19.1.1 二次根式的概念课件2025-2026学年人教版数学八年级下册

第十九章 二次根式 19.1.1 二次根式的概念 学习目标 1.理解二次根式的概念 2.掌握二次根式有意义的条件 3.会利用二次根式的非负性解决相关问题 重点：二次根式有意义的条件. 难点：利用二次根式的非负性. 复习导入 填空，并回忆相关的知识： (1) 9 的平方根是_____, 9 的算术平方根是_____, (2) 7 的平方根是_____,7 的算术平方根是_____ (3) 0有 算术平方根吗？负数有算术平方根吗？ (4) 什么叫做平方根？什么叫做算术平方根吗？ 情景导入 思考，用带有根号的式子填空，看看写出的结果有什么特点： (1)面积为3的正方形的边长为　 　 ，面积为S的正方形的边长为　　 . (2)一个长方形的围栏，长是宽的2倍，面积为130 m2，则它的宽为　 m. (3)一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间t(单位:s) 与开始落下时离地面的高度h(单位:m)满足关系h=5t2. 如果用含有h的式子表示t， 那么t为_______. 感悟新知 知识点1 二次根式的概念 形如 的式子叫做二次根式. “ ”称为二次根号. 注意： （1）二次根式也是代数式； （2）被开方数a可以是非负的数或单项式、多项式、分式等； （3）判断一个式子是二次根式，需要满足以下条件： ①根指数必须是2；②被开方数为非负数． 典例解析 题型1 二次根式的概念 例1 下列式子中，一定是二次根式的有哪些？ （1） ；（2）；（3）； （4） ；　　（5）；　　（6）； （7）；　　（8）；　　（9）． 解：（1）（2）（7）（8）一定是二次根式． 针对训练 1.下列式子：，，，，，，，其中一定是二次根式的有（　　） A．3个　　 B．4个　　 C．5个　　 D．6个 B 感悟新知 知识点2 二次根式有意义 思考 当a满足什么条件时，在实数范围内有意义？ 条件 字母表示 有意义 被开方数为 非负数 典例解析 题型2 二次根式有意义 例2 当x满足什么条件时，在实数范围内有意义？ 解：由≥0，得 x≥2. 当x≥2时，在实数范围内有意义. 针对训练 2.当a满足什么条件时，下列各式在实数范围内有意义？ （1）； 解：（1）由a＋1≥0，得a≥－1. ∴当a≥－1时，在实数范围内有意义． （2）；　 （2）全体实数． （3）； （3）由a＋2≥0且3a≠0，得a≥－2且a≠0. ∴当a≥－2且a≠0时，在实数范围内有意义． （4）； （4）由≥0且3－x≠0，得x＜3. ∴当x＜3时，在实数范围内有意义． 归纳提炼 要代数式有意义，必需满足所含式子的每个式子有意义. 1. 分式+二次根式 分母≠0 并且 二次根式被开数≥0 A ≥0 且 B ≠0 A >0 针对训练 3.当a满足什么条件时，下列各式在实数范围内有意义？ （1）＋； （2）－； （3）＋（x＋2）－1． （1）由2－a≥0且a－2≥0，得a=2. ∴当a=2时，＋在实数范围内有意义． （2）由得－6≤x≤． ∴当－6≤x≤时，－在实数范围内有意义． （3）由得x≤且x≠－2. ∴当x≤且x≠－2时，＋（x＋2）－1在实数范围内有意义． 归纳提炼 要代数式有意义，必需满足所含式子的每个式子有意义. 2. 多个二次根式 每个二次根式被开数 ≥0 x= a 解不等式组 针对训练 4.当 x 是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义? 解：(1)由题意得 ∵ 无论 x 为任何实数 x 2≥0 (2)由题意得 (3)由题意得 ∴ x 为任何实数. x 2+2x+1 = (x+1 ) 2 ∴ x 为任何实数. -x2-2x-3 =-(x2+2x+3) ， =-(x2+2x+1)-2， =-(x+1)2-2， ∵ 无论 x 为任何实数 (x+1 ) 2≥0 ∵ 无论 x 为任何实数 -(x+1)2-2≤ 0 ∴ x 无解. 归纳提炼 判断代数式正负通常变形含有完全平方式来确定 1. (……)2+正数 原式 >0 2. -(……)2-正数 原式<0 典例解析 题型3 二次根式的非负性 例3 已知a，b为实数，且＋2=b＋4，求a，b的值． 解：由题意，得∴a=5， ∴＋2=0，即b＋4=0， ∴b=－4. y= b x= a 针对训练 5.如果y=＋＋2，那么xy的值是　 　． 6.已知关于x的代数式＋有意义，满足 条件的所有整数x的和是10，则a的取值范围为　 　． 225 －3＜a≤－1 归纳总结 定义 带有二次根号 建立不等式求出其解集 被开方数为非负数 算术平方根 分式 有意义 重要结论 多个二次根式 二次根式+分式 分母≠0 并且 被开数≥0 y= b x= a 2. (……)2+正数 0.5 3. -(……)2-正数 原式<0 原式<0 二次根式 作业布置 课堂作业:P4习题13.1的勾选做在课堂作业本上;(写清页码和题号，不抄题目) 家庭作业:打印的习题，完成对应内容到课后作业本上； (写清日期和题号，不抄题目) 拓展提升 1.(1) 若二次根式 有意义，求 m 的取值范围． 解：由题意得 m - 2≥0 且 m2 - 4 ≠ 0， 解得 m≥2 且 m ≠ -2，m ≠ 2， ∴ m＞2． (2) 无论 x 取任何实数，代数式 都有意义，求 m 的取值范围 解：由题意得 x2 + 6x + m≥0， 即 (x + 3 )2 + m - 9≥0. ∵ (x + 3)2≥0， ∴ m - 9≥0，即 m≥9. $