精品解析：山东烟台市招远市2025-2026学年第一学期第二学段测试（期末）初三数学试题

2025-2026学年度第一学期第二学段测试 初三数学试题 说明：1．考试时间120分钟，满分120分． 2．考试过程允许学生进行剪、拼、折叠等实验． 一．选择题（本大题共10个小题，每小题3分，满分30分） 1. 2025年山东省文旅产业高质量发展大会以“好客山东德行天下”为主题，于4月24日一25日在德州乐陵成功举办．观察如图所示2025年山东文旅大会标识，下列说法正确的是（　　） A. 是轴对称图形，不是中心对称图形 B. 不是轴对称图形，是中心对称图形 C. 既不是轴对称图形，也不是中心对称图形 D. 既是轴对称图形，也是中心对称图形 2. 多项式中，各项的最大公因式是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，经过平移后得到，下列说法：①；②；③；④和的面积相等；⑤四边形和四边形的面积相等．其中正确的有（ ） A 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 4. 如图，若x为正整数，则表示1﹣的值的点落在（ ） A. 段① B. 段② C. 段③ D. 段④ 5. 如图，在四边形中，，交对角线于点E．若，则（ ） A. B. C. D. 6. 如图，中，，，，将绕点A顺时针旋转得到，连接，则的长为（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 4 7. 在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，沿x轴向右平移后得到，点的对应点是直线上的一点，则点的对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 8. “做数学”可以帮助我们积累数学活动经验，如图，已知三角形纸片，第1次折叠使点B落在边上的点处，折痕交于点D；第2次折叠使点A落在点D处，折痕交于点P，若，则的值为（ ） A. 5 B. 6 C. 8 D. 10 9. 已知：有理数，我们把称为a的差倒数，例如：2的差倒数是的差倒数是．如果，是的差倒数，是的差倒数，是的差倒数，…，依此类推，那么…的值为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，的对角线，交于点，平分交于点，，，连接．下列结论：①；②平分；③；④垂直平分．其中正确的有（ ） A. ①②③ B. ②③④ C. ①③④ D. ①②④ 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分） 11. 分式与的最简公分母为____． 12. 如图是两位学生在探究某多边形的内角和时的一段对话，请根据他们的对话内容判断他们少加的内角的度数为____． 13. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，．若平移点到点，使四边形是平行四边形，则点的坐标是____． 14. 如图，将长为，宽为的长方形先向右平移，再向下平移，得到长方形，则阴影部分的面积为____． 15. 如图，在中，是的中点，是的中点，交于点，若，则的长为____． 16. 如图，点、、、分别在正方形网格格点上，设点的坐标为，B点的坐标为，小明发现，线段与线段存在一种特殊关系，即其中一条线段绕着某点旋转一个角度可以得到另一条线段，则这个旋转中心的坐标是____． 三、解答题（本大题共9个小题，共72分．请在答题卡指定区域内作答．） 17. （1）计算：（解方程） （2）（因式分解） 18. 先化简，再求值：，请自己选取一个你喜欢的a的值代入求得该代数式的值． 19. 下面是小明设计的“过直线外一点作这条直线的平行线”的尺规作图过程． 已知：直线l及直线l外一点P． 求作：直线，使得． 作法：如图， ①任意取一点，使点和点在直线l的两旁； ②以为圆心，的长为半径画弧，交l于点，，连接； ③分别以点，为圆心，以，长为半径画弧，两弧相交于点（点和点在直线的两旁）； ④作直线． 所以直线就是所求作的直线． 根据小明设计的尺规作图过程，解决下列问题： （1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹；可以继续完成小明作图，也可以按照小明的思路在备用图中自主完成） （2）你认为小明的做法正确吗？请说明理由． 20. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，， （1）将绕点顺时针旋转得到，点A、B、C旋转后的对应点分别为，画出旋转后的图形；写出点的坐标是 ；的形状是 ． （2）若将经过平移后得到，点A、B、C平移后的对应点分别为，则线段和的关系是 ； （3）已知P为x轴上一点，若的面积为6，直接写出点的坐标 ． 21. 