7.5三元一次方程组（教学课件）数学新教材鲁教版五四制七年级下册

该初中数学课件聚焦三元一次方程组的概念及解法，通过复习二元一次方程相关知识，结合《九章算术》古代问题自然引入新知，搭建从二元到三元的学习支架，帮助学生迁移“消元”化归思想。 其亮点在于融合数学眼光（从古代问题抽象数学模型）、数学思维（消元过程中的推理与运算）和数学语言（实际问题建模表达），通过年龄问题、行程问题等典例及变式训练，培养学生运算能力与应用意识。教师可借助清晰流程和丰富案例提升教学效率，学生能在探究中深化对化归思想的理解。

5.三元一次方程组 第七章 二元一次方程组 学 习 目 标 1 2 经历三元一次方程组解法的探索过程，进一步体会“化未知为已知”的化归思想. 会用代入消元法和加减消元法解三元一次方程组，进一步体会“消元”的思想. 情景引入 1.含有_____未知数，并且_________________的次数是一次的_______方程叫做二元一次方程. 2.共含有____________的两个___________所组成的一组方程，叫做二元一次方程组. 3.二元一次方程组中各个方程的__________叫做这个二元一次方程组的解. 两个 一次方程 所含未知数的项 整式 两个未知数 公共解 新知探究 今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，实三十九斗；上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，实三十四斗；上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，实二十六斗。问上中下禾实一秉各几何？（选自《九章算术》） 题目大意：有上禾3束，中禾2束，下禾1束，可得米39斗；上禾2束，中禾3束，下禾1束，可得米34斗；上禾1束，中禾2束，下禾3束，可得米26斗。上、中、下禾每束各可得米多少斗？ 在这个问题中，设每束上禾可得米x斗，每束中禾可得米y斗，每束下禾可得米z斗，根据题意可得方程组： 新知探究 这个方程组和前面学过的二元一次方程组有什么区别和联系？ 在这个方程组中，3x+2y+z=39 ,2x+3y+z=34和x+2y+3z=26都含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，这样的方程叫作三元一次方程（linear equation with three unknowns）。 像这样，共含有三个未知数的三个一次方程所组成的一组方程，叫作三元一次方程组（system of linear equation with three unknowns）。 新知探究 能不能像以前一样“消元”，把“三元”化成“二元”呢？ 三元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个三元一次方程组的解. 怎样解三元一次方程组呢？ 典例分析 三元消二元，再变为一元 方法技巧 例1.方程组 解：由方程得 ④ 把④分别代入③并化简，得 x－y=5 ⑤ 8x＋4y=91 ⑥ 解由⑤⑥组成的二元一次方程组，得x=y=, 把x=y=,代入④，得z= 所以原方程的解是 x= y= z=.    新知探究 (1) 解上面的方程组时，你能用代入消元法先消去未知数 y (或 z)，从而得到方程组的解吗? (2) 你还有其他方法吗? 与同伴进行交流. 新知探究 解三元一次方程组的基本思路是：通过“代入”或“加减”进行 ，把 转化为 ，使解三元一次方程组转化为解 ，进而再转化为解 . 三元一次方程组 二元一次方程组 一元一次方程 消元 消元 消元 “三元” “二元” 二元一次方程组 一元一次方程 归纳总结 典例分析 例2.解方程组： 紧扣代入消元法和加减消元法，将三元一次方程组转化为二元一次方程组求解. 方法技巧 解：① ×2＋②，得5x＋8y＝7. ④ ③与④组成二元一次方程组解得 把x＝3，y＝－1 代入①，得3＋3×(－1)＋2z＝2，解得z＝1. 所以这个三元一次方程组的解为 典例分析 例3.今年小新一家三口的岁数总和是 80 岁，爸爸比妈妈大 3 岁，妈妈的岁数恰好是小安新岁数的 5 倍.问：今年爸爸、妈妈和小新分别几岁? 等量关系: (1) 爸爸年龄 + 妈妈年龄 + 小新年龄 = 80； (2) 爸爸年龄 = 妈妈年龄 + 3； (3) 妈妈年龄 = 小新年龄×5. 典例分析 例3.今年小新一家三口的岁数总和是 80 岁，爸爸比妈妈大 3 岁，妈妈的岁数恰好是小安新岁数的 5 倍.问：今年爸爸、妈妈和小新分别几岁? 解：设爸爸年龄 x 岁、妈妈年龄 y 岁、小新年龄 z 岁. 由题意得 将③代入②，得 x = 5z + 3； ④ 将③④代入①，得 z = 7； 将 z = 7 代入③④得 典例分析 题中有三个等量关系：①上坡路长度＋平路长度＋下坡路长度＝70 km；②从甲地到乙地的过程中，上坡时间＋平路时间＋下坡时间＝2.5 h；③从乙地到甲地的过程中，上坡时间+ 平路时间+ 下坡时间＝2.3 h. 方法技巧 例4.某汽车在相距70 km的甲、乙两地往返行驶，行驶途中有一坡度均匀的小山.该汽车从甲地到乙地需要2.5h，从乙地到甲地需要2.3 h. 假设该汽车在平路、上坡路、下坡路的时速分别是30km，20km，40km，则从甲地到乙地的过程中，上坡路、平路、下坡路的长度各是多少？ 上坡路 + 平路 + 下坡路 = 3.3km 从家到学校：上坡时间 + 平路时间 + 下坡时间 = 1h 从学校到家：上坡时间 + 平路时间 + 下坡时间 = h 等量关系 典例分析 解：设从甲地到乙地的过程中，上坡路、平路、下坡路的 长度分别是x km，y km，z km. 由题意，得解得 答：从甲地到乙地的过程中，上坡路的长度是12 km，平路的长度是54 km，下坡路的长度是4 km. 课堂小结 解三元一次方程组的基本思路： 三元一次方程组 二元一次方程组 一元一次方程组 消元 消元 “代入”或“加减” “代入”或“加减” 变式训练 1.解方程组 要使运算简便，消元应选（ ） A. 先消x B. 先消y C. 先消z D. 先消常数项 2x-y+3z=3， -4x+y+2z=11， 5x+y+7z=1. B 变式训练 2.小明所带的钱只能购买如图三件物品中的两件 . 已知毛笔与砚台的价格之和为 118 元，毛笔与笔洗的价格之和为 108 元，砚台与笔洗的价格之和为 96 元 . 求毛笔、砚台、笔洗的单价分别为多少？ 变式训练 3.在某个范围内,某产品的购买量y(单位:kg)与单价x(单位:元)之间满足一次函数,若购买1000kg,单价为800元；若购买2000kg,单价为700元.若一客户购买400kg,单价是多少? 解：设购买量 y 与单价 x 的函数表达式为 y = kx + b， 因为当 x = 1000 时 y = 800；当 x = 2000 时 y = 700， 所以 800k + b = 1000 700k + b = 2000 ｛ 解得 b = 9000 因此，购买量 y 与单价 x 的函数表达式为 y = -10x + 9000 当 y = 400 时，-10x + 9000 = 400， ∴ x = 860. 答：当客户购买 400 kg，单价是 860 元. ｛ 感谢聆听! 解：设毛笔的单价为x元，砚台的单价为y元，笔洗的单价为z元， 则解得 答：毛笔、砚台、笔洗的单价分别为65元、53元、43元． $