7.5 三元一次方程组（题型专练）数学新教材鲁教版五四制七年级下册

7.5 三元一次方程组 题型一 三元一次方程（组）的判断 1．下列方程是三元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 2．下列方程组中，是三元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 3．下列是三元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 题型二 列三元一次方程组 4．请写出一个以为解的三元一次方程： ． 题型一 解三元一次方程组 1．解下列方程组： (1)； (2)； (3) 题型二 消元法与整体思想 2．【阅读感悟】 已知实数、满足，求和的值． 本题常规思路是利用消元法求解方程组，解得、的值后，再代入需要求值的整式得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形，整体求得代数式的值，如由①②可得，由①②可得，这样的解题思想称为“整体思想”． 【解决问题】 (1)已知二元一次方程组，求和的值； (2)有甲、乙、丙三种规格的钢条，已知甲种2根，乙种1根，丙种3根，共长23米；甲种4根，乙种2根，丙种5根，共长40米，求1根丙种钢条是多少米？ 3．数学课上，张老师给出了一个问题，已知实数，满足，求和的值．小红发现两个方程相同未知数系数之间的关系，通过适当变形，整体求得代数式的值，①，②，由可得，由可得．小红同学的思路体现了数学中“整体思想”的运用．请你参考她的做法，解决下面的问题： (1)已知二元一次方程，求和的值； (2)八（1）班开展安全教育知识竞赛需购买奖品，若买支铅笔、块橡皮、本笔记本共需元；若买支铅笔、块橡皮、本笔记本共需元，则购买支铅笔、块橡皮、本笔记本共需多少元？ 题型三 三元一次方程组的简单应用 5．有甲、乙、丙三种货物，若购甲3件、乙7件、丙1件，共需64元；若购甲4件、乙10件、丙1件，共需79元；现购甲、乙、丙各一件，共需（    ）元 A．33 B．34 C．35 D．36 6．如图，三个天平的托盘中相同的物质质量相等，图（1）、（2）所示的两个天平处于平衡状态，要使第三个天平也保持平衡，则需在它的右盘中放置（   ） A．6个球 B．7个球 C．8个球 D．9个球 7．某项工程进行招标，甲、乙两工程队承包 天完成需人民币1800元，乙、丙两工程队承包 天完成需人民币1500元，甲、丙两工程队承包 天完成需人民币1600元，现要求由某队单独承包且在一星期内完成，所需费用最省，则被招标的应是 工程队． 8．某社交平台上有这样一幅图片，请你运用所学的数学知识，求出桌子的高度应是 ． 9．勾股定理是人类最伟大的数学发现之一、如图1，以的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图2的方式放置在最大的正方形内，两个阴影部分的面积分别记为，，若已知，，的斜边的长为 ． 10．某校为提高校园足球质量和水平，让学生在参与校园足球运动中享受乐趣、增强体质、健全人格、锤炼意志，实现德智体美劳全面发展，举办了校园足球联赛．根据赛事安排，每队均需参赛19场，记分办法如下：胜1场得3分，平1场得1分，负1场得0分．在这次足球联赛中，若某队得13分，则该队可能负 场．（写出一种情况即可） 11．如图，长方形被分成六个小的正方形，已知中间一个小正方形的边长为2，其它正方形的边长分别为a，b，c，d，则大长方形的面积为 ． 12．若，则 ， ， ． 13．某次数学竞赛前70名获奖，原定一等奖10人，二等奖20人，三等奖40人，现调整为一等奖15人，二等奖25人，三等奖30人．调整后一等奖平均分数降低3分，二等奖平均分数降低2分，三等奖平均分数降低1分，如果原来二等奖比三等奖平均分数多6分，求调整后一等奖比二等奖平均分数多几分？ 题型四 “幻方”问题 14．幻方的历史悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”，把洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方，三阶幻方的每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等，如图是另一个三阶幻方，则的值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．7 15．在如图所示的三阶幻方中，有些位置填写了数或汉字（其中每个汉字都表示一个数）．若处于每行、每列及每条对角线上的3个数之和都相等，则“我”“中”“国”“梦”这四个字表示的数之和是 ． 中 国 我 梦 0 1.从1分、2分、5分3种硬币中取出100枚，总计3元，求其中2分硬币枚数的可能情况有多少种？ 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ *7.5 三元一次方程组 题型一 三元一次方程（组）的判断 1．下列方程是三元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.94 【分析】需根据定义逐一分析选项，即可解答． 【详解】A、，含有三个未知数、、，且每个未知数的次数都是1，是整式方程，符合三元一次方程的定义，故符合题意； B、，项的次数为，是三元三次方程，不符合 “一次” 的要求，故不符合题意； C、，只含有两个未知数、，是二元一次方程，不符合 “三元” 的要求，故不符合题意； D、，未知数的项、的次数为，是三元二次方程，不符合 “一次” 的要求，故不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题考查了三元一次方程的定义，熟练掌握三元一次方程需同时满足三个未知数、未知数的项次数为 1、整式方程是解题的关键． 2．下列方程组中，是三元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【分析】利用三元一次方程组的定义判断即可． 【详解】解：A．是三元一次方程组，符合题意； B．方程组含有4个未知数，不是三元一次方程组，不符合题意； C．只含有2个未知数，不是三元一次方程组，不符合题意； D．方程组含有4个未知数，不是三元一次方程组，不符合题意； 故选：A． 【点睛】此题考查了解三元一次方程组，熟练掌握三元一次方程组的定义是解本题的关键． 3．下列是三元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.94 【分析】本题考查了三元一次方程组的相关知识点，掌握三元一次方程组的定义是解题的关键． 本题对每个选项中的方程组从未知数的个数有个、含未知数的项的次数是次以及是否为整式方程这几个方面去分析，即可解决问题． 【详解】解：A、方程中，未知数的次数是次，不满足“含有未知数的项的次数是”的条件，不符合题意； B、方程中含有，不是整式方程，不符合题意； C、方程中，的次数是2次，不满足“含有未知数的项的次数是”的条件，不符合题意； D、方程组满足 “含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是的整式方程”，符合题意． 故选：D． 题型二 列三元一次方程组 4．请写出一个以为解的三元一次方程： ． 【答案】（答案不唯一） 【难度】0.94 【分析】本题考查了三元一次方程的定义及方程解得概念，解题关键是熟练掌握三元一次方程的定义． 将、、的值代入能使等式成立即可． 【详解】解：可以根据、、的值进行运算构造方程，比如， 把，，代入：， ∴得到三元一次方程． 故答案为：（答案不唯一）． 题型一 解三元一次方程组 1．解下列方程组： (1)； (2)； (3) 【答案】(1)；(2)；(3) 【详解】 （1）解：①②得：④， ①③得：⑤， ， ④⑤得：， 把代入④得：， 把代入②得：， ∴方程组的解为：． （2）解：由①+②，得．④ 由④-③，得，解得． 把代入③，解得． 把代入①，解得． 故原方程组的解为 （3）解：由②-①，得．④ 由③-②，得．⑤ 由⑤-④，得，解得． 将代入④，得，解得． 将代入①，得，解得， 所以原方程组的解为 【点睛】本题考查了三元一次方程组的解法，掌握加减消元法和代入消元法是解答本题的关键． 题型二 消元法与整体思想 2．【阅读感悟】 已知实数、满足，求和的值． 本题常规思路是利用消元法求解方程组，解得、的值后，再代入需要求值的整式得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形，整体求得代数式的值，如由①②可得，由①②可得，这样的解题思想称为“整体思想”． 【解决问题】 (1)已知二元一次方程组，求和的值； (2)有甲、乙、丙三种规格的钢条，已知甲种2根，乙种1根，丙种3根，共长23米；甲种4根，乙种2根，丙种5根，共长40米，求1根丙种钢条是多少米？ 【答案】(1)， (2)1根丙种钢条长米． 【难度】0.85 【分析】本题考查解二元一次方程组和三元一次方程组．熟练掌握整体思想，利用整体思想进行求解，是解题的关键． （1）利用整体思想进行求解即可； （2）设甲种钢条长米，乙种钢条长米，丙种钢条长米，根据题意，列出三元一次方程组，利用整体思想进行求解即可； 【详解】（1）解：， ，得：； ，得：； （2）设甲种钢条长米，乙种钢条长米，丙种钢条长米， 由题意，得：， ，得：； ∴丙种钢条长米． 3．数学课上，张老师给出了一个问题，已知实数，满足，求和的值．小红发现两个方程相同未知数系数之间的关系，通过适当变形，整体求得代数式的值，①，②，由可得，由可得．小红同学的思路体现了数学中“整体思想”的运用．请你参考她的做法，解决下面的问题： (1)已知二元一次方程，求和的值； (2)八（1）班开展安全教育知识竞赛需购买奖品，若买支铅笔、块橡皮、本笔记本共需元；若买支铅笔、块橡皮、本笔记本共需元，则购买支铅笔、块橡皮、本笔记本共需多少元？ 【答案】(1)，； (2)购买支铅笔、块橡皮、本笔记本共需元． 【难度】0.65 【分析】本题考查了二元一次方程组和三元一次方程组，解题的关键在于正确理解题意，熟练运用整体化思想． （1）将两个方程相加或相减，即可求解； （2）设铅笔的单价为元，橡皮的单价为元，笔记本的单价为元，根据题意列出方程组，利用整体化思想，即可求解． 【详解】（1）解：（1）由题意，得 ，得， ∴； 由，得， ∴． （2）解：设铅笔的单价为元，橡皮的单价为元，笔记本的单价为元， 根据题意，得 则，得， ∴购买支铅笔、块橡皮、本笔记本共需元． 题型三 三元一次方程组的简单应用 5．有甲、乙、丙三种货物，若购甲3件、乙7件、丙1件，共需64元；若购甲4件、乙10件、丙1件，共需79元；现购甲、乙、丙各一件，共需（    ）元 A．33 B．34 C．35 D．36 【答案】B 【难度】0.85 【分析】设购甲每件元，购乙每件元，购丙每件元．列方程组得：，然后求得的值． 【详解】解：设购甲每件元，购乙每件元，购丙每件元． 列方程组得：， ①②得：． 故选：B． 【点睛】本题考查了三元一次方程组的应用．根据系数特点，通过加减，得到一个整体，然后整体求解． 6．如图，三个天平的托盘中相同的物质质量相等，图（1）、（2）所示的两个天平处于平衡状态，要使第三个天平也保持平衡，则需在它的右盘中放置（   ） A．6个球 B．7个球 C．8个球 D．9个球 【答案】B 【难度】0.65 【分析】本题考查了等式的性质，本题的难点是解关于，的方程，解题的基本思想是消元． 题目中的图形实际是说明了两个相等关系：设球的质量是，小正方形的质量是，小正三角形的质量是．根据第一个天平得到：；根据第二个天平得到：，把这两个式子组成方程组，解这个关于，的方程组即可． 【详解】解：设球的质量是，小正方形的质量是，小正三角形的质量是． 根据题意得到：， 解得：， 第三图中左边是：，因而需在它的右盘中放置7个球． 故选：B． 7．某项工程进行招标，甲、乙两工程队承包 天完成需人民币1800元，乙、丙两工程队承包 天完成需人民币1500元，甲、丙两工程队承包 天完成需人民币1600元，现要求由某队单独承包且在一星期内完成，所需费用最省，则被招标的应是 工程队． 【答案】乙 【难度】0.65 【分析】本题主要考查了三元一次方程组的应用．依据题意，应先根据工作量的等量关系求得三队单独完成这项工程需要的天数，继而求出甲、乙、丙三队的工作效率，再根据费用求得三队一天的工作报酬，最后算得总费用，比较即可． 【详解】解：由题意，设甲、乙、丙的工作效率为x、y、z， ∴．∴． 又甲、乙、丙单独工作一天，各需付u、v、w元， 则． ∴． ∴由甲队单独承包，费用是（元）． 由乙队单独承包，费用是（元）． 而丙队不能在一周内完成．所以由乙队承包费用最少． 故答案为：乙． 8．某社交平台上有这样一幅图片，请你运用所学的数学知识，求出桌子的高度应是 ． 【答案】130 【难度】0.85 【分析】本题考查了三元一次方程组的实际应用，根据图示由三者关系建立等式是解决本题的关键． 设出站立的小猫的高度，趴着的小猫的高度和桌子的高度的未知数，由图建立三者的关系列方程求解即可． 【详解】解：设桌子的高度为，站立的小猫的高度为，趴着的小猫的高度为， 由第一个图可知，， 由第二个图可知，， 即， 两式相加可得，解得， 所以桌子的高度为． 故答案为：130 ． 9．勾股定理是人类最伟大的数学发现之一、如图1，以的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图2的方式放置在最大的正方形内，两个阴影部分的面积分别记为，，若已知，，的斜边的长为 ． 【答案】 【难度】0.65 【分析】本题考查了勾股定理，读懂题意得到阴影部分的面积与正方形的面积关系是解题的关键．设边的正方形面积为，边的正方形面积为，边的正方形面积为，根据勾股定理得到，然后根据阴影部分的面积关系得到，，解之得到，即可得到的值． 【详解】解：设边的正方形面积为，边的正方形面积为，边的正方形面积为， ， ， ， ，， ，， ， 解得， ， ． 故答案为：． 10．某校为提高校园足球质量和水平，让学生在参与校园足球运动中享受乐趣、增强体质、健全人格、锤炼意志，实现德智体美劳全面发展，举办了校园足球联赛．根据赛事安排，每队均需参赛19场，记分办法如下：胜1场得3分，平1场得1分，负1场得0分．在这次足球联赛中，若某队得13分，则该队可能负 场．（写出一种情况即可） 【答案】6（或8，10，12，14） 【难度】0.65 【分析】本题考查三元一次方程的应用．设该队胜了x场，平了y场，负了z场，根据“每队需参赛19场，某队得13分”，即可列出方程组，再求解即可； 【详解】解：设该队胜了x场，平了y场，负了z场，根据题意，得 ， ∵x，y，z均为非负整数 ∴或或，，， ∴该队可能负6场或负8场或10场，12场，14场． 故答案为：6（答案不唯一） 11．如图，长方形被分成六个小的正方形，已知中间一个小正方形的边长为2，其它正方形的边长分别为a，b，c，d，则大长方形的面积为 ． 【答案】572 【难度】0.4 【分析】根据题意并结合图形可得：，然后解方程组求得a，b，c，d的值，进而求得大长方形的长和宽，最后根据长方形的面积公式即可解答； 【详解】解：由题意可得： ，解得： 所以大长方形的长和宽分别为： 所以大长方形的面积为． 故答案为572． 【点睛】本题主要考查了列方程组、解方程组等知识点，根据题意正确列出方程组并求解是解答本题的关键． 12．若，则 ， ， ． 【答案】 2 0 1 【难度】0.85 【分析】本题考查已知式子的值，求代数式的值．熟练掌握非负数的和为零，每一个非负数均为零是解题的关键． 根据非负性的和为零，每一个非负数均为零，求出的值即可． 【详解】解：， ∵， ∴， 解得：，，； 故答案为：2；0；1． 13．某次数学竞赛前70名获奖，原定一等奖10人，二等奖20人，三等奖40人，现调整为一等奖15人，二等奖25人，三等奖30人．调整后一等奖平均分数降低3分，二等奖平均分数降低2分，三等奖平均分数降低1分，如果原来二等奖比三等奖平均分数多6分，求调整后一等奖比二等奖平均分数多几分？ 【答案】分． 【难度】0.65 【分析】此题主要考查了三元一次方程组的应用，关键是读懂题意，找出之间的数量关系，列出方程，求出一等奖比二等奖平均分多的分数． 先设原一等奖平均分为x分，原二等奖平均分为y分，原三等奖平均分为z分，由于总分不变，列出方程组，求出一等奖比二等奖平均分多的分数，最后根据调整后一等奖平均分降低3分，二等奖平均分降低2分列出代数式，即可求出答案． 【详解】解：设原一等奖平均分为x分，原二等奖平均分为y分，原三等奖平均分为z分，由于总分不变，得： 整理得：① ∵原来二等奖比三等奖平均分数多6分， ∴，即② 将②代入①得到，， ∵调整后一等奖平均分为分，二等奖平均分为分， ∴， 即调整后一等奖比二等奖平均分数多分． 题型四 “幻方”问题 14．幻方的历史悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”，把洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方，三阶幻方的每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等，如图是另一个三阶幻方，则的值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．7 【答案】D 【难度】0.85 【分析】本题主要考查了有理数的加减法以及出三元一次方程的应用，根据题意列出三元一次方程以及整体思想是解题关键． 根据题中给出的三阶幻方的每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等，即可列出三元一次方程，然后变形即可解答． 【详解】解：∵三阶幻方的每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等， ∴如图可得： 即． 故选D． 15．在如图所示的三阶幻方中，有些位置填写了数或汉字（其中每个汉字都表示一个数）．若处于每行、每列及每条对角线上的3个数之和都相等，则“我”“中”“国”“梦”这四个字表示的数之和是 ． 中 国 我 梦 0 【答案】 【难度】0.85 【分析】本题考查幻方，涉及解方程组，根据题意列方程组求解是解决问题的关键． 令“我”为、“中”为、“国”为、“梦”为，由幻方中每行、每列及每条对角线上的3个数之和都相等，列出方程组求解即可得到答案． 【详解】解：令“我”为、“中”为、“国”为、“梦”为，则 0 则每行、每列及每条对角线上的3个数之和为， ， 解得 ， ， 则“我”“中”“国”“梦”这四个字表示的数之和是， 故答案为：． 1.从1分、2分、5分3种硬币中取出100枚，总计3元，求其中2分硬币枚数的可能情况有多少种？ 【答案】17种 【难度】0.4 【分析】本题考查了三元一次方程组的实际应用，一元一次不等式的应用，正确理解题意是解题的关键． 设1分、2分和5分的硬币分别取了x枚、y枚和z枚，依题意得，得到，设，则，解得，再根据x为非负整数，故，解不等式，分类讨论求解． 【详解】解：设1分、2分和5分的硬币分别取了x枚、y枚和z枚，依题意得， 得，可见y是4的倍数， 设，则， 解得． 因为x为非负整数，故，即可取中任何一个，有17种取法，从而y可取中任何一个，也有17种取法， ∴其中2分硬币枚数的可能情况17种． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $