7.1 认识二元一次方程组（题型专练）数学新教材鲁教版五四制七年级下册

7.1 认识二元一次方程组 题型一 判断二元一次方程（组） 1．下列四个方程中，是二元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二元一次方程的概念，掌握相关知识是解决问题的关键．二元一次方程是指只含两个未知数，且含未知数的项的次数是1的整式方程，据此逐一判断即可得答案． 【详解】解：A、 含有3个未知数，不是二元一次方程，故该选项不符合题意； B、项的次数是2，不是二元一次方程，故该选项不符合题意； C、是分式方程，不是二元一次方程，故该选项不符合题意； D、符合二元一次方程的定义，是二元一次方程，故该选项符合题意． 故选：D． 2．下列式子中：①；②；③；④；⑤；⑥，二元一次方程的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题考查方程的分类．根据二元一次方程的概念逐个判断即可得到答案． 【详解】解：①为二元一次方程； ②为二元二次方程； ③为二元二次方程； ④为分式方程； ⑤为三元一次方程； ⑥为代数式，不是方程； 故为二元一次方程的有①，有1个， 故选：A． 3．下列式子中，，，中，是二元一次方程的有（   ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程的定义，解题的关键是掌握只含有两个未知数，并且未知数的最高次数是1的整式方程叫做二元一次方程，根据概念逐个判断即可得答案． 【详解】解：方程，含有两个未知数x、y，次数均为1，且为整式方程，符合二元一次方程的定义； 方程，含有三个未知数x、y、z，不符合“二元”条件； 式子不是等式，仅为代数式，不构成方程； 不等式属于不等式而非等式，不符合二元一次方程的定义， 综上，只有是二元一次方程，共1个， 故选：A． 4．下列方程组中，是二元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程组的定义，需满足两个条件：①方程组含有两个未知数；②每个方程都是整式方程且未知数的次数为1． 【详解】解：A． 方程组中第一个方程含项，次数为，不符合一次方程要求，排除． B． 方程组中第一个方程含项，次数为，不符合一次方程要求，排除． C． 方程组中两个方程均为一次方程，且仅含、两个未知数，符合定义，正确． D． 方程组含、、三个未知数，不符合“二元”条件，排除． 故选：C． 5．下列属于二元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二元一次方程组的定义，根据二元一次方程组的定义逐项判断即可． 【详解】解：A：第二个方程是二元二次方程，故该方程组不是二元一次方程组； B：第二个方程是二元二次方程，故该方程组不是二元一次方程组； C；两个方程均为二元一次方程，故该方程组是二元一次方程组； D：第一个方程是分式方程，故该方程组不是二元一次方程组． 故选：C． 题型二 代数法判断二元一次方程（组）的解 6．若是下列某二元一次方程组的解，则这个方程组为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解的定义，二元一次方程组的解是使方程组中两个方程都成立的未知数的值，据此把代入对应方程组中的两个方程中，看方程左右两边是否相等即可得到答案． 【详解】解：A、把代入方程中，方程左边，方程左右两边不相等，则不是方程的解，即不是方程组的解，不符合题意； B、把代入方程中，方程左边，方程左右两边相等，则是方程的解，把代入方程中，方程左边，方程左右两边相等，则是方程的解，即是方程组的解，符合题意； C、把代入方程中，方程左边，方程右边，方程左右两边不相等，则不是方程的解，即不是方程组的解，不符合题意； D、把代入方程中，方程左边，方程右边，方程左右两边不相等，则不是方程的解，即不是方程组的解，不符合题意； 故选：B． 7．以为解的方程组是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二元一次方程组的解，理解二元一次方程组的解的意义是正确判断的关键； 根据方程组的解的定义，将方程组的解代入，判断即可． 【详解】解：当时， 则，，， 故是方程组的解． 故选：D． 8．下列各组值中，是二元一次方程组的解的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，把每个选项的解分别代入方程组进行判断即可． 【详解】解：A．把代入方程，左边，右边，左边=右边；把代入方程，左边，左边≠右边，故选项A不是方程组的解； B．把代入方程，左边，右边，左边≠右边；把代入方程，左边，左边=右边，故选项B不是方程组的解； C．把代入方程，左边，右边，左边=右边；把代入方程，左边，右边，左边≠右边，故选项C不是方程组的解； D．把代入方程，左边，右边，左边=右边；把代入，左边，右边，左边=右边，故选项D是方程组的解． 故选：D． 题型三 根据二元一次方程（组）的定义求参数 9．方程 是二元一次方程，则m、n的值（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程的定义，解题的关键是掌握二元一次方程需满足三个条件： ①首先是整式方程；②方程中共含有两个未知数；③所有未知项的次数都是一次； 根据二元一次方程的概念列出方程，求解字母的值即可． 【详解】方程 是二元一次方程， ，， 解得，， 故选：C． 10．已知是关于x、y的二元一次方程，则m、n的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二元一次方程的定义，掌握方程含有2个未知数，且每个未知数的系数不等于0且次数等于1是解题的关键． 根据二元一次方程的定义得到关于m、n的方程组求解即可． 【详解】解：∵是关于x、y的二元一次方程， ∴，解得：． 故选D． 11．若是关于x，y的二元一次方程，则m的值为 ． 【答案】1 【分析】本题考查了二元一次方程的定义，熟知含有两个未知数，且含未知数的项的最高次数都是1的整式方程叫做二元一次方程是解题的关键．根据二元一次方程的定义解答即可． 【详解】解：∵是关于x，y的二元一次方程， ∴， 故答案为：1． 12．若方程是关于x，y的二元一次方程，则 ． 【答案】0 【分析】此题主要考查二元一次方程的概念，根据二元一次方程的定义可得，，再解方程可得m、n的值，然后代入计算即可． 【详解】解：由题意得：，， 解得：，， ∴， 故答案为：0． 13．如果是一个关于x，y的二元一次方程，那么的值是 ． 【答案】8 【分析】本题考查了二元一次方程的定义，代数式求值，解题的关键是正确解方程组． 根据二元一次方程的定义列出关于a、b的方程，求出的值，代入计算即可． 【详解】解：∵是关于x，y的二元一次方程， ∴， 解得， ∴． 故答案为：8． 题型四 根据二元一次方程（组）的解求参数 14．已知是关于x，y的二元一次方程的一组解，则k的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程的解，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 根据二元一次方程的解的意义，将解代入方程，转化为待求字母的方程求解． 【详解】解：∵是关于x，y的二元一次方程的一组解， ∴，解得：， 故选：A． 15．已知是关于x，y的二元一次方程的解，则m的值为 ． 【答案】6 【分析】本题考查了二元一次方程的解，理解方程的解的定义是解题的关键．把代入方程求解即可． 【详解】解：是关于x，y的二元一次方程的解， ， ， 故答案为：6． 16．如果是关于x，y的二元一次方程的一个解，那么m的值为 ． 【答案】1 【分析】本题考查了二元一次方程的解，熟练掌握二元一次方程的解的定义是解题的关键． 根据二元一次方程的解的定义把代入关于x，y的二元一次方程中即可求出m的值． 【详解】解：把代入关于x，y的二元一次方程中，得， 解得， 故答案为： 17．若是关于的二元一次方程的一组解，则的值为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了二元一次方程的解的定义，直接把代入，求出m的值，即可作答． 【详解】解：∵已知是关于的二元一次方程的一组解， ∴把代入， 得， 解得， 故答案为：3 18．若是关于，的二元一次方程的解，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程的解，将已知解代入方程中解得a的值即可． 【详解】解：∵是关于，的二元一次方程的解， ∴， 解得：， 故答案为：． 19．若是方程的解，则m的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程的解“一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解”，熟记二元一次方程的解的定义是解题关键．将代入方程可得一个关于的一元一次方程，解方程即可得． 【详解】解：∵是方程的解， ∴， 解得， 故答案为：． 20．若关于x，y的二元一次方程组的解是，则 ， ． 【答案】 3 1 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解的概念，掌握方程组的解满足方程组中的每一个方程是解题的关键． 将代入，即可求解． 【详解】解：∵关于x，y的二元一次方程组的解是， ∴，， ∴，， 故答案为：3；1． 21．若是关于、的二元一次方程组的解，求的值． 【答案】14 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解，解二元一次方程组，把代入，得出关于a和b的二元一次方程组，求解得出a，b的值，再代入代数式计算即可． 【详解】解：把代入得： 解得： ∴ 22．已知是关于的二元一次方程组的解，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，代数式求值，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值．将代入方程组计算求出m与n的值，即可确定出所求式子的值． 【详解】解：根据题意，得， 解得，． ． 题型五 列二元一次方程（组） 23．已知二元一次方程组的解是，则表示的方程可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二元一次方程组的解“一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解”，熟练掌握二元一次方程组的解的定义是解题关键． 先将方程组的解代入第一个方程可求出的值，从而可得这个方程组的解，再在四个选项中，找出满足这个解的方程即可得． 【详解】解：由题意，将代入方程得：，解得，所以这个方程组的解为， A、将代入得：，则此项不符合题意； B、将代入得：，则此项不符合题意； C、将代入得：，则此项不符合题意； D、将代入得：，则此项符合题意； 故选：D． 24．若关于的二元一次方程组的解为，则含的一次多项式A可以是 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查的是二元一次方程组的解，根据，可得，结合条件可得答案． 【详解】解：∵关于的二元一次方程组的解为， ∴含的一次多项式A可以是． 故答案为：（答案不唯一）． 25．代数学家吴敬的《九章算法比类大全》中有一个“哪吒夜叉”问题，大意是：有个头只手的哪吒若干，有个头只手的夜叉若干，两方交战，共有个头，只手．问哪吒、夜叉各有多少？设哪吒有个，夜叉有个，则所列方程组是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，审清题意、找准等量关系、列出方程是解题的关键．设哪吒有个，夜叉有个，然后根据等量关系“共有个头”和“只手”列出二元一次方程组即可解答． 【详解】解：每个哪吒有个头，每个夜叉有个头，交战双方共有个头， ， 每个哪吒有只手，每个夜叉有只手，交战双方共有只手， ， 根据题意可列出方程组， 故答案为：． 26．已知，其中都是常数，且，请你探究：是否存在一个二元一次方程，其解分别为与，若存在，请你写出这个二元一次方程；若不存在，请你说明理由． 【答案】存在，这个二元一次方程为 【分析】本题考查二元一次方程解的定义，理解方程解的意义是解题的关键．观察和，可得它们的结构是相同的，再结合方程解的定义即可完成解答． 【详解】解：和中字母系数相同，常数项也相同， 两个等式可以统一表示为， 这个二元一次方程为． 27．（1）写出解为的一个二元一次方程组； （2）请赋予（1）中所写的二元一次方程组一定的实际意义，编一道真实情境问题，并设出未知数． 【答案】（1）（答案不唯一）；（2）见解析 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解，掌握二元一次方程的定义是解题的关键． （1）根据二元一次方程组的解的定义即可解答； （2）根据二元一次方程组的实际意义即可解答． 【详解】解：（1）解为的一个二元一次方程组可以为（答案不唯一）． （2）小明画了一个长方形，他发现长与宽的和是，长的2倍是，请问长方形的长和宽各是多少厘米？设长为，宽为（答案不唯一）． 题型一 根据二元一次方程（组）的定义求参数的值 1．若是关于x、y的二元一次方程，则m的值是 ． 【答案】2 【分析】此题主要考查二元一次方程的概念，二元一次方程的形式及其特点：含有2个未知数，未知数的项的次数是1的整式方程．根据二元一次方程的定义列出方程求解可得答案． 【详解】解：∵是关于x、y的二元一次方程， ∴，且， 解得， 故答案为：2． 2．若是关于的二元一次方程，则（   ） A．        B． C．        D． 下面是马虎的解答，你认为他的解法正确吗？若不正确，请给出正确答案，并说明理由． 解：因为2025是关于的二元一次方程， 所以． 解得．故选A． 【答案】马虎的解法不正确．正确选项为D，见解析 【分析】本题考查了二元一次方程的定义，熟练掌握二元一次方程的定义是解答本题的关键．方程的两边都是整式，含有两个未知数，并且未知数的项的次数都是1次的方程叫做二元一次方程． 马虎的解法未考虑未知数的系数不能为0，故错误；根据二元一次方程的定义求解即可. 【详解】解：马虎的解法不正确．正确选项为D．理由如下： 因为是关于，的二元一次方程， 所以 解得 故选D． 题型二 在不完整问题中求未知量的值 3．方程组的解为由于不小心滴上了两滴墨水，刚好遮住了两个数和，则数 ， ． 【答案】 【分析】此题主要考查了二元一次方程组的解，先把代入第二个方程求出，再把方程的解，代入第一个方程即可得到数的值，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：， 把代入得， 解得：， ∴方程组的解为，即有， 把代入得：， 故答案为：；． 4．方程组的解是，其中的值被墨渍盖住了，则的值为 ． 【答案】8.75 【分析】将代入，得的值，再将x，y代入求出p的值，将x，y，p的值代入即可计算．本题考查利用二元一次方程组的解求参数及求代数式的值，理解相关概念是解题关键． 【详解】解：将代入，得， 将代入，得， ∴， 故答案为：8.75． 题型三 同解问题 5．已知和都是二元一次方程的解，则是否也是方程的解？请说明理由． 【答案】不是，见解析 【分析】将和代入二元一次方程，得到的方程组，求得的值，再检验即可． 【详解】解：不是．理由如下： 将和分别代入方程，得 由①，得．③ 将③代入②，得， 解得． 将代入③，得， 所以原二元一次方程为． 将代入，得， 所以不是方程的解． 【点睛】本题考查了二元一次方程的解，只要满足方程的左右两边相等，即可知是原方程的解． 6．已知关于的二元一次方程的部分解如表，关于的二元一次方程的部分解如表，则关于的二元一次方程组的解是 ． 表 表2 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，根据二元一次方程组解的定义解答即可，掌握二元一次方程组解的定义是解题的关键． 【详解】解：由表可知，既是方程的解，又是方程的解， ∴二元一次方程组的解是， 故答案为：． 题型四 错解问题 7．甲、乙两人同时解关于x，y的二元一次方程组时，甲看错了方程①中的，得到方程组的解为乙看错了方程②中的，得到方程组的解为试计算的值． 【答案】9 【分析】根据甲看错方程①的，但方程②的不受影响，所以用甲的解代入方程②可求；乙看错方程②的，但方程①的不受影响，用乙的解代入方程①可求，最后计算 ．本题主要考查二元一次方程组的解的概念，熟练掌握方程组的解能使方程左右两边相等，利用错解求正确的未知参数是解题的关键． 【详解】解：把代入方程②，得， 解得． 把代入方程①，得，解得． 所以． 题型五 方程组的解与代数式求值 8．已知二元一次方程的一个解是，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二元一次方程的解，代数式求值，掌握二元一次方程的解的定义是解题的关键． 先将代入得到，再整体代入求解即可． 【详解】解：∵二元一次方程的一个解是， ∴， ∴， 故选：D． 9．已知是关于，的方程组的解，则的值． 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程组的解和解二元一次方程组．把方程组的解代入方程组可得到关于a、b的方程组，解方程组可求出，，再整体代入计算即可． 【详解】解：把代入， 得， ②①得，即， ②①得，即， 所以． 10．已知是关于x、y的方程组的解，求的立方根． 【答案】－2 【分析】将代入方程组得出关于a、b的方程组，解方程组即可得出a、b的值，然后代入求值，最后求立方根即可． 【详解】解：将代入方程组，得， ①②，得，解得b＝－3， 将b＝－3代入①，得，解得a＝－1， ∴， ∵的立方根是－2， ∴的立方根是－2． 【点睛】本题考查二元一次方程组的解、解二元一次方程组，代数式求值，立方根定义，得出关于a、b的方程组，解出a、b的值，是解答的关键． 11．已知关于、的方程组的解是 (1)求、的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了根据方程组的解求参数的值，求代数式的值，求一个数的平方根．列出关于、的二元一次方程组是解题的关键． （1）把，代入方程组，得出关于，的方程组，解方程组求出、的值； （2）将、的值代入求出的值，再求其平方根即可． 【详解】（1）解：∵关于、的方程组的解是， 把，代入，得， 解得：， 故，． （2）解：将，代入，得， ∵的平方根是， 故的平方根是． 题型六 根据情境列二元一次方程（组） 12．在《九章算术》卷八方程篇中，记录了这样一个数学问题：“今有五雀、六燕，集称之衡，雀俱重，燕俱轻，一雀一燕交而处，衡适平．并燕雀重一斤．问燕雀一枚各重几何？”其大意是：“现在有只雀，只燕，分别集中放在天平上称重，聚在一起的雀重燕轻．将一只雀一只燕交换位置而放，重量相等，只雀、只燕重量共一斤，问雀和燕各重多少？”古代记斤为两，设只雀两，只燕两，则下列正确的是（    ） A．B． C． D． 【答案】A 【分析】根据将一只雀一只燕交换位置而放，重量相等，可得；根据只雀、只燕重量共一斤，可得．从而可得相应的方程组，本题得以解决． 【详解】解：由题意可得：， 故选：A． 【点睛】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解题关键是明确题意，列出相应的方程组． 13．南宁至北海全长206千米，一辆小汽车和一辆客车同时从南宁、北海两地相向开出，经过1小时10分钟相遇．相遇时，小汽车比客车多行驶30千米．设小汽车和客车的平均速度分别为千米/小时和千米/小时，则下列方程组正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了列二元一次方程组，理解题意的等量关系是解题的关键．设小汽车和客车的平均速度分别为千米/小时和千米/小时，根据等量关系：“相遇时两车走的路程之和为千米”，“ 小汽车比客车多行驶千米”，列出二元一次方程组，即可求解． 【详解】解：设小汽车和客车的平均速度分别为千米/小时和千米/小时， 依题意可得出方程组：． 故选：D． 14．有一个两位数，它的两个数字之和为11，把这个两位数的个位数字与十位数字对调，所得的新数比原数大63，设原两位数的个位数字为，十位数字为，则用代数式表示原两位数为 ，根据题意得方程组 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了列代数式，列二元一次方程组，把原两位数的十位数字乘以10再加上个位数字可得原两位数，把原两位数的个位数字乘以10再加上十位数字可得新两位数，再根据原两位数的两个数字之和为11，新两位数比原两位数大63建立方程组即可． 【详解】解：设原两位数的个位数字为，十位数字为， ∴原来的两位数为，现在的两位数为， ∴， 故答案为：；． 15．我国古代夏禹时期的“洛书”（如图①所示），就是一个三阶“幻方”（如图②所示），观察图①、图②，我们可以寻找出“九宫图”中各数字之间的关系，在显示部分数据的新“幻方”（如图③所示）中，根据寻找出的关系，可列方程组为 ． 【答案】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，根据每行、每列及对角线上的三个数之和都相等，即可列出关于，的二元一次方程组，此题得解，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 【详解】解：第一列与对角线上的三个数之和相等， ∴； 第二行与第三列上的三个数之和相等， ∴． 根据题意可列出方程组， 故答案为：． 16．甲、乙二人分别从相距的A，B两地出发，相向而行．如图，是小华绘制的甲、乙二人运动两次的情形，设甲的速度是，乙的速度是，根据题意所列的方程组是 ． 【答案】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组．设甲的速度是，乙的速度是，根据路程=速度×时间结合两次运动的情形，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解． 【详解】解：设甲的速度是，乙的速度是， 依题意，得：． 故答案为：． 题型七 根据几何关系列二元一次方程（组） 17．如图，将正方形的一角折叠，折痕为，点恰好落在点处，比大．设和的度数分别为和，可列方程组为 ． 【答案】 【分析】本题考查了由几何图形抽象出二元一次方程组，以及翻折变换的问题，关键知道正方形的四个角都是直角．根据将正方形的一角折叠，折痕为，比大可列出方程组． 【详解】解：根据题意可得． 故答案为：． 18．现有甲，乙，丙三张不同的正方形纸片（如图1）．将三张纸片按图2，图3两种不同方式放置于同一矩形中，记图2中阴影部分周长为，面积；图3中阴影部分周长为，面积为．已知，则= ． 【答案】 【分析】本题主要考查了列代数式、方程组的应用等知识点，根据图形表示出、、、成为解题的关键． 先根据图形表示出、、、，再根据方程组得到a、b、c的关系，然后代入计算即可． 【详解】解：图2中阴影部分的周长，面积； 图2中阴影部分的周长，面积； ∵， ∴，整理得：， ∴， ∴． 故答案为：． 题型一 方程组与新定义问题 1．关于x，y的二元一次方程均可以变形为的形式，其中a，b，c，均为常数且，，规定：方程的“关联系数”记为． (1)【探索发现】二元一次方程的“关联系数”为______． (2)【拓展应用】已知关于x，y的二元一次方程的“关联系数”为，若，为该方程的一组解，且均为正整数，求m，n的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题主要考查了根据二元一次方程组解的情况求参数，解题的关键是理解题意，熟练掌握解方程组的方法． （1）根据关联系数的定义进行解答即可； （2）根据关联系数的定义得出该二元一次方程为，把代入，得出，根据m、n均为正整数，求出结果即可； 【详解】（1）解：∵规定：方程的“关联系数”记为， ∴二元一次方程的“关联系数”为； 故答案为：； （2）解：∵关于x，y的二元一次方程的“关联系数”为， ∴二元一次方程为． ∵为该方程的一组解， ∴，即． ∵m，n均为正整数， ∴或 2．若关于、的二元一次方程变形为的形式（、是常数，），则其中一对常数、称为该二元一次方程的“相伴系数对”，记为．例如二元一次方程变形为，则二元一次方程的“相伴系数对”为． (1)二元一次方程的“相伴系数对”为____________． (2)已知是关于、的二元一次方程的一个解，且该方程的“相伴系数对”为，求出这个二元一次方程； (3)关于、的二元一次方程，已知该方程的“相伴系数对”之和为2，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了二元一次方程的解，新定义“相伴系数对”，理解题意是解题的关键． （1）先把二元一次方程变形为，根据“相伴系数对”的定义解答即可； （2）先根据“相伴系数对”的值写出方程，然后把的值代入即可求出k的值，从而写出方程； （3）先求出方程的“相伴系数对”的值，然后根据已知条件列出关于的方程，从而求出的值． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴二元一次方程的“相伴系数对”为， 故答案为：； （2）解：∵方程的“相伴系数对”为， ∴该方程为， ∵是关于、的二元一次方程的一个解， ∴， 解得， ∴， 即； （3）解：∵， ∴， 即， ∵关于、的二元一次方程的“相伴系数对”之和为2， ∴， 整理得， 即． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 7.1 认识二元一次方程组 题型一 判断二元一次方程（组） 1．下列四个方程中，是二元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 2．下列式子中：①；②；③；④；⑤；⑥，二元一次方程的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．下列式子中，，，中，是二元一次方程的有（   ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 4．下列方程组中，是二元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 5．下列属于二元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 题型二 代数法判断二元一次方程（组）的解 6．若是下列某二元一次方程组的解，则这个方程组为（   ） A． B． C． D． 7．以为解的方程组是（　　） A． B． C． D． 8．下列各组值中，是二元一次方程组的解的是（　　） A． B． C． D． 题型三 根据二元一次方程（组）的定义求参数 9．方程 是二元一次方程，则m、n的值（     ） A． B． C． D． 10．已知是关于x、y的二元一次方程，则m、n的值是（   ） A． B． C． D． 11．若是关于x，y的二元一次方程，则m的值为 ． 12．若方程是关于x，y的二元一次方程，则 ． 13．如果是一个关于x，y的二元一次方程，那么的值是 ． 题型四 根据二元一次方程（组）的解求参数 14．已知是关于x，y的二元一次方程的一组解，则k的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 15．已知是关于x，y的二元一次方程的解，则m的值为 ． 16．如果是关于x，y的二元一次方程的一个解，那么m的值为 ． 17．若是关于的二元一次方程的一组解，则的值为 ． 18．若是关于，的二元一次方程的解，则的值为 ． 19．若是方程的解，则m的值为 ． 20．若关于x，y的二元一次方程组的解是，则 ， ． 21．若是关于、的二元一次方程组的解，求的值． 22．已知是关于的二元一次方程组的解，求的值． 题型五 列二元一次方程（组） 23．已知二元一次方程组的解是，则表示的方程可能是（    ） A． B． C． D． 24．若关于的二元一次方程组的解为，则含的一次多项式A可以是 ． 25．代数学家吴敬的《九章算法比类大全》中有一个“哪吒夜叉”问题，大意是：有个头只手的哪吒若干，有个头只手的夜叉若干，两方交战，共有个头，只手．问哪吒、夜叉各有多少？设哪吒有个，夜叉有个，则所列方程组是 ． 26．已知，其中都是常数，且，请你探究：是否存在一个二元一次方程，其解分别为与，若存在，请你写出这个二元一次方程；若不存在，请你说明理由． 27．（1）写出解为的一个二元一次方程组； （2）请赋予（1）中所写的二元一次方程组一定的实际意义，编一道真实情境问题，并设出未知数． 题型一 根据二元一次方程（组）的定义求参数的值 1．若是关于x、y的二元一次方程，则m的值是 ． 2．若是关于的二元一次方程，则（   ） A．         B． C．         D． 下面是马虎的解答，你认为他的解法正确吗？若不正确，请给出正确答案，并说明理由． 解：因为2025是关于的二元一次方程， 所以． 解得．故选A． 题型二 在不完整问题中求未知量的值 3．方程组的解为由于不小心滴上了两滴墨水，刚好遮住了两个数和，则数 ， ． 4．方程组的解是，其中的值被墨渍盖住了，则的值为 ． 题型三 同解问题 5．已知和都是二元一次方程的解，则是否也是方程的解？请说明理由． 6．已知关于的二元一次方程的部分解如表，关于的二元一次方程的部分解如表，则关于的二元一次方程组的解是 ． 表 表2 题型四 错解问题 7．甲、乙两人同时解关于x，y的二元一次方程组时，甲看错了方程①中的，得到方程组的解为乙看错了方程②中的，得到方程组的解为试计算的值． 题型五 方程组的解与代数式求值 8．已知二元一次方程的一个解是，则的值为（   ） A． B． C． D． 9．已知是关于，的方程组的解，则的值． 10．已知是关于x、y的方程组的解，求的立方根． 11．已知关于、的方程组的解是 (1)求、的值； (2)求的平方根． 题型六 根据情境列二元一次方程（组） 12．在《九章算术》卷八方程篇中，记录了这样一个数学问题：“今有五雀、六燕，集称之衡，雀俱重，燕俱轻，一雀一燕交而处，衡适平．并燕雀重一斤．问燕雀一枚各重几何？”其大意是：“现在有只雀，只燕，分别集中放在天平上称重，聚在一起的雀重燕轻．将一只雀一只燕交换位置而放，重量相等，只雀、只燕重量共一斤，问雀和燕各重多少？”古代记斤为两，设只雀两，只燕两，则下列正确的是（    ） A．B． C． D． 13．南宁至北海全长206千米，一辆小汽车和一辆客车同时从南宁、北海两地相向开出，经过1小时10分钟相遇．相遇时，小汽车比客车多行驶30千米．设小汽车和客车的平均速度分别为千米/小时和千米/小时，则下列方程组正确的是（   ） A．B． C． D． 14．有一个两位数，它的两个数字之和为11，把这个两位数的个位数字与十位数字对调，所得的新数比原数大63，设原两位数的个位数字为，十位数字为，则用代数式表示原两位数为 ，根据题意得方程组 ． 15．我国古代夏禹时期的“洛书”（如图①所示），就是一个三阶“幻方”（如图②所示），观察图①、图②，我们可以寻找出“九宫图”中各数字之间的关系，在显示部分数据的新“幻方”（如图③所示）中，根据寻找出的关系，可列方程组为 ． 16．甲、乙二人分别从相距的A，B两地出发，相向而行．如图，是小华绘制的甲、乙二人运动两次的情形，设甲的速度是，乙的速度是，根据题意所列的方程组是 ． 题型七 根据几何关系列二元一次方程（组） 17．如图，将正方形的一角折叠，折痕为，点恰好落在点处，比大．设和的度数分别为和，可列方程组为 ． 18．现有甲，乙，丙三张不同的正方形纸片（如图1）．将三张纸片按图2，图3两种不同方式放置于同一矩形中，记图2中阴影部分周长为，面积；图3中阴影部分周长为，面积为．已知，则= ． 题型一 方程组与新定义问题 1．关于x，y的二元一次方程均可以变形为的形式，其中a，b，c，均为常数且，，规定：方程的“关联系数”记为． (1)【探索发现】二元一次方程的“关联系数”为______． (2)【拓展应用】已知关于x，y的二元一次方程的“关联系数”为，若，为该方程的一组解，且均为正整数，求m，n的值． 2．若关于、的二元一次方程变形为的形式（、是常数，），则其中一对常数、称为该二元一次方程的“相伴系数对”，记为．例如二元一次方程变形为，则二元一次方程的“相伴系数对”为． (1)二元一次方程的“相伴系数对”为____________． (2)已知是关于、的二元一次方程的一个解，且该方程的“相伴系数对”为，求出这个二元一次方程； (3)关于、的二元一次方程，已知该方程的“相伴系数对”之和为2，求的值． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $