第7章 计数原理（举一反三讲义·基础篇）高二数学苏教版选择性必修第二册

该高中数学讲义以计数原理全章十大基础题型为框架，通过知识脉络图系统梳理分类加法、分步乘法计数原理，排列数、组合数计算与应用，二项式定理等核心内容，清晰呈现各题型的内在逻辑与重难点分布。 讲义亮点在于练习设计的情境化与层次性，如结合高铁购票、出行方式等实际问题考查分类加法计数原理，培养学生用数学眼光观察现实世界的能力。每个题型配套选择、填空、解答题，通过举一反三帮助学生形成逻辑推理思维，既支持基础薄弱学生掌握方法，也为优秀学生提供拓展空间，助力教师实施精准化单元复习教学。

第7章 计数原理全章十大基础题型归纳（举一反三讲义·基础篇） 【苏教版】 题型1 分类加法计数原理的应用  1．（24-25高二下·青海西宁·期末）在全球高铁技术竞争中，中国站到了前沿.全国政协委员、中国铁道科学研究院集团有限公司首席研究员赵红卫近日透露，全球最快的高铁列车CR450正在加紧试验，预计将在一年后投入商业运营.小张需要乘坐某班次高铁去北京，已知此次高铁列车车票还剩下二等座4张，一等座10张，商务座5张，则小张的购票方案种数为（    ） A．14 B．19 C．90 D．200 【答案】B 【解题思路】由分类加法计数原理运算即可. 【解答过程】按照分类加法计数原理可得小张的购票方案种数为. 故选：B. 2．（24-25高二下·福建福州·期末）某天小丁要从福州出发去厦门，已知当天的飞机有5班，动车有12趟，高铁有10个车次，则小丁当天出行的方案共有（   ） A．12种 B．27种 C．120种 D．600种 【答案】B 【解题思路】由分类加法计数原理即可求解. 【解答过程】已知当天的飞机有5班，动车有12趟，高铁有10个车次， 则小丁当天出行的方案共有. 故选：B. 3．（24-25高二下·河北邯郸·期中）某学校开设6门球类运动课程、4门田径类运动课程和2门水上运动课程供学生学习，某位学生任选1门课程学习，则不同的选法共有（   ） A．48种 B．36种 C．24种 D．12种 【答案】D 【解题思路】利用分类加法计数原理可求. 【解答过程】根据分类加法计数原理，不同的选法共有种． 故选：D． 4．（24-25高二下·广东深圳·月考）书架的第1层放有5本不同的数学书，第2层放有4本不同的语文书，第3层放有2本不同的外语书，现从书架上任取1本书，有 种不同的取法. 【答案】11 【解题思路】根据给定条件，利用分类加法计数原理列式计算即得. 【解答过程】求出不同取法种数有3类办法， 从第一层取有5种方法；从第二层取有4种方法；从第三层取有2种方法， 由分类加法计数原理，得不同取法种数为. 故答案为：11. 5．（24-25高二下·全国·课后作业）有火车、汽车、飞机这三种方式可以从上海到长沙，每天有18班火车、5班汽车和12班飞机．一天小强从上海去长沙，共有多少种不同的方式？ 【答案】35种 【解题思路】由分类加法计算原理可解. 【解答过程】因为有火车、汽车、飞机这三种方式可以从上海到长沙， 每天有18班火车、5班汽车和12班飞机， 所以一天中小强从上海去长沙，共有种. 题型2 分步乘法计数原理的应用 1．（24-25高二下·新疆·期末）现有2名同学去听同时进行的3场音乐会，每名同学只能去听其中的1场，则不同的安排方法共有（    ） A．6种 B．4种 C．9种 D．8种 【答案】C 【解题思路】由分步乘法计数原理即可求解. 【解答过程】由分步乘法计数原理可知，不同的安排方法共有种． 故选：C. 2．（24-25高二下·天津西青·期末）学校食堂的一个窗口共卖3种菜品，甲、乙、丙、丁4名同学每人从中选一种，则选法的可能方式共有（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】B 【解题思路】根据题意可知每人均有3种菜品可供选择，结合分步乘法计数原理即可得结果. 【解答过程】由题意可知：每人均有3种菜品可供选择， 所以选法的可能方式共有种. 故选：B. 3．（24-25高二下·吉林·月考）将数字1，2，3填在的表格中，要求每行的数字互不相同，每列的数字也互不相同，则不同的排列方法共有（   ） A．12种 B．18种 C．24种 D．36种 【答案】A 【解题思路】根据乘法计数原理分情况判断即可. 【解答过程】第一列第一个数有3种选择，第二个数有2种选择，第三个数有1种选择； 第一行第二个数有2种选择，其它空格只有1种选择； 所以共有种. 故选：A. 4．（24-25高二下·海南省直辖县级单位·期末）用数字1，2，3，4组成无重复数字的两位数，其中偶数的个数为 ． 【答案】6 【解题思路】由分步计数原理可得答案. 【解答过程】由题可得个位数可为2或4，当个位数选定，十位数有3种选法， 故共有种情况． 故答案为：6. 5．（24-25高二下·山西临汾·月考）甲、乙、丙、丁四名同学报名参加A，B，C三个智力竞赛项目，每个人都要报名且只能参加一个项目. (1)共有多少种不同的报名方法？ (2)甲不能报A项目，乙必须报B项目，那么有多少种不同的报名方法？ (3)甲、乙报同一项目，丙不报A项目，那么有多少种不同的报名方法？ 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）每个同学都有种选择，利用分步乘法计数原理可得结果； （2）分析可知，丙、丁各有种选择，利用分步乘法计数原理可得结果； （3）由题意可知，甲、乙报名的方法种数为，丙有种选择，丁有种选择，利用分步乘法计数原理可得结果. 【解答过程】（1）每个同学都有种选择， 则甲、乙、丙、丁四名同学的报名方法种数为； （2）甲不能报项目，乙必须报项目，则丙、丁各有种选择， 所以不同的报名方法种数为. （3）甲、乙报同一项目，则甲、乙报名的方法种数为， 丙不报项目，则丙有种选择，而丁有种选择， 由分步乘法计数原理可知，不同的报名方法种数为. 题型3 排列数的计算与证明 1．（24-25高二下·广东清远·期末）（    ） A．8 B．13 C．63 D．66 【答案】D 【解题思路】根据排列数公式计算即可. 【解答过程】. 故选：D. 2．（24-25高二下·四川成都·期末）（   ） A．0 B．56 C．1 D．42 【答案】A 【解题思路】根据排列数计算公式，化简求值. 【解答过程】由题意得， 故选：A. 3．（2025高三·全国·专题练习）下列数中，与不相等的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】利用排列数公式可逐项验证. 【解答过程】．对于选项A，． 对于选项B，． 对于选项C，． 对于选项D，． 故选：B． 4．（24-25高二下·山西·期末） （用数字作答）. 【答案】24 【解题思路】根据排列数的性质以及计算公式即可求解. 【解答过程】， 故答案为：24. 5．（24-25高二下·全国·课后作业）证明下列等式． (1)； (2)． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【解题思路】根据题意，结合排列数公式，准确化简、运算，即可求解. 【解答过程】（1）证明：由排列数的公式，可得： ． （2）证明：由排列数公式，可得． 题型4 解排列数方程和不等式 1．（24-25高二下·福建莆田·月考）不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】利用排列数公式展开化简，得，再结合即可. 【解答过程】则，得， 得，又因为，则. 故选：C. 2．（24-25高二下·吉林通化·期末）若，则（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】D 【解题思路】根据排列数得到方程，求出答案. 【解答过程】由，得，解得． 故选：D． 3．（24-25高二下·宁夏吴忠·期中）不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】利用排列数公式化简并求解不等式. 【解答过程】不等式中，，化为， 整理得，解得，因此， 所以不等式的解集是. 故选：A. 4．（24-25高二下·广东清远·期中）不等式的解集为 . 【答案】 【解题思路】先根据排列数的定义得到且，再根据排列数的性质得到不等式求出解集，得到答案. 【解答过程】由题意得，解得且， 又，即， 即，解得， 综上可知，故解集为. 故答案为：. 5．（24-25高二上·全国·课后作业）解下列方程或不等式． (1)=2； (2). 【答案】(1)n=5 (2)x=8 【解题思路】（1）根据条件，利用排列数公式即可求出结果； （2）先利用排列数公式得到 ，从而得到，对根据排列数公式要求，求出的范围，进而求出结果. 【解答过程】（1）因为=2， 由，解得， 由原式可得，解得或或． 又因为，所以． （2）因为<6， 由，解得且， 由原不等式可得， 化简可得，解得， 又且，所以． 题型5 组合数的计算与证明 1．（24-25高二下·山西·期末）已知，则（   ） A．2 B．3 C．2或5 D．3或4 【答案】C 【解题思路】根据组合数的计算即可求解. 【解答过程】由于 因此，故或， 故选：C. 2．（24-25高二下·江苏淮安·期末）下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据排列数计算公式判断AB，根据组合数计算公式判断CD. 【解答过程】对于A，因为，所以，错误； 对于B，因为，所以，错误； 对于C，因为， 所以，错误； 对于D，因为，所以，正确. 故选：D. 3．（24-25高二下·河北承德·期中）（    ） A．92 B．102 C．120 D．148 【答案】A 【解题思路】利用排列数和组合数的计算公式求解即可. 【解答过程】. 故选：A. 4．（24-25高二下·陕西咸阳·月考）计算 .（用数字作答） 【答案】 【解题思路】根据组合数公式计算可得. 【解答过程】. 故答案为：. 5．（24-25高二上·江西·期末）已知，． (1)证明： ； (2)证明： ． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【解题思路】（1）由组合数公式计算即可； （2）由组合数公式计算即可. 【解答过程】（1）因为， ， 所以； （2）因为， ， 所以． 题型6 解组合数方程和不等式 1．（24-25高二上·河南驻马店·期末）关于的方程的解为（    ） A． B． C．且 D．或 【答案】D 【解题思路】根据题意结合组合数的定义与性质运算求解. 【解答过程】因为，则或，解得或， 若，可得，符合题意； 若，可得，符合题意； 综上所述：或. 故选：D. 2．（24-25高二下·山东烟台·月考）已知，则的值是（    ） A．2 B．4 C．6 D．2或6 【答案】D 【解题思路】根据组合数的性质得到方程求解. 【解答过程】因为已知，由组合数的性质得到或， 解得或. 故选：D. 3．（24-25高二下·上海浦东新·期中）关于n的方程的解为 ． 【答案】6 【解题思路】根据组合数的计算公式列出方程，再通过试数法求解三次方程即可． 【解答过程】， 由题知，， 当，， 当，， 当，， 当，，所以， 故答案为：6． 4．（24-25高二上·上海奉贤·月考）（1）解不等式； （2）解方程. 【答案】（1）； （2） 【解题思路】（1）利用组合数的性质可得答案； （2）利用组合数性质、排列数公式计算可得答案. 【解答过程】（1）根据组合数公式，原不等式可化为.化简可得. 进一步变形为. 根据阶乘的性质，则. 约分后得到，解这个不等式得. 又因为且（组合数中的取值范围要求），即且， 综合可得或，故不等式解集为. （2）原方程可化为，即， ∴，∴， ∴，解得或，经检验：是原方程的解. 故方程解集为. 5．（2025高三·全国·专题练习）解方程： (1)； (2)解方程：. 【答案】(1)或 (2) 【解题思路】（1）根据组合数的性质可列方程，解方程即可； （2）根据组合数的性质与排列数公式解方程. 【解答过程】（1）由，即或， 解得或； （2）由，即，即， 所以，化简可得，解得， 又，即， 所以. 题型7 求二项展开式的特定项或特定项的系数 1．（24-25高二下·湖北·期中）在的展开式中，常数项为（    ） A．160 B． C． D． 【答案】B 【解题思路】由二项式展开式的通项公式即可求解. 