第七章 随机变量及其分布（举一反三讲义·培优篇）高二数学人教A版选择性必修第三册

该高中数学单元复习讲义通过十一大压轴题型系统构建随机变量及其分布的知识体系，以条件概率、分布列、均值方差等核心内容为框架，用例题解析和表格归纳呈现知识脉络，突出条件概率与全概率公式、二项分布与超几何分布等重难点的内在联系。 讲义亮点在于“举一反三”的分层练习设计，如条件概率综合应用中结合志愿者交通方式问题，决策题型融入甲乙公司招聘实际情境，培养学生用数学眼光观察现实、用数学思维解决问题的素养。每个题型配备不同难度例题，基础学生掌握方法，优秀学生深化探究，为教师精准教学和学生自主复习提供有力支持。

第七章 随机变量及其分布全章十一大压轴题型归纳（举一反三讲义·培优篇） 【人教A版】 题型1 条件概率与全概率公式的综合应用  1．（24-25高二下·辽宁·期末）志愿者甲参加第届文博会的服务工作，甲从住所到文博会选择乘地铁、乘公交车、骑共享单车的概率分别为，，，且乘地铁、乘公交车、骑共享单车按时到达文博会的概率分别为，，．若某一天甲按时到达文博会，则他骑共享单车的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据全概率公式及条件概率公式直接求解. 【解答过程】设事件表示“甲乘地铁”，事件表示“甲乘公交车”，事件表示“甲骑共享单车”，事件表示“甲按时到达文博会”， 则，，，，，， 则 ， ， 所以若某一天甲按时到达文博会， 则他骑共享单车的概率为． 故选：C. 2．（24-25高二下·福建泉州·期末）箱子中有6个大小、材质都相问的小球，其中4个红球，2个白球，每次从箱子中随机地摸出一个球，摸出的球不放回.设事件表示“第1次摸球，摸到红球”，事件表示“第2次摸球，摸到红球”，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据古典概型、条件概率概念、全概率公式分别计算即可判断各选项. 【解答过程】对于，表示“第一次摸到红球且第二次摸到红球”，因事件表示“第1次摸球，摸到红球”，易得， 事件表示“第2次摸球，摸到红球” ，因摸出的球不放回，此时箱子里还剩3个红球，2个白球， 所以在第1次摸到红球的条件下，第2次摸到红球的概率是， 由概率的乘法公式可得，故错误. 对于，第1次摸球，摸到白球的概率. 同理在第1次摸到白球的条件下，第2次摸到红球的概率是， 由概率的乘法公式可得， 由全概率公式可得，故错误. 对于，由A项分析，已得，故错误. 对于，由B项分析，已得，故正确. 故选：D. 3．（24-25高二下·广东深圳·期末）某学校一名学生参加体育和AI两个兴趣小组，该同学每周只能选择其中一个兴趣小组学习，第一周选择体育兴趣小组的概率是，如果第一周选择AI兴趣小组，那么第二周去AI兴趣小组的概率为；如果第一周去体育兴趣小组，那么第二周去AI兴趣小组的概率为．已知该同学第二周去AI兴趣小组，则第一周去AI兴趣小组的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】设第一周去AI兴趣小组为事件，第二周去AI兴趣小组为事件，根据条件概率公式及全概率公式求解即可． 【解答过程】设第一周去AI兴趣小组为事件，第二周去AI兴趣小组为事件， 则，， 所以， ， . 故选：A． 4．（24-25高二下·福建三明·月考）有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为6%，第2，3台加工的次品率均为5%；加工出来的零件混放在一起，且第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的25%，30%， 45%.现从加工出来的零件中任取一个零件，取到的零件是次品，且是第3台车床加工的概率为 . 【答案】 【解题思路】利用全概率公式和条件概率公式求解. 【解答过程】记为事件“零件为第台车床加工”，事件“任取一个零件为次品”， 则，，，， 所以 ， 所以取到的零件是次品，且是第3台车床加工的概率为： . 故答案为：. 5．（24-25高二下·浙江杭州·期末）某仓库有一批电流表，其中60%，30%，10%依次由甲、乙、丙三家厂家生产，且甲、乙、丙厂的次品率分别是． (1)现在从这批电流表中任取一个，求取到次品的概率； (2)若从这批电流表中取出一个，发现是次品，求该电流表是乙厂家生产的概率． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）用，，分别表示事件取到的这件产品是甲、乙、丙厂生产的，利用全概率公式求解即可； （2）利用条件概率与独立事件的概率公式求解即可. 【解答过程】（1）用，，分别表示事件取到的这件产品是甲、乙、丙厂生产的， 以表示事件取到的产品为次品，则 ，，， ，，， 由全概率公式，得 . （2）若从这批产品中取出一件产品，发现是次品， 该件产品是乙厂生产的概率为 . 题型2 条件概率与其他知识综合 1．（24-25高二下·浙江杭州·期末）随机事件、满足，，，下列说法正确的是（   ） A．事件A与事件独立 B． C． D． 【答案】C 【解题思路】本题可根据条件概率公式以及，再结合独立事件的判定条件来逐一分析选项. 【解答过程】对于选项A，因为，所以根据对立事件概率公式可得.又，所以.因此事件与事件不独立，选项A错误. 对于选项B，根据条件概率公式，已知，，将其代入公式可得，，选项B错误. 对于选项C，因为，且与互斥，所以.由选项B可知，又，则，选项C正确. 对于选项D，已知，根据对立事件概率公式可得.由选项B可知，所以，选项D错误. 故选：C. 2．（24-25高二下·云南临沧·月考）现随机安排甲、乙等位同学参加校运会跳高、跳远、投铅球比赛，要求每位同学参加一项比赛，每项比赛至少一位同学参加，事件“甲参加跳高比赛”，事件“乙参加投铅球比赛”，事件“乙参加跳远比赛”，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】借助排列数与组合数计算出所有安排方法即可得相应事件发生的概率，再结合互斥事件的定义、相互独立事件的判定和条件概率公式进行逐一判断即可. 【解答过程】先将人分为组，再安排参加项比赛，则有种安排方法， 若参加跳高比赛，即甲所在的组参加跳高比赛，则， 同理：， 事件，即甲参加跳高比赛且乙参加投铅球比赛，此时有种安排方法， 则，同理：， 依次分析选项： 对于A，，，，故A错误； 对于B，，，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D错误． 故选：C． 3．（24-25高二下·北京·月考）甲、乙、丙、丁4人每人随机选取VisualBasie，VisualC++，VisualFoxpro三种编程语言之一进行学习，每种编程语言至少有1人学习，A表示事件“甲学习VisualBasic编程语言”；B表示事件“乙学习VisualBasic编程语言”；C表示事件“乙学习VisualC++编程语言”，则下列结论错误的是（   ） A．事件A与B相互独立 B．事件A与C不是互斥事件 C． D． 【答案】A 【解题思路】由古典概率公式求出,再利用相互独立事件和互斥事件的定义判断A,B，利用条件概率公式计算判断C,D. 【解答过程】4人选择3种编程语言之一，每种编程语言至少有1人学习，共有种安排方案， 甲学习VisualBasic编程语言、乙学习 VisualBasic编程语言、乙学习VisualC++编程语言，各有种方案， ∴；甲、乙均学习VisualBasic编程语言，有种方案， ∴；甲学习VisualBasic编程语言且乙学习VisualC＋＋编程语言， 有种方案，∴， 对于A，∵，∴事件A与B不相互独立，故A错误； 对于B，∵，∴事件A与C不是互斥事件，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D正确. 故选：A. 4．（24-25高一上·辽宁大连·期末）在某地区进行流行病学调查，随机调查了100位患者的年龄并得到如下频率分布直方图（每一组区间均是前闭后开），回答下列问题： (1)估计该地区这种疾病患者的平均年龄（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； (2)估计该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间的概率； (3)已知该地区这种疾病的患病率为，该地区年龄位于区间的人口占该地区总人口的.从该地区中任选一人，若此人的年龄位于区间，求此人患这种疾病的概率（以样本数据中患者的年龄位于各区间的频率作为患者的年龄位于该区间的概率，精确到0.0001）. 【答案】(1)岁 (2) (3) 【解题思路】（1）根据平均值等于各矩形的面积乘以对应区间的中点值的和即可求出； （2）根据频率分布直方图计算可得； （3）根据条件概率公式即可求出． 【解答过程】（1）平均年龄 （岁）． （2）由频率分布直方图可得该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间的概率为； （3）设“任选一人年龄位于区间”，“从该地区中任选一人患这种疾病”， 则由已知得：，，， 则由条件概率公式可得从该地区中任选一人，若此人的年龄位于区间， 此人患这种疾病的概率为． 5．（2025·辽宁沈阳·模拟预测）为了庆祝党的二十大胜利召开，培养担当民族复兴的时代新人，某高中在全校三个年级开展了一次”不负时代，不负韶华，做好社会主义接班人”演讲比赛．共1500名学生参与比赛，现从各年级参赛学生中随机抽取200名学生，并按成绩分为五组：，得到如下频率分布直方图，且第五组中高三学生占． (1)求抽取的200名学生的平均成绩（同一组数据用该组区间的中点值代替）； (2)高三的甲同学成绩是92分，若在第五组中，按照各年级人数比例采用分层随机抽样的方法抽取7人，甲被抽到，再从中选取2人组成宣讲组，在校内进行义务宣讲，求宣讲组有高三学生的条件下甲没入选的概率； (3)若比赛成绩（为样本数据的标准差），则认为成绩优秀，试估计参赛的1500名学生成绩优秀的人数． 参考公式：，（是第组的频率），参考数据： 【答案】(1)75 (2) (3)105人 【解题思路】（1）利用频率分布直方图中的平均数计算方法计算即可； （2）先由题意求得抽到的高三学生人数，再利用古典概型与条件概率公式即可求得所求概率； （3）先求出标准差，再求得优秀成绩所在区间的频率，从而可估算得成绩优秀的人数. 【解答过程】（1）由频率分布直方图的平均数的计算公式，可得： ， 所以抽取的200名学生的平均成绩； （2）由于第五组总共要抽取7人，高三学生占， 所以抽到的高三学生应该有人， 设宣讲组2人有高三学生为事件A，高三甲同学不入选为事件B， ， 由条件概率计算公式得，， 宣讲组有高三学生的条件下甲没入选的概率为； （3）依题意，由方差的计算公式，可得： ， 所以优秀的比赛成绩应该， 而比赛成绩在的频率为， 因为，故参赛的1500名学生成绩优秀的人数为105人． 题型3 利用随机变量分布列的性质解题 1．（24-25高二下·云南昆明·月考）设是一个离散型随机变量，其分布列如下，则（    ） 0 1 A．或 B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据随机变量的概率非负且不大于1，且随机变量取遍所有可能值时相应的概率之和等于1，列出方程和不等式，解方程组即可． 【解答过程】由离散型随机变量的性质可得，即， 解得或， 当时，不合题意， 所以. 故选：B. 2．（24-25高二下·全国·课后作业）若随机变量X的分布列如下： 1 2 3 4 0.1 0.4 0.3 则（    ） A．0.4 B．0.5 C．0.6 D．0.7 【答案】B 【解题思路】根据题意，由分布列的性质可得的值，然后代入计算，即可得到结果. 【解答过程】由题可得，解得． 由，可得或4， 则（或）． 故选：B. 3．（24-25高二下·广东清远·期末）某活动室有足球和篮球，从中随机挑选2个球，若这2个球中足球个数为，且的分布列如下表所示，则（    ） 0 1 2 A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据分布列概率之和为1，建立方程求解. 【解答过程】由题意可知，，解得. 故选：A. 4．（24-25高二下·辽宁沈阳·期中）已知随机变量X的分布列如下表所示，其中a是常数，则 ． 1 2 3 … 50 … 【答案】 【解题思路】由分布列的性质求得，进而可求解. 【解答过程】由题意，， 解得， 所以 ． 故答案为：. 5．（24-25高二下·黑龙江鸡西·期中）设离散型随机变量的分布列为，，其中为常数. (1)求的值； (2). 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）利用离散型随机变量分布列的性质可求得的值； （2）由计算可得结果. 【解答过程】（1）根据分布列的性质，所有概率之和等于1，即：， 将题目给出的概率公式代入，得：， 化简计算：，通分得到：，解得：. （2）， 将的值代入概率公式，得： ，所以. 题型4 分布列与其他知识的交汇问题 1．（24-25高二下·黑龙江哈尔滨·月考）学校举办学生与智能机器人的围棋比赛，现有来自两个班的学生报名表，分别装入两袋，第一袋有5名男生和4名女生的报名表，第二袋有6名男生和5名女生的报名表，现随机选择一袋，然后从中随机抽取2名学生，让他们参加比赛． (1)求恰好抽到一名男生和一名女生的概率； (2)比赛记分规则如下：在一轮比赛中，两人同时赢积2分，一赢一输积0分，两人同时输积分．现抽中甲、乙两位同学，每轮比赛甲赢概率为，乙赢概率为，在一轮比赛中，求这两名学生得分的分布列． 【答案】(1) (2)分布列见解析 【解题思路】（1）设“抽到第一袋”，“抽到第二袋”，“随机抽取2正，恰好抽到一名男生和一名女生的报名表”，结合条件概率和全概率公式，即可求解； （2）设在一轮比赛中的得分为随机变量，得到可能取值为，求得相应的概率，列出分布列. 【解答过程】（1）解：设“抽到第一袋”，“抽到第二袋”， “随机抽取2正，恰好抽到一名男生和一名女生的报名表”， 则，且， 由全概率公式，可得. （2）设在一轮比赛中的得分为随机变量，则可能取值为， 则，， ， 所以得分的分布列为： 2．（24-25高二下·重庆·月考）为响应“书香重庆”全民阅读活动，育才中学举办了“阅读之星”比赛活动．为了解比赛情况，现从高一年级随机抽取了300名学生的比赛成绩样本，将样本数据按照分成5组，制成了如图所示的样本频率分布直方图． (1)求频率分布直方图中的值； (2)学校从比赛成绩落在区间和的学生中，按照分层抽样随机抽取了5名学生，现从已抽取的5名学生中随机抽取2名学生代表参与社区阅读推广活动． ①设抽取的2名学生中比赛成绩落在区间的学生人数为，求随机变量X的分布列； ②抽取的2名学生中，求有一名学生的比赛成绩落在区间的条件下，另一名学生的比赛成绩也落在区间内的概率． 【答案】(1) (2)①分布列见解析；② 【解题思路】（1）根据所有小矩形的面积和为列出关系式求得； （2）①首先求出各组抽取的人数，则的可能取值为，，，求出相应的概率，即可得解；②利用条件概率公式计算可得. 【解答过程】（1）由频率分布直方图可得， 解得； （2）依题意组抽取人，组抽取人； ①依题意的可能取值为，，， 则，，， 所以的分布列为： 0 1 2 ②记有一名学生的比赛成绩落在区间为事件，两名学生的比赛成绩都落在区间为事件， 则，， 所以. 3．（24-25高二下·河南濮阳·期中）为迎接2025年五一劳动节，某地店特推出盲盒抽奖营销活动，店家将从一批汽车模型中随机抽取50个装入盲盒用于抽奖，已知抽出的50个汽车模型的外观和内饰的颜色分布如下表所示． 红色外观 蓝色外观 棕色内饰 20 10 米色内饰 15 5 (1)从这50个模型中随机取1个，用A表示事件“取出的模型外观为红色”，用表示事件“取出的模型内饰为米色”，求和； (2)活动规定：在一次抽奖中，每人可以一次性拿2个盲盒．对其中的模型给出以下假设：假设1：拿到的2个模型会出现3种结果，即外观和内饰均为同色，外观和内饰都异色以及仅外观或仅内饰同色．假设2：按结果的可能性大小，概率越小奖项越高．假设3：该抽奖活动的奖金额为一等奖3000元，二等奖2000元，三等奖1000元．请你分析奖项对应的结果，设为奖金额，写出的分布列． 【答案】(1)，； (2)分布列见解析 【解题思路】（1）根据条件概率公式结合古典概型计算求解； （2）先写出概率，再根据分布列步骤计算求解. 【解答过程】（1）模型内饰为米色的共有20个，所以， 红色外观的模型有35个，其中内饰为米色的共有15个，所. （2）设事件“取出的模型外观和内饰均为同色”，事件“取出的模型外观和内饰都异色”，事件“仅外观或仅内饰同色”，   ，        ，          ，               因为， 所以获得一等奖的概率为，二等奖的概率为，三等奖的概率为， 其分布列为                            3000 2000 1000 4．（24-25高二下·福建福州·期末）现有、两个不透明的袋子，袋中装有个红球、个白球，袋中装有1个红球、个白球.玩家甲和玩家乙分别参与摸球游戏，每人各参与一次且互不影响，得分高者获胜.游戏规则是：玩家先从袋子中随机摸出个球. 情况1：摸出的个球颜色相同，则将这个球放入袋子中，然后从袋子中随机摸出个球：若摸出个球同色，则玩家获得8分；若摸出个球不同色，则玩家获得分； 情况：摸出的个球颜色不同，则将这个球放回袋子中，然后从袋子中再随机摸出个球；若摸出个球同色，则玩家获得分；若摸出个球不同色，则玩家获得分. (1)求玩家甲在游戏中得分的概率； (2)求玩家乙在游戏中获胜的概率； (3)设玩家甲和玩家乙在游戏中得分的总和为，求的分布列. 【答案】(1) (2) (3)分布列见解析 【解题思路】（1）由题意明确玩家甲在游戏中得8分包括的情况，再用古典概型结合互斥事件的概率加法公式即可直接计算得解； （2）先依次求出玩家在游戏中得、、分的概率，接着由题意明确玩家乙在游戏中获胜的情况，并依次求出每种情况的概率，再用互斥事件的概率加法公式即可直接计算得解； （3）由题意求出随机变量的取值，再依次求出各变量取值的概率即可求出分布列. 【解答过程】（1）玩家甲在游戏中得分，则包括以下两种情况： 甲从袋子中随机摸出个红球，再将这个球放入袋子中后从袋子中随机摸出个球同色； 甲从袋子中随机摸出个白球，再将这个球放入袋子中后从袋子中随机摸出个白球. 所以玩家甲在游戏中得分的概率为. （2）由（1）玩家在游戏中得8分的概率为， 玩家在游戏中得分的概率为， 玩家在游戏中得分的概率为， 玩家乙在游戏中获胜的情况有以下三种情况： 甲获得分，玩家乙在游戏中得分获胜，此情况发生的概率为； 甲获得分，玩家乙在游戏中得分获胜，此情况发生的概率为； 甲获得分，玩家乙在游戏中得分获胜，此情况发生的概率为； 所以玩家乙在游戏中获胜的概率为. （3）由题意可得， 所以，， ，， ， 所以的分布列为 8 10 12 14 16 5．（24-25高二下·北京·期中）某学校开展健步走活动，要求学校教职员工上传11月4日至11月10日的步数信息.教师甲、乙这七天的步数情况如图1所示. (1)从11月4日至11月10日中随机选取一天，求这一天甲比乙的步数多的概率； (2)从11月4日至11月10日中随机选取三天，记乙的步数不少于20000的天数为，求的分布列和； (3)根据11月4日至11月10日某一天的数据制作的全校800名教职员工步数的频率分布直方图如图2所示.已知这一天甲与乙的步数在全校800名教职员工中从多到少的排名分别为第501名和第221名，判断这是哪一天的数据.（只需写出结论） 【答案】(1) (2)分布列见解析， (3)11月6日 【解题思路】（1）根据古典概型即可求得； （2）求出随机变量的所有可能取值，求出对应概率即可得出分布列和期望值； （3）先求出各区间内的人数，从而确定甲乙步数所在的区间，进而得出结论. 【解答过程】（1）设“甲比乙的步数多”为事件， 在11月4日至11月10日中，只有11月5日和11月9日这两天甲比乙的步数多， 所以； （2）由图可知，7天中乙的步数不少于20000的天数有11月4日和11月10日这两天， 所以的所有可能取值为， 可得，，； 可得分布列为 0 1 2 所以； （3）由频率分布直方图可知，步数在各区间内的人数如下： 内的人数有人； 内的人数有人； 内的人数有人； 内的人数有人； 内的人数有人； 内的人数有人； 因为这一天甲与乙的步数在全校800名教职员工中从多到少的排名分别为第501名和第221名， 所以甲的步数在区间内，乙的步数在区间内， 符合题意的只有11月6日这一天，所这是11月6日的数据. 题型5 均值、方差的性质 1．（24-25高二下·上海·月考）设离散型随机变量的分布列如表，若离散型随机变量满足，则下列结论错误的是（    ） 0 1 2 3 4 0.1 0.4 0.2 0.2 A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】选项A，利用分布列的性质，即可求解：利用期望和方差的计算公式，即可判断出选项B和C的正误；选项D，利用期望和方差的性质，即可求解. 【解答过程】对于A，由分布列的性质可得， 解得，故A正确； 对于C，由分布列可得：， 故，故C正确， 对于B，D，因为， 所以，故B错误，D正确． 故选：B． 2．（24-25高二下·河南·月考）已知随机变量X满足，，则（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【解题思路】根据给定条件，利用期望、方差的性质求解. 【解答过程】由，得，则； 由，得，因此. 故选：C. 3．（24-25高二下·辽宁抚顺·期中）已知离散型随机变量的分布列如下表所示，则（    ） 2 4 7 A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【解题思路】根据随机变量分布列的性质列式求出，计算，再根据期望，方差的性质计算求解. 【解答过程】由离散型随机变量的性质可得，解得， 则 ，， 所以 ，． 故选：A. 4．（24-25高二下·安徽合肥·期中）已知离散型随机变量的分布列如下表： 0 1 2 5 则 . 【答案】10.4 【解题思路】根据分布列的性质即概率之和为1，可求得a，运用期望方差公式计算期望和方差，最后用方差性质计算即可答案. 【解答过程】由分布列的基本性质知，解得 故， 由离散型随机变量方差的性质可得， 故答案为：. 5．（24-25高二下·全国·课后作业）已知随机变量的分布列为 0 1 (1)求的期望和方差； (2)设，求的期望和方差． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）利用方差和期望的公式可求得结果. （2）利用均值和方差的性质求解. 【解答过程】（1）， . （2）因为， 所以， . 题型6 离散型随机变量的均值与方差的综合应用 1．（24-25高二下·江苏徐州·期中）不透明口袋中有个相同的黑色小球和红色､白色､蓝色的小球各1个，从中任取4个小球，表示当时取出黑球的数目，表示当时取出黑球的数目，则下列结论中成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】当时，的可能取值为1，2，分别求出相应的概率，进而求出期望和方差；当时，η可取1，2，3，分别求出相应的概率，进而求出期望和方差，再比较即可得解得. 【解答过程】当时，ξ的可能取值为1，2， ，， 因此，； 当时，的可能取值为1，2，3， ，，， 因此，， 所以，. 故选：A. 2．（24-25高二下·山东青岛·期中）投资A，B两种股票，每股收益的分布列如下表： 股票A收益分布列 收益X 0 2 概率 0.1 0.3 0.6 股票B收益分布列 收益Y 0 1 2 概率 0.3 0.4 0.3 下列说法正确的是（   ） A．投资股票A的期望收益较小 B．投资股票B的期望收益较小 C．投资股票A的风险比投资股票B的风险小 D．投资股票B的风险比投资股票A的风险小 【答案】D 【解题思路】根据表格求出两者的期望和方差，进而得到答案. 【解答过程】股票A收益X的期望为， 方差为， 股票B收益Y的期望为， 方差为， 所以, 投资股票A的期望收益等于投资股票B的期望收益， 投资股票B的风险比投资股票A的风险小. 故选：D. 3．（24-25高三上·山东济南·开学考试）设，随机变量取值的概率均为，随机变量取值的概率也均为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】由期望与方程的公式计算即可表示出两随机变量的期望与方差，再比较两者大小即可得. 【解答过程】， ， 故，故A、B错误； 设， 则 ， 同理： ， 由，，故， 同理，则有 ， 即，故C正确，D错误； 故选：C. 4．（24-25高二下·陕西西安·月考）开展中小学生课后服务，是促进学生健康成长、帮助家长解决接送学生困难的重要举措，是进一步增强教育服务能力、使人民群众具有更多获得感和幸福感的民生工程，某校为确保学生课后服务工作顺利开展，制定了两套工作方案，为了解学生对这两个方案的支持情况，现随机抽取100个学生进行调查，获得数据如下表：假设用频率估计概率，且所有学生对活动方案是否支持相互独立， 男 女 支持方案一 24 16 支持方案二 25 35 (1)从样本中抽一人，求已知抽到的学生支持方案二的条件下，该学生是女生的概率． (2)从该校支持方案一和支持方案二的学生中各随机抽取1人，设为抽出两人中女生的个数，求的分布列与数学期望； (3)在（2）中，表示抽出两人中男生的个数，试判断方差与的大小． 【答案】(1)； (2)分布列见详解，； (3). 【解题思路】（1）根据表中数据，结合古典概型概率公式即可得解； （2）利用古典概型概率公式求出各取值的概率，然后可得分布列，再由期望公式可得； （3）利用方差公式计算出即可得解. 【解答过程】（1）由表中数据可知，支持方案二的有人，其中女生有人， 所以已知抽到的学生支持方案二的条件下，该学生是女生的概率为. （2）从支持方案一的学生中随机抽取1人，抽到女生的概率为， 由（1）知，从支持方案二的学生中随机抽取1人，抽到女生的概率为， 由题知，的可能取值为， 且，， ， 所以的分布列为： 0 1 2 期望. （3）因为，， ， 所以， 所以 ， 由（2）可得 . 即. 5．（24-25高二下·北京·期中）某甜品店打算推出三款新品，在前期市场调研时，将顾客按照年龄分为青少年组中年组和老年组，随机调查了200名顾客对这三款新品的购买意愿，统计数据如下（单位：人）： 青少年组 中年组 老年组 愿意 不愿意 愿意 愿意 不愿意 第一款 40 20 80 20 20 20 第二款 30 30 60 40 30 10 第三款 50 10 80 20 10 30 假设顾客的购买意愿相互独立.用频率估计概率 (1)从三个不同年龄组的顾客中各随机抽取1人，记为这3人中愿意购买第二款新品的人数，求的分布列和数学期望； (2)用“”表示顾客愿意购买第款新品，“”表示顾客不愿意购买第款新品.直接写出方差，，的大小关系. 【答案】(1)分布列见解析， (2) 【解题思路】（1）的可能取值为，求出相应的概率值，即可得到分布列与期望； （2）根据离散型随机变量的概率公式求解即可. 【解答过程】（1）用频率估计概率，由表可知从青少年组中抽取1人，愿意购买第二款新品的概率为， 从中年组中抽取1人，愿意购买第二款新品的概率为， 从老年组中抽取1人，愿意购买第二款新品的概率为， 由题意的可能取值为， 所以， ， ， ， 所以的分布列为 0 1 2 3 所以. （2）用频率估计概率，由表可知顾客愿意购买第款新品的概率为， 顾客愿意购买第款新品的概率为， 顾客愿意购买第款新品的概率为， 所以，， 所以， ， 所以. 题型7 二项分布的均值与方差 1．（24-25高二下·辽宁·期末）随机变量，则的值为（   ） A． B． C．5 D．6 【答案】C 【解题思路】根据二项分布的方差公式，结合方差的性质即可求解. 【解答过程】由于，故， 则. 故选：C. 2．（24-25高二下·河北承德·期末）一个不透明的箱子中装有9本书，其中有《三国演义》3本，《西游记》6本，每次从该箱子中任取1本书，记录下书名后放回，共取4次，记取出《三国演义》的次数为，则（    ） A． B．2 C． D．1 【答案】C 【解题思路】由题设易知，再应用二项分布的期望公式求期望. 【解答过程】由题设，每次抽取到《三国演义》的概率为，则，所以. 故选：C. 3．（24-25高二下·天津·期末）某次期末数学考试共9道单项选择题（每个题有4个选项），某同学全都不会做，记该同学做对的题目数为，且服从二项分布，则以下说法错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据二项分布的期望和方差性质计算可判断AB选项，再由期望值性质可判断C选项，由二项分布定义可求出对应概率可判断D选项. 