8.3多项式乘多项式导学案2025-2026学年苏科版七年级数学下册

《多项式乘多项式》导学案 【教学内容分析】 多项式乘多项式是整式乘法的核心内容，是在掌握单项式乘单项式、单项式乘多项式运算法则基础上的延伸与拓展，也是后续学习因式分解、分式运算、一元二次方程等知识的重要基础。本节课重点突破“漏乘项” “符号运算” “同类项合并”三大易错点，通过类比迁移、分层探究、变式练习，帮助学生理解多项式乘多项式的本质是“转化为单项式乘单项式”，熟练掌握运算法则，提升运算准确率与数学应用能力，强化“转化”的数学思想，培养严谨的解题习惯。 本节课以“复习迁移—探究新知—易错突破—综合应用”为主线，结合具体例题与生活实例，引导学生从单项式乘多项式法则出发，推导多项式乘多项式的运算法则，在练习中规范运算步骤，灵活解决各类相关问题，弥补基础薄弱点，强化知识应用能力，实现从“单一运算”到“综合运算”的平稳过渡。 【学习目标】 1. 理解多项式乘多项式的运算法则，能准确、熟练地运用法则进行多项式与多项式的乘法运算，杜绝漏乘、符号错误、同类项合并错误等问题。 1. 掌握多项式乘多项式的易错点辨析方法，能快速识别运算中的错误并改正，提升运算的规范性与准确率。 1. 能运用多项式乘多项式的知识，解决几何图形面积、代数式求值、实际应用等综合问题，体会数学与生活的联系，增强数学应用意识。 1. 进一步体会“转化”的数学思想，能灵活将多项式乘多项式转化为单项式乘单项式运算，培养观察、分析、推理及解决问题的能力。 【学习重点】 1. 熟练运用多项式乘多项式法则进行规范运算，确保步骤完整、符号正确、结果最简。 1. 掌握易错点辨析方法，能快速纠正运算中的常见错误（漏乘项、符号错误、同类项合并错误）。 1. 运用法则解决几何图形面积、实际应用等综合问题，规范书写解题过程。 【学习难点】 1. 运算中准确处理符号问题，尤其当多项式含负项、括号前是负号时，能精准判断每一项的符号，避免符号错误。 1. 多个多项式相乘或混合运算时，能准确把握运算顺序，不遗漏任何一项，熟练合并同类项，确保运算结果最简。 1. 能将实际问题准确转化为多项式乘多项式运算，理清数量关系，规范标注单位并完整作答，提升应用能力。 【课前预习·巩固迁移】 1. 回顾核心知识，完成填空，夯实基础： （1）单项式乘多项式的法则：用________去乘________的每一项，再把所得的积________； （2）计算： ① 2x·(3x² - 4x + 1) = ________； ② -3a·(2a² - ab + 3) = ________； （3）思考：如何计算(x + 2)(x + 3)？能否将其转化为我们学过的单项式乘多项式运算？ 1. 尝试计算下列各式（可结合单项式乘多项式法则推导）： （1）(x + 1)(x + 2) （2）(2x - 1)(x + 3) 1. 思考：运算过程中，你遇到了哪些困难？猜想多项式乘多项式的运算法则是什么？ 【课堂探究·变式突破】 探究一：法则推导（核心重点） 1. 小组合作，类比迁移： 我们知道，单项式乘多项式可通过乘法分配律转化为单项式乘单项式，那么多项式乘多项式能否用同样的方法转化？ 例如：计算(x + 2)(x + 3)，可将(x + 2)看作一个整体（单项式），运用乘法分配律计算如下： (x + 2)(x + 3) = (x + 2)·x + (x + 2)·3 = x·x + 2·x + x·3 + 2·3 = x² + 2x + 3x + 6 = x² + 5x + 6 1. 尝试推导：计算(m + n)(a + b)，写出完整推导过程，并总结运算法则。 1. 法则总结： 多项式乘多项式，先用一个多项式的每一项去乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。 字母表示法则：(m + n)(a + b) = ________。 探究二：符号专项突破（重点易错） 1. 小组合作完成下列计算，重点关注符号运算，规范书写每一步解题步骤： （1）(x - 2)(x + 3) （2）(2x + 1)(x - 4) （3）(x + 2)(3 - x) （4）(2x - 1)(-x + 3) 1. 小组讨论，总结规律： （1）当多项式中含有负项时，符号运算有哪些注意事项？ （2）当两个多项式都含负项时，如何避免符号混淆？ 1. 方法总结：符号运算“两牢记” ① 多项式中的负项，要连同其符号一起与另一个多项式的每一项相乘，切勿遗漏符号； ② 相乘后，根据“负负得正，正负得负”判断每一项的符号，再合并同类项。 探究三：混合运算与综合应用（提升型） 1. 小组合作完成下列混合运算题，注意把握运算顺序，准确合并同类项，规范书写解题步骤： （1） (x + 3)(x - 2) + 2x(x + 1) （2） （2）(2x - 1)(x + 4) - (x - 2)(x + 3) （3） (2x + 1)(x - 2) - 2x(x - 1) （4）(x + 2)(x - 2) - (x + 1)(x - 1) 1. 小组合作解决下列综合问题，规范书写解题过程，确保步骤完整、标注单位： （1）一个长方形的长为(x + 5)厘米，宽为(x - 3)厘米，求这个长方形的面积（用含x的代数式表示）；若x = 4，求长方形的实际面积。 （2）已知一个多项式为(x + 2)，另一个多项式比它的2倍少1，求这两个多项式的积，并求当x = 1时，积的值。 1. 讨论交流： （1）多个多项式混合运算的顺序是什么？（提示：先算多项式乘多项式，再算单项式乘多项式，最后合并同类项） （2）解决综合问题时，如何快速理清数量关系？解题过程中需要注意哪些细节？ 解题要点：① 审题时圈出关键条件，明确数量关系（如面积公式）；② 列式时注重符号规范和运算顺序；③ 代入求值前先化简代数式，简化计算过程；④ 结果必须标注单位，做到完整作答。 【课堂练习·分层巩固】 基础题（巩固法则） 1. 判断下列计算是否正确，对的打“√”，错的打“×”并改正错误： （1） (x + 2)(x + 3) = x² + 5x + 5 （ ） 改正：________________ （2） (x - 1)(x - 2) = x² - 3x + 2 （ ） 改正：________________ （3） (2x + 3)(x - 4) = 2x² - 5x - 12 （ ） 改正：________________ 1. 计算下列各式，将结果化为最简形式： （1）(x + 4)(x - 1) （2）(3x + 2)(2x - 1) （3）(x - 5)(x - 3) （4）(-2x + 1)(x + 2) 提升题（突破易错） 1. 计算下列混合运算，注意运算顺序，确保结果最简： （1） (x - 2)(x + 5) + 3x(x - 3) （2）(2x + 3)(x - 4) - (x + 1)(x - 2) （3）(3x - 1)(x + 1) - 3x(x - 2) （4）(x + 1)(x - 1) - (x + 3)(x - 2) 综合题（应用提升） 1. 解决下列实际问题，规范书写解题过程，标注单位并完整作答： （1）一个平行四边形的底为(2x + 3)米，高为(x - 2)米，求这个平行四边形的面积（用含x的代数式表示）；若x = 3，求实际面积。 （2）已知两个多项式分别为(x + 2)和(x - 3)，求它们的积；若积中不含x项，求需修改的多项式（只需修改其中一个多项式的常数项）。 【参考答案】 【课前预习·巩固迁移】 1. （1）单项式；多项式；相加；（2）① 6x³ - 8x² + 2x；② -6a³ + 3a²b - 9a；（3）能，将其中一个多项式看作整体，转化为单项式乘多项式运算。 1. （1）解：(x + 1)(x + 2) = (x + 1)·x + (x + 1)·2 = x² + x + 2x + 2 = x² + 3x + 2； （2）解：(2x - 1)(x + 3) = (2x - 1)·x + (2x - 1)·3 = 2x² - x + 6x - 3 = 2x² + 5x - 3 1. （答案不唯一）困难：容易漏乘项、符号判断错误；猜想：先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。 【课堂探究·变式突破】 探究一： 1.推导：(m + n)(a + b) = (m + n)·a + (m + n)·b = ma + na + mb + nb； 2. 每一项；每一项；相加；ma + na + mb + nb 探究二： 1. （1）解：(x - 2)(x + 3) = x·x + x·3 - 2·x - 2·3 = x² + 3x - 2x - 6 = x² + x - 6； （2）解：(2x + 1)(x - 4) = 2x·x + 2x·(-4) + 1·x + 1·(-4) = 2x² - 8x + x - 4 = 2x² - 7x - 4； （3）解：(x + 2)(3 - x) = x·3 - x·x + 2·3 - 2·x = 3x - x² + 6 - 2x = -x² + x + 6； （4）解：(2x - 1)(-x + 3) = 2x·(-x) + 2x·3 - 1·(-x) - 1·3 = -2x² + 6x + x - 3 = -2x² + 7x - 3 探究三： 1. （1）解：(x + 3)(x - 2) + 2x(x + 1) = x² - 2x + 3x - 6 + 2x² + 2x = 3x² + 3x - 6； （2）解：(2x - 1)(x + 4) - (x - 2)(x + 3) = (2x² + 8x - x - 4) - (x² + 3x - 2x - 6) = (2x² + 7x - 4) - (x² + x - 6) = 2x² + 7x - 4 - x² - x + 6 = x² + 6x + 2； （3）解：(2x + 1)(x - 2) - 2x(x - 1) = 2x² - 4x + x - 2 - 2x² + 2x = -x - 2； （4）解：(x + 2)(x - 2) - (x + 1)(x - 1) = (x² - 4) - (x² - 1) = x² - 4 - x² + 1 = -3 1. （1）解：面积 = 长×宽 = (x + 5)(x - 3) = x² - 3x + 5x - 15 = x² + 2x - 15（平方厘米）；当x = 4时，4² + 2×4 - 15 = 16 + 8 - 15 = 9（平方厘米）。答：长方形的面积为(x² + 2x - 15)平方厘米，实际面积为9平方厘米； （2）解：另一个多项式为2(x + 2) - 1 = 2x + 4 - 1 = 2x + 3；两个多项式的积为(x + 2)(2x + 3) = 2x² + 3x + 4x + 6 = 2x² + 7x + 6；当x = 1时，2×1² + 7×1 + 6 = 2 + 7 + 6 = 15。答：两个多项式的积为(2x² + 7x + 6)，当x = 1时，积的值为15。 【课堂练习·分层巩固】 1. （1）×；改正：(x + 2)(x + 3) = x² + 5x + 6； （2）√；（3）√ 1. （1）x² + 3x - 4；（2）6x² + x - 2；（3）x² - 8x + 15；（4）-2x² - 3x + 2 1. （1）x² + 3x - 10 + 3x² - 9x = 4x² - 6x - 10； （2）2x² - 5x - 12 - (x² - x - 2) = x² - 4x - 10； （3）3x² + 3x - x - 1 - 3x² + 6x = 8x - 1； （4）x² - 1 - (x² + x - 6) = -x + 5 1. （1）解：面积 = 底×高 = (2x + 3)(x - 2) = 2x² - 4x + 3x - 6 = 2x² - x - 6（平方米）；当x = 3时，2×3² - 3 - 6 = 18 - 3 - 6 = 9（平方米）。答：平行四边形的面积为(2x² - x - 6)平方米，实际面积为9平方米； （2）解：(x + 2)(x - 3) = x² - 3x + 2x - 6 = x² - x - 6；积中x项的系数为-1，若要不含x项，需使x项系数为0，可将第一个多项式的常数项改为3（修改后多项式为x + 3），此时积为(x + 3)(x - 3) = x² - 9（答案不唯一）。 学科网（北京）股份有限公司 $