如图，已知在中，是的角平分线，交于点． （1）求证：； （2）若，，求的度数． 22. 阅读下面材料： 一个含有多个字母的式子中，如果任意交换两个字母的位置，式子的值都不变，这样的式子就叫做对称式，例如：，，…，含有两个字母a，b的对称式的基本对称式是和，像，等对称式都可以用，表示，例如：． 请根据以上材料解决下列问题： （1）式子①；②；③：④中，属于对称式的是 （填序号）； （2）已知． ①若，时，求对称式的值． ②若时，请直接写出对称式的最大值． 23. 点是的边上的一点，连接并延长，使，连接并延长，使，连接，为的中点，连接，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）连接，交于点，若，求的长． 24. 某工厂需制作如图1的竖式与横式两种无盖木箱（单位：），制作木箱需要如图2的的正方形木板和的长方形木板．现工厂采购这两种木板，采购清单如下表．设正方形木板的单价为元/块，已知购买的长方形木板的数量正好是正方形木板的2倍． 采购清单】 单价（元/块） 数量（块） 总价（元） 正方形木板 m ① 150 长方形木板 ② 390 （1）请直接写出清单中①，②处的内容（用含的代数式表示），并求的值． （2）现将购买的木板制作这两种无盖木箱，求两种木箱各做多少个，恰好将木板用完？ 25. 我们已经认识了图形的轴对称、平移和旋转．这是图形的三种基本变换，图形经过这样的变换，虽然位置发生了改变，但图形的形状与大小都不发生变化，反映了图形之间的全等关系．这种运用动态变换研究图形之间的关系的方法是一种重要而且有效的方法，同学们学完了这些知识后，王老师在黑板上给大家出示了这样一道题目： （1）如图1，和均为等边三角形，点，，在同一直线上，连结．试说明：．聪明的小亮很快就找到了解决该问题的方法，请你帮小亮把说理过程补充完整． 解：∵和均为等边三角形， ∴，，（等边三角形的性质） ∴① ；（等式的性质） ∴绕点C按逆时针方向旋转② ，能够与③ 重合． ∴．（旋转变换的性质） ∴（全等三角形对应边相等） 【拓展应用】 （2）当同学们把这道题领会感悟后，王老师又在上题基础上追加了一问：试求度数，聪明的同学们你能解决吗？请写出你的求解过程（此问不用写推理依据）． 【尝试解决】 （3）如图2，和均为等腰直角三角形，，，，点，，在同一直线上，连结，与交于点，点恰好为中点． ①直接写出的度数为 ； ②若，求的面积． 附加题： 26. 当整数m____时，分式的值也为整数． 27. 如图，线段，是线段上的动点，以，为边在上方作正和正，的周长的最小值为____． 28. 如图，在中，，，为的角平分线，为边上的中点，为边上一点，将沿翻折，使点的对应点恰好落在角平分线上，连接并延长交于点，若，则点到的距离为_____． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第一学期第二学段测试 初三数学试题 说明：1．考试时间120分钟，满分120分． 2．考试过程允许学生进行剪、拼、折叠等实验． 一．选择题（本大题共10个小题，每小题3分，满分30分） 1. 2025年山东省文旅产业高质量发展大会以“好客山东德行天下”为主题，于4月24日一25日在德州乐陵成功举办．观察如图所示2025年山东文旅大会标识，下列说法正确的是（　　） A. 是轴对称图形，不是中心对称图形 B. 不是轴对称图形，是中心对称图形 C. 既不是轴对称图形，也不是中心对称图形 D. 既是轴对称图形，也是中心对称图形 【答案】C 【解析】 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．据此即可判断． 【详解】解：2025年山东文旅大会标识，既不是轴对称图形，也不是中心对称图形， 故选：C． 2. 多项式中，各项的最大公因式是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了多项式的最大公因式． 根据最大公因式的定义，先确定各项系数的最大公约数，再确定各项都含有的字母的最低次幂，结合选项判断即可． 【详解】解：∵多项式各项系数6、12、的绝对值的最大公约数是3，各项都含有的字母为a、b，a的最低次幂是2，b的最低次幂是1， ∴该多项式的最大公因式可以为， 故选：B 3. 如图，经过平移后得到，下列说法：①；②；③；④和的面积相等；⑤四边形和四边形的面积相等．其中正确的有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查的是图形的平移，根据平移的性质逐一判断即可． 【详解】解：经过平移后得到， ∴，故①正确； ，故②不正确； ，故③正确； 和的面积相等，故④正确； 四边形和四边形都是平行四边形，且，即两个平行四边形的底相等，但高不一定相等， ∴四边形和四边形的面积不一定相等，故⑤不正确； 综上：正确的有3个 故选：B． 4. 如图，若x为正整数，则表示1﹣的值的点落在（ ） A. 段① B. 段② C. 段③ D. 