第四章 一元一次不等式和一元一次不等式组（复习讲义）数学新教材北京版七年级下册

第四章 一元一次不等式和一元一次不等式组（复习讲义） 1. 理解一元一次不等式、一元一次不等式组的概念，能准确区分一元一次不等式与一元一次方程、一元一次不等式组与方程组的异同，掌握不等式的基本性质，并能熟练运用性质对不等式进行变形（如移项、去分母、去括号、系数化为1），明确变形过程中不等号方向的变化规律。 2. 掌握一元一次不等式的解法，能规范书写解不等式的步骤（去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1），能准确求出一元一次不等式的解集，并能在数轴上表示解集（明确实心圆点与空心圆圈的区别、不等号方向与数轴上点的移动方向的对应关系）。 3.能运用一元一次不等式和一元一次不等式组解决简单的实际问题，包括根据实际问题中的不等关系列出不等式（组），求解并检验解集的合理性，能结合实际情境解释解集的意义，提升运用数学知识解决实际问题的能力。 重点1、不等式 不等式的定义：用符号“＞”、“＜”表示大小关系的式子，叫做不等式，像x≠2这样用符号“≠”表示的不等关系的式子也叫不等式. 常见的不等式基本语言与符号表示 不等式基本语言 符号表示 不等式基本语言 符号表示 不等式基本语言 符号表示 a是正数 a＞0 a是非正数 a≤0 a、b同号 ab＞0 a是负数 a＜0 a是非负数 a≥0 a、b异号 ab＜0 重点2、不等式的解及解集 不等式的解：使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解. 不等式的解集：一般地，一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集. 不等式的解集的表示方法：①用不等式表示；②用数轴表示. 不等式表示 x＞a x＜a x≥a x≤a 数轴表示 【易错点】用数轴上表示不等式的解集时，要注意两点： 1）确定边界点，若边界点表示的数是不等式的解，用实心圆点，若边界点表示的数不是不等式的解，则用空心圆圈； 2）确定方向，小于边界点表示的数时向左画，大于边界点表示的数时向右画. 解不等式的概念：求不等式的解集的过程，叫做解不等式. 重点3、不等式的性质 性质1 不等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变 若a＞b，则a±c＞b±c 性质2 不等式的两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变 若a＞b，c＞0，则ac＞bc（或） 性质3 不等式的两边都乘（或除以）同一个负数，不 等号的方向改变 若a＞b，c＜0，则ac＜bc（或） 【补充说明】运用不等式的性质的注意事项： 1）不等式两边都要参与运算，并且是作同一种运算． 2）不等式两边加或减，乘或除以的数一定是同一个数或同一个式子． 3）在乘(或除以)同一个数时，必须先弄清楚这个数是正数还是负数，如果是负数，不等号要改变方向. 4）所谓不等号方向改变，就是指原来的不等号方向改变成与其相反的方向，如“＞”改变方向后就变成“＜”. 重点4、一元一次不等式 1.一元一次不等式 定义：一般地，不等式只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，不等式的左右两边都是整式，像这样的不等式叫一元一次不等式. 一元一次不等式满足的条件：①不等式的左右两边都是整式；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数是1. 一元一次不等式的一般形式：或. 2.一元一次不等式的解集及表示方法 定义：一元一次不等式的所有解组成的集合，叫做一元一次不等式的解集. 表示方法：1）用不等式表示.2）用数轴表示. 3.解一元一次不等式的一般步骤为： 步骤 具体做法 注意事项 去分母 在不等式两边都乘以各分母的最小公倍数，得到系数为整数的不等式 1）不要漏乘不含分母的项； 2）当分母中含有小数时，先将小数化成整数，再去分母. 3）如果分子是多项式，去分母后要加括号. 去括号 先去小括号，再去中括号，最后去大括号 1)去括号时，括号前的数要乘括号内的每一项，不要漏乘； 2)若括号外是负号时，去掉括号后括号内的各项负号都要改变符号.. 移项 一般把含有未知数的项移到不等式左边，其它项都移到不等式右边 1）移项时不要漏项; 2）将不等式中的项从一边移到另一边要变号，而在不等式同一边改变项的位置时不变号. 合并同类项 把不等式变为、 的形式 1）不要漏项； 2）系数的符号处理要得当. 3）字母及指数保持不变. 系数化为1 将不等式化为的形式 1)不等式两边都除以未知数系数; 2)当系数为负数，不等号的方向发生改变. 【补充说明】在解一元一次不等式时，上述的五个步骤不一定都能用到，并且也不一定按照自上而下的顺序，要根据不等式的形式灵活安排求解步骤. 重点5、一元一次不等式组 1.一元一次不等式组 定义：关于同一个未知数的几个一元一次不等式联立在一起，就组成了一个一元一次不等式组. 2.一元一次不等式组的解集 一元一次不等式组的解集：几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们组成的不等式组的解集．解不等式组就是求它的解集. 【补充】 1）如果不等式的解集无公共部分，就说这个不等式组无解. 2）在求不等式组的解集的过程中，通常是利用数轴来表示不等式组的解集的.确定方法如下表所示： 不等式组 设a＞b 解集 x＞a x＜b 无解 数轴上的表示 口诀 同大取大 同小取小 大大小小无处找 大小，小大中间找 3.解一元一次不等式组的一般步骤 第一步：求出不等式组中各不等式的解集； 第二步：将各不等式的解集在数轴上表示出来； 第三步：在数轴上找出各不等式解集的公共部分，这个公共部分就是不等式组的解集. 重点6、一元一次不等式（组）的实际应用 用一元一次不等式（组）解决实际问题的步骤： 审：认真审题，分清已知量、未知量及其关系，找出题中不等关系要抓住题中的关键字眼，如“大于”、“小于”、“不大于”、“至少”、“不超过”、“超过”等； 设：设出适当的未知数； 列：根据题中的不等关系，列出不等式； 解：解所列的不等式； 验：考虑求出的解是否具有实际意义; 答：实际问题的答案. 一元一次不等式（组）的应用题的关键语句： 1）列不等式解应用题需要以“至少”、“最多”、“不超过”、“不低于”等词来体现问题中的不等关系，因此，建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵． 2）对一些实际问题的分析还要注意结合实际.有些不等关系隐含于生活常识中,如小王用50元去买单价为6元的笔记本，设买x本，求x的取值范围时,其问题中就隐含着所花钱数不能超过50元.由此可得出不等式6x≤50. 3）在设未知数时，表示不等关系的文字如“至少”不能出现，即应给出肯定的未知数的设法，然后在最后写答案时，应把表示不等关系的文字补上． 题型一 不等式的定义 1．下列式子：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦．其中是不等式的有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】B 【分析】本题考查的是不等式的定义，即用不等号（，，，，）表示不等关系的式子叫做不等式，理解不等式的定义是解题的关键． 根据不等式的定义对各小题进行逐一分析即可． 【详解】解：∵不等式需含有不等号， ∴①；②；④；⑥，是用不等号连接的式子，故是不等式． 而③是等式；⑤；⑦，是代数式，这三个都不是不等式． ∴共有个不等式. 故选：B． 2．下列式子：①；②；③；④；⑤．其中不等式有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了不等式的定义，熟练掌握不等式的定义是解题的关键． 根据不等式的定义，用不等号连接的式子是不等式，检查每个式子即可． 【详解】解：∵① 使用“”，是不等式； ② 使用“”，是不等式； ③ 使用“”，是等式，不是不等式； ④ 没有不等号，不是不等式； ⑤ 使用“”，是不等式； ∴不等式有①②⑤共个； 故选：C． 3．下列按要求列出的不等式中，正确的是（   ） A．不是负数，即 B．不大于3，即 C．与4的和是负数，即 D．与3的差是非负数，即 【答案】C 【分析】本题考查了不等关系，熟练掌握根据已知信息找出不等关系是解题的关键； 根据各选项的表述列出不等式，与选项中所表示的进行比较． 【详解】解：A、 a不是负数表示, 但选项为， 错误，不符合题意； B、x不大于3表示， 但选项为， 错误，不符合题意； C、x与4的和是负数表示， 与选项一致， 正确，符合题意； D、x与3的差是非负数表示, 但选项为， 错误，不符合题意． 故选：C． 题型二 不等式的性质 4．若，则下列不等式成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查不等式的基本性质，根据，应用不等式的基本性质，逐项判断即可． 【详解】解：， ，或，故选项A不符合题意； ， ，故选项B不符合题意； ， ∴，故选项C不符合题意； ， ∴，故选项D符合题意． 故选：D． 5．已知，请用“”或“”填空： （1） ； （2） ； （3） ； （4） ． 【答案】 【分析】本题考查了不等式的基本性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键． 不等式的性质1：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式的性质2：不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．不等式的性质3：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． （1）运用不等式的性质1进行作答即可； （2）运用不等式的性质2进行作答即可； （3）运用不等式的性质3进行作答即可； （4）运用不等式的性质3进行作答即可． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：∵， ∴； （3）解：∵， ∴； （4）解：∵， ∴． 故答案为：；；； 6．根据不等式的基本性质，把下列不等式化为“”或“”的形式． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了不等式的基本性质，熟练掌握不等式的基本性质是关键． （1）根据不等式的基本性质，在不等式两边同加上3即可； （2）根据不等式的基本性质，在不等式两边同减去即可； （3）根据不等式的基本性质，在不等式两边同乘以5即可； （4）根据不等式的基本性质，在不等式两边同除以，改变不等号的方向，据此求解即可． 【详解】（1）解：不等式两边同加上3，得， ； （2）解：不等式两边同减去，得， ； （3）解：不等式两边同乘以5，得， ； （4）解：不等式两边同除以，得， ． 题型三 不等式的解集 7．请写出满足下列条件的解： （1）的正整数解有 ． （2）的负整数解有 ． 【答案】 1，2 －3，－2，－1 【分析】本题考查了不等式的解集，解决本题的关键是熟记不等式的解集． （1）由不等式，结合正整数定义，找出所有满足条件的正整数； （2）由不等式 ，结合负整数定义，找出所有满足条件的负整数． 【详解】解：（1），且为正整数， 可取，， 故答案为：； （2），且为负整数， 可取，，． 故答案为：，，． 8．下列说法：①是不等式的一个解；②是不等式的一个解；③不等式的解集是．其中正确的有 （填序号）． 【答案】①②③ 【分析】此题主要考查了不等式的解集和解，解题的关键是掌握二者的区别与联系． 根据不等式的解的定义：使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解；不等式的解集：能使不等式成立的未知数的取值范围，叫做不等式的解的集合，简称解集，进行分析． 【详解】解：①是不等式的一个解，说法正确，符合题意； ②是不等式的一个解，说法正确，符合题意； ③不等式的解集是，说法正确，符合题意； 故答案为：①②③． 9．试比较与的大小． 【答案】 【分析】利用作差法，结合非负性的应用解答即可． 本题考查了多项式的大小比较，实数的非负性的应用，熟练掌握公式和性质是解题的关键． 【详解】解： ， ， ， ， ， ． 题型四 求一元一次不等式的解集 10．解不等式：． 【答案】 【分析】此题考查了一元一次不等式的求解．按一元一次不等式的解法：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化1即可求解，注意系数化为1时变号． 【详解】解：， 去分母，得：， 去括号，得：， 移项及合并同类项，得：， 系数化为1，得：． 11．下面是小星同学解不等式的过程： 解：去分母，得：．．．．．．．．．．．第一步 去括号，得：．．．．．．．．．．．第二步 移项，得：．．．．．．．．．．．．第三步 合并同类项，得：．．．．．．．．．．．第四步 系数化为1，得：．．．．．．．．．．．．第五步 ①小星同学的解答过程从第_______步开始出错； ②请写出你认为正确的解答过程． 【答案】①一；②解答过程见详解 【分析】本题考查了解一元一次不等式，准确地进行计算是解题的关键．①由题可知，第一步错误；②按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解一元一次不等式即可． 【详解】①解：第一步，去分母错误， 故答案为：一； ②解：去分母，得： 去括号，得： 移项，得： 合并同类项，得： 系数化为1，得： 12．解下列一元一次不等式． (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)； 【分析】本题考查一元一次不等式的解法，关键是掌握解一元一次不等式的基本步骤：对于不含分母的不等式，通过移项、合并同类项、系数化为1求解；对于含分母的不等式，需先去分母，再依次进行去括号、移项、合并同类项、系数化为1的操作，注意系数化为1时，若系数为负数，不等号方向要改变． （1）是不含分母的一元一次不等式，直接通过移项、合并同类项、系数化为1即可得到解集； （2）是含分母的一元一次不等式，先去分母消除分母，再按步骤逐步化简求解． 【详解】（1）解：， 移项得，即， 系数化为1，两边同时除以2得． （2）解：， 两边同时乘以6去分母得， 去括号得， 合并右边常数项得， 移项得， 合并同类项得， 系数化为1，两边同时除以5得． 题型五 数轴上表示不等式的解集 13．解不等式：，并把它的解集表示在数轴上． 【答案】，见解析 【分析】本题考查的是一元一次不等式的解法，灵活运用不等式的基本性质是解题的关键，根据不等式的基本性质逐步对不等式进行变形，进而求出不等式的解集，并在数轴上表示出来． 【详解】解：， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为，得． 将解集表示在数轴上如下： 14．解下列不等式，并把其解集在数轴上表示出来． (1)； (2)． 【答案】(1)，数轴表示见解析 (2)，数轴表示见解析 【分析】本题考查解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，掌握不等式的性质是解题的关键． （1）去括号，移项、合并同类项，系数化为1，解集在数轴上表示即可； （2）去分母，去括号，移项、合并同类项，系数化为1，解集在数轴上表示即可． 【详解】（1）解：去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得， 解集在数轴上表示如图所示． （2）解：去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得， 解集在数轴上表示如图所示． 15．解不等式：，并把解集在数轴上表示出来． 【答案】；数轴见解析 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤求出不等式的解集，再在数轴上表示出不等式的解集即可． 【详解】解： ， 解得 ∴原不等式的解集为， 数轴表示为： 题型六 求一元一次不等式的整数解 16．不等式的最小整数解是（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】A 【分析】本题考查了求不等式的解集及确定最小整数解．先求出不等式的解集，然后确定最小整数解即可． 【详解】解：∵， 移项得， 合并同类项得， 解得， ∵大于等于的最小整数是， ∴该不等式的最小整数解是． 故选：A． 17．不等式的非负整数解的个数有 个； 【答案】3 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的解法与非负整数解的确定，熟练掌握一元一次不等式的解题步骤并准确筛选非负整数解是解题的关键． 先求解不等式的解集，再从解集中找出所有非负整数解并统计个数． 【详解】解：， ， ， ， ， 非负整数解为，，，共3个． 故答案为：3． 18．求不等式的负整数解． 【答案】 ，， 【分析】本题考查一元一次不等式的求解，先通过去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1等步骤求出不等式的解集，再找出解集中的所有负整数即可． 【详解】解： ， 两边同乘6，得， 去括号，得， 合并同类项，得 ， 移项，得， 两边同除以，不等号方向改变，得，即 ， ∴该不等式的负整数解为，，． 题型七 列一元一次不等式 19．用适当的符号表示下列关系： (1)的2倍与5的差比的3倍小； (2)，两数的平方差不小于这两数积的2倍． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查由实际问题抽象出一元一次不等式，用不等式表示不等关系时，要抓住题目中的关键词，如“大于（小于）、不超过（不低于）、是正数（负数）”“至少”、“最多”等等，正确选择不等号．因此建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵，不同的词里蕴含这不同的不等关系． （1）先表示“的2倍与5的差”为“”，再表示“的3倍”为“”，再用“”连接即可； （2）先表示“，两数的平方差”为“”，再表示“这两数积的2倍”为“”，再用“”连接即可． 【详解】（1）解：由题意得，； （2）解：由题意得，． 20．用不等式表示下列数量关系： (1)的一半比与3的差小； (2)的与6的差小于1； (3)8与的2倍的和是非负数． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查列不等式： （1）正确的翻译句子，列出不等式即可； （2）正确的翻译句子，列出不等式即可； （3）根据非负数是大于等于0的数，列出不等式即可． 【详解】（1）解：； （2）； （3） 21．用不等式表示下列不等关系： (1)a与5的和是正数； (2)b与12的差大于； (3)c的4倍大于或等于8； (4)某市2021年空气质量为优良的天数比2017年的224天多出的天数超过了60． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查列不等式，正确的翻译句子，列出不等式是解题的关键： （1）根据正数是大于0的数，列出不等式即可； （2）根据描述，列出不等式即可； （3）根据描述，列出不等式即可； （4）根据描述，列出不等式即可 【详解】（1）解：； （2）； （3）； （4）设某市2021年空气质量为优良的天数为，则：． 题型八 用一元一次不等式解决问题 22．为了加强体育锻炼，某班计划购买足球和篮球共40个．已知足球和篮球的价格分别为60元/个和90元/个，购买的总费用不超过2800元．该班级至少购买几个足球？ 【答案】27个 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的实际应用．设购买足球有个，则购买篮球个，根据“购买的总费用不超过2800元．”列出不等式，即可求解． 【详解】解：设购买足球有个，则购买篮球个，由题意得， ， 解得：， 因为为整数， 所以的最小值取27． 答：至少购买27个足球． 23．为了让更多的同学参与到课外活动中去，某校计划购买羽毛球拍和乒乓球拍这两种体育用品．已知商店每副羽毛球拍的售价是50元，每副乒乓球拍的售价是42元，如果该校要购进羽毛球拍和乒乓球拍共100副，且总费用不超过4500元，那么该校最多能购进羽毛球拍多少副？ 【答案】该校最多能购进羽毛球拍37副． 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用．设该校购进羽毛球拍x副，则购进乒乓球拍副，根据“总费用不超过4500元”列出一元一次不等式即可求解． 【详解】解：设该校购进羽毛球拍x副，则购进乒乓球拍副， 根据题意，得， 解得， 因为x为非负整数， 所以x的最大值为37． 答：该校最多能购进羽毛球拍37副． 24．某中学八年级师生计划包车到研学基地参加社会实践活动，某长运公司有型、型两种客车，已知型客车每辆租金1250元，型客车每辆租金1000元．学校根据实际情况，计划租用两种客车共8辆．设租用型客车辆，根据要求回答下列问题： (1)完成下表（用含的式子表示）： 车型 车辆数/辆 租金/元 型客车 型客车 (2)若要保证租车费用不超过9000元，最多租用型客车多少辆？ 【答案】(1)；， (2)若要保证租车费用不超过9000元，最多租用型客车4辆 【分析】本题主要考查一元一次不等式的应用，解题的关键是理解题意； （1）根据题意可直接进行求解； （2）由（1）及题意可列不等式为，然后求解即可． 【详解】（1）解：由题意得： 车型 车辆数/辆 租金/元 型客车 型客车 （2）解：由题意，得， 解得． 答：若要保证租车费用不超过9000元，最多租用型客车4辆． 题型九 求不等式组的解集 25．解不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来． 【答案】；见解析 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小无解”的原则是解答此题的关键．需要注意的是：如果是表示大于或小于号的点要用空心圆圈，如果是表示大于等于或小于等于号的点要用实心圆点．分别求解两个不等式，得到不等式组的解集，然后表示在数轴上即可． 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为：， ∴表示在数轴上为： 26．解不等式组：，并写出它的所有整数解． 【答案】，不等式组的整数解，，0，1，2 【分析】本题主要考查解一元一次不等式组和不等式组的整数解，分别求出每一个不等式的解集，根据口诀“大小小大中间找”确定不等式组的解集，再在解集内确定其整数解即可． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 所以不等式组的解集是， 所以不等式组的整数解，，0，1，2． 27．求不等式的解集． 解：根据“同号两数相乘，积为正”，得 ①   或② 解不等式组①，得， 解不等式组②，得， 所以原不等式的解集为或． 请你仿照上述方法求不等式的解集： ． 【答案】 【分析】根据“异号两数相乘，积为负”，将原不等式拆分为两个不等式组，分别求解后再合并解集． 【详解】解：根据“异号两数相乘，积为负”，得 ① ② 解不等式组①： 由得​； 由得； 两个解集没有公共部分，故不等式组①无解． 解不等式组②： 由得​； 由得； ∴不等式组②的解集为． 因此，原不等式的解集为． 【点睛】本题考查了一元一次不等式组的解法和转化思想，解题关键是根据 “异号得负” 将原不等式拆分为两个不等式组，并准确求解每个不等式组． 题型十 求一元一次不等式组的整数解 28．不等式组的所有整数解的和为（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】B 【分析】先解每个不等式，得到解集的范围，然后找出所有整数解，并求和即可． 本题考查了不等式组的解法，熟练掌握解不等式组是解题的关键． 【详解】解：解不等式组：， 解第一个不等式 ，得 ， 解第二个不等式 ，得， ∴ 不等式组的解集为 整数解为 和为， 故选：B． 29．已知，则关于的不等式组的所有整数解的积是 ． 【答案】 【分析】本题考查的知识点是求不等式组的整数解，解题关键是熟练掌握一元一次不等式组的解法． 先求出不等式组的解集，结合的取值范围找到所有整数解并求积即可． 【详解】解：由可得， ， 不等式组的解为，所有整数解为、、， 故所有整数解的积是． 故答案为：． 30．解不等式组：，并求出它所有的整数解的和． 【答案】不等式组的解集为，它所有的整数解的和为． 【分析】本题主要考查求一元一次不等式组的整数解，解此题的关键在于熟练掌握求解一元一次不等式组的一般步骤．先分别求出每个不等式的解，再求不等式组的解集，在解集中找出整数解，最后求和即可． 【详解】解：解不等式组：， 解不等式①得 ， 解不等式②得， 不等式组的解集为：， 它所有的整数解为：， 它所有的整数解的和为：． 题型十一 由一元一次不等式组的解集情况求参数 31．若关于x的不等式组，恰有3个整数解，则字母a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了根据不等式组的情况求参数，先求出不等式组的解集，再根据恰有3个整数解确定具体整数解，最后结合解集边界确定的取值范围，需注意边界值的取舍． 【详解】解：∵不等式组， ∴不等式组的解集为， ∵不等式组恰有3个整数解， ∴这3个整数解为1、0、， ∴． 故选B． 32．关于x的不等式组的整数解只有4个，则m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式的解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．先分别求出每一个不等式的解集，得到不等式组的解集，再根据整数解的个数得出关于的不等式，解之即可． 【详解】解：解不等式，得． 解不等式，得． 不等式组的解集为． 整数解只有4个，且， 整数解为． ． 故答案为：． 33．我们约定：不等式组，，，的“长度”均为，不等式组的整数解称为不等式组的“整点”．例如：的“长度”，“整点”为，0，1，2． 根据该约定，解答下列问题： (1)不等式组的“长度”________；“整点”为________； (2)若不等式组的“长度”，求a的值； (3)关于y的不等式组恰有4个“整点”，直接写出m的取值范围________． 【答案】(1)；， (2) (3) 【分析】本题考查解一元一次不等式组及求不等式组的整数解，正确理解“长度”与“整点”的定义，并分类讨论是解题关键． （1）先解不等式组，求出不等式组的解集，根据及“整点”的定义即可得答案； （2）先解不等式组确定解集为，然后根据题意求解即可； （3）用表示不等式组的解集，根据恰有4个“整点”列不等式组求出解集即可得答案． 【详解】（1）解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为， ∴，整点为， 故答案为：；，； （2）解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为， ∵， ∴， 解得：； （3）解： 解得：， ∵关于y的不等式组恰有4个“整点”， ∴ ∴． 题型十二 不等式组和方程组结合的问题 34．已知，且，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解二元一次方程组，解不等式（组），熟练掌握解二元一次方程组的方法是关键． 先根据加减消元法解二元一次方程组，再将值代入，求不等式组即可得出答案． 【详解】解：， ，得 解得：， 将代入①，得， 解得：， ， ， ， ． 故选A． 35．若方程组的解满足，则k的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解和解一元一次不等式组的应用，方程组中两方程相减求得，由求出k的取值范围即可． 【详解】解：， 得，， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 36．若一元一次方程的解也是一元一次不等式组的解，则称此一元一次方程为该不等式组的子集方程． (1)给出下列方程： ①； ②； ③． 其中为不等式组的子集方程的是 　　（填序号）； (2)已知关于的不等式组． ①若方程是该不等式组的子集方程，求的取值范围； ②若方程，都不是该不等式组的子集方程，则的取值范围是 　　． 【答案】(1)②③ (2)①；②或 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，解一元一次方程，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． （1）分别求出每个方程的解和不等式组的解集，根据新定义求解即可得出答案； （2）①解不等式组及一元一次方程，根据子集方程的概念列出关于的不等式组，解之可得答案；②根据子集方程的概念可得答案． 【详解】（1）解：①的解为， ②的解为， ③的解为， 由得， 由得：， 所以不等式组的解集为， 其中是不等式组的解的有，， 所以为不等式组的子集方程的是②③， 故答案为：②③； （2）①由得：， 由得：， 解方程得， 由题意知，， 解得； ②方程，都不是该不等式组的子集方程， 或，即， 故答案为：或． 题型十三 列一元一次不等式组 37．若干名学生乘船．若每条船坐人，则人无船坐；若每条船坐人，则空一条船，还有船不空也不满，设有条船，则可列不等式组为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次不等式组，关键是正确理解题意，找出题目中的不等关系． 根据设有条船，又根据“每条船坐人，则人无船坐”可得学生有人，再根据“每条船坐人，则空一条船，还有船不空也不满”列出不等式组即可． 【详解】解：∵设有条船，若每条船坐人，则人无船可坐， ∴学生总人数为人． ∵每条船坐人，则空一条船，还有船不空也不满， ∴使用条船，其中坐满的船数为条， ∴最后一条船的人数为人． ∵最后一条船不空也不满， ∴最后一条船的人数大于人，小于人， 即：， 不等式组为． 故选：C． 38．“双减”政策实施之后，某校为丰富学生的课外生活，现决定增购篮球和排球共30个，购买资金不超过3600元，且购买篮球的数量不少于排球数量的一半，若每个篮球150元，每个排球100元．求共有几种购买方案？设购买篮球个，可列不等式组为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的应用，设购买篮球x个，则购买排球个，根据购买资金不超过3600元、购买篮球的数量不少于排球数量的一半，即可得出关于x的一元一次不等式组． 【详解】解：设购买篮球x个，则购买排球个， 由题意得， 故选：C． 39．某校为了培养学生阅读的习惯，准备把一些书分给学生阅读，若每人分3本，则多10本；若每人分5本，则最后一人分到了书但不到3本书．共有多少学生？现设一共有x名学生，则可列不等式组为 ． 【答案】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式组．设一共有x名学生，根据如果每人分3本，则多10本，共本书；如果每人分5本，那么最后一人分到的书是，可列出不等式组． 【详解】解：设一共有x名学生，列不等式组为： ． 故答案为：． 题型十四 一元一次不等式组的实际问题 40．如图，A，B两地间的公路长，其中有一段长的施工道路，M距离A地甲、乙两辆轿车分别从A，B两地出发，沿该公路相向而行，乙车比甲车晚出发在非施工道路其限速情况如图所示，甲车始终以的速度行驶，乙车始终以的速度行驶；在施工道路，两车均以的速度行驶． (1)若 ①甲车出发时，甲车行至______处，乙车行至______处；填“M”“N”或“的中点” ②甲车行至的中点时，乙车行驶的时间为______h (2)已知两车在P处相遇． ①若P与N重合，求V的值； ②若P在非施工道路上不与M，N重合，直接写出V的取值范围． 【答案】(1)①M，N；② (2)①，②或 【分析】①根据题意，分别得到，，，，根据甲乙两车的速度，即可得到两车行驶的距离，即可得到结果； ②根据甲车在段和段的速度不同，得到甲车的行驶时间，结合乙车比甲车晚出发，得到乙车所用时间； ①两车在P处相遇与N重合，分别求出甲乙所用的时间，从而得到乙车的速度； ②分类讨论相遇点在上，分别表示甲乙所行驶的路程，根据总路程为，得到等式，表示出速度，同时结合限速的要求，得到结果． 本题考查了一元一次方程的应用，一元一次不等式组的应用，以及路程、速度、时间之间的关系的应用，正确理解题意是解题的关键． 【详解】（1）解：①依题意，，，， ， 甲车从A地出发，始终以的速度行驶， 甲车2小时共行驶了， 甲车出发2小时，行至M处， 乙车从B地出发，比甲车晚出发小时，以的速度行驶， 乙车共行驶了， 乙车行至N处， 故答案为：M，N； ②甲车行至的中点时，所用时间为：， 此时乙车行驶所用时间：， 故答案为：； （2）①两车在P处相遇，P与N重合， 甲车所用时间为， 此时乙车所用时间为， 乙车的速度为； ②P在非施工道路上不与M，N重合， 若P在上，设甲的行驶时间为t，则， 此时甲行驶路程为，乙行驶的路程为， ， ， ， 解得， 限速为， ， 若P在上，设甲的行驶时间为t，， 则， 此时甲行驶路程为，乙行驶的路程为， ， ， ， 解得， 限速为， ， 综上所述或． 41．某社区开展“垃圾分类”入户宣传活动，需要准备两种宣传物资：A物资（宣传折页）每份成本1.5元，B物资（定制垃圾袋）每份成本3元．已知本次活动共需准备200份物资，为了达到更好的宣传效果，要求B物资的数量不低于A物资数量的一半． (1)若同时采购A、B两种物资刚好花了450元，请问A物资和B物资各买了多少份？ (2)为控制预算，A物资和B物资共花费的成本不超过420元，在满足所有条件的情况下，A物资最多可以买多少份？ 【答案】(1)A物资买了100份，B物资买了100份； (2)133 【分析】本题考查了一元一次方程和一元一次不等式组的应用，根据关系列出等式和不等式即可； （1）设A物资买了份，B物资买了份；列出方程，求解即可；             （2）设A物资买了份，B物资买了份；列出不等式，再根据B物资的数量不低于A物资数量的一半，列出不等式即可，求解即可. 【详解】（1）解：设A物资买了份，B物资买了份； ， 解得：， B物资：， 答：A物资买了100份，B物资买了100份； （2）设A物资买了份，B物资买了份； ， 解得：， ∵B物资的数量不低于A物资数量的一半， ∴，   解得：， ∴， ∴A物资最多可以买133份. 42．中秋节前，某超市第一次购进A，B两种月饼礼盒共100个，上市一周，全部售空，两种礼盒共获利4600元．如表列出了两种礼盒的进价与售价： 进价（元/个） 售价（元/个） A礼盒 150 220 B礼盒 100 140 (1)根据上表，求该超市第一次购进A，B礼盒各多少个； (2)根据第一次的销售情况，该超市决定第二次购进A，B两种礼盒共100个，两种礼盒的进价均不变．由于A礼盒特别畅销，超市计划比第一次多购进A礼盒m个，A礼盒的售价比第一次的售价提高20元，B礼盒的售价也比第一次的售价提高、在第二次购进的礼盒全部售空情况下，使得第二次的总利润至少比第一次的总利润多2060元，且第二次购进礼盒总成本不超过12100元时，请通过计算说明该超市有几种进货方案？ 【答案】(1)第一次购进A礼盒20个，B礼盒80个 (2)该超市有8种进货方案 【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组． （1）设该超市第一次购进x个A礼盒，则购进个B礼盒，根据该超市第一次购进的A，B两种礼盒全部售出后共获利4600元，可列出关于x的一元一次方程，解之可得出x的值（即该超市第一次购进A礼盒的数量），再将其代入中，即可求出该超市第一次购进B礼盒的数量； （2）根据“第二次的总利润至少比第一次的总利润多2060元，且第二次购进礼盒总成本不超过12100元”，可列出关于m的一元一次不等式组，解之可得出m的取值范围，再结合m为正整数，即可得出该超市共有8种进货方案． 【详解】（1）解：设A种礼盒x个，则B种礼盒个，由题意得： 解得， 则 答：第一次购进A礼盒20个，B礼盒80个； （2）解：由题意得 解得， ∴该超市有8种进货方案． 题型十五 一元一次不等式组的新定义问题 43．定义：若不等式组的解集是，且满足，则称该不等式组的解集是一个“对称集”．若关于x的不等式组的解集是一个“对称集”，求m的值． 【答案】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，掌握“对称集”的定义是解答此题的关键．解每个不等式得出，根据“对称集”的定义得出，解方程即可． 【详解】解：解不等式，得， 解不等式，得， ∴不等式组的解集为， ∵该不等式组的解集是一个“对称集”， ∴， 解得． 44．对于有理数x，y，定义一种新运算，规定：． (1)求的值． (2)若关于正数m的不等式组恰好有3个整数解，求k的取值范围． 【答案】(1)13 (2) 【分析】本题考查新定义运算、解一元一次不等式组、由一元一次不等式组的整数解求参数，注意分情况讨论是解题的关键． （1）根据新定义，将x，y的值代入代数式即可； （2）分两种情况：，，根据新定义列不等式组，求得m的取值范围，再根据不等式组整数解的个数求k的取值范围即可． 【详解】（1）解：， ； （2）解： ， 可变形为， 解得； 当时，解得， 此时不等式组无解，不合题意； 当时，解得， 此时可变形为， 解得， ， 原不等式组变形为， 原不等式组恰好有3个整数解， 原不等式组的解集为，3个整数解为：2，3，4， ， 解得． 45．定义：对于实数，，若满足（为常数），则称与是关于的“关联数”． (1)已知3与是关于2的“关联数”，求的值； (2)已知与是关于3的“关联数”，求的值； (3)已知与是关于的“关联数”，若关于，的不等式组中的整数解恰为1，2，3，求的取值范围． 【答案】(1)1 (2) (3) 【分析】（1）根据“关联数”的定义，列一元一次方程求解即可； （2）根据“关联数”的定义，列出方程整理得出，利用平方和绝对值的非负性，求出、的值，代入计算的值即可； （3）根据“关联数”的定义，得出，代入不等式组整理得出，根据不等式组的整数解的情况，得出，求解综合得出的取值范围即可． 【详解】（1）解：∵3与是关于2的“关联数”， ∴，即， ∴； （2）解：∵与是关于3的“关联数”， ∴，整理得：， 又∵，， ∴，， ∴，， ∴； （3）解：∵与是关于的“关联数”， ∴， ∴， 把代入不等式组得：， 整理得：， ∵关于，的不等式组中的整数解恰为1，2，3， ∴， 解得：， ∴． 【点睛】本题考查了新定义、列一元一次方程求解、平方和绝对值的非负性、由不等式组解集的情况求参数范围，理解题意、正确列式求解是解题的关键． 基础巩固通关测 1．（25-26七年级上·北京海淀·期末）若，则下列各式中正确的是(　　) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查不等式的基本性质，关键是熟练掌握不等式的三个基本性质：不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变；不等式两边乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．首先由已知条件推导得出，再根据不等式的性质逐一分析各选项即可判断对错． 【详解】解：， ． 对于选项A：取特殊值，，满足，但，与矛盾，故A选项错误； 对于选项B：根据不等式性质1，两边同时减去9，不等号方向不变， ，故B选项错误； 对于选项C：根据不等式性质1，两边同时加上，不等号方向不变， ，即，故C选项正确； 对于选项D：根据不等式性质3，两边同时乘以(负数)，不等号方向改变， ，故D选项错误． 故选：C． 2．（24-25七年级下·北京海淀·期中）已知，下列不等式中，成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．根据不等式的性质，逐一判断即可． 【详解】解：A．，，故本选项不符合题意； B．，，故本选项不符合题意； C．，，故本选项符合题意； D．，，故本选项不符合题意． 故选：C． 3．（24-25七年级下·北京平谷·期末）给出四个命题：①若，则；②若，则；③若，则；④若，则．其中是真命题的有（　　） A．①③ B．②④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】B 【分析】本题考查命题与定理，不等式的性质，关键是掌握不等式的性质．由不等式的性质，即可判断． 【详解】解：①若，则，故①不符合题意； ②此命题是真命题，故②符合题意； ③若，有可能，例如，时，，但，故③不符合题意； ④此命题是真命题， 其中是真命题的有②④． 故选：B． 4．（24-25七年级下·北京·期中）在2024年某足球职业联赛中，每支球队需要进行30场比赛，胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，某球队在前25场比赛中，负一场，积分超过了53分，设该球队胜了x场，则下列不等关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的应用．根据题意，前25场比赛中负1场，则剩余24场为胜或平．设胜x场，则平场．总积分由胜场分和平场分组成，需满足积分超过53分，建立不等式求解． 【详解】解：设该球队胜了x场，则平场，根据题意得： ． 故选：B 5．（24-25七年级下·北京·期中）关于x的不等式组恰好有5个整数解，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了一元一次不等式组的整数解，表示出不等式组的解集，根据题意找出整数解是解本题的关键． 分别求出不等式组中不等式的解集，利用取解集的方法表示出不等式组的解集，根据解集中整数解有5个，即可得到的范围． 【详解】解：， 由①解得：， 由②解得：， 故不等式组的解集为， 由不等式组的整数解有5个，得到整数解为2，3，4，5，6， ∴， 则的范围为．， 故选：A． 6．（24-25七年级下·北京延庆·期末）m与2的差大于6，用不等式表示为 ． 【答案】 【分析】根据不等式的性质解答即可． 本题考查了不等式的应用，熟练掌握不等式的意义是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得． 故答案为：． 7．（24-25七年级下·北京大兴·期末）不等式组的解集是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的解法，熟练掌握解一元一次不等式的方法是关键； 先求得不等式组中每个不等式的解集，再取其解集的公共部分即得答案． 【详解】解：解不等式，得， 解不等式，得， ∴原不等式组的解集是； 故答案为：． 8．（24-25七年级下·北京东城·期末）若关于的方程的解大于2且小于4，则的整数值为 ． 【答案】5 【分析】本题考查了解一元一次方程，解不等式． 先求出x关于k的解，再根据“解大于2且小于4”求出k的取值范围，最后找出的整数值即可． 【详解】解：， ∴， ∵关于的方程的解大于2且小于4， ∴， ∴， ∴的整数值为5， 故答案为：5． 9．（24-25七年级下·北京房山·期末）若是关于的一元一次不等式组的一个解，则的值可以是 ．（写出一个即可） 【答案】1 【分析】本题考查了解一元一次不等式组．将代入不等式组中进行计算，即可解答． 【详解】解：将代入中得：，成立； 将代入中得：，即， ∴m的值可以1， 故答案为：1（答案不唯一）． 10．（24-25七年级下·北京延庆·期中）若关于的不等式组的解集为，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查由不等式组解集求参数范围，涉及不等式组的解法，先解不等式组中的不等式，再由不等式组解集即可得到答案．熟练掌握不等式组解法是解决问题的关键． 【详解】解：关于的不等式组， 由①得； 由②得； 关于的不等式组的解集为， ， 故答案为：． 11．（2026·北京·一模）解不等式组：． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握解一元一次不等式组的步骤是解题的关键． 先求出各不等式的解集，再求出它们的公共部分，即可得到不等式组的解集． 【详解】解： 解不等式①得，， 解不等式②得，， 所以不等式组的解集为． 12．（25-26九年级上·北京顺义·期中）解不等式组：． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，先分别计算出每个不等式的解集，再取两个不等式的公共部分解集即可． 【详解】解：， 由得：，解得， 展开②得：，解得， ∴不等式组的解集为：． 13．（24-25七年级下·北京·自主招生）不等式的方框中是一个自然数，要使不等式成立，方框中最大可以填多少？ 【答案】5 【分析】设方框中是一个自然数为x，则，解不等式解答即可． 本题考查了不等式的应用，熟练掌握解不等式是解题的关键． 【详解】解：设方框中是一个自然数为x，则， 解得， 其自然数解为， 故最大自然数为5． 故方框中的最大自然数是5． 14．（24-25七年级下·北京怀柔·期末）在数学课上，小明同学在解不等式，请你来帮他填出空白的过程． 解：第一步：去分母，得________________； 第二步：去括号，得； 第三步：移项，得________________； 第四步：合并同类项，得； 第五步：系数化1，得________________． 请你写出系数化1的依据是：________________． 【答案】见解析 【分析】本题考查了解一元一次不等式．根据解不等式的步骤和不等式的性质填空即可． 【详解】解：第一步：去分母，得； 第二步：去括号，得； 第三步：移项，得； 第四步：合并同类项，得； 第五步：系数化1，得． 请你写出系数化1的依据是：不等式基本性质3． 15．（24-25七年级下·北京门头沟·期末）已知关于的不等式组的所有整数解的和为7，求的取值范围． 以下是小明的解法： 第一步：求的解集 第二步：建立的不等式（组） 第三步：求的取值范围 解不等式①得：， 解不等式②得：， 此不等式组的解集为： 所有整数解的和为7， 这两个整数解一定是3和4， ， __________ (1)将第三步的答案补全； (2)老师说“小明的想法很好，但是在第二步的分析过程中，只列出了其中一种方案，还不够全面，可以借助数轴分析一下”．请将剩下的方案补全，并求出的取值范围． 【答案】(1)7，9 (2) 【分析】本题主要考查根据不等式组整数解的和求参数取值范围，关键是考虑整数解的所有可能组合情况，通过解不等式组求解． 【详解】（1）解：解不等式组， 去分母，得， 解得，， 故答案为：7，9； （2）整数解的和为7，除了3和4这种组合，还有这种组合， 如图， 针对新组合建立不等式， 此时， 去分母，得， 移项合并同类项，得． 能力提升进阶练 16．（24-25七年级下·北京·期末）下列说法不正确的是（） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】本题主要考查了等式的基本性质，解题的关键是掌握等式的基本性质．等式性质：（1）等式的两边同时加上或减去同一个数或字母，等式仍成立；（2）等式的两边同时乘以或除以同一个不为0数或字母，等式仍成立．根据等式的基本性质逐项分析判断即可． 【详解】A．若，两边加得，成立． B．若，则，成立． C．若，当为负数时（如），，不成立． D．若，则的分母大于分子，显然，成立． 故选：C． 17．若关于的不等式组的解集为，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查不等式的解集，理解一元一次不等式组解集的定义是正确解答的关键． 根据一元一次不等式组解集的定义进行解答即可． 【详解】解：关于x的不等式组的解集为，则a的取值范围是． 故选：D． 18．（23-24七年级下·山东德州·期末）五月初五端午节这天，妈妈让小明去超市买豆沙馅和蛋黄鲜肉馅的粽子．豆沙馅的每个卖2元，蛋黄鲜肉馅的每个卖3元，两种的粽子至少各买一个，买粽子的总钱数不能超过15元．则不同的购买方案的个数为（   ） A．12 B．123 C．14 D．15 【答案】C 【分析】本题考查一元一次不等式组的应用．设购买豆沙馅的x个，根据“两种的粽子至少各买一个，买粽子的总钱数不能超过15元”可得，解不等式组即可求出购买豆沙馅的可能个数，再结合总钱数不超过15元，蛋黄鲜肉馅的至少买一个，即可得出不同的购买方案． 【详解】解：设购买豆沙馅的x个，根据题意得： ， 解得：， 当时，，即蛋黄鲜肉馅的可以买1个、2个、3个、4个； 同理，当时，蛋黄鲜肉馅的可以买1个、2个、3个； 当时，蛋黄鲜肉馅的可以买1个、2个、3个； 当时，蛋黄鲜肉馅的可以买1个、2个； 当时，蛋黄鲜肉馅的可以买1个； 当时，蛋黄鲜肉馅的可以买1个； 因此，有（种）不同的购买方案， 故选C． 19．（24-25九年级上·北京东城·月考）已知集合，且，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用集合的性质，进行求解，从而得出答案． 【详解】解：∵， ∴， 表明集合B的所有元素都是集合A中的元素， ∴， 故选：D． 【点睛】本题主要考查的内容是并集的定义和性质的理解，题目比较简单，属于基础题，计算时要仔细，注意不要出错． 20．（24-25七年级下·北京昌平·期末）已知关于的不等式组有以下说法： ①当时，则不等式组的解集是； ②若不等式组的解集是，则； ③若不等式组无解，则； ④若不等式组的整数解只有，0，1，2，则． 其中正确的说法有（    ） A．①③ B．②④ C．①②③ D．①②③④ 【答案】C 【分析】先求出各不等式的解集，再根据各小题的结论解答即可． 【详解】解：关于的不等式组， ①当时，则不等式组的解集是，故本小题正确，符合题意； ②若不等式组的解集是，则，故本小题正确，符合题意； ③若不等式组无解，则，故本小题正确，符合题意； ④若不等式组的整数解只有，0，1，2，则，故本小题错误，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查的是由不等式组的解集情况求参数，熟知解一元一次不等式组的基本步骤是解题的关键． 21．（24-25八年级上·浙江杭州·期末）小滨用元钱去购买笔记本和水笔共件．已知每本笔记本元，每支水笔元，则小滨最多能买的笔记本数是 本． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，设小滨购买了本笔记本，则购买了支水笔，根据小滨买笔记本和水笔的钱数最多为元，可列不等式，不等式的解集为，因为笔记本的数量只能为正整数，所以的值应在解集中取最大整数． 【详解】解：设小滨购买了本笔记本，则购买了支水笔， 根据题意可得：， 解得：， 为正整数， ， 答：小滨最多能买的笔记本数是本． 故答案为： ． 22．（24-25七年级下·北京·期末）定义运算表示求不超过的最大整数．如，，，．若，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查解一元一次不等式组，根据题意得出，即，据此可得，解之即可，解题的关键是根据新定义列出关于的不等式组． 【详解】解：根据题意得： ∴， ∴， ∴则， 解得：， 故答案为：． 23．不等式组的解集是，则m的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，解题的关键是熟练掌握解不等式组的方法和步骤． 先分别求解两个不等式，根据口诀“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”得出不等式组的解集，结合原不等式组的解集是，得出关于m的不等式，求解即可． 【详解】解：， 由①可得：， 由②可得：， ∵原不等式组的解集是， ∴， 解得：， 故答案为：． 24．（24-25七年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）关于的不等式组恰好只有四个整数解，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查解一元一次不等式组．根据题意先解第一个不等式，再对整数解进行分析即可列出关于的不等式继而得到本题答案． 【详解】解：∵不等式组， ∴解不等式①得：， 不等式②整理得：， ∵不等式组恰好只有四个整数解， ∴， ∴， 故答案为：． 25．（24-25七年级下·北京西城·期末）关于x，y的二元一次方程，且当时，． （1）k的值是 ； （2）当时，对于每一个x的值，关于x的不等式总成立，则n的取值范围是 ． 【答案】 3 / 【分析】本题考查了求一元一次不等式的解集、已知字母的值，求代数式的值： （1）将的值代入进去即可求得结果； （2）解有关的不等式，再根据恒成立求有关的不等式； 正确求解是解题的关键． 【详解】解：（1）∵当时，， ∴， 解得：， 故答案为：3； （2）由（1）可得， ∴， 解得：， ∵当时，对于每一个x的值，关于x的不等式总成立， ∴， 解得：， 故答案为：． 26．（24-25七年级下·北京昌平·月考）解不等式，并把解集在数轴上表示出来． 【答案】，见解析 【分析】本题考查的是解一元一次不等式，熟知解一元一次不等式的基本步骤是解题关键． 先去分母，再去括号，移项，合并同类项，把系数化为1，并在数轴上表示出来即可． 【详解】解：， ， ， ， ， 在数轴上表示为： ； 27．（24-25七年级下·北京海淀·期中）当时，若关于的不等式组的解集为，则称为该不等式组的“解集长度”，如不等式组的解集为，则其“解集长度”为． (1)不等式组的“解集长度”是_______； (2)已知关于的不等式组的“解集长度”为0，求应该满足的条件，以及此时不等式组的解集； (3)已知关于的不等式组的解集长度小于9，求的取值范围． 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，熟知解一元一次不等式组的方法是解题的关键． （1）先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集，再根据“解集长度”的定义求解即可； （2）先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集，再根据“解集长度”为0得到关于m的方程，解方程即可得到答案； （3）先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集，再根据“解集长度”为小于9得到关于m的不等式组，解不等式组即可得到答案． 【详解】（1）解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴原不等式组的解集为， ∴原不等式组的“解集长度”是； （2）解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴原不等式组的解集为， ∵关于的不等式组的“解集长度”为0， ∴， 解得， ∴原不等式组的解集为，即原不等式组的解集为； （3）解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴原不等式组的解集为， ∵关于的不等式组的解集长度小于9， ∴， 解得． 28．（24-25七年级下·北京顺义·月考）定义：我们把不等式组解集中的整数叫做这个不等式组的“核”，把解集中整数的个数称为该不等式组的“核数”．例如，不等式组的解集中存在0，1，2，3这4个“核”，这个不等式组的“核数”为4． (1)下列不等式组中，“核数”为2的有________（只填序号） ①    ②    ③ (2)不等式组的“核数”为a，不等式组的“核数”为b． ①若，求整数k的值． ②若关于m，y，z的三元一次方程组的解是正数，直接写出整数k的值． 【答案】(1)① (2)①整数的值为；②整数的值为2 【分析】本题考查了新定义，一元一次不等式组的应用，理解题意，得到正确的不等式组是解题的关键． （1）根据“核数”的定义即可解答； （2）①得到不等式组的“核数”为，再根据即可解答； ②解三元一次方程组得到，，再根据三元一次方程组的解是正数，即可解答． 【详解】（1）解：的解集中存在0，1这2个“核”，这个不等式组的“核数”为2； 的解集中存在无数个“核”，这个不等式组的“核数”为无限； 的解集中存在2这1个“核”，这个不等式组的“核数”为1； 故答案为：①； （2）解：①， 不等式组的解集中有3个“核”，这个不等式组的“核数”为3； 故， ， 不等式组的“核数”为3，即不等式组的整数解有3个， ， 解得， 则整数的值为； ②根据题意可得， ①+③得，， 解得， 把代入③得，， 得， 把，代入②可得，即， 由，得， 关于m，y，z的三元一次方程组的解是正数， 则， ， ， 即， 是不等式组的“核数”，为整数， ， 不等式组的整数解有6个， ， 解得， 则整数的值为2． 29．（24-25七年级下·北京石景山·期末）若关于x的一个一元一次不等式组的解集为（a，b为常数，且），则称为这个不等式组的“解集中点”．若一个一元一次方程的解与一个一元一次不等式组的“解集中点”相等，则称这个一元一次方程为此一元一次不等式组的“中点关联方程”． (1)在方程①，②中，不等式组的“中点关联方程”是________（填序号）． (2)已知不等式组，请写出这个不等式组的一个“中点关联方程”：_________． (3)若关于x的不等式组的“中点关联方程”大于方程的解且小于方程的解，求m的取值范围． 【答案】(1)① (2)（答案不唯一） (3) 【分析】本题考查了解一元一次不等式(组)，一元一次方程的解，理解材料中的不等式组的“中点关联方程”是解题的关键． （1）先分别求出三个方程的解和不等式组的解集，再根据“中点关联方程”的定义即可判断； （2）先求出不等式组的解集，根据关联方程的定义即可求解； （3）先求出不等式组的解集和两个一元一次方程的解，再根据题意列出不等式组，求解即可． 【详解】（1）解：解不等式组得：， 解方程①得：， 故方程①是不等式组的“中点关联方程”； 解方程②得：， 故方程②不是不等式组的“中点关联方程”； 故答案为：①； （2）解：解不等式组得：， ∴这个不等式组的一个关联方程可以是(答案不唯一)． 故答案为：(答案不唯一)； （3）解：解不等式组得：，且，解得：． “解集中点”为． 解方程得：， 解方程得：， ∵关于的不等式组的“中点关联方程”大于方程的解且小于方程的解， ， 解得：，又， 故的取值范围是． 30．（24-25七年级下·北京东城·期末）学校策划了“多读书、读好书、善读书”的主题活动．根据同学们的需求，张老师要为学校图书馆补充一种科普书．某书店的优惠方案如下： 已知该科普书定价30元． (1)当购买数量不超过5本时，张老师应选择优惠方案______； (2)当购买数量超过5本时，张老师如何选择优惠方案？ 【答案】(1)二 (2)当购买数量超过5本但不超过15本时，选择方案二；等于15本时一样；超过15本时，选择方案一 【分析】（1）设需要购书x本，分别计算出购买不超过5本，两家店需要的花费，继而比较可得出答案； （2）设需要购书x本，分别计算出购买超过5本，两家店需要的花费，继而比较可得出答案． 【详解】（1）设需要购书x本，当时 方案一费用= 方案二费用= 故选方案二更优惠 答案为：二 （2）设需要购书x本，当时 方案一费用 方案二费用= 当时 ∴当时，方案一优惠 当时，方案二优惠 ∴当购买数量超过5本但不超过15本时，选择方案二； 等于15本时一样； 超过15本时，选择方案一． 【点睛】本题考查了不等式中的方案问题，解题的关键是读懂题意，由实际问题列出不等式，就是把实际问题转化为数学问题． 31．（24-25七年级下·北京平谷·期末）阅读下列材料： 小明在一本数学杂志上看到一道有意思的数学题：解不等式，根据绝对值的几何意义，到原点距离小于1的点在数轴上集中在－1和＋1之间，如图： 所以，该不等式的解集为． 因此，不等式的解集为或． 根据以上方法小明继续探究了不等式的解集，即到原点的距离大于2小于5的点的集合就集中在这样的区域内，如图： 所以，不等式的解集为－5＜x＜－2或2＜x＜5． 仿照小明的做法解决下面问题： (1)不等式的解集为 ； (2)不等式的解集是 ； (3)不等式的解集是 ． 【答案】(1)－5＜x＜5 (2)－3＜x＜－1或1＜x＜3 (3)0＜x＜4 【分析】（1）参照范例1解答即可； （2）参照范例2解答即可； （3）先把看做一个整体，再参照范例2解答即可． 【详解】（1）解：由范例1可知：不等式的解集就是数轴上到原点的距离小于5的点所对应的数组成的，如下图所示： ∴不等式的解集为：． 故答案为：． （2）由范例2可知：不等式的解集就是由数轴上到原点的距离大于1，而小于3的点所对应的数组成，如下图所示： ∴不等式的解集是或． 故答案为：或． （3）由（1）可知，在不等式中，当把看做一个整体时，的取值范围就是数轴上到原点的距离小于2的点表示的数组成的，如下图所示： ∴， 解得： ， ∴不等式的解集是． 故答案为：． 【点睛】本题的解题要点有以下两点：（1）知道“绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是在数轴上表示这个数的点到原点的距离”；（2）读懂范例，能根据绝对值的几何意义结合每个小题中所给不等式画出对应的图形． 32．（24-25七年级下·北京·期中）2024年4月在北京师大二附中西城实验学校举办的跳蚤市场活动中，初一7班的小何同学购进2022年北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”和残奥会吉祥物“雪容融”作为本次活动的卖品进行销售，售卖所得将进行爱心捐赠，帮助贫困山区的孩子．第一天小何同学将所带的1个“冰墩墩”和3个“雪容融”全部售出，销售总额为96元，其中“冰墩墩”的售价比“雪容融”售价高8元． (1)求每个“冰墩墩”和“雪容融”的售价； (2)看到很多同学都非常喜欢“冰墩墩”和“雪容融”，为了捐赠更多，第二天小何同学又带了这两种吉祥物进行售卖，共卖出10个，若这次销售总额不少于268元，求“冰墩墩”至少销售了多少个？ 【答案】(1)每个冰墩墩售价是30元；每个雪容融的售价是22元 (2)6个 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，一元一次不等式的应用等知识点．找准等量关系正确列出一元一次方程，根据各数量之间的关系正确列出一元一次不等式是解题的关键． （1）设每个雪容融的售价是x元，则每个冰墩墩的售价是元，根据“1个“冰墩墩”和3个“雪容融”销售总额为96元”，可列出关于x的一元一次方程，解之即可． （2）设销售冰墩墩m个，则销售雪容融个，根据“销售总额不少于268元”，可列出关于m的一元一次不等式，解之即可． 【详解】（1）解：设每个雪容融的售价是x元，则每个冰墩墩的售价是元． 根据题意得：， 解得：． 因此，冰墩墩售价为（元） 答：每个冰墩墩售价是30元，每个雪容融的售价是22元． （2）设销售冰墩墩m个，则销售雪容融个， 根据题意得：， 解得：， ∴m的最小值为6． 答：冰墩墩至少销售了6个． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 第四章 一元一次不等式和一元一次不等式组（复习讲义） 1. 理解一元一次不等式、一元一次不等式组的概念，能准确区分一元一次不等式与一元一次方程、一元一次不等式组与方程组的异同，掌握不等式的基本性质，并能熟练运用性质对不等式进行变形（如移项、去分母、去括号、系数化为1），明确变形过程中不等号方向的变化规律。 2. 掌握一元一次不等式的解法，能规范书写解不等式的步骤（去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1），能准确求出一元一次不等式的解集，并能在数轴上表示解集（明确实心圆点与空心圆圈的区别、不等号方向与数轴上点的移动方向的对应关系）。 3.能运用一元一次不等式和一元一次不等式组解决简单的实际问题，包括根据实际问题中的不等关系列出不等式（组），求解并检验解集的合理性，能结合实际情境解释解集的意义，提升运用数学知识解决实际问题的能力。 重点1、不等式 不等式的定义：用符号“＞”、“＜”表示大小关系的式子，叫做不等式，像x≠2这样用符号“≠”表示的不等关系的式子也叫不等式. 常见的不等式基本语言与符号表示 不等式基本语言 符号表示 不等式基本语言 符号表示 不等式基本语言 符号表示 a是正数 a＞0 a是非正数 a≤0 a、b同号 ab＞0 a是负数 a＜0 a是非负数 a≥0 a、b异号 ab＜0 重点2、不等式的解及解集 不等式的解：使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解. 不等式的解集：一般地，一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集. 不等式的解集的表示方法：①用不等式表示；②用数轴表示. 不等式表示 x＞a x＜a x≥a x≤a 数轴表示 【易错点】用数轴上表示不等式的解集时，要注意两点： 1）确定边界点，若边界点表示的数是不等式的解，用实心圆点，若边界点表示的数不是不等式的解，则用空心圆圈； 2）确定方向，小于边界点表示的数时向左画，大于边界点表示的数时向右画. 解不等式的概念：求不等式的解集的过程，叫做解不等式. 重点3、不等式的性质 性质1 不等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变 若a＞b，则a±c＞b±c 性质2 不等式的两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变 若a＞b，c＞0，则ac＞bc（或） 性质3 不等式的两边都乘（或除以）同一个负数，不 等号的方向改变 若a＞b，c＜0，则ac＜bc（或） 【补充说明】运用不等式的性质的注意事项： 1）不等式两边都要参与运算，并且是作同一种运算． 2）不等式两边加或减，乘或除以的数一定是同一个数或同一个式子． 3）在乘(或除以)同一个数时，必须先弄清楚这个数是正数还是负数，如果是负数，不等号要改变方向. 4）所谓不等号方向改变，就是指原来的不等号方向改变成与其相反的方向，如“＞”改变方向后就变成“＜”. 重点4、一元一次不等式 1.一元一次不等式 定义：一般地，不等式只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，不等式的左右两边都是整式，像这样的不等式叫一元一次不等式. 一元一次不等式满足的条件：①不等式的左右两边都是整式；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数是1. 一元一次不等式的一般形式：或. 2.一元一次不等式的解集及表示方法 定义：一元一次不等式的所有解组成的集合，叫做一元一次不等式的解集. 表示方法：1）用不等式表示.2）用数轴表示. 3.解一元一次不等式的一般步骤为： 步骤 具体做法 注意事项 去分母 在不等式两边都乘以各分母的最小公倍数，得到系数为整数的不等式 1）不要漏乘不含分母的项； 2）当分母中含有小数时，先将小数化成整数，再去分母. 3）如果分子是多项式，去分母后要加括号. 去括号 先去小括号，再去中括号，最后去大括号 1)去括号时，括号前的数要乘括号内的每一项，不要漏乘； 2)若括号外是负号时，去掉括号后括号内的各项负号都要改变符号.. 移项 一般把含有未知数的项移到不等式左边，其它项都移到不等式右边 1）移项时不要漏项; 2）将不等式中的项从一边移到另一边要变号，而在不等式同一边改变项的位置时不变号. 合并同类项 把不等式变为、 的形式 1）不要漏项； 2）系数的符号处理要得当. 3）字母及指数保持不变. 系数化为1 将不等式化为的形式 1)不等式两边都除以未知数系数; 2)当系数为负数，不等号的方向发生改变. 【补充说明】在解一元一次不等式时，上述的五个步骤不一定都能用到，并且也不一定按照自上而下的顺序，要根据不等式的形式灵活安排求解步骤. 重点5、一元一次不等式组 1.一元一次不等式组 定义：关于同一个未知数的几个一元一次不等式联立在一起，就组成了一个一元一次不等式组. 2.一元一次不等式组的解集 一元一次不等式组的解集：几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们组成的不等式组的解集．解不等式组就是求它的解集. 【补充】 1）如果不等式的解集无公共部分，就说这个不等式组无解. 2）在求不等式组的解集的过程中，通常是利用数轴来表示不等式组的解集的.确定方法如下表所示： 不等式组 设a＞b 解集 x＞a x＜b 无解 数轴上的表示 口诀 同大取大 同小取小 大大小小无处找 大小，小大中间找 3.解一元一次不等式组的一般步骤 第一步：求出不等式组中各不等式的解集； 第二步：将各不等式的解集在数轴上表示出来； 第三步：在数轴上找出各不等式解集的公共部分，这个公共部分就是不等式组的解集. 重点6、一元一次不等式（组）的实际应用 用一元一次不等式（组）解决实际问题的步骤： 审：认真审题，分清已知量、未知量及其关系，找出题中不等关系要抓住题中的关键字眼，如“大于”、“小于”、“不大于”、“至少”、“不超过”、“超过”等； 设：设出适当的未知数； 列：根据题中的不等关系，列出不等式； 解：解所列的不等式； 验：考虑求出的解是否具有实际意义; 答：实际问题的答案. 一元一次不等式（组）的应用题的关键语句： 1）列不等式解应用题需要以“至少”、“最多”、“不超过”、“不低于”等词来体现问题中的不等关系，因此，建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵． 2）对一些实际问题的分析还要注意结合实际.有些不等关系隐含于生活常识中,如小王用50元去买单价为6元的笔记本，设买x本，求x的取值范围时,其问题中就隐含着所花钱数不能超过50元.由此可得出不等式6x≤50. 3）在设未知数时，表示不等关系的文字如“至少”不能出现，即应给出肯定的未知数的设法，然后在最后写答案时，应把表示不等关系的文字补上． 题型一 不等式的定义 1．下列式子：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦．其中是不等式的有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 2．下列式子：①；②；③；④；⑤．其中不等式有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．下列按要求列出的不等式中，正确的是（   ） A．不是负数，即 B．不大于3，即 C．与4的和是负数，即 D．与3的差是非负数，即 题型二 不等式的性质 4．若，则下列不等式成立的是（   ） A． B． C． D． 5．已知，请用“”或“”填空： （1） ； （2） ； （3） ； （4） ． 6．根据不等式的基本性质，把下列不等式化为“”或“”的形式． (1)； (2)； (3)； (4)． 题型三 不等式的解集 7．请写出满足下列条件的解： （1）的正整数解有 ． （2）的负整数解有 ． 8．下列说法：①是不等式的一个解；②是不等式的一个解；③不等式的解集是．其中正确的有 （填序号）． 9．试比较与的大小． 题型四 求一元一次不等式的解集 10．解不等式：． 11．下面是小星同学解不等式的过程： 解：去分母，得：．．．．．．．．．．．第一步 去括号，得：．．．．．．．．．．．第二步 移项，得：．．．．．．．．．．．．第三步 合并同类项，得：．．．．．．．．．．．第四步 系数化为1，得：．．．．．．．．．．．．第五步 ①小星同学的解答过程从第_______步开始出错； ②请写出你认为正确的解答过程． 12．解下列一元一次不等式． (1)； (2)． 题型五 数轴上表示不等式的解集 13．解不等式：，并把它的解集表示在数轴上． 14．解下列不等式，并把其解集在数轴上表示出来． (1)； (2)． 15．解不等式：，并把解集在数轴上表示出来． 题型六 求一元一次不等式的整数解 16．不等式的最小整数解是（    ） A． B． C．0 D．1 17．不等式的非负整数解的个数有 个； 18．求不等式的负整数解． 题型七 列一元一次不等式 19．用适当的符号表示下列关系： (1)的2倍与5的差比的3倍小； (2)，两数的平方差不小于这两数积的2倍． 20．用不等式表示下列数量关系： (1)的一半比与3的差小； (2)的与6的差小于1； (3)8与的2倍的和是非负数． 21．用不等式表示下列不等关系： (1)a与5的和是正数； (2)b与12的差大于； (3)c的4倍大于或等于8； (4)某市2021年空气质量为优良的天数比2017年的224天多出的天数超过了60． 题型八 用一元一次不等式解决问题 22．为了加强体育锻炼，某班计划购买足球和篮球共40个．已知足球和篮球的价格分别为60元/个和90元/个，购买的总费用不超过2800元．该班级至少购买几个足球？ 23．为了让更多的同学参与到课外活动中去，某校计划购买羽毛球拍和乒乓球拍这两种体育用品．已知商店每副羽毛球拍的售价是50元，每副乒乓球拍的售价是42元，如果该校要购进羽毛球拍和乒乓球拍共100副，且总费用不超过4500元，那么该校最多能购进羽毛球拍多少副？ 24．某中学八年级师生计划包车到研学基地参加社会实践活动，某长运公司有型、型两种客车，已知型客车每辆租金1250元，型客车每辆租金1000元．学校根据实际情况，计划租用两种客车共8辆．设租用型客车辆，根据要求回答下列问题： (1)完成下表（用含的式子表示）： 车型 车辆数/辆 租金/元 型客车 型客车 (2)若要保证租车费用不超过9000元，最多租用型客车多少辆？ 题型九 求不等式组的解集 25．解不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来． 26．解不等式组：，并写出它的所有整数解． 27．求不等式的解集． 解：根据“同号两数相乘，积为正”，得 ①   或② 解不等式组①，得， 解不等式组②，得， 所以原不等式的解集为或． 请你仿照上述方法求不等式的解集： ． 题型十 求一元一次不等式组的整数解 28．不等式组的所有整数解的和为（    ） A． B．0 C．1 D．2 29．已知，则关于的不等式组的所有整数解的积是 ． 30．解不等式组：，并求出它所有的整数解的和． 题型十一 由一元一次不等式组的解集情况求参数 31．若关于x的不等式组，恰有3个整数解，则字母a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 32．关于x的不等式组的整数解只有4个，则m的取值范围是 ． 33．我们约定：不等式组，，，的“长度”均为，不等式组的整数解称为不等式组的“整点”．例如：的“长度”，“整点”为，0，1，2． 根据该约定，解答下列问题： (1)不等式组的“长度”________；“整点”为________； (2)若不等式组的“长度”，求a的值； (3)关于y的不等式组恰有4个“整点”，直接写出m的取值范围________． 题型十二 不等式组和方程组结合的问题 34．已知，且，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 35．若方程组的解满足，则k的取值范围是 ． 36．若一元一次方程的解也是一元一次不等式组的解，则称此一元一次方程为该不等式组的子集方程． (1)给出下列方程： ①； ②； ③． 其中为不等式组的子集方程的是 　　（填序号）； (2)已知关于的不等式组． ①若方程是该不等式组的子集方程，求的取值范围； ②若方程，都不是该不等式组的子集方程，则的取值范围是 　　． 题型十三 列一元一次不等式组 37．若干名学生乘船．若每条船坐人，则人无船坐；若每条船坐人，则空一条船，还有船不空也不满，设有条船，则可列不等式组为（   ） A． B． C． D． 38．“双减”政策实施之后，某校为丰富学生的课外生活，现决定增购篮球和排球共30个，购买资金不超过3600元，且购买篮球的数量不少于排球数量的一半，若每个篮球150元，每个排球100元．求共有几种购买方案？设购买篮球个，可列不等式组为（ ） A． B． C． D． 39．某校为了培养学生阅读的习惯，准备把一些书分给学生阅读，若每人分3本，则多10本；若每人分5本，则最后一人分到了书但不到3本书．共有多少学生？现设一共有x名学生，则可列不等式组为 ． 题型十四 一元一次不等式组的实际问题 40．如图，A，B两地间的公路长，其中有一段长的施工道路，M距离A地甲、乙两辆轿车分别从A，B两地出发，沿该公路相向而行，乙车比甲车晚出发在非施工道路其限速情况如图所示，甲车始终以的速度行驶，乙车始终以的速度行驶；在施工道路，两车均以的速度行驶． (1)若 ①甲车出发时，甲车行至______处，乙车行至______处；填“M”“N”或“的中点” ②甲车行至的中点时，乙车行驶的时间为______h (2)已知两车在P处相遇． ①若P与N重合，求V的值； ②若P在非施工道路上不与M，N重合，直接写出V的取值范围． 41．某社区开展“垃圾分类”入户宣传活动，需要准备两种宣传物资：A物资（宣传折页）每份成本1.5元，B物资（定制垃圾袋）每份成本3元．已知本次活动共需准备200份物资，为了达到更好的宣传效果，要求B物资的数量不低于A物资数量的一半． (1)若同时采购A、B两种物资刚好花了450元，请问A物资和B物资各买了多少份？ (2)为控制预算，A物资和B物资共花费的成本不超过420元，在满足所有条件的情况下，A物资最多可以买多少份？ 42．中秋节前，某超市第一次购进A，B两种月饼礼盒共100个，上市一周，全部售空，两种礼盒共获利4600元．如表列出了两种礼盒的进价与售价： 进价（元/个） 售价（元/个） A礼盒 150 220 B礼盒 100 140 (1)根据上表，求该超市第一次购进A，B礼盒各多少个； (2)根据第一次的销售情况，该超市决定第二次购进A，B两种礼盒共100个，两种礼盒的进价均不变．由于A礼盒特别畅销，超市计划比第一次多购进A礼盒m个，A礼盒的售价比第一次的售价提高20元，B礼盒的售价也比第一次的售价提高、在第二次购进的礼盒全部售空情况下，使得第二次的总利润至少比第一次的总利润多2060元，且第二次购进礼盒总成本不超过12100元时，请通过计算说明该超市有几种进货方案？ 题型十五 一元一次不等式组的新定义问题 43．定义：若不等式组的解集是，且满足，则称该不等式组的解集是一个“对称集”．若关于x的不等式组的解集是一个“对称集”，求m的值． 44．对于有理数x，y，定义一种新运算，规定：． (1)求的值． (2)若关于正数m的不等式组恰好有3个整数解，求k的取值范围． 45．定义：对于实数，，若满足（为常数），则称与是关于的“关联数”． (1)已知3与是关于2的“关联数”，求的值； (2)已知与是关于3的“关联数”，求的值； (3)已知与是关于的“关联数”，若关于，的不等式组中的整数解恰为1，2，3，求的取值范围． 基础巩固通关测 1．（25-26七年级上·北京海淀·期末）若，则下列各式中正确的是(　　) A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·北京海淀·期中）已知，下列不等式中，成立的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·北京平谷·期末）给出四个命题：①若，则；②若，则；③若，则；④若，则．其中是真命题的有（　　） A．①③ B．②④ C．①③④ D．①②③④ 4．（24-25七年级下·北京·期中）在2024年某足球职业联赛中，每支球队需要进行30场比赛，胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，某球队在前25场比赛中，负一场，积分超过了53分，设该球队胜了x场，则下列不等关系正确的是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25七年级下·北京·期中）关于x的不等式组恰好有5个整数解，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6．（24-25七年级下·北京延庆·期末）m与2的差大于6，用不等式表示为 ． 7．（24-25七年级下·北京大兴·期末）不等式组的解集是 ． 8．（24-25七年级下·北京东城·期末）若关于的方程的解大于2且小于4，则的整数值为 ． 9．（24-25七年级下·北京房山·期末）若是关于的一元一次不等式组的一个解，则的值可以是 ．（写出一个即可） 10．（24-25七年级下·北京延庆·期中）若关于的不等式组的解集为，则的取值范围是 ． 11．（2026·北京·一模）解不等式组：． 12．（25-26九年级上·北京顺义·期中）解不等式组：． 13．（24-25七年级下·北京·自主招生）不等式的方框中是一个自然数，要使不等式成立，方框中最大可以填多少？ 14．（24-25七年级下·北京怀柔·期末）在数学课上，小明同学在解不等式，请你来帮他填出空白的过程． 解：第一步：去分母，得________________； 第二步：去括号，得； 第三步：移项，得________________； 第四步：合并同类项，得； 第五步：系数化1，得________________． 请你写出系数化1的依据是：________________． 15．（24-25七年级下·北京门头沟·期末）已知关于的不等式组的所有整数解的和为7，求的取值范围． 以下是小明的解法： 第一步：求的解集 第二步：建立的不等式（组） 第三步：求的取值范围 解不等式①得：， 解不等式②得：， 此不等式组的解集为： 所有整数解的和为7， 这两个整数解一定是3和4， ， __________ (1)将第三步的答案补全； (2)老师说“小明的想法很好，但是在第二步的分析过程中，只列出了其中一种方案，还不够全面，可以借助数轴分析一下”．请将剩下的方案补全，并求出的取值范围． 能力提升进阶练 16．（24-25七年级下·北京·期末）下列说法不正确的是（） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 17．若关于的不等式组的解集为，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 18．（23-24七年级下·山东德州·期末）五月初五端午节这天，妈妈让小明去超市买豆沙馅和蛋黄鲜肉馅的粽子．豆沙馅的每个卖2元，蛋黄鲜肉馅的每个卖3元，两种的粽子至少各买一个，买粽子的总钱数不能超过15元．则不同的购买方案的个数为（   ） A．12 B．123 C．14 D．15 19．（24-25九年级上·北京东城·月考）已知集合，且，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 20．（24-25七年级下·北京昌平·期末）已知关于的不等式组有以下说法： ①当时，则不等式组的解集是； ②若不等式组的解集是，则； ③若不等式组无解，则； ④若不等式组的整数解只有，0，1，2，则． 其中正确的说法有（    ） A．①③ B．②④ C．①②③ D．①②③④ 21．（24-25八年级上·浙江杭州·期末）小滨用元钱去购买笔记本和水笔共件．已知每本笔记本元，每支水笔元，则小滨最多能买的笔记本数是 本． 22．（24-25七年级下·北京·期末）定义运算表示求不超过的最大整数．如，，，．若，则的取值范围是 ． 23．不等式组的解集是，则m的取值范围是 ． 24．（24-25七年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）关于的不等式组恰好只有四个整数解，则的取值范围是 ． 25．（24-25七年级下·北京西城·期末）关于x，y的二元一次方程，且当时，． （1）k的值是 ； （2）当时，对于每一个x的值，关于x的不等式总成立，则n的取值范围是 ． 26．（24-25七年级下·北京昌平·月考）解不等式，并把解集在数轴上表示出来． 27．（24-25七年级下·北京海淀·期中）当时，若关于的不等式组的解集为，则称为该不等式组的“解集长度”，如不等式组的解集为，则其“解集长度”为． (1)不等式组的“解集长度”是_______； (2)已知关于的不等式组的“解集长度”为0，求应该满足的条件，以及此时不等式组的解集； (3)已知关于的不等式组的解集长度小于9，求的取值范围． 28．（24-25七年级下·北京顺义·月考）定义：我们把不等式组解集中的整数叫做这个不等式组的“核”，把解集中整数的个数称为该不等式组的“核数”．例如，不等式组的解集中存在0，1，2，3这4个“核”，这个不等式组的“核数”为4． (1)下列不等式组中，“核数”为2的有________（只填序号） ①    ②    ③ (2)不等式组的“核数”为a，不等式组的“核数”为b． ①若，求整数k的值． ②若关于m，y，z的三元一次方程组的解是正数，直接写出整数k的值． 29．（24-25七年级下·北京石景山·期末）若关于x的一个一元一次不等式组的解集为（a，b为常数，且），则称为这个不等式组的“解集中点”．若一个一元一次方程的解与一个一元一次不等式组的“解集中点”相等，则称这个一元一次方程为此一元一次不等式组的“中点关联方程”． (1)在方程①，②中，不等式组的“中点关联方程”是________（填序号）． (2)已知不等式组，请写出这个不等式组的一个“中点关联方程”：_________． (3)若关于x的不等式组的“中点关联方程”大于方程的解且小于方程的解，求m的取值范围． 30．（24-25七年级下·北京东城·期末）学校策划了“多读书、读好书、善读书”的主题活动．根据同学们的需求，张老师要为学校图书馆补充一种科普书．某书店的优惠方案如下： 已知该科普书定价30元． (1)当购买数量不超过5本时，张老师应选择优惠方案______； (2)当购买数量超过5本时，张老师如何选择优惠方案？ 31．（24-25七年级下·北京平谷·期末）阅读下列材料： 小明在一本数学杂志上看到一道有意思的数学题：解不等式，根据绝对值的几何意义，到原点距离小于1的点在数轴上集中在－1和＋1之间，如图： 所以，该不等式的解集为． 因此，不等式的解集为或． 根据以上方法小明继续探究了不等式的解集，即到原点的距离大于2小于5的点的集合就集中在这样的区域内，如图： 所以，不等式的解集为－5＜x＜－2或2＜x＜5． 仿照小明的做法解决下面问题： (1)不等式的解集为 ； (2)不等式的解集是 ； (3)不等式的解集是 ． 32．（24-25七年级下·北京·期中）2024年4月在北京师大二附中西城实验学校举办的跳蚤市场活动中，初一7班的小何同学购进2022年北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”和残奥会吉祥物“雪容融”作为本次活动的卖品进行销售，售卖所得将进行爱心捐赠，帮助贫困山区的孩子．第一天小何同学将所带的1个“冰墩墩”和3个“雪容融”全部售出，销售总额为96元，其中“冰墩墩”的售价比“雪容融”售价高8元． (1)求每个“冰墩墩”和“雪容融”的售价； (2)看到很多同学都非常喜欢“冰墩墩”和“雪容融”，为了捐赠更多，第二天小何同学又带了这两种吉祥物进行售卖，共卖出10个，若这次销售总额不少于268元，求“冰墩墩”至少销售了多少个？ 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $