第8章 概率（举一反三讲义·基础篇）高二数学苏教版选择性必修第二册

该高中数学概率单元复习讲义通过十一大基础题型系统构建知识体系，从条件概率、全概率公式到离散型随机变量、正态分布，按“基础计算-变量分析-分布应用”递进梳理，用表格归纳题型要点，清晰呈现概率知识的内在逻辑与重难点分布。 讲义亮点在于“情境化问题链”设计，如用端午节粽子抽取考条件概率、感冒药治愈概率考全概率公式，培养学生用数学眼光观察现实世界的能力。题型涵盖选择、填空、解答题，基础题巩固概念，综合题提升思维，助力分层教学，教师可精准把握学情，学生能自主夯实基础。

第8章 概率全章十一大基础题型归纳（举一反三讲义·基础篇） 【苏教版】 题型1 条件概率的计算  1．（24-25高二下·河北石家庄·期末）已知随机事件、满足，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据条件概率公式，结合和事件概率公式进行求解即可. 【解答过程】因为， 所以有， 因此， 故选：A. 2．（24-25高二下·山东淄博·期末）从装有3个白球、4个红球的箱子中无放回地随机取两次，每次取一个球，表示事件“两次取出的球颜色相同”，表示事件“两次取出的球中至少有1个是红球”，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据条件概率公式，即可求得答案. 【解答过程】由题意可得， 表示事件“两次取出的球均是红球”，则， 故， 故选：D. 3．（24-25高二下·江苏泰州·期末）已知随机事件、，，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】利用条件概率公式可得出的值，进而可求得的值，再由可求得结果. 【解答过程】因为，，，所以， 由条件概率公式可得， 因此. 故选：C. 4．（24-25高二下·安徽淮北·月考）2025年5月31日，是我国的传统节日“端午节”．这天，小明的妈妈煮了5个粽子，其中两个腊肉馅，三个豆沙馅．小明随机抽取出两个粽子，若已知小明取到的两个粽子为同一种馅，则这两个粽子都为腊肉馅的概率为 ． 【答案】 【解题思路】根据给定条件，利用条件概率公式，结合组合计数问题列式计算. 【解答过程】设事件A为“取出的两个粽子为同一种馅”，事件B为“取出的两个粽子都为腊肉馅”， 则，，因此， 所以小明取到的两个粽子为同一种馅，则这两个粽子都为腊肉馅的概率为． 故答案为：. 5．（24-25高二下·宁夏银川·月考）某校从学生文艺部7名成员（4男3女）中，挑选2人参加学校举办的文艺汇演活动. (1)在已知男生甲被选中的条件下，女生乙被选中的概率； (2)在要求被选中的两人中必须一男一女的条件下，求女生乙被选中的概率. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）记“男生甲被选中”为事件A，“女生乙被选中”为事件B，由古典概型概率公式求出，，然后由条件概率公式可解； （2）记“挑选的2人一男一女”为事件C，由古典概型概率公式求出，，然后由条件概率公式可得. 【解答过程】（1）从7名成员中挑选2名成员，共有种情况， 记“男生甲被选中”为事件A，所包含的基本事件数为种，故. 记“男生甲被选中”为事件A，“女生乙被选中”为事件B，则， 故. （2）记“挑选的2人一男一女”为事件C， 事件C所包含的基本事件数为种， 由（1），则，则， 故. 题型2 利用全概率公式求概率 1．（24-25高二下·宁夏·期末）最近感冒频发，某任同学家中常备三种感冒药，分别为金花清感颗粒盒、莲花清瘟胶囊盒、感冒灵颗粒盒．若这三类药物能治愈感冒的概率分别为，，，他感冒时，随机从这几盒药物里选择一盒服用，则感冒被治愈的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据题意，利用全概率公式即可求解. 【解答过程】设随机从这几盒药物里选择一盒，取到金花清感颗粒为事件，取到莲花清瘟胶囊为事件，取到感冒灵颗粒为事件，感冒被治愈为事件， 则，，， ，，， 所以感冒被治愈的概率为 ． 故选：D. 2．（24-25高二下·宁夏·期中）某学校组织数学竞赛活动，准备了两组题目分别放在A，B两个箱子中．A箱中有4道代数题和2道几何题，B箱中有3道代数题和3道几何题．参赛选手先在两个箱子中任选一个箱子，然后从选中的箱子中依次抽取2道题（不放回）作答．若乙同学选择A箱，答题结束后工作人员失误将乙抽取的题目放回了B箱，接着丙同学选择从B箱抽取题目，则丙抽取的2道题中至少有一道代数题的概率为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】先设出事件，依题分别求出和，和，利用全概率公式计算即可. 【解答过程】设事件为“丙从箱中抽取的2道题中至少有一道代数题”， 事件为“乙从箱中取出2道代数题”，则， 事件为“乙从箱中取出1道代数题和1道几何题”，则， 事件为“乙从箱中取出2道几何题”，则， 当发生时，箱中有5道代数题和3道几何题，则； 当发生时，箱中有4道代数题和4道几何题，则； 当发生时，箱中有3道代数题和5道几何题，则. 由全概率公式可得 . 故选：D. 3．（24-25高二下·新疆·期末）某超市鸡蛋成板出售，每板10个．若各板鸡蛋含0，1，2个破损鸡蛋的概率分别为，，．甲计划在该超市购买一板鸡蛋，先由超市服务员随意取一板，再由甲任意抽取该板鸡蛋中的3个鸡蛋，若没有破损鸡蛋，则买下该板鸡蛋，否则退回，则甲买下该板鸡蛋的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】设出事件，直接利用全概率公式求解即可. 【解答过程】设事件为“该板鸡蛋中有i个破损鸡蛋”，其中i＝0，1，2， 事件B为“甲买下该板鸡蛋”，则， ， 则． 故选：D. 4．（24-25高二下·福建厦门·期末）为了提升全民身体素质，学校十分重视学生体育锻炼，某校篮球运动员进行投篮练习，如果他前一球投进则后一球投进的概率为；如果他前一球投不进则后一球投进的概率为.若他第1球投进的概率为，则他第2球投进的概率为 . 【答案】 【解题思路】应用全概率公式计算求解. 【解答过程】记事件为“第1球投进”，事件为“第2球投进”， ，，， 由全概率公式可得 . 故答案为：. 5．（24-25高二下·浙江杭州·期末）某仓库有一批电流表，其中60%，30%，10%依次由甲、乙、丙三家厂家生产，且甲、乙、丙厂的次品率分别是． (1)现在从这批电流表中任取一个，求取到次品的概率； (2)若从这批电流表中取出一个，发现是次品，求该电流表是乙厂家生产的概率． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）用，，分别表示事件取到的这件产品是甲、乙、丙厂生产的，利用全概率公式求解即可； （2）利用条件概率与独立事件的概率公式求解即可. 【解答过程】（1）用，，分别表示事件取到的这件产品是甲、乙、丙厂生产的， 以表示事件取到的产品为次品，则 ，，， ，，， 由全概率公式，得 . （2）若从这批产品中取出一件产品，发现是次品， 该件产品是乙厂生产的概率为 . 题型3 离散型随机变量的判断 1．（24-25高二下·河北邢台·月考）下列是离散型随机变量的是（   ） A．种子含水量的测量误差 B．某品牌电视机的使用寿命 C．某网页在24小时内被浏览的次数 D．测量某一零件的长度产生的测量误差 【答案】C 【解题思路】根据离散型随机变量的概念逐项判断即可. 【解答过程】因为离散型随机变量是可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量， 对于A，种子含水量的测量误差不能一一列举，故不是离散型随机变量； 对于B，某品牌电视机的使用寿命不能一一列举，故不是离散型随机变量； 对于C，某网页在24小时内被浏览的次数能一一列举，是离散型随机变量； 对于D，测量某一零件的长度产生的测量误差不能一一列举，故不是离散型随机变量． 故选：C. 2．（24-25高二下·重庆·期中）下面给出的四个随机变量中是离散型随机变量的是（    ） ①某食堂在中午半小时内进的人数；    ②某元件的测量误差； ③小明在一天中浏览网页的时间；    ④高一2班参加运动会的人数； A．①② B．③④ C．①③ D．①④ 【答案】D 【解题思路】根据给定条件，利用离散型随机变量的定义分析各命题，再判断作答. 【解答过程】对于①，某食堂在中午半小时内进的人数可以一一列举出来，故①是离散型随机变量；对于②，某元件的测量误差不能一一列举出来，故②不是离散型随机变量； 对于③，小明在一天中浏览网页的时间不能一一列举出来，故③不是离散型随机变量；对于④，高一2班参加运动会的人数可以一一列举出来，故④是离散型随机变量； 故选：D. 3．（24-25高二下·福建福州·期中）下列叙述中，是离散型随机变量的是（    ） A．某电子元件的寿命 B．高速公路上某收费站在一小时内经过的车辆数 C．某人早晨在车站等出租车的时间 D．测量某零件的长度产生的测量误差 【答案】B 【解题思路】根据离散型随机变量的定义直接求解. 【解答过程】某电子元件的寿命可为任意值，不能一一列举出来，不是离散型随机变量； 一小时内经过的车辆数可以一一列举出来，是离散型随机变量； 等出租车的时间是随机变量，但无法一一列出，不是离散型随机变量； 测量误差不能一一列出，不是离散型随机变量． 故选：B． 4．（24-25高二下·全国·课后作业）指出下列随机变量是否是离散型随机变量，并说明理由． (1)某座大桥一天内经过的车辆数量； (2)某超市5月份每天的销售额； (3)当江西省九江市长江水位监测站所测水位在这一范围内变化时，该水位监测站所测水位． 【答案】(1)是，理由见解析； (2)是，理由见解析； (3)不是，理由见解析. 【解题思路】（1）（2）（3）离散型随机变量和连续型随机变量的主要区别在于离散型随机变量可以被一一列举出来，理解判断即可. 【解答过程】（1）车辆数量可以被一一列举出来，所以是离散型随机变量； （2）5月份每天的销售额可以被一一列举出来，所以是离散型随机变量； （3）水位监测站所测水位在这一范围内变化，不能被一一列举出来，所以不是离散型随机变量. 5．（24-25高二下·全国·课堂例题）下列变量中，哪些是随机变量，哪些是离散型随机变量？并说明理由． (1)某机场一年中每天运送乘客的数量； (2)某单位办公室一天中接到电话的次数； (3)明年5月1日到10月1日期间所查酒驾的人数； (4)一瓶果汁的容量为. 【答案】(1)是随机变量，也是离散型随机变量，理由见解析 (2)是随机变量，也是离散型随机变量，理由见解析 (3)是随机变量，也是离散型随机变量，理由见解析 (4)是随机变量，但不是离散型随机变量，理由见解析 【解题思路】根据离散型随机变量概念性质可解. 【解答过程】（1）某机场一年中每天运送乘客的数量可能为0，1，2，3，…，是随机变化的，因此是随机变量，也是离散型随机变量． （2）某单位办公室一天中接到电话的次数可能为0，1，2，3，…，是随机变化的，因此是随机变量，也是离散型随机变量． （3）明年5月1日到10月1日期间，所查酒驾的人数可能为0，1，2，3，…，是随机变化的，因此是随机变量，也是离散型随机变量． （4）由于果汁的容量在498mL~502mL之间波动，是随机变量，但不是离散型随机变量,是连续性随机变量. 题型4 求离散型随机变量的分布列 1．（24-25高二下·河南新乡·期中）投掷两枚质地均匀的骰子，记偶数点朝上的骰子的个数为，则的分布列为（    ） A． X 1 2 P B． X 0 1 P C．   X 0 1 2 P                           D．    X 0 1 2 P                 【答案】C 【解题思路】根据离散型随机变量的分布列，即可写出答案. 