【解答过程】对于A，因为服从二项分布，所以，即A正确； 对于B，由二项分布可得，因此B正确； 对于C，易知，即C正确； 对于D，显然，可知D错误. 故选：D. 4．（24-25高二下·内蒙古赤峰·期末）已知随机变量满足，若，则期望 ． 【答案】1 【解题思路】由二项分布概率公式求得，再根据二项分布的数学期望公式求值即可. 【解答过程】， 因为，所以，故. 故答案为：. 5．（24-25高二下·云南楚雄·月考）某电子零部件代加工工厂生产的零部件次品率为，现进行多批次抽检，假设各零部件是否为次品相互独立. (1)从一批产品中随机抽取件，求抽到的零部件中正品数多于次品数的概率； (2)若从另一批产品中随机抽取件，记抽到的零部件的正品数与次品数差的绝对值为，求的分布列与期望. 【答案】(1) (2)分布列见解析， 【解题思路】（1）利用二项分布的概率公式可求解； （2）由题意可得的取值依次为，，利用二项分布的概率公式可求分布列，进而可求数学期望； 【解答过程】（1）从一批产品中随机抽取件，抽到的零部件中正品数多于次品数， 则次品数为件或件， 所以所求概率为. （2）设抽取的零部件次品数为， 则， 所以可能的取值依次为，，， ， ， 所以的分布列为： 1 3 0.27 0.73 故. 题型8 超几何分布的均值与方差 1．（24-25高二下·湖北省直辖县级单位·期末）从装有4个白球，2个红球的盒子中逐个不放回地摸取小球.若每取出1个红球得2分，每取出1个白球得1分，按照规则从盒子中任意抽取2个球，所得分数的期望为（   ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【解题思路】根据取出小球的所有情况写出得分的所有可能值，根据超几何公式求得各个取值对应的概率，进而得到其分布列，求出期望. 【解答过程】设得分为，根据题意可以取， 则，，， 则分布列为： 4 3 2 所以得分期望为. 故选：C. 2．（24-25高二下·江苏连云港·月考）已知6件产品中有2件次品，4件正品，检验员从中随机抽取3件进行检测，记取到的正品数为，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据题意可知，X可能取1，2，3，且服从超几何分布，求出对应的概率，根据数学期望，方差的公式及性质计算即可． 【解答过程】根据题意可知，X可能取1，2，3，且服从超几何分布， 故 所以 ， ， 故选：D． 3．（24-25高二下·陕西咸阳·月考）一批笔记本电脑共有台，其中品牌台，品牌台.如果从中随机挑选台，设这台电脑中品牌的台数为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】确定随机变量的可能取值，利用超几何分布概率公式求出概率，得到分布列，代入数学期望公式和方差公式计算即可. 【解答过程】依题意，的可能值有. 则，，. 则的分布列为： 可得 . 故选：D. 4．（24-25高二下·河北沧州·期中）已知圆周率，用四舍五入法把精确到的近似值分别为，从这5个近似值中任取3个，记这3个值中大于的个数为，则 . 【答案】 【解题思路】根据已知求出的值，比较得出大于的个数，进而得出可能取值情况，根据超几何分布概率公式求出分布列，根据期望公式得出，进而代入方差公式求解即可得出答案. 【解答过程】由已知可得，. 所以，. 所以，从这5个近似值中任取3个，记这3个值中大于的个数可能为0，1，2， 显然服从超几何分布， 所以，，， 所以，， . 故答案为：. 5．（24-25高二下·河北保定·期末）昆明是全国十大旅游热点城市，有石林世界地质公园、滇池、安宁温泉、九乡、阳宗海、轿子雪山等国家级和省级著名风景区，还有世界园艺博览园和云南民族村等多处重点风景名胜，多条国家级旅游线路，形成以昆明为中心，辐射全省，连接东南亚，集旅游、观光、度假、娱乐为一体的旅游体系.某景区为了进一步优化旅游服务环境，强化服务意识，全面提升景区服务质量，准备从个跟团游团队和个私家游团队中随机抽取几个团队展开满意度调查. (1)若一次抽取个团队，在抽取的个团队是同类型团队的条件下，求这个团队全是跟团游团队的概率； (2)若一次抽取个团队，设随机变量为这个团队中私家游团队的个数，求的分布列和数学期望. 【答案】(1) (2)分布列见解析， 【解题思路】（1）记事件一次抽取的个团队类型相同，记事件一次抽取的个团队都是跟团游团队，利用条件概率公式可求得的值； （2）由题意可知，随机变量的所有可能取值为、、、，利用超几何分布可得出随机变量的分布列，进而可求得的值. 【解答过程】（1）记事件一次抽取的个团队类型相同，记事件一次抽取的个团队都是跟团游团队， 由条件概率公式可得. （2）由题意知，随机变量的所有可能取值为、、、， ，，， . 故的分布列为 故. 题型9 二项分布与超几何分布的综合应用 1．（24-25高一下·甘肃天水·月考）产品的质量是企业的根本，产品检测是生产中不可或缺的重要工作，某工厂为了保证产品质量，利用两种不同方法进行检测，两位员工随机从生产线上各抽取数量相同的一批产品，已知在两人抽取的一批产品中均有5件次品，员工甲从这一批产品中有放回地随机抽取3件产品，员工乙从这一批产品中无放回地随机抽取3件产品，设员工甲抽取到的3件产品中次品数量为，员工乙抽取到的3件产品中次品数量为，，则下列判断不正确的是（    ）（参考：超几何分布其均值） A．随机变量服从二项分布 B．随机变量服从超几何分布 C． D． 【答案】D 【解题思路】由二项分布的定义判断A；由超几何分布的定义判断B；通过计算判断CD. 【解答过程】对于A，员工甲从这一批产品中有放回地随机抽取3件产品，则随机变量服从二项分布，A正确； 对于B，员工乙从这一批产品中无放回地随机抽取3件产品，则随机变量服从超几何分布，B正确； 对于C，该批产品有件，则， ，C正确； 对于D，，，若， 则，与选项C矛盾，D错误． 故选：D. 2．（24-25高二下·江苏泰州·期末）已知20条试题中有8条选择题，甲无放回地依次从中抽取5条题，乙有放回地依次从中抽取5条题，甲、乙每次均抽取一条试题，抽出的5条题中选择题的条数分别为，的期望分别为，方差分别为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】随机变量服从超几何分布, 随机变量服从二项分布，根据超几何分布和二项分布的均值、方差公式计算即可. 【解答过程】由题意可知，的可能取值为，的可能取值为， 随机变量服从超几何分布，随机变量服从二项分布， 根据超几何分布的均值方差公式得： ，即， . 根据超二项分布的均值方差公式得： ，即 ， 所以，. 故选：A. 3．（24-25高二下·吉林·期中）一个袋子中有100个大小相同的球，其中有40个黄球、60个白球；进行如下两个试验，试验一：逐个不放回地随机摸出20个球，记取到黄球的个数为，期望方差分别为，；试验二：逐个有放回地随机摸出20个球，记取到黄球的个数为，期望和方差分别为，，则下列判断错误的是（   ） A． B． C． D．变量分布列是， 【答案】B 【解题思路】根据超几何分布和二项分布的定义判断两个试验，再根据不同的分布计算概率、期望和方差，判断各个选项； 【解答过程】试验一：从袋子中逐个不放回地随机摸出20个球是超几何分布模型， 记取到黄球的个数为,, 则变量分布列是，， ，. 试验二：从袋子中逐个有放回地随机摸出20个球是二项分布模型； 记取到黄球的个数为，则,则期望和方差分别为，， 对于A,试验二是二项分布模型，A正确；对于B,，B错误； 对于C,，C正确；D正确； 故选：B. 4．（24-25高二下·陕西安康·月考）为了响应国家“双减”政策，某高中将周六的作息时间由上课调整为自愿到校自主自习，经过一个学期的实施后，从参加周六到校自主自习和未参加周六到校自主自习的学生中各随机选取5人进行调查，得到如下样本数据： 成绩有进步 成绩没有进步 合计 参加周六到校自主自习 55 20 75 未参加周六到校自主自习 30 45 75 合计 85 65 150 (1)从调查的未参加周六到校自主自习的学生中，按成绩是否进步采用分层随机抽样的方法抽取10人．若从这10人中随机抽取2人，记X为成绩有进步的学生人数，求X的分布列及数学期望和方差． (2)用样本估计总体，将频率视为概率，从这所高中未参加周六到校自主自习的学生中抽取2人，记Y为成绩有进步的学生人数，求Y的分布列及数学期望、方差． 【答案】(1)分布列见解析，，； (2)分布列见解析，，. 【解题思路】（1）由题设X可能取值为0，1，2，应用超几何分布的概率求法求出分布列，进而求期望和方差； （2）由题意，应用二项分布的概率求法求分布列，进而求期望和方差. 【解答过程】（1）按分层随机抽样，成绩有进步同学抽取4人，成绩没有进步同学抽取6人， 所以X可能取值为0，1，2，，，， X的分布列为： X 0 1 2 P 所以X的期望为，； （2）由题意，则，，， 的分布列为： 0 1 2 P ，. 5．（24-25高二下·北京东城·期末）甲、乙、丙三人进行投篮比赛，共比赛10场，规定每场比赛分数最高者获胜，三人得分（单位：分）情况统计如下： 场次 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 甲 8 10 10 7 12 8 8 10 10 13 乙 9 13 8 12 14 11 7 9 12 10 丙 12 11 9 11 11 9 9 8 9 11 (1)从上述10场比赛中随机选择一场，求甲获胜的概率； (2)在前5场比赛中任选两场，设表示乙获胜的场数，求的分布列和数学期望 (3)假设每场比赛获胜者唯一，且各场相互独立，用频率估计概率．甲、乙、丙三人接下来又进行6场投篮比赛，设为甲获胜的场数，为乙获胜的场数，为丙获胜的场数，写出方差的大小关系． 【答案】(1) (2)分布列见解析，数学期望为 (3) 【解题思路】（1）从表格中可以发现甲获胜的场数为3场，从而得到甲获胜的概率； （2）在前5场比赛中，乙共获胜3场，的值为0，1，2，利用超几何分布求得对应的概率，进而可得分布列，求得期望即可； （3）通过题目条件得到10场比赛甲、乙、丙获胜的概率，根据甲、乙、丙获胜的场数符合二项分布，从而得到方差的大小关系. 【解答过程】（1）根据三人投篮得分统计数据，在10场比赛中，甲共获胜3场，分别是第3场，第8场，第10场. 设表示“从10场比赛中随机选择一场，甲获胜”，则. （2）在前5场比赛中，乙共获胜3场，分别是第2场，第4场，第5场. 则的值为0，1，2， ，，， 则的分布列为： 0 1 2 . （3）由题意，每场比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，丙获胜的概率为， 还需要进行6场比赛，甲、乙、丙获胜的场数符合二项分布，即，，， 所以， ，故. 题型10 决策问题 1．（2025·江西上饶·模拟预测）甲乙两家公司要进行公开招聘，招聘分为笔试和面试，通过笔试后才能进入面试环节．已知甲、乙两家公司的笔试环节都设有三门考试科目且每门科目是否通过相互独立，若小明报考甲公司，每门科目通过的概率均为；报考乙公司，每门科目通过的概率依次为，，其中． (1)若，分别求出小明报考甲、乙两公司在笔试环节恰好通过一门科目的概率； (2)招聘规则要求每人只能报考一家公司，若以笔试过程中通过科目数的数学期望为依据作决策，当小明更希望通过乙公司的笔试时，求的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【解题思路】（1）利用独立事件同时发生的概率公式即可求得小明报考甲、乙两公司在笔试环节恰好通过一门科目的概率； （2）分别求得小明报考甲、乙两公司通过科目数的数学期望，列出关于的不等式，进而求得的取值范围． 【解答过程】（1）设小明报考甲公司恰好通过一门笔试科目为事件A， 小明报考乙公司恰好通过一门笔试科目为事件， 根据题意可得，      . （2）设小明报考甲公司通过的科目数为X，报考乙公司通过的科目数为， 根据题意可知，，则， ， ， ， ， 则随机变量的分布列为 Y 0 1 2 3 P ， 若，则， 故，即的取值范围是. 2．（24-25高二下·北京通州·期末）某农产品经销商计划分别在甲、乙两个市场销售某种农产品（两个市场的销售互不影响），为了了解该种农产品的销售情况，现分别调查了该农产品在甲、乙两个市场过去10个销售周期内的销售情况，得下表： 销售量 销售周期个数 市场 3吨 4吨 5吨 甲 3 4 3 乙 2 5 3 (1)从过去10个销售周期中随机抽取一个销售周期，求甲市场销售量为4吨的概率； (2)以市场销售量的频率代替销售量的概率．设（单位：吨）表示下个销售周期两个市场的总销售量，求随机变量概率分布列； (3)在（2）的条件下，设该经销商计划在下个销售周期购进吨该产品，在甲、乙两个市场同时销售，已知该产品每售出1吨获利1000元，未售出的产品降价处理，每吨亏损200元．以销售利润的期望作为决策的依据，判断与应选用哪一个． 【答案】(1)0.4； (2)分布列见解析； (3)应选. 【解题思路】（1）利用古典概率求得结果. （2）求出的可能及各个值对应的概率，列出分布列. （3）分别求出与时销售利润的期望，再比较大小即得结果. 【解答过程】（1）设甲市场销售量为4吨的事件为A，则. （2）设甲市场销售量为吨的概率为，乙市场销售量为吨的概率为， 则由题意得，，； ，，， 设两个市场总需求量为的概率为，所有可能的取值为6，7，8，9，10， ， ， ， ， ， 所以的分布列如下表： 6 7 8 9 10 0.06 0.23 0.35 0.27 0.09 （3）由（2）知，，， 当时，销售利润，当时，，当时，， 因此的分布列为： 0.06 则元； 当时，，，， 销售利润，当时，， 当时，，当时，， 因此的分布列为： 0.06 0.71 则元； 因为，所以应选. 3．（24-25高二下·福建福州·期末）我市拟建立一个博物馆，采取竞标的方式从甲、乙两家建筑公司选取一家，招标方案如下：两家公司从6个招标问题中随机抽取3个问题，已知这6个招标问题中，甲公司能正确回答其中4道题目，而乙公司能正确回答每道题目的概率均为，甲、乙两家公司对每题的回答都是相互独立，互不影响． (1)求甲公司答对题数的分布列、期望及方差； (2)请从期望和方差的角度分析（无需再列分布列），甲、乙两家哪家公司竞标成功的可能性更大？ 【答案】(1)分布列见解析 (2)甲公司竞标成功的可能性更大 【解题思路】（1）设甲公司答对题数为随机变量可能取值为，求得相应的概率，列出分布列，求得，； （2）设乙公司能正确回答的题目数为随机变量可能取值为，利用独立重复试验的概率公式，求得相应的概率，列出分布列，求得，，结合，且，即可得到结论. 【解答过程】（1）由题意，设甲公司答对题数为随机变量，则的可能取值为， 则，，， 所以随机变量的分布列为： 可得，. （2）设乙公司能正确回答的题目数为随机变量，则的可能取值为， 则，， ，， 所以随机变量的分布列为： 所以， ， 由，且，所以甲公司竞标成功的可能性更大. 4．（24-25高二下·广西梧州·期末）某网红景点为促进本地旅游，在五一期间举行购票抽奖活动，根据网上购票与景点购票，设置两种不同的抽奖方案． 方案1：通过网上购票的游客，可进入景点网页中设置的小程序抽奖，每个顾客可抽奖2次，每次抽奖可随机获得0元、10元、20元的奖金，且抽到0元，10元，20元的概率均为． 方案2：通过景点购票的游客，可从装有3个红球和7个白球的抽奖箱中，不放回地取球3次，每次取1个球，第次取到红球，可得10i元奖金，取到白球没有奖金． (1)游客甲通过网上购票，记甲抽奖获得的奖金总金额为X元，求； (2)游客乙通过景点购票，记乙抽奖获得的奖金为Y元，求Y的分布列； (3)试从游客所得奖金金额的期望值分析，游客选择哪种购票方式更划算． 【答案】(1) (2)答案见解析 (3)游客选择网上购票更划算 【解题思路】（1）利用独立事件的乘法公式和互斥事件的加法公式计算即可； （2）利用排列组合和古典概型的概率公式求分布列； （3）先求出的分布列，再计算两个随机变量的期望，比大小即可. 【解答过程】（1），即两次都抽到20元的红包，或1次抽到10元的红包，1次抽到20元的红包，每次抽到任意红包的概率均为， 所以． （2）由题意得的可能取值为0，10，20，30，40，50，60， ， ， ，， 所以的分布列为： 0 10 20 30 40 50 60 （3）通过景点购票，由（2）得， 的可能取值为0，10，20，30，40， ， ， ， 所以， 故， 所以游客选择网上购票更划算. 5．（24-25高二下·广东广州·期中）某医学研究院为寻找防治甲流的新技术，对甲流疑似病例进行检测与诊断.研究员抽取了5名甲流疑似病例，假设其中仅有一名感染甲流，需要通过化验血液来确认感染甲流的人，若化验结果只有阳性和阴性两种，且化验结果呈阳性，则为甲流感染者，化验结果呈阴性，则不是甲流感染者.现有两个检测方案： 方案一：先从5人中随机抽取2人，将其血液混合，进行1次检测，若呈阳性，则选择这2人中的1人检测即可；若呈阴性，则对另外3人进行检测，每次检测1人，找到甲流感染者则停止检测. 方案二：对5人进行逐个检测，找到甲流感染者则停止检测. (1)分别求出利用方案一、方案二所需检测次数的分布列与数学期望； (2)已知检测前需一次性花费固定成本500元，检测费用为400元/次，请分别计算利用两种方案检测的总费用的期望值，并以此作为决策依据，判断选择哪个方案更好. 【答案】(1)方案一的分布列见解析，期望为，方案二的分布列见解析，期望为 (2)方案一检测总费用的期望值为1460元，方案二检测总费用的期望值为1620元，选择方案一更好 【解题思路】（1）设方案一所需检测次数为，则的所有可能取值为，设方案二所需检测次数为，则的所有可能取值为，求出所对应的概率，即可得到分布列与数学期望； (2) 设方案一、方案二的检测总费用分别为，则，，结合（1）利用期望的性质计算可得. 【解答过程】（1）设方案一所需检测次数为，则的所有可能取值为， 当时，有两种情况： ①第1次检测2人的混合血液呈阳性，第2次任选这2人中的1人检测即可确定甲流感染者，其概率为； ②第1次检测2人的混合血液呈阴性，第2次检测另外3人中的1人呈阳性，其概率为； 所以, 当时，第1次检测2人的混合血液呈阴性，第2次检测另外3人中1人呈阴性，第3次从剩余2人中任选1人检测即可确定甲流感染者， 所以, 所以的分布列为： 2 所以； 设方案二所需检测次数为，则的所有可能取值为. 所以， 所以的分布列为： 所以； （2）设方案一、方案二的检测总费用分别为， 所以， 所以方案一检测总费用的期望值（元）， 方案二检测总费用的期望值（元）. 因为，所以方案一检测总费用的期望值更小，所以选择方案一更好. 题型11 正态分布的实际应用 1．（24-25高二下·河南南阳·期末）西峡猕猴桃是河南特产、中国国家地理标志产品.据统计，西峡县某种植基地新品种猕猴桃的单果质量（单位：g）近似服从正态分布，现有随机采摘的该新品种猕猴桃10000个，估计其中单果质量不低于70g的猕猴桃个数为（   ） 参考数据：若，则，，. A．8413 B．9544 C．9772 D．9987 【答案】C 【解题思路】计算出，从而估计出单果质量不低于70g的猕猴桃个数. 【解答过程】，， 又， 故， 估计其中单果质量不低于70g的猕猴桃个数为. 故选：C. 2．（24-25高二下·重庆·期末）某汽车制造企业为了解新研发的一款纯电汽车的续航里程（单位：公里）情况，随机抽查得到了5000个样本，根据统计这款新型纯电车的续航里程，若，则该样本中续航里程不小于600公里的纯电汽车大约有（   ） A．75辆 B．85辆 C．100辆 D．120辆 【答案】A 【解题思路】由，利用正态分布的对称性可得，从而得到答案. 【解答过程】因为，，所以， 故该样本中续航里程不小于600公里的纯电汽车大约有辆. 故选：A. 3．（24-25高二下·福建福州·期末）李明上学有时坐公交车，有时骑自行车，他各记录了50次坐公交车和骑自行车所花的时间，经数据分析得到：坐公交车平均用时30min，样本方差为36；骑自行车平均用时34min，样本方差为4．假设坐公交车用时（单位：min）和骑自行车用时（单位：min）都服从正态分布，正态分布中的参数用样本均值估计，参数用样本标准差估计，则（   ） A． B．若某天只有34min可用，李明应选择自行车 C． D．若某天只有40min可用，李明应选择公交车 【答案】C 【解题思路】利用正态分布曲线的意义以及对称性，对四个选项逐一分析判断即可． 【解答过程】对于A，依题意随机变量的均值为，方差为，即，，， 随机变量的均值为，方差为，则，，； 所以，故A错误； 对于C，，， 因为， 所以，故C正确； 对于B，与的密度曲线大致如下， 若某天只有34min可用，由图可知，所以李明应选择公交车，故B错误． 对于D，若某天只有40min可用，由图可知， 所以，所以李明应选择自行车，故D错误． 故选：C． 4．（24-25高二下·山东·期中）某地区有20000名学生参加数学联赛（满分为100分），随机抽取100名学生的成绩，绘制了频率分布直方图，如图所示．    (1)根据频率分布直方图，求样本平均数的估计值；（同一组数据用该区间的中点值作代表） (2)根据频率分布直方图，求样本的分位数（四舍五入精确到整数）； (3)若所有学生的成绩X近似服从正态分布，其中为样本平均数的估计值，．试估计成绩不低于90分的学生人数． 附：若随机变量X服从正态分布，则，，． 【答案】(1)62； (2)71； (3)455. 【解题思路】（1）利用频率分布直方图估计样本平均数，列式计算即得. （2）利用分位数的意义，结合频率分布直方图求解. （3）由（1）的结论，利用正态分布的性质求出，再估计人数. 【解答过程】（1）由频率分布直方图，得样本平均数的估计值： ， 所以样本平均数的估计值为62. （2）由频率分布直方图知，前3组的频率和为，第4组的频率为0.24， 所以样本的分位数为. （3）由（1）知，样本平均数的估计值，则， 因此, 所以成绩不低于90分的学生人数约为. 5．（24-25高二下·广东潮州·月考）为提升工作效率，公司对员工进行了培训.公司规定：只有培训合格才能上岗，否则将补训. (1)若员工甲、乙、丙培训合格的概率分别为，求甲、乙、丙三人中至少有一人不需要补训的概率； (2)为了激发员工的培训积极性，M公司在培训过后举办了一次知识竞赛.已知参加这次知识竞赛员工的竞赛成绩近似服从正态分布，若该集团共有2000名员工，试估计这些员工中成绩超过93分的人数；(结果精确到个位) (3)参加了知识竞赛的员工还可继续参与第二轮答题赢重奖活动，活动规则如下：共有3道题，每答对1道题奖励现金800元.已知参与知识竞赛的员工甲答对每道题的概率均为且每题答对与否都相互独立，记甲获得总奖金为元，求的分布列与数学期望. 参考数据：若，则，，. 【答案】(1) (2)317 (3)分布列见解析， 【解题思路】（1）由题及对立事件概率性质可得答案； （2）由正态分布性质结合题意可得答案； （3）由题可得X的所有可能取值为0，800，1600，2400，然后可得分布列及对应期望. 【解答过程】（1）分别记甲、乙、丙培训合格为事件A，B，C， 则甲、乙、丙三人中至少有一人不需要补训的概率： . （2）由已知得的近似值为90，的近似值为3， 所以 而， 所以估计这些员工中成绩超过93分的人数为317. （3）X的所有可能取值为0，800，1600，2400. 且，， ，. 所以的分布列为 0 800 1 600 2 400 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 第七章 随机变量及其分布全章十一大压轴题型归纳（举一反三讲义·培优篇） 【人教A版】 题型1 条件概率与全概率公式的综合应用  1．（24-25高二下·辽宁·期末）志愿者甲参加第届文博会的服务工作，甲从住所到文博会选择乘地铁、乘公交车、骑共享单车的概率分别为，，，且乘地铁、乘公交车、骑共享单车按时到达文博会的概率分别为，，．若某一天甲按时到达文博会，则他骑共享单车的概率为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·福建泉州·期末）箱子中有6个大小、材质都相问的小球，其中4个红球，2个白球，每次从箱子中随机地摸出一个球，摸出的球不放回.设事件表示“第1次摸球，摸到红球”，事件表示“第2次摸球，摸到红球”，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·广东深圳·期末）某学校一名学生参加体育和AI两个兴趣小组，该同学每周只能选择其中一个兴趣小组学习，第一周选择体育兴趣小组的概率是，如果第一周选择AI兴趣小组，那么第二周去AI兴趣小组的概率为；如果第一周去体育兴趣小组，那么第二周去AI兴趣小组的概率为．已知该同学第二周去AI兴趣小组，则第一周去AI兴趣小组的概率为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高二下·福建三明·月考）有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为6%，第2，3台加工的次品率均为5%；加工出来的零件混放在一起，且第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的25%，30%， 45%.现从加工出来的零件中任取一个零件，取到的零件是次品，且是第3台车床加工的概率为 . 5．（24-25高二下·浙江杭州·期末）某仓库有一批电流表，其中60%，30%，10%依次由甲、乙、丙三家厂家生产，且甲、乙、丙厂的次品率分别是． (1)现在从这批电流表中任取一个，求取到次品的概率； (2)若从这批电流表中取出一个，发现是次品，求该电流表是乙厂家生产的概率． 题型2 条件概率与其他知识综合 1．（24-25高二下·浙江杭州·期末）随机事件、满足，，，下列说法正确的是（   ） A．事件A与事件独立 B． C． D． 2．（24-25高二下·云南临沧·月考）现随机安排甲、乙等位同学参加校运会跳高、跳远、投铅球比赛，要求每位同学参加一项比赛，每项比赛至少一位同学参加，事件“甲参加跳高比赛”，事件“乙参加投铅球比赛”，事件“乙参加跳远比赛”，则（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·北京·月考）甲、乙、丙、丁4人每人随机选取VisualBasie，VisualC++，VisualFoxpro三种编程语言之一进行学习，每种编程语言至少有1人学习，A表示事件“甲学习VisualBasic编程语言”；B表示事件“乙学习VisualBasic编程语言”；C表示事件“乙学习VisualC++编程语言”，则下列结论错误的是（   ） A．事件A与B相互独立 B．事件A与C不是互斥事件 C． D． 4．（24-25高一上·辽宁大连·期末）在某地区进行流行病学调查，随机调查了100位患者的年龄并得到如下频率分布直方图（每一组区间均是前闭后开），回答下列问题： (1)估计该地区这种疾病患者的平均年龄（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； (2)估计该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间的概率； (3)已知该地区这种疾病的患病率为，该地区年龄位于区间的人口占该地区总人口的.从该地区中任选一人，若此人的年龄位于区间，求此人患这种疾病的概率（以样本数据中患者的年龄位于各区间的频率作为患者的年龄位于该区间的概率，精确到0.0001）. 5．（2025·辽宁沈阳·模拟预测）为了庆祝党的二十大胜利召开，培养担当民族复兴的时代新人，某高中在全校三个年级开展了一次”不负时代，不负韶华，做好社会主义接班人”演讲比赛．共1500名学生参与比赛，现从各年级参赛学生中随机抽取200名学生，并按成绩分为五组：，得到如下频率分布直方图，且第五组中高三学生占． (1)求抽取的200名学生的平均成绩（同一组数据用该组区间的中点值代替）； (2)高三的甲同学成绩是92分，若在第五组中，按照各年级人数比例采用分层随机抽样的方法抽取7人，甲被抽到，再从中选取2人组成宣讲组，在校内进行义务宣讲，求宣讲组有高三学生的条件下甲没入选的概率； (3)若比赛成绩（为样本数据的标准差），则认为成绩优秀，试估计参赛的1500名学生成绩优秀的人数． 参考公式：，（是第组的频率），参考数据： 题型3 利用随机变量分布列的性质解题 1．（24-25高二下·云南昆明·月考）设是一个离散型随机变量，其分布列如下，则（    ） 0 1 A．或 B． C． D． 2．（24-25高二下·全国·课后作业）若随机变量X的分布列如下： 1 2 3 4 0.1 0.4 0.3 则（    ） A．0.4 B．0.5 C．0.6 D．0.7 3．（24-25高二下·广东清远·期末）某活动室有足球和篮球，从中随机挑选2个球，若这2个球中足球个数为，且的分布列如下表所示，则（    ） 0 1 2 A． B． C． D． 4．（24-25高二下·辽宁沈阳·期中）已知随机变量X的分布列如下表所示，其中a是常数，则 ． 1 2 3 … 50 … 5．（24-25高二下·黑龙江鸡西·期中）设离散型随机变量的分布列为，，其中为常数. (1)求的值； (2). 题型4 分布列与其他知识的交汇问题 1．（24-25高二下·黑龙江哈尔滨·月考）学校举办学生与智能机器人的围棋比赛，现有来自两个班的学生报名表，分别装入两袋，第一袋有5名男生和4名女生的报名表，第二袋有6名男生和5名女生的报名表，现随机选择一袋，然后从中随机抽取2名学生，让他们参加比赛． (1)求恰好抽到一名男生和一名女生的概率； (2)比赛记分规则如下：在一轮比赛中，两人同时赢积2分，一赢一输积0分，两人同时输积分．现抽中甲、乙两位同学，每轮比赛甲赢概率为，乙赢概率为，在一轮比赛中，求这两名学生得分的分布列． 2．（24-25高二下·重庆·月考）为响应“书香重庆”全民阅读活动，育才中学举办了“阅读之星”比赛活动．为了解比赛情况，现从高一年级随机抽取了300名学生的比赛成绩样本，将样本数据按照分成5组，制成了如图所示的样本频率分布直方图． (1)求频率分布直方图中的值； (2)学校从比赛成绩落在区间和的学生中，按照分层抽样随机抽取了5名学生，现从已抽取的5名学生中随机抽取2名学生代表参与社区阅读推广活动． ①设抽取的2名学生中比赛成绩落在区间的学生人数为，求随机变量X的分布列； ②抽取的2名学生中，求有一名学生的比赛成绩落在区间的条件下，另一名学生的比赛成绩也落在区间内的概率． 3．（24-25高二下·河南濮阳·期中）为迎接2025年五一劳动节，某地店特推出盲盒抽奖营销活动，店家将从一批汽车模型中随机抽取50个装入盲盒用于抽奖，已知抽出的50个汽车模型的外观和内饰的颜色分布如下表所示． 红色外观 蓝色外观 棕色内饰 20 10 米色内饰 15 5 (1)从这50个模型中随机取1个，用A表示事件“取出的模型外观为红色”，用表示事件“取出的模型内饰为米色”，求和； (2)活动规定：在一次抽奖中，每人可以一次性拿2个盲盒．对其中的模型给出以下假设：假设1：拿到的2个模型会出现3种结果，即外观和内饰均为同色，外观和内饰都异色以及仅外观或仅内饰同色．假设2：按结果的可能性大小，概率越小奖项越高．假设3：该抽奖活动的奖金额为一等奖3000元，二等奖2000元，三等奖1000元．请你分析奖项对应的结果，设为奖金额，写出的分布列． 4．（24-25高二下·福建福州·期末）现有、两个不透明的袋子，袋中装有个红球、个白球，袋中装有1个红球、个白球.玩家甲和玩家乙分别参与摸球游戏，每人各参与一次且互不影响，得分高者获胜.游戏规则是：玩家先从袋子中随机摸出个球. 情况1：摸出的个球颜色相同，则将这个球放入袋子中，然后从袋子中随机摸出个球：若摸出个球同色，则玩家获得8分；若摸出个球不同色，则玩家获得分； 情况：摸出的个球颜色不同，则将这个球放回袋子中，然后从袋子中再随机摸出个球；若摸出个球同色，则玩家获得分；若摸出个球不同色，则玩家获得分. (1)求玩家甲在游戏中得分的概率； (2)求玩家乙在游戏中获胜的概率； (3)设玩家甲和玩家乙在游戏中得分的总和为，求的分布列. 5．（24-25高二下·北京·期中）某学校开展健步走活动，要求学校教职员工上传11月4日至11月10日的步数信息.教师甲、乙这七天的步数情况如图1所示. (1)从11月4日至11月10日中随机选取一天，求这一天甲比乙的步数多的概率； (2)从11月4日至11月10日中随机选取三天，记乙的步数不少于20000的天数为，求的分布列和； (3)根据11月4日至11月10日某一天的数据制作的全校800名教职员工步数的频率分布直方图如图2所示.已知这一天甲与乙的步数在全校800名教职员工中从多到少的排名分别为第501名和第221名，判断这是哪一天的数据.（只需写出结论） 题型5 均值、方差的性质 1．（24-25高二下·上海·月考）设离散型随机变量的分布列如表，若离散型随机变量满足，则下列结论错误的是（    ） 0 1 2 3 4 0.1 0.4 0.2 0.2 A． B． C． D． 2．（24-25高二下·河南·月考）已知随机变量X满足，，则（   ） A．， B．， C．， D．， 3．（24-25高二下·辽宁抚顺·期中）已知离散型随机变量的分布列如下表所示，则（    ） 2 4 7 A．， B．， C．， D．， 4．（24-25高二下·安徽合肥·期中）已知离散型随机变量的分布列如下表： 0 1 2 5 则 . 5．（24-25高二下·全国·课后作业）已知随机变量的分布列为 0 1 (1)求的期望和方差； (2)设，求的期望和方差． 题型6 离散型随机变量的均值与方差的综合应用 1．（24-25高二下·江苏徐州·期中）不透明口袋中有个相同的黑色小球和红色､白色､蓝色的小球各1个，从中任取4个小球，表示当时取出黑球的数目，表示当时取出黑球的数目，则下列结论中成立的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·山东青岛·期中）投资A，B两种股票，每股收益的分布列如下表： 股票A收益分布列 收益X 0 2 概率 0.1 0.3 0.6 股票B收益分布列 收益Y 0 1 2 概率 0.3 0.4 0.3 下列说法正确的是（   ） A．投资股票A的期望收益较小 B．投资股票B的期望收益较小 C．投资股票A的风险比投资股票B的风险小 D．投资股票B的风险比投资股票A的风险小 3．（24-25高三上·山东济南·开学考试）设，随机变量取值的概率均为，随机变量取值的概率也均为，则（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二下·陕西西安·月考）开展中小学生课后服务，是促进学生健康成长、帮助家长解决接送学生困难的重要举措，是进一步增强教育服务能力、使人民群众具有更多获得感和幸福感的民生工程，某校为确保学生课后服务工作顺利开展，制定了两套工作方案，为了解学生对这两个方案的支持情况，现随机抽取100个学生进行调查，获得数据如下表：假设用频率估计概率，且所有学生对活动方案是否支持相互独立， 男 女 支持方案一 24 16 支持方案二 25 35 (1)从样本中抽一人，求已知抽到的学生支持方案二的条件下，该学生是女生的概率． (2)从该校支持方案一和支持方案二的学生中各随机抽取1人，设为抽出两人中女生的个数，求的分布列与数学期望； (3)在（2）中，表示抽出两人中男生的个数，试判断方差与的大小． 5．（24-25高二下·北京·期中）某甜品店打算推出三款新品，在前期市场调研时，将顾客按照年龄分为青少年组中年组和老年组，随机调查了200名顾客对这三款新品的购买意愿，统计数据如下（单位：人）： 青少年组 中年组 老年组 愿意 不愿意 愿意 愿意 不愿意 第一款 40 20 80 20 20 20 第二款 30 30 60 40 30 10 第三款 50 10 80 20 10 30 假设顾客的购买意愿相互独立.用频率估计概率 (1)从三个不同年龄组的顾客中各随机抽取1人，记为这3人中愿意购买第二款新品的人数，求的分布列和数学期望； (2)用“”表示顾客愿意购买第款新品，“”表示顾客不愿意购买第款新品.直接写出方差，，的大小关系. 题型7 二项分布的均值与方差 1．（24-25高二下·辽宁·期末）随机变量，则的值为（   ） A． B． C．5 D．6 2．（24-25高二下·河北承德·期末）一个不透明的箱子中装有9本书，其中有《三国演义》3本，《西游记》6本，每次从该箱子中任取1本书，记录下书名后放回，共取4次，记取出《三国演义》的次数为，则（    ） A． B．2 C． D．1 3．（24-25高二下·天津·期末）某次期末数学考试共9道单项选择题（每个题有4个选项），某同学全都不会做，记该同学做对的题目数为，且服从二项分布，则以下说法错误的是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高二下·内蒙古赤峰·期末）已知随机变量满足，若，则期望 ． 5．（24-25高二下·云南楚雄·月考）某电子零部件代加工工厂生产的零部件次品率为，现进行多批次抽检，假设各零部件是否为次品相互独立. (1)从一批产品中随机抽取件，求抽到的零部件中正品数多于次品数的概率； (2)若从另一批产品中随机抽取件，记抽到的零部件的正品数与次品数差的绝对值为，求的分布列与期望. 题型8 超几何分布的均值与方差 1．（24-25高二下·湖北省直辖县级单位·期末）从装有4个白球，2个红球的盒子中逐个不放回地摸取小球.若每取出1个红球得2分，每取出1个白球得1分，按照规则从盒子中任意抽取2个球，所得分数的期望为（   ） A． B．2 C． D． 2．（24-25高二下·江苏连云港·月考）已知6件产品中有2件次品，4件正品，检验员从中随机抽取3件进行检测，记取到的正品数为，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·陕西咸阳·月考）一批笔记本电脑共有台，其中品牌台，品牌台.如果从中随机挑选台，设这台电脑中品牌的台数为，则（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高二下·河北沧州·期中）已知圆周率，用四舍五入法把精确到的近似值分别为，从这5个近似值中任取3个，记这3个值中大于的个数为，则 . 5．（24-25高二下·河北保定·期末）昆明是全国十大旅游热点城市，有石林世界地质公园、滇池、安宁温泉、九乡、阳宗海、轿子雪山等国家级和省级著名风景区，还有世界园艺博览园和云南民族村等多处重点风景名胜，多条国家级旅游线路，形成以昆明为中心，辐射全省，连接东南亚，集旅游、观光、度假、娱乐为一体的旅游体系.某景区为了进一步优化旅游服务环境，强化服务意识，全面提升景区服务质量，准备从个跟团游团队和个私家游团队中随机抽取几个团队展开满意度调查. (1)若一次抽取个团队，在抽取的个团队是同类型团队的条件下，求这个团队全是跟团游团队的概率； (2)若一次抽取个团队，设随机变量为这个团队中私家游团队的个数，求的分布列和数学期望. 题型9 二项分布与超几何分布的综合应用 1．（24-25高一下·甘肃天水·月考）产品的质量是企业的根本，产品检测是生产中不可或缺的重要工作，某工厂为了保证产品质量，利用两种不同方法进行检测，两位员工随机从生产线上各抽取数量相同的一批产品，已知在两人抽取的一批产品中均有5件次品，员工甲从这一批产品中有放回地随机抽取3件产品，员工乙从这一批产品中无放回地随机抽取3件产品，设员工甲抽取到的3件产品中次品数量为，员工乙抽取到的3件产品中次品数量为，，则下列判断不正确的是（    ）（参考：超几何分布其均值） A．随机变量服从二项分布 B．随机变量服从超几何分布 C． D． 2．（24-25高二下·江苏泰州·期末）已知20条试题中有8条选择题，甲无放回地依次从中抽取5条题，乙有放回地依次从中抽取5条题，甲、乙每次均抽取一条试题，抽出的5条题中选择题的条数分别为，的期望分别为，方差分别为，则（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·吉林·期中）一个袋子中有100个大小相同的球，其中有40个黄球、60个白球；进行如下两个试验，试验一：逐个不放回地随机摸出20个球，记取到黄球的个数为，期望方差分别为，；试验二：逐个有放回地随机摸出20个球，记取到黄球的个数为，期望和方差分别为，，则下列判断错误的是（   ） A． B． C． D．变量分布列是， 4．（24-25高二下·陕西安康·月考）为了响应国家“双减”政策，某高中将周六的作息时间由上课调整为自愿到校自主自习，经过一个学期的实施后，从参加周六到校自主自习和未参加周六到校自主自习的学生中各随机选取5人进行调查，得到如下样本数据： 成绩有进步 成绩没有进步 合计 参加周六到校自主自习 55 20 75 未参加周六到校自主自习 30 45 75 合计 85 65 150 (1)从调查的未参加周六到校自主自习的学生中，按成绩是否进步采用分层随机抽样的方法抽取10人．若从这10人中随机抽取2人，记X为成绩有进步的学生人数，求X的分布列及数学期望和方差． (2)用样本估计总体，将频率视为概率，从这所高中未参加周六到校自主自习的学生中抽取2人，记Y为成绩有进步的学生人数，求Y的分布列及数学期望、方差． 5．（24-25高二下·北京东城·期末）甲、乙、丙三人进行投篮比赛，共比赛10场，规定每场比赛分数最高者获胜，三人得分（单位：分）情况统计如下： 场次 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 甲 8 10 10 7 12 8 8 10 10 13 乙 9 13 8 12 14 11 7 9 12 10 丙 12 11 9 11 11 9 9 8 9 11 (1)从上述10场比赛中随机选择一场，求甲获胜的概率； (2)在前5场比赛中任选两场，设表示乙获胜的场数，求的分布列和数学期望 (3)假设每场比赛获胜者唯一，且各场相互独立，用频率估计概率．甲、乙、丙三人接下来又进行6场投篮比赛，设为甲获胜的场数，为乙获胜的场数，为丙获胜的场数，写出方差的大小关系． 题型10 决策问题 1．（2025·江西上饶·模拟预测）甲乙两家公司要进行公开招聘，招聘分为笔试和面试，通过笔试后才能进入面试环节．已知甲、乙两家公司的笔试环节都设有三门考试科目且每门科目是否通过相互独立，若小明报考甲公司，每门科目通过的概率均为；报考乙公司，每门科目通过的概率依次为，，其中． (1)若，分别求出小明报考甲、乙两公司在笔试环节恰好通过一门科目的概率； (2)招聘规则要求每人只能报考一家公司，若以笔试过程中通过科目数的数学期望为依据作决策，当小明更希望通过乙公司的笔试时，求的取值范围． 2．（24-25高二下·北京通州·期末）某农产品经销商计划分别在甲、乙两个市场销售某种农产品（两个市场的销售互不影响），为了了解该种农产品的销售情况，现分别调查了该农产品在甲、乙两个市场过去10个销售周期内的销售情况，得下表： 销售量 销售周期个数 市场 3吨 4吨 5吨 甲 3 4 3 乙 2 5 3 (1)从过去10个销售周期中随机抽取一个销售周期，求甲市场销售量为4吨的概率； (2)以市场销售量的频率代替销售量的概率．设（单位：吨）表示下个销售周期两个市场的总销售量，求随机变量概率分布列； (3)在（2）的条件下，设该经销商计划在下个销售周期购进吨该产品，在甲、乙两个市场同时销售，已知该产品每售出1吨获利1000元，未售出的产品降价处理，每吨亏损200元．以销售利润的期望作为决策的依据，判断与应选用哪一个． 3．（24-25高二下·福建福州·期末）我市拟建立一个博物馆，采取竞标的方式从甲、乙两家建筑公司选取一家，招标方案如下：两家公司从6个招标问题中随机抽取3个问题，已知这6个招标问题中，甲公司能正确回答其中4道题目，而乙公司能正确回答每道题目的概率均为，甲、乙两家公司对每题的回答都是相互独立，互不影响． (1)求甲公司答对题数的分布列、期望及方差； (2)请从期望和方差的角度分析（无需再列分布列），甲、乙两家哪家公司竞标成功的可能性更大？ 4．（24-25高二下·广西梧州·期末）某网红景点为促进本地旅游，在五一期间举行购票抽奖活动，根据网上购票与景点购票，设置两种不同的抽奖方案． 方案1：通过网上购票的游客，可进入景点网页中设置的小程序抽奖，每个顾客可抽奖2次，每次抽奖可随机获得0元、10元、20元的奖金，且抽到0元，10元，20元的概率均为． 方案2：通过景点购票的游客，可从装有3个红球和7个白球的抽奖箱中，不放回地取球3次，每次取1个球，第次取到红球，可得10i元奖金，取到白球没有奖金． (1)游客甲通过网上购票，记甲抽奖获得的奖金总金额为X元，求； (2)游客乙通过景点购票，记乙抽奖获得的奖金为Y元，求Y的分布列； (3)试从游客所得奖金金额的期望值分析，游客选择哪种购票方式更划算． 5．（24-25高二下·广东广州·期中）某医学研究院为寻找防治甲流的新技术，对甲流疑似病例进行检测与诊断.研究员抽取了5名甲流疑似病例，假设其中仅有一名感染甲流，需要通过化验血液来确认感染甲流的人，若化验结果只有阳性和阴性两种，且化验结果呈阳性，则为甲流感染者，化验结果呈阴性，则不是甲流感染者.现有两个检测方案： 方案一：先从5人中随机抽取2人，将其血液混合，进行1次检测，若呈阳性，则选择这2人中的1人检测即可；若呈阴性，则对另外3人进行检测，每次检测1人，找到甲流感染者则停止检测. 方案二：对5人进行逐个检测，找到甲流感染者则停止检测. (1)分别求出利用方案一、方案二所需检测次数的分布列与数学期望； (2)已知检测前需一次性花费固定成本500元，检测费用为400元/次，请分别计算利用两种方案检测的总费用的期望值，并以此作为决策依据，判断选择哪个方案更好. 题型11 正态分布的实际应用 1．（24-25高二下·河南南阳·期末）西峡猕猴桃是河南特产、中国国家地理标志产品.据统计，西峡县某种植基地新品种猕猴桃的单果质量（单位：g）近似服从正态分布，现有随机采摘的该新品种猕猴桃10000个，估计其中单果质量不低于70g的猕猴桃个数为（   ） 参考数据：若，则，，. A．8413 B．9544 C．9772 D．9987 2．（24-25高二下·重庆·期末）某汽车制造企业为了解新研发的一款纯电汽车的续航里程（单位：公里）情况，随机抽查得到了5000个样本，根据统计这款新型纯电车的续航里程，若，则该样本中续航里程不小于600公里的纯电汽车大约有（   ） A．75辆 B．85辆 C．100辆 D．120辆 3．（24-25高二下·福建福州·期末）李明上学有时坐公交车，有时骑自行车，他各记录了50次坐公交车和骑自行车所花的时间，经数据分析得到：坐公交车平均用时30min，样本方差为36；骑自行车平均用时34min，样本方差为4．假设坐公交车用时（单位：min）和骑自行车用时（单位：min）都服从正态分布，正态分布中的参数用样本均值估计，参数用样本标准差估计，则（   ） A． B．若某天只有34min可用，李明应选择自行车 C． D．若某天只有40min可用，李明应选择公交车 4．（24-25高二下·山东·期中）某地区有20000名学生参加数学联赛（满分为100分），随机抽取100名学生的成绩，绘制了频率分布直方图，如图所示．    (1)根据频率分布直方图，求样本平均数的估计值；（同一组数据用该区间的中点值作代表） (2)根据频率分布直方图，求样本的分位数（四舍五入精确到整数）； (3)若所有学生的成绩X近似服从正态分布，其中为样本平均数的估计值，．试估计成绩不低于90分的学生人数． 附：若随机变量X服从正态分布，则，，． 5．（24-25高二下·广东潮州·月考）为提升工作效率，公司对员工进行了培训.公司规定：只有培训合格才能上岗，否则将补训. (1)若员工甲、乙、丙培训合格的概率分别为，求甲、乙、丙三人中至少有一人不需要补训的概率； (2)为了激发员工的培训积极性，M公司在培训过后举办了一次知识竞赛.已知参加这次知识竞赛员工的竞赛成绩近似服从正态分布，若该集团共有2000名员工，试估计这些员工中成绩超过93分的人数；(结果精确到个位) (3)参加了知识竞赛的员工还可继续参与第二轮答题赢重奖活动，活动规则如下：共有3道题，每答对1道题奖励现金800元.已知参与知识竞赛的员工甲答对每道题的概率均为且每题答对与否都相互独立，记甲获得总奖金为元，求的分布列与数学期望. 参考数据：若，则，，. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $