第二章 相交线与平行线重难点检测卷 -2025-2026学年七年级数学下册重难点专题提升讲练（北师大版）

第二章 相交线与平行线重难点检测卷 （满分120分，考试时间120分钟，共28题） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：相交线与平行线全章内容； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 1、 选择题（10小题，每小题3分，共30分） 1．（25-26七年级下·重庆·月考）下列说法正确的是（   ） A．不相交的两条直线叫做平行线 B．若，则点B为线段的中点 C．直线外一点到这条直线的垂线段叫做点到直线的距离 D．同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 2．（25-26七年级下·山西运城·月考）如图，直线与相交于点，是的平分线．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级下·广东揭阳·期末）如图，已知，OC是内任意一条射线，OB、OD分别平分、，下列结论：①；②；③；④，其中正确的有（   ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 4．（24-25七年级下·全国·单元测试）下列说法中，正确的个数是（    ） ①在同一平面内，不重合的任意两条直线的位置关系不是相交就是平行； ②过一点有且只有一条直线与已知直线平行； ③过两条直线，外一点，画直线，使，且； ④若直线，，则． A．4 B．3 C．2 D．1 5．（24-25七年级下·河北保定·期末）如图，分别平分与，且．证明．下面是不完整的推理过程， 证明：分别平分与（已知）， ___________（角平分线的定义）， （已知）， _________（等量代换）， （已知）， _________， ． 下列说法错误的是（    ） A．☆表示 B．表示 C．表示 D．表示内错角相等，两直线平行 6．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）如图，将一直角三角尺与纸条叠放一起，下列条件不能说明纸条上下两边平行的是（    ） A． B． C． D． 7．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）如图，在中，过点作，点是内一点，连接，过点作，交于点，已知，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 8．（25-26七年级下·重庆·月考）如图，已知，点G在射线的上方且满足，点H在射线的反向延长线上，满足，若，则与的数量关系是（   ） A． B． C． D． 9．（24-25七年级下·湖北武汉·月考）如图所示，长方形纸带，将纸带沿折叠成图2，再沿折叠成图3，则图3中的的度数是（　　） A． B． C． D． 10．（25-26七年级下·广东广州·月考）如图，已知直线被直线所截，，是平面内任意一点（点不在直线上），设，．下列各式：①；②；③；④，的度数可能是（  ） A．②③④ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 第II卷（非选择题） 二、填空题（8小题，每小题3分，共24分） 1．（25-26七年级下·江苏宿迁·月考）如图，直线与交于点O，平分，，，那么 °． 2．（26-27七年级下·安徽淮南·月考）如图，，射线在的内部，且．射线在的内部，平分． （1）的度数为 ； （2）若与互余，则的度数为 ． 3．（2023七年级下·全国·专题练习）（1）如图，直线，被所截，则和 是同位角，和 是内错角，和 是同旁内角； （2）在（1）中，如果，那么的推理过程如下，请在括号内注明理由： 因为( )， ( )， 所以( )    4．（2026七年级下·全国·专题练习）小可在纸上画了25条直线，，…，．若，，，，…．照此规律，则与的位置关系为 ． 5．（24-25七年级下·浙江绍兴·期中）数学课上同学们以“平行中的数量关系”为主题开展数学活动，如图所示，已知，其中、分别为、的平分线，且相交于点．若， ，则和间的数量关系为 ． 6．（25-26七年级下·全国·课后作业）光线从水中射向空气时，会发生折射，由于折射率相同，所以光线在水中是平行的，在空气中也是平行的．如图，一个透明的玻璃杯放在水平桌面上，玻璃杯上方的虚线与水面平行．若，则 ． 7．（25-26七年级下·重庆万州·月考）如图，点，分别是，上的点，点在，之间，连接并延长至点．点是下方一点，连接，，若平分，平分，，则 ． 8．（24-25七年级下·四川南充·月考）如图，与交于点E，点G在直线上，，，，下列四个结论：①；②；③；④．其中错误的结论是 （填序号）． 三、解答题（10小题，共66分） 1．（22-23七年级下·福建莆田·期中）如图，直线， 相交于点O，为内部一条射线，且． (1)若，求的度数． (2)若，平分，则 是的平分线吗？请说明理由． (3)若，则是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由． 2．（25-26七年级下·河南商丘·月考）如图，将两块直角三角尺的顶点叠放在一起． (1)若，求的度数； (2)比较与的大小，并说明理由． 3．（25-26七年级下·江苏淮安·月考）作图题（用无刻度的直尺作图） 如图，已知网格上三点，，，按要求完成下列问题 (1)画出直线，射线． (2)过点画直线的垂线，垂足为；同时过点作出的平行线． (3)比较和的大小：_____，理由是_____； 4．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，直线，，两两相交．请分别指出图中，，，中的同位角、内错角和同旁内角，并任选一对角，说明它们是由哪两条直线被哪一条直线所截得到的． 5．（25-26七年级下·广东茂名·月考）如图，直线AF、DE，射线平分∠ABD交DE于点C． (1)若∠DBF=54°，求∠2的度数； (2)若．请说明：AB//CD． 6．（24-25七年级下·浙江绍兴·月考）如图，已知，，点是射线上一动点（与点不重合），，分别平分和，分别交射线于点，． (1)__________； (2)当时，求的度数； (3)当点在射线上运动时，与存在怎样的数量关系？请说明理由． 7．（25-26七年级下·贵州六盘水·月考）已知：如图1，直线与直线分别相交于点，且，将含的直角三角板的直角顶点放置在直线上的点处，一边在直线上，另一边在直线的下方． (1)观察·思考 直接写出图1中__________，线段与直线的位置关系是__________； (2)操作・思考 将图1中的三角板绕点逆时针旋转到如图2所示的位置，使三角板的一边恰好平分，求证：平分； (3)联系拓广 将图1中的三角板按每秒的速度绕点逆时针旋转一周，在旋转过程中，第秒时，该三角板的一边恰好与直线平行，求此时的值． 8．（25-26七年级下·吉林长春·月考）将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点C按如图方式叠放在一起（其中，，，）． (1)若，则______； (2)若点E在的上方，设，则______（用含的式子表示）； (3)当且点E在直线的上方时，将三角尺固定不动，改变三角尺的位置，但始终保持两个三角尺的顶点C重合． ①当（如图2）时，直接写出______； ②当时，直接写出______； (4) 在（3）的条件下，当且点E在直线的上方，（3）中的两种情况除外，这两块三角板是否还存在一组边互相平行，若存在，请直接写出此时所有可能的角度数值为______，若不存在，请说明理由． 9．（24-25七年级下·浙江湖州·月考）如图，、和被所截，已知，平分交于点G． (1)如图1，，，，试判断与的位置关并说明理由； (2)如图2，已知． ①若，，求的度数； ②试探索、与之间的数量关系． 10．（25-26七年级下·江苏南京·月考）如图，方格纸中每个小正方形都是1，点A、B、C、E是方格纸中的格点（即小正方形的顶点）． (1)过点E画的垂线，垂足为M； (2)画，使得，； (3)与的数量关系是 ． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 相交线与平行线重难点检测卷 （满分120分，考试时间120分钟，共28题） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：相交线与平行线全章内容； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 1、 选择题（10小题，每小题3分，共30分） 1．（25-26七年级下·重庆·月考）下列说法正确的是（   ） A．不相交的两条直线叫做平行线 B．若，则点B为线段的中点 C．直线外一点到这条直线的垂线段叫做点到直线的距离 D．同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 【答案】D 【分析】本题考查平行线的定义、线段中点的条件、点到直线的距离的概念以及垂线的性质，根据平行线的定义、线段中点的条件、点到直线的距离的概念以及垂线的性质分别判断即可． 【详解】解：∵平行线定义要求在同一平面内，不相交的两条直线可能不在同一平面，∴A错误； ∵点B可能不在线段上，∴B错误； ∵点到直线的距离是垂线段的长度，而非垂线段本身，∴C错误； ∵在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，∴D正确； 故选：D． 2．（25-26七年级下·山西运城·月考）如图，直线与相交于点，是的平分线．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了对顶角相等，角平分线的定义，首先求出，然后根据角平分线的定义求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵是的平分线， ∴． 故选：C． 3．（25-26七年级下·广东揭阳·期末）如图，已知，OC是内任意一条射线，OB、OD分别平分、，下列结论：①；②；③；④，其中正确的有（   ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题主要考查角平分线的定义及角的和差关系，通过角平分线的定义得到相等的角，再结合，对每个结论逐一进行推导验证． 【详解】解：∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴，， ∴，，故①②正确； ， ∴，显然，故③错误； ∵， ∴， 又∵， ∴，故④正确； 综上，①②④正确，共3个， 故选：C． 4．（24-25七年级下·全国·单元测试）下列说法中，正确的个数是（    ） ①在同一平面内，不重合的任意两条直线的位置关系不是相交就是平行； ②过一点有且只有一条直线与已知直线平行； ③过两条直线，外一点，画直线，使，且； ④若直线，，则． A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】此题考查了平行线的判定与性质、平行公理及推论等知识，熟记平行线的判定与性质、平行公理及推论是解题的关键．根据平行线的判定与性质、平行公理及推论、两条直线的位置关系等知识判断求解即可． 【详解】解：在同一平面内，不重合的任意两条直线的位置关系不是相交就是平行， 故①正确，符合题意； 过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行， 故②错误，不符合题意； 过两条直线，外一点，画直线，使，且； 只有当时，才能画出这样的直线，若与相交，则无法画出，所以原说法错误， 故③错误，不符合题意； 若直线，，则． 故④正确，符合题意； 综上，正确的有2个， 故选：C． 5．（24-25七年级下·河北保定·期末）如图，分别平分与，且．证明．下面是不完整的推理过程， 证明：分别平分与（已知）， ___________（角平分线的定义）， （已知）， _________（等量代换）， （已知）， _________， ． 下列说法错误的是（    ） A．☆表示 B．表示 C．表示 D．表示内错角相等，两直线平行 【答案】C 【分析】本题考查的是平行线的判定，角平分线的定义，根据题干信息的提示逐步完善推理过程与依据即可得到答案. 【详解】解：分别平分与（已知）， ，A不符合题意； （已知）， ，B不符合题意； （已知）， ，C符合题意； （内错角相等，两直线平行），D不符合题意； 故选：C 6．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）如图，将一直角三角尺与纸条叠放一起，下列条件不能说明纸条上下两边平行的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的判定，同角的余角相等，对顶角相等，根据平行线的判定方法逐一排除即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图， 、∵， ∴，原选项不符合题意； 、∵，， ∴， ∴，原选项不符合题意； 、由，不能判定，原选项符合题意； 、∵， ∴，原选项不符合题意； 故选：． 7．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）如图，在中，过点作，点是内一点，连接，过点作，交于点，已知，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质，角的和差的知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据内错角相等可得，同旁内角互补可得，再根据角的和差可得． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故选：B． 8．（25-26七年级下·重庆·月考）如图，已知，点G在射线的上方且满足，点H在射线的反向延长线上，满足，若，则与的数量关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查平行线的性质，延长交于点，过点作的平行线，交于点，过点作的平行线，交于点，设，则，设，则，根据题意可知，，，，互相平行，用只含有，，的代数式表示出与即可． 【详解】如图所示，延长交于点，过点作的平行线，交于点，过点作的平行线，交于点． 设，则，设，则． 根据题意可知，，，，互相平行． ∵，， ∴． 同理，根据平行线的性质，可得，，． ∴，． ∴，． ∴． ∴． 故选：B 9．（24-25七年级下·湖北武汉·月考）如图所示，长方形纸带，将纸带沿折叠成图2，再沿折叠成图3，则图3中的的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】长方形纸带隐含的条件，通过平行得到和的度数，再通过折叠前后，角的度数不变，得到折叠后对应角的度数，计算即可． 【详解】解：由题意，得， ∴，， ∴，， 图2中，由折叠，可知， ∴， 图3中，由折叠，可知， ∴， 故选：A． 10．（25-26七年级下·广东广州·月考）如图，已知直线被直线所截，，是平面内任意一点（点不在直线上），设，．下列各式：①；②；③；④，的度数可能是（  ） A．②③④ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】本题主要考查平行线的性质的运用，解题时注意两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等以及分类讨论．由题意根据点有种可能位置，分情况进行讨论，依据平行线的性质以及三角形内角和定理进行计算求解即可． 【详解】解：第一种情况：如图，由，可得， ∵， ∴； 第二种情况：如图，过作平行线，则由， 可得， ∴； 第三种情况：如图，由，可得， ∵， ∴； 第四种情况：如图，由，可得， ∴； 第五、六种情况：当点在的下方时，同理可得或； 综上所述，的度数可能为，即①②③④． 故选：D． 第II卷（非选择题） 二、填空题（8小题，每小题3分，共24分） 1．（25-26七年级下·江苏宿迁·月考）如图，直线与交于点O，平分，，，那么 °． 【答案】52 【分析】根据垂直的定义可得，，又由可得，由角平分线的定义可得，则可得，由对顶角的性质可得．本题主要考查了垂直的定义，角平分线的定义，对顶角的性质，以及角的和差．熟练掌握以上知识是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵直线与交于点O， ∴． 故答案为：52． 2．（26-27七年级下·安徽淮南·月考）如图，，射线在的内部，且．射线在的内部，平分． （1）的度数为 ； （2）若与互余，则的度数为 ． 【答案】 /15度 /25度 【分析】本题考查了与角平分线有关的角的计算；解题的关键是熟练掌握相关概念正确计算． （1）结合题意根据角的计算可得，代入求解即可； （2）结合角平分线的定义可得即，结合与互余，可求解． 【详解】解：（1）， ， ， ， ， 故答案为：； （2）平分， ， ， 与互余， ， 即， ， 故答案为：． 3．（2023七年级下·全国·专题练习）（1）如图，直线，被所截，则和 是同位角，和 是内错角，和 是同旁内角； （2）在（1）中，如果，那么的推理过程如下，请在括号内注明理由： 因为( )， ( )， 所以( )    【答案】 已知 对顶角相等 等量代换 【分析】根据对顶角、同位角、内错角及同旁内角的定义，解答即可． 【详解】如图，直线，被所截，则和是同位角，和是内错角，和是同旁内角； （2）在（1）中，如果，那么的推理过程如下，请在括号内注明理由： 因为（已知）， （对顶角相等）， 所以（等量代换） 故答案为：，，，已知，对顶角相等，等量代换． 【点睛】本题考查了对顶角、同位角、内错角及共旁内角的定义，熟记这些概念，并能熟练应用，是解答这类题目的关键，同时还考查了对顶角相等、等量代换等知识． 4．（2026七年级下·全国·专题练习）小可在纸上画了25条直线，，…，．若，，，，…．照此规律，则与的位置关系为 ． 【答案】平行或重合 【分析】此题考查了平行线与垂线的关系，注意找到规律：四个一循环，是解此题的关键. 首先根据题意判断与，，，的关系，即可得到规律：四个一循环，即可求解. 【详解】解：， ， ， ， ， ， 同理可得：，其中或与或可能重合， 与的位置关系为平行或重合. 故答案为：平行或重合. 5．（24-25七年级下·浙江绍兴·期中）数学课上同学们以“平行中的数量关系”为主题开展数学活动，如图所示，已知，其中、分别为、的平分线，且相交于点．若， ，则和间的数量关系为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查角平分线的定义，平行线的判定和性质，过点作，过点作，可得，设，，根据平行线的性质及角平分线的定义可得，，，进而可得，即可得，据此即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图所示，过点作，过点作， 设，， ∵， ∴， ∴，，，， ∴， 即， ∴， ∵，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵为的平分线，为的平分线， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即 故答案为：． 6．（25-26七年级下·全国·课后作业）光线从水中射向空气时，会发生折射，由于折射率相同，所以光线在水中是平行的，在空气中也是平行的．如图，一个透明的玻璃杯放在水平桌面上，玻璃杯上方的虚线与水面平行．若，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，解题的关键是注意：两直线平行时，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补． 光在水中是平行的光线，在空气中也是平行的，根据平行线的性质将转化为，将转化为，代入数据即可求解． 【详解】解：如图，， ． ， ． ， ． ， ， ． 7．（25-26七年级下·重庆万州·月考）如图，点，分别是，上的点，点在，之间，连接并延长至点．点是下方一点，连接，，若平分，平分，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的有关计算，平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的性质，利用辅助线构造平行线是解题的关键． 过点G作交于点L，令交于点N，则，，，根据角平分线的性质和角平分线的定义，用和表示出和，结合已知条件即可解答． 【详解】解：如图，过点G作交于点L，令交于点N， 设，， ∵平分，平分， ∴，，，， ∴，， ∵，， ∴， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 整理得 ∴， 即． 故答案为：． 8．（24-25七年级下·四川南充·月考）如图，与交于点E，点G在直线上，，，，下列四个结论：①；②；③；④．其中错误的结论是 （填序号）． 【答案】③ 【分析】本题主要考查了根据平行线的判定以及性质，角度的相关计算．由已知条件可得出，过点H作，由平行线的性质可得出②，设，则，，可判断③④． 【详解】解：∵， ∴， ∴①正确； 过点H作， ∵， ∴， ∴，， ∴， 即， ∵， ∴， 即， ∴②正确． 设，则，， 由②知， 作， ， ， ∴，无法判断是否为， ∴③错误； ∴， ∴④正确． 综上所述，错误答案为③． 故答案为：③． 三、解答题（10小题，共66分） 1．（22-23七年级下·福建莆田·期中）如图，直线， 相交于点O，为内部一条射线，且． (1)若，求的度数． (2)若，平分，则 是的平分线吗？请说明理由． (3)若，则是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)是，理由见解析 (3)定值， 【分析】（1）根据对顶角可知,然后根据比例关系即可求解； （2）结合（1）的结论，求出，然后再求即可判断； （3）设未知数，列方程，根据等量关系即可求解． 本题考查了角度的和差倍分关系，角平分线的定义，关键是掌握对顶角相等，角平分线的意义，用代数式表示角的和差倍分关系是解题关键． 【详解】（1）解：,, , ∵， ; 故答案为：． （2）解：由（1）知当，， , ∵平分， , , 是的平分线． （3）解：设，则， ∵， , , , , ． 故答案为：定值， 2．（25-26七年级下·河南商丘·月考）如图，将两块直角三角尺的顶点叠放在一起． (1)若，求的度数； (2)比较与的大小，并说明理由． 【答案】(1) (2)，见解析 【分析】本题主要考查余角的定义，三角板中角度的计算等知识，解决本题的关键是理解重叠的部分实质是两个角的重叠． （1）根据角的和差关系进行计算即可； （2）根据角的和差关系进行计算即可． 【详解】（1）解：，， ． 答：的度数为． （2）解：． 理由如下： 因为， 所以，． 所以． 3．（25-26七年级下·江苏淮安·月考）作图题（用无刻度的直尺作图） 如图，已知网格上三点，，，按要求完成下列问题 (1)画出直线，射线． (2)过点画直线的垂线，垂足为；同时过点作出的平行线． (3)比较和的大小：_____，理由是_____； 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3)>，垂线段最短 【分析】本题考查了画直线，射线，网格作图，垂线段最短，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据直线，射线的定义进行作图即可； （2）结合网格的特征，以及两点确定一条直线，进行作图即可； （3）运用垂线段最短进行分析，即可作答． 【详解】（1）解：直线，射线如图所示： （2）解：直线的垂线，的平行线，如图所示． （3）解：依题意，由（2）得， ∴，理由是垂线段最短． 4．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，直线，，两两相交．请分别指出图中，，，中的同位角、内错角和同旁内角，并任选一对角，说明它们是由哪两条直线被哪一条直线所截得到的． 【答案】和是同位角； 和是内错角； 和，和，和是同旁内角； 选和，它们是直线，被直线所截得到的同位角（答案不唯一）． 【分析】本题考查三线八角中的同位角、内错角和同旁内角的识别，掌握好每种角对应的模型是解题关键． 两条直线被第三条直线所截形成的三线八角中，同位角的边构成“F”形，内错角的边构成“Z”形，同旁内角的边构成“U”形，借助模型去一一识别即可． 【详解】解： 和是同位角； 和是内错角； 和，和，和是同旁内角； 选和，它们是直线，被直线所截得到的同位角（答案不唯一）． 5．（25-26七年级下·广东茂名·月考）如图，直线AF、DE，射线平分∠ABD交DE于点C． (1)若∠DBF=54°，求∠2的度数； (2)若．请说明：AB//CD． 【答案】(1)∠2=63° (2)见解析 【分析】（1）根据∠DBF=54°，∠ABD+∠DBF=180°，得到∠ABD=126°，根据平分得到∠2=×126°=63°； (2)根据平分，得到，根据，得到 ，推出． 【详解】（1）（1）∵∠DBF=54°，∠ABD+∠DBF=180° ∴∠ABD=126° ∵平分 ∴∠2=×126°=63°； （2）(2)∵平分 ∴ ∵ 且 ∴ ∴． 【点睛】本题考查了邻补角性质，角平分线性质，对顶角性质，平行线的判定定理，熟练掌握邻补角的和等于180°，角平分线把一个角分成两个相等的角，对顶角相等，同旁内角互补两直线平行，是解决此题的关键． 6．（24-25七年级下·浙江绍兴·月考）如图，已知，，点是射线上一动点（与点不重合），，分别平分和，分别交射线于点，． (1)__________； (2)当时，求的度数； (3)当点在射线上运动时，与存在怎样的数量关系？请说明理由． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查平行线的性质，角平分线的定义， （1）根据两直线平行，同旁内角互补得到，然后根据角平分线的定义得到，，进而根据角的和差解答即可； （2）先根据角的和差求出的度数，然后根据两直线平行，内错角相等解答即可； （3）先根据角的和差求出的度数，然后根据两直线平行，内错角相等解答即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 又∵、平分、， ∴，， ∴， 故答案为：； （2）解：∵， ∴， 又∵， ∴； （3）解：∵， ∴， 又∵， ∴，即． 7．（25-26七年级下·贵州六盘水·月考）已知：如图1，直线与直线分别相交于点，且，将含的直角三角板的直角顶点放置在直线上的点处，一边在直线上，另一边在直线的下方． (1)观察·思考 直接写出图1中__________，线段与直线的位置关系是__________； (2)操作・思考 将图1中的三角板绕点逆时针旋转到如图2所示的位置，使三角板的一边恰好平分，求证：平分； (3)联系拓广 将图1中的三角板按每秒的速度绕点逆时针旋转一周，在旋转过程中，第秒时，该三角板的一边恰好与直线平行，求此时的值． 【答案】(1)， (2)见解析 (3)或 【分析】本题考查平行线的性质，与角平分线有关的计算，熟练掌握平行线的性质是解题的关键： （1）平行线的性质，得到，平角的定义求出的度数，内错角相等，两直线平行，得到线段与直线的位置关系即可； （2）求出，的度数，即可得证； （3）分两种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； 故答案为：，； （2）证明：∵，平分， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴平分； （3）解：当在上方时，如图： ∵， ∴， ∴， ∴旋转角度为， ∴； 当在直线的下方时，如图， ∵， ∴， ∴， ∴旋转角度为， ∴； 综上：或． 8．（25-26七年级下·吉林长春·月考）将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点C按如图方式叠放在一起（其中，，，）． (1)若，则______； (2)若点E在的上方，设，则______（用含的式子表示）； (3)当且点E在直线的上方时，将三角尺固定不动，改变三角尺的位置，但始终保持两个三角尺的顶点C重合． ①当（如图2）时，直接写出______； ②当时，直接写出______； (4)在（3）的条件下，当且点E在直线的上方，（3）中的两种情况除外，这两块三角板是否还存在一组边互相平行，若存在，请直接写出此时所有可能的角度数值为______，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)①② (4)或或 【分析】（1）根据两角互余，可得与的关系，根据角的和差，可得答案； （2）根据同角的余角相等可得与，可得与的关系，根据互余的两角的关系，可得与的关系； （3）①根据两直线平行，内错角相等可得答案；②根据两直线平行，内错角相等得，根据角的和差可得答案； （4）分当时，当时，当时，三种情况进行解答． 【详解】（1）解： ∵， ∴, ． 故答案为：． （2）解： ∵，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． （3）解： ①当时， ∵， ∴， 故答案为：； ②当时，如图， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． （4）解： ①当时， ∵， ∴， ∴； ②当时， ∴； ③当时， 过点C作， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上所述：为或或． 故答案为：或或． 【点睛】本题考查的是直角三角板有关计算．熟练掌握直角三角板性质，平行线的判定与性质，互为余角、互为补角的性质，角的和差计算，是解题的关键． 9．（24-25七年级下·浙江湖州·月考）如图，、和被所截，已知，平分交于点G． (1)如图1，，，，试判断与的位置关并说明理由； (2)如图2，已知． ①若，，求的度数； ②试探索、与之间的数量关系． 【答案】(1)，理由见解析； (2)①；②． 【分析】（1）由可得，则可得，进而可得，．由角平分线的定义可得，进而可得，由可得． （2）①由可得，则可得，．由角平分线的定义可得，则可得，由，，可得，，则可得． ②由可得，则可得，由角平分线的定义可得，进而可得，由，可得． 【详解】（1）解：，理由如下： ， ， ， ， ， ， ， 平分， ， ， 又， ， ． （2）①解：， ， ， ， ， 平分， ， ， ，， ， ， ． ②证明：， ， ， 平分， ， ， ，， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了平行线的判定和性质，角平分线的定义，以及角的和差的计算．熟练掌握以上知识及数形结合的思想是解题的关键． 10．（25-26七年级下·江苏南京·月考）如图，方格纸中每个小正方形都是1，点A、B、C、E是方格纸中的格点（即小正方形的顶点）． (1)过点E画的垂线，垂足为M； (2)画，使得，； (3)与的数量关系是 ． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)或 【分析】本题主要考查了利用网格画平行线，垂线，平移的性质，平行线的性质，熟练的作图是解题的关键． （1）根据网格作垂线方法，由点向下平移1格，再向左平移5格到，连接交于，结合网格特点可得； （2）根据平移的性质，由点向右平移2格，再向上平移2格到，连接，再由点向左平移1格，再向上平移5格到，即为所求，由点向左平移2格，再向下平移2格到，连接，也为所求； （3）将向右平移1格到，向右平移1格到，由平行线的性质可得，，． 【详解】（1）解：如图，即为所求． （2）解：如图，或即为所求． （3）解：如图，将向右平移1格到，向右平移1格到，则， ∵，， ∴，， ∴，，， ∴或， ∴或． 故答案为：或． 学科网（北京）股份有限公司 $