第4章 三角形 问题解决策略：特殊化&本章小结-【支点·同步系列】2025-2026学年七年级下册数学（北师大版·新教材）

☆问题解决策略：特殊化 要点提示 特殊化策略：面对一般性的问题时，可以先考虑特殊情形，借助特殊情形下获得的结论或方法解决一般性的问 题这就是特殊化策略 O1固基础之 02提能力 知识点问题解决策略：特殊化 2.为了解决一些较为复杂的数学问题，我们常 1.如图①，在四边形ABCD中，AB=AD,∠B 常采用从特殊到一般的思想，先从特殊的情 =∠D=90°，E,F分别是边BC,CD上的点， 形入手，从中找到解决问题的方法.已知：在 连接AE,AF,EF,∠EAF=2∠BAD,试探 四边形ABCD中，BD平分∠ABC,∠BAD 十∠C=180°，求AD与DC的数量关系. 究图中线段BE,EF,FD之间的数量关系. 【特例分析】(1)如图①，当∠C=90°时，AD 与DC的数量关系是 【问题解决】(2)如图②，当0°∠C<90°时， AD与CD存在怎样的数量关系？请说明 B E 图① 图② 理由. (1)小王同学探究此问题的方法是延长EB到 点G,使BG=DF,连接AG,先说明△ABG≌ △ADF,再说明△AEG≌△AEF即可得出结 图② 论，他的结论应是 (2)如图②，在四边形ABCD中，AB=AD, ∠B+∠D=180°，E,F分别是边BC,CD 上的点，且∠EAF=专∠BAD.请判断(I) 中结论是否仍然成立，并说明理由。 下册第四章 59 本章小结 大单元思维导图 三角形三个内角的和等于180° 三角形的 概念及内 直角三角形的两个锐角互余 角和 定义R能够完全重合的两个三角形 三角形的任意两边之和大于 全等三角形对应边（角）分 第三边，三角形的任意两边 三角形的 之差小于第三边 三边关系 三角形 全等三角 性质别相等 判定RSSS,ASA,AAS,SAS 三角形三条中线交于一点，这点 称为三角形的重心，三角形的三 三角形 三条重 利用三角形全等测距离 条角平分线交于一点，三角形三 要线段 条高所在直线交于一点 大单元考点训练 考点《1三角形及其内角和 考点2三角形的三边关系 1.跨物理学科物理实验中，小明研究一个小 4.如图，为了估计池塘岸边A,B两点间的距 木块在斜坡上滑下时的运动状态.如图， 离，小玥同学在池塘一侧选取一点O,测得 △ABC为直角三角形，∠C=90°，∠B= OA=12m,OB=7m,则A,B间的距离不 13°，小木块△DEF在斜坡AB上，且DE∥ 可能是 () BC,EF∥AC,则∠DFE的度数为( A.5m B.7.5m A.13° B.77° C.87° D.63 C.10m D.18.9m 5.已知△ABC,AB=3+2m,AC=5-3m. (1)若AB-AC为3， ①则m= /B 第1题图 第2题图 ②若边BC的长为整数，则△ABC周长的最 2.如图，ab,直线c交直线a,b于A,B两点，C 大值是 为线段AB上一点，作CD⊥AB,交直线a于 (2)若∠A=90°，求△ABC的面积S(用含 点D.若∠1=130°，则∠2的度数为( m的代数式表示). A.60° B.50° C.40° D.30 3.(2025新乡期末)如图，若AB∥CD,G是BC 上一点，GH⊥AB于点H.若∠ECF= 110°，则∠BGH的度数为 H G 第3题图 第4题图 数学七年级BS版 考点3三角形重要线段的应用 (2)若BF=4,FC=3,求BE的长. 6.（2025重庆月考)如 图，已知Rt△ABC 中，∠ABC=90°，AB 第6题图 =4,AD=6,D为BC 边上一点，AD=CD,P为AC上一点，过点 P作PM⊥AD于点M,PN⊥BC于点N. PM+PN的值为 7.如下图，在△ABC中，AD是中线，AB= 10 cm,AC=6 cm. (1)△ABD与△ACD的周长差为 cm. 考点5全等三角形的应用 (2)点E在边AB上，连接ED.若△ABC的 10.生活中的数学： 周长被DE分成的两部分的差是2cm,求线 三角形 支架 段AE的长. A 图① 图② 图③ (1)公园里的双人漫步机常使用三角形支 架作为支撑，这种设计应用的几何原理是 (2)如图②，把小河里的水引到田地A处. 若要使水沟最短，则过点A向河岸1作垂 线，垂足为B,沿AB挖水沟即可.这里所 运用的几何知识是 (3)如图③，要测量池塘沿岸上两点A,E 之间的距离，可以在池塘周围取两条互相 平行的线段AB和CD,且AB=CD,E是 考点4全等三角形的判定及性质 线段BC的中点.要想知道A,E之间的距 8.如图，AD是△ABC的角平 离，只需要测出线段DE的长度，这样做合 分线，AD=CD,点E在边 理吗？请说明理由， B D AC上，且CE=AB,连接 第8题图 DE.若∠C=∠DAC=18°，则∠ADE的度 数为 9.(2025内江)如下图，点B,F,C,E在同一条 直线上，AC=DF,∠A=∠D,AB∥DE (1)试说明：△ABC≌△DEF 下册第四章 677.解：(1)AAC△ABC(2)③ 8.①②④【解析】因为AD是△ABC的中线， 所以BD=CD,所以SAAD=SAAD,故结论①正确； 因为DE平分∠ADB,DF平分∠ADC, 所以∠ADE=?∠ADB,∠ADF=名∠ADC.因为 ∠ADB+∠ADC=180°，所以∠EDF=∠ADE+ ∠ADF=号（∠ADB十∠ADC)=90,放结论 ②正确； 没有条件能够证明MF=BE,故结论③错误： 因为DE平分∠ADB,DF平分∠ADC, 所以∠BDE=∠MDE,∠MDF=∠CDF 因为BD=CD,DM=DB,所以DB=DM=DC. (DB=DM, 在△DEB和△DEM中，{∠BDE=∠MDE, DE=DE, 所以△DEB≌△DEM(SAS). 同理可得△DMF≌△DCF, 所以BE=ME,CF=MF. 在△EMF中，由三角形三边关系，得EM+FM> EF,所以BE十CF>EF,故结论④正确 综上所述，正确的是①②④， OM=ON. 9.解：(1)在△CMO和△CNO中，OC=OC, CM=CN, 所以△CMO≌△CNO(SSS). (2)由题意，得CM=CN,∠OCM=∠OCN=90°，OC =OC, 所以△OMC≌△ONC(SAS), 所以∠AOC=∠BOC, 即OC平分∠AOB. 10.解：因为∠AOB=∠COD 所以∠AOB+∠BOC=∠COD+∠BOC, 即∠AOC=∠BOD. 在△AOC和△BOD中， (OA=OB, ∠AOC=∠BOD, OC=OD, 所以△AOC≌△BOD(SAS). 所以AC=BD,∠CAO=∠DBO. 如图，设BO,AC相交于点F 因为∠AFO=∠BFP,∠CAO+ ∠AOB+∠AFO=180°，∠DBO+ ∠BFP+∠APB=180°， 所以∠APB=∠AOB=a. 4利用三角形全等测距离 1.D2.B3.D 4.解：(1)因为AB∥DE, 所以∠ABC=∠DEF. 在△ABC和△DEF中， 数学七年级BS版 I∠ABC=∠DEF, AB=DE, ∠A=∠D, 所以△ABC≌△DEF(ASA). (2)因为△ABC≌△DEF, 所以BC=EF 所以BF+FC=EC+FC, 所以BF=EC, 因为BE=100m,BF=30m, 所以FC=BE-BF-EC=BE-2BF=100-2×30 =40(m). 故池塘的长度FC是40m. 5.B【解析】因为△ABC≌△DEF, 所以BC=EF. 由题意可知BE=10cm, 因为BE=BC+CF+EF, 所以2BC+2=10, 所以BC=4cm. 6.解：(1)甲同学的方案可行，理由如下： 因为AO=CO,∠AOB=∠COD,BO=DO, 所以△AOB≌△COD(SAS), 所以AB=CD. (2)增加条件BE⊥AB.理由如下： 因为BE⊥AB, 所以∠ABD=∠CBD=90°. 因为∠BDA=∠BDC,BD=BD. 所以△ABD≌△CBD(ASA), 所以AB=BC. 7.解：(1)因为C是BD的中点， 所以BC=DC. 在△ACB和△ECD中， (CA=CE, ∠ACB=∠ECD, BC=DC. 所以△ACB≌△ECD(SAS), 所以AB=ED. (2)如图，连接AD. 由题意，得AD=200m,AC=120m, 所以AE=2AC=240m,所以AE-AD<DE<AE+ AD, 所以40m<DE<440m, 即40m<AB<440m. ☆问题解决策略：特殊化 1.解：(1)EF=BE+DF (2)(I)中的结论EF=BE+DF仍然成立. 理由：如图，延长EB到点G,使BG=DF,连接AG 因为∠ABC+∠D=180°，∠ABC +∠ABG=180°， 所以∠ABG=∠D. 又因为AB=AD,BG=DF, 所以△ABG≌△ADF(SAS), 所以∠BAG=∠DAF,AG=AF. 因为∠EAF= 2∠BAD, 所以∠BAE十∠DAF= 2 ∠BAD=∠BAE +∠BAG. 所以∠EAG=∠EAF. 又因为AE=AE,AG=AF, 所以△AEG≌△AEF(SAS). 所以EG=EF. 因为EG=BG+BE=DF+BE, 所以EF=BE+DF」 2.解：(1)AD=DC (2)AD=CD.理由如下： 如图，过点D分别作DE I BC于点E,DF⊥BA交 BA的延长线于点F, 所以∠BFD=∠BED=90°， 因为BD平分∠ABC, 所以∠ABD=∠CBD, 在△BFD和△BED中， ∠BFD=∠BED, ∠FBD=∠EBD, BD=BD. 所以△BFD≌△BED(AAS), 所以FD=ED. 因为∠BAD+∠C=180°，∠BAD+∠FAD=180°， 所以∠C=∠FAD. 在△AFD和△CED中， ∠FAD=∠C, ∠AFD=∠CED, FD=ED. 所以△AFD≌△CED(AAS), 所以AD=CD 本章小结 1.B2.C 3.20°【解析】因为∠ECF=110°， 所以∠BCD=∠ECF=110. 因为AB∥CD, 所以∠B+∠BCD=180°， 所以∠B=70° 因为GH⊥AB, 所以∠B+∠BGH=90°， 所以∠BGH=20°. 4.A 5.解：(1)①1②13 (2)因为∠A=90°， 所以S=73+2m6-3m）=-3m+7m+ 15 2 6.4【解析】因为AD=6,AD=CD, 所以CD=6. 因为∠ABC=90°，AB=4, 1 所以SAm=2X6X4=12. 因为PM⊥AD,PN⊥BC, 所以SAAm=SAcPD+S△m=2CD·PN+2AD· PM=12, 所以2×6·PN+号×6·PM=12. 所以3(PN+PM)=12, 所以PN+PM=4. 7.解：(1)4 (2)△BDE的周长为BD十DE十BE,四边形AEDC 的周长为AE+DE+DC+AC. ①当△BDE的周长比四边形AEDC的周长大2cm 时，因为BD=CD, 所以(DE+BE)-(DE+AE+AC)=2cm, 即BE-(AE+AC)=2cm. 因为AB=10cm,AC=6cm, 所以BE=(AE+8)cm,BE=(10-AE)cm, 所以AE=1cm. ②当四边形AEDC的周长比△BDE的周长大2cm时， AE+AC-BE=2 cm. 因为AB=10cm,AC=6cm, 所以BE=(AE+4)cm,BE=(10-AE)cm, 所以AE=3cm. 综上所述，线段AE的长为1cm或3cm. 8.108°【解析】因为∠DAC=∠C=18°， 所以∠ADC=180°-18°-18°=144°， 所以∠ADB=36°. 因为AD是△ABC的角平分线， 所以∠BAD=∠DAC, 所以∠BAD=∠C. 在△BAD与△ECD中， (AB=CE, ∠BAD=∠C, AD=CD. 所以△BAD≌△ECD(SAS), 所以∠ADB=∠CDE=36°， 所以∠ADE=∠ADC-∠CDE=108°. 9.解：(1)因为AB∥DE, 所以∠B=∠E. 因为AC=DF,∠A=∠D, 所以△ABC≌△DEF(AAS). (2)因为△ABC≌△DEF, 所以BC=EF, 所以BF+FC=CE+FC. 因为BF=4,FC=3, 下册参考答案 所以3+4=CE+3. 所以CE=4, 所以BE=BF+FC+CE=4+3+4=11. 10.解：(1)三角形具有稳定性 (2)垂线段最短 (3)这样做合理。 理由：因为AB∥CD, 所以∠B=∠C. 在△AEB与△DEC中， (AB=DC. ∠B=∠C, BE=CE, 所以△AEB≌△DEC(SAS), 所以AE=DE, 第五章图形的轴对称 1 轴对称及其性质 1.D2.C 3.解：如图所示. 王 4.B【解析】如图，过点P,B的射线交于一点O,点O 恰在反射面EF上，且经测量，得∠EOP=∠FOB.故 经镜面EF反射后经过的点是B. P A B/C 反射面) E之☐万 5.B 6.D【解析】因为△ABC与△ADC关于AC对称，所以 AC平分∠BAD,CA平分∠BCD,BD⊥AC,AC平 分线段BD,故D选项结论错误. 7.C 8.B【解析】如图，PP,,PP2分别交OB,OA于点 C.D. 因为OP=4,点P,与点P关于OB 对称，点P:与点P关于OA对称， 所以OB垂直平分PP1,OA垂直平 分PP2, 所以CP=CP,,DP=DP,,∠OCP= ∠OCP,=90°，∠ODP=∠ODP2=90°，所以△OCP ≌△OCP,(SAS),△ODP≌△ODP,(SAS),所以 OP1=OP2=OP=4,∠POB=∠BOP1,∠P2OA =∠AOP. 因为∠AOB=45°， 所以∠P,OA+∠AOP+∠POB+∠BOP1= 2∠AOB=90°，即∠P2OP1=90°， 1 所以SAm=)0P·OP,)X4X4=8 9.是【解析】前4个图案的对称轴如图所示. 20 数学七年级BS版 A京欧双 ①②③ ④ 按此规律，摆放成的图案都是轴对称图形. 故第2026个图案是轴对称图形. 10.65°【解析】因为四边形ABCD是长方形， 所以∠B=90° 由折叠可得∠B'=∠B=90°，∠FEC'=∠FEC =25°. 因为AB'∥EF, 所以∠B'EF=∠B'=90°， 所以∠B'EC'=∠B'EF-∠FEC'=90°-25°=65. 11.解：(1)由翻折可知∠AEG=∠A'EG,∠BEF= ∠B'EF.因为点M与点N重合，所以∠AEG+ ∠A'EG+∠BEF+∠B'EF=180°，所以2∠A'EG +2∠B'EF=180°，所以∠GEF=∠A'EG+∠B'EF =90°. (2)由翻折可知∠AEG=∠A'EG,∠BEF= ∠B'EF.因为∠MEN=20°，所以∠AEG+∠A'EG +∠BEF+∠B'EF=180°-∠MEN=180°-20°= 160°，所以2∠A'EG+2∠B'EF=160°，所以∠A'EG +∠B'EF=80°，所以∠GEF=∠A'EG+∠B'EF+ ∠MEN=80°+20°=100°. 12.解：(1)当∠ABC=90时，会使得PR=6.理由如下： 如图，连接OP,OR,PB,RB. 因为P,R为点O分别以直线 AB,BC为对称轴的对称点， 所以易得PB=OB=3,RB= OB=3,∠ABP=∠ABO,∠CBR=∠CBO. 当∠ABC=90°时， ∠ABP+∠ABC+∠CBR=∠ABO+∠ABC+ ∠CBO=2∠ABC=180°， 此时P,B,R三点共线， 所以PR=PB十RB=3十3=6. (2)PR的长度小于6.理由如下： 当∠ABC≠90时，P,B,R三点不在同一直线上， 所以PB+RB>PR. 由(1)，得PB=RB=3,所以PB+RB=6, 所以PR<6. 2简单的轴对称图形 第1课时等腰三角形的性质 1.C 2.25°【解析】因为AB∥CD, 所以∠DFE=∠BAE=50°. 因为CF=EF,所以△CEF是等腰三角形，所以∠C =∠E. 设∠C=∠E=x,则∠CFE=180°-∠C-∠E=180° -2x. 因为∠DFE+∠CFE=180°，