精品解析：甘肃省张掖市肃南县大河区2025-2026学年上学期九年级数学第三次阶段学情自测

2025－2026学年上学期九年级第三次数学试题 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分，每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 下列函数中，y是x的反比例函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图所示几何体的左视图是（ ） A. B. C. D. 3. 大鹏所城与观澜古墟是深圳极具代表性的历史文化景点，某文化展厅推出“非遗文创盲盒”抽奖活动，抽奖箱内有大小、形状完全相同的奖券共10张，其中标注“大鹏所城海防文化明信片”的有5张，“观澜古墟骑楼建筑书签”的有3张，“客家凉帽挂件”的有2张，从中随机抽取1张奖券，抽到“客家凉帽挂件”的概率是（ ） A. B. C. D. 4. 依据所标数据，下列四边形不一定为矩形的是（ ） A. B. C. D. 5. 若，且，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，平面直角坐标系中，直线交y轴正半轴与点C，与反比例函数的图象在第一象限内相交于A，B两点，延长交该反比例函数图象的另一分支于点D，连接．若，的面积为32，则k的值为（ ） A. 4 B. 8 C. 12 D. 16 7. 某校艺体节期间九年级举行足球赛，九年级每两个班之间都要比赛一场，艺体节为期35天，每天举行3场比赛，设该校九年级有x个班，依题意可列方程（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，，，D为的中点，连结，E为上一点，，过点E作于点M，于点N，记长为x，长为y．当x，y的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（ ） A. B. C. D. 二．填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9. 若方程，则方程的根为________． 10. 如果两个相似三角形对应边之比是，那么它们的对应中线之比是______． 11. 已知，在菱形中，，在上取点P，连接，，则的度数为_________． 12. 如图，需要得到的长度，与相交于点，，测得，，，则_______ m． 13. 若反比例函数的表达式为，则当时，y的取值范围是________． 14. 如图，点O是正方形的中心，．中，，过点D．分别交于点G、M，连接．若， ，则的周长为 _______ ． 三．解答题（共12小题，计78分，解答直写由过程） 15. 用适当方法解下列方程： （1）； （2） 16. 函数（为常数）的图象过点． （1）求的值； （2）小明说：“该函数图象上的任意一点，若，则”，你赞同小明的说法吗？请说明理由． 17. 已知关于的一元二次方程．求证：无论取何值时，方程总有两个不相等的实数根． 18. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别是，，．以点为位似中心，将放大为原来的2倍，得到（点、的对应点分别为、），使得点在第一象限． （1）在图中画出； （2）设点为内一点，写出点在内的对应点的坐标， 19. 如图所示，△ABC中，∠ACB=90°，D，E分别为AB，BC的中点，连接DE并延长到点F，使得EF=DE，连接CD，CF，BF． （1）求证：四边形BFCD是菱形； （2）若cosA=，DE=5，求菱形BFCD的面积． 20. 如图，一个质地均匀的转盘被平均分成6等份，分别标有1，2，3，4，5，6这6个数字．转动转盘，当转盘停止后，指针指向的数字即为转出的数字（指针停在分界线上时重新转动转盘）． （1）转出数字是1的概率是 ； （2）小红和小星都想周末去看《头脑特工2》，但只有一张电影票，他们决定借助转盘确定谁去．规则是“转动转盘，如果转出的数字大于3，则小红去；如果转出的数字小于3，则小星去”．这个规则公平吗？为什么？ 21. 如图所示，已知光源O与墙面的距离是，木棒长为． （1）当在光源与墙壁正中间时，在墙壁上的投影是多长？ （2）在（1）的条件下，当向光源移动（到的位置）时，它在墙壁上的投影又是多长？ 22. 某日上午晨光中学的饮水机开机水温为，加热时水温每分钟上升，加热到停止加热；随后水温开始下降，水温是时间的反比例函数，当水温降至时饮水机自动开启加热模式，重复上述程序，水温与时间之间的函数关系如图所示． （1）当时，求水温关于时间的函数表达式； （2）试判断小明到学校能喝到以上的水吗？请说明理由． 23. 如图，线段相交于点，点是线段的中点，连接，分别延长交于点．已知，且． （1）求证：； （2）如果平分，求证：． 24. 已知：正方形的边长为，是边上一个动点不与点、点重合，，以为一边在正方形外作正方形，连接、． 观察计算：（1）如图1，当，时，四边形的面积为______； （2）如图2，当，时，四边形的面积为______； （3）如图3，当，时，四边形的面积为______； 探索发现：（4）根据上述计算的结果，你认为四边形的面积与正方形的面积之间有怎样的关系？ 25. 某农场要建一个饲养场矩形，两面靠墙位置的墙最大可用长度为27米，AB位置的墙最大可用长度为15米，另两边用木栏围成，中间也用木栏隔开，分成两个场地及一处通道，并在如图所示的三处各留1米宽的门不用木栏．建成后木栏总长45米． （1）若饲养场矩形的一边CD长为x米，则另一边______米． （2）若饲养场矩形的面积为180平方米，求边CD的长． 26. 【问题情境】：如图1，点E为正方形ABCD内一点，，，，将直角三角形ABE绕A点逆时针方向旋转度（）点B、E的对应点分别为点、． 【问题解决】 （1）如图2，在旋转的过程中，点落在了AC上，求此时的长； （2）若，如图3，得到（此时与D重合），延长BE交于点F， ①试判断四边形的形状，并说明理由； ②连接CE，求CE的长； （3）在直角三角形ABE绕点A逆时针方向旋转过程中，直接写出线段长度的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025－2026学年上学期九年级第三次数学试题 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分，每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 下列函数中，y是x的反比例函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的定义，一般地，形如（k为常数，）的函数叫做反比例函数． 根据反比例函数的定义判断即可． 【详解】解：根据反比例函数的定义可知是反比例函数， 故选：B． 2. 如图所示几何体的左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了简单几何体的三视图．根据左视图是从左边看得到的图形，可得答案． 【详解】：从左边看是： 故选：A． 3. 大鹏所城与观澜古墟是深圳极具代表性的历史文化景点，某文化展厅推出“非遗文创盲盒”抽奖活动，抽奖箱内有大小、形状完全相同的奖券共10张，其中标注“大鹏所城海防文化明信片”的有5张，“观澜古墟骑楼建筑书签”的有3张，“客家凉帽挂件”的有2张，从中随机抽取1张奖券，抽到“客家凉帽挂件”的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了概率的计算，熟练掌握该知识点是解题的关键．根据概率计算公式计算即可． 【详解】解：∵总奖券数为10张，其中“客家凉帽挂件”奖券有2张， ∴抽到“客家凉帽挂件”的概率为． 故选：D． 4. 依据所标数据，下列四边形不一定为矩形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据矩形的判定方法“有三个角是直角的四边形是矩形；有一个角是直角的平行四边形是矩形；对角线相等的平行四边形是矩形；对角线相等且互相平分的四边形是矩形”即可求解． 【详解】解：A、由两个全等三角形组成的四边形，且根据勾股定理的逆定理可得有一个角是直角故可得四边形是矩形，故该选项不符合题意； B、对角线相等且互相平分的四边形是矩形，故该选项不符合题意 C、有三个角是直角的四边形是矩形，故该选项不符合题意； D、不能证明是矩形，故该选项符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了矩形的判定方法，熟练掌握矩形的判定方法是解题的关键． 5. 若，且，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形．根据余弦的定义以及特殊角三角函数值即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选；B． 6. 如图，平面直角坐标系中，直线交y轴正半轴与点C，与反比例函数的图象在第一象限内相交于A，B两点，延长交该反比例函数图象的另一分支于点D，连接．若，的面积为32，则k的值为（ ） A. 4 B. 8 C. 12 D. 16 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的几何意义、反比例函数的性质、相似三角形的判定及性质，过点作轴于，过点作轴于，连接，根据反比例函数的对称性得，进而得，求得，利用相似三角形的判定及性质得，设，，根据反比例函数的几何意义得，可得，根据梯形的面积公式即可求解，熟练掌握反比例函数的几何意义及相似三角形的判定及性质是解题的关键． 【详解】解：过点作轴于，过点作轴于，连接，如图： 由反比例函数的中心对称性可知，， ， ， ， 轴，轴， ， ， ， ， ， 设，， ， ， 即：， ， 解得：， 故选C． 7. 某校艺体节期间九年级举行足球赛，九年级每两个班之间都要比赛一场，艺体节为期35天，每天举行3场比赛，设该校九年级有x个班，依题意可列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意并正确列方程是解题关键．根据单循环比赛场数列方程即可． 【详解】解：∵每两个班之间比赛一场，为单循环赛， ∴总比赛场数为， ∵艺体节35天，每天3场比赛，总比赛场数为， ∴， 两边乘以2得：， 故选：C． 8. 如图，在中，，，D为的中点，连结，E为上一点，，过点E作于点M，于点N，记长为x，长为y．当x，y的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】过D作于K，于L，由直角三角形斜边中线的性质推出，由等腰三角形的性质得到，，由平行线分线段成比例定理推出，，设，，，，求出，，，因此、、的值在变化，由勾股定理求出，进而得到的值为定值． 【详解】解：过D作于K，于L， ∵，，D为的中点， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， 同理可得，， 设，，，， ∴，， ∴，， ∵记长为x，长为y， ∴，，， ∵a、b的值在变化， ∴、、的值在变化， 故A、B、C不符合题意； ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故D符合题意． 【点睛】由平行线分线段成比例定理推出，． 二．填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9. 若方程，则方程的根为________． 【答案】， 【解析】 【分析】由或即可求出方程的根． 【详解】， ∴或， ∴，． 故答案为：，． 【点睛】本题考查了因式分解法解一元二次方程，降低未知数的次数是解题的关键． 10. 如果两个相似三角形对应边之比是，那么它们的对应中线之比是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质．根据相似三角形的性质，即相似三角形对应中线，对应高，对应角平分线的比等于相似比． 【详解】解：∵两三角形相似，且对应边比为， ∴相似比为， ∴它们对应中线的比为． 11. 已知，在菱形中，，在上取点P，连接，，则的度数为_________． 【答案】或 【解析】 【分析】根据题意画出图形，然后根据垂直平分线的性质以及菱形的性质：对角线互相垂直平分，对角线平分对角进行分情况讨论即可． 【详解】解：在菱形中，， ∴互相垂直平分，， ∴， 当点P在上时： ∵互相垂直平分， ∴， ∴， ∴； 当点P在上时： 同理： ∴； 综上：的度数为或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了菱形的性质以及线段垂直平分线的性质，熟练掌握菱形的性质是解本题的关键，注意分类讨论． 12. 如图，需要得到的长度，与相交于点，，测得，，，则_______ m． 【答案】90 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用．由两角对应相等可得，利用对应边成比例即可得两岸间的大致距离的长． 【详解】解：，， ， ， 即 ， 解得：． 13. 若反比例函数的表达式为，则当时，y的取值范围是________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数性质，根据，反比例函数经过第二、四象限，在每个象限内，随的增大而增大，据此即可作答． 【详解】解：∵反比例函数的表达式为 ∴把代入，得 ∵，反比例函数经过第二、四象限，在每个象限内，随的增大而增大， ∴或 故答案为：或 14. 如图，点O是正方形的中心，．中，，过点D．分别交于点G、M，连接．若， ，则的周长为 _______ ． 【答案】 【解析】 【分析】连接，则过正方形的中心点O，过点F作于点H，根据正方形的性质以及直角三角形的性质可得的长，根据求出的长度，再证明，求出的长度，证得，得出的结论，进而求得的长度，即可求解． 【详解】解：如图，连接，则过正方形的中心点O，过点F作于点H， 四边形是正方形，， ，， ∴， ∵点O是正方形的中心， ∴， ∴， ，， ， ，， ，， ， ，， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ∴， ， ， ，， ∴的周长． 故答案为： 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，解直角三角形，勾股定理，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，直角三角形斜边中线的性质，综合性较强，能够作出合适的辅助线，构造出全等三角形是解题的关键． 三．解答题（共12小题，计78分，解答直写由过程） 15. 用适当方法解下列方程： （1）； （2） 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）利用因式分解法解一元二次方程即可； （2）利用公式法解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解：， 因式分解得，， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：， ， ∴， ∴，． 【点睛】本题考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 16. 函数（为常数）的图象过点． （1）求的值； （2）小明说：“该函数图象上的任意一点，若，则”，你赞同小明的说法吗？请说明理由． 【答案】（1）， （2） 解：不赞同 根据（1）可得，该函数图象上的任意一点，则， 当时，则有， 故小明说法不正确． 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数图象性质是解题的关键． （1）将代入求解即可． （2）取特殊值判断即可． 【小问1详解】 解：根据题意将代入， 则， 解得：，． 【小问2详解】 略 17. 已知关于的一元二次方程．求证：无论取何值时，方程总有两个不相等的实数根． 【答案】 证明：∵，，， ∴． ∵， ∴． ∴无论取何值时，方程总有两个不相等的实数根． 【解析】 【分析】根据根的判别式判断即可． 【详解】略 【点睛】本题考查了根的判别式，解题的关键是：当时，方程有两个不相等的实数根． 18. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别是，，．以点为位似中心，将放大为原来的2倍，得到（点、的对应点分别为、），使得点在第一象限． （1）在图中画出； （2）设点为内一点，写出点在内的对应点的坐标， 【答案】（1） 如图所示， （2） 【解析】 【分析】（1）根据位似的性质找到的对应点，顺次连接，即可求解； （2）根据位似图形的性质，将的横纵坐标都乘以2，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 点为内一点，则在内的对应点的坐标 【点睛】本题考查了画位似图形，位似图形的性质，掌握位似图形的性质是解题的关键． 19. 如图所示，△ABC中，∠ACB=90°，D，E分别为AB，BC的中点，连接DE并延长到点F，使得EF=DE，连接CD，CF，BF． （1）求证：四边形BFCD是菱形； （2）若cosA=，DE=5，求菱形BFCD的面积． 【答案】（1） 证明：∵点E为BC的中点， ∴CE=BE， 又∵EF=DE， ∴四边形BFCD是平行四边形， ∵D是边AB的中点，∠ACB=90°， ∴CD=AB=BD， ∴平行四边形BFCD是菱形； （2）菱形BFCD的面积为120． 【解析】 【分析】（1）先证四边形BFCD是平行四边形，再根据直角三角形斜边上的中线性质得到CD=AB=BD，即可得出结论； （2）由题意推出DE是△ABC的中位线，从而得到∠BDE=∠A，再由余弦的定义，及勾股定理可求出菱形的两条对角线的长度，从而得到菱形的面积. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵D，E分别为AB，BC的中点， ∴DE∥AC， ∴∠BDE=∠A， ∵cosA=， ∴cos∠BDE==， ∵DE=5， ∴BD=13， ∴BE=12， ∴DF=2DE=10，BC=2BE=24， ∴菱形BFCD的面积=×10×24=120． 【点睛】本题考查菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质、勾股定理、三角形的中位线定理等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明四边形BFCD为菱形是解题的关键． 20. 如图，一个质地均匀的转盘被平均分成6等份，分别标有1，2，3，4，5，6这6个数字．转动转盘，当转盘停止后，指针指向的数字即为转出的数字（指针停在分界线上时重新转动转盘）． （1）转出数字是1的概率是 ； （2）小红和小星都想周末去看《头脑特工2》，但只有一张电影票，他们决定借助转盘确定谁去．规则是“转动转盘，如果转出的数字大于3，则小红去；如果转出的数字小于3，则小星去”．这个规则公平吗？为什么？ 【答案】（1） （2） 解：这个规则不公平． 理由如下：∵数字大于3的结果有3种， ∴小红去的概率； ∵数字小于3的结果有2种， ∴小星去的概率， ∵， ∴这个规则不公平． 【解析】 【分析】本题主要考查随机事件及其概率的计算，列举出所有等可能出现的结果情况及所求事件包含的情况数是计算相应事件发生概率的关键． （1）转盘被平均分成6等份，转到每个数字的可能性相等，共有6种可能结果，指针指向数字1的只有1种，由概率公式可得； （2）分别计算出小红和小星去的概率，然后比较两概率的大小可判断这个游戏规则不公平． 【小问1详解】 转出数字是1的概率是， 故答案为：； 【小问2详解】 略 21. 如图所示，已知光源O与墙面的距离是，木棒长为． （1）当在光源与墙壁正中间时，在墙壁上的投影是多长？ （2）在（1）的条件下，当向光源移动（到的位置）时，它在墙壁上的投影又是多长？ 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质的应用： （1）证明，即可求解； （2）证明，即可求解． 【小问1详解】 解：由题意得，，则， ∵， ∴， ∴， 即， 解得， 即在墙壁上的投影是； 【小问2详解】 解：当向光源移动（到的位置）时，， ∵， ∴， ∴， 即， 解得， 即在墙壁上的投影是． 22. 某日上午晨光中学的饮水机开机水温为，加热时水温每分钟上升，加热到停止加热；随后水温开始下降，水温是时间的反比例函数，当水温降至时饮水机自动开启加热模式，重复上述程序，水温与时间之间的函数关系如图所示． （1）当时，求水温关于时间的函数表达式； （2）试判断小明到学校能喝到以上的水吗？请说明理由． 【答案】（1） （2） 能，理由如下： 由（1）得水温下降过程中，y与x的函数关系式是； 则， ∴水温从加热到，所需时间为， ∴， 则， 当水温再次降到时，此时时间是， ∴ 即小明到学校能喝到以上的水． 【解析】 【分析】本题考查的知识点是一次函数的图象与性质、求反比例函数的解析式、利用函数解决实际问题，解题关键是掌握反比例函数解析式的求法及利用函数解决实际问题． （1）依题得开始加热时每分钟上升，则水温从加热到所需时间用热量差每分钟加热的温度可得加热时间为8分钟，进而得到，点在反比例函数的图象上，代入即可求得k值，从而得到反比例函数解析式； （2）先求出水温从加热到，所需时间为，故当水温再次降到时，此时时间是，结合小明到学校，以及加热时每分钟上升，进行列式计算，即可作答． 【小问1详解】 解：某日上午晨光中学的饮水机开机水温为，加热时水温每分钟上升，加热到停止加热； ∴ 水温从加热到，所需时间为， 设在时，y与x的函数关系式为， 则点在函数的图象上， ∴， 解得， ∴； 设在时，y与x的反比例函数关系式为， 由题意得，点在反比例函数的图象上， ， 解得：， ； 把代入， 得， ∴， y与x的函数关系式是 故 【小问2详解】 略 23. 如图，线段相交于点，点是线段的中点，连接，分别延长交于点．已知，且． （1）求证：； （2）如果平分，求证：． 【答案】（1） 证明：， ， ， 又在中，点为中点， ， ， ； （2） 证明：平分， ， ， ， 又点是中点，， ， ， ∵ ， ， ． 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键． （1）根据已知易证，，由直角三角形的性质可得，进而得到，即可证明结论； （2）由题意得，易证，由直角三角形的性质可得，推出，，易证，即可得出结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 24. 已知：正方形的边长为，是边上一个动点不与点、点重合，，以为一边在正方形外作正方形，连接、． 观察计算：（1）如图1，当，时，四边形的面积为______； （2）如图2，当，时，四边形的面积为______； （3）如图3，当，时，四边形的面积为______； 探索发现：（4）根据上述计算的结果，你认为四边形的面积与正方形的面积之间有怎样的关系？ 【答案】（1）16；（2）16；（3）；（4）四边形的面积与正方形的面积相等 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质． （1）用大正方形的面积加上梯形的面积再减去直角三角形的面积，进行求解即可； （2）用大正方形的面积加上梯形的面积再减去直角三角形的面积，进行求解即可； （3）用大正方形的面积加上梯形的面积再减去直角三角形的面积，进行求解即可； （4）求出大正方形的面积，进行判断即可． 【详解】解：（1）四边形的面积； 故答案为：16； （2）四边形的面积； 故答案为：16； （3）四边形的面积； 故答案为：； （4）由上可知，四边形的面积等于正方形的面积； 四边形的面积； 正方形的面积； 故四边形的面积等于正方形的面积． 25. 某农场要建一个饲养场矩形，两面靠墙位置的墙最大可用长度为27米，AB位置的墙最大可用长度为15米，另两边用木栏围成，中间也用木栏隔开，分成两个场地及一处通道，并在如图所示的三处各留1米宽的门不用木栏．建成后木栏总长45米． （1）若饲养场矩形的一边CD长为x米，则另一边______米． （2）若饲养场矩形的面积为180平方米，求边CD的长． 【答案】（1） （2）边CD的长为10米 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及列代数式，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 由木栏总长为45米，列出代数式即可； 设米，则米，根据饲养场矩形的面积为180平方米，即可得出关于x的一元二次方程，解之取符合题意的值，即可得出结论． 【小问1详解】 解：米， 故答案为：； 【小问2详解】 解：设米，则米， 依题意得：， 整理得：， 解得：，， 当时，米米，不合题意，舍去； 当时，米米，符合题意； 答：边CD的长为10米． 26. 【问题情境】：如图1，点E为正方形ABCD内一点，，，，将直角三角形ABE绕A点逆时针方向旋转度（）点B、E的对应点分别为点、． 【问题解决】 （1）如图2，在旋转的过程中，点落在了AC上，求此时的长； （2）若，如图3，得到（此时与D重合），延长BE交于点F， ①试判断四边形的形状，并说明理由； ②连接CE，求CE的长； （3）在直角三角形ABE绕点A逆时针方向旋转过程中，直接写出线段长度的取值范围． 【答案】（1） （2）①四边形是正方形， 理由如下： 由旋转的性质得：，，， ， 四边形是矩形， ， 四边形是正方形， ② （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的判定与性质、旋转变换的性质、矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理等知识；熟练掌握正方形的性质和旋转变换的性质，证明是解题的关键． （1）由勾股定理得的长度，再由正方形的性质得的长度，然后由旋转的性质得，即可求解； （2）①由旋转的性质得，，，再证四边形是矩形，即可得出结论；②过点作于点，证，得，，再由勾股定理求解即可； （3）当点的运动轨迹是以点为圆心，为半径的圆上，即可得出答案． 【小问1详解】 解：，，， ， 四边形是正方形， ，， ， 由旋转的性质得：， ； 【小问2详解】 解：①略 ②过点作于点，如图所示： 则， ， ， 在和中， ， ， ，， ∴， ， 【小问3详解】 ∵直角三角形ABE绕点A逆时针方向旋转度（）， 点B、E的对应点分别为点、， ∴当时，与E重合，最短； 当落在CA的延长线上时，，最长， ∴线段长度的取值范围是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $