专题03 一元一次不等式和一元一次不等式组的应用训练10大题型（专项训练）数学新教材北京版七年级下册

专题03 一元一次不等式和一元一次不等式组的应用训练 （原卷版） 目录 A题型建模・专项突破 题型一、根据题意列一元一次不等式（组） 1 题型二、销售问题 2 题型三、利润率问题 3 题型四、最大利润问题 5 题型五、积分问题 6 题型六、方案问题 8 题型七、行程问题 9 题型八、工程问题 11 题型九、图表信息问题 11 题型十、一元一次不等式组的新定义问题 11 B综合攻坚・能力跃升 题型一、根据题意列一元一次不等式（组） 1．将一箱苹果分给若干个小朋友，若每个小朋友分5个苹果，则还剩12个苹果；若每个小朋友分8个苹果，则有1个小朋友分到的苹果不足8个．求这一箱苹果的个数与小朋友的人数．若设小朋友的人数为，则可列不等式组为（   ） A． B． C． D． 2．将一箱苹果分给若干个小朋友，若每位小朋友分5个苹果，则还剩个苹果；若每位小朋友分8个苹果，则有一个小朋友所分苹果不到8个，若小朋友的人数为x，则下列正确的是（　　） A． B． C． D． 3．今年植树节时，某同学栽种了一棵树，此树的树围（树干的周长）为，已知以后此树树围每年增长，若生长年后此树树围超过，则可列不等式为（   ） A． B． C． D． 4．学校组织社团活动，小萱需要从教室前往社团活动室，两地路程是500米，她从教室出发，先以60米／分钟的速度步行了分钟，后来怕迟到，她以100米／分钟的速度小跑过去，结果在之前到达了活动室．根据题意列出的不等式为（   ） A． B． C． D． 题型二、销售问题 5．为增强体质，加强体育锻炼，学校计划拿出不超过4000元的资金购买一批篮球和排球，已知篮球和排球的单价比为．单价和为180元． (1)篮球和排球的单价各是多少元？ (2)若要求购买的篮球和排球的总数量为42个，且购买的排球数不多于12个，有哪几种购买方案？ (3)在所有的购买方案中，哪种方案花钱最少？ 6．君实机械厂为青扬公司生产A、B两种产品，该机械厂由甲车间生产A种产品，乙车间生产B种产品，两车间同时生产．甲车间每天生产的A种产品比乙车间每天生产的B种产品多2件，甲车间3天生产的A种产品与乙车间4天生产的B种产品数量相同． (1)求甲车间每天生产多少件A种产品？乙车间每天生产多少件B种产品？ (2)君实机械厂生产的A种产品的出厂价为每件200元，B种产品的出厂价为每件180元．现青扬公司需一次性购买A、B两种产品共80件，若青扬公司按出厂价购买A、B两种产品的费用超过15000元而不超过15080元．请你通过计算为青扬公司设计购买方案？ 7．某班级计划购买甲、乙两种文具共件，甲种文具每件元，乙种文具每件元． (1)若购买这两种文具共用去元，求甲、乙两种文具各购买多少件？ (2)若购买甲种文具的数量不少于乙种文具数量的倍，且总费用不超过元，求该班级有几种购买方案？ 8．某网店销售甲、乙两种遮阳帽，进价和售价格如表所示． 名称 甲种遮阳帽 乙种遮阳帽 进价（元/顶） 30 15 售价（元/顶） 40 20 根据上面提供的信息，解答下列问题． (1)根据消费者需求，该网店决定用不超过2280元购进甲、乙两种遮阳帽共100顶，且甲种遮阳帽的数量超过乙种遮阳帽的数量，则购进甲、乙两种遮阳帽有多少种进货方案？ (2)在（1）的条件下，哪种进货方案可使获利最大？最大利润是多少元？ 题型三、利润率问题 9．某服装店现有一款热卖的羽绒服，进价为280元/件，售价为400元/件．现准备打折销售，在保证利润率（利润率）不低于10%的情况下，打x折，则下列说法正确的是（   ） A．依据题意得 B．依据题意得 C．该款羽绒服可以打折 D．该款羽绒服最多打折 10．某商场销售大熊猫毛绒玩具，已知进价为120元，标价为180元，为了促销，商家决定打折销售，但利润率不能低于，则最多打 折（利润率） 11．2022年北京冬残奥会吉祥物雪容融以它可爱的造型深受国人喜爱，一商家以100元/个的进价购进一批吉祥物，准备比进价高出80%价格来标价，但为了吸引顾客，扩大销量从开始就降价处理且每个降价m元，若要使售后利润率不低于20%（利润率=（售价-进价）/进价×100%），求m的最大值： ． 12．研学旅行继承和发展了我国传统游学“读万卷书，行万里路”的教育理念和人文精神，成为素质教育的新内容和新方式．我县某中学组织师生前往林伯渠故居，开展以“追寻红色足迹，传承红色精神”为主题的研学活动． (1)学校准备给师生提供500瓶矿泉水．团委安排了15个同学把这些矿泉水从学校超市搬到校门口．有5个同学已经搬走了200瓶，问另外10名同学平均每人至少要搬几瓶？ (2)学校超市以每瓶2元的价格购进这批矿泉水，为了保证利润率不高于，问：矿泉水每瓶最多卖多少元？（） 题型四、最大利润问题 13．重庆豌杂面以其劲道的面条、软糯的豌豆和香浓的杂酱，成为重庆小吃中极具代表性的美食．某超市计划试销两种包装规格的预包装重庆豌杂面（简装版、精装版），已知精装版豌杂面每箱售价比简装版贵45元，购买2箱精装版和5箱简装版的总费用为1210元． (1)求精装版和简装版豌杂面每箱的售价分别是多少元？ (2)经了解，精装版每箱进价为165元，简装版豌杂面每箱进价为135元，超市计划购进两种包装共28箱，且进货总资金不超过4020元，同时要求试销总利润不低于790元． ①求超市可行的进货方案有哪些？ ②哪种进货方案能让超市获得最大利润？最大利润是多少元？ 14．近年来，中国传统服饰备受大家的青睐，走上国际时装周舞台，大放异彩．某服装店直接从工厂购进长、短两款传统服饰进行销售，进货价和销售价如下表： 价格/类别 短款 长款 进货价（元/件） 80 90 销售价（元/件） 100 120 第一次购进的两款服装售完后，该服装店计划再次购进长、短两款服装共200件（进货价和销售价都不变），且第二次进货总价不高于16800元．服装店这次应如何设计进货方案，才能获得最大销售利润，最大销售利润是多少？ 15．“一带一路”国际合作高峰论坛在北京举行，本届论坛期间，中国同30多个国家签署经贸合作协议，某童装厂准备生产L、M两种型号的童装销往“一带一路”沿线国家和地区．现工厂有甲种布料38米，乙种布料26米．计划用这两种布料生产这两种型号的童装50套进行市场调研．已知做一套L型号的童装需甲种布料0.5米、乙种布料1米，可获利50元；做一套M型号的童装需甲种布料0.9米、乙种布料0.2米，可获利30元． (1)按要求安排L、M两种型号的童装的生产套数，有哪几种方案?请你设计出来； (2)在你设计的方案中，哪种生产方案获总利润最大？最大利润是多少？ 16．猕猴嬉戏是王屋山景区的一大特色，猕猴玩偶非常畅销．小李在某网店选中，两款猕猴玩偶，决定从该网店进货并销售．两款玩偶的进货价和销售价如下表： 类别价格 款玩偶 款玩偶 进货价（元/个） 40 35 销售价（元/个） 58 45 (1)第一次小李用1900元购进了两款玩偶共50个，求两款玩偶各购进多少个． (2)第二次小李进货时，网店规定款玩偶进货数量不得超过款玩偶进货数量的一半．小李计划购进两款玩偶共30个，应如何设计进货方案才能获得最大利润，最大利润是多少？ 题型五、积分问题 17．项目式学习 体育比赛计分 素材一 体育比赛中蕴含着丰富的数学知识，比如计分规则、比赛场次、最佳策略等．不同的比赛项目有着不同的计分规则，只有了解这些规则，才能让我们更佳清楚地看懂比赛．你是否思考过这些问题：篮球循环赛中，你们年段球队如何获得最终胜利？ 素材二 五一节期间，某校举办“瓷韵杯”七年级学生篮球赛，戴云队、九仙队、石牛队三支篮球队举行单循环赛，赛前约定的比赛排名规则： 获胜场数多的球队排名靠前； 如果两队获胜场数相同时，依下列顺序排列名次： 净胜分大的球队排名靠前； 净胜分相同时，两队比赛获胜者排名靠前． 素材三 三支球队的比赛成绩如表： 戴云队 九仙队 石牛队 净胜分 戴云队 九仙队 石牛队 注：戴云队与九仙队的比赛得分是，则九仙队与戴云队的比赛得分是 净胜分=本队两场比赛的总得分-对方比赛的总得分，如戴云队的净胜分. 问题解决 任务一 分别计算九仙队和石牛队的净胜分（用含n的代数式表示）； 任务二 当时，通过计算说明九仙队获得第几名？ 任务三 根据排名规则和比赛成绩分析哪支球队能得第一名 18．列不等式解应用题 某次数学测验，共 个选择题，评分标准为：答对一题给 分，答错一题扣 分，不答不给分，某个学生有一题未答，他想自己的分数不低于 分，他至少要答对多少题? 19．某篮球小组晋级赛中，每组有六支球队，全部比赛结束后，取前四名晋级下一轮比赛该小组赛排名规则如下： ①六支球队两两之间进行一场比赛，胜场积3分，负场不积分（篮球比赛无平局情况）．比赛按球队积分排列名次； ②如果两队积分相同，则两队之间获胜者名次列前； ③如果三队或三队以上积分相同，则相互之间的胜场数多者名次列前；如再相同，则同积分球队交手的“总得失分率p”高者名次列前；若再相同，从鼓励进攻的角度出发，互相交手中，总得分高者名次列前； 示例：A队、B队、C队积分相同，互相交手中，A队战胜B队，B队战胜C队，C队战胜A队．则A队的总得失分率为：，…… ④当运用以上规则任意一步时，如有球队已经能够确定名次，则这些球队的名次不受后面步骤比较结果的影响． (1)第一小组六支球队中，D队、E队、F队积分相同，将角逐第三、四名．具体比赛情况如下：D队战胜E队，D队战胜F队，F队战胜E队．根据以上规则，判断第三名是 ，第四名是 ； (2)若示例中A队、B队、C队三队将角逐最后一个晋级名额，请通过计算判断哪队能晋级； (3)第二小组剩余G队、H队、K队三支球队将角逐最后一个晋级名额．在之前比赛中，G队战胜K队，G队负于H队，现只剩H队与K队的最后一场比赛．目前，G队积6分，H队积6分，K队积3分．G队是否还有机会晋级？若有，请求出晋级条件；若没有，请说明理由． 20．某电视台组织学习党史知识竞赛，共设20道选择题，各题分值相同，答对一题得5分，可以选择不答，下表记录的是3名参赛者的得分情况． 参赛者 答对题数 不答题数 答错题数 得分 A 19 0 1 94 B 18 1 1 91 C 18 2 0 94 （1）由表格知，不答一题得______分，答错一题扣______分． （2）某参赛者D答错题数比不答题数的2倍多1题，最后得分为64分，他答对几道题？ （3）在前10道题中，参赛者E答对8题，1题放弃不答，1题答错，则后面10题中，至少要答对几题才有可能使最后得分不低于79分？为什么？ 题型六、方案问题 21．某电器商店销售一种洗衣机和电磁炉，洗衣机每台定价800元，电磁炉每台定价200元．“十一”假期商店决定开展促销活动，活动期间向客户提供两种优惠方案： 方案一：买一台洗衣机送一台电磁炉； 方案二：洗衣机和电磁炉都按定价的付款． 现某客户要在该商店购买洗衣机10台，电磁炉x台（）．单独用方案一或方案二购买． (1)若购买电磁炉的数量是20台，按方案一、方案二购买，分别需付款多少元？ (2)根据购买电磁炉的数量，设计一种省钱的购买方案． 22．由于“618购物狂欢节”，京东，天猫等电商平台推出了预售，满减，送券，领红包等优惠活动，6月份某商场所有商品销量均减少．为吸引顾客，7月份该商场对全场促销．店长根据市场调查推出两种促销方案如下（两种方案不能叠加享受）： 方案一 可购买100元代金券，每张89元，每次消费时最多可使用3张，能使用尽量使用，未满100元的部分不得使用代金券 方案二 消费原总价不超过300的部分九折优惠，超过300元的部分八折优惠，不得同时使用代金券 例：某次消费140元，按照方案一使用代金券后，实际花费元． (1)若某次消费220元，按照方案一使用代金券后，实际花费 元； (2)若某次实际花费350元，则在使用优惠方案前需花费 元； (3)小明一家在商场消费了元． ①若按照方案一使用代金券进行优惠，实际花费 元；若按照方案二进行优惠，实际花费 元；（用含x的代数式表示） ②选择哪种方案更省钱？ 23．为丰富课后生活，某中学计划为七年级学生统一购买一批经典科普读物．书籍原价每本30元，书店为学校采购提供了以下两种优惠方案： 方案一：每本可享受八折优惠． 方案二：60本以内原价（含60本），超过部分每本六折． 学校预计共需购买n本读物．请根据要求回答下列问题： (1)请用含n的代数式分别表示出两种方案购买书本所需的费用； (2)若两种方案费用相同，购买本数________； (3)假如你是该中学图书订购负责人，选择哪一种方案更合算？ 24．某健身俱乐部，每次健身费用25元，寒假将至，特面向大学生推出寒假优惠活动，活动方案如下： 方案一：购买一张学生假期专享卡30元，每次健身费用打六折； 方案二：不购买学生假期专享卡，每次健身费用打八折． (1)设某学生假期健身（次），按照方案一所需费用为_______元；按照方案二所需费用为_______元；（用含的代数式表示） (2)小华计划寒假前往该俱乐部健身8次，应选择哪种方案所需费用更少？说明理由； (3)请直接写出：学生在什么情况下选择方案二更划算． 题型七、行程问题 25．从甲地到乙地有一段平路与一段上坡路，若骑自行车，平路每小时 15千米，上坡每小时10千米，下坡每小时18千米，因此从甲地到乙地需29分钟，从乙地到甲地需25分钟. (1)求甲、乙两地的全程是多少千米； (2)小明以上述速度从乙地去甲地，骑行了8分钟后接到电话，需比计划提前5分钟到达甲地(接电话的时间不计).求小明接电话后骑车的速度至少是每小时多少千米. 26．已知a，b满足．且a，b的值分别是点A、B在数轴上对应的数． (1)直接写出a，b的值： ， ； (2)A、B两点沿着数轴运动，点A以4个单位长度/秒的速度向左运动，同时点B以2个单位长度/秒的速度向右运动，求两点出发几秒后所表示的点为的中点； (3)有一动点P从表示的点出发，以3个单位长度/秒的速度向右运动，动点Q从表示的点出发，以2个单位长度/秒的速度向右运动．点P比点Q先出发1秒，设点Q运动的时间为t秒，求线段与线段有重合部分时时间t的取值范围． 27．甲、乙两车从相距210千米的A、B两地相向而行，且均保持匀速行驶，甲的行驶速度为60千米/时，乙的行驶速度为30千米/时．若甲、乙两车同时出发，甲车行驶了1小时后发生故障，原地检修用了30分钟后继续按原速度行驶，此时，乙车提高速度，为了保证乙车再经过不超过1小时与甲车相遇，那么乙车要比原来的行驶速度至少提高多少千米/时？ 28．如图：在长方形中，，，动点从点出发，先以的速度沿，然后以的速度沿运动，到点停止运动，设点运动的时间为秒． (1)①当点在上时，的面积与时间的关系________． ②当的面积时，时间________秒． (2)点整个运动过程中，是否存在这样的，使得的面积？如果存在，请求出的取值范围；如果不存在，请说明理由． (3)若另一动点与动点同时从点出发，先以的速度沿，然后以的速度沿运动，到点后立即原路返回，并且在边，上的速度等于原速，当点停止时点也随之停止．在整个运动过程中，是否存在时间使得的面积总大于的面积，如果存在，直接写出的取值范围；如果不存在，请说明理由． 题型八、工程问题 29．某校为了改善校园环境，丰富学生的课余生活，在暑期对校园环境进行大力改造．现有甲乙两个工程队参与这项改造工程，甲工程队单独完成这一项工程需要天，乙工程队单独完成这项工程所需的时间比甲工程队多． (1)若这项工程由甲乙两队合作完成，完成这项工程最少需要多少天？ (2)学校原计划由乙工程队单独完成这项工程，乙工程队工作几天后接到通知要缩短工期，后期工程由甲、乙两工程队共同合作完成，若甲工程队工作的天数是乙工程队工作天数的，求乙工程队工作的总天数． 30．某小区业主张先生准备装修新居，装修公司派来甲工程队完成此项完程．已知甲工程队单独完成此项工程需50天，由于工期过长，张先生要求装修公司再派一工程队与甲队共同工作，乙单独完成此项工程需30天． (1)若甲工程队工作10天后，与公司派来的乙工程队再合作多少天天可完成此项工程？ (2)甲、乙工程队每天的施工费分别为800元和1000元，张先生要求装修工程施工费用不能超过34000元，甲工程队至多参加工作多少天？ 31．列方程解下列问题： 截至2025年6月27日，渝厦高铁（渝黔段）开通后，重庆市高铁总里程为1435公里，未来五年重庆市将持续打造“米”字型高铁网．甲、乙两工程队承接某段高铁隧道挖掘工程，已知甲工程队每天的挖掘长度是乙工程队的1.5倍：若甲、乙两个工程队合作挖掘360米隧道，用了6天完成． (1)求甲、乙两个工程队每天分别可挖掘多少米隧道？ (2)该段隧道总长720米，计划甲队先施工m天，剩余工程由乙队完成．甲队每天挖掘费用8万元，乙队每天4万元，若总费用不高于160万元，且甲队施工天数不少于16天，则有哪几种施工方案？（甲、乙工程队挖掘天数均为正整数） 32．“农村道路改造”是某市市政府实施的一项重要的惠民工程，一条需要改造的农村道路共54千米，需要甲、乙两工程队合作施工完成，他们从道路两端同时开始施工，已知乙队每天比甲队多修千米． (1)现市政府要求甲、乙两队共同施工20天后，剩余的工程总量不得超过14千米，求甲队每天至少修路多少千米？ (2)如果甲、乙两队按照（1）中所求施工速度进行施工，那么几天能够修完这条道路？ 题型九、图表信息问题 33．规律是数学研究的重要内容之一，初中阶段，数与式部分研究的规律主要是数字变化规律、符号（数）及其运算规律等方面． 观察下列表格中三个代数式及其相应的值，回答问题： x … 0 1 2 … … a … … b 1 … … 1 4 7 … 【初步感知】 （1）根据表中信息可知： _____； _____； 【归纳规律】 （2）表中的值的变化规律是：x的值每增加1，的值就都减少1．类似地，的值的变化规律是：_____； （3）观察表格，下列说法正确的有 _____（填序号）； ①当时，；②当时，；③当时，；④当时，． 【应用迁移】 （4）已知代数式与（a,b,m,n为常数且），若无论x取何值，始终小于,试写出a与m，b与n满足的条件 _____． 34．制作好的茶叶会运往各地进行售卖，已知某茶叶经销商安排货车，欲将300件茶产品从某县运往甲、乙、丙三地销售．现要求运往乙地的产品件数是运往甲地产品件数的2倍，各地运送费用及路线如下图所示． (1)设安排运往甲地的产品件数为x，根据题目信息将下列表格填写完整． 甲地 乙地 丙地 产品件数 x 2x 运费/元 20x (2)若经销商运往丙地的产品件数不高于运往乙地产品件数的3倍，且总运费不超过5400元，请你帮经销商计算有哪几种运输方案． 35．观察表格 x …… 0 1 2 …… …… 0 a …… …… b 0 2 …… …… 1 3 5 …… (1) ______， ______； (2)用文字语言表述代数式的值随x的变化规律______； (3)下列判断：①当时，；②当时，；③当时，；④当时，．其中所有正确结论的序号是______； (4)若，直接写出x的取值范围． 36．自来水公司有种长度为的标准管道，根据施工要求，需按如图所示的两种截法，截得长度分别为和的A型管道和B型管道． 截法一： 截法二： 某小区铺设自来水管道，需要A型160根，B型管道178根．现有标准管道100根．设按截法一的标准管道为x根． (1)根据题意，完成以下表格： 标准管道截法一 标准管道截法二 x（根） _________（根） A型管道（根） x B型管道（根） _________ (2)若把100根标准管道按以上两种截法来分，共有哪几种截取方案？ 题型十、一元一次不等式组的新定义问题 37．定义新运算：对于任意实数，都有 ，等式右边是通常的加法、减法及乘法运算，比如： ①求的值； ②若的值小于，求x的取值范围，并在给定的数轴上表示出来． 38．对于有理数a、b， 定义一种新运算“”： 当时， 当时，． 例如： ) (1)计算： ， ； (2)若， 求x的值； (3)若， 则x的取值范围是 ． 39．定义一种新运算“”：当时，；当时，．例如：，． (1)填空：______，______； (2)若，则x的取值范围为______； (3)已知，求x的取值范围． 40．新定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“相依方程”，例如：方程的解为，而不等式组的解集为，不难发现在的范围内，所以方程是不等式组的“相依方程” ． (1)在方程①；②；③中，不等式组的“相依方程”是______；（填序号） (2)若关于的方程是不等式组的“相依方程”，求的取值范围； (3)若关于的方程是关于的不等式组的“相依方程”，且此时不等式组有个整数解，试求的取值范围． 1．（24-25七年级下·北京昌平·期中）研究表明，运动时将心率（次）控制在最佳燃脂心率范围内，能起到燃烧脂肪并且保护心脏的作用.最佳燃脂心率的最高值为（年龄），最低值为（年龄），所以一个40岁的人最佳燃脂心率的范围可用不等式表示为（ ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·浙江宁波·月考）将一箱苹果分给若干个学生，每个学生都分到苹果，若每个学生分4个苹果，则还剩8个苹果；若每个学生分5个苹果，则有一个学生所分苹果不足2个，若学生的人数为x，则列式正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·山东济宁·期末）把一些书分给几名同学，若__________；若每人分本，则不够．依题意，设有名同学列不等式，则横线的信息可以是（    ） A．每人分本，则可多分个人 B．每人分本，则剩余本 C．每人分本，则剩余本 D．其中一个人分本，则其他同学每人可分本 4．（24-25七年级下·湖北黄石·期末）“守护长江生态、传承长江文化”，引导青少年感恩长江、热爱长江、保护长江的意识，通过自身的行动和努力，让长江文化在新的时代焕发新的活力与魅力．我市蓝天实验学校七年级积极开展青少年主题读书活动，现有一批图书分发给若干班级，若每个班级发放4名本图书，则剩余20本；若每个班级发放8本图书，就有一个班级发放的图书多于1本且不足8本．则学校七年级共有（    ）个班级． A．8 B．7 C．6 D．5 5．（2025·山东菏泽·一模）某商场工作人员为方便客户购物需用扶手电梯和直立电梯从一楼运输一批购物车到二楼．若该商场扶手电梯一次性可以运输24辆购物车，直立电梯一次性可以运输18辆购物车．若要运输100辆购物车，且最多只能使用电梯5次，则共有 种运输方案，分别是 ． 6．（24-25九年级上·北京·期中）某电池制造商将两种型号的车用电池共打包成6个不同的包裹，编号分别为A，B，C，D，E，F，每个包裹的重量及包裹中甲乙两种型号的电池的重量如下，制造商准备用一辆载重不超过24.5吨的货车将其中的4个包裹运送到某新能源车工厂． 包裹编号 甲型电池重量/吨 乙型电池重量/吨 A 5 1 B 3 2 C 2 3 D 4 3 E 2 4 F 3 5 （1）如果装运的甲型电池不少于11吨，且不多于13吨，写出一种满足条件的装运方案 （写出要装运包裹的编号）； （2）如果装运的甲型电池不少于11吨，且不多于13吨，同时装运的乙型电池最多．写出满足条件的装运方案 （写出要装运包裹的编号）． 7．（24-25七年级下·北京东城·期末）为增强学生体质，丰富学生课余活动，学校决定添置一批篮球和足球．已知篮球价格为元/个，足球价格为元/个．若学校计划用不超过元的总费用购买这款篮球和足球共个，且购买篮球的数量多于购买足球的数量，则学校购买篮球 个． 8．（24-25七年级下·北京西城·期末）小明沿街心公园的环形跑道从起点出发按逆时针方向跑步，他用软件记录了跑步的轨迹，他每跑软件会在运动轨迹上标注相应的路程，前的记录如图所示．已知该环形跑道一圈的周长大于．    （1）小明恰好跑3圈时，路程是否超过了？答： （填“是”或“否”）； （2）小明共跑了且恰好回到起点，那么他共跑了 圈． 9．（2024七年级下·全国·专题练习）某工人制造机器零件，如果每天比计划多做1件，那么8天所做的零件总数超过100件；如果每天比计划少做1件，那么8天所做的零件总数不足99件．这个工人计划每天做多少件零件？ 10．（24-25七年级下·北京昌平·期末）已知是不等式组解集中的解，若存在一个a，使，我们把这样的称为该不等式组的“关联解”，a叫做“关联系数”． (1)当时，下列不等式组存在“关联解”的是_________． A． B． C． (2)不等式组的解集上存在“关联解”，若，“关联系数a”的取值范围为_________． (3)不等式组的解集存在关联解，，若，且是整数，直接写出“关联系数a”的值_________． 11．（24-25七年级下·湖南永州·月考）应用题：某工厂计划生产A，B两种产品共10件，其生产成本和利润如表： 种产品 种产品 成本（万元/件） 2 5 利润（万元/件） 1 3 (1)若工厂计划获利14万元，问A，B两种产品应分别生产多少件？ (2)若工厂计划投入资金不多于44万元，且获利多于14万元，问工厂有哪几种生产方案？ 12．（2023七年级下·浙江·专题练习）龙泉驿水蜜桃已有80余年的种植历史，现有水蜜桃标准化基地面积达7.2万余亩，年产量8.3万吨，培育了白凤桃、皮球桃、晚湖景等50余个早中晚熟优良品种，有果大质优、色泽艳丽、汁多味甜三大特点，素有“天下第一桃”的美誉．已知甲乙两果园今年预计水蜜桃的产量分别为200吨和300吨，打算成熟后运到A，B两个仓库存放，已知A仓库可储存240吨，B仓库可储存260吨．甲，乙两果园运往两仓费用的单价如表： 甲果园 乙果园 A仓库 150元/吨 140元/吨 B仓库 200元/吨 180元/吨 设从甲果园运往A仓库的水蜜桃重量为x吨，甲，乙两果园运往两仓库的水蜜桃运输费用分别为元，元． (1)求出，的函数关系式； (2)甲果园今年预计拿出不超过36000元的费用作为运费，乙果园今年预计拿出不超过50000元的费用作为运费，在这种情况下，甲果园运往A仓库多少吨时，才能使两果园的运费之和最小？并求出最小值． 13．（24-25七年级下·北京石景山·期末）为响应习近平总书记提出的“绿水青山就是金山银山”的口号，某校在植树节到来之际，开展植树活动．学校计划购买紫薇和银杏两种树苗，相关信息如下表： 编号 名称 规格单位 单价 购买数量 预算金额（元） 紫薇 棵 （棵） 银杏 捆（棵装） （捆） (1)若两种树苗共买棵，恰好将预算金额花完，求的值； (2)高一年级共有学生人，老师人．若要保证师生每两人种一棵树，在预算金额不增加的情况下，最多可以购买紫薇树苗多少棵？ 14．（24-25七年级下·北京西城·期中）一位同学在编程课上设计了一个运算程序，如图所示． 按上述程序进行运算，程序运行到“判断结果是否大于23”为一次运行． (1)若，直接写出该程序需要运行多少次才停止； (2)若该程序只运行了3次就停止了，求的取值范围． 15．（24-25七年级上·北京丰台·期末）在数轴上，点O表示的数为0，点M表示的数为m（）．给出如下定义：对于该数轴上的一点P与线段上一点Q，如果线段的长度有最大值，那么称这个最大值为点P与线段的“闭距离”，如图1，若，点P表示的数为3，当点Q与点M重合时，线段的长最大，值是4，则点P与线段的“闭距离”为4． (1)如图2，在该数轴上，点A表示的数为，点B表示的数为2． ①当时，点A与线段的“闭距离”为______； ②若点B与线段的“闭距离”为3，求m的值； (2)在该数轴上，点C表示的数为，点D表示的数为，若线段上存在点G，使得点G与线段的“闭距离”为4，直接写出m的最大值与最小值． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 一元一次不等式和一元一次不等式组的应用训练 （解析版） 目录 A题型建模・专项突破 题型一、根据题意列一元一次不等式（组） 1 题型二、销售问题 2 题型三、利润率问题 3 题型四、最大利润问题 5 题型五、积分问题 6 题型六、方案问题 8 题型七、行程问题 9 题型八、工程问题 11 题型九、图表信息问题 11 题型十、一元一次不等式组的新定义问题 11 B综合攻坚・能力跃升 题型一、根据题意列一元一次不等式（组） 1．将一箱苹果分给若干个小朋友，若每个小朋友分5个苹果，则还剩12个苹果；若每个小朋友分8个苹果，则有1个小朋友分到的苹果不足8个．求这一箱苹果的个数与小朋友的人数．若设小朋友的人数为，则可列不等式组为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查由实际问题抽象出一元一次不等式组，关键是正确理解题意，找出题目中的不等关系． 设小朋友人数为，则苹果总数为，当每个小朋友分个苹果时，前个小朋友分得个苹果，最后一个小朋友分得的苹果数为，该值大于且小于，由此可列不等式组． 【详解】解：∵苹果总数为， 前个小朋友分得个苹果， ∴最后一个小朋友分得的苹果数为， 由题意，， 即不等式组为 故选：C． 2．将一箱苹果分给若干个小朋友，若每位小朋友分5个苹果，则还剩个苹果；若每位小朋友分8个苹果，则有一个小朋友所分苹果不到8个，若小朋友的人数为x，则下列正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由“每位小朋友分5个苹果，则还剩个苹果，且小朋友的人数为”，可得出这箱苹果共个，结合“若每位小朋友分8个苹果，则有一个小朋友所分苹果不到8个”，即可列出关于的一元一次不等式组，此题得解． 【详解】解：每位小朋友分5个苹果，则还剩个苹果，且小朋友的人数为， 这箱苹果共个， 每位小朋友分8个苹果，则有一个小朋友所分苹果不到8个， ， 故选：C． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式组，根据各数量关系，正确列出一元一次不等式组是解题关键． 3．今年植树节时，某同学栽种了一棵树，此树的树围（树干的周长）为，已知以后此树树围每年增长，若生长年后此树树围超过，则可列不等式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键． 根据生长年后此树树围超过（即），即可得出关于的一元一次不等式，此题得解． 【详解】解：∵ 初始树围为，每年增长， ∴ 年后树围为. 又∵ 树围超过（即）， ∴ ． 故选：A. 4．学校组织社团活动，小萱需要从教室前往社团活动室，两地路程是500米，她从教室出发，先以60米／分钟的速度步行了分钟，后来怕迟到，她以100米／分钟的速度小跑过去，结果在之前到达了活动室．根据题意列出的不等式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了列一元一次不等式，解决本题的关键是总时间小于8分钟． 根据题意，总时间由步行时间和小跑时间组成，且总时间小于8分钟，据此列出不等式即可． 【详解】解：∵步行距离为米， ∴剩余距离为米，即小跑时间为分钟， ∴总时间为分钟， 又∵在之前到达，即总时间小于8分钟， ∴根据题意列出的不等式为． 故选：A． 题型二、销售问题 5．为增强体质，加强体育锻炼，学校计划拿出不超过4000元的资金购买一批篮球和排球，已知篮球和排球的单价比为．单价和为180元． (1)篮球和排球的单价各是多少元？ (2)若要求购买的篮球和排球的总数量为42个，且购买的排球数不多于12个，有哪几种购买方案？ (3)在所有的购买方案中，哪种方案花钱最少？ 【答案】(1)篮球的单价是100元，排球的单价80元． (2)一共有3种方案，分别为：①购买篮球32个，排球10个；②购买篮球31个，排球11个；③购买篮球30个，排球12个． (3)方案③购买篮球30个，排球12个花钱最少． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用和一元一次不等式组的应用，属于常考题型，正确理解题意、找准相等与不等关系是解题的关键． （1）根据题意可设篮球和排球的单价分别为元和元，然后根据单价和为180元可得关于x的方程，解方程即可求出结果； （2）设购买排球个，则购买篮球个，根据购买的排球数不多于12个和购买资金不超过4000元可得关于m的不等式组，解不等式组即可求出m的范围，进一步即可求得整数m的具体值，进而可得结果． （3）分别算出三种方案的花费，然后比较即可． 【详解】（1）解：设篮球和排球的单价分别为元和元， 依题意得：， 解得， 即，， 答：篮球的单价是100元，排球的单价80元． （2）解：设购买排球个，则购买篮球个， 由题意得：， 解得：， 因为m只能取整数，所以m的值可以为：10、11、12， ∴一共有3种方案，分别为：①购买篮球32个，排球10个；②购买篮球31个，排球11个；③购买篮球30个，排球12个． （3）解：方案①的花费为：（元）； 方案②的花费为：（元）； 方案③的花费为：（元）， ∴方案③购买篮球30个，排球12个花钱最少． 6．君实机械厂为青扬公司生产A、B两种产品，该机械厂由甲车间生产A种产品，乙车间生产B种产品，两车间同时生产．甲车间每天生产的A种产品比乙车间每天生产的B种产品多2件，甲车间3天生产的A种产品与乙车间4天生产的B种产品数量相同． (1)求甲车间每天生产多少件A种产品？乙车间每天生产多少件B种产品？ (2)君实机械厂生产的A种产品的出厂价为每件200元，B种产品的出厂价为每件180元．现青扬公司需一次性购买A、B两种产品共80件，若青扬公司按出厂价购买A、B两种产品的费用超过15000元而不超过15080元．请你通过计算为青扬公司设计购买方案？ 【答案】(1)甲车间每天生产8件A种产品，乙车间每天生产6件B种产品 (2)方案一：购买A种产品34件，B种产品46件；方案二：购买A种产品33件，B种产品47件；方案三：购买A种产品32件，B种产品48件；方案四：购买A种产品31件，B种产品49件 【分析】本题主要考查的是一元一次方程的应用，一元一次不等式组的应用，根据等关系列出方程，根据不等关系列出不等式是解题的关键． （1）设乙车间每天生产x件B种产品，则甲车间每天生产件A种产品，根据等量关系：甲车间3天生产的A种产品与乙车间4天生产的B种产品数量相同，列出方程，解方程即可； （2）设青扬公司购买B种产品m件，购买A种产品件．根据青扬公司按出厂价购买 A、B 两种产品的费用超过15000元而不超过15080元，列出不等式组，解不等式组即可． 【详解】（1）解：设乙车间每天生产x件B种产品，则甲车间每天生产件A种产品，根据题意得： ， 解得：， ∴， 答：甲车间每天生产8件A种产品，乙车间每天生产6件B种产品． （2）解：设青扬公司购买B种产品m件，购买A种产品件，根据题意得： ， 解得：， ∵m取整数， ∴或47或48或49， ∴青扬公司设计购买方案为： 方案一：购买A种产品34件，B种产品46件； 方案二：购买A种产品33件，B种产品47件； 方案三：购买A种产品32件，B种产品48件； 方案四：购买A种产品31件，B种产品49件． 7．某班级计划购买甲、乙两种文具共件，甲种文具每件元，乙种文具每件元． (1)若购买这两种文具共用去元，求甲、乙两种文具各购买多少件？ (2)若购买甲种文具的数量不少于乙种文具数量的倍，且总费用不超过元，求该班级有几种购买方案？ 【答案】(1)购买甲种文具件，乙种文具件； (2)只有种购买方案，购买甲种文具件，乙种文具件． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，一元一次不等式组的应用，读懂题意，找出关系，列出方程和不等式组是解题的关键． （） 设购买甲种文具件，则购买乙种文具件，根据题意得，然后解方程即可； （）设购买甲种文具件，则购买乙种文具件，根据题意得，然后解不等式组即可． 【详解】（1）解：设购买甲种文具件，则购买乙种文具件， 根据题意得， 解得， 则， 答：购买甲种文具件，乙种文具件； （2）解：设购买甲种文具件，则购买乙种文具件， 根据题意得，​ 解不等式得； 解不等式得， ∴， 故只有种购买方案，即购买甲种文具件，乙种文具件， 答：只有种购买方案，购买甲种文具件，乙种文具件． 8．某网店销售甲、乙两种遮阳帽，进价和售价格如表所示． 名称 甲种遮阳帽 乙种遮阳帽 进价（元/顶） 30 15 售价（元/顶） 40 20 根据上面提供的信息，解答下列问题． (1)根据消费者需求，该网店决定用不超过2280元购进甲、乙两种遮阳帽共100顶，且甲种遮阳帽的数量超过乙种遮阳帽的数量，则购进甲、乙两种遮阳帽有多少种进货方案？ (2)在（1）的条件下，哪种进货方案可使获利最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1)2种 (2)购进52顶甲种遮阳帽，48顶乙种遮阳帽；760元 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组是解题的关键． （1）设购进x顶甲种遮阳帽，则购进顶乙种遮阳帽，，利用总价单价数量，结合“总价不超过元，且购进甲种遮阳帽的数量超过乙种遮阳帽的数量”，可列出关于的一元一次不等式组，解之可得出的取值范围，再结合为正整数，即可得出各购进方案； （2）利用总利润每顶甲种遮阳帽的利润购进甲种遮阳帽的数量每顶乙种遮阳帽的利润购进乙种遮阳帽的数量，可求出各方案所需费用，比较后，即可得出结论． 【详解】（1）解：设购进x顶甲种遮阳帽，则购进顶乙种遮阳帽， 根据题意得：， 解得：， 又为正整数， 可以为51，52， 该网店共有2种进货方案， 方案1：购进51顶甲种遮阳帽，49顶乙种遮阳帽； 方案2：购进52顶甲种遮阳帽，48顶乙种遮阳帽； （2）选择方案1可获利元； 选择方案2可获利元 ， 购进52顶甲种遮阳帽，48顶乙种遮阳帽可使获利最大，最大利润是760元． 题型三、利润率问题 9．某服装店现有一款热卖的羽绒服，进价为280元/件，售价为400元/件．现准备打折销售，在保证利润率（利润率）不低于10%的情况下，打x折，则下列说法正确的是（   ） A．依据题意得 B．依据题意得 C．该款羽绒服可以打折 D．该款羽绒服最多打折 【答案】D 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，根据标价×打折-进价=利润，列出一元一次不等式，解不等式即可． 【详解】解：根据题意可列方程，． 解不等式得， ∴最多打折． 故选：D． 10．某商场销售大熊猫毛绒玩具，已知进价为120元，标价为180元，为了促销，商家决定打折销售，但利润率不能低于，则最多打 折（利润率） 【答案】八 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．设这种大熊猫毛绒玩具打折销售，利用利润售价进价，结合利润率不能低于，可列出关于的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出结论． 【详解】解：设这种大熊猫毛绒玩具打折销售， 根据题意得：， 解得：， 的最小值为8． 所以这种大熊猫毛绒玩具最多可以打八折． 故答案为：八 11．2022年北京冬残奥会吉祥物雪容融以它可爱的造型深受国人喜爱，一商家以100元/个的进价购进一批吉祥物，准备比进价高出80%价格来标价，但为了吸引顾客，扩大销量从开始就降价处理且每个降价m元，若要使售后利润率不低于20%（利润率=（售价-进价）/进价×100%），求m的最大值： ． 【答案】60 【分析】根据利润率=（售价-进价）/进价×100%，列出不等式，解不等式即可求解． 【详解】解：依题意得， 解得， ∴的最大值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用，找到不等关系，列出不等式是解题的关键． 12．研学旅行继承和发展了我国传统游学“读万卷书，行万里路”的教育理念和人文精神，成为素质教育的新内容和新方式．我县某中学组织师生前往林伯渠故居，开展以“追寻红色足迹，传承红色精神”为主题的研学活动． (1)学校准备给师生提供500瓶矿泉水．团委安排了15个同学把这些矿泉水从学校超市搬到校门口．有5个同学已经搬走了200瓶，问另外10名同学平均每人至少要搬几瓶？ (2)学校超市以每瓶2元的价格购进这批矿泉水，为了保证利润率不高于，问：矿泉水每瓶最多卖多少元？（） 【答案】(1)30瓶 (2)元 【分析】本题考查一元一次不等式的实际应用，解题关键是根据数量关系和利润率公式列出不等式求解 ． （1）设另外10名同学平均每人搬x瓶，依据“已搬瓶数名同学搬的瓶数总需搬瓶数（500瓶）”，列不等式，解不等式即可解答．   （2）设每瓶卖元，根据“，且利润率不高于”，列不等式，解不等式，得出每瓶最多的价格． 【详解】（1）解：设另外10名同学平均每人搬x瓶，根据题意得 解得， ∴x的最小值为30，即至少搬30瓶． 答：另外10名同学平均每人至少要搬30瓶 （2）解：设每瓶卖元，进价元，利润率不高于，根据题意得； ． 解得， ∴y的最大值为， 答：矿泉水每瓶最多卖元． 题型四、最大利润问题 13．重庆豌杂面以其劲道的面条、软糯的豌豆和香浓的杂酱，成为重庆小吃中极具代表性的美食．某超市计划试销两种包装规格的预包装重庆豌杂面（简装版、精装版），已知精装版豌杂面每箱售价比简装版贵45元，购买2箱精装版和5箱简装版的总费用为1210元． (1)求精装版和简装版豌杂面每箱的售价分别是多少元？ (2)经了解，精装版每箱进价为165元，简装版豌杂面每箱进价为135元，超市计划购进两种包装共28箱，且进货总资金不超过4020元，同时要求试销总利润不低于790元． ①求超市可行的进货方案有哪些？ ②哪种进货方案能让超市获得最大利润？最大利润是多少元？ 【答案】(1)精装版豌杂面每箱的售价是205元，简装版豌杂面每箱的售价是160元 (2)①超市共有3种进货方案， 方案1：购进6箱精装版豌杂面，22箱简装版豌杂面； 方案2：购进7箱精装版豌杂面，21箱简装版豌杂面； 方案3：购进8箱精装版豌杂面，20箱简装版豌杂面． ②当购进8箱精装版豌杂面，20箱简装版豌杂面时，超市获得最大利润，最大利润是820元． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组． （1）设精装版豌杂面每箱的售价是元，则简装版豌杂面每箱的售价是元，利用总价＝单价×数量，结合购买2箱精装版和5箱简装版的总费用为1210元，可列出关于的一元一次方程，解之可得出的值（即精装版豌杂面每箱的售价），再将其代入中，即可求出简装版豌杂面每箱的售价； （2）①设购进箱精装版豌杂面，则购进箱简装版豌杂面，根据“进货总资金不超过4020元，且试销总利润不低于790元”，可列出关于的一元一次不等式组，解之可得出的取值范围，再结合为正整数，即可得出各购买方案； ②求出选择各方案超市可获得的总利润，比较后，即可得出结论． 【详解】（1）解：设精装版豌杂面每箱的售价是元，则简装版豌杂面每箱的售价是元， 根据题意得：，解得， 则． 答：精装版豌杂面每箱的售价是205元，简装版豌杂面每箱的售价是160元． （2）①设购进箱精装版豌杂面，则购进箱简装版豌杂面， 根据题意得：， 解得：． 又为正整数， 可以为6，7，8． ∴超市共有3种进货方案． 方案1：购进6箱精装版豌杂面，22箱简装版豌杂面； 方案2：购进7箱精装版豌杂面，21箱简装版豌杂面； 方案3：购进8箱精装版豌杂面，20箱简装版豌杂面． ②选择方案1获得的总利润为：（元）； 选择方案2获得的总利润为：（元）； 选择方案3获得的总利润为（元）； ， ∴当购进8箱精装版豌杂面，20箱简装版豌杂面时，超市获得最大利润，最大利润是820元． 14．近年来，中国传统服饰备受大家的青睐，走上国际时装周舞台，大放异彩．某服装店直接从工厂购进长、短两款传统服饰进行销售，进货价和销售价如下表： 价格/类别 短款 长款 进货价（元/件） 80 90 销售价（元/件） 100 120 第一次购进的两款服装售完后，该服装店计划再次购进长、短两款服装共200件（进货价和销售价都不变），且第二次进货总价不高于16800元．服装店这次应如何设计进货方案，才能获得最大销售利润，最大销售利润是多少？ 【答案】当购进120件短款服装，80件长款服装时有最大利润，最大利润是4800元 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的应用，代数式求值等知识，设第二次购进m件短款服装，则购进件长款服装，根据第二次进货总价不高于16800元列出一元一次不等式得出．再设利润为w元，则，把的整数代入计算并发现规律即可求解． 【详解】解：设第二次购进m件短款服装，则购进件长款服装， 由题意可得， 解得：， 设利润为w元，则， 当时，把代入（元）， 当时，把代入（元） … 可知随着m的增大，利润越来越小， ∴当购进120件短款服装，80件长款服装时有最大利润，最大利润是4800元． 15．“一带一路”国际合作高峰论坛在北京举行，本届论坛期间，中国同30多个国家签署经贸合作协议，某童装厂准备生产L、M两种型号的童装销往“一带一路”沿线国家和地区．现工厂有甲种布料38米，乙种布料26米．计划用这两种布料生产这两种型号的童装50套进行市场调研．已知做一套L型号的童装需甲种布料0.5米、乙种布料1米，可获利50元；做一套M型号的童装需甲种布料0.9米、乙种布料0.2米，可获利30元． (1)按要求安排L、M两种型号的童装的生产套数，有哪几种方案?请你设计出来； (2)在你设计的方案中，哪种生产方案获总利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1)共有3种方案，方案1：生产18套L型号的童装，32套M型号的童装；方案2：生产19套L型号的童装，31套M型号的童装；方案3：生产20套L型号的童装，30套M型号的童装； (2)方案3利润最大，最大为1900元 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用以及有理数的混合运算； （1）设生产型号的童装件，则生产型号的童装件，根据生产50套童装所需甲种布料不超过38米、乙种布料不超过26米，即可得出关于的一元一次不等式组，解之即可得出的取值范围，再结合为正整数即可得出各生产方案； （2）利用总利润=每套的利润×生产数量，即可得出各生产方案获得的总利润，比较后即可得出结论． 【详解】（1）解：设生产型号的童装件，则生产型号的童装件， 依题意得： 解得：． 又∵为正整数， ∴可以取，，， ∴共有种生产方案， 方案：生产套型号的童装，套型号的童装； 方案：生产套型号的童装，套型号的童装； 方案：生产套型号的童装，套型号的童装． （2）方案获得的总利润为（元）； 方案获得的总利润为（元）； 方案获得的总利润为（元）． ∵， ∴方案获得的总利润最大，最大利润是元． 16．猕猴嬉戏是王屋山景区的一大特色，猕猴玩偶非常畅销．小李在某网店选中，两款猕猴玩偶，决定从该网店进货并销售．两款玩偶的进货价和销售价如下表： 类别价格 款玩偶 款玩偶 进货价（元/个） 40 35 销售价（元/个） 58 45 (1)第一次小李用1900元购进了两款玩偶共50个，求两款玩偶各购进多少个． (2)第二次小李进货时，网店规定款玩偶进货数量不得超过款玩偶进货数量的一半．小李计划购进两款玩偶共30个，应如何设计进货方案才能获得最大利润，最大利润是多少？ 【答案】(1)A款玩偶购进30个，B款玩偶购进20个 (2)按照A款玩偶购进10个、B款玩偶购进20个的方案进货才能获得最大利润，最大利润是380元 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，不等式的应用，代数式的表示及最值，解题关键是厘清题意，找出数量关系，区分等式和不等式的地方． （1）设A款玩偶购进x个，根据两款玩偶的总数量，总成本及进价，即可列出方程求解； （2）设A款玩偶购进a个，则B款玩偶购进个，根据两款购进的数量要求列出不等式，求出a的范围；再根据两款玩偶的进价和售价，表示出利润，结合a的范围，即可求解． 【详解】（1）解：设A款玩偶购进x个，则B款玩偶购进个 由题意，得 解得： 答：A款玩偶购进30个，B款玩偶购进20个； （2）设A款玩偶购进a个，则B款玩偶购进个， 由题意，得， 解得， ∴a最大值为10 设获利y元，则 ∵一个加数300不变，当另一个加数最大时，和y最大． ∴时，最大，此时y最大值为380元， ∴时，此时y最大值为元 此时B款玩偶为：（个） 答：按照A款玩偶购进10个、B款玩偶购进20个的方案进货才能获得最大利润，最大利润是380元． 题型五、积分问题 17．项目式学习 体育比赛计分 素材一 体育比赛中蕴含着丰富的数学知识，比如计分规则、比赛场次、最佳策略等．不同的比赛项目有着不同的计分规则，只有了解这些规则，才能让我们更佳清楚地看懂比赛．你是否思考过这些问题：篮球循环赛中，你们年段球队如何获得最终胜利？ 素材二 五一节期间，某校举办“瓷韵杯”七年级学生篮球赛，戴云队、九仙队、石牛队三支篮球队举行单循环赛，赛前约定的比赛排名规则： 获胜场数多的球队排名靠前； 如果两队获胜场数相同时，依下列顺序排列名次： 净胜分大的球队排名靠前； 净胜分相同时，两队比赛获胜者排名靠前． 素材三 三支球队的比赛成绩如表： 戴云队 九仙队 石牛队 净胜分 戴云队 九仙队 石牛队 注：戴云队与九仙队的比赛得分是，则九仙队与戴云队的比赛得分是 净胜分=本队两场比赛的总得分-对方比赛的总得分，如戴云队的净胜分. 问题解决 任务一 分别计算九仙队和石牛队的净胜分（用含n的代数式表示）； 任务二 当时，通过计算说明九仙队获得第几名？ 任务三 根据排名规则和比赛成绩分析哪支球队能得第一名 【答案】任务一：九仙队的净胜分是，石牛队的净胜分是； 任务二：当时，九仙队为第三名； 任务三：当且时，石牛队得第一名；当时，九仙队得第一名 【分析】任务一：根据净胜分=本队两场比赛的总得分-对方比赛的总得分进而计算可以得解； 任务二：依据题意，当时，三支篮球队均1胜1负，故需比较三支篮球队的净胜分，又戴云队、九仙队、石牛队三队的净胜分分别为，，8，故石牛队得第一名，又戴云队、九仙队的净胜分相同，戴云队：九仙队：47，进而可以判断得解； 任务三：依据题意，分、且分别进行分析计算即可判断得解． 本题主要考查了一元一次不等式组的应用，解题时要熟练掌握并能根据题意列出不等式组是关键． 【详解】任务一：（1）由题意得，九仙队的净胜分是； 石牛队的净胜分是 答：九仙队的净胜分是，石牛队的净胜分是 任务二：由题意，当时，三支篮球队均1胜1负， 需比较三支篮球队的净胜分． 戴云队、九仙队、石牛队三队的净胜分分别为，，8， 石牛队得第一名． 戴云队、九仙队的净胜分相同，戴云队：九仙队：47 戴云队为第二名． 九仙队为第三名． 任务三：①当时，石牛队两场都胜，石牛队得第一名． ②当时，每队各胜1场， 若戴云队得第一名，则需 此时，这个不等式组无解， 戴云队不可能得第一名； 若九仙队得第一名， ， 又， ； 若石牛队得第一名， 综上所述：当且时，石牛队得第一名；当时，九仙队得第一名． 18．列不等式解应用题 某次数学测验，共 个选择题，评分标准为：答对一题给 分，答错一题扣 分，不答不给分，某个学生有一题未答，他想自己的分数不低于 分，他至少要答对多少题? 【答案】至少答对 道题． 【分析】设他要对x题，则错（15-x）题，依题意分数不低于75分，表示出他得到分数大于等于75，解不等式，取最小整数即可． 【详解】解：设他要对x题，依题意得： 6x-2（15-x）≥75， 解之得； 因为题数应该是整数， 所以至少要对14题． 答：他至少要答对14道题. 【点睛】解决本题的关键是读懂题意，找到符合题意的不等关系式组．准确的解不等式是需要掌握的基本计算能力．注意：根据题意，未知数应该是最小整数． 19．某篮球小组晋级赛中，每组有六支球队，全部比赛结束后，取前四名晋级下一轮比赛该小组赛排名规则如下： ①六支球队两两之间进行一场比赛，胜场积3分，负场不积分（篮球比赛无平局情况）．比赛按球队积分排列名次； ②如果两队积分相同，则两队之间获胜者名次列前； ③如果三队或三队以上积分相同，则相互之间的胜场数多者名次列前；如再相同，则同积分球队交手的“总得失分率p”高者名次列前；若再相同，从鼓励进攻的角度出发，互相交手中，总得分高者名次列前； 示例：A队、B队、C队积分相同，互相交手中，A队战胜B队，B队战胜C队，C队战胜A队．则A队的总得失分率为：，…… ④当运用以上规则任意一步时，如有球队已经能够确定名次，则这些球队的名次不受后面步骤比较结果的影响． (1)第一小组六支球队中，D队、E队、F队积分相同，将角逐第三、四名．具体比赛情况如下：D队战胜E队，D队战胜F队，F队战胜E队．根据以上规则，判断第三名是 ，第四名是 ； (2)若示例中A队、B队、C队三队将角逐最后一个晋级名额，请通过计算判断哪队能晋级； (3)第二小组剩余G队、H队、K队三支球队将角逐最后一个晋级名额．在之前比赛中，G队战胜K队，G队负于H队，现只剩H队与K队的最后一场比赛．目前，G队积6分，H队积6分，K队积3分．G队是否还有机会晋级？若有，请求出晋级条件；若没有，请说明理由． 【答案】(1)D队，F队 (2)A队能晋级； (3)G队有机会晋级．若K队以的比分战胜H队，当且时，G队可以晋级． 【分析】此题主要考查了不等式组的应用． （1）求得D队胜两场，F队胜一场，E队无胜场，可得第三名是D队，第四名是F队； （2）三队各胜一场，计算“总得失分率p”得到，则A队能晋级； （3）①若H队战胜K队，H队积9分，G队积6分，K队积3分，则G队没有机会晋级； ②若K队战胜H队，三队积分相同，若大于其余两队的“总得失分率”，则G队还有机会晋级．设K队战胜H队，其中，计算“总得失分率”，即可求解． 【详解】（1）解：∵D队战胜E队，D队战胜F队，F队战胜E队， ∴D队胜两场，F队胜一场，E队无胜场， ∴第三名是D队，第四名是F队， 故答案为：D队，F队； （2）解：∵A队战胜B队，B队战胜C队，C队战胜A队， ∴三队各胜一场， ∵，，， ∴， ∴A队能晋级； （3）解：①若H队战胜K队， ∵G队战胜K队，G队负于H队，且目前，G队积6分，H队积6分，K队积3分， ∴H队积9分，G队积6分，K队积3分， ∴G队没有机会晋级； ②若K队战胜H队，则G、H、K三队同积6分． 三队相互交手战绩均为一胜一负，需比较“总得失分率p”． 设K队战胜H队（）， 则，，， 若G队晋级，则需为最高。若大于和，则需且，即且且， 解得且． 综上，G队晋级的条件为：K队战胜H队，分差为8分，且H队的得分小76分． 20．某电视台组织学习党史知识竞赛，共设20道选择题，各题分值相同，答对一题得5分，可以选择不答，下表记录的是3名参赛者的得分情况． 参赛者 答对题数 不答题数 答错题数 得分 A 19 0 1 94 B 18 1 1 91 C 18 2 0 94 （1）由表格知，不答一题得______分，答错一题扣______分． （2）某参赛者D答错题数比不答题数的2倍多1题，最后得分为64分，他答对几道题？ （3）在前10道题中，参赛者E答对8题，1题放弃不答，1题答错，则后面10题中，至少要答对几题才有可能使最后得分不低于79分？为什么？ 【答案】（1）2，1；（2）13道；（3）6道，理由见解析 【分析】（1）根据C和A的数据求解即可； （2）设该选手不答题数为，列出方程求解即可； （3）设后10道题答对道题，列出不等式计算即可； 【详解】解：（1）由C可知，不答一题的得分为：， 由A可知，答错一题的得分为：； 故答案是：2，1； （2）设该选手不答题数为， ∴则答错题数为， ∴答对题数为道， ， 解得：， ∴答对题数； （3）前10道题得分为：分， 设后10道题答对道题， 则，， 解得：， ∴至少要答对6题才有可能使最后得分不低于79分． 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用和一元一次不等式的应用，准确计算是解题的关键． 题型六、方案问题 21．某电器商店销售一种洗衣机和电磁炉，洗衣机每台定价800元，电磁炉每台定价200元．“十一”假期商店决定开展促销活动，活动期间向客户提供两种优惠方案： 方案一：买一台洗衣机送一台电磁炉； 方案二：洗衣机和电磁炉都按定价的付款． 现某客户要在该商店购买洗衣机10台，电磁炉x台（）．单独用方案一或方案二购买． (1)若购买电磁炉的数量是20台，按方案一、方案二购买，分别需付款多少元？ (2)根据购买电磁炉的数量，设计一种省钱的购买方案． 【答案】(1)方案一：10000元，方案二：10800元 (2)当时，选择方案一省钱，当时，选择方案二省钱，当时，两种方案均可 【分析】本题考查一元一次不等式的应用，根据已知条件列出不等式是解题的关键． （1）根据方案一，买10台洗衣机送10台电磁炉，还需购买10台电磁炉，计算总价；方案二所有商品打九折，计算总价即可； （2）分别列出方案一和方案二的付款表达式，比较大小，确定省钱的方案即可． 【详解】（1）解：购买洗衣机10台，电磁炉20台， 方案一：买10台洗衣机送10台电磁炉，还需购买10台电磁炉，付款为 （元） 方案二：所有商品按付款，付款为 （元） 因此，方案一需付款10000元，方案二需付款10800元； （2）解：设购买电磁炉x台（）， 方案一付款为：， 方案二付款为：， ， 当，即时，，则方案一省钱； 当，即时，，则方案二省钱； 当，即时，，则两种方案付款相同， 因此，当时，选择方案一省钱，当时，选择方案二省钱，当时，两种方案均可． 22．由于“618购物狂欢节”，京东，天猫等电商平台推出了预售，满减，送券，领红包等优惠活动，6月份某商场所有商品销量均减少．为吸引顾客，7月份该商场对全场促销．店长根据市场调查推出两种促销方案如下（两种方案不能叠加享受）： 方案一 可购买100元代金券，每张89元，每次消费时最多可使用3张，能使用尽量使用，未满100元的部分不得使用代金券 方案二 消费原总价不超过300的部分九折优惠，超过300元的部分八折优惠，不得同时使用代金券 例：某次消费140元，按照方案一使用代金券后，实际花费元． (1)若某次消费220元，按照方案一使用代金券后，实际花费 元； (2)若某次实际花费350元，则在使用优惠方案前需花费 元； (3)小明一家在商场消费了元． ①若按照方案一使用代金券进行优惠，实际花费 元；若按照方案二进行优惠，实际花费 元；（用含x的代数式表示） ②选择哪种方案更省钱？ 【答案】(1)198 (2)383或400 (3)①；；②当时，选择方案一更省钱；当时，方案一和方案二一样省钱；当时，选择方案二更省钱 【分析】本题考查了列代数式、一元一次方程的应用、一元一次不等式的应用等知识，理解两个优惠方案，正确建立方程和不等式是解题关键． （1）根据方案一可得消费220元可以使用两张代金券，据此列式运算式子，计算有理数的四则混合运算即可得； （2）分两种情况：若按照方案一，可以使用三张代金券，据此列出运算式子计算即可得；若按照方案二，设在使用优惠方案前需花费元，建立方程，解方程即可得； （3）①按照方案一，可以使用三张代金券，据此列出代数式，化简即可得；按照方案二可列出代数式，化简即可得； ②根据①的结果，分三种情况，建立不等式和方程，解不等式和方程即可得． 【详解】（1）解：按照方案一使用代金券后，实际花费为 （元）， 故答案为：198． （2）解：若按照方案一，则（元）， 在使用优惠方案前需花费（元）； 若按照方案二，设在使用优惠方案前需花费元， ∵， ∴， 由题意得：， 解得， 即按照方案二，在使用优惠方案前需花费400元， 故答案为：383或400． （3）解：①若按照方案一使用代金券进行优惠， 则实际花费为（元）； 若按照方案二进行优惠， 则实际花费为（元）； 故答案为：；． ②当时，解得， 即当时，选择方案一更省钱； 当时，解得，方案一和方案二一样； 当时，解得，选择方案二更省钱； 答：当时，选择方案一更省钱；当时，方案一和方案二一样省钱；当时，选择方案二更省钱． 23．为丰富课后生活，某中学计划为七年级学生统一购买一批经典科普读物．书籍原价每本30元，书店为学校采购提供了以下两种优惠方案： 方案一：每本可享受八折优惠． 方案二：60本以内原价（含60本），超过部分每本六折． 学校预计共需购买n本读物．请根据要求回答下列问题： (1)请用含n的代数式分别表示出两种方案购买书本所需的费用； (2)若两种方案费用相同，购买本数________； (3)假如你是该中学图书订购负责人，选择哪一种方案更合算？ 【答案】(1)方案一：元；方案二：元 (2) (3)当，选择方案二；当，选择方案一；当，选择方案一或方案二； 【分析】本题考查了列代数式，一元一次方程的应用，一元一次不等式的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据两种优惠方案，进行列式，即可作答． （2）根据两种方案费用相同，得，进行解方程，即可作答． （3）理解题意，进行分类讨论，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，方案一：购买n本读物的费用元； 方案二：购买n本读物的费用元； （2）解：由（1）得方案一：元；方案二：元， 由题意得， 解得， 故答案为：120． （3）解：依题意，当时，得出， 即当，选择方案二； 当，且时，得出， 即当，选择方案一； 当，解得， 即当，选择方案一或方案二； 24．某健身俱乐部，每次健身费用25元，寒假将至，特面向大学生推出寒假优惠活动，活动方案如下： 方案一：购买一张学生假期专享卡30元，每次健身费用打六折； 方案二：不购买学生假期专享卡，每次健身费用打八折． (1)设某学生假期健身（次），按照方案一所需费用为_______元；按照方案二所需费用为_______元；（用含的代数式表示） (2)小华计划寒假前往该俱乐部健身8次，应选择哪种方案所需费用更少？说明理由； (3)请直接写出：学生在什么情况下选择方案二更划算． 【答案】(1)， (2)方案一费用更少，理由见解析 (3)学生在寒假健身次数小于6次时选择方案二更划算 【分析】本题考查了列代数式，求解代数式的值，不等式的应用． （1）根据方案一每次健身费用按六折优惠，可得打折前的每次健身费用，进一步可得与x的函数关系式，再根据方案二每次健身费用按八折优惠，求出与x的函数关系式； （2）根据健身的次数分别求出两个方案所需的费用，再比较即可． （3）根据选择方案二更划算可得，再进一步求解即可. 【详解】（1）解：由题意可得：； . （2）解：当时，． ∵， ∴健身8次时，选择方案一所需费用更少． （3）解：由题意可得：， ∴， ∴， 解得：. ∴学生在寒假健身次数小于6次时选择方案二更划算. 题型七、行程问题 25．从甲地到乙地有一段平路与一段上坡路，若骑自行车，平路每小时 15千米，上坡每小时10千米，下坡每小时18千米，因此从甲地到乙地需29分钟，从乙地到甲地需25分钟. (1)求甲、乙两地的全程是多少千米； (2)小明以上述速度从乙地去甲地，骑行了8分钟后接到电话，需比计划提前5分钟到达甲地(接电话的时间不计).求小明接电话后骑车的速度至少是每小时多少千米. 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查一元一次方程与一元一次不等式的实际应用： （1）设平路所用的时间为x小时，根据“上坡与下坡的路程相等”列一元一次方程求得x的值，即可求解； （2）由（1）可得下坡的时间，再设小明接到电话后骑车的速度是，根据题意列一元一次不等式，求得y的取值范围即可求解． 【详解】（1）解：设平路所用的时间为x小时， 由题意得，， 解得， ∴， 答：甲、乙两地的全程是； （2）解：∵平路长：，坡路长：， ∴下坡的时间为， 设小明接到电话后骑车的速度是， 由题意得，， 解得， 答：小明接电话后骑车的速度至少是． 26．已知a，b满足．且a，b的值分别是点A、B在数轴上对应的数． (1)直接写出a，b的值： ， ； (2)A、B两点沿着数轴运动，点A以4个单位长度/秒的速度向左运动，同时点B以2个单位长度/秒的速度向右运动，求两点出发几秒后所表示的点为的中点； (3)有一动点P从表示的点出发，以3个单位长度/秒的速度向右运动，动点Q从表示的点出发，以2个单位长度/秒的速度向右运动．点P比点Q先出发1秒，设点Q运动的时间为t秒，求线段与线段有重合部分时时间t的取值范围． 【答案】(1) (2)6 (3) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用、数轴、非负数的性质等知识定，明确题意、找准等量关系，列出方程是解题的关键． （1）根据非负数的性质求解即可； （2）表出A、B坐标，利用中点公式列方程求解即可； （3）表出P、Q坐标，结合范围求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴； 故答案为：． （2）解：设t秒后，A表示，B表示， ∵中点为， ∴，解得． （3）解：∵P先出发1秒，运动时间， ∴点P表示的数为，Q表示； ∵对应到3， 当点P在点Q点左侧，即时，线段对应的范围是到， ∴ ，解得：； 当点P在点Q点右侧，即时，线段对应的范围是到， ，解得：， 当点P在点Q点重合时，线段PQ对应的范围是到， ∴ ，解得：. 综上，线段与线段有重合部分时时间t的取值范围． 27．甲、乙两车从相距210千米的A、B两地相向而行，且均保持匀速行驶，甲的行驶速度为60千米/时，乙的行驶速度为30千米/时．若甲、乙两车同时出发，甲车行驶了1小时后发生故障，原地检修用了30分钟后继续按原速度行驶，此时，乙车提高速度，为了保证乙车再经过不超过1小时与甲车相遇，那么乙车要比原来的行驶速度至少提高多少千米/时？ 【答案】乙车要比原来的行驶速度至少提高15千米/时 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，解题的关键是根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．设乙车比原来的行驶速度提高m千米/时，，利用路程=速度×时间，结合乙车再经过不超过1小时与甲车相遇，可列出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出结论． 【详解】解：设乙车比原来的行驶速度提高m千米/时， 根据题意得：， 解得， 的最小值为15． 答：乙车要比原来的行驶速度至少提高15千米/时． 28．如图：在长方形中，，，动点从点出发，先以的速度沿，然后以的速度沿运动，到点停止运动，设点运动的时间为秒． (1)①当点在上时，的面积与时间的关系________． ②当的面积时，时间________秒． (2)点整个运动过程中，是否存在这样的，使得的面积？如果存在，请求出的取值范围；如果不存在，请说明理由． (3)若另一动点与动点同时从点出发，先以的速度沿，然后以的速度沿运动，到点后立即原路返回，并且在边，上的速度等于原速，当点停止时点也随之停止．在整个运动过程中，是否存在时间使得的面积总大于的面积，如果存在，直接写出的取值范围；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)①；②或 (2)存在；或 (3)存在；或 【分析】（1）①根据三角形面积公式进行求解即可； ②分两种情况：当点在上时，当点P在上时，分别列出方程求出结果即可； （2）分两种情况：当点在上时，当点P在上时，分别列出不等式求出结果即可； （3）分四种情况：当点Q从点A向点B运动时，当点Q从点B向点C运动时，当点Q从点C向点B运动时，当点Q从点B向点A运动时，分别列出不等式进行求解即可． 【详解】（1）解：①当点在上时，的面积与时间的关系为： ； ②当时，点P在上，， 解得：； 当时，点P在上，， 解得：， 综上分析可知：或； （2）解：存在； 当时，点在上，， 解得：， ∴此时； 当时，点在上时，， 解得：， ∴此时； 综上分析可知：或； （3）解：存在； 当时，点Q从点A向点B运动，， ∴， ∴当时，； 当时，点Q从点B向点C运动，则， 解得：， ∴当时，； 当时，点Q从点C向点B运动，则， 解得：， ∴此时没有符合条件的t存在； 当时，点Q从点B向点A运动，， 整理得：， ∵此时， ∴， ∴总成立， ∴时，； 综上分析可知：或时，． 【点睛】本题主要考查了列代数式，求不等式的解集，一元一次方程的应用，三角形面积计算，解题的关键是注意进行分类讨论． 题型八、工程问题 29．某校为了改善校园环境，丰富学生的课余生活，在暑期对校园环境进行大力改造．现有甲乙两个工程队参与这项改造工程，甲工程队单独完成这一项工程需要天，乙工程队单独完成这项工程所需的时间比甲工程队多． (1)若这项工程由甲乙两队合作完成，完成这项工程最少需要多少天？ (2)学校原计划由乙工程队单独完成这项工程，乙工程队工作几天后接到通知要缩短工期，后期工程由甲、乙两工程队共同合作完成，若甲工程队工作的天数是乙工程队工作天数的，求乙工程队工作的总天数． 【答案】(1)天 (2)天 【分析】（）由题意可得，乙工程队单独完成这项工程所需天，设甲乙两队合作完成这项工程需要天，由题意列出一元一次不等式解答即可求解； （）设乙工程队工作的总天数为天，由题意列出方程即可求解； 本题考查了一元一次方程的应用，根据题意找到等量关系是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意可得，乙工程队单独完成这项工程所需天， 设甲乙两队合作完成这项工程需要天， 由题意得，， 解得， 答：甲乙两队合作完成这项工程最少需要天； （2）解：设乙工程队工作的总天数为天， 由题意得，， 解得， 答：乙工程队工作的总天数为天． 30．某小区业主张先生准备装修新居，装修公司派来甲工程队完成此项完程．已知甲工程队单独完成此项工程需50天，由于工期过长，张先生要求装修公司再派一工程队与甲队共同工作，乙单独完成此项工程需30天． (1)若甲工程队工作10天后，与公司派来的乙工程队再合作多少天天可完成此项工程？ (2)甲、乙工程队每天的施工费分别为800元和1000元，张先生要求装修工程施工费用不能超过34000元，甲工程队至多参加工作多少天？ 【答案】(1)15天； (2)20天． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及一元一次不等式的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）设再合作天可完成此项工程，因为甲工程队单独完成此项工程需50天，乙单独完成此项工程需30天，列式，再解方程，即可作答． （2）先设甲工程队参加工作天，再表示乙参加的天数为，因为甲、乙工程队每天的施工费分别为800元和1000元，张先生要求装修工程施工费用不能超过34000元，所以，最后解不等式，即可作答． 【详解】（1）解：设再合作天可完成此项工程 解得： 答：再合作15天可完成此项工程； （2）解：设甲工程队参加工作天， 则乙参加的天数为 解得： 答：甲工程队至多参加工作20天 31．列方程解下列问题： 截至2025年6月27日，渝厦高铁（渝黔段）开通后，重庆市高铁总里程为1435公里，未来五年重庆市将持续打造“米”字型高铁网．甲、乙两工程队承接某段高铁隧道挖掘工程，已知甲工程队每天的挖掘长度是乙工程队的1.5倍：若甲、乙两个工程队合作挖掘360米隧道，用了6天完成． (1)求甲、乙两个工程队每天分别可挖掘多少米隧道？ (2)该段隧道总长720米，计划甲队先施工m天，剩余工程由乙队完成．甲队每天挖掘费用8万元，乙队每天4万元，若总费用不高于160万元，且甲队施工天数不少于16天，则有哪几种施工方案？（甲、乙工程队挖掘天数均为正整数） 【答案】(1)甲工程队每天挖掘米，乙工程队每天挖掘米 (2)施工方案有两种：①甲队施工天，乙队施工天；②甲队施工天，乙队施工3天 【详解】（1）解：设乙工程队每天可挖掘隧道x米，则甲工程队每天可挖掘隧道米，根据题意，得 解得： ∴ 答：甲工程队每天可挖掘隧道36米，乙工程队每天可挖掘隧道24米． （2）解：设乙队施工天数为天， 隧道总长720米，甲队施工天，挖掘米，剩余隧道长度米， ∴乙队施工天数， ∵、为正整数， ∴为偶数，， ∴， 依题意得：，即 解得：， 又∵， ∴可取， 当时，乙队施工天数为， 当时，乙队施工天数为， 答：施工方案有两种：方案①甲队施工16天，乙队施工6天；方案②甲队施工18天，乙队施工3天． 32．“农村道路改造”是某市市政府实施的一项重要的惠民工程，一条需要改造的农村道路共54千米，需要甲、乙两工程队合作施工完成，他们从道路两端同时开始施工，已知乙队每天比甲队多修千米． (1)现市政府要求甲、乙两队共同施工20天后，剩余的工程总量不得超过14千米，求甲队每天至少修路多少千米？ (2)如果甲、乙两队按照（1）中所求施工速度进行施工，那么几天能够修完这条道路？ 【答案】(1)千米 (2)27天 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用. （1）设甲队每天修路x千米，则乙队每天修路千米，根据题意列不等式求解即可； （2）先求出乙队每天修路千米，再根据道路共54千米计算即可. 【详解】（1）解：设甲队每天修路x千米，则乙队每天修路千米， 根据题意，得，解得， ∴x的最小值为， 答：甲队每天至少修路千米； （2）解：由（1）得，甲队每天修路千米，则乙队每天修路千米， （天）， 答：27天能够修完这条道路． 题型九、图表信息问题 33．规律是数学研究的重要内容之一，初中阶段，数与式部分研究的规律主要是数字变化规律、符号（数）及其运算规律等方面． 观察下列表格中三个代数式及其相应的值，回答问题： x … 0 1 2 … … a … … b 1 … … 1 4 7 … 【初步感知】 （1）根据表中信息可知： _____； _____； 【归纳规律】 （2）表中的值的变化规律是：x的值每增加1，的值就都减少1．类似地，的值的变化规律是：_____； （3）观察表格，下列说法正确的有 _____（填序号）； ①当时，；②当时，；③当时，；④当时，． 【应用迁移】 （4）已知代数式与（a,b,m,n为常数且），若无论x取何值，始终小于,试写出a与m，b与n满足的条件 _____． 【答案】(1) ；；(2)x的值每增加1，的值都增加3；(3)①③；(4)； 【分析】（1）直接代值计算即可得到答案； （2）观察表格即可得到答案； （3）根据的值的变化规律是：x的值每增加1，的值就都减少1，的值的变化规律是x的值每增加1，的值就增加3，且当时，和的值相同，则当时，的值大于的值，据此可判断①；同理可判断②③④； （4）根据题意可得,若无论x取何值，的值始终小于的值，则,据此可得答案． 【详解】解：（1）当时，， ∴； 当时，， ∴， 故答案为： ；； （2）规律是：x的值每增加1，的值都增加3， 故答案为：x的值每增加1，的值都增加3； （3）∵的值的变化规律是：x的值每增加1，的值就都减少1；的值的变化规律是：x的值每增加1，的值都增加3，且时，和的值相同， ∴当时，，故①正确； 同理可知当时，，故②错误； 同理可知，当时，，故③正确； 同理可知当时，，故④错误； ∴正确的有①③， 故答案为：①③； （4）由题意可得：, 整理得, ∵若无论x取何值，的值始终小于的值， ∴, 故答案为：． 34．制作好的茶叶会运往各地进行售卖，已知某茶叶经销商安排货车，欲将300件茶产品从某县运往甲、乙、丙三地销售．现要求运往乙地的产品件数是运往甲地产品件数的2倍，各地运送费用及路线如下图所示． (1)设安排运往甲地的产品件数为x，根据题目信息将下列表格填写完整． 甲地 乙地 丙地 产品件数 x 2x 运费/元 20x (2)若经销商运往丙地的产品件数不高于运往乙地产品件数的3倍，且总运费不超过5400元，请你帮经销商计算有哪几种运输方案． 【答案】(1)见解析 (2)一共有3种运输方案，分别如下：方案1：安排34件产品运往甲地，安排68件产品运往乙地，安排198件产品运往丙地；方案2：安排35件产品运往甲地，安排70件产品运往乙地，安排195件产品运往丙地；方案3：安排36件产品运往甲地，安排72件产品运往乙地，安排192件产品运往丙地 【分析】（1）根据运往丙地的产品件数总件数运往甲地的产品件数运往乙地的产品件数；运费相应件数一件产品的运费，即可补全图表； （2）根据经销商运往丙地的产品件数不高于运往乙地产品件数的倍，且总运费不超过元，求出的取值范围，再根据只能取整数，即可得出运输方案． 【详解】（1）解：表格填写如下： 甲地 乙地 丙地 产品件数 运费/元 （2）解：根据题意，得 解得 ∴该不等式组的解集为． 为正整数， 可取或或． 故一共有种运输方案，分别如下： 方案：安排件产品运往甲地，安排件产品运往乙地，安排件产品运往丙地； 方案：安排件产品运往甲地，安排件产品运往乙地，安排件产品运往丙地； 方案：安排件产品运往甲地，安排件产品运往乙地，安排件产品运往丙地． 【点睛】此题考查了一元一次不等式组的应用，解题的关键是读懂题意，找出之间的数量关系，列出不等式组，注意只能取整数． 35．观察表格 x …… 0 1 2 …… …… 0 a …… …… b 0 2 …… …… 1 3 5 …… (1) ______， ______； (2)用文字语言表述代数式的值随x的变化规律______； (3)下列判断：①当时，；②当时，；③当时，；④当时，．其中所有正确结论的序号是______； (4)若，直接写出x的取值范围． 【答案】(1) (2)x的值每增加1，的值随之增加2 (3)①③④ (4) 【分析】本题主要考查代数式求值，解答的关键是对分析清楚所给的数列之间的关系． （1）根据表中的规律进行求解即可； （2）根据的变化规律进行描述即可； （3）结合表格进行分析即可得出结果； （4）根据绝对值的定义，分类讨论从而求解即可． 【详解】（1）当时，， 当时，． （2）的值随着x的变化而变化的规律是： x的值每增加1，的值就增加2． （3）当时，， ， ，①正确． 当时，， ， ，②错误． 当时，， ， ，③正确． 由， 得，即， 当时，成立，④正确． 正确的有①③④． （4）， 当且时， 即时，有， 得恒成立，满足题意． 当且时， 即， ， 解得， ， 当且时， 即， ， 得无解，不符合题意， 综上所述，当时，． 36．自来水公司有种长度为的标准管道，根据施工要求，需按如图所示的两种截法，截得长度分别为和的A型管道和B型管道． 截法一： 截法二： 某小区铺设自来水管道，需要A型160根，B型管道178根．现有标准管道100根．设按截法一的标准管道为x根． (1)根据题意，完成以下表格： 标准管道截法一 标准管道截法二 x（根） _________（根） A型管道（根） x B型管道（根） _________ (2)若把100根标准管道按以上两种截法来分，共有哪几种截取方案？ 【答案】(1)， (2)共有两种截取方案：方案一：按截法一截39根标准管道，按截法二截61根标准管道；方案二：按截法一截40根标准管道，按截法二截60根标准管道 【分析】（1）设按截法一的标准管道为x根，则标准管道截法二为根，结合图形可得B型管道（根）； （2）根据需要A型160根，B型管道178根，列出不等式，解不等式组即可． 【详解】（1）解：根据题意得： 标准管道截法一 标准管道截法二 x（根） （根） A型管道（根） x B型管道（根） （2）解：由题意，得， 由①得： 由②得：． ∴ ∵x取整数， ∴，40 答：共有两种截取方案： 方案一：按截法一截39根标准管道，按截法二截61根标准管道； 方案二：按截法一截40根标准管道，按截法二截60根标准管道； 【点睛】此题主要考查了不等式组的实际应用，解题的关键是根据题意列出不等式组求解即可． 题型十、一元一次不等式组的新定义问题 37．定义新运算：对于任意实数，都有 ，等式右边是通常的加法、减法及乘法运算，比如： ①求的值； ②若的值小于，求x的取值范围，并在给定的数轴上表示出来． 【答案】①11 ；②x＞﹣1，图见解析 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式；有理数的混合运算，熟练掌握解一元一次不等式的基本步骤，有理数的混合运算法则是解题的关键． （1）根据题意得出有理数混合运算的式子，再求出其值即可； （2）先得出有理数混合运算的式子，再根据的值小于，求出x的取值范围，并在数轴上表示出来即可． 【详解】① ； ②∵， ∴， ∴  ，    在数轴表示，如图： 38．对于有理数a、b， 定义一种新运算“”： 当时， 当时，． 例如： ) (1)计算： ， ； (2)若， 求x的值； (3)若， 则x的取值范围是 ． 【答案】(1)2； (2)4 (3) 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，解一元一次不等式，解一元一次方程，有理数的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）按照定义的新运算进行计算，即可解答； （2）分两种情况：当时；当时；然后分别进行计算，即可解答； （3）分两种情况：当时；当时；然后按照定义的新运算进行计算，即可解答． 【详解】（1）解：由题意得： ； ； 故答案为：2；； （2）解：当，即时， ∵， ∴， 解得：； 当，即时， ∵， ∴， 解得：（不合题意，舍去）， 综上所述：x的值为4； （3）解：分两种情况： 当时， 由题意得：， 解得：； 当时， 由题意得：， 解得， ∴此不等式组无解； 综上所述：x的取值范围：； 故答案为：． 39．定义一种新运算“”：当时，；当时，．例如：，． (1)填空：______，______； (2)若，则x的取值范围为______； (3)已知，求x的取值范围． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）根据题目所给新运算的运算法则进行计算即可； （2）根据题意可得，求解即可； （3）分为两种情况，当，即时；当，即时；然后再按照定义的运算分别进行计算，即可求解． 【详解】（1）解：∵ ∴， ∵ ∴． 故答案为：， （2）解：∵ ∴ 解得： 故答案为：． （3）解：分两种情况， 当，即时， 由可得： 解得（舍去）； 当，即时， 由可得： 解得 综上所述，x的取值范围． 【点睛】本题考查了一元一次不等式，有理数的混合运算，整式的加减，理解定义的新运算是解题的关键． 40．新定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“相依方程”，例如：方程的解为，而不等式组的解集为，不难发现在的范围内，所以方程是不等式组的“相依方程” ． (1)在方程①；②；③中，不等式组的“相依方程”是______；（填序号） (2)若关于的方程是不等式组的“相依方程”，求的取值范围； (3)若关于的方程是关于的不等式组的“相依方程”，且此时不等式组有个整数解，试求的取值范围． 【答案】(1)② (2) (3) 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，一元一次方程的解，理解材料中的不等式组的“相依方程”是解题的关键． （1）分别解三个一元一次方程与不等式组，再根据新定义作判断即可； （2）分别解不等式组与方程，再根据新定义列不等式组解不等式组可得答案； （3）先解不等式组可得 再根据此时不等式组有5个整数解，令整数的值为：再求解 而为整数，则 可得 再解方程可得 可得 解得 从而可得答案． 【详解】（1）解：①， 解得： ②， 整理得： 解得： ③， 解得： 解不等式可得： 解不等式可得： 所以不等式组的解集为： 根据新定义可得：方程②是不等式组的“相依方程”． 故答案为：②； （2）解： 由①得： 由②得： 所以不等式组的解集为： ， 根据“相依方程”的含义可得： 解得： （3）解： 由①得： 由②得： ∴不等式组的解集为： 此时不等式组有5个整数解， 令整数的值为： ∴ 则 解得： 而为整数，则 因为， 解得： 根据“相依方程”的含义可得： 解可得： 而恒成立， 所以不等式组的解集为： 综上： 1．（24-25七年级下·北京昌平·期中）研究表明，运动时将心率（次）控制在最佳燃脂心率范围内，能起到燃烧脂肪并且保护心脏的作用.最佳燃脂心率的最高值为（年龄），最低值为（年龄），所以一个40岁的人最佳燃脂心率的范围可用不等式表示为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式； 根据最佳燃脂心率范围的计算公式列不等式组即可． 【详解】解：一个40岁的人最佳燃脂心率的范围可用不等式表示为：， 即， 故选：C． 2．（24-25七年级下·浙江宁波·月考）将一箱苹果分给若干个学生，每个学生都分到苹果，若每个学生分4个苹果，则还剩8个苹果；若每个学生分5个苹果，则有一个学生所分苹果不足2个，若学生的人数为x，则列式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了一元一次不等式的应用，根据题意找出不等式的取值范围是解决问题的关键． 根据若每个学生分4个苹果，则还剩8个苹果；若每个学生分5个苹果，则有一个学生所分苹果不足2个，由此得出不等式组． 【详解】解：根据小朋友的人数为， 根据题意可得：， 故选：D． 3．（24-25七年级下·山东济宁·期末）把一些书分给几名同学，若__________；若每人分本，则不够．依题意，设有名同学列不等式，则横线的信息可以是（    ） A．每人分本，则可多分个人 B．每人分本，则剩余本 C．每人分本，则剩余本 D．其中一个人分本，则其他同学每人可分本 【答案】B 【分析】本题考查了根据实际问题列不等式，根据不等式表示的意义解答即可求解，理解题意和不等式是解题的关键． 【详解】解：由不等式，可得：把一些书分给几名同学，若每人分本，则剩余本；若每人分本，则不够， ∴横线的信息可以是每人分本，则剩余本， 故选：． 4．（24-25七年级下·湖北黄石·期末）“守护长江生态、传承长江文化”，引导青少年感恩长江、热爱长江、保护长江的意识，通过自身的行动和努力，让长江文化在新的时代焕发新的活力与魅力．我市蓝天实验学校七年级积极开展青少年主题读书活动，现有一批图书分发给若干班级，若每个班级发放4名本图书，则剩余20本；若每个班级发放8本图书，就有一个班级发放的图书多于1本且不足8本．则学校七年级共有（    ）个班级． A．8 B．7 C．6 D．5 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元一次不等组的应用．设学校七年级共有x个班级，根据题意，列出不等式组，即可求解． 【详解】解：设学校七年级共有x个班级，根据题意得： ， 解得：， ∵x为整数， ∴x取6， 答：学校七年级共有6个班级． 故选：C． 5．（2025·山东菏泽·一模）某商场工作人员为方便客户购物需用扶手电梯和直立电梯从一楼运输一批购物车到二楼．若该商场扶手电梯一次性可以运输24辆购物车，直立电梯一次性可以运输18辆购物车．若要运输100辆购物车，且最多只能使用电梯5次，则共有 种运输方案，分别是 ． 【答案】 4 使用扶手电梯2次，则使用直立电梯3次；使用扶手电梯3次，则使用直立电梯2次；使用扶手电梯4次，则使用直立电梯1次；使用扶手电梯5次，则使用直立电梯0次 【分析】本题主要考查了不等式组的应用，根不等关系，列出方程，是解题的关键．设使用扶手电梯x次，则使用直立电梯次，根据要运输100辆购物车，列出不等式组，解不等式组即可． 【详解】解：设使用扶手电梯x次，则使用直立电梯次，根据题意得： ， 解得：， ∵x为整数， ∴，3，4，5， 因此有4种方案，即使用扶手电梯2次，则使用直立电梯3次；使用扶手电梯3次，则使用直立电梯2次；使用扶手电梯4次，则使用直立电梯1次；使用扶手电梯5次，则使用直立电梯0次． 故答案为：4；使用扶手电梯2次，则使用直立电梯3次；使用扶手电梯3次，则使用直立电梯2次；使用扶手电梯4次，则使用直立电梯1次；使用扶手电梯5次，则使用直立电梯0次． 6．（24-25九年级上·北京·期中）某电池制造商将两种型号的车用电池共打包成6个不同的包裹，编号分别为A，B，C，D，E，F，每个包裹的重量及包裹中甲乙两种型号的电池的重量如下，制造商准备用一辆载重不超过24.5吨的货车将其中的4个包裹运送到某新能源车工厂． 包裹编号 甲型电池重量/吨 乙型电池重量/吨 A 5 1 B 3 2 C 2 3 D 4 3 E 2 4 F 3 5 （1）如果装运的甲型电池不少于11吨，且不多于13吨，写出一种满足条件的装运方案 （写出要装运包裹的编号）； （2）如果装运的甲型电池不少于11吨，且不多于13吨，同时装运的乙型电池最多．写出满足条件的装运方案 （写出要装运包裹的编号）． 【答案】 【分析】本题考查了方案的设计选择，分析题意合理使用方案是解题关键． （1）根据甲型电池吨数不少于11吨，且不多于13吨，设计出甲型电池的组法，再分别求出乙型电池吨数，满足两种电池总重量不超过24.5吨即可； （2）根据（1）中方案，计算总数，判断即可． 【详解】解：（1）设甲型电池吨数为，乙型电池的吨数为， 甲型电池吨数不少于11吨，且不多于13吨， ， 由表得满足甲型电池的组法为： 组用甲型电池12吨，组用甲型电池13吨，组用甲型电池13吨，组用甲型电池13吨，组用甲型电池11吨， 以上五种方案中使用乙型电池吨数为： 组用乙型电池10吨，组用乙型电池11吨，组用乙型电池12吨，组用乙型电池11吨，组用乙型电池15吨， 两种电池总重量不超过24.5吨， ， 满足题意的方案为组，， 一种满足条件的组装方案可以是， 故答案为：； （2）由（1）得，组用的乙型电池最多， 故答案为：． 7．（24-25七年级下·北京东城·期末）为增强学生体质，丰富学生课余活动，学校决定添置一批篮球和足球．已知篮球价格为元/个，足球价格为元/个．若学校计划用不超过元的总费用购买这款篮球和足球共个，且购买篮球的数量多于购买足球的数量，则学校购买篮球 个． 【答案】 【分析】本题主要考查了元一次不等式组的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系．设学校购买篮球个，购买足球个，根据“学校计划用不超过元的总费用购买”和“购买篮球的数量多于购买足球的数量”列出不等式组，求解即可． 【详解】解：设学校购买篮球个，购买足球个， 根据题意得：， 解得：， 是整数， ， 故答案为：． 8．（24-25七年级下·北京西城·期末）小明沿街心公园的环形跑道从起点出发按逆时针方向跑步，他用软件记录了跑步的轨迹，他每跑软件会在运动轨迹上标注相应的路程，前的记录如图所示．已知该环形跑道一圈的周长大于．    （1）小明恰好跑3圈时，路程是否超过了？答： （填“是”或“否”）； （2）小明共跑了且恰好回到起点，那么他共跑了 圈． 【答案】 否 10 【分析】（1）设环形跑道的周长为L，小明总计跑了x圈，结合图形即可作答； （2）利用环形道的周长与里程数的关系建立不等式求出周长的范围，再结合跑回原点的长度建立方程即可求解． 【详解】（1）设环形跑道的周长为L，小明总计跑了x（x为整数）圈， 结合图形，根据题意有：， 即小明恰好跑3圈时，路程没有超过； （2）结合图形，根据题意有：， 解得：， 根据题意还有：，可得：， ∵， ∴， ∴， ∵x为整数， ∴为整数， ∴， 即，即小明共跑了10圈， 故答案为：否，10． 【点睛】本题考查了不等式的应用，根据题意结合图形得出不等式组，是解答本题的关键． 9．（2024七年级下·全国·专题练习）某工人制造机器零件，如果每天比计划多做1件，那么8天所做的零件总数超过100件；如果每天比计划少做1件，那么8天所做的零件总数不足99件．这个工人计划每天做多少件零件？ 【答案】这个工人计划每天做12件或13件零件 【分析】本题主要考查了解不等式组，根据题意列出不等式组，求出解集，再判断整数解即可． 【详解】解：设这个工人计划每天做x个零件，根据题意，得 ， 解得， 则或13， 所以这个工人计划每天做12或13个零件． 10．（24-25七年级下·北京昌平·期末）已知是不等式组解集中的解，若存在一个a，使，我们把这样的称为该不等式组的“关联解”，a叫做“关联系数”． (1)当时，下列不等式组存在“关联解”的是_________． A． B． C． (2)不等式组的解集上存在“关联解”，若，“关联系数a”的取值范围为_________． (3)不等式组的解集存在关联解，，若，且是整数，直接写出“关联系数a”的值_________． 【答案】(1)B (2) (3)3，5，7 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，理解不等式组的“关联解”定义以及熟练掌握一元一次不等式组的解法是解此题的关键． （1）先求出每个不等式组的解集， 再根据不等式组的“关联解”定义判断即可； （2）先求出不等式组的解集是，求出，根据题意得出不等式组并求出即可． （3）先求出不等式组的解集是，根据“关联解”定义得出解出a的范围，结合是整数即可求出结论． 【详解】（1）解：A．， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 当时，不存在， B．， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 当，时，存在， C． 解不等式①得：， 解不等式②得：， 当存在， 当时，不存在， 故选：B； （2）， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 不等式组的解集是， 若，且， ， ， ， ， 故答案为：； （3）， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 不等式组的解集是， 若，且， ， ， ， 解得：， ， ， ， 是整数，， ． 故答案为：3,5,7. 11．（24-25七年级下·湖南永州·月考）应用题：某工厂计划生产A，B两种产品共10件，其生产成本和利润如表： 种产品 种产品 成本（万元/件） 2 5 利润（万元/件） 1 3 (1)若工厂计划获利14万元，问A，B两种产品应分别生产多少件？ (2)若工厂计划投入资金不多于44万元，且获利多于14万元，问工厂有哪几种生产方案？ 【答案】(1)生产产品8件，生产产品2件； (2)生产A产品2、3、4、5、6、7件，共6种方案 【分析】此题考查的是一元一次方程的应用和一元一次不等式组的应用． （1）设生产种产品件，则生产种产品件，根据“工厂计划获利14万元”列出方程即可得出结论； （2）设生产产品件，则生产产品件，根据题意，列出一元一次不等式组，求出y的取值范围，即可求出方案． 【详解】（1）解：设A产品生产件，则产品件，依题意得： 解得：， ∴（件） 答：生产产品8件，生产产品2件； （2）解：设生产A产品a件，则B产品件，依题意得： ， 解得：， 又∵为整数， ∴、3、4、5、6、7共6种方案， 答：生产A产品2、3、4、5、6、7件，共6种方案． 12．（2023七年级下·浙江·专题练习）龙泉驿水蜜桃已有80余年的种植历史，现有水蜜桃标准化基地面积达7.2万余亩，年产量8.3万吨，培育了白凤桃、皮球桃、晚湖景等50余个早中晚熟优良品种，有果大质优、色泽艳丽、汁多味甜三大特点，素有“天下第一桃”的美誉．已知甲乙两果园今年预计水蜜桃的产量分别为200吨和300吨，打算成熟后运到A，B两个仓库存放，已知A仓库可储存240吨，B仓库可储存260吨．甲，乙两果园运往两仓费用的单价如表： 甲果园 乙果园 A仓库 150元/吨 140元/吨 B仓库 200元/吨 180元/吨 设从甲果园运往A仓库的水蜜桃重量为x吨，甲，乙两果园运往两仓库的水蜜桃运输费用分别为元，元． (1)求出，的函数关系式； (2)甲果园今年预计拿出不超过36000元的费用作为运费，乙果园今年预计拿出不超过50000元的费用作为运费，在这种情况下，甲果园运往A仓库多少吨时，才能使两果园的运费之和最小？并求出最小值． 【答案】(1)， (2)甲果园运往A仓库的水蜜桃为140吨，两地运费之和最小，最小为83000元 【分析】本题考查了一次函数的应用和实际问题的最值问题， （1）设甲果园运往A冷库的水蜜桃重量为x吨，则运往B仓吨，乙农户运往A仓库的水蜜桃重量为吨，运往B仓吨，根据费用等于吨数乘以每吨的费用，即可写出函数解析式； （2）根据自变量x的取值范围，及总运费W关于x的函数解析式，利用一次函数的性质得出当时，W最小求解即可； 【详解】（1）解：由从甲果园运往A仓库的水蜜桃为x吨，可得从甲果园运往B仓库吨，乙果园运往A仓库吨，乙果园运往B仓库吨， 根据题意：， ， ∴，； （2）∵甲果园今年预计拿出不超过36000元的费用作为运费，乙果园今年预计拿出不超过50000元的费用作为运费， ∴， 解得， 设两地运费之和为W元，由题意得： ， ∵， ∴W随x的增大而减小， ∴当时，， ∴甲果园运往A仓库的水蜜桃为140吨，两地运费之和最小，最小为83000元． 13．（24-25七年级下·北京石景山·期末）为响应习近平总书记提出的“绿水青山就是金山银山”的口号，某校在植树节到来之际，开展植树活动．学校计划购买紫薇和银杏两种树苗，相关信息如下表： 编号 名称 规格单位 单价 购买数量 预算金额（元） 紫薇 棵 （棵） 银杏 捆（棵装） （捆） (1)若两种树苗共买棵，恰好将预算金额花完，求的值； (2)高一年级共有学生人，老师人．若要保证师生每两人种一棵树，在预算金额不增加的情况下，最多可以购买紫薇树苗多少棵？ 【答案】(1)的值为； (2)最多可以购买紫薇树苗棵； 【分析】（1）设购买紫薇树为棵，购买银杏为棵，根据题意列方程即可解答； （2）最多可以购买紫薇树苗棵，银杏树苗为棵，根据题意列不等式即可解答． 【详解】（1）解：设购买紫薇树为棵，购买银杏为棵，根据题意可得， ， ∴解得：， ∴， ∴，， 答：的值为； （2）解：∵高一年级共有学生人，老师人， ∴树苗总共有（棵）， 设最多可以购买紫薇树苗棵，银杏树苗为棵，根据题意可知， ， 解得：， 答：最多可以购买紫薇树苗棵． 【点睛】本题考查了一元一次方程与实际问题，一元一次不等式与实际问题，读懂题意明确等量关系是解题的关键． 14．（24-25七年级下·北京西城·期中）一位同学在编程课上设计了一个运算程序，如图所示． 按上述程序进行运算，程序运行到“判断结果是否大于23”为一次运行． (1)若，直接写出该程序需要运行多少次才停止； (2)若该程序只运行了3次就停止了，求的取值范围． 【答案】(1)若，该程序需要运行4次才停止 (2) 【分析】（1）分别求出该程序运行1，2，3，4次的结果，由，，可得出当时，该程序需要运行4次才停止； （2）根据该程序只运行了3次就停止了，即可得出关于的一元一次不等式组，解之即可得出的取值范围． 【详解】（1）解：根据题意可得： ，，，， ， 若，该程序需要运行4次才停止； （2）解：根据题意得： ， 解得：， 答：若该程序只运行了3次就停止了，的取值范围为． 【点睛】本题考查了一元一次不等式组的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组是解题的关键． 15．（24-25七年级上·北京丰台·期末）在数轴上，点O表示的数为0，点M表示的数为m（）．给出如下定义：对于该数轴上的一点P与线段上一点Q，如果线段的长度有最大值，那么称这个最大值为点P与线段的“闭距离”，如图1，若，点P表示的数为3，当点Q与点M重合时，线段的长最大，值是4，则点P与线段的“闭距离”为4． (1)如图2，在该数轴上，点A表示的数为，点B表示的数为2． ①当时，点A与线段的“闭距离”为______； ②若点B与线段的“闭距离”为3，求m的值； (2)在该数轴上，点C表示的数为，点D表示的数为，若线段上存在点G，使得点G与线段的“闭距离”为4，直接写出m的最大值与最小值． 【答案】(1)（1）①2；②5或 (2)m的最大值为3，m的最小值为 【分析】（1）①根据“闭距离”的概念求解即可； ②根据“闭距离”的概念列出方程求解即可； （2）根据题意分和两种情况讨论，分别列出不等式求解即可． 【详解】（1）①∵，点A表示的数为， ∴ ∴点A与线段的“闭距离”为2， 故答案为：2； ②当时，如图1，可列方程，得．解得． 当时，如图2，可列方程，得． 解得． 所以当点B与线段OM的“闭距离”为3时，m的值是5或； （2）当时， ∴，解得， 当时， ∴，解得， 综上所述，或， ∴m的最大值为3，m的最小值为． 【点睛】本题考查有理数与数轴，一元一次方程，熟练掌握数轴上点的特征，弄清定义是解题的关键． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $