专题1.5平行线的性质重难点题型专训（3个知识点+8大题型+2大拓展训练+自我检测）-2025-2026学年七年级数学下册重难点专题提升精讲精练（浙教版）

专题1.5平行线的性质重难点题型专训 （3个知识点+8大题型+2大拓展训练+自我检测） 题型一 两直线平行同位角相等 题型二 两直线平行内错角相等 题型三 两直线平行同旁内角互补 题型四 根据平行线的性质探究角的关系 题型五 根据平行线的性质求角的度数 题型六 平行线的性质在生活中的应用 题型七 根据平行线判定与性质求角度 题型八 根据平行线判定与性质证明 拓展题型一 综合平行线性质解决角的有关问题 拓展题型二 综合平行线判定完成角度计算与证明 知识点一：两直线平行，同位角相等 两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等．简述为：两直线平行，同位角相等． 数学语言：如图，如果a//b且直线a，b被直线c所截，那么． 【即时训练】 1．（2026七年级下·山东青岛·专题练习）如图，直线c与直线a、b都相交．若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平行线的性质，对顶角相等，根据平行线的性质结合对顶角的性质，推出即可． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∵， ∴； 故选：D． 2．（25-26七年级下·江苏无锡·月考）如图，直线被直线所截，，则 ． 【答案】110 【分析】本题考查了邻补角的性质，平行线的性质：两直线平行，同位角相等，熟记性质是解题的关键．先通过平行线性质得到，再通过邻补角性质求出即可． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∴ 故答案为： ． 知识点二：两直线平行，内错角相等 两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等．简述为：两直线平行，内错角相等． 数学语言：如图，如果a//b且直线a，b被直线c所截，那么（或）． 【即时训练】 1．（25-26七年级下·广西玉林·课后作业）如图为生活中常见的折叠桌的侧面图与示意图，已知，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的性质求角度，由平行线的性质结合等边对等角可得即可得解． 【详解】解：∵，， ∴， 故选：D． 2．（25-26七年级下·江苏扬州·课后作业）如图，，直线与射线相交于点，若，则 ． 【答案】/125度 【分析】本题考查了平行线性质，根据平行线性质求得，再结合邻补角性质求解，即可解题． 【详解】解：∵，， ∴， ∴； 故答案为：． 知识点三：两直线平行，同旁内角互补 两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补．简单说成：两直线平行，同旁内角互补． 数学语言：如图，如果a//b且直线a，b被直线c所截，那么． 【即时训练】 1．（25-26七年级下·山东济南·课后作业）“榫卯”是采用凹凸部分相结合的一种连接方式．如图是某种“榫”构件的截面图，其中，，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行线的性质，根据平行线的性质进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴． 又∵， ∴． 故选：C． 2．（24-25七年级下·山东滨州·课后作业）如图是一块四边形铁片的残余部分，且．若量得，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质，根据两直线平行，同旁内角互补，即可解答． 【详解】解：∵，， ∴． 故答案为：． 【经典例题一 两直线平行同位角相等】 【例1】（25-26七年级下·广东清远·课后作业）如图，直线，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的性质，掌握平行线的性质是关键，根据题意，两直线平行，同位角相等即可判定． 【详解】解：∵， ∴，故A选项正确，符合题意； 不相等，故B选项错误，不符合题意； ，故C选项错误，不符合题意； ，故D选项错误，不符合题意； 故选：A ． 【例2】（25-26七年级下·江苏扬州·课后作业）如图，直线被所截，且，平分，若，则 °． 【答案】58 【分析】本题主要考查了平行线的性质及角平分线的定义，根据平行线的性质及角平分线的定义进行计算即可． 【详解】解：由题知， ∵， ∴， ∴． ∵平分， ∴． 故答案为：58． 1．（25-26七年级下·河南洛阳·课后作业）下列说法，正确的是（   ） A．过平面上两个点有无数多条直线 B．直线是有长度的 C．对顶角相等 D．同位角相等 【答案】C 【分析】本题考查直线的基本性质、对顶角与同位角的性质，需逐一分析各选项的正误． 【详解】A.过平面上两个点有且只有一条直线，故本选项错误，不符合题意； B.直线向两方无限延伸，没有长度，故本选项错误，不符合题意； C.对顶角相等是几何基本定理，故本选项正确，符合题意； D.只有两直线平行时，同位角才相等，故本选项错误，不符合题意； 故选：C． 2．（25-26七年级下·江苏无锡·月考）给出下列说法： （1）两条直线被第三条直线所截，同位角相等； （2）过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； （3）平面内的一条直线和两条平行线中的一条相交，则它与另一条也相交； （4）从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做该点到直线的距离． 其中正确的说法有（    ）． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】本题考查平行线的性质、垂直的性质及点到直线的距离等概念，熟练掌握相关知识是关键． 根据平面几何知识逐一判断各说法的正确性． 【详解】解：对于（1）， 只有当两条直线平行时，被第三条直线所截同位角才相等，故（1）错误； 对于（2），在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，题干缺少前提条件“在平面内”，故（2）错误； 对于（3），在平面内，一条直线若与两条平行线中的一条相交，则必与另一条相交，故（3）正确； 对于（4）， 从直线外一点到直线的垂线段的长度即为该点到直线的距离，故（4）正确； ∴ 正确的说法有（3）（4），共2个． 故选：C． 3．（25-26七年级下·江苏无锡·课后作业）如图，，延长至点，过点作的平行线分别交直线、于点、，图中与相等的角有 个． 【答案】 【分析】本题考查了同角的余角相等，对顶角相等，平行线的性质，由同角的余角相等可得，结合对顶角相等可得，再由平行线的性质得出，即可得出结果，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 由对顶角相等可得：， ∵， ∴， ∴， ∴图中与相等的角有个， 故答案为：． 4．（24-25七年级下·陕西商洛·课后作业）如图，直线，被直线所截，，，是的平分线，，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质，垂线的定义，角平分线的定义，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 利用垂线的定义得，进而求得，利用平行线的性质求得，再利用角平分线的定义即可求解． 【详解】解：， ， ， ， ， ， 平分， ． 【经典例题二 两直线平行内错角相等】 【例1】（25-26七年级下·福建厦门·课后作业）如图，，射线交线段于点．下列角中，与相等的角为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平行线的性质，对顶角等知识，由对顶角相等可得，由平行线的性质可得，则． 【详解】解：根据题意，得， ∵， ∴， ∴． 故选：D． 【例2】（25-26七年级下·江苏泰州·课后作业）将一个长方形纸片折叠成图所示的图形，若，则的度数为 °． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质，折叠的性质； 先利用平行线的性质得出，再根据折叠的性质和平角的定义计算即可． 【详解】解：如图， 由长方形纸片可得，， ， 由折叠得， ∴ 故答案为：． 1．（25-26七年级下·四川遂宁·月考）如图，已知，，则图中与相等的角（不含）的个数有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质，利用两直线平行同位角相等和内错角相等找出与相等的角，再计算个数即可，掌握平行线的性质是解题的关键． 【详解】解：如图， ∵，， ∴，，，，， ∴， ∴与相等的角（不含）有，，，，，共个， 故选：． 2．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，在中，CD是的角平分线，交AC于点E．若，则的度数是（   ） A．15° B．30° C．45° D．60° 【答案】B 【分析】本题考查了三角形角平分线与平行线综合问题，掌握角平分线定义与平行线性质是解题的关键. 【详解】解：是的角平分线， ， . 故选： ． 3．（24-25七年级下·辽宁阜新·月考）如图，在平面内，一组平行线穿过，若，，则的度数为 ． 【答案】 【分析】此题考查平行线的性质：两直线平行内错角相等，求一个角的余角， 如图，根据平行线的性质求出，由余角定义求出，即可得到． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 4．（25-26七年级下·安徽亳州·月考）完成下面的推理说明： 已知： 如图，，、分别平分和． 求证： 证明：、分别平分和（已 知） ， ， （ ）． （ ）， （ ）． （ ）． （等式的性质） ． （ ）． 【答案】；；角平分线的定义；已知；两直线平行， 内错角相等；等量代换；内错角相等， 两直线平行 【分析】本题主要考查了角平分线的定义、平行线的判定与性质，根据角平分线的定义可知，，根据两直线平行，内错角相等，可证，从而可证，再根据内错角相等，两直线平行证明结论成立． 【详解】证明：、分别平分和（已 知） ， ， （角平分线的定义）， （已知）， （两直线平行，内错角相等）． （等量代换）． （等式的性质） ． （内错角相等，两直线平行）． 故答案为：；；角平分线的定义；已知；两直线平行， 内错角相等；等量代换；内错角相等， 两直线平行． 【经典例题三 两直线平行同旁内角互补】 【例1】（25-26七年级下·江苏常州·课后作业）如图．将上、下边缘平行的一张纸条折叠．则下列结论中不一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的性质，根据平行线的性质判断即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：如图，∵， ∴，，， ∴选项一定成立， 由折叠可得，，由条件无法判断和相等，故无法确定， ∴不一定成立， 故选：． 【例2】（25-26七年级下·四川乐山·课后作业）如图，直线、被直线所截，若，，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据同旁内角互补即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为：． 1．（25-26七年级下·四川达州·课后作业）如图所示，下列推理及括号中所注明的推理依据错误的是（　　） A．∵，∴（内错角相等，两直线平行） B．∵，∴（两直线平行，内错角相等） C．∵，∴（两直线平行，同旁内角互补） D．∵，∴（两直线平行，同位角相等） 【答案】D 【分析】此题考查平行线的性质定理及平行线的判定定理，熟记定理是解题的关键． 根据平行线的性质及平行线的判定定理解答． 【详解】解：A、∵， ∴（内错角相等，两直线平行），正确，该选项不符合题意； B、∵， ∴（两直线平行，内错角相等），正确，该选项不符合题意； C、∵， ∴（两直线平行，同旁内角互补），正确，该选项不符合题意； D、∵， ∴（同位角相等，两直线平行），原结论错误，该选项符合题意． 故选：D． 2．（25-26七年级下·重庆·期中）如图，在四边形中，，平分，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质、角平分线的定义，根据两直线平行，同旁内角互补，可以求出，根据角平分线的定义可得，再利用两直线平行，同旁内角互补求出的度数． 【详解】解：， ， ， ， 平分， ， ， ， ． 故选：C． 3．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，平分，平分，当和满足 时，． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线定义，平行线的性质，由平分，平分，得，，根据平行线性质可得，则，从而求解，掌握知识点的应用是解题的关键 【详解】解：∵平分，平分， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 4．（25-26七年级下·河南南阳·课后作业）读懂下面的推理过程，并填空（理由或数学式）． 中国汉字博大精深，方块文字智慧灵秀，奥妙无穷．如图1是一个“互”字，如图2是由图1抽象出的几何图形，其中，点，，在同一直线上，点，，在同一条直线上，且，．请说明的理由． 理由：如图2，延长交于点． （已知）， （______）． 又（______）， ______（等量代换）． （______）． ______（两直线平行，同旁内角互补）． 又______（已知）， （______）． （______）． 【答案】两直线平行，内错角相等；已知；；同位角相等，两直线平行；；；两直线平行，同旁内角互补；同角的补角相等 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，同角的补角相等，掌握平行线的判定和性质是解题关键．延长交于点，根据平行线的性质和已知条件，得出，推出，再结合平行线的性质求解即可． 【详解】理由：如图2，延长交于点． （已知）， （两直线平行，内错角相等）． 又（已知）， （等量代换）． （同位角相等，两直线平行）． （两直线平行，同旁内角互补）． 又（已知）， （两直线平行，同旁内角互补）． （同角的补角相等）． 故答案为：两直线平行，内错角相等；已知；；同位角相等，两直线平行；；；两直线平行，同旁内角互补；同角的补角相等． 【经典例题四 根据平行线的性质探究角的关系】 【例1】（25-26七年级下·四川达州·开学考试）如图，直线，点O在直线上，下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查平行线的性质，解题的关键是熟练掌握两直线平行，内错角相等和两直线平行，同旁内角互补．根据平行线的性质得出，进而利用角的关系解答即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ， 故选：B． 【例2】（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，已知、分别平分、，若要使，则与应满足的关系是 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，熟记性质与概念是解题的关键．根据两直线平行，同旁内角互补可得，再根据角平分线的定义求出． 【详解】解：∵， ∴， ∵、分别平分、， ∴，， ∴， 故答案为：． 1．（25-26七年级下·四川成都·月考）下列图形中，由，能得到的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．根据平行线的性质对各选项进行逐一分析即可． 【详解】解：选项A、∵，∴，故本选项不符合题意； 选项B、∵， ∴， ∵， ∴， 故本选项符合题意； 选项C、由，不能得到，故本选项不符合题意； 选项D、由，不能得到，故本选项不符合题意； 故选B． 2．（22-23七年级下·河北石家庄·月考）如图，在三角形中，于点，于点，，是的平分线，则图中与相等的角（不包含）的个数为（    ） A．3 B．2 C．5 D．4 【答案】D 【分析】本题考查平行线的性质，角平分线，根据角平分线平分角，结合平行线的性质，进行判断即可．熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 【详解】解：∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， 即：图中与相等的角（不包含）的个数为4个； 故选D． 3．（25-26七年级下·吉林长春·课后作业）如图，，直线l与、分别交于点E、F，平分交直线于点M，平分交直线于点N．给出下面四个结论：①；②；③；④；上述结论中，正确结论的序号有 ． 【答案】①②④ 【分析】本题主要考查了平行线的性质，角平分线定义，熟练掌握平行线的性质，是解题的关键．根据平行线的性质得出；根据角平分线定义得出，，求出，即可得出，从而得出；根据平行线的性质得出，根据，得出；根据平行线的性质得出，根据角平分线定义得出，根据，得出． 【详解】解：∵， ∴，故①正确； ∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，故②正确； ∵， ∴， ∵， ∴，故③错误； ∵， ∴， ∴平分， ∴， ∵， ∴，故④正确． 综上分析，正确的有①②④． 故答案为：①②④． 4．（25-26七年级下·山西临汾·课后作业）【课题学习】平行线的“等角转化”． 如图1，已知点是外一点，连接，求的度数． 解：过点作， ______，______， 又____________， ______． 【问题解决】（1）阅读并补全上述推理过程． 【解题反思】从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将，“凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决． 【方法运用】 （2）如图2，已知交于点，求的度数． （3）如图3，若，点在外部，请直接写出之间的关系． 【答案】（1）；；；；；（2）；（3） 【分析】本题考查了平行线的性质，平行公理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键； （1）过点A作，，从而利用平行线的性质可得，，根据平角定义可得，然后利用等量代换可得，即可解答； （2）过点E作，从而利用平行线的性质可得，再利用平行于同一条直线的两条直线平行可得，然后利用平行线的性质可得，从而利用角的和差关系进行计算，即可解答； （3）过点P作，从而利用平行线的性质可得，再利用平行于同一条直线的两条直线平行可得，然后利用平行线的性质可得，从而利用角的和差关系进行计算，即可解答． 【详解】解：（1）过点A作， ∴，， 又∵， ∴， 故答案为：；；；；； （2）过点E作， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）， 理由：过点P作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 【经典例题五 根据平行线的性质求角的度数】 【例1】（24-25七年级下·陕西汉中·课后作业）如图，，，若，则的度数为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平行线的性质，熟练掌握相关知识是关键． 作出，由“两直线平行，同旁内角互补”可得，再由“两直线平行，同位角相等”求出． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 【例2】（25-26七年级下·山东青岛·课后作业）书桌上有一款长臂折叠护眼灯，其示意图如图所示，与桌面垂直．当发光的灯管恰好与桌面平行时，若，则的度数为 ． 【答案】/度 【分析】本题主要考查平行线的判定和性质，根据题意，分别过点D和点E作的平行线，得到，则，由平行线的性质得到，由此即可求解． 【详解】解：分别过点D和点E作的平行线， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 1．（25-26七年级下·福建泉州·课后作业）如图，水面与底面平行，光线从空气射入水里时发生了折射，折射光线射到水底C处，点D在的延长线上，若，，则的度数为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了平行线的性质，由平行线的性质求出的度数，由对顶角定义得，再根据求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 2．（25-26七年级下·江苏苏州·课后作业）图①是某小区折叠道闸的实景图，图②是其工作示意图，道闸由垂直于地面的立柱、和折叠杆“”组成．道闸工作时，折叠杆“”可绕点在一定范围内转动，且杆始终与地面保持平行，则下列判断中，正确的是（    ） A． B． C． D．的度数无法确定 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行线的性质，平行公理的应用，垂线定义，过点A作，根据平行公理得出，根据平行线的性质得出，，求出，根据垂线定义得出，最后求出结果即可． 【详解】解：过点A作，如图所示： ∵， ∴， ∴，， ∴， 即， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 3．（25-26七年级下·四川成都·课后作业）如图，在反射现象中，反射光线，入射光线和法线都在同一平面内，反射光线和入射光线分别位于法线两侧，入射角等于反射角，法线垂直于镜面，这就是光的反射定律．若入射角i的度数为，反射光线与镜面平行，则两镜面的夹角的度数为 °． 【答案】 【分析】本题主要考查了垂直的定义、平行线的性质，根据入射角等于反射角可知，根据垂直的定义可知，即可求出，根据平行线的性质可知． 【详解】解：如下图所示， ，， ，， ， ， ， 故答案为：． 4．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图所示，已知，平分，，．求的度数． 【答案】 【分析】此题考查了平行线的性质和角平分线的定义，根据平行线的性质得到的度数，再根据角平分线的定义得到的度数，再根据垂直的定义得到，即可求出的度数． 【详解】解：， ． 平分， ． ， ， 【经典例题六 平行线的性质在生活中的应用】 【例1】（25-26七年级下·全国·课后作业）“等分”是生活中经常会遇到的事情．例如将一根绳子平均分成五段，从数学上看就是将一条线段五等分．如图，过线段的一个端点A任意画一条射线，在上依次取五段相等的线段、、、、，连结，再分别过点、、、画的平行线，则这些平行线就恰好将线段平均分成五等份．其中蕴含的数学道理是（ ） “ A．平行于同一条直线的两条直线互相平行 B．两点确定一条直线 C．两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段相等 D．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 【答案】C 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，解题的关键在于理解图形构造背后的原理，根据题意，其中蕴含的数学道理是两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段相等． 【详解】解：根据题意可得， 这些平行线就恰好将线段平均分成五等份， 其中蕴含的数学道理是两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段相等． 故选C． 【例2】（24-25七年级下·安徽宿州·课后作业）杆秤是中国文化瑰宝，体现社会主义价值观中的“诚信”，在购物时，大家都喜欢商家“翘高高”称物．如图，此时，，则的度数为 ． 【答案】/106度 【分析】本题主要考查了平行线的性质的应用．根据平行线的性质解答即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴． 故答案为： 1．（23-24七年级下·重庆巴南·月考）一辆汽车在公路上行驶，两次拐弯后，在与原方向的垂直方向上前进，那么两次拐弯的角度可能是（    ） A．第一次左拐，第二次右拐 B．第一次左拐，第二次左拐 C．第一次右拐，第二次左拐 D．第一次右拐，第二次右拐 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质，能根据平行线的性质找到两次拐弯后的方向逐项判断即可． 【详解】解：A、两次拐弯后方向与原方向相同，故不符合题意； B、两次拐弯后方向与原方向相反，故不符合题意； C、两次拐弯后，相当于在原方向向左拐，方向与原方向垂直，故符合题意； D、两次拐弯后，相当于在原方向向右拐，方向与原方向的反方向夹角，故不符合题意， 故选：C． 2．（22-23七年级下·山东青岛·期中）按如图方式折叠一张对边互相平行的纸条，是折痕，若，则以下结论正确的是（    ） ①；②；③；④    A．①③ B．②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】C 【分析】根据平行线的性质及翻折变换的性质对各结论进行逐一分析，即可解答． 【详解】解：，， ，①结论正确； 由折叠可知，， ，②结论错误； ， ，③结论正确； ，且， ，④结论正确； 所以，以上结论正确的是①③④， 故选：C． 【点睛】本题考查了平行线的性质，翻折的性质，解题关键是平行线的性质． 3．（25-26七年级下·云南昆明·课后作业）《七彩云南》少数民族传统艺术表演，是七彩云南欢乐世界的王牌演艺节目，它荟萃云南人文之美，深受观众喜爱．在展演中，舞台上的灯光由灯带上位于点和点的两盏激光灯控制．如图，光线与灯带的夹角，当光线与灯带的夹角 时，． 【答案】140°或40° 【分析】当AB与在AC同侧时，CB′∥AB，同旁内角互补；当AB与CB"在AC异侧时，CB"∥AB，内错角相等． 【详解】解：如下图： 当AB与CB′在AC同侧时， 当CB′∥AB时， ∵∠CAB+∠ACB′=180° ∴∠ACB′=140° 当AB与CB"在AC异侧时， 当CB"∥AB时， ∠CAB=∠ACB"=40° 答案：140°或40°． 【点睛】本题考查了平行线的性质，解题的关键是掌握两直线平行，内错角相等，同旁内角互补及需要由分论讨论的思想求解． 4．（24-25七年级下·吉林·月考）如图，小明绘制了一个安全用电的标识，点、、、在同一条直线上，且，，． (1)求证：； (2)求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行线的判定和性质． （1）根据平行线的判定方法，由，即可得； （2）根据平行线的性质，由，得，结合已知条件，即可得到结果． 【详解】（1）证明：∵， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【经典例题七 根据平行线判定与性质求角度】 【例1】（25-26七年级下·河南·课后作业）如图，中，，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质，根据平行线的性质可得，即可解答． 【详解】解：， ∴，， ， 故选：C． 【例2】（25-26七年级下·全国·单元测试）如图，两束光线从成像图层的点O处发射，经过平面镜的反射后在成像图层上形成光点M和N，若入射角，，则与所夹锐角为 ． 【答案】75 【分析】此题考查了平行线的性质，如图所示，设与交于点E，过点E作，首先得到，然后由平行线的性质得到，，进而求解即可． 【详解】解：如图所示，设与交于点E，过点E作 由反射性质得，， ∵， ∴， ∵由题意有， ∴， ∴， ∴． 故答案为：75． 1．（25-26七年级下·四川乐山·课后作业）如图，，平分，平分，且，下列结论：①平分；②；③；④．其中正确的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质、角平分线的定义等知识点，灵活运用平行线的判定与性质是解题的关键． 由得到，，则可对③进行判断；再由平行线的性质得，由角平分线定义得，则，而，所以，则可对①进行判断；接着由平分得到，所以，根据平行线的判定即可得到，于是可对②进行判断；当，，，；利用平行线的性质得到，又因为，，于是可得，则可对④进行判断． 【详解】解：∵， ，即， ，所以③正确； ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴ ∵，， ∴， ∵ ， ， ∴平分，即①正确； ∵平分， ∴， ∴ ∴，即②正确； 时，， ∴， ∴， ∵，而，， ∴， ∴．故④错误． 综上，正确的结论有①②③，共3个． 故选C． 2．（25-26七年级下·江苏南京·课后作业）如图，将长方形沿折叠，点，分别落在，的位置，的延长线交于点，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行线的性质以及折叠的性质，注意掌握折叠前后图形的对应关系是解题的关键． 由折叠可得，，，可得，根据可得，过点作，则，可得，则可得． 【详解】解：如图，过点作， ∵四边形是长方形， ∴，， ∴， 由折叠可得，，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 3．（24-25七年级下·全国·单元测试）两块含角的三角板如图所示叠放，现固定三角板不动，将三角板绕顶点顺时针转动，使两块三角板至少有一组边互相平行，则所有可能的度数为 ． 【答案】或或或 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的性质是解题关键．分四种情况：①，②，③，④，根据平行线的性质求解即可得． 【详解】解：由题意可知，，，． ①如图1，当点在上时， ∵， ∴， ∴，符合题意， ∴此时； ②如图2，当时， ∴， ∴； ③如图3，当时， ∴； ④如图4，当时， ∴； 综上，所有可能的度数为或或或， 故答案为：或或或． 4．（25-26七年级下·北京海淀·课后作业）已知，如图，为直线上一点，于点．点为射线上一点，从点引两条射线分别交直线于点，（点在点左侧，点在点右侧），过点作交于点，为线段上一点，过作于点． (1)①依题意补全图形； ②若，求的度数； (2)写出表示与的数量关系的等式，并说明理由． 【答案】(1)①见解析；② (2)，理由见解析 【分析】本题主要考查了平行线的性质和判定、角的计算及垂线，熟知平行线的性质是解题的关键． （1）①根据题意，补全图形即可； ②根据平行线的性质进行计算即可； （2）根据平行线的性质和判定进行分析计算即可． 【详解】（1）解：①图形如图所示， ； ②，， ． ， ， ； （2）解：，理由如下： ， ． ， ． ， ， ， ， 则， ． 【经典例题八 根据平行线判定与性质证明】 【例1】（2025七年级下·全国·专题练习）已知：如图，在四边形中，分别是上的点，连接，且．求证：．是排乱的部分证明步骤，证明步骤正确的顺序是（   ） ①，②．③，④．⑤． A．①④③②⑤ B．③⑤①④② C．③④①②⑤ D．①⑤③④② 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，关键是正确理解与运用平行线的判定与性质．根据同旁内角互补两直线平行证明，根据内错角相等两直线平行证明，得到，再利用平行线的判定定理即可证明． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ∴证明步骤正确的顺序是③⑤①④②， 故选：B． 【例2】（25-26七年级下·全国·单元测试）在横线上填上适当的内容，完成下面的证明． 如图，点分别在上，于点．求证：． 证明：（已知）， （________）． （________）， ________（________）， （________）． （平角的定义）， （________）． （已知）， （________）， （________）． 【答案】垂直的定义；已知；；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；；同角的余角相等；内错角相等，两直线平行 【分析】根据垂直的定义，平角的定义，等式的性质，平行线的性质与判定填空即可． 【详解】证明：（已知）， （垂直的定义）． （已知）， （同位角相等，两直线平行）， （两直线平行，同位角相等）． （平角的定义）， （）． （已知）， （同角的余角相等）， （内错角相等，两直线平行）． 故答案为：垂直的定义；已知；；同位角相等，两直线平行，两直线平行，同位角相等；；同角的余角相等；内错角相等，两直线平行 【点睛】本题考查了垂直的定义，平角的定义，等式的性质，平行线的性质与判定，掌握平行线的性质与判定定理是解题的关键． 1．（24-25七年级下·陕西咸阳·课后作业）如图，已知，于点A，，则下列结论：；；；；．其中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，熟练应用判定定理和性质定理是解题的关键．根据两直线平行，同旁内角互补，结合已知条件证明正确；内错角相等，两直线平行，证明正确；由两直线平行，同位角相等，证明正确；不能证明，可得答案． 【详解】解： ， ． ， ，故正确； ， ，故正确； ， ． ， ，故正确； 不能证明， 故答案为：B 2．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，，和互余，于点G，则①；②；③；④与互余．其中正确的结论是（     ） A．①②④ B．①②③ C．①③④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的性质与判定、互余的定义，熟练掌握平行线的性质与判定是解题的关键．由，得到，可判断①；由，得到，则有，推出，再根据同角的余角相等，推出，得到，可判断②；利用平行线的性质可判断③和④，即可得出结论． 【详解】解：∵， ∴，故①正确； ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵和互余， ∴， ∴， ∴，故②正确； ∵， ∴， ∴，故③正确； ∵，， ∴， 即与互余，故④正确； 综上所述，正确的结论是①②③④． 故选：D． 3．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，与互余，的余角与互补，则直线与 （填“平行”或“不平行”）． 【答案】平行 【分析】利用互余、互补的定义以及平行线的判定定理来判断是否平行． 【详解】解：∵与互余， ∴，的余角为． 又∵的余角与互补， ∴． ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了余角、补角的定义以及平行线的判定，解题关键是根据互余、互补的定义推出同旁内角互补，进而利用平行线的判定定理得出直线平行的结论． 4．（25-26七年级下·江苏泰州·课后作业）如图，点在线段上，点在线段上，，． (1)请判断与的位置关系，并说明理由； (2)若平分，求的度数． 【答案】(1)，见解析 (2) 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，角平分线的定义； （1）根据平行线的判定与性质即可进行判断与证明； （2）先根据平行线的性质求出，再根据角平分线的定义求出，最后利用平行线的性质得出的度数． 【详解】（1）解：， 理由：， ， ， ， ； （2）解：， ， 平分， ， ， ． 【拓展训练一 综合平行线性质解决角的有关问题】 【例1】（25-26七年级下·全国·期中）如图，小明课间把老师的三角板的直角顶点放在黑板上画的两条平行线a，b上．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质，即两直线平行，同位角相等以及互余的两角，正确掌握知识点是解题的关键；先根据平行线的性质求出的同位角，再由两角互余的性质求出 的度数即可； 【详解】解：∵直线，， ∴， ∵三角板的直角顶点放在b上， ∴， ∴， 故选：B． 【例2】（25-26七年级下·安徽合肥·课后作业）如图是静止在斜坡上小正方体木块的受力情况，其中摩擦力的方向，支持力的方向，重力的方向．若，则的度数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质，几何图形中角度的计算，延长，交于点，由题意可得，，，从而得出，结合图形计算即可得出结果，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图，延长，交于点， ， ∵，，重力的方向，， ∴，，， ∴， ∴， 故答案为：． 1．（24-25七年级下·福建厦门·课后作业）如图，直线，与分别交于点M，N，，平分交于点P．点E在线段上，平分交于点F．若，则下列各角的度数一定等于x的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．设，，先利用角平分线的定义可得，，从而利用角的和差关系可得，，结合，进而可得，，从而可得，进而可得，可得，即，即可求解． 【详解】解：设，， ∵平分，平分 ∴，， ∴，， ∵， ∴，， 则，即：， 可得：，即：， 故选：C． 2．（24-25七年级下·浙江温州·课后作业）已知点分别在长方形纸条的边上（），如图1，沿直线第一次折叠，点的对应点分别为交于点；如图2，为上一点，沿直线第二次折叠，点的对应点分别为，若，记的度数为度，的度数为度，则在的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平行线的性质，与角平分线有关的计算，根据折痕是角平分线，以及平行线的性质，进行推导，得到，即可得出结论． 【详解】解：对于图1，由折叠可知：， ∵长方形纸条， ∴， ∴，， ∴度， 对于图2，由折叠可知：度， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴为定值； 故选A． 3．（25-26七年级下·浙江杭州·课后作业）已知长方形，现将长方形先沿着对角线向上折到如图1的位置，此时线段与交于点E，且，再将三角形沿着向下折叠．如图2，当点恰好落在线段上时，则 ；如图3，当点落在下方，且时，则 （用含n的代数式表示）． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质，折叠的性质等，熟练运用相关知识探索角之间的数量关系是解题的关键． 答题空1：先证，，再在中，运用三角形内角和定理，求得，最后求得； 答题空2：通过翻折的性质和平行线性质得到， 又，从而得到，最后得到． 【详解】解：答题空1：当点恰好落在线段上时， ， ∴， ∵长方形， ∴，， ∴， ∵将长方形沿着对角线向上折到如图1的位置， ∴， ∵， ∴，， 在中， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴； 答题空2：当点落在下方，且时， 由折叠的性质，， ∵， ∴， ∵长方形， ∴，，， ∴， 由折叠的性质，， ∴， ∵， ∴， 整理得，． 故答案为：， 4．（24-25七年级下·河南周口·课后作业）综合与实践 如图1，，为直线上的点，和交于点． (1)若，则的度数是______． (2)写出之间的数量关系，并说明理由． (3)如图2，平分，平分．，直接用含的代数式表示的度数． 【答案】(1) (2)，见解析 (3) 【分析】本题考查平行线的性质，平行公理的应用，角平分线的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题，属于中考常考题型． （1）过点E作直线，进一步利用平行线的性质求解即可． （2）如图，过点作，进一步利用平行线的性质求解即可． （3）由（2）可知，进一步结合角平分线的定义求解即可． 【详解】（1）解：过点E作直线，    ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． （2）解：． 理由：如图，过点作， ， ， ， ， 即． （3）解：．理由如下： 由（2）可知， 平分，平分， ， ， ， ∴． 【拓展训练二 综合平行线判定完成角度计算与证明】 【例1】（24-25七年级下·山东淄博·课后作业）如图，已知，D为边上一点，过点D作，平分．在边上取一定点M，在所在直线上取一动点P，连接，则点P在运动的过程中，与的关系不可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】该题考查了平行线的性质和判定，解题的关键是分类讨论． 根据，，得出，根据平分，得出，过点作，则，分为当点P在直线和之间时，当点P在直线上方时，当点P在直线下方时，分别画图解答即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， 过点作， ∵， ∴， 当点P在直线和之间时， 则， ∴ ， ∴； 当点P在直线上方时， 则， ∴ ， ∴； 当点P在直线下方时， 则， ∴ ， ∴； 综上，A，C，D正确，B错误； 故选：B． 【例2】（23-24七年级下·湖北黄石·月考）如图，若，，，，则 （这里，均小于）． 【答案】/288度 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，垂直的定义．先求得和的度数，再作，利用平行线的性质求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 作，则， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 1．（24-25七年级下·安徽合肥·课后作业）如图，已知，，，平分，则下列说法中错误的是（   ） A．当时， B．当时， C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质、垂直的定义、角平分线等知识点，灵活运用平行线的判定与性质成为解题的关键． 运用平行线的判定与性质、垂直的定义、角平分线逐项判断即可． 【详解】解：如图：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴，即A选项错误，符合题意； 如图：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵，， ∴ ∴，即B选项正确，不符合题意； ∵， ∴，即C选项正确，不符合题意； ∴， ∵平分， ∴， ∵ ∴， ∴，整理得，即D选项正确，不符合题意． 故选A． 2．（25-26七年级下·浙江湖州·课后作业）如图1，当光线从空气斜入射到某种透明的液体时发生了折射，满足入射角与折射角的度数比为．如图2，在同一平面上，两条光线同时从空气斜射入这种液体中，两条入射光线与水平液面夹角分别为，，在液体中两条折射光线的夹角为，则，，三者之间的数量关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点B、D、F分别作水平线的垂线，则，根据平行线的性质与光的折射原理即可得到答案 【详解】如图：过点B、D、F分别作水平线的垂线，则 由题知 即： 即 故选B 【点睛】本题考查了平行线的性质，光学原理，读懂题并熟练掌握平行线的性质是关键． 3．（24-25七年级下·广西南宁·月考）如图所示：已知，直线，点为平面内一点，连接与．当点在下方时，与的角平分线相交于点（在下方），直接写出图中、和之间的数量关系： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行线的性质以及角平分线的定义的运用，过K作，根据，可得，，进而得到，再根据角平分线的定义，得出，进而即可得出结论． 【详解】解：过K作，    ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵与的角平分线相交于点K， ∴，， ∴， ∴， 故答案为： ． 4．（25-26七年级下·江苏南京·课后作业）【模型发现】某学校数学兴趣小组的学生在活动中发现：图1中的几何图形，很像小猪的猪蹄，于是将这个图形称为“猪蹄模型”，“猪蹄模型”中蕴含着角的数量关系． （1）如图1，，P是、之间的一点，连接、，试说明：；请将下面的说理过程补充完整： 说明：如图，过P作． ∵．（辅助线的作法） ∴．（ ） ∵．（已知） ∴．（ ） ∴．（ ） ∵．（角的和差定义） ∴ ．（等量代换） 【方法应用】 （2）如图2，若，，，则 ； 【变式探究】 （3）如图3，，点P在的上方，问，，之间有什么数量关系？请说明理由； 【拓展延伸】 （4）如图4，若，的平分线和的平分线交于点Q，则 ． 【答案】（1）两直线平行，内错角相等；平行于同一条直线的两条直线互相平行；两直线平行，内错角相等；；（2）82；（3），见解析；（4）131 【分析】此题主要考查了平行线的判定与性质、角平分线的定义，准确识图，熟练掌握平行线的性质是解决问题的关键． （1）过P作，根据“两直线平行，内错角相等”得，再根据“平行于同一条直线的两条直线互相平行”得，进而根据“两直线平行，内错角相等”得，由此可得； （2）过点P作（点N在点P的右侧），则，由此得，证明得，由此得，然后根据即可得出答案； （3）过点P作（点H在点P的右侧），则，证明得，然后根据即可得出，，之间的数量关系； （4）由角平分线定义设，，则，，进而得，，由（1）的结论得，，再根据得，进而得，据此即可得出的度数． 【详解】解：（1）如图，过P作， ∵，（辅助线的作法） ∴，（两直线平行，内错角相等） ∵，（已知） ∴，（平行于同一条直线的两条直线互相平行） ∴，（两直线平行，内错角相等） ∵，（角的和差定义） ∴．（等量代换） 故答案为：两直线平行，内错角相等；平行于同一条直线的两条直线互相平行；两直线平行，内错角相等；； （2）过点P作（点N在点P的右侧），如图2所示： ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：82； （3），，之间的数量关系是：；理由如下： 过点P作（点H在点P的右侧），如图3所示： ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即，，之间的数量关系是：； （4）∵的平分线和的平分线交于点Q， ∴设，， ∴，， ∴，， 由（1）的结论得：， ， ∵， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：131． 1．（2025·河北沧州·模拟预测）下面是对真命题“同一平面内，一组平行线中的一条直线垂直于第三条直线，则另一条直线也垂直于第三条直线”的正确的证明过程： 证明：如图，， ．（ ① ） ， ．（ ② ） ．（ ③ ） ．（ ④ ） 现对每一个推理过程添加依据，其中不正确的是（   ） A．①是“同位角相等，两直线平行” B．②是“垂直的定义” C．③是“等式的基本事实” D．④是“垂直的定义” 【答案】A 【分析】此题考查了平行线的性质和垂直的定义．补充完整证明过程，即可作出判断． 【详解】解：证明：如图，， ．（两直线平行，同位角相等） ， ．（垂直的定义） ．（等式的基本事实） ．（垂直的定义） 综上可知，A不正确， 故选：A 2．（24-25七年级下·河北廊坊·课后作业）把一个直角三角形和量角器按如图摆放，直角顶点与量角器的中心点重合，直角边交量角器于刻度线，已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质，与三角板有关的角度计算，由题意得到，，即可求出，再根据两直线平行，内错角相等即可解答． 【详解】解：由题意得，， ∴， ∵， ∴． 故选：C． 3．（23-24七年级下·山西吕梁·期中）三角形的内角和是，以下方法中不能运用平行线的知识证明该定理的是（   ） A． B． C．， D． 【答案】D 【分析】本题主要考查运用平行线的性质证明三角形内角和定理，根据平行线的性质可判断选项A、B、C正确，选项D错误 【详解】解：A.当时，，而，所以，，故选项A能用平行线的知识证明三角形内角和定理； B.当时，，又，所以，，故可得，故选项B能用平行线的知识证明三角形内角和定理； C. 当时，，当时，，所以，，而，所以，，故选项C能用平行线的知识证明三角形内角和定理； D.当时，不能用平行线的知识证明三角形内角和定理； 故选：D 4．（24-25七年级下·天津南开·期中）如图，直尺的对边平行，将一个直角三角板按图1和图2两种方式摆放，则对与，与的关系描述①与互补；②；③与互余；④．正确的是（   ）． A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 【答案】C 【分析】本题考查的是平行线的性质，平行公理的应用，先标注字母，角度，再结合平行线的性质与平行公理进行解答即可． 【详解】解：如图1， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，故①错误，②正确； 如图2，过作， ∵， ∴， ∴，， ∴； ∴③正确，④错误； 故选：C． 5．（24-25七年级下·吉林白城·月考）直线被直线所截，与是同旁内角，若，且与不平行，则的度数为（   ） A． B． C．或 D．无法确定 【答案】D 【分析】本题考查了同位角、内错角、同旁内角．解题的关键是明确两直线平行时，同旁内角互补的性质．两直线被第三条直线所截，只有当两条被截直线平行时，内错角相等，同位角相等，同旁内角互补．不平行时以上结论不成立．由于直线与不平行，同旁内角和不一定互补，因此无法根据的度数确定的度数． 【详解】解：∵与不平行， ∴同旁内角和不一定满足， ∴仅知，无法确定的度数． 故选：D． 6．（24-25七年级下·浙江金华·课后作业）如图，直线，当x，y的值变化时，下列各式的数值不变的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，分别过B、C、D、E作直线a的平行线，则，由平行线的性质可得，，，，可推出，据此可得答案． 【详解】解：如图，分别过B、C、D、E作直线a的平行线， ， ∴ ，， ， 同理，，，， ，，， ， ， ， 当x，y的值变化时，的数值不变． 故选：A． 7．（24-25七年级下·浙江宁波·期中）如图，已知，与相交于点，与相交于点，则下列说法正确的是（   ） ①若，则； ②若，则； ③； ④． A．②③④ B．①②③ C．①②④ D．①③④ 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，根据平行线的判定与性质逐一判断即可． 【详解】解：①若，则， ∵， ∴， ∴，故①正确； ②如图，延长交于点G， ∵， ∴， 若， 则， ∴，故②正确； ③分别过点作，则， ∴， ∴ ， ∵ ∴，故③正确； ④由③知， ∴， ∵， ∴， ∴ ， 则当且仅当时，，故④错误． 故选：B． 8．（25-26七年级下·江苏南通·课后作业）如图，，射线平分，点F为的反向延长线上的一点，连接，且满足，若，，则与满足的关系式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，过点作，根据平行线的性质分别表示出、，根据，即可求解． 【详解】解：如图，过点作 ∵， ∴ ∵，， ∴， ∵ ∴ 又∵射线平分， ∴ ∵， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 故选：D． 9．（25-26七年级下·广东广州·月考）如图，已知直线被直线所截，，是平面内任意一点（点不在直线上），设，．下列各式：①；②；③；④，的度数可能是（  ） A．②③④ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】本题主要考查平行线的性质的运用，解题时注意两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等以及分类讨论．由题意根据点有种可能位置，分情况进行讨论，依据平行线的性质以及三角形内角和定理进行计算求解即可． 【详解】解：第一种情况：如图，由，可得， ∵， ∴； 第二种情况：如图，过作平行线，则由， 可得， ∴； 第三种情况：如图，由，可得， ∵， ∴； 第四种情况：如图，由，可得， ∴； 第五、六种情况：当点在的下方时，同理可得或； 综上所述，的度数可能为，即①②③④． 故选：D． 10．（25-26七年级下·重庆·期中）如图，△OAB为等腰直角三角形（∠A＝∠B＝45°，∠AOB＝90°），△OCD为等边三角形（∠C＝∠D＝∠COD＝60°），满足OC＞OA，△OCD绕点O从射线OC与射线OA重合的位置开始，逆时针旋转，旋转的角度为α（0°＜α＜360°），下列说法错误的是（    ）    A．当α＝15°时，DC∥AB B．当OC⊥AB时，α＝45° C．当边OB与边OD在同一直线上时，直线DC与直线AB相交形成的锐角为15° D．整个旋转过程，共有10个位置使得△OAB与△OCD有一条边平行 【答案】B 【分析】设OC与AB交点为M，OD与AB交点为N，当α＝15°时，可得∠OMN＝α＋∠A＝60°，可证DC∥AB；当OC⊥AB时，α＋∠A＝90°，可得α＝30°；当边OB与边OD在同一直线上时，应分两种情况，则直线DC与直线AB相交形成的锐角也有两种情况；整个旋转过程，其中DC边可以与OB，OA，AB分别平行时，之后OC可以和AB平行，OD可以和AB平行，可以得到5个位置，这5个位置再旋转180度又是平行的，所以可以得到10不同的位置． 【详解】解：设OC与AB交点为M，OD与AB交点为N，    当α＝15°时，∠OMN＝α＋∠A＝60°， ∴∠OMN＝∠C， ∴DC∥AB， 故A说法正确，不符合题意； 当OC⊥AB时，α＋∠A＝90°或α﹣180°＝90°﹣∠A， ∴α＝45°或225°， 故B说法错误，符合题意； 当边OB与边OD在同一直线上时，    此时，， ， ∴； 当边OB与边OD在同一直线且不重合时，    此时，， ∴ 故C说法正确，不符合题意； 整个旋转过程，其中DC边可以与OB，OA，AB分别平行时，之后OC可以和AB平行，OD可以和AB平行，可以得到5个位置，这5个位置再旋转180度又是平行的，所以可以得到10不同的位置，所以D说法正确不符合题意， 故选B． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质与判定，垂直的定义，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． 11．（22-23七年级下·浙江温州·期中）如图，，作如图所示的折线，，，反向延长CG交BF于点F，已知，，则 ． 【答案】 【分析】分别过点M、E、N、F作线段，使得，根据平行线的性质，推出，，进而得到，即可求出的度数． 【详解】解：分别过点M、E、N、F作线段，使得， ，，，， ， ， ， ， ， ，， ， ，， ，， ， ， ， ，即， 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行线的性质，巧妙利用多条平行线找出角度之间的数量关系是解题关键． 12．（25-26七年级下·重庆黔江·课后作业）风筝制作在我国具有悠久的历史，汉代开始以竹篾扎成鸟禽状骨架，上糊以纸，称为“纸鸢”．风筝制作工艺聚集多种手工技艺于一体，其中扎作骨架最为关键．如果从某一大雁风筝的骨架抽象出几何形状，如图，，，且，则 ． 【答案】 【分析】本题考查三角形内角和，邻补角的性质和平行线的内错角相等性质．作辅助线，构造内错角，再结合得到内错角相等，进而结合三角形内角和求出的度数． 【详解】解：如图 延长交于点， 在中， 故答案为16 13．（23-24七年级下·湖南株洲·期中）如图，一条平行于凹透镜主光轴的光线（其中，为凹透镜的两个虚焦点），是入射光线经凹透镜折射后的光线，连接，若，则的度数为 度．（注：折射光线的反向延长线经过虚焦点） 【答案】20 【分析】由折射光线的反向延长线经过虚焦点得到，根据平行线的性质，即可求解， 本题考查了，平行线的性质，解题的关键是：得到． 【详解】解：根据题意得：， ∵， ∴， ∴， 故答案为：20． 14．（25-26七年级下·山西运城·课后作业）如图，直线，射线与交于点，为上一点，连接，为上一点，过点作，连接．若，，则 ． 【答案】75 【分析】本题考查平行线的判定与性质，对顶角相等，过点作交于点，推出，推出，进而求出，由平行线的性质结合对顶角相等推出，再根据平行线的性质推出，进而求出，即可得出结果． 【详解】解：如图，过点作交于点， ， ． ． ， ． ， ， ，， ， ， ． ． 故答案为：． 15．（24-25七年级下·陕西渭南·期中）如图，在四边形中，，点在的延长线上，连接交于点，，点在上，连接，已知，下列结论：①与互为同位角；②；③平分；④．其中所有正确结论的序号为 ． 【答案】②③ 【分析】本题考查同旁内角，对顶角相等，角平分的定义，平行线的判定和性质，根据同旁内角的定义判断①，根据内错角相等两直线平行判断②，进而根据平行线的性质以及已知条件判断③，根据已知条件结合角平分线的定义得出，即可判断④，即可求解． 【详解】解：与位于之间，的右侧，与互为同旁内角，故①错误； ∵， ∴，故②正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴平分；故③正确； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴，故④错误， 故答案为：②③． 16．（25-26七年级下·湖北恩施·期中）如图，已知． (1)试判断直线与的位置关系； (2)如图2，如果平分，平分，直线相交于点，过点作交直线于点，试证明； (3)在（2）的条件下，若，求的大小． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）将转化为，依据“内错角相等两直线平行”，证得； （2）先根据平行线的性质得出，结合角平分线的意义得出，再证明，从而可得； （3）先求得，再利用平行线的性质求得，，然后结合角平分线的意义与，求得的大小． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∵平分，平分，直线，相交于点， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵，， ∴， 又， ∴，， 又平分， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了角平分线的有关计算，内错角相等两直线平行，同旁内角互补两直线平行，两直线平行内错角相等，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 17．（25-26七年级下·福建泉州·课后作业）如图，分别平分和，垂足为．求的度数． 阅读下面的解答过程，并填空（理由或数学式）． 解：（已知）， ___________． 平分（已知）， ． 同理可得，． （等量代换）， ___________（同位角相等，两直线平行）， （___________）， （已知）， （垂直的定义）， ______（等式的性质）． 【答案】；；两直线平行，同旁内角互补；90 【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质，角平分线的定义，熟练掌握平行线的判定与性质，角平分线的定义是解题的关键． 先由可得，再由角平分线可得，从而可得，再根据两直线平行，同旁内角互补即可求得的度数． 【详解】解：（已知）， ． 平分（已知）， ． 同理可得，． （等量代换）， （同位角相等，两直线平行）， （ 两直线平行，同旁内角互补 ）， （已知）， （垂直的定义）， 90 （等式的性质）． 18．（25-26七年级下·广东深圳·课后作业）综合与探究 问题情境：如图1，根据光的反射定律，当一束光线照射到平面镜上发生反射现象时，始终有．潜望镜是从海面下伸出海面或从低洼坑道伸出地面，用以窥探海面或地面上活动的装置． (1)操作猜想：如图2，是一个潜望镜的示意图，是两面互相平行的镜面，光线照射到镜面上，反射光线为；照射到镜面上，反射光线为．试判断光线和的位置关系，并说明理由． (2)类比探究：如图3，将两块平面镜的一个端点重合于点B，一束光线照射在镜面上，经过两次反射后得到光线．若，，求及的度数． (3)拓展探究：如图4，光线与光线交于点H．设两面镜子的夹角（），设（）． ①当，时，求的度数； ②直接写出与之间的数量关系． 【答案】(1)，理由见解析 (2)， (3)①② 【分析】本题主要考查了平行线的性质，三角形的内角和定理，熟练掌握上述定理与性质是解题的关键． （1）利用平行线的性质定理和平角定义解答即可； （2）利用题干中的性质和平行线的性质定理解答即可； （3）①在点G右侧作，利用题干中的性质和平行线的性质定理解答即可； ②在点G右侧作，设，则，类比①的方法解答即可． 【详解】（1）解：，理由： 由题意得：，， ∵， ， ∴， 又，， ∴， ∴； （2）解：由题意得：， ∴． ∵， ∴， ∴． ∴， ∴, ∴． （3）解：①在点G右侧作，如图， 由题意得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． ②α与β之间的数量关系为．理由： 在点G右侧作，如图， 设，则， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． ∴． 19．（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·课后作业）如图，直线、被所截，，点是型内部（直线的下边、的上边、的左边）任意一点，连接、． (1)如图1，求证：； (2)如图2，当时，点为射线上一点，连接，过点作交于，交于，请你在备用图中画出相应的图形，探究与、的数量关系，并证明你的结论． 【答案】(1)见解析 (2)或，证明见解析 【分析】本题考查了平行线的性质与判定，三角形的内角和定理与三角形的外角的性质； （1）过点作，根据平行线的性质可得，结合已知可得，即可得出，根据平行于同一直线的两直线平行，即可得证； （2）分三种情况讨论，，，，分别画出图形，根据三角形的内角和定理与三角形的外角的性质，即可求解． 【详解】（1）证明：如图，过点作， ∴ ∵ ∴， ∴， ∴， （2）或 证明：当时，如图所示， 延长交于点 ∵， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴ 在中， ∴； 当，如图所示， 延长交于点 ∵， ∴，则， ∵， ∴，， ∵，， ∴， 是的一个外角，则， ∴； 即 当时，重合，如图所示， ∵， ∴， ∵重合， ∴ 也满足或． 综上所述，或． 20．（24-25七年级下·福建厦门·课后作业）如图，，直线l与，分别交于点E，F直角三角形的顶点M，N分别在直线，上，． (1)______． (2)如图2，，的角平分线交直线于点． ①若，求证：； ②过点N作交于点Q，连接，补全图形．若，比较线段，的长度，并说明理由． 【答案】(1) (2)①详见解析；②，详见解析 【分析】本题考查作图-复杂作图，平行线的性质，垂线段最短． （1）利用平行线的性质求解； （2）①证明，可得结论． ②利用垂线段最短判断即可． 【详解】（1）解：如图1中，， ， ， ， ， 故答案为：； （2）①证明：如图2中，平分， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ； ②解：图形如图所示， 结论：，理由如下： ， ， ， ， ， ， ， ． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.5平行线的性质重难点题型专训 （3个知识点+8大题型+2大拓展训练+自我检测） 题型一 两直线平行同位角相等 题型二 两直线平行内错角相等 题型三 两直线平行同旁内角互补 题型四 根据平行线的性质探究角的关系 题型五 根据平行线的性质求角的度数 题型六 平行线的性质在生活中的应用 题型七 根据平行线判定与性质求角度 题型八 根据平行线判定与性质证明 拓展题型一 综合平行线性质解决角的有关问题 拓展题型二 综合平行线判定完成角度计算与证明 知识点一：两直线平行，同位角相等 两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等．简述为：两直线平行，同位角相等． 数学语言：如图，如果a//b且直线a，b被直线c所截，那么． 【即时训练】 1．（2026七年级下·山东青岛·专题练习）如图，直线c与直线a、b都相交．若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·江苏无锡·月考）如图，直线被直线所截，，则 ． 知识点二：两直线平行，内错角相等 两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等．简述为：两直线平行，内错角相等． 数学语言：如图，如果a//b且直线a，b被直线c所截，那么（或）． 【即时训练】 1．（25-26七年级下·广西玉林·课后作业）如图为生活中常见的折叠桌的侧面图与示意图，已知，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·江苏扬州·课后作业）如图，，直线与射线相交于点，若，则 ． 知识点三：两直线平行，同旁内角互补 两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补．简单说成：两直线平行，同旁内角互补． 数学语言：如图，如果a//b且直线a，b被直线c所截，那么． 【即时训练】 1．（25-26七年级下·山东济南·课后作业）“榫卯”是采用凹凸部分相结合的一种连接方式．如图是某种“榫”构件的截面图，其中，，则为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·山东滨州·课后作业）如图是一块四边形铁片的残余部分，且．若量得，则的度数为 ． 【经典例题一 两直线平行同位角相等】 【例1】（25-26七年级下·广东清远·课后作业）如图，直线，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【例2】（25-26七年级下·江苏扬州·课后作业）如图，直线被所截，且，平分，若，则 °． 1．（25-26七年级下·河南洛阳·课后作业）下列说法，正确的是（   ） A．过平面上两个点有无数多条直线 B．直线是有长度的 C．对顶角相等 D．同位角相等 2．（25-26七年级下·江苏无锡·月考）给出下列说法： （1）两条直线被第三条直线所截，同位角相等； （2）过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； （3）平面内的一条直线和两条平行线中的一条相交，则它与另一条也相交； （4）从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做该点到直线的距离． 其中正确的说法有（    ）． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 3．（25-26七年级下·江苏无锡·课后作业）如图，，延长至点，过点作的平行线分别交直线、于点、，图中与相等的角有 个． 4．（24-25七年级下·陕西商洛·课后作业）如图，直线，被直线所截，，，是的平分线，，求的度数． 【经典例题二 两直线平行内错角相等】 【例1】（25-26七年级下·福建厦门·课后作业）如图，，射线交线段于点．下列角中，与相等的角为（   ） A． B． C． D． 【例2】（25-26七年级下·江苏泰州·课后作业）将一个长方形纸片折叠成图所示的图形，若，则的度数为 °． 1．（25-26七年级下·四川遂宁·月考）如图，已知，，则图中与相等的角（不含）的个数有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 2．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，在中，CD是的角平分线，交AC于点E．若，则的度数是（   ） A．15° B．30° C．45° D．60° 3．（24-25七年级下·辽宁阜新·月考）如图，在平面内，一组平行线穿过，若，，则的度数为 ． 4．（25-26七年级下·安徽亳州·月考）完成下面的推理说明： 已知： 如图，，、分别平分和． 求证： 【经典例题三 两直线平行同旁内角互补】 【例1】（25-26七年级下·江苏常州·课后作业）如图．将上、下边缘平行的一张纸条折叠．则下列结论中不一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【例2】（25-26七年级下·四川乐山·课后作业）如图，直线、被直线所截，若，，则 ． 1．（25-26七年级下·四川达州·课后作业）如图所示，下列推理及括号中所注明的推理依据错误的是（　　） A．∵，∴（内错角相等，两直线平行） B．∵，∴（两直线平行，内错角相等） C．∵，∴（两直线平行，同旁内角互补） D．∵，∴（两直线平行，同位角相等） 2．（25-26七年级下·重庆·期中）如图，在四边形中，，平分，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，平分，平分，当和满足 时，． 4．（25-26七年级下·河南南阳·课后作业）读懂下面的推理过程，并填空（理由或数学式）． 中国汉字博大精深，方块文字智慧灵秀，奥妙无穷．如图1是一个“互”字，如图2是由图1抽象出的几何图形，其中，点，，在同一直线上，点，，在同一条直线上，且，．请说明的理由． 理由：如图2，延长交于点． （已知）， （______）． 又（______）， ______（等量代换）． （______）． ______（两直线平行，同旁内角互补）． 又______（已知）， （______）． （______）． 【经典例题四 根据平行线的性质探究角的关系】 【例1】（25-26七年级下·四川达州·开学考试）如图，直线，点O在直线上，下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 【例2】（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，已知、分别平分、，若要使，则与应满足的关系是 ． 1．（25-26七年级下·四川成都·月考）下列图形中，由，能得到的是（　　） A． B． C． D． 2．（22-23七年级下·河北石家庄·月考）如图，在三角形中，于点，于点，，是的平分线，则图中与相等的角（不包含）的个数为（    ） A．3 B．2 C．5 D．4 3．（25-26七年级下·吉林长春·课后作业）如图，，直线l与、分别交于点E、F，平分交直线于点M，平分交直线于点N．给出下面四个结论：①；②；③；④；上述结论中，正确结论的序号有 ． 4．（25-26七年级下·山西临汾·课后作业）【课题学习】平行线的“等角转化”． 如图1，已知点是外一点，连接，求的度数． 解：过点作， ______，______， 又____________， ______． 【问题解决】（1）阅读并补全上述推理过程． 【解题反思】从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将，“凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决． 【方法运用】 （2）如图2，已知交于点，求的度数． （3）如图3，若，点在外部，请直接写出之间的关系． 【经典例题五 根据平行线的性质求角的度数】 【例1】（24-25七年级下·陕西汉中·课后作业）如图，，，若，则的度数为（    ）． A． B． C． D． 【例2】（25-26七年级下·山东青岛·课后作业）书桌上有一款长臂折叠护眼灯，其示意图如图所示，与桌面垂直．当发光的灯管恰好与桌面平行时，若，则的度数为 ． 1．（25-26七年级下·福建泉州·课后作业）如图，水面与底面平行，光线从空气射入水里时发生了折射，折射光线射到水底C处，点D在的延长线上，若，，则的度数为（  ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·江苏苏州·课后作业）图①是某小区折叠道闸的实景图，图②是其工作示意图，道闸由垂直于地面的立柱、和折叠杆“”组成．道闸工作时，折叠杆“”可绕点在一定范围内转动，且杆始终与地面保持平行，则下列判断中，正确的是（    ） A． B． C． D．的度数无法确定 3．（25-26七年级下·四川成都·课后作业）如图，在反射现象中，反射光线，入射光线和法线都在同一平面内，反射光线和入射光线分别位于法线两侧，入射角等于反射角，法线垂直于镜面，这就是光的反射定律．若入射角i的度数为，反射光线与镜面平行，则两镜面的夹角的度数为 °． 4．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图所示，已知，平分，，．求的度数． 【经典例题六 平行线的性质在生活中的应用】 【例1】（25-26七年级下·全国·课后作业）“等分”是生活中经常会遇到的事情．例如将一根绳子平均分成五段，从数学上看就是将一条线段五等分．如图，过线段的一个端点A任意画一条射线，在上依次取五段相等的线段、、、、，连结，再分别过点、、、画的平行线，则这些平行线就恰好将线段平均分成五等份．其中蕴含的数学道理是（ ） “ A．平行于同一条直线的两条直线互相平行 B．两点确定一条直线 C．两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段相等 D．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 【例2】（24-25七年级下·安徽宿州·课后作业）杆秤是中国文化瑰宝，体现社会主义价值观中的“诚信”，在购物时，大家都喜欢商家“翘高高”称物．如图，此时，，则的度数为 ． 1．（23-24七年级下·重庆巴南·月考）一辆汽车在公路上行驶，两次拐弯后，在与原方向的垂直方向上前进，那么两次拐弯的角度可能是（    ） A．第一次左拐，第二次右拐 B．第一次左拐，第二次左拐 C．第一次右拐，第二次左拐 D．第一次右拐，第二次右拐 2．（22-23七年级下·山东青岛·期中）按如图方式折叠一张对边互相平行的纸条，是折痕，若，则以下结论正确的是（    ） ①；②；③；④    A．①③ B．②④ C．①③④ D．②③④ 3．（25-26七年级下·云南昆明·课后作业）《七彩云南》少数民族传统艺术表演，是七彩云南欢乐世界的王牌演艺节目，它荟萃云南人文之美，深受观众喜爱．在展演中，舞台上的灯光由灯带上位于点和点的两盏激光灯控制．如图，光线与灯带的夹角，当光线与灯带的夹角 时，． 4．（24-25七年级下·吉林·月考）如图，小明绘制了一个安全用电的标识，点、、、在同一条直线上，且，，． (1)求证：； (2)求的度数． 【经典例题七 根据平行线判定与性质求角度】 【例1】（25-26七年级下·河南·课后作业）如图，中，，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【例2】（25-26七年级下·全国·单元测试）如图，两束光线从成像图层的点O处发射，经过平面镜的反射后在成像图层上形成光点M和N，若入射角，，则与所夹锐角为 ． 1．（25-26七年级下·四川乐山·课后作业）如图，，平分，平分，且，下列结论：①平分；②；③；④．其中正确的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（25-26七年级下·江苏南京·课后作业）如图，将长方形沿折叠，点，分别落在，的位置，的延长线交于点，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·全国·单元测试）两块含角的三角板如图所示叠放，现固定三角板不动，将三角板绕顶点顺时针转动，使两块三角板至少有一组边互相平行，则所有可能的度数为 ． 4．（25-26七年级下·北京海淀·课后作业）已知，如图，为直线上一点，于点．点为射线上一点，从点引两条射线分别交直线于点，（点在点左侧，点在点右侧），过点作交于点，为线段上一点，过作于点． (1)①依题意补全图形； ②若，求的度数； (2) 写出表示与的数量关系的等式，并说明理由． 【经典例题八 根据平行线判定与性质证明】 【例1】（2025七年级下·全国·专题练习）已知：如图，在四边形中，分别是上的点，连接，且．求证：．是排乱的部分证明步骤，证明步骤正确的顺序是（   ） ①，②．③，④．⑤． A．①④③②⑤ B．③⑤①④② C．③④①②⑤ D．①⑤③④② 【例2】（25-26七年级下·全国·单元测试）在横线上填上适当的内容，完成下面的证明． 如图，点分别在上，于点．求证：． 证明：（已知）， （________）． （________）， ________（________）， （________）． （平角的定义）， （________）． （已知）， （________）， （________）． 1．（24-25七年级下·陕西咸阳·课后作业）如图，已知，于点A，，则下列结论：；；；；．其中正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，，和互余，于点G，则①；②；③；④与互余．其中正确的结论是（     ） A．①②④ B．①②③ C．①③④ D．①②③④ 3．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，与互余，的余角与互补，则直线与 （填“平行”或“不平行”）． 4．（25-26七年级下·江苏泰州·课后作业）如图，点在线段上，点在线段上，，． (1)请判断与的位置关系，并说明理由； (2)若平分，求的度数． 【拓展训练一 综合平行线性质解决角的有关问题】 【例1】（25-26七年级下·全国·期中）如图，小明课间把老师的三角板的直角顶点放在黑板上画的两条平行线a，b上．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【例2】（25-26七年级下·安徽合肥·课后作业）如图是静止在斜坡上小正方体木块的受力情况，其中摩擦力的方向，支持力的方向，重力的方向．若，则的度数是 ． 1．（24-25七年级下·福建厦门·课后作业）如图，直线，与分别交于点M，N，，平分交于点P．点E在线段上，平分交于点F．若，则下列各角的度数一定等于x的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·浙江温州·课后作业）已知点分别在长方形纸条的边上（），如图1，沿直线第一次折叠，点的对应点分别为交于点；如图2，为上一点，沿直线第二次折叠，点的对应点分别为，若，记的度数为度，的度数为度，则在的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（    ）    A． B． C． D． 3．（25-26七年级下·浙江杭州·课后作业）已知长方形，现将长方形先沿着对角线向上折到如图1的位置，此时线段与交于点E，且，再将三角形沿着向下折叠．如图2，当点恰好落在线段上时，则 ；如图3，当点落在下方，且时，则 （用含n的代数式表示）． 4．（24-25七年级下·河南周口·课后作业）综合与实践 如图1，，为直线上的点，和交于点． (1)若，则的度数是______． (2)写出之间的数量关系，并说明理由． (3)如图2，平分，平分．，直接用含的代数式表示的度数． 【拓展训练二 综合平行线判定完成角度计算与证明】 【例1】（24-25七年级下·山东淄博·课后作业）如图，已知，D为边上一点，过点D作，平分．在边上取一定点M，在所在直线上取一动点P，连接，则点P在运动的过程中，与的关系不可能是（　　） A． B． C． D． 【例2】（23-24七年级下·湖北黄石·月考）如图，若，，，，则 （这里，均小于）． 1．（24-25七年级下·安徽合肥·课后作业）如图，已知，，，平分，则下列说法中错误的是（   ） A．当时， B．当时， C． D． 2．（25-26七年级下·浙江湖州·课后作业）如图1，当光线从空气斜入射到某种透明的液体时发生了折射，满足入射角与折射角的度数比为．如图2，在同一平面上，两条光线同时从空气斜射入这种液体中，两条入射光线与水平液面夹角分别为，，在液体中两条折射光线的夹角为，则，，三者之间的数量关系为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·广西南宁·月考）如图所示：已知，直线，点为平面内一点，连接与．当点在下方时，与的角平分线相交于点（在下方），直接写出图中、和之间的数量关系： ． 4．（25-26七年级下·江苏南京·课后作业）【模型发现】某学校数学兴趣小组的学生在活动中发现：图1中的几何图形，很像小猪的猪蹄，于是将这个图形称为“猪蹄模型”，“猪蹄模型”中蕴含着角的数量关系． （1）如图1，，P是、之间的一点，连接、，试说明：；请将下面的说理过程补充完整： 说明：如图，过P作． ∵．（辅助线的作法） ∴．（ ） ∵．（已知） ∴．（ ） ∴．（ ） ∵．（角的和差定义） ∴ ．（等量代换） 【方法应用】 （2）如图2，若，，，则 ； 【变式探究】 （3）如图3，，点P在的上方，问，，之间有什么数量关系？请说明理由； 【拓展延伸】 （4） 如图4，若，的平分线和的平分线交于点Q，则 ． 1．（2025·河北沧州·模拟预测）下面是对真命题“同一平面内，一组平行线中的一条直线垂直于第三条直线，则另一条直线也垂直于第三条直线”的正确的证明过程： 证明：如图，， ．（ ① ） ， ．（ ② ） ．（ ③ ） ．（ ④ ） 现对每一个推理过程添加依据，其中不正确的是（   ） A．①是“同位角相等，两直线平行” B．②是“垂直的定义” C．③是“等式的基本事实” D．④是“垂直的定义” 2．（24-25七年级下·河北廊坊·课后作业）把一个直角三角形和量角器按如图摆放，直角顶点与量角器的中心点重合，直角边交量角器于刻度线，已知，则（   ） A． B． C． D． 3．（23-24七年级下·山西吕梁·期中）三角形的内角和是，以下方法中不能运用平行线的知识证明该定理的是（   ） A． B． C．， D． 4．（24-25七年级下·天津南开·期中）如图，直尺的对边平行，将一个直角三角板按图1和图2两种方式摆放，则对与，与的关系描述①与互补；②；③与互余；④．正确的是（   ）． A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 5．（24-25七年级下·吉林白城·月考）直线被直线所截，与是同旁内角，若，且与不平行，则的度数为（   ） A． B． C．或 D．无法确定 6．（24-25七年级下·浙江金华·课后作业）如图，直线，当x，y的值变化时，下列各式的数值不变的是（   ） A． B． C． D． 7．（24-25七年级下·浙江宁波·期中）如图，已知，与相交于点，与相交于点，则下列说法正确的是（   ） ①若，则； ②若，则； ③； ④． A．②③④ B．①②③ C．①②④ D．①③④ 8．（25-26七年级下·江苏南通·课后作业）如图，，射线平分，点F为的反向延长线上的一点，连接，且满足，若，，则与满足的关系式为（    ） A． B． C． D． 9．（25-26七年级下·广东广州·月考）如图，已知直线被直线所截，，是平面内任意一点（点不在直线上），设，．下列各式：①；②；③；④，的度数可能是（  ） A．②③④ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 10．（25-26七年级下·重庆·期中）如图，△OAB为等腰直角三角形（∠A＝∠B＝45°，∠AOB＝90°），△OCD为等边三角形（∠C＝∠D＝∠COD＝60°），满足OC＞OA，△OCD绕点O从射线OC与射线OA重合的位置开始，逆时针旋转，旋转的角度为α（0°＜α＜360°），下列说法错误的是（    ）    A．当α＝15°时，DC∥AB B．当OC⊥AB时，α＝45° C．当边OB与边OD在同一直线上时，直线DC与直线AB相交形成的锐角为15° D．整个旋转过程，共有10个位置使得△OAB与△OCD有一条边平行 11．（22-23七年级下·浙江温州·期中）如图，，作如图所示的折线，，，反向延长CG交BF于点F，已知，，则 ． 12．（25-26七年级下·重庆黔江·课后作业）风筝制作在我国具有悠久的历史，汉代开始以竹篾扎成鸟禽状骨架，上糊以纸，称为“纸鸢”．风筝制作工艺聚集多种手工技艺于一体，其中扎作骨架最为关键．如果从某一大雁风筝的骨架抽象出几何形状，如图，，，且，则 ． 13．（23-24七年级下·湖南株洲·期中）如图，一条平行于凹透镜主光轴的光线（其中，为凹透镜的两个虚焦点），是入射光线经凹透镜折射后的光线，连接，若，则的度数为 度．（注：折射光线的反向延长线经过虚焦点） 14．（25-26七年级下·山西运城·课后作业）如图，直线，射线与交于点，为上一点，连接，为上一点，过点作，连接．若，，则 ． 15．（24-25七年级下·陕西渭南·期中）如图，在四边形中，，点在的延长线上，连接交于点，，点在上，连接，已知，下列结论：①与互为同位角；②；③平分；④．其中所有正确结论的序号为 ． 16．（25-26七年级下·湖北恩施·期中）如图，已知． (1)试判断直线与的位置关系； (2)如图2，如果平分，平分，直线相交于点，过点作交直线于点，试证明； (3)在（2）的条件下，若，求的大小． 17．（25-26七年级下·福建泉州·课后作业）如图，分别平分和，垂足为．求的度数． 阅读下面的解答过程，并填空（理由或数学式）． 解：（已知）， ___________． 平分（已知）， ． 同理可得，． （等量代换）， ___________（同位角相等，两直线平行）， （___________）， （已知）， （垂直的定义）， ______（等式的性质）． 18．（25-26七年级下·广东深圳·课后作业）综合与探究 问题情境：如图1，根据光的反射定律，当一束光线照射到平面镜上发生反射现象时，始终有．潜望镜是从海面下伸出海面或从低洼坑道伸出地面，用以窥探海面或地面上活动的装置． (1)操作猜想：如图2，是一个潜望镜的示意图，是两面互相平行的镜面，光线照射到镜面上，反射光线为；照射到镜面上，反射光线为．试判断光线和的位置关系，并说明理由． (2)类比探究：如图3，将两块平面镜的一个端点重合于点B，一束光线照射在镜面上，经过两次反射后得到光线．若，，求及的度数． (3)拓展探究：如图4，光线与光线交于点H．设两面镜子的夹角（），设（）． ①当，时，求的度数； ②直接写出与之间的数量关系． 19．（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·课后作业）如图，直线、被所截，，点是型内部（直线的下边、的上边、的左边）任意一点，连接、． (1)如图1，求证：； (2)如图2，当时，点为射线上一点，连接，过点作交于，交于，请你在备用图中画出相应的图形，探究与、的数量关系，并证明你的结论． 20．（24-25七年级下·福建厦门·课后作业）如图，，直线l与，分别交于点E，F直角三角形的顶点M，N分别在直线，上，． (1)______． (2)如图2，，的角平分线交直线于点． ①若，求证：； ②过点N作交于点Q，连接，补全图形．若，比较线段，的长度，并说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $