第6章 变量之间的关系 3 用关系式表示变量之间的关系-【支点·同步系列】2025-2026学年七年级下册数学（北师大版·新教材）

3用关系式表示变量之间的关系 要点提示 用关系式表示两个变量之间的关系：两个变量之间的关系有时可以用一个含有两个变量及数学运算符号的等 式来表示，这种表示变量之间关系的等式叫作关系式.关系式可以准确地反映因变量与自变量之间的数值的对 应关系 O1固基础 (2)当底面半径由1cm变化到10cm时，圆 柱的体积增加了 cm3. 知识点用关系式表示变量之间的关系 5.(2025西安期末)我校门口道路中间的隔离 1.为打造良好班风和浓厚学风，数学老师购买 护栏平面示意图如下图所示，假设每根立柱 了5包卡通橡皮和x本笔记本来表彰表现 宽为0.2m,立柱间距为3m,立柱根数x与 优秀的学生.已知卡通橡皮每包12元，笔记 护栏总长度y的关系如下表： 本每本3元，共花y元，则y和x之间的关 立柱根数x 3 4 5 系式是 ( 护栏总长度y/m0.23.46.6 9.813 A.y=5x+6 B.y=12x+30 C.y=3x+12 D.y=3x+60 ∠ 2.清明假期，刘老师乘车从学校到井冈山观赏 映山红，缅怀革命先烈.已知学校距离井冈 山150km,车行驶的平均速度为60km/h, (1)设有x根立柱，护栏总长度为ym,则y xh后刘老师距离井冈山ykm,则y与x 与x之间的关系式为 之间的关系式是 ( A.y=150-60x B.y=150+60x (2)若护栏总长度为125m,求此时立柱的 C.y=60-150x D.y=60+150x 根数， 3.(2025大庆期中)点燃一根蜡烛后，蜡烛的高 度h(单位：cm)与燃烧时间t(单位：min)之 间的关系如下表： 易错点 关系式中自变量与因变量位 t/min 0 2 4 6 10 置颠倒 h/cm 30 29 28 27 26 25 6.已知池中有800m3的水，每小时抽水 写出蜡烛的高度h与燃烧时间t之间的关 50m3. 系式： (1)用关系式表示池中剩余水的体积Q 4.(教材变式)如图，圆柱的高是 (单位：m3)与时间t(单位：h)之间的关 3cm,当圆柱的底面半径r(单 系 位：cm)由小到大变化时，圆柱 (2)6h后池中还有 m°水 的体积V(单位：cm3)也随之发 第4题图 (3)几小时后池中还有200m3水？ 生了变化 (1)在这个变化中，自变量是 因 变量是 下册第六章 02提能力之 …… O3拓思维之 7.如图所示的是1个纸杯和 10.应用意识甲、乙两家蓝莓采摘园的蓝莓品 6个叠放在一起的纸杯的 质相同，销售价格都是每千克30元.蓝莓 示意图，量得1个纸杯的 第7题图 成熟期间，两家均推出了优惠方案， 高度为8cm,6个叠放在一起的纸杯的高度 甲采摘园的优惠方案：游客进园需购买60 为12cm.若n个这样的纸杯按照同样的方 元的门票，采摘的蓝莓六折优惠， 式叠放在一起，总高度（单位：cm)为( 乙采摘园的优惠方案：游客进园不需购买 A.()em B.(.2)cm 门票，采摘的蓝莓超过10kg后，超过部分 五折优惠. C.(8+2n)cm D.(.2+cm 优惠期间，设某游客的蓝莓采摘量为x(单位： kg),在甲采摘园所需总费用为y1(单位：元)， 8.(2025沧州期末)某机床要加工一批机器毛 在乙采摘园所需总费用为y2(单位：元). 绒玩具，每小时加工的件数与加工时间如 下表： (1)当蓝莓采摘量超过10kg时，求y1,y2 与x的关系式 每小时加工件数 3020 18 9 (2)若要采摘40kg蓝莓，去哪家比较合算？ 加工时间/h 12182040 … 请计算说明 用x表示每小时加工毛绒玩具的件数，用y 表示加工时间，用式子表示y与x之间的关 系为 9.(教材变式)如下图，在△ABC中，∠C= 90°，AC=9cm,BC=6cm,点D在AC上 运动，设AD的长为x(单位：cm),△BCD 的面积为y(单位：cm).当x从小到大变化 时，y也随之变化 (1)求出y与x之间的关系式. (2)完成下面的表格， x/cm y/cm 6 (3)当x每增加1cm时，y如何变化？ 76 数学七年级BS版=180°， 所以∠EFB=∠FBC+∠ECB=60° 9.20【解析】因为EF垂直平分AB, 所以AE=BE 因为BE+CE=20,所以AE+CE=20, 即AC=20: 因为AD垂直平分BC, 所以AB=AC=20. 10.A【解析】如图，过点D作 DG⊥AB于点G. 因为AD是∠BAC的平分 线，DE⊥AC,DE=3, 所以DG=DE=3, 所以SAAc=SAABD十S△Mcn=2AB·DG+2AC DE=2(AB+AO·DE=号×4+6)X8=15. 因为F是BC的中点， 1 1 所以S△Arc=2SaAc=2X15=7.5. 11.解：(1)△BCE2△FDE. 理由：因为BC∥AD, 所以∠BCE=∠FDE. 因为E为CD的中点， 所以CE=DE. 又因为∠BEC=∠FED, 所以△BCE≌△FDE(ASA). (2)①由(1)知△BCE≌△FDE, 所以BE=FE,BC=FD. 因为AB=AD+BC, 所以AB=AD十DF, 即AB=AF. 在△ABE与△AFE中， 因为AB=AF,AE=AE,BE=FE, 所以△ABE≌△AFE(SSS), 所以∠AEB=∠AEF=90°， 所以AE⊥BF. ②4 第六章 变量之间的关系 1现实中的变量 1.B2.单价体积、金额 3.解：由图可知，表示了时间与离家的距离两个变量之 间的关系，时间是自变量，离家的距离是因变量. 4.B5.A 6.解：(1)常量：6；自变量：t;因变量：n. (2)常量：0.58；自变量：x;因变量：y 2用表格表示变量之间的关系 1.D 2.(1)50(2)10038 【解析】(2)由表格可知，行驶100km时，油箱剩余油 量为42L,每行驶100km,油量减少8L, 所以行驶150km时，油箱剩余油量为50一150÷100 ×8=38(L). 3.解：由表格可知，从20m到25m,落地时间的增加量 为0.226s,所以从25m到30m,落地时间的增加量 应小于0.226s,即30m时的落地时间应在2.226s到 2.452s之间.故估计从30m处抛下，需2.4s落地. 4.D【解析】A.根据表格可得，当t=25s时，温度计上 的读数是14.0℃，正确，不符合题意； B.当t=10s时，温度计上的读数是31.0℃，正确，不 符合题意： C.温度计上的读数随着时间推移逐渐减小，最后保持 不变，正确，不符合题意； D.依据表格中反映出的规律，t=40s时，温度计上的 读数等于12℃，错误，符合题意， 5.解：(1)xy (2)13 (3)0min<x≤13min13min<x≤20min 3用关系式表示变量之间的关系 1.D2.A 3.h=一2t十30【解析】由表格可得，时间每增加 2min,高度减少1cm,即每分钟高度减少0.5cm.当t =0min时，h=30cm,即蜡烛初始长度为30cm, 所以蜡烛的高度h与燃烧时间t之间的关系式为h= 1 1 30-21=-21+30. 4.(1)rV(2)297π 5.解：(1)y=3(x-1)+0.2x=3.2x-3 (2)当y=125时，125=3.2x-3,解得x=40, 即护栏总长度为125m时，立柱的根数为40. 6.解：(1)Q=800-50t(0≤t≤16) (2)500 (3)当Q=200时，800-50t=200,解得t=12. 故12h后池中还有200m3水. 7.B【解析】增加1个纸杯后增加的高度为(12一8)÷ 6-1)=(m, 所以n个这样的纸杯按照同样的方式叠放在一起，总 高度为8+号×(m-1D=(.2+号n)em 8.xy=360【解析】由表格数据，得30×12=360,20× 18=360,18×20=360,9×40=360,所以这批毛绒玩 具共360件. 因为工作总量不变，都是360件， 所以加工时间与每小时加工的件数的乘积都是360， 即乘积不变，所以xy=360. 9.解：(1)依题意，得CD=(9-x)cm.因为S△cp= CD.CB, 下册参考答案 所以y=7(9-x)·6=27-3x, 即y与x之间的关系式为y=27一3x (2)15129 (3)由表格可知，当x每增加1cm时，y减少3cm2. 10.解：(1)y1=60+30X0.6x=60+18x; y2=10×30+30×0.5(.x-10)=150+15x. (2)当x=40时， y1=60+18×40=780, y2=150+15×40=750. 因为y1>y2,所以去乙采摘园比较合算， 4用图象表示变量之间的关系 第1课时曲线型图象 1.B2.A 3.C【解析】由图可知，时间是自变量，血糖浓度是因变 量，故A选项说法正确；该实验鼠在9时一10时血糖 浓度在下降，故B选项说法正确；该实验鼠在9时一 13时的血糖浓度在4.2mmol/L的时刻有4个，故C 选项说法错误；时间在9时时，该实验鼠血糖浓度达 到最大，故D选项说法正确 4.解：(1)10 (2)大约在7时到10时与12时到14时，光合作用的 强度在不断增强， (3)10 5.C6.D 7.D【解析】由图可知，两人从起跑线同时出发，先后到 达终点，且小林先到达终点，故选项A说法错误，不符 合题意；因为小林先到达终点，小苏后到达终点，所以 路程 小苏用的时间多，而路程相同，根据速度一时同，所以 小苏跑全程的平均速度小于小林跑全程的平均速度， 故选项B说法错误，不符合题意；根据图可知，小苏前 15s跑过的路程小于小林前15s跑过的路程，故选项 C说法错误，不符合题意；小林在跑最后100m的过程 中，由图中实线与虚线相交2次可知，小林在跑最后 100m的过程中与小苏相遇2次，故选项D说法正确， 符合题意， 8.解：(1)t,h (2)1083 (3)因为摩天轮最高点距地面108m,最低点距离地面 3m, 所以摩天轮的直径是105m, 所以105元÷20×6=)π(m), 故所走的路径的长度是号m 第2课时折线型图象 1.D2.D 3.15【解析】由题意可知，当x≤3时，出租车收费6 元：当x>3时，每千米收费(7-6)÷(4一3)=1（元）， 26 数学七年级BS版 所以火车站到小李家的路程为3+(18一6)÷1=15 (km). 4.解：(1)4 (2)点A表示服药后10h,每毫升血液中不含此药， (3)由图可知，这个有效期为6-1=5(h). 5.A 6.D【解析】A.由图可知，当加入絮凝剂的体积是 0.6mL时，净水率比体积是0.5mL时降低了，故选 项A说法错误，不符合题意； B.由图可知，未加入絮凝剂时，净水率为12.48%，故 选项B说法错误，不符合题意； C.由图可知，絮凝剂的体积每增加0.1mL,净水率的 增加量都不相等，故选项C说法错误，不符合题意； D.由图可知，当加入絮凝剂的体积是0.2mL时，净水 率达到76.54%，故选项D说法正确，符合题意. 7.①②③【解析】由图可知，小明家离学校的距离是 1200m,故①正确；小华乘坐的公共汽车的速度是 1200÷(13-8)=240(m/min),故②正确；480÷240 =2(min),8+2=10(min),则小华乘坐公共汽车后， 在7：50与小明离学校的距离一致，故③正确. 8.(1)800甲 (2)100s=100t (3)3> 【解析】(3)根据图象可知，机器人乙由于故障在途中 停留了5-2=3(min). 因为s=,同一时刻，s越大，v越大， 所以图象越为陡峭 由图象可知，恢复运行后，机器人乙的速度>机器人 甲的速度。 9.解：(1)824 (2)由图②可得CD=2X2=4(cm),DE=2X3=6 (cm), 则AF=BC十DE=14cm. 因为AB=6cm 所以图①中的图形的面积为AB·AF一CD·DE=6 ×14-4X6=60(cm). (3)17 【解析】(3)根据题意，得动点P移动的总路程为BC十 CD+DE+EF+AF=8+4+6+(6-4)+14=34 (cm).因为点P的速度是2cm/s,所以b=3 217. 本章小结 1.C2.C 3.解：(1)xy (2)①随着复印页数的逐渐增加，费用也逐渐增加. ②复印页数每增加100，费用增加40元！ (3)当复印页数为2000时，估计费用为800元. 4.C5.D 6.t=20一6h【解析】由表格可知，距离地面的高度每 增加1km,温度降低6℃，