段④ 【答案】B 【解析】 【分析】根据分式的减法运算进行计算化简，然后取特殊值即可求解． 【详解】解：∵，且为正整数， 取时，， ∴表示1﹣的值的点落在段②， 故选：B． 【点睛】本题考查了分式的减法运算，正确的化简是解题的关键是解题的关键． 5. 如图，在四边形中，，交对角线于点E．若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形外角的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据两直线平行，内错角相等可知，结合和三角形外角的性质可知即可得到答案． 【详解】解：，， ， ， ， ． 故选：B． 6. 如图，中，，，，将绕点A顺时针旋转得到，连接，则的长为（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．由勾股定理可求，由旋转的性质可得，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵将绕点A顺时针旋转得到， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 故选：C． 7. 在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，沿x轴向右平移后得到，点的对应点是直线上的一点，则点的对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了正比例函数、点坐标的平移变换，熟练掌握点坐标的平移变换是解题关键． 先根据平移的性质求出点的纵坐标为6，代入可得点的坐标，从而可得平移距离，再根据点坐标的平移变换规律即可得． 【详解】解：将沿轴向右平移后得到，且点的坐标为， 点的纵坐标为6， 当时，， 解得， ， 将沿轴向右平移个单位长度后得到， 平移后，点与点是对应点，且点的坐标为， ，即． 故选：C 8. “做数学”可以帮助我们积累数学活动经验，如图，已知三角形纸片，第1次折叠使点B落在边上的点处，折痕交于点D；第2次折叠使点A落在点D处，折痕交于点P，若，则的值为（ ） A. 5 B. 6 C. 8 D. 10 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了折叠几何图形的性质和中位线定理的应用，通过折叠可判断，根据平行线分线段成比例可得出，，然后根据三角形的中位线定理求解即可． 【详解】解：∵已知三角形纸片，第1次折叠使点B落在边上的点处，折痕交于点D， ∴，， ∵第2次折叠使点A落在点D处，折痕交于点P， ∴，， ∴， ∴ ∴，， ∴是的中位线，是的中位线， ∴，， ∵， ∴， 故选：A． 9. 已知：有理数，我们把称为a的差倒数，例如：2的差倒数是的差倒数是．如果，是的差倒数，是的差倒数，是的差倒数，…，依此类推，那么…的值为（ ） A B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查数字的变化规律．先根据差倒数的定义求出数列前几项，找出循环周期，再结合周期计算总乘积． 【详解】解： ∴数列以，，为周期循环，周期为3， ∵每个周期内三个数的乘积为， 又∵，即2026个数包含675个完整周期，余下1个数，该数为 ∴总乘积为 故选A 10. 如图，的对角线，交于点，平分交于点，，，连接．下列结论：①；②平分；③；④垂直平分．其中正确的有（ ） A. ①②③ B. ②③④ C. ①③④ D. ①②④ 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，等边三角形的判定与性质，角平分线的性质和垂直平分线的判定的知识，掌握以上知识是解题的关键． 本题先证得是等边三角形，由等边三角形的性质得出，，求得，即，即可得到，可以判断①正确；依据，，可得②正确；假设③正确，那么，即，那么不能构成，可判断③错误； 根据点是的中点，点是的中点，进而得出是的中位线，则可得出，可判断④正确；然后即可求解． 【详解】解：在中， ，，平分，点是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∴点是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故①正确，符合题意； ∵，， ∴， ∴平分， 故②正确，符合题意； 已知：，， 假设③正确，那么， 即，那么不能构成， ∴③错误，不符合题意； ∵点是的中点，点是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∴， ∵点是的中点， ∴垂直平分， 故④正确，符合题意； 综上所述，正确的为①②④， 故选：D． 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分） 11. 分式与的最简公分母为____． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了分式的最简公分母，掌握将所有多项式的分母分解因式，所有不同因式的乘积组成了分式的最简公分母是解题的关键．对分母进行因式分解，找到不同因式的乘积解题即可． 【详解】解：，， ∴分式与的最简公分母是， 故答案为：． 12. 如图是两位学生在探究某多边形的内角和时的一段对话，请根据他们的对话内容判断他们少加的内角的度数为____． 【答案】##105度 【解析】 【分析】本题考查了多边形内角和定理，先根据多边形内角和公式，确定内角和的范围，再通过计算找到符合条件的边数及少加的内角度数． 【详解】解：∵， 又∵少加了一个内角， ∴多边形的边数是：， ∴他们在求九边形的内角和， ∴，少加的内角为， 故答案为：． 13. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，．若平移点到点，使四边形是平行四边形，则点的坐标是____． 【答案】 【解析】 【分析】根据平行四边形的判定得到需将点向右平移的长度得到点． 【详解】解：∵， ∴， ∴要使四边形是平行四边形，需将点向右平移的长度得到点， ∴点的坐标是． 14. 如图，将长为，宽为的长方形先向右平移，再向下平移，得到长方形，则阴影部分的面积为____． 【答案】44 【解析】 【分析】本题考查平移的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 利用平移的性质求出空白部分长方形的长，宽即可解决问题． 【详解】解：由题意，空白部分是长方形，长为，宽为， ∴阴影部分的面积． 故答案为：44． 15. 如图，在中，是的中点，是的中点，交于点，若，则的长为____． 【答案】3 【解析】 【分析】本题主要涉及平行四边形的性质与判定以及三角形中位线定理，取的中点，连接构造中位线，利用中位线性质和平行四边形性质得到新的平行四边形，进而得出线段之间的关系，最后根据已知线段长度求出． 【详解】解：取的中点，连接，如图， 是的中点，是的中点， 是的中位线， 平行于，， ∵四边形是平行四边形， ，平行于， 是的中点， ， 平行于，， ∴四边形是平行四边形， ， ，是的中点， ， ． 故答案为：3． 16. 如图，点、、、分别在正方形网格的格点上，设点的坐标为，B点的坐标为，小明发现，线段与线段存在一种特殊关系，即其中一条线段绕着某点旋转一个角度可以得到另一条线段，则这个旋转中心的坐标是____． 【答案】或 【解析】 【分析】分点A的对应点为C或D两种情况考虑：①当点A的对应点为点C时， 连接， 分别作线段的垂直平分线交于点E， 点E即为旋转中心；②当点A的对应点为点D时， 连接，分别作线段的垂直平分线交于点M， 点M即为旋转中心． 【详解】解：①当点A的对应点为点C时，连接，分别作线段的垂直平分线交于点E，如图1所示， 点的坐标为，B点的坐标为， E点的坐标为； ②当点A的对应点为点D时，连接，分别作线段的垂直平分线交于点M，如图2所示， 点的坐标为，B点的坐标为， M点的坐标为． 综上所述：这个旋转中心的坐标为或． 【点睛】利用分类讨论的思想方法，理解对应点连线的线段垂直平分线的交点就是旋转中心是解题的关键． 三、解答题（本大题共9个小题，共72分．请在答题卡指定区域内作答．） 17. （1）计算：（解方程） （2）（因式分解） 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程与因式分解． （1）方程两边乘，化为整式方程，解方程并检验，即可求解； （2）先提公因式，再根据平方差公式因式分解，即可求解． 【详解】解：（1）整理得： 方程两边乘，得：， 解得：， 检验：当时，， 所以，原分式方程的解为； （2） 18. 先化简，再求值：，请自己选取一个你喜欢a的值代入求得该代数式的值． 【答案】化简为，当时，值为 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值．原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把的值代入计算即可求出值． 【详解】解： ， 当时，原式． 19. 下面是小明设计的“过直线外一点作这条直线的平行线”的尺规作图过程． 已知：直线l及直线l外一点P． 求作：直线，使得． 作法：如图， ①任意取一点，使点和点在直线l的两旁； ②以为圆心，的长为半径画弧，交l于点，，连接； ③分别以点，为圆心，以，长为半径画弧，两弧相交于点（点和点在直线的两旁）； ④作直线． 所以直线就是所求作的直线． 根据小明设计的尺规作图过程，解决下列问题： （1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹；可以继续完成小明的作图，也可以按照小明的思路在备用图中自主完成） （2）你认为小明的做法正确吗？请说明理由． 【答案】（1）画图见解析 （2）正确，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了作图中的复杂作图：复杂作图一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，即可求解． （1）利用作法补全图形； （2）根据两组对边分别相等判定四边形是平行四边形，然后根据平行四边形的性质，即可求解． 【小问1详解】 解：补全图形如图所示： ； 【小问2详解】 解：小明的做法正确，理由： 连接， 由（1）中作图易得：，， ∴四边形是平行四边形， ； 20. 如图，在平面直角坐标系中，顶点坐标分别为，， （1）将绕点顺时针旋转得到，点A、B、C旋转后的对应点分别为，画出旋转后的图形；写出点的坐标是 ；的形状是 ． （2）若将经过平移后得到，点A、B、C平移后的对应点分别为，则线段和的关系是 ； （3）已知P为x轴上一点，若的面积为6，直接写出点的坐标 ． 【答案】（1）作图见解析，点的坐标为；是等腰直角三角形 （2）且 （3）或 【解析】 【分析】（1）利用绕原点顺时针旋转的点的坐标写出的坐标，从而得到； （2）利用点平移的坐标特征写出的坐标，从而得到； （3）设,则，利用三角形的面积公式求出x的值，即得点P的坐标． 【小问1详解】 解：将绕点顺时针旋转90°得到， 点A、B、C旋转后的对应点分别为， 点的坐标是； 的形状是等腰直角三角形． ；等腰直角三角形． 【小问2详解】 解：将经过平移后得到， 点A、B、C平移后的对应点分别为， 则线段和的关系是且． 故答案为：且． 【小问3详解】 解：∵P为x轴上一点， ∴设， 则， ∵的面积为6，， ∴， ∴， ∴， ∴， 当时， ， 当时， ， ∴点的坐标为或． 故答案为：或． 【点睛】本题考查了网格作图，熟练掌握旋转的性质，平移性质，三角形面积公式，分类讨论，是解题的关键． 21. 如图，已知在中，是的角平分线，交于点． （1）求证：； （2）若，，求的度数． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，等腰三角形的判定与性质，三角形的内角和定理； （1）由平行四边形的性质可得，结合角平分线的性质可得，因此命题得证； （2）结合（1）的结论，容易证明，则，根据“两直线平行，内错角相等”可得． 【小问1详解】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 又∵是的角平分线， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：由（1）可知， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 22. 阅读下面材料： 一个含有多个字母的式子中，如果任意交换两个字母的位置，式子的值都不变，这样的式子就叫做对称式，例如：，，…，含有两个字母a，b的对称式的基本对称式是和，像，等对称式都可以用，表示，例如：． 请根据以上材料解决下列问题： （1）式子①；②；③：④中，属于对称式的是 （填序号）； （2）已知． ①若，时，求对称式的值． ②若时，请直接写出对称式的最大值． 【答案】（1）①③④ （2）①；② 【解析】 【分析】本题考查了新定义的意义，整式、分式的化简求值以及二次函数的最值求法． （1）根据新定义的“对称式”的定义进行判断，作出选择； （2）已知，则，， ①，，利用整式变形可求出的值； ②时，即，由可以求出的最大值． 【小问1详解】 解：根据“对称式”的定义，式子①，③，④，属于对称式， 故答案为：①③④． 【小问2详解】 解：∵， ∴，， ①当，时，即，， ∴； ②当时，即， ， ∴对称式的最大值为． 23. 点是的边上的一点，连接并延长，使，连接并延长，使，连接，为的中点，连接，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）连接，交于点，若，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）10 【解析】 【分析】（1）根据三角形中位线定理和平行四边形的性质证明，，由“对边平行且相等的四边形为平行四边形”即可得到结论； （2）连接，证明四边形是平行四边形，根据平行四边形的对角线相互平分，即可得到的长． 【小问1详解】 证明：∵，， ∴为的中位线， ，， ∵点F为的中点， ∴， ∴， ∵四边形为平行四边形， ，， ，， ∴四边形为平行四边形； 【小问2详解】 解：连接， ，， ∴是的中位线， ， ， 又， ∴四边形是平行四边形， ， ． 24. 某工厂需制作如图1的竖式与横式两种无盖木箱（单位：），制作木箱需要如图2的的正方形木板和的长方形木板．现工厂采购这两种木板，采购清单如下表．设正方形木板的单价为元/块，已知购买的长方形木板的数量正好是正方形木板的2倍． 【采购清单】 单价（元/块） 数量（块） 总价（元） 正方形木板 m ① 150 长方形木板 ② 390 （1）请直接写出清单中①，②处的内容（用含的代数式表示），并求的值． （2）现将购买的木板制作这两种无盖木箱，求两种木箱各做多少个，恰好将木板用完？ 【答案】（1）；；10 （2）制作竖式木箱3个，横式木箱6个，恰好将木板用完 【解析】 【分析】本题考查了分式方程和二元一次方程组的应用： （1）根据“数量总价单价”分别表示出正方形木板和长方形木板的数量，再结合两者数量关系列出分式方程求解； （2）先根据第（1）问算出正方形木板块、长方形木板块，再根据两种木箱的用料，列出方程组求解，就能得到各自的制作数量． 【小问1详解】 解：①处为：；②处为：； 由题意得：， 解得：， 经检验可知：是原分式方程的解， 的值为10 【小问2详解】 解：由（1）可知，； 即正方形木板有15块，长方形木板共有30块， 设制作竖式木箱个，横式木箱个， 由题意得：， 解得：， 答：制作竖式木箱3个，横式木箱6个，恰好将木板用完． 25. 我们已经认识了图形的轴对称、平移和旋转．这是图形的三种基本变换，图形经过这样的变换，虽然位置发生了改变，但图形的形状与大小都不发生变化，反映了图形之间的全等关系．这种运用动态变换研究图形之间的关系的方法是一种重要而且有效的方法，同学们学完了这些知识后，王老师在黑板上给大家出示了这样一道题目： （1）如图1，和均为等边三角形，点，，在同一直线上，连结．试说明：．聪明的小亮很快就找到了解决该问题的方法，请你帮小亮把说理过程补充完整． 解：∵和均为等边三角形， ∴，，（等边三角形的性质） ∴① ；（等式的性质） ∴绕点C按逆时针方向旋转② ，能够与③ 重合． ∴．（旋转变换的性质） ∴（全等三角形对应边相等） 拓展应用】 （2）当同学们把这道题领会感悟后，王老师又在上题基础上追加了一问：试求的度数，聪明的同学们你能解决吗？请写出你的求解过程（此问不用写推理依据）． 【尝试解决】 （3）如图2，和均为等腰直角三角形，，，，点，，在同一直线上，连结，与交于点，点恰好为中点． ①直接写出的度数为 ； ②若，求的面积． 【答案】（1）①；②；③；（2），过程见解析；（3）①，②18 【解析】 【分析】（1）利用旋转变换的性质解决问题即可； （2）利用全等三角形的性质解决问题即可． （3）①利用等腰直角三角形的性质与全等三角形的判定和性质即可得到答案；②过点作，垂足为点，利用全等三角形的判定和性质、三角形的面积等知识即可求出答案． 【详解】解：（1）∵和均为等边三角形， ∴，，（等边三角形的性质） ∴；（等式的性质） ∴绕点C按逆时针方向旋转，能够与重合． ∴．（旋转变换的性质） ∴（全等三角形对应边相等）； （2）为等边三角形， ， ， 由（1）可知：， ， ， （3）①解：∵和均为等腰直角三角形，， ， ， ∵由（1）得：， ， ； ②过点作，垂足为点， ， ，， ， ， ， 为中点， ， 由①得：， 又， ， ∴，， ∴． 附加题： 26. 当整数m____时，分式的值也为整数． 【答案】1或或2或 【解析】 【分析】此题考查分式的值． 先将分式分离常数，根据分式值为整数的条件，确定分母是6的整数约数，再通过解方程求出整数m的值． 【详解】解： ∵m为整数，分式的值也为整数． ∴是整数， ∵是奇数， ∴或， 解得整数1或0或2或， 故答案为：或或2或 27. 如图，线段，是线段上动点，以，为边在上方作正和正，的周长的最小值为____． 【答案】15 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质、轴对称的性质以及动点最值问题，作关于的垂线，设垂足为，易得，当点与点重合时取等，据此求解． 【详解】解：延长交于点，作关于的垂线，设垂足为， 则， 由题可知，， ， 当点与点重合时取等， 即周长最小值为． 故答案为：15． 28. 如图，在中，，，为的角平分线，为边上的中点，为边上一点，将沿翻折，使点的对应点恰好落在角平分线上，连接并延长交于点，若，则点到的距离为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了折叠的性质，等腰三角形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，直角三角形的特征等；由折叠的性质及等腰三角形的性质证明，再由可判定，由全等三角形的性质得，是的垂直平分线，进而得和是等腰直角三角形，由等腰三角形的性质得，，在中由直角三角形性质求出，由即可求解； 掌握判定方法及性质，能根据题意作出恰当的辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，过作交于，连接， ， ， 为的角平分线， ， 由翻折得：， ， ， 是的中点， ， ， ， 在和中 ， ， ， 是的垂直平分线， ∴， ∵， ，， ∴， ，， 和是等腰直角三角形，是等腰三角形， ， ∵，，， ， ， 故答案为： 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $