第4章 三角形 1 认识三角形-【支点·同步系列】2025-2026学年七年级下册数学（北师大版·新教材）

3 1 10.解：根据题意，可知P(A)=8,P(B)=3,P(C)= 63 68-34 因为管>写>品 所以P(A)>P(B)>P(C), 所以小红应点击C区域. 本章小结 1.A2.A3.C4.A5.0.60 6.解：(1)0.98 (2)因为8000÷0.98≈8163.3（块）， 所以估计工厂至少需要生产8164块电池才能完成这 批订单. 7.D8.D 9.C【解析】由图可知，在每个岔路口都有两种可能，且 可能性相等，最终共有H,G,E,F四个出口， 所以该车辆最终从H口驶出的概率为4： 10g 11.解：两人获胜的概率一样大.理由如下： 因为小明投中黑色区域得2分，投中灰色区域减1 分，投中白色区域不得分， 所以P(小明得分)=2X8-8=1 64 8 因为小颖投中黑色区域减1分，投中灰色区域得2 分，投中白色区域不得分， 所以P(小颖得分)=2X8-8=1 64 8 即两人获胜的概率一样大， 第四章三角形 1认识三角形 第1课时三角形的概念及内角和 1.D【解析】可以组成的三角形有△ACD,△ACE, △ADE,△BCD,△BCE,△BDE,△CAB,△DAB, △EAB,共9个 2.(1)△ABD(2)∠ADE,∠AED,∠DAE AE (3)△ACE,△ACD,△ACB(4)6 3.20° 4.解：因为直线AB∥CD,∠FEC=62°， 所以∠GFE=∠FEC=62°. 因为EF平分∠CEG, 所以∠GEF=∠CEF=62°， 所以∠EGB=180°-∠GEF-∠GFE=56°， 5.D6.D 7.B【解析】因为三角形三个内角度数之比为1：3：4， 4 所以三个内角中最大内角是180×1十3+4一90， 所以该三角形是直角三角形， 数学七年级BS版 8.C【解析】由三角形内角和等于180°，得∠A十∠B+ ∠C=180. A.∠A=∠B=2∠C,则2∠C+2∠C+∠C=180°， 解得∠C=36°，则∠A=∠B=72°，故不是直角三角 形，不合题意： B.∠C=∠B=30°，则∠A=120°，故不是直角三角 形，不合题意； C.∠A+∠B=∠C,则2∠C=180°，解得∠C=90°， 故是直角三角形，符合题意； D.∠A-∠B=90°，则∠A=90°+∠B>90°，故不是 直角三角形，不合题意。 9.C【解析】因为AB∥L,CD∥l, 所以AB∥CD, 所以∠ABC=∠BCD=60. 因为∠BAC=54°， 所以∠ACB=180°-60°-54°=66°. 因为AM∥CB, 所以∠MAC=∠ACB=66°. 10.4【解析】因为∠BAC=90°，所以∠B+∠C=90°， ∠BAD+∠CAD=90°. 因为AD⊥BC,所以∠B+∠BAD=90°，∠CAD+ ∠C=90°.故互余的角共有4对. 11.解：(1)△ABC是“三倍角三角形”.理由如下： 因为∠A=25°，∠B=80°， 所以∠C=180°-25°-80°=75°=25°×3， 所以△ABC是“三倍角三角形”. (2)因为∠A=24°， 所以∠B+∠C=156. 设最小内角的度数为x ①当24°=3.x时，x=8°，符合题意； ②当x=24°时，另外两个角分别为24°×3=72°，156 一72°=84°，符合题意； ③当x十3x=156°时，x=39°，24<39，不符合题意. 故△ABC中最小内角的度数为8°或24°. 12.解：(1)∠A+∠D=∠B+∠C (2)如图，连接AD,则∠BAD十∠B +∠C+∠ADC=360 根据“8字形”数量关系可知，∠E十 ∠F=∠EDA+∠FAD, 所以∠BAF+∠B+∠C+∠CDEB +∠E+∠F=360°. 第2课时三角形的三边关系 1.D2.B 3.A【解析】因为OP=OQ=30cm, 所以(30-30)cm<PQ<(30+30)cm,即0cm<PQ <60cm, 所以A选项符合题意. 4.27【解析】分两种情况讨论： ①当等腰三角形的腰长为5，底边长为11时， 因为5十5=10,10<11，所以不能组成三角形，不符合 题意； ②当等腰三角形的腰长为11，底边长为5时，它的周 长为11+11+5=27. 综上所述，该等腰三角形的周长为27. 5.D6.22 7.解：(1)2<c<1018 (2)当a为腰时，另外两边长分别为4,16一4一4=8. 因为4十4=8，不能构成三角形，故舍去 当a为底边时，另外两边长为6。=6。 此时等腰三角形的三边长为4,6,6. 故另外两边长为6,6. 第3课时三角形的高、中线和角平分线 1.D2.B 3.9【解析】因为S△ABc=S△ABE一SI影部分 =S△ABE-S△BCE =号×12x9-18 =54-18 =36, 1 所以S△A=2AB·BC=36, 即2×12·BC=36,解得BC=6, 所以DC=BD-BC=9-6=3. 因为S△=2DE·B=18, 所以2DE·6=18,解得DE=6, 所以△DCE的面积是号DE·DC=号×6X3= 9(cm2). 4.A 5.C【解析】如图，过点D作DE⊥AC 于点E 因为AC=5,S△ABc=24,D为AB的 中点，所以S△Acn=12, 所以2AC·DE=12,即2×5·DE -12,所以DE-头当点P,E重合时，DP最小， 24 所以DP的最小值为写 6.14【解析】设AC=x,则AB=2x. 因为BD是AC边上的中线， 所以AD=DC=名AC=7. 1 由题意，得2x+2x=30,解得x=12,所以AC=12, 1 所以BC=20-2X12=14. 7.D8.C 9.B【解析】因为∠B+∠C=100°， 所以∠BAC=180°-100°=80°. 因为AD平分∠BAC,所以∠BAD=号∠BAC=40 因为DE∥AB,所以∠ADE=∠BAD=40° 10.7【解析】因为点L为BD的中点.△AKB,△ALD 的面积分别为18,21， 所以S△LB=S△ALD=18,所以S△AK=21-18=3, 所u--6 所以= 质 因为AB∥CD, 所以S△A=S△Am=2X21=42, 所以S△K=SAABC-SAABK=42-18=24, 1 所以S△cKL=6S△BcK=4, 所以S△c=S△cK+SAAKL=4十3=7. 11.7或3【解析】当△ABC为锐角三角形时，如图① 所示. 图① 图② 因为BD=5,CD=2,所以BC=BD+CD=5+2 =7; 当△ABC为钝角三角形时，如图②所示. 因为BD=5,CD=2,所以BC=BD-CD=5-2 =3. 综上所述，边BC的长为7或3. 12.解：(1)因为CE平分∠ACD, 所以∠DCA=2∠DCE. 因为∠DCE=35°， 所以∠DCA=2∠DCE=70°. 因为AD为BC边上的高， 所以∠ADB=90°， 所以∠CAD=90°-∠DCA=90°-70°=20° (2)因为∠BAC:∠CAD=3:2,∠CAD=20°， 所以∠BAC=30°， 所以∠BAD=∠BAC+∠CAD=30°+20°=50°， 所以∠B=90°-∠BAD=90°-50°=40°. 13.解：(1)分别作△ABC中边AC上的高BG如图①、 图②所示 (2)BG=DE+DF (3)BG=DE-DF.理由如下： 因为S△ABD=S△ABC+S△ACD, 所以2AB·DE=2AC·BG+2AC·DF. 因为AB=AC, 所以DE=BG十DF, 所以BG=DE-DF. 下册参考答案 6 图① 图② 2全等三角形 1.C2.D3.B 4.3【解析】因为△ABC≌△DEF, 所以BC=EF. 又因为BC=8,所以EF=8, 因为CE=5,所以CF=EF一CE=8一5=3 5.D 6.C【解析】设每个直角三角形的较长直角边长为a, 较短直角边长为b. 因为4个全等且面积为4的直角三角形和1个小正方 形刚好能拼成一个大正方形， 所以中间的小正方形边长为a一b, 由每个直角三角形的面积为4，可得ab=8. 由图②可得a-b=b, 所以a=2b, 所以2b·b=8,所以b2=4, 即(a-b)2=4, 所以长方形ABCD的面积为(a一b)2+2ab=20 7.解：因为∠B=85°，∠C=30°， 所以∠BAC=180°-∠B-∠C=65° 因为△ABC≌△ADE, 所以∠BAC=∠DAE=65°. 因为∠DAC=15°， 所以∠EAC=∠DAE-∠DAC=65°-15°=50°. 3探索三角形全等的条件 第1课时边边边 1.C2.A (AB=AC, 3.解：在△ABD和△ACD中，AD=AD, BD=CD. 所以△ABD≌△ACD(SSS), 所以∠BAD=∠CAD, 所以AP平分∠BAC, 4.解：如图，连接OE OA=OC, 在△EAO和△ECO中，EA=EC, OE=OE 所以△EAO≌△ECO(SSS), 所以∠A=∠C. 5.SSS 6.C 7.C 8.B 9.C【解析】由作图过程可知，△DOE≌△PCF, 所以OD=CP,OE=CF,∠AOE=∠PCF. 由①可知OD=OE. 因为CP=OD,CF=OE, 16 数学七年级BS版 所以CP=CF 由已知条件无法推出DE=OE. (AB=AD, 10.B【解析】在△ABC和△ADE中，AC=AE, BC=DE. 所以△ABC≌△ADE(SSS), 所以∠ABC=∠1，∠BAC=∠2. 因为∠3=180°-∠ACB=180°-(180°-∠ABC ∠BAC)=∠ABC+∠BAC=∠1+∠2，∠1+∠2+ ∠3=94°， 所以2∠3=94°， 所以∠3=47°. 11.108°【解析】如图，连接AC, 由作图可得AB=AP=PC, AC=PB, 所以△ABP≌△PCA(SSS), 所以∠PAB=∠APC, 所以PC∥. 因为∠PBA=72°， 所以∠BPC=180°-∠PBA=108. 12.解：(1)因为AF=CE, 所以AF+EF=CE十EF, 即AE=CF (AD=CB. 在△ADE和△CBF中，〈DE=BF, AE=CF. 所以△ADE≌△CBF(SSS). (2)成立.理由如下： 因为AF=CE, 所以AF-EF=CE-EF, 即AE=CF (AD=CB, 在△ADE和△CBF中，DE=BF, AE=CF, 所以△ADE≌△CBF(SSS). (3)AD∥CB.理由如下： 由(1)(2)知△ADE≌△CBF, 所以∠A=∠C, 所以AD∥CB. 第2课时角边角、角角边 1.D2.D3.③ASA 4.AO=DO【解析】因为∠A=∠D,∠AOB =∠DOC, 所以由“角边角”判定△AOB≌△DOC,需要添加条 件AO=DO. ∠C=∠D, 5.解：在△AOC和△BOD中，〈∠AOC=∠BOD, AC=BD. 所以△AOC≌△BOD(AAS). 6.解：(1)①A②DMDE③E ED B EF第四章三角形 1认识三角形 第1课时三角形的概念及内角和 要点提示 1.三角形的概念：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫作三角形. 2.三角形的内角和：三角形三个内角的和等于180° 3.按三角形内角的大小分类： (1)锐角三角形：三个内角都是锐角；(2)直角三角形：有一个内角是直角；(3)钝角三角形：有一个内角是钝角 4.直角三角形的性质：直角三角形的两个锐角互余 O1固基础 。 4.(2025南昌月考)如下图，直线AB∥CD,点 G,E分别在直线AB,CD上，EF平分 知识点1三角形的有关概念 ∠CEG且交AB于点F.若∠FEC=62°，求 1.(2025厦门期末)如图，已知点A,B在直线 ∠EGB的度数. a上，点C,D,E在直线b上.以点A,B,C, D,E中的任意三点作为三角形的顶点，可 以组成的三角形共有 ( A.3个 B.4个 C.6个 D.9个 C D Eb B D E C 第1题图 第2題图 2.如图，根据图形填空. (1)以BD为边的三角形是 知识点③判断三角形的形状 (2)△AED的三个内角是 5.(2025西安期末)如图，三角形 有一部分被遮挡，我们可以判 ,其中∠ADE的对边是 定此三角形的类型为() 第5题图 A.钝角三角形 B.直角三角形 (3)以∠C为一个内角的三角形是 C.锐角三角形 D.不能确定 知识点(4直角三角形中两锐角的关系 (4)图中共有 个三角形 6.(2025重庆秀山期末)如图，4 B 知识点2三角形的内角和 直线AB∥MN,线段AN和 3.如图，在△ABC中，点D在 线段BM垂直于点Q.若 M BC上，∠B=40°，∠C=60°. 第6题图 ∠ANM=25°，则∠ABM的 若∠CAD=60°，则∠BAD的B D 度数是 ( 第3题图 度数为 A.25° B.45° C.55 D.65 下册第四章 之02提能力 (2)若△ABC是“三倍角三角形”，且∠A 24°，求△ABC中最小内角的度数. 7.若三角形三个内角度数之比为1：3：4，则 这个三角形一定是 ( ) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰直角三角形 8.在下列条件中，能确定△ABC是直角三角 形的条件是 ( A.∠A=∠B=2∠CB.∠C=∠B=30° C.∠A+∠B=∠CD.∠A-∠B=90 9.图①是某单车放在水平地面上的实物图，图 ②是其示意图，其中AB,CD都与地面1平 O3拓思维)之 行，∠BCD=60°，∠BAC=54°.要使AM与 12.几何直观如图①，线段AB,CD相交于点 BC平行，则∠MAC的度数是 O,连接AD,CB,我们把图①称为“8字 形”.那么在这一个简单的图形中，到底隐 藏了哪些数学知识呢？下面就请你发挥聪 图② 明才智，解决以下问题： 第9题图 A.16° B.60° C.66 D.114° 10.（教材变式)如图，已知 Rt△ABC中，∠BAC=90°， 图① 图② AD⊥BC于点D,则图中互余B 第10题图 (1)如图①，请直接写出∠A,∠B,∠C, 的角共有 对 ∠D之间的数量关系： 11.(2025赣州月考)在一个三角形中，如果一 个内角是另一个内角的3倍，这样的三角 (2)如图②，请利用(1)中结论，求∠A十 形我们称为“三倍角三角形”.例如，三个内 ∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数 角分别为100°，60°，20°的三角形是“三倍角 三角形” (1)在△ABC中，∠A=25°，∠B=80°， △ABC是“三倍角三角形”吗？请判断并 说明理由. 数学七年级BS版 第2课时三角形的三边关系 要点提示 1.(1)等腰三角形：有两边相等的三角形叫作等腰三角形，相等的两边叫作腰，另外一边叫作辰，两腰的夹角为 项角，另外两角为底角；(2)等边三角形：三边都相等的三角形是等边三角形，也叫正三角形 2.(1)三角形的任意两边之和大于第三边：(2)三角形的任意两边之差小于第三边 O1固基础念 02提能力◆ 知识点1三角形按边分类 5.(2025安庆)用下面的图表示三角形的分类， 1.在课堂上，老师在黑板上画出了如图所示的 其中不正确的是 ( 三个三角形，让同学们根据它们的边长进行 三角形 等腰三角形 锐角 直角 分类.其中，分类错误的是 三角形 、三角形 等边三角形 钝角三角形 2入3 B ② 等腰 钝角 第1题图 三边 三角形 三角形 相 直角 A.①是不等边三角形 的 等边 三角形 锐角 角 角形 三角形 B.②是等腰三角形 C.③是等边三角形 C D D.②③是等边三角形 6.等腰三角形的两边长满足|a一4|+(b一9)2 知识点2三角形三边关系 =0,则这个等腰三角形的周长为 2.(2025连云港)下列长度（单位：cm)的3根 7.已知a,b,c是△ABC的三边长 小木棒能搭成三角形的是 ) (1)若a=4,b=6,则c的取值范围是 A.1,2,3 B.3,4,5 若c为偶数，则△ABC C.3,5,8 D.4,5,10 的最大周长为 3.一款可折叠晾衣架的示意图如图所示，支架 (2)若△ABC是等腰三角形，a=4,周长为 OP=OQ=30cm(连接处的长度忽略不 16,求另外两边长. 计)，则点P,Q之间的距离可以是() 第3题图 A.50 cm B.65 cm C.70 cm D.80 cm ◆易错点忽视三边关系而出错 4.已知等腰三角形的两边长分别为5和 11,则它的周长为 下册第四章 第3课时三角形的高、中线和角平分线 要点提示 1.三角形的高线： (1)定义：从三角形的一个顶，点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫作三角形的高线，简称 三角形的高；(2)三角形的三条高所在的直线安于一点，锐角三角形三条高的交点在三角形的内部；直角三角 形三条高的交点是直角顶点；钝角三角形三条高所在直线的交点在三角形的外部， 2.三角形的中线： (1)定义：在三角形中，连接一个顶，点与它对边中点的线段，叫作三角形的中线：(2)三角形有三条中线，且三条 中线交于一，点，这，点称为三角形的重心；(3)三角形的一条中线把这个三角形分成面积相等的两个三角形. 3.三角形的角平分线： (1)定义：在三角形中，一个内角的角平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫作三角形的 角平分线：(2)三角形的三条角平分线交于一点，交点在三角形的内部， O1固基础 知识点2三角形的中线 4.(2025广州期末)在△ABC中，AB=18,BC 知识点《1三角形的高 =16,BD是AC边上的中线.若△ABD的 1.如图，在△ABC中，下列关于高的说法正确 周长为41，则△BCD的周长是 ( 的是 ( A.39 B.41 A.线段AD是AC边上的高 C.43 D.无法确定 B.线段CF是BC边上的高 5.如图，在△ABC中，AC=5,S△ABc=24,CD是 C.线段CF是AC边上的高 AB边上的中线，P是AC上的动点，则DP的 D.线段BE是AC边上的高 最小值为 () A.5 号 c D.6 第1题图 第2题图 2.如图，△ABC中BC边上的高、△BCE中 BE边上的高、△ACD中AC边上的高分别 第5题图 第6题图 是 6.如图，在△ABC中(AB>BC),AB=2AC, A.AF,CD,CE B.AF,CE,CD AC边上的中线BD把△ABC的周长分成 C.AC,CE,CD D.AC,CD,CE 30和20两部分，则BC的长为 3.如图所示，AB=12cm,长方形BDEF中的 知识点(3三角形的角平分线 EF=9cm,阴影部分的面积是18cm2,则 7.如图，已知∠1=∠2，∠3=∠4， △DCE的面积是 cm2 则下列结论错误的是( A.BD是△ABC的角平分线 B.CE是△BCD的角平分线 C∠3=2∠AcB 第7题图 第3题图 D.CE是△ABC的角平分线 48 数学七年级BS版 。 之02提能力之 03拓思维 8.（2025福州期末)如图，在 13.项目式学习【探究学习】用不同方式表示同 △ABC中，AD,AE分别是 一图形的面积可以解决线段和（或差）的有关 BC边上的中线、高线，过点D 问题，这种方法称为“面积法”.请利用“面积 B E D 作DFLAB于点E.若AB 第8题图 法”自主探究三角形高线之间的数量关系 【问题情境】如图，在△ABC中，AB=AC,D 2 DE 3,则AE的值是 ( 为BC边所在直线上任意一点，连接AD.已 知DE,DF分别是△ABD,△ACD的高. B. c 4 0.5 (1)利用三角板在图①、图②中分别作 9.(教材变式)如图，在△ABC中，∠B+∠C= △ABC中边AC上的高BG. 100°，AD平分∠BAC交BC于点D,DE∥AB (2)图①中DE,DF,BG之间的数量关系 交AC于点E,则∠ADE的度数是( 为 A.30°B.40° C.50° D.60° (3)如图②，当点D在BC延长线上时，判断 DE,DF,BG之间的数量关系，并说明理由. 第9题图 第10题图 10.（2025吉安模拟)如图，梯形ABCD中，AB 图① 图② ∥CD,对角线AC与BD交于点K,点L为 BD的中点.已知△AKB,△ALD的面积 分别为18,21，则△ALC的面积为 11.若AD是△ABC的高，且BD=5,CD=2, 则边BC的长为 12.如下图，在△ABC中，AD为BC边上的 高，CE平分∠ACD交AD于点E.若 ∠BAC:∠CAD=3:2,∠DCE=35°. (1)求∠CAD的度数. (2)求∠B的度数 下册第四章 49