【解答过程】由题可得二项式展开式的通项公式为， 令，所以展开式中的常数项为. 故选：B. 2．（24-25高二下·重庆渝中·月考）的展开式中含的项的系数为（   ） A． B． C． D．5 【答案】B 【解题思路】根据二项式展开式计算求解即可. 【解答过程】含的项的系数为. 故选：B. 3．（24-25高三下·广东深圳·月考）在的展开式中，常数项为84，则的系数为（    ） A． B． C．9 D．36 【答案】C 【解题思路】应用二项式通项公式计算常数项得出，再应用通项公式计算的系数即可. 【解答过程】的展开式的通项为， 令0，则，则常数项为， 解得，令，则， 所以，即的系数为9. 故选：C. 4．（24-25高二下·山西长治·期中）在的二项展开式中，常数项的值为 ． 【答案】 【解题思路】利用二项式系数的通项公式得，令即可求解. 【解答过程】由题意有，令，得， 所以. 故答案为：. 5．（24-25高二下·天津西青·期中）已知的展开式中的所有二项式系数之和为64. (1)求； (2)求常数项； (3)求展开式的中间项. 【答案】(1)； (2)15； (3). 【解题思路】（1）由二项式系数和有，即可求参数值； （2）写出二项式的展开式通项，进而求其常数项； （3）根据二项式确定中间项是第四项，对应，即可得. 【解答过程】（1）由题设，可得； （2）由（1）得展开式通项为，， 当，即，则常数项； （3）由（2）知，展开式中间项是第四项，即， 所以. 题型8 求展开式中系数最大（小）的项 1．（2025·江苏南通·模拟预测）的二项展开式中，二项式系数之和等于256，则二项展开式中二项式系数最大的项为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】由题意求出，写出二项展开式的通项，即可求得二项式系数最大的项. 【解答过程】因为，所以，二项展开式的通项为 ， 故二项展开式中，二项式系数最大的项为. 故选：A. 2．（24-25高二下·广东深圳·月考）在的展开式中，若仅有第5项的二项式系数最大，则展开式中系数最大的项是第（  ）项. A． B． C．2或3 D．3或4 【答案】D 【解题思路】首先根据二项式系数最大值问题求，再根据第项的系数大于前一项，也大于后一项，根据不等式，即可求解. 【解答过程】由的展开式中，仅第5项的二项式系数最大，得展开式共9项，则， 的展开式的通项公式， 设展开式中系数最大项是，则，即， 解得，而，因此或，，， 所以展开式中系数最大的项是第3或4项. 故选：D. 3．（24-25高二下·重庆·月考）已知的展开式中仅第4项的二项式系数最大，则展开式中系数最大的项是第（    ）项 A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【解题思路】根据第4项的二项式系数最大求出，再通过通项公式得出展开式中项的系数为，接着由即可求解. 【解答过程】由题意二项式系数仅最大，故， 所以二项式为，其通项公式为， 设二项式展开式中第项的系数最大，则有， ，即，故，经经验符合题意， 所以展开式中系数最大的项是第3项. 故选：B. 4．（24-25高三下·广东深圳·月考）在的展开式中，仅第项的二项式系数最大，则展开式中系数最大的项是 ． 【答案】 【解题思路】利用二项式系数的性质得到，设展开式中系数最大项是，利用展开式的通项公式得到，即可求解. 【解答过程】由的展开式中，仅第项的二项式系数最大，得展开式共项，则， 所以的展开式的通项公式， 设展开式中系数最大项是，则，即 解得，而，所以，， 所以展开式中系数最大的项是, 故答案为：. 5．（24-25高二下·河北·期末）已知的二项式系数之和是128，求： (1)展开式中含的项的系数； (2)展开式中二项式系数最大的项； (3)展开式中系数绝对值最大的项． 【答案】(1) (2)，； (3). 【解题思路】（1）利用二项式系数的性质求出，进而求出含的项的系数. （2）由（1）的信息，结合二项式系数的性质求得答案. （3）求出展开式通项系数的绝对值，再建立不等式求解. 【解答过程】（1）由的二项式系数之和是128，得，解得， 展开式的通项为， 令，得，所以展开式中含的项的系数为. （2）展开式中二项式系数最大的项为，. （3）由（1）知，的系数绝对值为， 当时，，解得， 由，得，因此， 所以展开式中系数绝对值最大的项是第3项，. 题型9 多项式积的展开式中的特定项问题 1．（24-25高二下·云南曲靖·期末）的展开式中的系数为（   ） A． B．25 C． D．50 【答案】A 【解题思路】利用的二项展开式的通项公式，可求的系数. 【解答过程】易得展开式通项公式为， 令可得的系数为，令可得的系数为， 故原展开式中的系数为. 故选：A. 2．（24-25高二下·宁夏银川·月考）展开式中常数项的系数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】写出二项展开式的通项，令的指数为零，求出参数的值，代入通项即可得解. 【解答过程】的展开式通项为， 因为， 在中，令，可得， 在中，令，可得， 因此，展开式中的常数项为. 故选：B. 3．（24-25高二下·江西·期末）的展开式中，项的系数的相反数为（    ） A．－15 B．－5 C．15 D．5 【答案】D 【解题思路】由，再利用二项式展开式计算系数即可. 【解答过程】根据题意， 又展开式的通项为， 当时，， 当时，， 所以得系数为，相反数为5. 故选：D. 4．（24-25高二下·内蒙古包头·期中）的展开式中的系数为 . 【答案】 【解题思路】原式可转化为，利用二项展开式通项公式分别求和的系数即可. 【解答过程】因为， 由二项展开式通项公式可得， 令解得，此时， 令解得，此时， 所以的展开式中的系数为， 故答案为：. 5．（24-25高二下·河北邢台·期中）已知. (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）由，写出展开式的通项，即可得到展开式中不含的奇数次幂的项，从而得解； （2）令，可得，令求出，结合（1）即可得解. 【解答过程】（1）因为， 则展开式的通项为（且）， 所以展开式中不含的奇数次幂的项， 又， 所以， 所以； （2）因为， 令，得； 令，得； 又，则， 所以． 题型10 三项展开式的系数问题 1．（24-25高二下·山东聊城·期末）的展开式中的系数为（    ） A．75 B．135 C．180 D．195 【答案】D 【解题思路】利用二项式定理求解. 【解答过程】， 这个展开式中从第4项开始就不会出现，即只在前3项出现， 所以的系数为， 故选：D. 2．（24-25高二下·全国·期末）展开式中的常数项为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】要使展开式为常数项，则可能是一个和两个相乘，也可能是两个和四个相乘，也可能是所有的相乘，结合二项式定理求解即可. 【解答过程】要使展开式为常数项，则可能是一个和两个相乘，也可能是两个和四个相乘，也可能是所有的相乘， 所以常数项为：. 故选：D. 3．（24-25高二下·陕西西安·期末）的展开式中，项的系数为（   ） A．10 B．20 C．30 D．60 【答案】D 【解题思路】根据二项式展开的通项公式来求解展开式中项的系数. 【解答过程】多项式展开式的通项为 令，可得 由展开式通项为 当时，可得 所以展开式中项的系数为 故选：D. 4．（24-25高二下·河北沧州·期末）已知在展开式中含的项的系数为51，则正实数a的值为 ． 【答案】1 【解题思路】利用三项式展开式原理，可得含的项为含的项的系数，即可求解参数. 【解答过程】由展开式中， 所以， 解得或（舍）． 故答案为：. 5．（24-25高二上·全国·单元测试）已知. (1)求； (2)求； (3)求. 【答案】(1)800； (2)； (3)0. 【解题思路】（1）利用多项式乘法法则，结合组合应用问题列式计算作答. （2）利用赋值法计算作答. （3）变形计算表达式，再利用赋值法计算作答. 【解答过程】（1）在展开式中，含的项为， 所以. （2）令， 当时，，当时，， 所以. （3） . 因为， 所以， 故. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 第7章 计数原理全章十大基础题型归纳（举一反三讲义·基础篇） 【苏教版】 题型1 分类加法计数原理的应用  1．（24-25高二下·青海西宁·期末）在全球高铁技术竞争中，中国站到了前沿.全国政协委员、中国铁道科学研究院集团有限公司首席研究员赵红卫近日透露，全球最快的高铁列车CR450正在加紧试验，预计将在一年后投入商业运营.小张需要乘坐某班次高铁去北京，已知此次高铁列车车票还剩下二等座4张，一等座10张，商务座5张，则小张的购票方案种数为（    ） A．14 B．19 C．90 D．200 2．（24-25高二下·福建福州·期末）某天小丁要从福州出发去厦门，已知当天的飞机有5班，动车有12趟，高铁有10个车次，则小丁当天出行的方案共有（   ） A．12种 B．27种 C．120种 D．600种 3．（24-25高二下·河北邯郸·期中）某学校开设6门球类运动课程、4门田径类运动课程和2门水上运动课程供学生学习，某位学生任选1门课程学习，则不同的选法共有（   ） A．48种 B．36种 C．24种 D．12种 4．（24-25高二下·广东深圳·月考）书架的第1层放有5本不同的数学书，第2层放有4本不同的语文书，第3层放有2本不同的外语书，现从书架上任取1本书，有 种不同的取法. 5．（24-25高二下·全国·课后作业）有火车、汽车、飞机这三种方式可以从上海到长沙，每天有18班火车、5班汽车和12班飞机．一天小强从上海去长沙，共有多少种不同的方式？ 题型2 分步乘法计数原理的应用 1．（24-25高二下·新疆·期末）现有2名同学去听同时进行的3场音乐会，每名同学只能去听其中的1场，则不同的安排方法共有（    ） A．6种 B．4种 C．9种 D．8种 2．（24-25高二下·天津西青·期末）学校食堂的一个窗口共卖3种菜品，甲、乙、丙、丁4名同学每人从中选一种，则选法的可能方式共有（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 3．（24-25高二下·吉林·月考）将数字1，2，3填在的表格中，要求每行的数字互不相同，每列的数字也互不相同，则不同的排列方法共有（   ） A．12种 B．18种 C．24种 D．36种 4．（24-25高二下·海南省直辖县级单位·期末）用数字1，2，3，4组成无重复数字的两位数，其中偶数的个数为 ． 5．（24-25高二下·山西临汾·月考）甲、乙、丙、丁四名同学报名参加A，B，C三个智力竞赛项目，每个人都要报名且只能参加一个项目. (1)共有多少种不同的报名方法？ (2)甲不能报A项目，乙必须报B项目，那么有多少种不同的报名方法？ (3)甲、乙报同一项目，丙不报A项目，那么有多少种不同的报名方法？ 题型3 排列数的计算与证明 1．（24-25高二下·广东清远·期末）（    ） A．8 B．13 C．63 D．66 2．（24-25高二下·四川成都·期末）（   ） A．0 B．56 C．1 D．42 3．（2025高三·全国·专题练习）下列数中，与不相等的是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二下·山西·期末） （用数字作答）. 5．（24-25高二下·全国·课后作业）证明下列等式． (1)； (2)． 题型4 解排列数方程和不等式 1．（24-25高二下·福建莆田·月考）不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·吉林通化·期末）若，则（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 3．（24-25高二下·宁夏吴忠·期中）不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二下·广东清远·期中）不等式的解集为 . 5．（24-25高二上·全国·课后作业）解下列方程或不等式． (1)=2； (2). 题型5 组合数的计算与证明 1．（24-25高二下·山西·期末）已知，则（   ） A．2 B．3 C．2或5 D．3或4 2．（24-25高二下·江苏淮安·期末）下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·河北承德·期中）（    ） A．92 B．102 C．120 D．148 4．（24-25高二下·陕西咸阳·月考）计算 .（用数字作答） 5．（24-25高二上·江西·期末）已知，． (1)证明： ； (2)证明： ． 题型6 解组合数方程和不等式 1．（24-25高二上·河南驻马店·期末）关于的方程的解为（    ） A． B． C．且 D．或 2．（24-25高二下·山东烟台·月考）已知，则的值是（    ） A．2 B．4 C．6 D．2或6 3．（24-25高二下·上海浦东新·期中）关于n的方程的解为 ． 4．（24-25高二上·上海奉贤·月考）（1）解不等式； （2）解方程. 5．（2025高三·全国·专题练习）解方程： (1)； (2)解方程：. 题型7 求二项展开式的特定项或特定项的系数 1．（24-25高二下·湖北·期中）在的展开式中，常数项为（    ） A．160 B． C． D． 2．（24-25高二下·重庆渝中·月考）的展开式中含的项的系数为（   ） A． B． C． D．5 3．（24-25高三下·广东深圳·月考）在的展开式中，常数项为84，则的系数为（    ） A． B． C．9 D．36 4．（24-25高二下·山西长治·期中）在的二项展开式中，常数项的值为 ． 5．（24-25高二下·天津西青·期中）已知的展开式中的所有二项式系数之和为64. (1)求； (2)求常数项； (3)求展开式的中间项. 题型8 求展开式中系数最大（小）的项 1．（2025·江苏南通·模拟预测）的二项展开式中，二项式系数之和等于256，则二项展开式中二项式系数最大的项为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·广东深圳·月考）在的展开式中，若仅有第5项的二项式系数最大，则展开式中系数最大的项是第（  ）项. A． B． C．2或3 D．3或4 3．（24-25高二下·重庆·月考）已知的展开式中仅第4项的二项式系数最大，则展开式中系数最大的项是第（    ）项 A．2 B．3 C．4 D．5 4．（24-25高三下·广东深圳·月考）在的展开式中，仅第项的二项式系数最大，则展开式中系数最大的项是 ． 5．（24-25高二下·河北·期末）已知的二项式系数之和是128，求： (1)展开式中含的项的系数； (2)展开式中二项式系数最大的项； (3)展开式中系数绝对值最大的项． 题型9 多项式积的展开式中的特定项问题 1．（24-25高二下·云南曲靖·期末）的展开式中的系数为（   ） A． B．25 C． D．50 2．（24-25高二下·宁夏银川·月考）展开式中常数项的系数为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·江西·期末）的展开式中，项的系数的相反数为（    ） A．－15 B．－5 C．15 D．5 4．（24-25高二下·内蒙古包头·期中）的展开式中的系数为 . 5．（24-25高二下·河北邢台·期中）已知. (1)求的值； (2)求的值． 题型10 三项展开式的系数问题 1．（24-25高二下·山东聊城·期末）的展开式中的系数为（    ） A．75 B．135 C．180 D．195 2．（24-25高二下·全国·期末）展开式中的常数项为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·陕西西安·期末）的展开式中，项的系数为（   ） A．10 B．20 C．30 D．60 4．（24-25高二下·河北沧州·期末）已知在展开式中含的项的系数为51，则正实数a的值为 ． 5．（24-25高二上·全国·单元测试）已知. (1)求； (2)求； (3)求. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $