意； 故选：B． 2．（25-26七年级下·全国·周测）如图，，，则点，， （填“在”或“不在”）同一条直线上．理由： ． 【答案】 在 过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 【分析】本题考查平行线的性质，平行公理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 根据经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行，由此即可判断． 【详解】解：∵点是直线外一点，，，且经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行， ∴点在一条直线上． 故答案为：在，经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行． 知识点二：同位角相等，两直线平行 两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行．简述为：同位角相等，两直线平行． 数学语言：如图，直线a，b被直线c所截，如果，那么a//b． 【即时训练】 1．（25-26七年级下·江苏盐城·课后作业）如图，将木条，与木条钉在一起，，转动木条，当（　　）时，木条a与b平行． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了平行线的判定．根据题意可知，再结合“同位角相等，两直线平行”得出答案． 【详解】解：如图， 木条转动时． 当时，． ∴当时，木条a与b平行． 故选：A． 2．（24-25七年级下·全国·周测）如图，当＝ （写出一个角）时，能得到． 【答案】 【分析】本题考查平行线的判定，掌握同位角相等，两直线平行是解题的关键． 要使，需找到与被第三条直线截得的同位角相等的情况，观察图形，是截线，与是同位角，据此确定相等的角． 【详解】解：观察图形，与被所截，与是同位角， 根据同位角相等，两直线平行，当时，能得到． 故答案为：． 知识点三： 在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行 在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行平行. 【即时训练】 1．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，亮亮用一把直角尺在纸上画出两条平行的直线和．这样做的道理是（    ） A．平行于同一条直线的两条直线平行 B．垂直于同一条直线的两条直线平行 C．垂线段最短 D．经过直线外一点，有且只有一条直线平行于这条直线 【答案】B 【分析】本题是平行线判定在实质中的应用． 根据垂直于同一条直线的两条直线平行即可作出判断． 【详解】解：亮亮用一把直角尺在纸上画出两条平行的直线和，则、都垂直于同一直线，则，这样做的道理是垂直于同一条直线的两条直线平行． 故选：B． 2．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，分别将一副三角板的一条直角边与直尺边重合，则另两条直角边和满足．理由是 ． 【答案】同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行 【分析】本题考查了平行线的判定；两直线垂直于同一直线，可根据同位角相等两直线平行或同旁内角互补两直线平行，进行判断． 【详解】解：∵ ∴ ∴ 故答案为：同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行． 知识点四：内错角相等，两直线平行 两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．简述为：内错角相等，两直线平行． 数学语言：如图，直线a，b被直线c所截，如果（或），那么a//b． 【即时训练】 1．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图所示，下列条件中，不能判定直线的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平行线的判定定理，熟悉平行线的判定定理，是解题的关键．根据同位角、内错角、同旁内角的关系逐一分析各选项． 【详解】解：选项中，当时，不能判定，符合题意； 选项中，当时，，不符合题意； 选项中，当时，，不符合题意； 选项中，当时，，不符合题意. 故选：． 2．（25-26七年级下·全国·周测）如图，一条街道的两个拐角和相等，则街道与平行．理由是 ． 【答案】内错角相等，两直线平行 【分析】根据和是内错角可直接得出结论． 【详解】解：， 和是内错角， ． 故答案为：内错角相等，两直线平行． 【点睛】本题考查的是平行线的判定，解决本题的关键掌握内错角相等，两直线平行． 知识点五：同旁内角互补，两直线平行 两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．简述为：同旁内角互补，两直线平行． 数学语言：如图，直线a，b被直线c所截，如果，那么a//b． 【即时训练】 1．（25-26七年级下·山西运城·课后作业）小红同学从作业本上撕下一条上、下边线分别为，的纸条，为了判断线段，是否平行，她采取了以下四种不同的折叠方式，折痕均为，通过测量相关角度来判断，则不一定能判断线段的是（    ） A．如图1，展开后测得 B．如图2，测得 C．如图3，展开后测得 D．如图4，展开后测得 【答案】D 【分析】本题考查平行线的判定，根据平行线的判定方法，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、，根据内错角相等，两直线平行，能够得到，不符合题意； B、，根据同位角相等，两直线平行，能够得到，不符合题意； C、，根据同旁内角互补，两直线平行，能够得到，不符合题意； D、，无法得出，符合题意； 故选：D． 2．（24-25七年级下·全国·期中）如图，已知，我们可以判定平行关系的是 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的判定，垂直的定义，根据垂直的定义得到，进而得到，即可判断． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴，即， ∴． 故答案为：． 【经典例题一 立体图形中平行的棱】 【例1】（2025七年级下·全国·专题练习）在正方体中，与棱平行的棱有（   ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】C 【分析】本题考查正方体的棱的平行关系，解题关键是明确正方体中棱的平行对应规律． 正方体中，棱属于一组平行棱，该组共有4条棱，除去自身，有3条棱与平行． 【详解】解：∵在正方体中，与平行的棱为、、． ∴与棱平行的棱有3条． 故选：C． 【例2】（2025七年级下·全国·专题练习）在正方体的12条棱中，每一条棱都有且仅有 条棱与它平行．在正方体中，与同一个顶点相连的三条棱互相 ． 【答案】 3 垂直 【分析】本题考查了正方体的结构特征，熟练掌握基本特征是解题的关键 根据正方体的结构特征，其12条棱分为3组互相平行的棱，每组4条；每个顶点处的三条棱两两垂直。 【详解】正方体的12条棱可分为3组，每组4条棱互相平行，因此每条棱有且仅有3条棱与它平行；与同一个顶点相连的三条棱互相垂直． 故答案为：3，垂直； 1．（2025七年级下·全国·专题练习）在长方体（非正方体）中，下列各组棱一定平行的是（） A．相交于同一个顶点的三条棱 B．位于同一个面上的四条棱 C．长度相等的四条棱 D．方向相同的四条棱 【答案】D 【分析】本题考查立体图形中棱的平行关系．根据长方体的性质，同一方向的棱互相平行． 【详解】解：∵在长方体中，方向相同的棱具有相同的空间取向，属于同一组平行棱， ∴方向相同的四条棱一定平行． 对于其他选项：A选项相交于同一顶点的三条棱互相垂直； B选项同一面上的四条棱由两组平行的对边组成，这两组对边不互相平行； C选项长度相等的棱可能来自不同方向（如长和宽相等但不平行），因此不一定平行． 故选：D． 2．（2025七年级下·全国·专题练习）一个五棱柱中，互相平行的棱最多有（   ）对． A．10 B．15 C．20 D．23 【答案】D 【分析】本题考查立体图形中平行的棱． 根据五棱柱的性质，确定互相平行的棱最多的情形，即可求解． 【详解】解：五棱柱的侧棱互相平行，侧面均为平行四边形，当同一底面上有两对棱互相平行时，平行的棱的对数最多， 如图，在五棱柱中，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共有对， ∴ 一个五棱柱中，互相平行的棱最多有对． 故选：D． 3．（2025七年级下·全国·专题练习）在平行六面体（底面是平行四边形的四棱柱）中，与一条侧棱平行的棱共有 条． 【答案】 【分析】本题考查立体图形中棱的平行关系．平行六面体的侧棱互相平行，因此与一条侧棱平行的棱只有其他三条侧棱． 【详解】解：平行六面体是底面为平行四边形的四棱柱，其侧棱均互相平行．对于任意一条侧棱，其余三条侧棱与之平行，故与它平行的棱共有3条． 故答案为：3． 4．（24-25七年级下·全国·课后作业）观察如图所示的长方体，用符号表示下列两条棱的位置关系：_____，_____，_____，_____． 你能在教室里找到这些位置关系的实例吗？与同学讨论一下． 【答案】，，， 【分析】本题考查两条直线相交和垂直的定义，在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线；当两条直线所交的四个角中，有一个角是直角时，我们就说这两条直线互相垂直．根据两条直线平行和垂直的定义判断即可． 【详解】解：由两条直线平行和垂直的定义知：，，，， 故答案为：，，，． 【经典例题二 用直尺、三角板画平行线】 【例1】（22-23七年级下·河南安阳·期中）下列语句中：①一条直线有且只有一条垂线；②不相等的两个角一定不是对顶角；③两条不相交的直线叫做平行线；④如果两个角是邻补角，那么这两个角的角平分线互相垂直；⑤过一点有且只有一条直线与已知直线平行．其中错误的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】根据垂线的含义可判断①，根据对顶角的定义可判断②，根据平行线的定义可判断③，根据邻补角的性质可判断④，根据画平行线的方法可判断⑤，从而可得答案． 【详解】解：一条直线有无数条垂线；原描述错误，故①符合题意； 不相等的两个角一定不是对顶角；描述正确，故②不符合题意； 在同一平面内，两条不相交的直线叫做平行线，原描述错误，故③符合题意； 如果两个角是邻补角，那么这两个角的角平分线互相垂直；描述正确，故④不符合题意； 过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行．原描述错误，故⑤符合题意； 故选B 【点睛】本题考查的是垂线的含义，对顶角的概念，平行线的定义，邻补角的性质，熟记概念是解本题的关键． 【例2】（22-23七年级下·河南郑州·期中）如图是利用直尺移动三角板过直线外一点作直线的平行线的方法，小明经过多次实践后发现只能作一条平行线，这反映了 ．    【答案】过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 【分析】根据平行公理可得答案． 【详解】解：由图可得，过直线外一点，能且只能画出一条平行线， 这反映了：过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行． 故答案为：过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行． 【点睛】本题考查平行公理，熟练掌握平行线的判定与性质是解答本题的关键． 1．（2022七年级下·上海·专题练习）下面不能检验直线与平面垂直的工具是（　　） A．铅垂线 B．三角尺 C．长方形纸片 D．合页型折纸 【答案】C 【分析】根据直线与平面垂直的意义进行判断即可． 【详解】解：铅垂线、三角尺、合页型折纸可以检验直线与平面垂直，而长方形纸片比较单薄，不适合支撑检测直线与面之间的垂直度， 故选：C． 【点睛】本题考查垂线，掌握直线与平面垂直的意义是正确判断的前提． 2．（2023·云南昆明·模拟预测）如图，已知，过点画，画的平分线，、交于点，量一量的度数，约为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查作平行线，角平分线，根据题意作出图形，再利用量角器即可求解． 【详解】解：根据题意作图如下： 再利用量角器量一量的度数，约为， 故选：B． 3．（23-24七年级下·四川成都·课后作业）下列各图中的直线，用推三角尺的方法验证，其中的有 （填序号）． 【答案】①②③ 【分析】本题考查的是用三角板和直尺判定判定平行线，将三角板的一条边靠在直线上，用直尺靠在三角板的另一条边上，固定直尺不动，推动三角板即可判定． 【详解】解：将三角板的一条边靠在直线上，用直尺靠在三角板的另一条边上，固定直尺不动，推动三角板，可判定三个图形中的有①②③， 故答案为：①②③． 4．（25-26七年级下·江苏宿迁·月考）如图，点是的边上的一点． (1)过点画的平行线； (2)过点画的垂线，垂足为； (3)过点画的垂线，交于点：、、这三条线段大小关系是_______，（用“”号连接），理由是_________． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)作图见解析；；垂线段最短 【分析】本题主要考查了格点作图，会过已知点作已知直线的垂线以及掌握垂线段最短是解题的关键． （1）取格点N，连接，根据格点特点可得； （2）根据题意作图即可； （3）取格点D，连接，交于点C，由网格线的特征易得，即可得到；根据过直线外一点作已知直线的垂线，这条垂线段的长度就做点到直线的距离；点到直线的所有连线中，垂线段最短即可解答． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，即为所求； （3）解：如图，即为所求作的的垂线； ∵垂线段最短， ∴，， ∴． 【经典例题三 平行公理的应用】 【例1】（22-23七年级下·广西南宁·月考）“对于有理数a，b，c，若，，则”，我们称这命题的关系具有“传递性”，下列命题中，具有“传递性”的是（    ） A．m，n，l是直线，若，，则 B．m，n，l是直线，若，，则 C．若与互余，与互余，则与互余 D．若与互补，与互补，则与互补 【答案】A 【分析】根据平行线的判定、垂直和互余、互补进行判断即可．本题主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理． 【详解】解：A、m，n，l是直线，若，，则，具有“传递性” B、m，n，l是直线，若，，则与不一定垂直也可能是平行；不具有“传递性” C、若与互余，与互余，则与相等，不具有“传递性” D、若与互补，与互补，则与相等，不具有“传递性” 故选：A． 【例2】（22-23七年级下·广东江门·期中）如图，工人师傅在贴长方形的瓷砖时，为了保证所贴瓷砖的外缘边与上一块瓷砖的两边互相平行，一般将两块瓷砖的一边重合，然后贴下去．这样做的数学依据是 ． 【答案】平行于同一条直线的两条直线平行 【分析】根据平行线的判定与性质求解即可． 【详解】 解：这样做的数学依据是平行于同一条直线的两条直线平行， 故答案为：平行于同一条直线的两条直线平行． 【点睛】 本题考查了平行线的判定与性质，熟记平行于同一条直线的两条直线平行是解题的关键． 1．（2025七年级下·全国·专题练习）按下列要求画图，只能画出一条直线的是（ ） A．①②③ B．②③ C．①② D．①③ 【答案】D 【分析】本题考查平行公理和垂直，根据“在同一平面内，过直线外一点只能作一条直线与已知直线垂直”和“过直线外一点只能作一条直线与已知直线平行”即可解答． 【详解】在同一平面内，过直线外一点只能作一条直线与已知直线垂直，故①只能画出一条直线； 在同一平面内，过直线外一点能作无数条直线与已知直线相交，故②能画出无数条直线； 在同一平面内，过直线外一点只能作一条直线与已知直线平行，故③只能画出一条直线； 故选：D． 2．（23-24七年级下·广西防城港·课后作业）已知直线，，则下列结论正确的是（　　） A．直线a与c互相垂直 B．直线a与c互相平行 C．直线a与c相交 D．直线a与b相交 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行公理的应用，根据平行于同一条直线的两条直线互相平行，进行判断即可． 【详解】解：∵，， ∴， 即直线a与c互相平行． 故选：B． 3．（25-26七年级下·江苏南京·课后作业）下列说法：①对顶角相等；②两点间线段是两点间距离；③过一点有且只有一条直线与已知直线平行；④过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；⑤若，则点C是线段的中点；⑥同角的余角相等正确的有 ．（填序号） 【答案】①⑥ 【分析】利用对顶角的性质判断①，利用两点距离定义判定②，利用平行公理判定③，利用垂线公里判定④，利用线段中点定义判定⑤，利用余角的性质判定⑥． 【详解】①对顶角相等正确； ②由两点间线段的长度是两点间距离，所以两点间线段是两点间距离不正确； ③由过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，所以过一点有且只有一条直线与已知直线平行不正确； ④在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故错误； ⑤由线段中点的性质，若，点C在AB上，则点C是线段的中点，所以若，则点C是线段的中点不正确； ⑥同角的余角相等正确； 正确的有①⑥． 故答案为：①⑥． 【点睛】本题考查对顶角性质，两点间的距离，平行公理，垂线公里，线段的中点，余角的性质等问题，掌握对顶角性质，两点间的距离，平行公理，垂线公里，线段的中点，余角的性质是解题关键． 4．（24-25七年级下·全国·课后作业）如下图，已知三角形，点P在边上． (1)过点P画的平行线交于点T； (2)过点C画； (3)直线_______（填位置关系）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题主要是考查的尺规作图及平行公理的运用，解题的关键在于熟练掌握相关知识． （1）按照作平行线的方法画图即可； （2）按照作平行线的方法画图即可； （3）根据平行于同一条直线的两直线平行，即可解题． 【详解】（1）解：如图，直线即为所求． （2）解：如图，直线即为所求． （3）解：，， ， 故答案为：． 【经典例题四 平面内两直线的位置关系】 【例1】（25-26七年级下·江苏南通·课后作业）如图，一副三角板的两个直角顶点C，F叠放在一起，其中，三角板不动，三角板可绕点C旋转．小明发现：与一定互补；小丽发现：当时，一定垂直于．请对这两位同学的发现作出评判（   ） A．小明正确，小丽错误 B．小明错误，小丽正确 C．小明、小丽都正确 D．小明、小丽都错误 【答案】A 【分析】本题考查了三角板的角度计算；小明：依据，即可得到；小丽：画出图形，根据，，即可求出的度数，根据平行线的判定以及垂直的定义得到此时与的位置关系． 【详解】解：小明： ， ∴ ， 是定值； 故小明正确． 小丽：当与有重合时，如图， 设，则． ， ∴， ∴， ∴， ， 此时，． 当与无重合时，如图， ∵， ∴， ， 解得：， 即， ∴， 此时， 不垂直于， 故小丽错误． 故选：A． 【例2】（24-25七年级下·福建漳州·月考）有下列四种说法：①经过直线外一点有且只有一条直线与这条直线垂直；②一个角的补角一定大于这个角；③如果两个角是同一个角的余角，那么它们相等；④在同一平面内，两条直线的位置只有两种：相交和垂直．其中正确的是 【答案】② 【分析】本题考查了补角的定义，两直线的位置关系，垂线的性质，同角的余角，熟练掌握以上性质定理是解题的关键． 【详解】解：在同一平面内，经过直线外一点有且只有一条直线与这条直线垂直，故①错误； 一个角的补角不一定大于这个角，也可能等于或小于这个角，例如：90度角的补角也是90度，两角相等，故②错误； 如果两个角是同一个角的余角，那么它们相等，故③正确； 在同一平面内，两条直线的位置：相交和平行或重合，故④错误； 故答案为：②． 1．（22-23七年级下·广东东莞·开学考试）已知在同一平面内的直线，满足条件的说法是（    ） A． B．分别与相交与相交或平行 C． D．分别与相交或平行 【答案】B 【分析】本题考查直线与直线的位置关系，利用直线平行或垂直的性质逐项判断即可． 【详解】A：，但反推回去不一定成立（如图1）； B：正确（如图2） C：，但反推回去不一定成立（如图3）； D：分别与相交或平行（如图4，除去均与平行及均与相交的直线恰好相互平行的情形）． 2．（25-26七年级下·山东青岛·期中）已知方格纸中线段、线段和线段，如图所示．下列四位同学的观察结论正确的有（    ） 甲同学： 乙同学：和互余 丙同学：线段的长为点到直线的距离 丁同学：线段的长为点到直线的距离 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】连接AE、BC，然后根据平行线的定义和点到直线距离的定义可以得解．　 【详解】解：如图，连接AE、BC， ， 由图中可以看出，AB与CD方向一致， ∴AB∥CD，甲正确； 又从图中可以看出∠D 和 ∠DAC 不会互余，乙同学错误； 然后从图中不难得出AB⊥BE， ∴根据点到直线距离的定义，丙、丁同学正确， 故选C ． 【点睛】本题考查平行及垂直的判定、点到直线的距离定义． 3．（2024七年级·全国·竞赛）平面内有3000条互相平行的直线，现在这个平面内再画两条不互相平行且与原来3000条直线都不平行的直线，这时这个平面内对顶角有 对． 【答案】12002 【分析】本题考查了相交线与平行线，对顶角等知识，任意两条相交线形成两对对顶角，故一条（与原来3000条直线都不平行）与原来3000条互相平行的直线可以形成对对顶角，据此解答即可． 【详解】解：不平行的两条直线组成的一组直线可以形成两对对顶角，这样的两条直线可以找到(组)． 故答案为：12002． 4．（24-25七年级下·全国·单元测试）（1）如图①，在的网格图中，标注了六个角，这些角中，有哪些互余的角？请分别写出来． （2）如图②，在的网格图中，标注了一些线段，哪些线段是平行的？哪些线段是垂直的？请分别表示出来． （3）在如图③所示的正方形网格中，小格的顶点叫作格点．小华按下列要求作图：①在正方形网格的三条不同的实线上各取一个格点，使其中任意两点不在同一条实线上；②连接三个格点，使之构成直角三角形，小华在左边的正方形网格中作出．请你按照同样的要求，在右边的两个正方形网格中各画出一个直角三角形，并使三个网格中的直角三角形各不相同． 【答案】（1）和，和，和 （2）互相平行的线段：，，， 互相垂直的线段：，， （3）见解析 【分析】本题主要考查直角三角形的格点画法需满足的条件； （1）判断不同角度所在的长方形，长方形一致的再去判断互余； （2）判断不同线段为对角线的长方形，长方形一致的再去判断是否平行和垂直； （3）根据互余角度特征去作直角三角形即可． 【详解】解：（1）和互余，和互余，和互余； （2）互相平行的线段：，，，； 互相垂直的线段：，，； （3）如图所示： 【经典例题五 同位角相等两直线平行】 【例1】（24-25七年级下·河南省直辖县级单位·课后作业）下列说法错误的是（   ） A．如图1，木工常用角尺画平行线，蕴含的道理是同位角相等，两直线平行 B．如图2，，，那么，，三点在同一条直线上，依据是在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C．如图3，固定木条和，转动木条，在转动过程中，只有一个位置使得和平行，原因是过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 D．在同一平面内，如果一条直线垂直于两条直线中的一条，那么它也垂直于另一条 【答案】D 【分析】本题考查了平行线判定在实质中的应用、垂直的判定在实质中的应用，能够把实际问题转化为数学问题是解题的关键． 【详解】解：A．木工常用角尺画平行线，蕴含的道理是同位角相等，两直线平行，正确，故不符合题意． B．，，那么，，三点在同一条直线上，依据是在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，正确，故不符合题意． C．固定木条和，转动木条，在转动过程中，只有一个位置使得和平行，原因是过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，正确，故不符合题意． D．在同一平面内，如果一条直线垂直于两条平行直线中的一条，那么它也垂直于另一条，原说法错误，故符合题意． 故选：D． 【例2】（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，填空： (1)（已知）， ________________（   ）． (2)（已知）， ________________（   ）． (3)，（已知） ________=________（等量代换）． 【答案】(1)；；同位角相等，两直线平行 (2)；；同位角相等，两直线平行 (3)； 【分析】本题主要考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定方法，是解题的关键． （1）根据同位角相等，两直线平行，进行解答即可； （2）根据同位角相等，两直线平行，进行解答即可； （3）根据，进行解答即可． 【详解】（1）（已知）， ∴（同位角相等，两直线平行）． （2）（已知）， ∴（同位角相等，两直线平行）． （3），（已知） （等量代换）． 1．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，若，则下面结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的判定定理，掌握识别同位角的位置关系，以及利用同位角相等，两直线平行判定两直线平行是解题的关键． 先确定与的位置关系，判断它们是哪两条直线被哪条直线所截形成的同位角，再根据同位角相等，两直线平行判定平行的直线． 【详解】解：与是直线被直线所截形成的同位角， ∵ （已知）， ∴ 根据同位角相等，两直线平行，可得． 故选：B． 2．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，于点A，于点C，下列推理中错误的是（    ） A．由，得 B．由，得 C．由，，得 D．由，得 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行线的判定定理，解题的关键是掌握同位角相等两直线平行． 判断两个角是否是同位角，即可判断推理是否正确． 【详解】解：A、和是同位角，，故，A选项推理正确，不符合题意； B、和不是同位角，由不能得到，所以B选项推理错误，符合题意； C、∵，， 且，， ∴， ∴，C选项推理正确，不符合题意； D、和是同位角，，故，D选项推理正确，不符合题意． 故选：B． 3．（24-25七年级下·河北石家庄·月考）为响应国家新能源建设，某公交站亭装上了太阳能电池板．当地某一季节的太阳光（平行光线）与水平线最大夹角为．如图，电池板与最大夹角时刻的太阳光线相垂直，此时电池板与水平线夹角为，要使，需将电池板至少转动 度． 【答案】20 【分析】本题考查垂直的定义，以及平行线判定，解题的关键在于熟练掌握相关知识．根据垂直的定义得到电池板与水平线夹角，再结合平行线判定求解，即可解题． 【详解】解：太阳光（平行光线）与水平线最大夹角为，电池板与最大夹角时刻的太阳光线相垂直， 电池板与水平线夹角为， 电池板与水平线夹角为， 要使， 电池板至少转动， 故答案为：20． 4．（25-26七年级下·河北保定·课后作业）如图，已知平分，且，，判断和是否平行，并说明理由． 【答案】，理由见解析 【分析】此题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定定理与性质定理是解题的关键． 求出，根据平行线的判定定理求解即可． 【详解】解：， 理由：平分，， ， ， ， ． 【经典例题六 在同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行】 【例1】（25-26七年级下·福建厦门·课后作业）下列说法中，正确的是（    ） A．过一点有无数条直线与已知直线平行． B．平面内三条直线，，，如果，，那么． C．相等的角一定是对顶角． D．如果，，那么． 【答案】B 【分析】本题考查平行公理的推论，平行线的判定，对顶角定义及垂直关系的判断，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，据此可判断A；根据平行公理的推论可判断B；根据对顶角的定义可判断C；根据同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行可判断D． 【详解】解：A、过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，过直线上一点，没有直线与已知直线平行，原说法错误，不符合题意； B、如果，，那么，原说法正确，符合题意； C、相等的角不一定是对顶角，原说法错误，不符合题意； D、同一平面内，如果，，那么，原说法错误，不符合题意； 故选：B． 【例2】（22-23七年级下·辽宁大连·期中）学习了平行线后，王玲同学想出了过直线外一点P画直线a的平行线的新方法．他先按照图2动手实验，得到过点P的折线b，此时点A恰好落在直线a上；再按照图3动手实验，得到过点Ｐ的折线c，此时点B恰好落在折线b上．王玲同学发现：此时得到的过点P的折线c恰好与直线a平行，他的根据是 ．    【答案】在同一平面内，如果两条直线同时垂直于同一条直线，那么这两条直线平行 【分析】在同一平面内，如果两条直线同时垂直于同一条直线，那么这两条直线平行．据此即可解答． 【详解】解：由图2可知：,由图3可知：, ∴（在同一平面内，如果两条直线同时垂直于同一条直线，那么这两条直线平行）． 故答案为：在同一平面内，如果两条直线同时垂直于同一条直线，那么这两条直线平行． 【点睛】本题考查了平行线的判定，熟练掌握在同一平面内，如果两条直线同时垂直于同一条直线，那么这两条直线平行是解答本题的关键． 1．（25-26七年级下·江苏南京·课后作业）下面各语句中，正确的个数是（   ） ①当时，成立； ②垂直于同一条直线的两条直线平行； ③若，，则当、不重合时，； ④相等的角是对顶角； ⑤过一点有且只有一条直线与已知直线平行； ⑥两个角的两边分别平行，那么这两个角相等． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】A 【分析】本题考查绝对值、平行线的判定与性质、对顶角等概念，需根据各个概念逐项判断正误即可． 【详解】①∵当时，，∴①错误； ②∵垂直于同一条直线的两条直线不一定平行（需在同一平面内），∴②错误； ③∵若，，则（平行线的传递性），当b、c不重合时成立，∴③正确； ④∵相等的角不一定是对顶角（如等腰三角形的底角），∴④错误； ⑤∵过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，但“过一点”未指定点是否在直线上，∴⑤错误； ⑥∵两个角的两边分别平行，则这两个角相等或互补，∴⑥错误； 综上，只有③正确，共1个； 故选A． 2．（22-23七年级下·湖北武汉·月考）以下生活现象最能体现“垂线段最短”这一道理的是（    ） A．将弯曲的河道改直 B．测跳远成绩 C．木工师傅用角尺画平行线 D．握紧剪刀的把手剪开物体 【答案】B 【分析】本题考查了两点之间，线段最短、垂线段最短、平行线的判定；根据两点之间，线段最短、垂线段最短、平行线的判定、杠杆原理等逐项分析即可求解． 【详解】解：A、将弯曲的河道改直，可以缩短航程，可用“两点之间，线段最短”来解释，故A选项不符合题意； B、测跳远成绩，可用“垂线段最短”来解释，故B选项根据题意； C、木工师傅用角尺画平行线，可以用“在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行”来解释，故C选项不符合题意； D、握紧剪刀的把手剪开物体，可以用杠杆原理来解释，故D选项不符合题意； 故选：B． 3．（22-23七年级下·湖南永州·课后作业）在同一平面内有2023条直线，，…，，如果，，，，……，以此类推，那么与的位置关系是 ． 【答案】（或垂直） 【分析】根据在同一平面内，平行于同一条直线的两直线平行，垂直于同一条直线的两直线平行等，进行判定位置关系，然后推导出一般性规律：4条直线的位置关系为一个循环，然后求解即可． 【详解】解：∵，，，，……， ∴，，，，，，，，……， ∴可推导一般性规律，4条直线的位置关系为一个循环， ∵， ∴， 故答案为：（或垂直）． 【点睛】本题考查了平行线的判定．根据题意推导出一般性规律是解题的关键． 4．（24-25七年级下·全国·课后作业）（1）如图①，是三条公路，且．请直接写出与的位置关系； （2）如图②，在（1）的条件下，若小路平分，通往加油站N的岔道平分．试判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】（1）；（2），理由见解析 【分析】本题考查了平行线的判定，垂线的定义；熟练掌握平行线的判定定理是解题的关键； （1）根据垂直于同一直线的两直线平行，即可求解； （2）延长交于点P．根据垂直的定义与角平分线的定义可得，进而得出，根据同位角相等两直线平，即可得证． 【详解】解：（1）∵ ∴． （2），理由如下： 示意图如图，延长交于点P． 因为， 所以． 因为平分平分， 所以． 因为，所以， 所以． 【经典例题七 内错角相等两直线平行】 【例1】（24-25七年级下·陕西西安·月考）将一块含有、、的三角尺如图放置，点A、B分别在直线m、n上，下列条件中：①，②，③，④，⑤，，能判断的有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查平行线的判定，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．根据平行线的判定方法和题目中各个小题中的条件，可以判断是否可以得到，从而可以解答本题． 【详解】解：，， 不一定等于， 和n不一定平行，故①不符合题意； ，， 不一定等于， 和n不一定平行，故②不符合题意； 过点C作， ， ，， ， ， ，故③符合题意； ， ， ，故④符合题意； ，，， ， ，故⑤符合题意； 故选：C． 【例2】（24-25七年级下·北京平谷·课后作业）如图，四边形内有一点，连接、并延长与直线分别交于、，请你添加一个恰当的条件： ，使得． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了平行线的判定定理，根据内错角相等，两直线平行即可得出答案，熟练掌握平行线的判定定理是解此题的关键． 【详解】解：添加条件：，则， 故答案为：（答案不唯一）． 1．（25-26七年级下·河南驻马店·课后作业）如图，若，则下列条件中，不能判定的是（    ） A． B． C．和互余且和互余 D．平分，且平分 【答案】B 【分析】本题考查的是平行线的判定，根据，结合各选项的条件逐一分析判断即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴；故A不符合题意； ∵，， ∴不一定相等， ∴不能得到；故B符合题意； ∵．和互余且和互余， ∴， ∴， ∴；故C不符合题意； ∵，平分，且平分， ∴， ∴；故D不符合题意； 故选：B 2．（2024·广东·模拟预测）下列图形中，由能判定的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定定理（同位角相等、内错角相等时，两直线平行）是解题的关键． 依次分析每个选项中能否判定． 【详解】解：选项A，∵ ， ∴ （内错角相等，两直线平行），不能判定． 选项B，∵ ，且的对顶角与是同位角且相等， ∴ （同位角相等，两直线平行）． 选项C，，不能判定． 选项D，，不能判定． 故选：B． 3．（24-25七年级下·天津宝坻·月考）将一副直角三角板按如图所示的方式放置，有下列结论： ①；②若，则；③若，则；④若，则，其中正确的有 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形内角和定理、平行线的判定与性质，熟练掌握相关知识是解题关键．根据三角板各角角度、三角形内角和定理求出角的度数，再根据角之间的关系逐一判断即可． 【详解】解：， ， ， 故正确； ，， ， 又， ， ， 故正确； 如下图所示， ，， ， 又， 是等边三角形， ， ， 与不平行， 故不成立； 如下图所示，， ， 又， ， ， 故正确； 故答案为： ． 4．（25-26七年级下·山西大同·期中）已知：三角形ABC和三角形DEF位于直线MN的两侧中，直线MN经过点C，且，其中，，，点E、F均落在直线MN上． （1）如图1，当点C与点E重合时，求证：；聪明的小丽过点C作，并利用这条辅助线解决了问题．请你根据小丽的思考，写出解决这一问题的过程． （2）将三角形DEF沿着NM的方向平移，如图2，求证：； （3）将三角形DEF沿着NM的方向平移，使得点E移动到点，画出平移后的三角形DEF，并回答问题，若，则________．（用含的代数式表示） 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析；． 【分析】（1）过点C作，得到，再根据，，得到，进而得到，最后证明； （2）先证明，再证明，得到，问题得证； （3）根据题意得到，根据（２）结论得到∠DEF=∠ECA=，进而得到，根据三角形内角和即可求解． 【详解】解：（1）过点C作， ， ， ， ， ， ， ， ， ；               （2）解：，， 又， ， ， ， ， ， ； （3）如图三角形DEF即为所求作三角形．              ∵， ∴， 由（2）得，DE∥AC， ∴∠DEF=∠ECA=， ∵， ∴∠ACB=， ∴ ， ∴∠A=180°-=． 故答案为为：． 【点睛】本题考查了平行线的判定，三角形的内角和等知识，综合性较强，熟练掌握相关知识，根据题意画出图形是解题关键． 【经典例题八 同旁内角互补两直线平行】 【例1】（24-25七年级下·山西阳泉·课后作业）如图是刻度尺的一段，为判断有刻度的一边（）与它的对边（）是否平行，启航小组的四位同学分别给出以下四种方案，其中不可行的方案是（   ） A．度量刻度尺左边的两个角是否都是直角，若是，则平行 B．画一条直线，分别与，相交，度量其中一对内错角，若相等，则平行 C．画一条直线，分别与，相交，度量其中一对同位角，若相等，则平行 D．将直角三角板的直角顶点F放置于刻度尺内部，三角板两直角边，分别与刻度尺的两条边，相交于点M，N，度量与，若相等，则平行 【答案】D 【分析】本题考查平行线的判定，关键是掌握同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行． 由平行线的判定方法，即可判断． 【详解】解：A、由同旁内角互补，两直线平行判定，故A不符合题意； B、由内错角相等，两直线平行判定，故B不符合题意； C、由同位角相等，两直线平行判定，故C不符合题意； D、如图所示， ∵与不是同位角，也不是内错角， ∴两角相等不能判定，故D符合题意． 故选：D． 【例2】（24-25七年级下·山东潍坊·期中）如图是铁轨的示意图，是直角，只需量出 （填写图枕木中标出的一个角）的度数就可以判断两条铁轨是否平行，这样做的依据是： ． 【答案】 （答案不唯一） 同旁内角互补，两直线平行（答案不唯一） 【分析】本题考查两直线平行的判定定理，根据定理内容解题是关键．根据是直角，只要找出与互为同位角、内错角、同旁内角的其他角，根据判定定理判定即可得到正确答案． 【详解】解：∵是直角，和是同旁内角， ∴度量出，则，根据“同旁内角互补，两直线平行”，就可以判断两条铁轨平行； 或度量出，则，根据“同位角相等，两直线平行”，就可以判断两条铁轨平行； 或度量出，则，根据“内错角相等，两直线平行”，就可以判断两条铁轨平行， 故答案为：；同旁内角互补，两直线平行（答案不唯一）． 1．（24-25七年级下·河南平顶山·期中）判断两条直线平行有多种方法，老师在黑板上画出了下面的图形，让同学们添加一个条件，使，下面是甲、乙、丙、丁四个学生的方法，错误的是（   ） A．甲同学： B．乙同学： C．丙同学： D．丁同学： 【答案】D 【分析】本题考查平行线的判定，熟练掌握平行线的判定是解题的关键； 根据题意，利用平行线的判定对选项进行判定即可求解； 【详解】解：A、根据，可以判定；满足题意； B、根据，可以判定，满足题意； C、根据，可以判定，满足题意； D、根据，可以判定，不满足题意； 故选：D 2．（22-23七年级下·山东济南·课后作业）如图，将一纸条沿折痕折叠，时对应线段与相交于点则下列条件中，不足以证明的是（     ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据翻折的性质和平行线的判定逐一进行判断即可． 【详解】解：A. ， ； B．由翻折可知：， ， ， ，故B选项不符合题意； C．由翻折可知：， ， ， ， ，故C选项不符合题意； ， ， ， 不平行，故D选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了折叠的性质，平行线的判定，熟练掌握平行线的判定定理是解题的关键． 3．（24-25七年级下·河北廊坊·月考）如图： ，（填写一个满足条件的理由，用符号表示，不得添加任何辅助线）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查平行线的判定，熟练掌握平行线的判定是解题的关键； 根据平行线的判定，即可求解； 【详解】解：， ； 故答案为： 4．（25-26七年级下·福建厦门·期中）已知：如图，点、、三点共线，，，平分，，问：与有什么位置关系？请写出推理过程． 【答案】，推理见解析 【分析】由得到，求出，由平分得到，进而得到，根据平行线的判定证明结论． 【详解】解：， 证明如下：∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】此题主要考查了平行线的判定、垂线的定义、角平分线的定义等知识，熟练掌握平行线的判定是解题的关键． 【拓展训练一 利用平行公理解决问题】 【例1】（24-25七年级下·北京·期中）如图是一个可折叠的衣架，是地平线，当时，；时，，就可以确定点，，在同一直线上，这样判定的依据是（    ） A．两点确定一条直线 B．内错角相等，两直线平行 C．过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 D．如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行 【答案】C 【分析】本题考查平行线的判定和性质，平行公理及推理，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 根据过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行解决问题即可． 【详解】解：根据题意，可知当时，；时，，就可以确定点，，在同一直线上； 依据是过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行； 故选：C 【例2】（24-25七年级下·山西晋中·课后作业）被誉为“中国最美公路”之一的新疆的独库公路，在5月31号恢复通车．独库公路是北起克拉玛依市独山子区，南至阿克苏地区库车市，全长561公里，它纵跨天山一半路段，海拔都在两千米以上，在独库公路上行驶一天就能够穿越四季，图1是蜿蜒曲折的弯路，局部公路抽象成图2．当，，那么的理由是 ． 【答案】平行于同一条直线的两条直线互相平行 【分析】本题考查了平行线的性质和判定的应用，根据平行线性质得出，，推出，根据平行线的判定推出即可． 【详解】解：理由是：平行于同一条直线的两条直线互相平行 延长交于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴（平行于同一条直线的两条直线互相平行）． 故答案为：平行于同一条直线的两条直线互相平行． 1．（2024·江苏常州·中考真题）如图，推动水桶，以点O为支点，使其向右倾斜．若在点A处分别施加推力、，则的力臂大于的力臂．这一判断过程体现的数学依据是（    ） A．垂线段最短 B．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C．两点确定一条直线 D．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 【答案】A 【分析】本题考查了力臂，平行公理，垂直的性质，直线特点，垂线段最短，根据图形分析得到过点有，进而利用垂线段最短得到即可解题． 【详解】解：过点有， ， 即得到的力臂大于的力臂， 其体现的数学依据是垂线段最短， 故选：A． 2．（24-25七年级下·江苏无锡·月考）（1）用两根钉子固定一根木条，体现数学事实是两点之间线段最短；（2）射线与射线表示同一条射线；（3）若，则为线段的中点；（4）在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线平行，正确的有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】A 【分析】本题考查几何基本概念，包括直线的性质、射线的定义、线段中点的条件和平行公理． 根据平行线、直线的性质等相关知识解答即可． 【详解】解：（1）用两根钉子固定木条体现两点确定一条直线，而非两点之间线段最短， 该说法错误； （2）射线以为起点且经过，射线以为起点且经过，两者方向不同， 不是同一条射线，该说法错误； （3）时，点不一定在线段上（如等腰三角形），或、、不一定共线， 不一定是的中点，该说法错误； （4）在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行（平行公理），“直线外”不能省略， 该说法错误． 综上所述，正确的有0个， 故选：A． 3．（2024·河南驻马店·模拟预测）如图所示是我们常见的马路标线，工人师傅在划线时要保证中间的线与两边的线保持平行，小明认为我们已知马路两边的线是互相平行的，只要中间的线与两边其中任意一条线平行，那么它就一定与另一条线平行，这其中的数学原理是 ． 【答案】同平行于一条直线的两条直线互相平行 【分析】本题考查平行公理，掌握同平行于一条直线的两条直线互相平行是解题的关键． 【详解】中间的线与两边其中任意一条线平行，那么它就一定与另一条线平行，这其中的数学原理是是同平行于一条直线的两条直线互相平行， 故答案为：同平行于一条直线的两条直线互相平行． 4．（23-24七年级下·河南驻马店·期中）按要求完成下列问题，其中画图不写作法． (1)画出从点到水渠边的最短距离，并说明依据：__________________． (2)过点画出的平行线，这样的平行线有几条，为什么？ (3)请你举出一个生活中应用以上（1）中“依据”的实际例子． 【答案】(1)图见解析；垂线段最短 (2)这样的平行线有1条，理由：过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行 (3)体育课上测量跳远成绩的依据也是利用垂线段最短 【分析】本题考查画垂线与平行线，垂线段最短，平行公理，掌握垂线段最短和平行公理是解题的关键．注意理解“有”、“且只有”的意义． （1）作于D即可； （2）根据平行公理：过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行，求解即可； （3）体育课上测量跳远成绩的依据也是利用垂线段最短． 【详解】（1）解：如图，线段的长度即为所求， 依据是：垂线段最短． （2）解：如图，直线即为所求， 过点画出的平行线，这样的平行线只有1条， 理由：过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行． （3）解：体育课上测量跳远成绩的依据也是利用垂线段最短． 【拓展训练二 综合同位角、内错角与内错角关系判定直线平行】 【例1】（24-25七年级下·河北唐山·期中）嘉嘉将一副直角三角板按如图所示摆放，，，测量，下列判断错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了平行线的性质和判定，三角板的相关计算， 根据三角板的特征可知，即可得出，再结合可得，可说明B，C，然后根据平行线的性质可说明A，D． 【详解】解：根据题意，得， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． 则B，C正确； ∵，， ∴． 则D正确； ∵， ∴不平行． 则A不正确． 故选：A． 【例2】（22-23七年级下·陕西安康·课后作业）如图，在下列给出的条件中：①；②；③；④，可以判定的有 ．（填序号） 【答案】①②④ 【分析】本题考查了平行线的判定，根据平行线的判定定理对条件进行逐一判断即可． 【详解】解：①∵，∴，符合题意； ②∵，∴，符合题意； ③∵，∴，不能判定，不符合题意； ④∵，∴，符合题意； 所以，可以判定的有①②④， 故答案为：①②④． 1．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图所示，点在的延长线上，下列条件不能判断的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的判定，掌握同位角相等两直线平行；内错角相等两直线平行；同旁内角互补两直线平行是解题的关键． 根据平行线的判定方法逐一排除即可． 【详解】解：A、∵， ∴（内错角相等，两直线平行），本选项不符合题意； B、∵， ∴（内错角相等，两直线平行），不能判定，本选项符合题意； C、∵， ∴（同位角相等，两直线平行），本选项不符合题意； D、∵， ∴（同旁内角互补，两直线平行），本选项不符合题意． 故选：B． 2．（25-26七年级下·河北沧州·期中）如图，下列不能判定条件是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行线的判定，熟练掌握内错角相等，两直线平行；同位角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行是解题的关键．根据选项中角的关系，结合平行线的判定，进行判断即可． 【详解】解：A．，由同位角相等，两直线平行，可判断； B． ，由内错角相等，两直线平行，可判断； C．，由内错角相等，两直线平行，可判断，但不能判断； D．，由同旁内角互补，两直线平行，可判断； 故选：C． 3．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，下列推理中正确的是 ．（请填写序号） ①，； ②，； ③，； ④，． 【答案】①②④ 【详解】根据同位角相等、内错角相等、同旁内角互补来判断两直线是否平行． 解：①：∵，这是内错角相等，∴，推理正确； ②：∵，这是同位角相等，∴，推理正确； ③：∵，这两个角不是同旁内角，无法判定，推理错误； ④：∵，这两个角不是同旁内角，无法判定，推理正确． 综上，正确的推理是①②④． 故答案为：①②④． 【点睛】本题考查了知识点平行线的判定，解题关键是准确识别同位角、内错角、同旁内角，再结合判定定理进行判断． 4．（25-26七年级下·全国·课后作业）已知直线，被直线所截． (1)如图①，平分，平分（平分的是一对同位角），则与满足________时，； (2)如图②，平分，平分（平分的是一对内错角），则与满足________时，； (3)【拓展设问】如图③，平分，平分（平分的是一对同旁内角），则与满足什么条件时，？为什么？ 【答案】（1）   （2） （3）   见解析 【分析】（1）根据角平分线定义得出，，，当时，求出，根据平行线的判定推出即可； （2）根据角平分线定义得出，，，当时，求出，根据平行线的判定推出即可； （3）根据角平分线定义得出，，，当时，求出，根据平行线的判定推出即可． 【详解】（1）解：． 与满足时，， 理由如下： 平分，平分， ，， ， ， ； （2）解：． 与满足时，， 理由如下： 平分，平分， ，， ， ， ． （3）解：与满足时，． 理由如下： 平分，平分， ，． ， ， ． 【点睛】本题考查了平行线的判定，角平分线定义的应用，解题的关键是掌握平行线的判定定理：①同位角相等，两直线平行；②内错角相等，两直线平行；③同旁内角互补，两直线平行． 1．（2025七年级下·全国·专题练习）下列图形中，一定存在互相平行的棱的是（   ） A．三棱锥 B．圆柱 C．球 D．长方体 【答案】D 【分析】本题考查了立体图形的棱的特征，解题的关键是区分多面体与旋转体的结构，明确不同立体图形中棱的存在及平行关系． 先明确棱是多面体的边，再逐一分析：排除无棱的圆柱、球，再排除棱无平行关系的三棱锥，最终确定长方体． 【详解】A．三棱锥：由4个三角形面组成，其任意两条棱或者相交，或者异面，不存在互相平行的棱，故本选项不符合题意； B．圆柱：圆柱没有棱，因此不存在互相平行的棱，故本选项不符合题意； C．球：球是曲面围成的立体，没有棱，自然不存在棱的平行关系，故本选项不符合题意； D．长方体：属于平行六面体，相对的棱长度相等且互相平行，一定存在平行棱，故本选项符合题意； 故选：D． 2．（25-26七年级下·四川成都·课后作业）下列叙述，其中不正确的是（    ） A．两点确定一条直线 B．同角（或等角）的余角相等 C．过一点有且只有一条直线与已知直线平行 D．两点之间的所有连线中，线段最短 【答案】C 【分析】由直线的性质可判断 由同角（或等角）的余角的性质可判断 由平行线的特点可判断 由线段的性质可判断 从而可得答案． 【详解】解：两点确定一条直线，正确，故不符合题意， 同角（或等角）的余角相等，正确，故不符合题意， 过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故符合题意， 两点之间的所有连线中，线段最短，正确，故不符合题意， 故选： 【点睛】本题考查的是直线，线段的特点，平行线的特点，同角（或等角）的余角的性质，掌握以上知识是解题的关键． 3．（2026七年级下·江苏泰州·专题练习）①两点之间的所有连线中，线段最短；②相等的角叫对顶角；③过一点有且只有一条直线与已知直线平行；④过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；⑤两点之间的距离是两点间的线段；⑥在同一平面内的两条直线位置关系只有两种：平行或相交．以上说法正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查几何基本概念，包括线段的性质、对顶角的定义、平行公理、垂直性质、距离定义及平面内直线位置关系，根据相关知识逐一判断即可． 【详解】解：①两点之间的所有连线中，线段最短，原说法正确； ②有公共顶点，且角的两边互为反向延长线的两个角叫做对顶角，原说法错误； ③过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，原说法错误； ④同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，原说法错误； ⑤两点之间的距离是两点间的线段的长度，原说法错误； ⑥在同一平面内的两条直线位置关系只有两种：平行或相交，原说法正确； ∴说法正确的有①⑥，共2个， 故选：B． 4．（25-26七年级下·重庆·课后作业）下列说法正确的是（   ） A．不相交的两条直线叫做平行线 B．若，则点为线段的中点 C．直线外一点到这条直线的垂线段叫做点到直线的距离 D．同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 【答案】D 【分析】本题考查平行线的定义、线段中点的条件、点到直线的距离的概念以及垂线的性质，逐一判断各选项的正确性，注意细节条件是解题的关键． 【详解】解：A选项：∵平行线定义要求在同一平面内，不相交的两条直线可能不在同一平面， ∴A错误； B选项：∵点B可能不在线段上，如等腰三角形中，但B不是中点， ∴B错误； C选项：∵点到直线的距离是垂线段的长度，而非垂线段本身， ∴C错误； D选项：∵在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直， ∴D正确． 故选：D． 5．（22-23七年级下·河北石家庄·期中）如图，直线相交，依据图中所标数据，下列判定正确的有（    ） ①直线；②直线；③直线；④直线 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】分别根据同位角相等，两直线平行，同旁内角互补，两直线平行，依次进行判断即可得到答案． 【详解】解：如下图所示， ∵和的角度未知， ∴无法判断和是否平行，无法判断和和是否平行， ∵，， ∴， ∴与不平行， ∵， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查平行直线的判定，解题的关键是熟练掌握同位角相等，两直线平行，同旁内角互补，两直线平行． 6．（25-26七年级下·河南漯河·月考）下列说法： ①不相交的两条直线叫做平行线； ②若与是内错角，且，则； ③垂直于同一条直线的两条直线互相平行： ④在同一平面内，如果，，那么； ⑤直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这个点到这条直线的距离； ⑥过一点有且只有一条直线与已知直线平行； ⑦在同一平面内，如果a与b相交，b与c相交，那么a与c一定相交； ⑧若两条平行线被第三条直线所截，则一组同旁内角的角平分线互相垂直； ⑨若两个角的两边分别平行，则这两个角相等； ⑩m是一个实数，则没有平方根． 其中真命题有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【分析】见详解； 【详解】解:在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，所以①错误； 若∠A与∠B是内错角，且∠A=45°，则∠B不一定等于45°，所以②错误； 在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行，所以③错误； 在同一平面内，如果a⊥b，a//c，那么c⊥b，所以④正确； 直线外一点到这条直线的垂线段的长叫做这个点到这条直线的距离，所以⑤错误； 过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行所以⑥错误； 在同一平面内，如果a与b相交，b与c相交，那么a与c可能平行，所以⑦错误； 若两条平行线被第三条直线所截，则一组同旁内角的角平分线互相垂直，所以⑧正确； 若两个角的两边分别平行，则这两个角相等或互补，所以⑨错误； m是一个实数，当m<0时，则有平方根，所以⑩错误； 故选A． 【点睛】本题主要考查相交线和平行线的性质，着重对相关定理的理解，以及对细节的考查，认真和细心是正确解题的关键． 7．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图所示，要得到，则需要添加的条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了平行线的判定，内错角相等两直线平行，明确内错角的定义是解题的关键． 根据内错角相等两直线平行，确定是的内错角即可． 【详解】由图可知，是的内错角， 若，则． 故答案为：C． 8．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，下列条件：①；②；③；④；⑤．其中能判定直线的有（   ） A．③④ B．①③⑤ C．②④⑤ D．②④ 【答案】C 【分析】根据平行线的判定方法逐一进行判断即可． 【详解】解：①：既不是同位角，也不是内错角，不能判断，故①错误； ②：同位角相等，两直线平行，能判定直线线，故②正确； ③：邻补角互补，不能判定直线线，故③错误； ④：内错角相等，两直线平行，能判定直线线，故④正确； ⑤：同旁内角互补，两直线平行，能判定直线线，故⑤正确． 综上，②④⑤正确． 故选：C． 【点睛】本题考查了平行线的判定，解题关键是熟练掌握平行线的判定定理． 9．（25-26七年级下·河北邢台·月考）将一副三角板按如图所示方式放置． 结论Ⅰ：若∠1＝45°，则有； 结论Ⅱ：若∠1＝30°，则有； 下列判断正确的是（    ） A．I和Ⅱ都对 B．I和Ⅱ都不对 C．Ⅰ不对Ⅱ对 D．Ⅰ对Ⅱ不对 【答案】D 【分析】根据三角板中角的和差关系，当结论Ⅰ时得到∠B＋∠BAE＝180°，根据平行线的判定即可得到结论；当结论Ⅱ时，无法得出结论，结合选项逐个判断即可． 【详解】解：如图所示： 结论Ⅰ：∵∠1＝45°， ∴∠2＝90°−∠1＝45°， ∴∠BAE＝90°＋45°＝135°， ∴∠B＋∠BAE＝45°＋135°＝180°， ∴BCAE，故结论Ⅰ正确； 结论Ⅱ：∵∠1＝30°， ∴∠2＝90°−∠1＝60°， ∴∠BAE＝90°＋60°＝150°， ∴∠E＋∠BAE＝60°＋150°＝210°， ∴无法得到DEAB，故结论Ⅱ错误， 故选：D． 【点睛】本题考查平行线的判定，等腰直角三角形等知识点，能灵活运用定理进行推理是解题的关键． 10．（24-25七年级下·安徽芜湖·课后作业）如图，下列四个条件中，能判定 的有（  ） ①；②；③；④°． A．①④ B．②③ C．①②③ D．③④ 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定方法是解题的关键． 根据平行线的判定定理逐项判断即可． 【详解】解：， ； ， ； ， ； ， ； 综上所述，能判定的有②③， 故选：B． 11．（22-23七年级下·上海·期中）同一平面内三条直线a、b、c，若，，则a与c的关系是： ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了平行线的判定：在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线互相平行，易错点是未根据题意进行画图解答．根据平行线的判定：在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线互相平行，可知直线a与直线c的关系是平行． 【详解】解：在同一平面内，，， ． 故答案为：． 12．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图所示，直线，被直线，所截，下列条件能判定的是 ．（填序号） ①；②；③；④． 【答案】③④ 【分析】此题考查了平行线的判定，平行线的判定方法有：同位角相等两直线平行；内错角相等两直线平行；同旁内角互补两直线平行．据此逐个判断即可． 【详解】解：① ，则，故不能判定； ②，则，故不能判定； ③设的对顶角为， ， ， ， ∵和是同旁内角， ； ④∵， 和是同旁内角，   ． 故答案为：③④． 13．（24-25七年级下·陕西西安·期中）如图，在中，点分别在上，连接，下列条件：；；；；．其中能判定的条件有 （填序号即可）． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的判定，根据平行线的判定方法逐一排除即可，熟练掌握平行线的判定方法是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴； 由不能判定； ， ∴； ， ∴； 不能判定； 综上可知：能判定， 故答案为：． 14．（24-25七年级下·山东菏泽·期中）平面上有2025条直线，若，，，，，，…，那么和的位置关系是 ． 【答案】平行 【分析】本题考查了平行线的判定．根据题意推导出一般性规律是解题的关键．根据在同一平面内，平行于同一条直线的两直线平行，垂直于同一条直线的两直线平行等，进行判定位置关系，然后推导出一般性规律：4条直线的位置关系为一个循环，然后求解即可． 【详解】解：∵若，，，，，，…， ∴，，……， ∴可推导一般性规律，4条直线的位置关系为一个循环， ∵， ∴， 故答案为：平行． 15．（23-24七年级下·内蒙古鄂尔多斯·课后作业）将一副三角板按如图放置，则下列结论： ①； ②如果，则有； ③如果，则有； ④如果，必有． 其中正确的有 ．（请填写所有正确的序号） 【答案】①②③④ 【分析】本题考查了平行线的判定，余角性质，直角三角形两锐角互余，由余角性质可判断①；证明可判断②；证明可判断③；分别求出，可判断④；正确识图是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴，故①正确； 如果，则， ∴， ∵， ∴， ∴，故②正确； 如果，则， ∵， ∴， ∴，故③正确； ∵， 如果， 则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故④正确； ∴其中正确的有①②③④， 故答案为：①②③④． 16．（25-26七年级下·江苏无锡·课后作业）如图，在6×6的正方形网格中，每个小正方形的边长是1，点M、N、P、Q均为格点（格点是指每个小正方形的顶点），线段MN经过点P． (1)过点P画线段AB，使得线段AB满足以下两个条件：①AB⊥MN；②； (2)过点Q画MN的平行线CD，CD与AB相交于点E； (3)若格点F使得△PFM的面积等于4，则这样的点F共有 个． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)6 【分析】（1）根据网格作图即可； （2）根据网格作图即可； （3）根据网格作图即可. 【详解】（1）解：作图如下： （2）解：作图见（1） （3）如图： 故符合题意的点F有6个. 故答案为：6 【点睛】本题考查了直线、射线、线段及平行公理的应用，解题的关键是准确作出图形. 17．（24-25七年级下·全国·课后作业）在铺设铁轨时，两条直轨必须平行．如图所示，已知是直角，那么再度量图中哪个角（图中已标出的），就可以判断两条直轨是否平行？说出你的理由． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了平行线的判定，解答本题的关键是熟练掌握平行线的判定定理：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行． 根据图形可知：和互为同旁内角，和互为内错角，和互为同位角，然后结合平行线的判定定理即可解答． 【详解】解：①通过度量的度数，若满足， 根据同旁内角互补，两直线平行，就可以验证这个结论； ②通过度量的度数，若满足， 根据同位角相等，两直线平行，就可以验证这个结论； ③通过度量的度数，若满足， 根据内错角相等，两直线平行，就可以验证这个结论． 18．（25-26七年级下·全国·周测）如图，根据图形填空． (1)若，则__________________，依据是__________________； (2)若_________，则，依据是__________________； (3)若，则__________________，依据是__________________； (4)若_________，则，依据是__________________． 【答案】（1）    同位角相等，两直线平行 （2）   内错角相等，两直线平行 （3）    同旁内角互补，两直线平行 （4）  同旁内角互补，两直线平行 【分析】根据平行线的判定理理即可. 【详解】（1）解：若，则 ，依据是同位角相等，两直线平行； （2）解：，则，依据是内错角相等，两直线平行； （3）解：，则，依据是同旁内角互补，两直线平行； （4）解：，则，依据是同旁内角互补，两直线平行． 【点睛】本题主要考查了平行线的判定定理，解决本题的关键是熟练掌握平行线判定定理. 19．（24-25七年级下·湖南长沙·课后作业）按要求完成下列说明过程．在三角形中，于点D，E是上一点，且．请说明： 解：（已知）， _______（_______）． ． （已知）， _______=_______（_______） （_______） 【答案】见详解 【分析】本题主要考查平行线的判定，根据垂直的定义得到，进而，结合题意得到，由内错角相等，两直线平行即可求解． 【详解】解：（已知）， （垂直的定义）． ． （已知）， (同角的余角相等) （内错角相等，两直线平行．） 20．（25-26七年级下·全国·周测）如图，，与互余． (1)与平行吗？请说明理由； (2)若，试说明：． 【答案】(1)   见解析 (2)见解析 【分析】此题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定与性质定理是解题的关键． （1）根据垂直的定义及两角互余的定义得到，即可判定； （2）结合（1）得到，再由得到，即可判定． 【详解】（1）．理由如下： ， ． 与互余， ， ， ． （2）解：由（1）知，． ， ， ． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.3~1.4 平行线与平行线的判定重难点题型专训 （5个知识点+8大题型+2大拓展训练+自我检测） 题型一 立体图形中平行的棱 题型二 用直尺、三角板画平行线 题型三 平行公理的应用 题型四 平面内两直线的位置关系 题型五 同位角相等两直线平行 题型六 在同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行 题型七 内错角相等两直线平行 题型八 同旁内角互补两直线平行 拓展题型一 利用平行公理解决问题 拓展题型二 综合同位角、内错角与内错角关系判定直线平行 知识点一：过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行． 如图（1），经过直线a外一点P，能且只能画出一条直线与直线a平行．如图（2），假设过点P画出的两条直线b，c都与直线a平行（实际上这种情况是不存在的），那么说明直线b，c是同一条直线，依据就是平行公理． 【即时训练】 1．（25-26七年级下·河南郑州·课后作业）下列说法中，正确的是（   ） A．经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直 B．经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 C．同位角相等 D．直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离 2．（25-26七年级下·全国·周测）如图，，，则点，， （填“在”或“不在”）同一条直线上．理由： ． 知识点二：同位角相等，两直线平行 两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行．简述为：同位角相等，两直线平行． 数学语言：如图，直线a，b被直线c所截，如果，那么a//b． 【即时训练】 1．（25-26七年级下·江苏盐城·课后作业）如图，将木条，与木条钉在一起，，转动木条，当（　　）时，木条a与b平行． A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·全国·周测）如图，当＝ （写出一个角）时，能得到． 知识点三： 在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行 在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行平行. 【即时训练】 1．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，亮亮用一把直角尺在纸上画出两条平行的直线和．这样做的道理是（    ） A．平行于同一条直线的两条直线平行 B．垂直于同一条直线的两条直线平行 C．垂线段最短 D．经过直线外一点，有且只有一条直线平行于这条直线 2．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，分别将一副三角板的一条直角边与直尺边重合，则另两条直角边和满足．理由是 ． 知识点四：内错角相等，两直线平行 两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．简述为：内错角相等，两直线平行． 数学语言：如图，直线a，b被直线c所截，如果（或），那么a//b． 【即时训练】 1．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图所示，下列条件中，不能判定直线的是（   ）． A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·全国·周测）如图，一条街道的两个拐角和相等，则街道与平行．理由是 ． 知识点五：同旁内角互补，两直线平行 两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．简述为：同旁内角互补，两直线平行． 数学语言：如图，直线a，b被直线c所截，如果，那么a//b． 【即时训练】 1．（25-26七年级下·山西运城·课后作业）小红同学从作业本上撕下一条上、下边线分别为，的纸条，为了判断线段，是否平行，她采取了以下四种不同的折叠方式，折痕均为，通过测量相关角度来判断，则不一定能判断线段的是（    ） A．如图1，展开后测得 B．如图2，测得 C．如图3，展开后测得 D．如图4，展开后测得 2．（24-25七年级下·全国·期中）如图，已知，我们可以判定平行关系的是 ． 【经典例题一 立体图形中平行的棱】 【例1】（2025七年级下·全国·专题练习）在正方体中，与棱平行的棱有（   ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【例2】（2025七年级下·全国·专题练习）在正方体的12条棱中，每一条棱都有且仅有 条棱与它平行．在正方体中，与同一个顶点相连的三条棱互相 ． 1．（2025七年级下·全国·专题练习）在长方体（非正方体）中，下列各组棱一定平行的是（） A．相交于同一个顶点的三条棱 B．位于同一个面上的四条棱 C．长度相等的四条棱 D．方向相同的四条棱 2．（2025七年级下·全国·专题练习）一个五棱柱中，互相平行的棱最多有（   ）对． A．10 B．15 C．20 D．23 3．（2025七年级下·全国·专题练习）在平行六面体（底面是平行四边形的四棱柱）中，与一条侧棱平行的棱共有 条． 4．（24-25七年级下·全国·课后作业）观察如图所示的长方体，用符号表示下列两条棱的位置关系：_____，_____，_____，_____． 你能在教室里找到这些位置关系的实例吗？与同学讨论一下． 【经典例题二 用直尺、三角板画平行线】 【例1】（22-23七年级下·河南安阳·期中）下列语句中：①一条直线有且只有一条垂线；②不相等的两个角一定不是对顶角；③两条不相交的直线叫做平行线；④如果两个角是邻补角，那么这两个角的角平分线互相垂直；⑤过一点有且只有一条直线与已知直线平行．其中错误的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【例2】（22-23七年级下·河南郑州·期中）如图是利用直尺移动三角板过直线外一点作直线的平行线的方法，小明经过多次实践后发现只能作一条平行线，这反映了 ．    1．（2022七年级下·上海·专题练习）下面不能检验直线与平面垂直的工具是（　　） A．铅垂线 B．三角尺 C．长方形纸片 D．合页型折纸 2．（2023·云南昆明·模拟预测）如图，已知，过点画，画的平分线，、交于点，量一量的度数，约为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24七年级下·四川成都·课后作业）下列各图中的直线，用推三角尺的方法验证，其中的有 （填序号）． 4．（25-26七年级下·江苏宿迁·月考）如图，点是的边上的一点． (1)过点画的平行线； (2)过点画的垂线，垂足为； (3)过点画的垂线，交于点：、、这三条线段大小关系是_______，（用“”号连接），理由是_________． 【经典例题三 平行公理的应用】 【例1】（22-23七年级下·广西南宁·月考）“对于有理数a，b，c，若，，则”，我们称这命题的关系具有“传递性”，下列命题中，具有“传递性”的是（    ） A．m，n，l是直线，若，，则 B．m，n，l是直线，若，，则 C．若与互余，与互余，则与互余 D．若与互补，与互补，则与互补 【例2】（22-23七年级下·广东江门·期中）如图，工人师傅在贴长方形的瓷砖时，为了保证所贴瓷砖的外缘边与上一块瓷砖的两边互相平行，一般将两块瓷砖的一边重合，然后贴下去．这样做的数学依据是 ． 1．（2025七年级下·全国·专题练习）按下列要求画图，只能画出一条直线的是（ ） A．①②③ B．②③ C．①② D．①③ 2．（23-24七年级下·广西防城港·课后作业）已知直线，，则下列结论正确的是（　　） A．直线a与c互相垂直 B．直线a与c互相平行 C．直线a与c相交 D．直线a与b相交 3．（25-26七年级下·江苏南京·课后作业）下列说法：①对顶角相等；②两点间线段是两点间距离；③过一点有且只有一条直线与已知直线平行；④过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；⑤若，则点C是线段的中点；⑥同角的余角相等正确的有 ．（填序号） 4．（24-25七年级下·全国·课后作业）如下图，已知三角形，点P在边上． (1)过点P画的平行线交于点T； (2)过点C画； (3)直线_______（填位置关系）． 【经典例题四 平面内两直线的位置关系】 【例1】（25-26七年级下·江苏南通·课后作业）如图，一副三角板的两个直角顶点C，F叠放在一起，其中，三角板不动，三角板可绕点C旋转．小明发现：与一定互补；小丽发现：当时，一定垂直于．请对这两位同学的发现作出评判（   ） A．小明正确，小丽错误 B．小明错误，小丽正确 C．小明、小丽都正确 D．小明、小丽都错误 【例2】（24-25七年级下·福建漳州·月考）有下列四种说法：①经过直线外一点有且只有一条直线与这条直线垂直；②一个角的补角一定大于这个角；③如果两个角是同一个角的余角，那么它们相等；④在同一平面内，两条直线的位置只有两种：相交和垂直．其中正确的是 1．（22-23七年级下·广东东莞·开学考试）已知在同一平面内的直线，满足条件的说法是（    ） A． B．分别与相交与相交或平行 C． D．分别与相交或平行 2．（25-26七年级下·山东青岛·期中）已知方格纸中线段、线段和线段，如图所示．下列四位同学的观察结论正确的有（    ） 甲同学： 乙同学：和互余 丙同学：线段的长为点到直线的距离 丁同学：线段的长为点到直线的距离 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（2024七年级·全国·竞赛）平面内有3000条互相平行的直线，现在这个平面内再画两条不互相平行且与原来3000条直线都不平行的直线，这时这个平面内对顶角有 对． 4．（24-25七年级下·全国·单元测试）（1）如图①，在的网格图中，标注了六个角，这些角中，有哪些互余的角？请分别写出来． （2）如图②，在的网格图中，标注了一些线段，哪些线段是平行的？哪些线段是垂直的？请分别表示出来． （3）在如图③所示的正方形网格中，小格的顶点叫作格点．小华按下列要求作图：①在正方形网格的三条不同的实线上各取一个格点，使其中任意两点不在同一条实线上；②连接三个格点，使之构成直角三角形，小华在左边的正方形网格中作出．请你按照同样的要求，在右边的两个正方形网格中各画出一个直角三角形，并使三个网格中的直角三角形各不相同． 【经典例题五 同位角相等两直线平行】 【例1】（24-25七年级下·河南省直辖县级单位·课后作业）下列说法错误的是（   ） A．如图1，木工常用角尺画平行线，蕴含的道理是同位角相等，两直线平行 B．如图2，，，那么，，三点在同一条直线上，依据是在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C．如图3，固定木条和，转动木条，在转动过程中，只有一个位置使得和平行，原因是过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 D．在同一平面内，如果一条直线垂直于两条直线中的一条，那么它也垂直于另一条 【例2】（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，填空： (1)（已知）， ________________（   ）． (2)（已知）， ________________（   ）． (3)，（已知） ________=________（等量代换）． 1．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，若，则下面结论正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，于点A，于点C，下列推理中错误的是（    ） A．由，得 B．由，得 C．由，，得 D．由，得 3．（24-25七年级下·河北石家庄·月考）为响应国家新能源建设，某公交站亭装上了太阳能电池板．当地某一季节的太阳光（平行光线）与水平线最大夹角为．如图，电池板与最大夹角时刻的太阳光线相垂直，此时电池板与水平线夹角为，要使，需将电池板至少转动 度． 4．（25-26七年级下·河北保定·课后作业）如图，已知平分，且，，判断和是否平行，并说明理由． 【经典例题六 在同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行】 【例1】（25-26七年级下·福建厦门·课后作业）下列说法中，正确的是（    ） A．过一点有无数条直线与已知直线平行． B．平面内三条直线，，，如果，，那么． C．相等的角一定是对顶角． D．如果，，那么． 【例2】（22-23七年级下·辽宁大连·期中）学习了平行线后，王玲同学想出了过直线外一点P画直线a的平行线的新方法．他先按照图2动手实验，得到过点P的折线b，此时点A恰好落在直线a上；再按照图3动手实验，得到过点Ｐ的折线c，此时点B恰好落在折线b上．王玲同学发现：此时得到的过点P的折线c恰好与直线a平行，他的根据是 ．    1．（25-26七年级下·江苏南京·课后作业）下面各语句中，正确的个数是（   ） ①当时，成立； ②垂直于同一条直线的两条直线平行； ③若，，则当、不重合时，； ④相等的角是对顶角； ⑤过一点有且只有一条直线与已知直线平行； ⑥两个角的两边分别平行，那么这两个角相等． A．个 B．个 C．个 D．个 2．（22-23七年级下·湖北武汉·月考）以下生活现象最能体现“垂线段最短”这一道理的是（    ） A．将弯曲的河道改直 B．测跳远成绩 C．木工师傅用角尺画平行线 D．握紧剪刀的把手剪开物体 3．（22-23七年级下·湖南永州·课后作业）在同一平面内有2023条直线，，…，，如果，，，，……，以此类推，那么与的位置关系是 ． 4．（24-25七年级下·全国·课后作业）（1）如图①，是三条公路，且．请直接写出与的位置关系； （2）如图②，在（1）的条件下，若小路平分，通往加油站N的岔道平分．试判断与的位置关系，并说明理由． 【经典例题七 内错角相等两直线平行】 【例1】（24-25七年级下·陕西西安·月考）将一块含有、、的三角尺如图放置，点A、B分别在直线m、n上，下列条件中：①，②，③，④，⑤，，能判断的有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【例2】（24-25七年级下·北京平谷·课后作业）如图，四边形内有一点，连接、并延长与直线分别交于、，请你添加一个恰当的条件： ，使得． 1．（25-26七年级下·河南驻马店·课后作业）如图，若，则下列条件中，不能判定的是（    ） A． B． C．和互余且和互余 D．平分，且平分 2．（2024·广东·模拟预测）下列图形中，由能判定的是（　　） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·天津宝坻·月考）将一副直角三角板按如图所示的方式放置，有下列结论： ①；②若，则；③若，则；④若，则，其中正确的有 ． 4．（25-26七年级下·山西大同·期中）已知：三角形ABC和三角形DEF位于直线MN的两侧中，直线MN经过点C，且，其中，，，点E、F均落在直线MN上． （1）如图1，当点C与点E重合时，求证：；聪明的小丽过点C作，并利用这条辅助线解决了问题．请你根据小丽的思考，写出解决这一问题的过程． （2）将三角形DEF沿着NM的方向平移，如图2，求证：； （3）将三角形DEF沿着NM的方向平移，使得点E移动到点，画出平移后的三角形DEF，并回答问题，若，则________．（用含的代数式表示） 【经典例题八 同旁内角互补两直线平行】 【例1】（24-25七年级下·山西阳泉·课后作业）如图是刻度尺的一段，为判断有刻度的一边（）与它的对边（）是否平行，启航小组的四位同学分别给出以下四种方案，其中不可行的方案是（   ） A．度量刻度尺左边的两个角是否都是直角，若是，则平行 B．画一条直线，分别与，相交，度量其中一对内错角，若相等，则平行 C．画一条直线，分别与，相交，度量其中一对同位角，若相等，则平行 D．将直角三角板的直角顶点F放置于刻度尺内部，三角板两直角边，分别与刻度尺的两条边，相交于点M，N，度量与，若相等，则平行 【例2】（24-25七年级下·山东潍坊·期中）如图是铁轨的示意图，是直角，只需量出 （填写图枕木中标出的一个角）的度数就可以判断两条铁轨是否平行，这样做的依据是： ． 1．（24-25七年级下·河南平顶山·期中）判断两条直线平行有多种方法，老师在黑板上画出了下面的图形，让同学们添加一个条件，使，下面是甲、乙、丙、丁四个学生的方法，错误的是（   ） A．甲同学： B．乙同学： C．丙同学： D．丁同学： 2．（22-23七年级下·山东济南·课后作业）如图，将一纸条沿折痕折叠，时对应线段与相交于点则下列条件中，不足以证明的是（     ）    A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·河北廊坊·月考）如图： ，（填写一个满足条件的理由，用符号表示，不得添加任何辅助线）． 4．（25-26七年级下·福建厦门·期中）已知：如图，点、、三点共线，，，平分，，问：与有什么位置关系？请写出推理过程． 【拓展训练一 利用平行公理解决问题】 【例1】（24-25七年级下·北京·期中）如图是一个可折叠的衣架，是地平线，当时，；时，，就可以确定点，，在同一直线上，这样判定的依据是（    ） A．两点确定一条直线 B．内错角相等，两直线平行 C．过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 D．如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行 【例2】（24-25七年级下·山西晋中·课后作业）被誉为“中国最美公路”之一的新疆的独库公路，在5月31号恢复通车．独库公路是北起克拉玛依市独山子区，南至阿克苏地区库车市，全长561公里，它纵跨天山一半路段，海拔都在两千米以上，在独库公路上行驶一天就能够穿越四季，图1是蜿蜒曲折的弯路，局部公路抽象成图2．当，，那么的理由是 ． 1．（2024·江苏常州·中考真题）如图，推动水桶，以点O为支点，使其向右倾斜．若在点A处分别施加推力、，则的力臂大于的力臂．这一判断过程体现的数学依据是（    ） A．垂线段最短 B．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C．两点确定一条直线 D．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 2．（24-25七年级下·江苏无锡·月考）（1）用两根钉子固定一根木条，体现数学事实是两点之间线段最短；（2）射线与射线表示同一条射线；（3）若，则为线段的中点；（4）在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线平行，正确的有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 3．（2024·河南驻马店·模拟预测）如图所示是我们常见的马路标线，工人师傅在划线时要保证中间的线与两边的线保持平行，小明认为我们已知马路两边的线是互相平行的，只要中间的线与两边其中任意一条线平行，那么它就一定与另一条线平行，这其中的数学原理是 ． 4．（23-24七年级下·河南驻马店·期中）按要求完成下列问题，其中画图不写作法． (1)画出从点到水渠边的最短距离，并说明依据：__________________． (2)过点画出的平行线，这样的平行线有几条，为什么？ (3)请你举出一个生活中应用以上（1）中“依据”的实际例子． 【拓展训练二 综合同位角、内错角与内错角关系判定直线平行】 【例1】（24-25七年级下·河北唐山·期中）嘉嘉将一副直角三角板按如图所示摆放，，，测量，下列判断错误的是（    ） A． B． C． D． 【例2】（22-23七年级下·陕西安康·课后作业）如图，在下列给出的条件中：①；②；③；④，可以判定的有 ．（填序号） 1．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图所示，点在的延长线上，下列条件不能判断的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·河北沧州·期中）如图，下列不能判定条件是（　　） A． B． C． D． 3．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，下列推理中正确的是 ．（请填写序号） ①，； ②，； ③，； ④，． 4．（25-26七年级下·全国·课后作业）已知直线，被直线所截． (1)如图①，平分，平分（平分的是一对同位角），则与满足________时，； (2)如图②，平分，平分（平分的是一对内错角），则与满足________时，； (3)【拓展设问】如图③，平分，平分（平分的是一对同旁内角），则与满足什么条件时，？为什么？ 1．（2025七年级下·全国·专题练习）下列图形中，一定存在互相平行的棱的是（   ） A．三棱锥 B．圆柱 C．球 D．长方体 2．（25-26七年级下·四川成都·课后作业）下列叙述，其中不正确的是（    ） A．两点确定一条直线 B．同角（或等角）的余角相等 C．过一点有且只有一条直线与已知直线平行 D．两点之间的所有连线中，线段最短 3．（2026七年级下·江苏泰州·专题练习）①两点之间的所有连线中，线段最短；②相等的角叫对顶角；③过一点有且只有一条直线与已知直线平行；④过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；⑤两点之间的距离是两点间的线段；⑥在同一平面内的两条直线位置关系只有两种：平行或相交．以上说法正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．（25-26七年级下·重庆·课后作业）下列说法正确的是（   ） A．不相交的两条直线叫做平行线 B．若，则点为线段的中点 C．直线外一点到这条直线的垂线段叫做点到直线的距离 D．同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 5．（22-23七年级下·河北石家庄·期中）如图，直线相交，依据图中所标数据，下列判定正确的有（    ） ①直线；②直线；③直线；④直线 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．（25-26七年级下·河南漯河·月考）下列说法： ①不相交的两条直线叫做平行线； ②若与是内错角，且，则； ③垂直于同一条直线的两条直线互相平行： ④在同一平面内，如果，，那么； ⑤直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这个点到这条直线的距离； ⑥过一点有且只有一条直线与已知直线平行； ⑦在同一平面内，如果a与b相交，b与c相交，那么a与c一定相交； ⑧若两条平行线被第三条直线所截，则一组同旁内角的角平分线互相垂直； ⑨若两个角的两边分别平行，则这两个角相等； ⑩m是一个实数，则没有平方根． 其中真命题有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 7．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图所示，要得到，则需要添加的条件是（   ） A． B． C． D． 8．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，下列条件：①；②；③；④；⑤．其中能判定直线的有（   ） A．③④ B．①③⑤ C．②④⑤ D．②④ 9．（25-26七年级下·河北邢台·月考）将一副三角板按如图所示方式放置． 结论Ⅰ：若∠1＝45°，则有； 结论Ⅱ：若∠1＝30°，则有； 下列判断正确的是（    ） A．I和Ⅱ都对 B．I和Ⅱ都不对 C．Ⅰ不对Ⅱ对 D．Ⅰ对Ⅱ不对 10．（24-25七年级下·安徽芜湖·课后作业）如图，下列四个条件中，能判定 的有（  ） ①；②；③；④°． A．①④ B．②③ C．①②③ D．③④ 11．（22-23七年级下·上海·期中）同一平面内三条直线a、b、c，若，，则a与c的关系是： ． 12．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图所示，直线，被直线，所截，下列条件能判定的是 ．（填序号） ①；②；③；④． 13．（24-25七年级下·陕西西安·期中）如图，在中，点分别在上，连接，下列条件：；；；；．其中能判定的条件有 （填序号即可）． 14．（24-25七年级下·山东菏泽·期中）平面上有2025条直线，若，，，，，，…，那么和的位置关系是 ． 15．（23-24七年级下·内蒙古鄂尔多斯·课后作业）将一副三角板按如图放置，则下列结论： ①； ②如果，则有； ③如果，则有； ④如果，必有． 其中正确的有 ．（请填写所有正确的序号） 16．（25-26七年级下·江苏无锡·课后作业）如图，在6×6的正方形网格中，每个小正方形的边长是1，点M、N、P、Q均为格点（格点是指每个小正方形的顶点），线段MN经过点P． (1)过点P画线段AB，使得线段AB满足以下两个条件：①AB⊥MN；②； (2)过点Q画MN的平行线CD，CD与AB相交于点E； (3)若格点F使得△PFM的面积等于4，则这样的点F共有 个． 17．（24-25七年级下·全国·课后作业）在铺设铁轨时，两条直轨必须平行．如图所示，已知是直角，那么再度量图中哪个角（图中已标出的），就可以判断两条直轨是否平行？说出你的理由． 18．（25-26七年级下·全国·周测）如图，根据图形填空． (1)若，则__________________，依据是__________________； (2)若_________，则，依据是__________________； (3)若，则__________________，依据是__________________； (4)若_________，则，依据是__________________． 19．（24-25七年级下·湖南长沙·课后作业）按要求完成下列说明过程．在三角形中，于点D，E是上一点，且．请说明： 解：（已知）， _______（_______）． ． （已知）， _______=_______（_______） （_______） 20．（25-26七年级下·全国·周测）如图，，与互余． (1)与平行吗？请说明理由； (2)若，试说明：． 学科网（北京）股份有限公司 $