【解答过程】因为每枚骰子偶数点朝上的概率为，且相互独立，的取值可能为0，1，2. ，，， 所以的分布列为： X P 故选：C. 2．（24-25高二下·全国·课后作业）甲、乙两人下象棋，甲赢了得3分，平局得1分，输了得0分，共下三局.用表示甲的得分，则表示（    ） A．甲赢三局 B．甲赢一局 C．甲、乙平局三次 D．甲赢一局或甲、乙平局三次 【答案】D 【解题思路】根据题意，分两种情况，即甲赢一局或甲、乙平局三次. 【解答过程】由于甲赢了得3分，平局得1分，输了得0分，故分成两种情况， 即或者，即甲赢一局或甲、乙平局三次. 故选：D. 3．（24-25高二下·福建莆田·期中）分别在即，5位同学各自写了一封祝福信，并把写好的5封信一起放在心愿盒中，然后每人在心愿盒中各取一封，不放回．设X为恰好取到自己祝福信的人数，则 ． 【答案】 【解题思路】根据题意，由条件可得的可能取值，然后分别求得取的概率，即可得到的值. 【解答过程】由题意可知，的可能取值为0，1，2，3，5 对应概率依次为：， ， ， ， 则. 故答案为：. 4．（24-25高二下·安徽·月考）一袋中装有编号为1，2，3，4的4个大小相同的球，现从中随机取出2个球，X表示取出的最大号码. (1)求的概率; (2)求X的分布列. 【答案】(1) (2)分布列见解析 【解题思路】（1）利用古典概型概率公式分别求出和的概率，根据互斥事件的概率加法公式计算即可； （2）由题意知X的可能取值为2，3，4，分别求出对应的概率，列出分布列即可. 【解答过程】（1）依题意， （2）X的可能取值为2，3，4， 则，，， 故X的分布列为： X 2 3 4 P 5．（24-25高二下·贵州遵义·月考）某医院计划从急诊科、骨科中选调医生组建一支6人医疗救援队，该院骨科、急诊科各有5名医生报名加入医疗救援队. (1)小张是这次报名的骨科医生，求小张被选入医疗救援队的概率； (2)设被选入医疗救援队的骨科医生人数为X，求随机变量X的分布列. 【答案】(1) (2)分布列见解析 【解题思路】（1）利用组合数求得总情况数与符合题意的情况数，根据古典概型，可得答案； （2）利用离散型随机变量的计算步骤求得分布列. 【解答过程】（1）设事件A为“小张被选入医疗救援队”， 则. （2）由题意，X的所有取值可能为1，2，3，4，5， ， ， ， ， ， 则X的分布列为 X 1 2 3 4 5 P 题型5 两点分布 1．（24-25高二下·广东江门·期末）若随机变量X服从两点分布，，则为（   ） A．0.3 B．0.5 C．0.7 D．0.8 【答案】C 【解题思路】根据两点分布性质计算即可. 【解答过程】由题可知：X服从两点分布，所以， 又， 所以. 故选：C. 2．（24-25高二下·福建宁德·期末）随机变量服从两点分布，其分布列如下表所示： 0 1 则（   ） A． B． C． D．或 【答案】B 【解题思路】由概率之和为1即可列方程求解. 【解答过程】由题意，解得或（舍去）. 故选：B. 3．（24-25高二下·辽宁本溪·月考）已知离散型随机变量服从两点分布，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据两点分布可得，再结合已知即可得. 【解答过程】离散型随机变量服从两点分布，则， 又，所以. 故选：A. 4．（24-25高二下·辽宁锦州·期末）已知随机变量服从两点分布，且，若，则 . 【答案】0.6 【解题思路】根据两点分布的性质可求得，进而由 得出结果. 【解答过程】随机变量服从两点分布，且，则， 若，可知，则 . 故答案为：0.6. 5．（24-25高二下·全国·课前预习）已知一批200件的待出厂产品中，有1件不合格品，现从中任意抽取2件进行检查，若用随机变量表示抽取的2件产品中的次品数，求的分布列． 【答案】分布列见解析 【解题思路】先确定服从两点分布，再求取各值的概率，由此可得其分布列. 【解答过程】由题意知，的取值有，故服从两点分布， ， 所以． 所以随机变量的分布列为 0 1 题型6 求离散型随机变量的均值 1．（24-25高二下·山东青岛·月考）现有10件产品，其中4件是正品，从中任意抽取3件，若表示取到次品的件数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据题意可得的所有取值为，进而求出的分布列，根据分布列求其数学期望即可. 【解答过程】由题意，的所有取值为， 则，， ，， 所以. 故选：D. 2．（24-25高二下·广西贵港·月考）若随机变量的分布列如下表，则的值为（    ） 1 2 3 A． B．1 C． D． 【答案】C 【解题思路】首先根据分布列性质得，再利用期望公式即可得到答案. 【解答过程】由分布列可得，解得． 故． 故选：C． 3．（24-25高二下·全国·课后作业）甲、乙、丙三人各打靶一次，若甲打中的概率为，乙、丙打中的概率均为（），且甲、乙、丙都打中的概率是，用表示甲、乙两人中靶的人数，则的数学期望是（   ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【解题思路】由独立事件乘法公式求得，进而结合分布列求解即可； 【解答过程】依题意，甲、乙、丙都打中的概率， 解得（负值已舍去）， 所以乙打中的概率为． 由题意可得，的可能取值为0，1，2， 且， ， ， 所以． 故选：D． 4．（24-25高二下·四川绵阳·月考）已知随机变量的分布列如表，则 . X 1 2 P m 0.5 0.2 【答案】 【解题思路】根据分布列性质可得，再由期望公式以及期望值性质计算可得结果. 【解答过程】由分布列的性质可知，解得， 所以， 可得. 故答案为：. 5．（24-25高二下·新疆·期末）小亦计划暑期出游，现有3个省内景点、2个省外景点供选择，省内每个景点均需花费2000元，省外每个景点均需花费6000元．小亦从这5个景点中随机选择2个景点，每个景点的选择机会均等． (1)求小亦省内、省外景点都选择的概率； (2)设小亦所选的2个景点的总花费为X元，求X的分布列及数学期望． 【答案】(1) (2)分布列见解析， 【解题思路】（1）结合组合数的应用，利用古典概型概率公式求解即可. （2）先求出随机变量X的取值，然后求出对应的概率，即可求出分布列，最后代入期望公式求解即可. 【解答过程】（1）记小亦选择Y个省外景点，则， 即小亦省内、省外景点都选择的概率为． （2）X的可能取值为4000，8000，12000， 则， 所以X的分布列如下表所示： X 4000 8000 12000 P 所以． 题型7 求离散型随机变量的方差、标准差 1．（24-25高二下·江苏盐城·期中）已知随机变量X的取值为0，1，2，若，，则标准差为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】利用分布列求期望与方差即可得解. 【解答过程】设，则可得分布列如下表; 0 1 2 根据期望公式得：， 解得， 所以根据方差公式得：， 即标准差为， 故选：C. 2．（24-25高二下·河南漯河·期末）随机变量的分布列如下表，若，则（   ） 0 1 2 A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】由分布列的性质求得，再由方差公式求方差即可. 【解答过程】由，得． 所以． 故选：D. 3．（2025高二·全国·专题练习）设，随机变量的分布列如表． 0 1 2 P 则当p在内增大时，下列说法正确的是（    ） A．一直减小 B．一直增大 C．先减小后增大 D．先增大后减小 【答案】D 【解题思路】设，求出随机变量的数学期望得方差 ，再利用二次函数的单调性可得答案. 【解答过程】设，随机变量的数学期望； 方差 ， 所以时，单调递增，时，单调递减， 所以先增大后减小． 故选：D． 4．（24-25高二下·山东临沂·月考）已知为两所高校举行的自主招生考试，某同学参加每所高校的考试获得通过的概率均为，该同学一旦通过某所高校的考试，就不再参加其他高校的考试，设该同学通过高校的个数为随机变量，则 ． 【答案】 【解题思路】首先列出随机变量，再求解分布列，最后求数学期望和方差. 【解答过程】由条可知，，，， 则， . 故答案为：. 5．（24-25高二下·全国·课前预习）甲、乙两人进行定点投篮游戏，投篮者若投中，则继续投篮，否则由对方投篮，第一次由甲投篮．已知每次投篮甲、乙命中的概率分别为，，在前3次投篮中，乙投篮的次数为，求的分布列、方差及标准差． 【答案】分布列见解析，， 【解题思路】依题意，确定的所有可能值，计算出每个值对应的概率，列出分布列，运用均值、方差公式计算即得. 【解答过程】由题意得，的可能取值为0，1，2． ， ， ． 故的分布列为 0 1 2 ， ． ． 题型8 服从二项分布的随机变量概率最大问题 1．（24-25高二下·吉林白山·期末）已知随机变量，当且仅当时，取得最大值，则（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】B 【解题思路】由二项分布的概念，根据二项式系数的对称性即可求解. 【解答过程】由题得， 由题知在中，最大值只有， 即在中，最大值只有，由二项式系数的对称性可知. 故选：. 2．（24-25高二下·江西·期末）某商家开展促销活动，已知当天参加活动的顾客中，消费超过200元的顾客的频率为，用频率估计概率，现从参加活动的顾客中随机抽取20人赠送小礼品，若这20人中有人消费超过200元的概率最大，则的值为（    ） A．7 B．8 C．9 D．8或9 【答案】B 【解题思路】由题知抽到消费超过200元的人数，，则，再利用组合数的性质求最大值即可. 【解答过程】由题知抽到消费超过200元的人数，， 则，又这20人中有人消费超过200元的概率最大， 所以， 即，解得， 又，所以. 故选：B. 3．（24-25高二上·江苏常州·期中）如图是一块高尔顿板的示意图.在一块木板上钉着10排相互平行但错开的小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃将小球从顶端放入，小球下落过程中，假定其每次碰到小木钉后，向左下落的概率为，向右下落的概率为，最后落入底部的格子中.格子从左到右分别编号为，则小球落入（    ）号格子的概率最大. A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【解题思路】利用n次独立重复试验中，小球掉入号格子的概率为，设小球掉入k号格子的概率最大，则，再利用组合数公式，结合题目已知条件进行求解. 【解答过程】小球下落需要10次碰撞，每次向左落下的概率为，向右下落的概率为， 小球掉入0号格子，需要向左10次，则概率为； 小球掉入1号格子，需要向左9次，向右1次，则概率为； 小球掉入2号格子，需要向左8次，向右2次，则概率为； 小球掉入3号格子，需要向左7次，向右3次，则概率为； 依此类推，小球掉入号格子，需要向左次，向右k次，概率为， 设小球掉入k号格子的概率最大，显然， 则，即， 即 解得， 又k为整数，， 则小球落入7号格子的概率最大. 故选：C. 4．（24-25高二下·山东泰安·期末）若随机变量，则当取最大值时，正整数k的值是 . 【答案】4 【解题思路】由题意得，然后根据解出即可. 【解答过程】由题意， 当取最大值时，， 即，其中， 化简得，解得， 所以取最大值时，. 故答案为：4. 5．（2025·陕西西安·模拟预测）在2024年“五四青年节”，某校举办了有关五四运动的知识竞赛活动，本次知识竞赛的晋级环节设置3道必答题目，至少答对2道题目则晋级，否则被淘汰，某年级有20名同学进入晋级环节，根据统计，每人对这3道题目答对的概率分别为，，，且3道题目答对与否互不影响. (1)设X表示这20人中晋级的人数，求； (2)记这20人中人晋级的概率为，求取得最大值时k的取值. 【答案】(1) (2)12 【解题思路】（1）求解答对2、3题的概率可得每人晋级的概率，再根据二项分布的数学期望求解即可； （2）根据二项分布公式，结合取得最大值则满足，列不等式求解即可. 【解答过程】（1）由题意，晋级需要答对2题或3题， 答对2题的概率 . 答对3题的概率. 故每人晋级的概率为. 故. （2）由（1）可得，每人晋级的概率均为， 故， 则，， 当时，取得最大值则满足， 即， 故，即， 故，即，解得， 又，故，即取得最大值时k的取值为12. 题型9 求超几何分布的概率 1．（24-25高二下·内蒙古赤峰·期末）一批零件共有10个，其中有3个不合格．随机抽取3个零件进行检测，恰好有1件不合格的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据题意结合超几何分布分析求解即可. 【解答过程】从10个零件中抽取3个的总方式数为； 不合格零件有3个，从中选1个的方式数为 ， 合格零件有7个，从中选2个的方式数为 ， 根据分布乘法计数原理，恰好1个不合格的总方式数为； 根据古典概型得. 故选：B. 2．（24-25高二下·江苏南京·期中）盒中有10个玩具，其中有3个是坏的，先从盒中随机地抽取4个，则下列事件概率是的是（   ） A．恰有1个是坏的 B．4个全是好的 C．恰有2个是坏的 D．至多有2个是坏的 【答案】B 【解题思路】应用超几何分布的概率公式计算各个选项即可. 【解答过程】盒中有10个玩具，其中3个坏的，7个好的.抽取4个玩具，计算各选项概率如下： 选项A（恰有1个坏的）：； 选项B（4个全是好的）：； 选项C（恰有2个坏的）：； 选项D（至多2个坏的）：； 综上，只有选项B的概率为， 故选：B. 3．（24-25高二下·陕西西安·月考）已知6名同学中有名男生，若从这6名同学中随机抽取2名作为学生代表，恰好抽到1名男生的概率是，则（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】C 【解题思路】由超几何分布的概率公式求解即可. 【解答过程】设抽到的男生数为，则服从超几何分布，，解得3. 故选：C. 4．（24-25高二下·广东潮州·期末）某不透明纸箱中共有6个小球，其中2个白球，4个红球，它们除颜色外均相同.一次性从纸箱中摸出3个小球，记摸出红球个数为，则 . 【答案】 【解题思路】根据给定条件，可得服从超几何分布，再利用超几何分布的概率公式即可求解. 【解答过程】依题意得，摸出红球个数服从超几何分布，所以. 故答案为：. 5．（24-25高二下·全国·课后作业）一批照明灯泡有100个，规定其使用寿命达到1000小时以上的为合格品，使用寿命不足1000小时的为不合格品．使用方从该批灯泡中抽样，采用抽样方案，即从该批灯泡中随机抽取5个，若全部合格，则该批灯泡通过验收，否则该批灯泡未通过验收． (1)假定生产方和使用方约定，允许这批灯泡有的不合格率，实际这批灯泡中有7个不合格品．经检测该批产品未通过验收的概率有多大？（结果精确到0.001） (2)现已知这批灯泡中有2个不合格品，写出抽样方案中合格品数的分布并求这批灯泡通过验收的概率．（结果精确到0.001） 【答案】(1) (2)分布列见解析， 【解题思路】（1）由超几何分布的概率、对立事件的概率公式求解即可. （2）由超几何分布的概率公式即可求解. 【解答过程】（1）记抽到的合格品数为，该批灯泡中的合格品为93个，不合格品为7个， 所以采取抽样方案时通过验收的概率为， 所以未通过验收的概率约为． （2）该批灯泡中的合格品为98个，不合格品为2个， ， 所以采取抽样方案时的合格品数的分布为 3 4 5 0.002 0.096 0.902 所以该批产品通过验收的概率为． 题型10 正态曲线的特点 1．（24-25高二下·湖北孝感·月考）已知三个正态分布密度函数（其中，为自然对数的底数）的图像如图所示，则下列结论正确的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据正态分布密度函数图像直接判断得出. 【解答过程】，正态曲线关于对称，且越大图像越靠近右边，根据图像知， 第一个曲线的均值比第二和第三个的均值都小，且第二，第三两个的均值相等， 即，故B、D错误； ，越小图像越瘦高，根据图像知，第一个图像的等于第二个图像的，且第二个图像的比第三个的要小， .，所以A错误，C正确． 故选：C. 2．（24-25高二下·河南南阳·期末）已知三个正态密度函数（，）的图像如图所示，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【解题思路】由正态分布的图像中对称轴位置比较均值大小，图像胖瘦判断标准差的大小. 【解答过程】由题图中的对称轴知：， 与(一样)瘦高，而胖矮， 所以. 故选：C. 3．（24-25高二下·浙江温州·期中）设，，这两个正态分布密度曲线如图所示，下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据正态分布曲线的性质，确定出两个均值和方差的大小，然后结合图比较概率的大小 【解答过程】因为，，两曲线分别关于对称， 所以由图可知，，所以A错误， 因为的分布曲线“高瘦”，的分布曲线“矮胖”， 所以 ，所以B错误， 所以，， 所以C错误，D正确， 故选：D. 4．（24-25高三上·广东佛山·月考）李明上学有时坐公交车，有时骑自行车，他各记录了50次坐公交车和骑自行车所花的时间，经数据分析得到，假设坐公交车用时X和骑自行车用时Y都服从正态分布，．X和Y的分布密度曲线如图所示．则下列结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据给定的正态分布密度曲线，结合正态分布的对称性和性质，逐项判定，即可求解. 【解答过程】对于A中，随机变量服从正态分布，且， 可得随机变量的方差为，即，所以A错误； 对于B中，根据给定的正态分布密度曲线图像，可得随机变量， 所以，所以B错误； 对于C中，根据正态分布密度曲线图像，可得时，随机变量对应的曲线与围成的面积小于时随机变量对应的曲线与围成的面积， 所以，所以C正确； 对于D中，根据正态分布密度曲线图像，可得，， 即，所以D错误. 故选：C. 5．（2025高二·全国·专题练习）为了迎接春节的到来，某大型商场准备了质量为2kg的甲、乙两类水果礼盒．甲、乙两类水果礼盒与标识质量的差（单位：kg），分别服从正态分布，，其相应的分布密度曲线如图所示，则下列说法正确的是（    ）[正态曲线的函数解析式为，]    A．甲类水果质量差的平均值 B．乙类水果的质量差比甲类水果的质量差更集中于均值左右 C．甲类水果的平均质量差比乙类水果的平均质量差大 D．乙类水果的质量差服从的正态分布的参数 【答案】A 【解题思路】通过观察正态曲线的对称轴和形状，结合正态曲线的函数解析式来判断各选项的正误. 【解答过程】由题图可知甲图象关于直线对称，乙图象关于直线对称，所以，，，故A正确，C错误； 因为甲图象比乙图象更“高瘦”，所以甲类水果的质量差比乙类水果的质量差更集中于均值左右，故B错误； 因为乙图象的最高点为，即，所以，故D错误． 故选：A． 题型11 正态分布的概率计算 1．（24-25高二下·广东汕尾·期末）已知随机变量X服从正态分布，且，则（    ） A．0.21 B．0.2 C．0.31 D．0.3 【答案】A 【解题思路】根据正态分布曲线的对称性求解即可. 【解答过程】因为随机变量X服从正态分布，且， 所以 . 故选：A. 2．（24-25高二下·湖北襄阳·期末）已知随机变量，，则（   ） A．0.15 B．0.2 C．0.3 D．0.35 【答案】C 【解题思路】由正态分布的对称性即可求解. 【解答过程】已知随机变量，， 则 . 故选：C. 3．（24-25高二下·湖南邵阳·期末）已知某市高中男生的身高X（单位：）近似服从正态分布，则从该市随机抽取一名高中男生，其身高位于到之间的概率约为（   ） 参考数据： A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据正态分布的原则，计算概率即可. 【解答过程】由题意知， 则， 故选：B. 4．（24-25高二下·青海西宁·期末）已知随机变量服从正态分布，且，则 . 【答案】0.4 【解题思路】根据正态曲线的对称性易得. 【解答过程】因为，所以，又， 由正态曲线的对称性，可得. 故答案为：0.4. 5．（24-25高二下·全国·课堂例题）设，试求： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）（2）根据正态分布的对称性即可求解. 【解答过程】（1）， ，， ． （2） ， ． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 第8章 概率全章十一大基础题型归纳（举一反三讲义·基础篇） 【苏教版】 题型1 条件概率的计算  1．（24-25高二下·河北石家庄·期末）已知随机事件、满足，，，则（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·山东淄博·期末）从装有3个白球、4个红球的箱子中无放回地随机取两次，每次取一个球，表示事件“两次取出的球颜色相同”，表示事件“两次取出的球中至少有1个是红球”，则（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·江苏泰州·期末）已知随机事件、，，，，则（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高二下·安徽淮北·月考）2025年5月31日，是我国的传统节日“端午节”．这天，小明的妈妈煮了5个粽子，其中两个腊肉馅，三个豆沙馅．小明随机抽取出两个粽子，若已知小明取到的两个粽子为同一种馅，则这两个粽子都为腊肉馅的概率为 ． 5．（24-25高二下·宁夏银川·月考）某校从学生文艺部7名成员（4男3女）中，挑选2人参加学校举办的文艺汇演活动. (1)在已知男生甲被选中的条件下，女生乙被选中的概率； (2)在要求被选中的两人中必须一男一女的条件下，求女生乙被选中的概率. 题型2 利用全概率公式求概率 1．（24-25高二下·宁夏·期末）最近感冒频发，某任同学家中常备三种感冒药，分别为金花清感颗粒盒、莲花清瘟胶囊盒、感冒灵颗粒盒．若这三类药物能治愈感冒的概率分别为，，，他感冒时，随机从这几盒药物里选择一盒服用，则感冒被治愈的概率为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·宁夏·期中）某学校组织数学竞赛活动，准备了两组题目分别放在A，B两个箱子中．A箱中有4道代数题和2道几何题，B箱中有3道代数题和3道几何题．参赛选手先在两个箱子中任选一个箱子，然后从选中的箱子中依次抽取2道题（不放回）作答．若乙同学选择A箱，答题结束后工作人员失误将乙抽取的题目放回了B箱，接着丙同学选择从B箱抽取题目，则丙抽取的2道题中至少有一道代数题的概率为（ ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·新疆·期末）某超市鸡蛋成板出售，每板10个．若各板鸡蛋含0，1，2个破损鸡蛋的概率分别为，，．甲计划在该超市购买一板鸡蛋，先由超市服务员随意取一板，再由甲任意抽取该板鸡蛋中的3个鸡蛋，若没有破损鸡蛋，则买下该板鸡蛋，否则退回，则甲买下该板鸡蛋的概率为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二下·福建厦门·期末）为了提升全民身体素质，学校十分重视学生体育锻炼，某校篮球运动员进行投篮练习，如果他前一球投进则后一球投进的概率为；如果他前一球投不进则后一球投进的概率为.若他第1球投进的概率为，则他第2球投进的概率为 . 5．（24-25高二下·浙江杭州·期末）某仓库有一批电流表，其中60%，30%，10%依次由甲、乙、丙三家厂家生产，且甲、乙、丙厂的次品率分别是． (1)现在从这批电流表中任取一个，求取到次品的概率； (2)若从这批电流表中取出一个，发现是次品，求该电流表是乙厂家生产的概率． 题型3 离散型随机变量的判断 1．（24-25高二下·河北邢台·月考）下列是离散型随机变量的是（   ） A．种子含水量的测量误差 B．某品牌电视机的使用寿命 C．某网页在24小时内被浏览的次数 D．测量某一零件的长度产生的测量误差 2．（24-25高二下·重庆·期中）下面给出的四个随机变量中是离散型随机变量的是（    ） ①某食堂在中午半小时内进的人数；    ②某元件的测量误差； ③小明在一天中浏览网页的时间；    ④高一2班参加运动会的人数； A．①② B．③④ C．①③ D．①④ 3．（24-25高二下·福建福州·期中）下列叙述中，是离散型随机变量的是（    ） A．某电子元件的寿命 B．高速公路上某收费站在一小时内经过的车辆数 C．某人早晨在车站等出租车的时间 D．测量某零件的长度产生的测量误差 4．（24-25高二下·全国·课后作业）指出下列随机变量是否是离散型随机变量，并说明理由． (1)某座大桥一天内经过的车辆数量； (2)某超市5月份每天的销售额； (3)当江西省九江市长江水位监测站所测水位在这一范围内变化时，该水位监测站所测水位． 5．（24-25高二下·全国·课堂例题）下列变量中，哪些是随机变量，哪些是离散型随机变量？并说明理由． (1)某机场一年中每天运送乘客的数量； (2)某单位办公室一天中接到电话的次数； (3)明年5月1日到10月1日期间所查酒驾的人数； (4)一瓶果汁的容量为. 题型4 求离散型随机变量的分布列 1．（24-25高二下·河南新乡·期中）投掷两枚质地均匀的骰子，记偶数点朝上的骰子的个数为，则的分布列为（    ） A． X 1 2 P B． X 0 1 P C．   X 0 1 2 P                           D．    X 0 1 2 P                 2．（24-25高二下·全国·课后作业）甲、乙两人下象棋，甲赢了得3分，平局得1分，输了得0分，共下三局.用表示甲的得分，则表示（    ） A．甲赢三局 B．甲赢一局 C．甲、乙平局三次 D．甲赢一局或甲、乙平局三次 3．（24-25高二下·福建莆田·期中）分别在即，5位同学各自写了一封祝福信，并把写好的5封信一起放在心愿盒中，然后每人在心愿盒中各取一封，不放回．设X为恰好取到自己祝福信的人数，则 ． 4．（24-25高二下·安徽·月考）一袋中装有编号为1，2，3，4的4个大小相同的球，现从中随机取出2个球，X表示取出的最大号码. (1)求的概率; (2)求X的分布列. 5．（24-25高二下·贵州遵义·月考）某医院计划从急诊科、骨科中选调医生组建一支6人医疗救援队，该院骨科、急诊科各有5名医生报名加入医疗救援队. (1)小张是这次报名的骨科医生，求小张被选入医疗救援队的概率； (2)设被选入医疗救援队的骨科医生人数为X，求随机变量X的分布列. 题型5 两点分布 1．（24-25高二下·广东江门·期末）若随机变量X服从两点分布，，则为（   ） A．0.3 B．0.5 C．0.7 D．0.8 2．（24-25高二下·福建宁德·期末）随机变量服从两点分布，其分布列如下表所示： 0 1 则（   ） A． B． C． D．或 3．（24-25高二下·辽宁本溪·月考）已知离散型随机变量服从两点分布，且，则（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高二下·辽宁锦州·期末）已知随机变量服从两点分布，且，若，则 . 5．（24-25高二下·全国·课前预习）已知一批200件的待出厂产品中，有1件不合格品，现从中任意抽取2件进行检查，若用随机变量表示抽取的2件产品中的次品数，求的分布列． 题型6 求离散型随机变量的均值 1．（24-25高二下·山东青岛·月考）现有10件产品，其中4件是正品，从中任意抽取3件，若表示取到次品的件数，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·广西贵港·月考）若随机变量的分布列如下表，则的值为（    ） 1 2 3 A． B．1 C． D． 3．（24-25高二下·全国·课后作业）甲、乙、丙三人各打靶一次，若甲打中的概率为，乙、丙打中的概率均为（），且甲、乙、丙都打中的概率是，用表示甲、乙两人中靶的人数，则的数学期望是（   ） A． B． C．1 D． 4．（24-25高二下·四川绵阳·月考）已知随机变量的分布列如表，则 . X 1 2 P m 0.5 0.2 5．（24-25高二下·新疆·期末）小亦计划暑期出游，现有3个省内景点、2个省外景点供选择，省内每个景点均需花费2000元，省外每个景点均需花费6000元．小亦从这5个景点中随机选择2个景点，每个景点的选择机会均等． (1)求小亦省内、省外景点都选择的概率； (2)设小亦所选的2个景点的总花费为X元，求X的分布列及数学期望． 题型7 求离散型随机变量的方差、标准差 1．（24-25高二下·江苏盐城·期中）已知随机变量X的取值为0，1，2，若，，则标准差为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·河南漯河·期末）随机变量的分布列如下表，若，则（   ） 0 1 2 A． B． C． D． 3．（2025高二·全国·专题练习）设，随机变量的分布列如表． 0 1 2 P 则当p在内增大时，下列说法正确的是（    ） A．一直减小 B．一直增大 C．先减小后增大 D．先增大后减小 4．（24-25高二下·山东临沂·月考）已知为两所高校举行的自主招生考试，某同学参加每所高校的考试获得通过的概率均为，该同学一旦通过某所高校的考试，就不再参加其他高校的考试，设该同学通过高校的个数为随机变量，则 ． 5．（24-25高二下·全国·课前预习）甲、乙两人进行定点投篮游戏，投篮者若投中，则继续投篮，否则由对方投篮，第一次由甲投篮．已知每次投篮甲、乙命中的概率分别为，，在前3次投篮中，乙投篮的次数为，求的分布列、方差及标准差． 题型8 服从二项分布的随机变量概率最大问题 1．（24-25高二下·吉林白山·期末）已知随机变量，当且仅当时，取得最大值，则（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 2．（24-25高二下·江西·期末）某商家开展促销活动，已知当天参加活动的顾客中，消费超过200元的顾客的频率为，用频率估计概率，现从参加活动的顾客中随机抽取20人赠送小礼品，若这20人中有人消费超过200元的概率最大，则的值为（    ） A．7 B．8 C．9 D．8或9 3．（24-25高二上·江苏常州·期中）如图是一块高尔顿板的示意图.在一块木板上钉着10排相互平行但错开的小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃将小球从顶端放入，小球下落过程中，假定其每次碰到小木钉后，向左下落的概率为，向右下落的概率为，最后落入底部的格子中.格子从左到右分别编号为，则小球落入（    ）号格子的概率最大. A．5 B．6 C．7 D．8 4．（24-25高二下·山东泰安·期末）若随机变量，则当取最大值时，正整数k的值是 . 5．（2025·陕西西安·模拟预测）在2024年“五四青年节”，某校举办了有关五四运动的知识竞赛活动，本次知识竞赛的晋级环节设置3道必答题目，至少答对2道题目则晋级，否则被淘汰，某年级有20名同学进入晋级环节，根据统计，每人对这3道题目答对的概率分别为，，，且3道题目答对与否互不影响. (1)设X表示这20人中晋级的人数，求； (2)记这20人中人晋级的概率为，求取得最大值时k的取值. 题型9 求超几何分布的概率 1．（24-25高二下·内蒙古赤峰·期末）一批零件共有10个，其中有3个不合格．随机抽取3个零件进行检测，恰好有1件不合格的概率是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·江苏南京·期中）盒中有10个玩具，其中有3个是坏的，先从盒中随机地抽取4个，则下列事件概率是的是（   ） A．恰有1个是坏的 B．4个全是好的 C．恰有2个是坏的 D．至多有2个是坏的 3．（24-25高二下·陕西西安·月考）已知6名同学中有名男生，若从这6名同学中随机抽取2名作为学生代表，恰好抽到1名男生的概率是，则（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 4．（24-25高二下·广东潮州·期末）某不透明纸箱中共有6个小球，其中2个白球，4个红球，它们除颜色外均相同.一次性从纸箱中摸出3个小球，记摸出红球个数为，则 . 5．（24-25高二下·全国·课后作业）一批照明灯泡有100个，规定其使用寿命达到1000小时以上的为合格品，使用寿命不足1000小时的为不合格品．使用方从该批灯泡中抽样，采用抽样方案，即从该批灯泡中随机抽取5个，若全部合格，则该批灯泡通过验收，否则该批灯泡未通过验收． (1)假定生产方和使用方约定，允许这批灯泡有的不合格率，实际这批灯泡中有7个不合格品．经检测该批产品未通过验收的概率有多大？（结果精确到0.001） (2)现已知这批灯泡中有2个不合格品，写出抽样方案中合格品数的分布并求这批灯泡通过验收的概率．（结果精确到0.001） 题型10 正态曲线的特点 1．（24-25高二下·湖北孝感·月考）已知三个正态分布密度函数（其中，为自然对数的底数）的图像如图所示，则下列结论正确的是（    ）． A． B． C． D． 2．（24-25高二下·河南南阳·期末）已知三个正态密度函数（，）的图像如图所示，则（    ） A．， B．， C．， D．， 3．（24-25高二下·浙江温州·期中）设，，这两个正态分布密度曲线如图所示，下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高三上·广东佛山·月考）李明上学有时坐公交车，有时骑自行车，他各记录了50次坐公交车和骑自行车所花的时间，经数据分析得到，假设坐公交车用时X和骑自行车用时Y都服从正态分布，．X和Y的分布密度曲线如图所示．则下列结果正确的是（    ） A． B． C． D． 5．（2025高二·全国·专题练习）为了迎接春节的到来，某大型商场准备了质量为2kg的甲、乙两类水果礼盒．甲、乙两类水果礼盒与标识质量的差（单位：kg），分别服从正态分布，，其相应的分布密度曲线如图所示，则下列说法正确的是（    ）[正态曲线的函数解析式为，]    A．甲类水果质量差的平均值 B．乙类水果的质量差比甲类水果的质量差更集中于均值左右 C．甲类水果的平均质量差比乙类水果的平均质量差大 D．乙类水果的质量差服从的正态分布的参数 题型11 正态分布的概率计算 1．（24-25高二下·广东汕尾·期末）已知随机变量X服从正态分布，且，则（    ） A．0.21 B．0.2 C．0.31 D．0.3 2．（24-25高二下·湖北襄阳·期末）已知随机变量，，则（   ） A．0.15 B．0.2 C．0.3 D．0.35 3．（24-25高二下·湖南邵阳·期末）已知某市高中男生的身高X（单位：）近似服从正态分布，则从该市随机抽取一名高中男生，其身高位于到之间的概率约为（   ） 参考数据： A． B． C． D． 4．（24-25高二下·青海西宁·期末）已知随机变量服从正态分布，且，则 . 5．（24-25高二下·全国·课堂例题）设，试求： (1)； (2)． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $