专题01 探究新函数图象与性质（3题型3重难）（培优讲义）（全国通用）2026年中考数学二轮复习高效培优系列

该初中数学中考复习讲义聚焦“新函数图象与性质”专题，覆盖中考核心压轴题型，包括实际情境新函数、函数与几何综合、含参新函数三大题型，整合绝对值函数、分段函数、函数变换等重难考点，通过考情精析、核心考点清单、解题思维优化、重难攻坚及分层练测，构建“考点梳理-方法提炼-真题训练-效果检测”完整复习体系，帮助学生系统突破函数探究难点。 亮点在于“口诀化思维突破”与“核心素养导向”设计，如用“先定定义域，再画关键点”培养几何直观，通过典例精析运动轨迹问题发展模型意识，设置“测能力+提能力”分层练习，配合5大关键能力专项训练，确保学生高效掌握数形结合、分类讨论思想，教师可据此精准把控复习节奏，助力学生提升函数综合应用与应考能力。

专题01 探究新函数图象与性质（3题型3重难） 目 录 第一部分 考情精析 锁定靶心 高效备考 第二部分 重难考点深解 深度溯源 扫清盲区 【考点01】 核心考点清单 【考点02】 重难点突破方法 第三部分 解题思维优化 典例精析+方法提炼+变式巩固 【题型01】实际情境新函数 【题型02】函数与几何综合 【题型03】含参新函数 第四部分 重难攻坚 攻克重难点 【重难01】绝对值函数综合 【重难02】分段函数与最值 【重难03】函数变换综合 第五部分 练测提能 效果及时检测 【测能力】→【提能力】 核心考向聚焦 新函数探究是函数板块核心压轴题型，全国卷多以解答题（10–12 分） 呈现，是区分度核心，占函数模块 30%–40% 权重。 关键能力与思维瓶颈 2026 必考：新函数探究 5 大关键能力 1. 图象绘制能力会列表、描点、连线，能抓住顶点、零点、分界点、对称点。 2. 性质抽象能力从图象中提炼：定义域、值域、增减性、对称性、最值、零点。 3. 分类讨论能力处理绝对值、分段、含参三种必考题，不重不漏。 4. 数形转化能力方程解的个数 ⇌ 图象交点；不等式 ⇌ 图象上下位置。 5. 建模应用能力把实际情境、几何动点转化为函数解析式。 学生最常见 6 大思维瓶颈（全国共性） 1.只会算，不会 “看图说话” 瓶颈：能算点，但不会从图象归纳性质，增减性、对称性说不完整。 本质：代数强、几何弱，数形结合断裂 2. 绝对值函数一塌糊涂 瓶颈：不知道 y=∣f(x)∣ 是翻折、y=f(∣x∣) 是对称；去绝对值不会分类。 本质：没有 “分段” 意识。 3. 分段函数只算不画，只画不析 · 瓶颈：会写解析式，但不分析区间，最值只看顶点不看端点。 · 本质：缺少 “区间思维”。 4. 含参函数直接懵：参数 = 混乱 · 瓶颈：一看到 a、k、m 就慌，不会固定参数、画图、找临界。 · 本质：不会用 “静态眼光看动态问题”。 5. 方程解的个数 = 死算，不会数形 · 瓶颈：硬解方程，不画图象；不知道交点个数 = 解的个数。 · 本质：不会用图象代替复杂计算。 6. 动点 / 实际问题：不会建函数 · 瓶颈：找不到自变量，不会把长度、面积、时间写成 y=f(x)。 · 本质：建模能力弱，不会把文字→式子→图象。 思维瓶颈 → 高分突破（极简口诀） 1. 先定定义域，再画关键点；绝对值必分段，分段必看区间； 2. 含参先固定，画图找临界；方程看交点，不等看上下； 3. 性质从图来，答案用图验。 命题前瞻与备考策略 2026 年延续 “重探究、轻计算、强数形、重建模” 导向，难度稳定，侧重思维能力考查。 命题趋势 形式创新化：以新定义、含绝对值、分段、复合、平移 / 翻折变换为主，由一次 / 反比例 / 二次函数组合变形。 能力聚焦化：强化作图、性质探究、参数讨论、实际建模、代数推理，突出 “解析式→图象→性质→应用” 完整思维链。 情境生活化：结合行程、计费、工程、面积、动点等真实场景，考查函数建模与应用。 思想深化化：渗透数形结合、分类讨论、转化化归、函数与方程四大核心思想，衔接初高中思维。 备考策略 1. 夯实基础：熟练一次、反比例、二次函数的图象、性质、变换，这是新函数探究的根基。 2. 专项突破：集中训练含绝对值、分段、复合、含参、变换五类新函数，掌握画图与性质分析方法。 3. 强化数形：养成 “解析式→图象→性质→应用” 的思维习惯，用图象直观破题。 4. 分类讨论：针对含参、分段、绝对值函数，强化分类讨论意识，做到不重不漏。 5. 限时演练：按中考题型限时训练，提升作图速度、性质分析、综合应用能力。 ◇考点 01 核心考点清单 考点 考查要点 易错警示 函数定义与定义域 自变量取值范围、分式 / 二次根式有意义、实际限制 忽略分母≠0、根号≥0、实际边界 图象绘制 列表（关键点）、描点、连线（平滑 / 分段） 漏画顶点 / 端点、连线不规范、分段错误 性质探究 对称性（轴 / 中心）、增减性（分段）、最值、值域、零点 增减性不分段、最值误判端点、对称性判断错误 含绝对值函数 y=∣f(x)∣、y=f(∣x∣) 图象翻折 / 对称 翻折后增减性 / 最值分析错误、去绝对值不分类 分段函数 分段解析式、图象拼接、连续性、最值 分段边界点遗漏、区间划分错误、最值不比较 函数变换 平移、翻折、对称、旋转后解析式与图象 平移 “左加右减、上加下减” 混淆、翻折后符号错误 含参新函数 参数对图象 / 性质的影响、分类讨论、取值范围 分类不全面、临界值遗漏、数形结合转化失误 函数与方程 / 不等式 图象交点、解的个数、解集区间 数形结合不熟练、漏解 / 多解、区间书写错误 函数与几何综合 动点坐标、长度 / 面积函数、相似 / 全等 几何关系转函数失误、定义域范围错误 ◇考点 02 重难点突破方法 1.含绝对值函数（必考） 解题关键：去绝对值→分类讨论→分段画图→析性质。 2.分段函数（高频） 解题模板：分段写解析式→分段画图象→分段析性质→分段求最值→端点比较。 注意：分段点函数值必须连续（左右相等），否则图象断开。 3.函数变换（核心） 平移：左加右减自变量，上加下减常数项（顶点式更便捷）。 翻折：x 轴翻折→a 变号、顶点纵坐标变号；y 轴翻折→x 换 - x。 对称：关于原点对称→x 换 - x、y 换 - y；关于 y=x 对称→x、y 互换。 4.数形结合思想（灵魂） 性质看图象：增减看升降、对称看对折、最值看顶点 / 端点、零点看交点。 问题转图象：方程解⇔图象交点、不等式解集⇔图象上下关系、参数范围⇔图象位置 ◇题型 01 实际情境新函数 方｜法｜提｜练 审情境：找自变量 x（时间 / 路程 / 数量）、因变量 y（费用 / 面积 / 速度）。 建模型：分段 / 复合写出解析式（注意定义域）。 画图象 + 析性质：确定最值、最优方案、临界值。 答问题：结合实际意义作答（取整、范围、合理性）。 思维口诀：情境转变量，分段写解析式，图象找最优。 典｜例｜精｜析 典例1（2025·四川攀枝花·中考真题）跨学科主题学习活动中，某探究小组对“弹珠在水平轨道上运动快慢、路程随时间变化的关系”开展深入探究．先设计方案，再进行实验，利用所学知识对实验数据进行分析，并进一步应用． 【设计实验方案】如图1所示，设计一个由倾斜和水平轨道组成的实验装置，将弹珠从倾斜轨道顶端由静止释放．从弹珠运动到点处开始，用计时器、测速仪等测量并记录弹珠在水平轨道上的运动时间、运动快慢、运动路程的数据． 【收集整理数据】 运动时间 0 4 8 12 16 20 … 运动快慢 12 10 8 6 4 2 … 运动路程 0 44 80 108 128 140 … 【数学建模探究】 【猜想】根据表格中的数据分别在图2、图3的平面直角坐标系中描点、连线，观察图象并猜想：与之间的关系可以近似地用______________函数表示，与之间的关系可以近似地用______________函数表示．（选填：一次、二次、反比例） 【检验】根据猜想求出与与之间的函数关系式，并代入一组数据进行验证． 【应用】当弹珠到达水平轨道上点时，前方点处有一辆电动小车以的速度在匀速向前直线运动，若弹珠能追上小车，那么的最大值是多少？ 典例2（2025·贵州遵义·二模）一座桥如图，桥下水面宽度是20米，高是4米．如图，若把桥看作是抛物线的一部分，建立如图坐标系． (1)求抛物线的解析式； (2)要使高为3米的船通过，则其宽度须不超过多少米？ (3)如图2，桥拱所在的函数图象是抛物线，该抛物线在轴下方部分与桥拱在平静水面中的倒影组成一个新函数图象．将新函数图象向右平移个单位长度． ①平移后的函数图象与直线没有交点，结合函数图象，直接写出的取值范围__________． ②直接写出当__________时，平移后的函数图象与直线有三个交点． 参考公式： 变｜式｜巩｜固 变式1（24-25九年级上·北京·月考）如图1，某桥拱截面可视为抛物线的一部分，以O为坐标原点，所在直线为x轴建立平面直角坐标系．在某一时刻，桥拱内的水面宽米，桥拱顶点B到水面的距离是4米． (1)求抛物线对应的函数解析式，并写出自变量x的取值范围； (2)要保证高2.26米的小船能够通过此桥（船顶与桥拱的距离不小于0.3米），求小船的最大宽度是多少？ (3)如图2，桥拱所在的抛物线在x轴下方部分与桥拱在平静水面中的倒影组成一个新函数图象，将新函数图象向右平移个单位长度，平移后的函数图象在时，y的值随x值的增大而减小，结合函数图象，直接写出n的取值范围． 变式2（2025·贵州贵阳·二模）篮球跃动身心，健康点亮生活．小星在距离篮筐7米处投篮，准确命中篮筐，篮球出手时离地的高度为米．已知篮筐中心离地面3米，篮球飞行的轨迹是一条抛物线，且在距离出手点水平方向4米处达到最高点4米．小星同学学习了二次函数之后，建立了如图2所示的直角坐标系，其中出手点的坐标为，篮筐点的坐标为，并求出球的高度关于水平方向运动的距离的二次函数表达式为．    (1)的值为______；的值为______； (2)若在小星将球投出手的同时，防守球员小明立即跑位到小星的正前方进行回防，已知小明起跳时手心离地的最大高度为米．请问小明能否成功将正在空中飞行的球拦截？若能，请说明理由，并求出拦截成功时小明距离小星出手点时的水平距离； (3)如图3，小星同学进一步研究所得到的二次函数的图象性质，他对原二次函数进行优化，使得自变量的取值范围为，并将原二次函数的图象向下平移个单位，得到一个新的二次函数：，新函数图象与轴交于点．点在对称轴右侧的抛物线上，点N在轴上，点在其对称轴上，且到轴的距离为1，并且点位于第一象限，请问是否存在以点F、P、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出所有符合条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由． 变式3（2025·陕西·二模）圆弧形拱桥和抛物线形拱桥是常见的拱桥结构．坐落在河北省赵县洨河上的赵州桥的主桥拱便是圆弧形，北京八景之一“卢沟晓月”中卢沟桥的主桥拱可以近似看作抛物线． (1)如图1左图，甲桥主桥拱是圆弧形，已知跨度，拱顶C到水面的距离为，求这座桥主桥拱的半径； (2)如图1右图，乙桥的主桥拱是抛物线形，若水面宽，拱顶P到水面的距离为，按照如图2所示的方式建立平面直角坐标系，求桥拱所在抛物线的解析式； (3)在图1的基础上，某时刻桥拱和桥拱的桥下水位均上升了，求此时两桥的水面宽度； (4)如图3，将桥拱所在抛物线设为L，L在x轴下方部分与桥拱在平静水面中的倒影组成一个新函数图象．将新函数图象向右平移个单位长度，平移后的函数图象在时，y的值随x值的增大而减小，结合函数图象，直接写出满足条件的整数m的值． ◇题型 02 函数与几何综合 方｜法｜提｜练 设动点：设动点坐标 / 运动时间为 x，表相关线段长。 转函数：用勾股、相似、面积公式将几何关系转化为y=f(x)。 定定义域：由动点范围确定 x 取值。 探究 + 应用：画图、析性质、求最值 / 存在性 / 取值范围。 思维口诀：动定转化，几何转函数，数形破压轴。 典｜例｜精｜析 典例1（2025·辽宁·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴的正半轴相交于点，二次函数的图象经过点，且与二次函数的图象的另一个交点为，点的横坐标为． (1)求点的坐标及的值． (2)直线与二次函数的图象分别相交于点，与直线相交于点，当时， ①求证：； ②当四边形的一组对边平行时，请直接写出的值． (3)二次函数与二次函数组成新函数，当时，函数的最小值为，最大值为，求的取值范围． 典例2（25-26九年级上·辽宁大连·期末）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴分别相交于点A，B（点A在点B的右侧），与y轴交于点D，二次函数的图象经过点A，且与二次函数的图象的另一个交点为C，且点C的横坐标为． (1)求点A的坐标及a，c的值； (2)连接，，点P为抛物线上一点，若时，求点P的坐标； (3)二次函数与二次函数组成新函数，当时，新函数的最小值为，最大值为2，请直接写出t的值． 变｜式｜巩｜固 变式1（25-26九年级上·辽宁本溪·期末）给出如下定义：对于二次函数（其中、、为常数，且，），我们把一次函数叫作该二次函数的“随轴函数”．例如：二次函数的“随轴函数”为．    (1)已知二次函数，求该二次函数的“随轴函数”的表达式： (2)如图，设二次函数的图象交轴于点，交轴于点，它的“随轴函数”的图象为，图象与相交于，两点（点在点的左侧）． ①求，两点的坐标； ②直线与，分别交于点，，与轴交于点．连接，，，当时，且四边形的面积为，求的值； ③若二次函数与它的“随轴函数”组成新函数，若在函数图象上有两点，（与不重合），点的横坐标为，点的横坐标为．当，之间（包含，两点的图象）对应函数的最大值与最小值均不随的变化而变化，求的取值范围． 变式2（24-25九年级下·上海·自主招生）如图，抛物线 与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，有，抛物线顶点D的坐标为 ． (1)求该抛物线的解析式； (2)构造新函数 交y轴于点E． ①若直线与构造的新函数有且只有三个交点，试求t的值． ②是否存在到直线、、距离都相等的点？若存在，求出该点的坐标；若不存在，试说明理由． ◇题型 03 含参新函数 方｜法｜提｜练 分类讨论：按参数正负、临界值（顶点 / 零点 / 分段点） 划分区间。 固定参数：对每类参数，画图、析性质。 综合结论：整合所有情况，得参数取值范围或最值。 思维口诀：参数分类，固定画图，数形定范围。 典｜例｜精｜析 典例1（2025·江苏镇江·中考真题）在平面直角坐标系中，过点作轴的垂线与二次函数（、为常数）的图像交于点、（点在点的左侧），点在直线上，当点满足时，我们称点是该二次函数图像的生长点． (1)二次函数的图像如图所示． ①在的不同取值2、、5中，使该函数图像有生长点的的值是_____； ②已知是该函数图像的生长点，猜想的取值范围，并说明理由． (2)二次函数（h、k为常数）的图像经过点，若是该函数图像的生长点，求该函数的表达式． 典例2（25-26九年级上·辽宁沈阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点． (1)求抛物线的表达式； (2)点在线段上，过作轴于，以为斜边在其右侧作等腰直角三角形． ①若点的横坐标为，请说明点是否落在轴上； ②若点落在该抛物线上，求点的坐标； (3)将抛物线先向右平移3个单位长度，再向上平移个单位长度后，所得新函数记为，当时，，求的值． 变｜式｜巩｜固 变式1（24-25九年级下·湖南长沙·期中）在平面直角坐标系中，我们约定横，纵坐标和为20的点称为“状元点”：例如，，，…都是“状元点”，若某函数图象上存在“状元点”，则把该函数称为“状元函数”．根据该约定，解答下列问题： (1)在下列关于x的函数中，是“状元函数”的是 （填序号）． ① ；②；③． (2)若函数 （，a为常数）图象上有且只有1个“状元点”，试求a的值与相应的“状元点”的坐标； (3)已知抛物线为 ，抛物线关于y轴对称的抛物线为，是“状元函数”，且有两个“状元点”，这两个“状元点”之间的线段长为 ．将抛物线绕点旋转得到新函数，且新函数图象上也存在两个不同的“状元点”，请求出m的取值范围，并用含m代数式表示上的两个“状元点”之间线段的长度． 变式2（2024·辽宁盘锦·三模）我们定义【，，】为函数的“特征数”．如：函数的“特征数”是【2，，5】，函数的“特征数”是【0，1，2】，函数的“特征数”是【0，，0】．    (1)若一个函数的特征数是【1，，1】，将此函数的图象先向左平移2个单位，再向上平移1个单位，得到一个图象对应的函数“特征数”是 ． (2)将“特征数”是【0，，】的函数图象向上平移2个单位，得到一个新函数，这个新函数的解析式是 ． (3)当“特征数”是【1，，】的函数在直线和直线之间的部分（包括边界点）的最高点的纵坐标为5时，求的值． (4)点关于轴的对称点为点，点关于轴的对称点为点．当若（3）中的抛物线与四边形的边有两个交点，且两个交点到抛物线的对称轴的距离之和为3时，直接写出的值．（m为常数） ◇重难 01 绝对值函数综合 方｜法｜提｜练 突破点：先画函数图象，再翻折；结合图象分析。 典｜例｜精｜析 典例1（2025·江苏扬州·一模）通过画出函数图象探究函数性质是学习新函数的一种基本方法，请运用此法判断新函数的图象与一次函数的图象的交点个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 典例2（23-24九年级下·福建福州·月考）请用学过的方法研究一类新函数（为常数，且不等于0）的图象和性质． (1)请完成表格并在给出的平面直角坐标系中画出函数的图象： x … 1 2 3 6 … y … 6 3 2 1 … (2)对于函数，当自变量x的值增大时，函数值y怎样变化？ 变｜式｜巩｜固 变式1（25-26九年级上·浙江杭州·月考）我们定义一种新函数：形如的函数叫做“鹊桥”函数．某数学兴趣小组画出了“鹊桥”函数的图象（如图所示） (1)直接写出经过、、三个点的二次函数表达式； (2)当函数值随的增大而增大时，求的取值范围； (3)当直线与函数的图象有2个交点时，求的取值范围． 变式2（2025·山东泰安·一模）阅读材料： 在学习反比例函数的性质时，通过图象直观感受到反比例函数的图象关于原点对称．小明利用代数方法进行了推导． 证明：在反比例函数的图象上任取一点， 则点A关于原点的对称点B的坐标为． ， ∴点B也在反比例函数的图象上． ∵点A是反比例函数上的任意一点，它关于原点对称的点都在反比例函数的图象上， ∴反比例函数的图象关于原点对称． 问题解决： 下面我们来研究一个新函数． (1)试运用阅读材料提供的方法，证明函数的图象关于 对称； (2)已知点在函数的图象上，且，直接写出x的取值范围是 ． (3)已知函数的图象在函数的图象的下方，求x的取值范围． 变式3（25-26九年级上·河南信阳·期中）对于代数式A、B，定义一种新运算：．现研究新函数的图象与性质，过程如下： (1)根据新运算规则，新函数可改写为： ； (2)在如图的平面直角坐标系中，画出函数y的图象； (3)写出该函数的一条性质： ； (4)①若方程有四个不相等的实数根，则t的取值范围是 ； ②该函数的图象与直线有两个交点，则b的取值范围是 ． ◇重难 02 分段函数与最值 方｜法｜提｜练 突破点：分段画图、分段分析、端点比较最值。 典｜例｜精｜析 典例1（2024·黑龙江大庆·模拟预测）定义：在平面直角坐标系中，有一条直线，对于任意一个函数，与原函数中自变量大于或等于m的部分共同构成一个新的函数图象，则这个新函数叫做原函数关于直线的“镜面函数”．例如：函数的“镜面函数”的解析式为，，，，，函数关于直线的“镜面函数”图象与矩形的边恰好有4个交点，则n的取值范围是 ． 典例2（2025·辽宁葫芦岛·一模）定义：在平面直角坐标系中，是自变量的函数，下面构建一个新函数，当时，，当时，，即，将变换后函数称为原函数的变构函数，例如：二次函数的变构函数为． (1)求一次函数的变构函数的函数表达式； (2)点在反比例函数的变构函数图象上，求的值； (3)已知二次函数和一次函数，点在的变构函数的图象上，过点作轴与的变构函数的图象交于点，设点的横坐标为，长为，当时，求关于的函数表达式； (4)函数的解析式，点、的坐标分别为、，连接，线段与二次函数的变构函数的图象只有一个公共点时，直接写出的值或取值范围． 变｜式｜巩｜固 变式1（2025·辽宁沈阳·模拟预测）在平面直角坐标系中，是关于自变量的函数．给定一个实数，构造一个新函数，当时，，当时，，即，将变换后的函数称为原函数的“界变构函数”．例如：当时，一次函数的“1界变构函数”为． (1)求一次函数的“3界变构函数”． (2)点在反比例函数的“0界变构函数”上，求的值． (3)已知关于的二次函数，点在该二次函数的“界变构函数”上． ①求的值； ②当时，该二次函数的“界变构函数”的取值范围是，求的取值范围． 变式2（2025·辽宁·一模）在平面直角坐标系中，有一条直线．对于任意一个函数图象，把直线左边的部分取相应函数值的，再把直线上的点以及直线右边的部分向上平移4个单位长度，它们组成一个新的函数图象，则这个新函数叫做原函数关于直线的变形函数． 例如：函数关于直线的变形函数为． (1)已知点，，，，其中不在反比例函数关于直线的变形函数图象上的点有________（填字母） (2)一次函数关于直线的变形函数图象与轴相交所夹锐角的正切值为________． (3)二次函数关于直线作变形函数． ①当时，若点在该变形函数的图象上，求的值； ②当时，求该变形函数的最大值； ③若此变形函数图象上只有4个点到轴的距离等于12，请直接写出的取值范围． ◇重难 03 函数变换综合 方｜法｜提｜练 突破点：平移规律 “左加右减、上加下减”，新函数，分析定义域、值域。 典｜例｜精｜析 典例1（2025·山东青岛·中考真题）将二次函数的图象在轴下方的部分以轴为对称轴翻折到轴上方，得到如图所示的新函数图象，下列对新函数的描述正确的是（   ） A．图象与轴的交点坐标是 B．当时，函数取得最大值 C．图象与轴两个交点之间的距离为 D．当时，的值随值的增大而增大 典例2（2025九年级下·浙江·专题练习）在学习一次函数的图象时，课本“合作学习”中提出了一个问题如下：“观察图中各个一次函数的图象，你发现了什么规律？”． 小姜发现，函数“”的图象与“”的图象关于y轴对称，如图所示．小姜观察的很仔细，我们认为：一次函数与的函数图象关于y轴对称，且他们相交于y轴上的点，我们称这样的两个一次函数互为“对称新函数”，理解定义并回答问题： (1)已知一次函数与互为“对称新函数”，那么 ； ． (2)互为“对称新函数”的两个一次函数分别交x轴于点A，点B（点A在点B左侧），交y轴正半轴于点C，若是面积为的等边三角形，求这对一次函数的解析式． 典例3（2025·湖北襄阳·一模）如图，一次函数（m，n为常数，）与反比例函数（k为常数，）的图象相交于，两点． (1)求m，n，k的值； (2)将正比例函数的图象向上平移b个单位长度得到一个新函数的图象，当时，对于x的每一个取值，函数的值总小于新函数的值，请写出b的取值范围． 典例4（2025·山东淄博·中考真题）如图，一条抛物线与轴相交于，两点，与轴相交于点． (1)求抛物线对应的函数表达式； (2)问在抛物线上是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由； (3)将射线绕点逆时针旋转一定角度，使其恰好经过抛物线的顶点，再将抛物线沿直线平移，得到一条新的抛物线（其顶点为）．设这两条抛物线的交点为． ①求旋转角度的正切值； ②当时，求原抛物线平移的距离． 典例5（2025·四川·中考真题）如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线过原点，顶点为P，直线l过原点和点P． (1)求抛物线和直线l的解析式； (2)如图2，将抛物线的顶点沿射线平移，抛物线也随之移动得到抛物线，设顶点为A，其横坐标为，抛物线与抛物线交于点B． ①当时，求点B的横坐标； ②若点B的横坐标为n，请猜想并写出n与t的关系（不写推理过程）； ③如图3，若点B在第一象限内，设与y轴正半轴的夹角为，当时，求点B的坐标． 变｜式｜巩｜固 变式1（2025·福建泉州·一模）如图，二次函数及一次函数，将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新函数，当直线与新图象有4个交点时，m的取值范围是（　　） A． B． C． D． 变式2（24-25九年级上·吉林四平·期中）如图，将二次函数位于x轴的下方的图象沿x轴翻折，得到一个新函数的图象（实线部分）．当新函数中函数y随x的增大而增大时，自变量x的最值范围是 ． 变式3（24-25九年级上·山东烟台·月考）如图，将二次函数位于的下方的图象沿轴翻折，得到一个新函数的图象（实线部分）． （1）当时，新函数值为 ，当时，新函数值为 ；当 时，新函数有最小值； （2）当新函数中函数随的增大而增大时，自变量的范围是 ； （3）直线与新函数图象有两个公共点时，的取值范围 ． 变式4（2025·辽宁铁岭·三模）新定义：若函数图象上存在点，将其横坐标变为原来的a倍，纵坐标不变得到点，则称点B为点A的“a倍横变点”，所有“a倍横变点”构成的函数称为原函数的“a倍横变函数”． 例如：函数上的点的“3倍横变点”为，函数的“3倍横变函数”为． (1)点在一次函数的图象上，点B是点A的“倍横变点”求点B的坐标； (2)点C在反比例函数的图象上，点D是点C的“倍横变点”，若线段的中点E在直线上，求点C的坐标； (3)已知函数． ①求出函数的“2倍横变函数”的表达式； ②在①的条件下，将①中“2倍横变函数”在直线上方的部分沿直线向下翻折，与在直线及下方的部分共同组成新函数F的图象，当直线与新函数F的图象恰好有4个公共点时，求出b的取值范围； 变式5（24-25九年级下·江西宜春·期中）定义把函数的图象绕点旋转，得到新函数的图象，我们称是关于点P的相关函数，函数的图象的顶点纵坐标为m． (1)当时，求新函数的顶点坐标（用含a的代数式表示）； (2)若，当时，函数的最大值为，最小值为，且，求函数的解析式； (3)当，时，函数的图象与直线y=2相交于A，B两点（点A在点B的右侧），与y轴相交于点D．把线段绕点逆时针旋转，得到它的对应线段，若线段与函数的图象有公共点，结合函数图象，请直接写出a的取值范围． 变式6（25-26九年级上·广东广州·期末）已知二次函数（b，c为常数）交x轴于点，两点，交y轴于点C． (1)求该二次函数的解析式； (2)把二次函数的图象在y轴右侧的部分沿x轴翻折，其余部分不变，翻折后得到的图象和原来不变的部分构成一个新的函数图象，点P为新函数图象上y轴右侧一动点，且点P在x轴上方，请求出的取值范围； (3)在（2）的条件下，若直线与新的函数图象有且只有两个交点，请直接写出m的取值范围． 变式7（2026·四川成都·一模）小宇同学在学习了反比例函数的图象（如下图）后，继续对新函数的图象和性质进行探究，请补充以下探究过程： (1)【基本操作】 第一步：对函数图象上的部分点列表如下： … … … … 求出表格中的值为_____． 第二步：通过描点、连线在如图所示的同一直角坐标系中画出的图象．    (2)【观察发现】函数的图象可由的图象平移得到，请描述这个平移的过程： ；若将的图象向左平移2个单位，向上平移1个单位，请写出平移后新函数的解析式： ． (3)【能力提升】函数与的图象都是双曲线，且既是中心对称图形又是轴对称图形．直接写出的对称中心坐标和对称轴的解析式． (4)【拓展应用】若直线与的图象有且只有一个交点，求的值． ◇测能力 1.（25-26九年级上·安徽芜湖·月考）如图，二次函数及一次函数，将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新函数，当直线与新图象有4个交点时，m的取值范围是（   ）． A． B． C． D． 2.（2024·浙江台州·三模）把函数的图象在直线下方的部分沿直线翻折后，再把翻折前后的图象中在直线上方部分叫做新函数图象T．当直线与图象T有四个交点时，n的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·广东广州·月考）我们定义一种新函数：形如的函数叫做“鹊桥”函数．某数学兴趣小组画出了“鹊桥”函数的图象（如图所示），并写出了下列结论： ①图象与坐标轴的交点为，，； ②当时，函数取得最大值； ③当或时，函数值随值的增大而增大； ④若在函数图象上，则也在函数图象上； ⑤当直线与函数的图象有个交点时，则的取值范围是．其中正确的结论有（    ） A．①②③ B．②③④ C．①④⑤ D．①③④ 4．（24-25九年级上·江苏苏州·月考）如图，将二次函数位于轴下方的图象沿轴翻折，再得到一个新函数的图象（图中的实线）．    (1)当时，新函数值为______，当时，新函数值为______； (2)当______时，新函数有最小值； (3)当新函数中函数随的增大而增大时，自变量的范围是______； (4)若关于的方程有且只有两个解，则的取值范围_______． 5.（25-26九年级上·江苏淮安·期末）已知函数，，函数与组成一个新函数，图像记为． (1)若点在图像上，求的值； (2)当时，求函数最大值与最小值的差； (3)点为轴上一动点，过点作轴的垂线，当直线与图像有三个不同的交点时，设这三个交点的横坐标分别为，，，令，则的取值范围是______． 6.（25-26九年级上·福建福州·期中）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴的负半轴相交于点，二次函数的图象经过点，且与二次函数的图象的另一个交点为，点的横坐标为．    (1)直接写出：点的坐标是（________），________，________． (2)直线与二次函数，的图象分别相交于点，，与直线相交于点，当时，求证：． (3)二次函数（）与二次函数（）组成新函数，当时，函数的最大值为，最小值为，求的取值范围． 7.（2025·江苏苏州·一模）如图1，在平面直角坐标系中，四边形为矩形，，D为中点．某反比例函数过点D，且与直线交于点E． (1)点E的坐标为__________________． (2)好奇的小明在探索一个新函数．若点P为x轴上一点，过点P作x轴的垂线交直线于点Q，交该反比例函数图象于点R．若，点P横坐标为关于x的图像如图2，其中图像最低点横坐标分别为． ①求与x之间的函数关系式． ②写出该函数的两条性质． (3)已知 ①若关于x的方程有解，求m的取值范围．小明思考过程如下：由得是关于的二次函数，根据的范围可以求出的取值范围．请你完成解题过程． ②若关于x的方程有解，请直接写出m的取值范围． 8．（2025·辽宁营口·二模）已知函数，定义新函数． (1)若新函数的解析式为，求函数与的解析式； (2)在（1）条件下，点在函数上，过点作轴的平行线交函数的图象于点，且当时． ①若点重合，求的值； ②过点作轴的平行线交函数图象于点，函数，求函数关于的解析式（写出自变量的取值范围）；的面积是否存在最大值，若存在，请直接写出面积的最大值，若不存在请说明理由． 9．（25-26九年级上·辽宁大连·期末）如图1，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于点A，B（点B在点A的左侧），与y轴交于点C，二次函数的图象经过点A，C．    (1)求a，c的值； (2)直线与二次函数，的图象分别交于点M，N，与直线AC交于点P，当时， ①求证：； ②当时，求的长； (3)二次函数与二次函数组成新函数，当时，函数的最大值与最小值的差为，直接写出t的值． 10．（24-25九年级上·辽宁沈阳·期末）经验回顾： 初中阶段，我们先后学习了一次函数，反比例函数和二次函数的有关知识．在研究每一种函数的图象和性质时，都运用了数形结合思想，通过画图，观察，分析，对比等方式，经历了由“特殊”到“一般”的探究过程． 请你运用所学知识和方法解决下列问题： 阅读理解： 二次函数中，具有这样图象特征：开口方向和形状都相同，且顶点在同一直线上的所有函数统称为“同线函数”．例如：同线函数C：（c是常数）中的函数如的图象的开口方向和形状都相同，且顶点都在y轴上． 问题解决： 已知：同线函数M：（m是常数）． (1)填表，特例分析： m的取值 （m是常数） 图象顶点坐标 （ ） （ ） （ ） …… …… …… (2)根据（1）特例分析，求函数（m是常数）的图象顶点所在直线的表达式； (3)已知同线函数K（k是常数）中的一个函数的图象顶点在第二象限内，将该函数沿坐标轴方向平移7个单位后与同线函数M中的一个函数重合，求函数的表达式； (4)若满足（3）中条件且时，将函数的图象在上方的部分沿直线向下翻折后，得到新函数Q．当直线与新函数Q的图象恰有3个公共点时，请直接写出b的值． ◇提能力 1．（2025·江苏淮安·一模）定义把函数：的图象绕点旋转，得到新函数的图象，我们称是关于点的相关函数，函数的图象的顶点纵坐标为． (1)当时，求新函数的顶点坐标（用含a的代数式表示）； (2)若，当时，函数的最大值为，最小值为，且，求函数的解析式； (3)当时，函数的图象与直线相交于，两点（点在点的右侧），与轴相交于点．把线段绕点逆时针旋转，得到它的对应线段，若线段与函数的图象有公共点，结合函数图象，请直接写出的取值范围______． 2．（2025·辽宁抚顺·一模）新定义：在平面直角坐标系中，对于任意两点，，若点，满足，，那么称点T是点A，B的“合作点”，例如：，，当点满足，时，则点是点A、B的“合作点”． (1)已知点，，点T是点A，B的“合作点”，求出点T的坐标； (2)若点是抛物线上一动点，点，点是点A、B的“合作点”，试求出T中的y关于x的函数解析式； (3)把（2）中y关于x的函数解析式向上平移3个单位得到新函数，设新函数与平面直角坐标系中的y轴交于点C，点P是新函数图象上一动点，它的横坐标为m．过点P作轴于点M，当点P与点M都不与点C重合时，以、为边作矩形，设矩形的周长为． ①求l与m的函数解析式； ②若对于l的每一个取值，都有两个m的值与它对应，直接写出l的取值范围． 3．（2025·辽宁铁岭·一模）定义：在平面直角坐标系中，有一条直线，对于任意一个函数，作该函数自变量大于m的部分关于直线的轴对称图形，与原函数中自变量大于或等于m的部分共同构成一个新的函数图象，则这个新函数叫做原函数关于直线的“镜面函数”．例如：图①是函数的图象，则它关于直线的“镜面函数”的图象如图②所示，且它的“镜面函数”的解析式为． (1)直接写出函数关于直线的“镜面函数”的解析式； (2)函数关于直线的“镜面函数”与直线有三个公共点，求m的值； (3)已知抛物线关于直线的“镜面函数”图象上的两点，，当，时，均满足，请结合函数图象，直接写出t的取值范围． 4．（2025·湖南长沙·模拟预测）中考在即，三年磨砺锻锋芒，一朝出鞘定乾坤．在平面直角坐标系中，我们不妨约定将横，纵坐标和为18的点称为“乾坤点”：例如，…都是“乾坤点”，若某函数图象上存在“乾坤点”，则把该函数称为“乾坤函数”．根据该约定，解答下列问题： (1)在下列关于的函数中，是“乾坤函数”的，请在相应题目后面的括号中打“√”，不是“乾坤函数”的打“×”． ①（_______）；②（_______）；③（_______） (2)若函数（为常数）图象上有且只有1个“乾坤点”，试求的值与相应的“乾坤点”的坐标； (3)已知抛物线关于轴对称的抛物线为是“乾坤函数”，且有两个“乾坤点”，这两个“乾坤点”之间的线段长为．将抛物线绕点旋转得到新函数，且新函数图象上也存在两个不同的“乾坤点”，请求出的取值范围，并用含的代数式表示上的两个“乾坤点”之间线段的长度． 5.（2025·辽宁抚顺·一模）如图1，函数的图象与轴交于点A，B与轴交于点，连接，点为线段上任意一点，过点作轴的垂线，垂足为．直线交的图象于点，连接，； (1)求直线的解析式； (2)当的面积等于3时，求点的横坐标； (3)定义：将函数的表达式取绝对值，得到一个新函数，称新函数为原函数的绝对函数．例如：函数的绝对函数为， ①直接写出函数（）的绝对函数的解析式（化简到去掉绝对值符号）； ②如图2，是函数当时的图象，交轴于点．连接，点是直线上的两点，点的横坐标为，点的横坐标为．过点作轴的平行线，交函数图象于点．过点作轴的平行线，交函数图象于点，若点H，J，I，G构成的四边形是平行四边形，求的值． 6 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 探究新函数图象与性质（3题型3重难） 目 录 第一部分 考情精析 锁定靶心 高效备考 第二部分 重难考点深解 深度溯源 扫清盲区 【考点01】 核心考点清单 【考点02】 重难点突破方法 第三部分 解题思维优化 典例精析+方法提炼+变式巩固 【题型01】实际情境新函数 【题型02】函数与几何综合 【题型03】含参新函数 第四部分 重难攻坚 攻克重难点 【重难01】绝对值函数综合 【重难02】分段函数与最值 【重难03】函数变换综合 第五部分 练测提能 效果及时检测 【测能力】→【提能力】 核心考向聚焦 新函数探究是函数板块核心压轴题型，全国卷多以解答题（10–12 分） 呈现，是区分度核心，占函数模块 30%–40% 权重。 关键能力与思维瓶颈 2026 必考：新函数探究 5 大关键能力 1. 图象绘制能力会列表、描点、连线，能抓住顶点、零点、分界点、对称点。 2. 性质抽象能力从图象中提炼：定义域、值域、增减性、对称性、最值、零点。 3. 分类讨论能力处理绝对值、分段、含参三种必考题，不重不漏。 4. 数形转化能力方程解的个数 ⇌ 图象交点；不等式 ⇌ 图象上下位置。 5. 建模应用能力把实际情境、几何动点转化为函数解析式。 学生最常见 6 大思维瓶颈（全国共性） 1.只会算，不会 “看图说话” 瓶颈：能算点，但不会从图象归纳性质，增减性、对称性说不完整。 本质：代数强、几何弱，数形结合断裂 2. 绝对值函数一塌糊涂 瓶颈：不知道 y=∣f(x)∣ 是翻折、y=f(∣x∣) 是对称；去绝对值不会分类。 本质：没有 “分段” 意识。 3. 分段函数只算不画，只画不析 · 瓶颈：会写解析式，但不分析区间，最值只看顶点不看端点。 · 本质：缺少 “区间思维”。 4. 含参函数直接懵：参数 = 混乱 · 瓶颈：一看到 a、k、m 就慌，不会固定参数、画图、找临界。 · 本质：不会用 “静态眼光看动态问题”。 5. 方程解的个数 = 死算，不会数形 · 瓶颈：硬解方程，不画图象；不知道交点个数 = 解的个数。 · 本质：不会用图象代替复杂计算。 6. 动点 / 实际问题：不会建函数 · 瓶颈：找不到自变量，不会把长度、面积、时间写成 y=f(x)。 · 本质：建模能力弱，不会把文字→式子→图象。 思维瓶颈 → 高分突破（极简口诀） 1. 先定定义域，再画关键点；绝对值必分段，分段必看区间； 2. 含参先固定，画图找临界；方程看交点，不等看上下； 3. 性质从图来，答案用图验。 命题前瞻与备考策略 2026 年延续 “重探究、轻计算、强数形、重建模” 导向，难度稳定，侧重思维能力考查。 命题趋势 形式创新化：以新定义、含绝对值、分段、复合、平移 / 翻折变换为主，由一次 / 反比例 / 二次函数组合变形。 能力聚焦化：强化作图、性质探究、参数讨论、实际建模、代数推理，突出 “解析式→图象→性质→应用” 完整思维链。 情境生活化：结合行程、计费、工程、面积、动点等真实场景，考查函数建模与应用。 思想深化化：渗透数形结合、分类讨论、转化化归、函数与方程四大核心思想，衔接初高中思维。 备考策略 1. 夯实基础：熟练一次、反比例、二次函数的图象、性质、变换，这是新函数探究的根基。 2. 专项突破：集中训练含绝对值、分段、复合、含参、变换五类新函数，掌握画图与性质分析方法。 3. 强化数形：养成 “解析式→图象→性质→应用” 的思维习惯，用图象直观破题。 4. 分类讨论：针对含参、分段、绝对值函数，强化分类讨论意识，做到不重不漏。 5. 限时演练：按中考题型限时训练，提升作图速度、性质分析、综合应用能力。 ◇考点 01 核心考点清单 考点 考查要点 易错警示 函数定义与定义域 自变量取值范围、分式 / 二次根式有意义、实际限制 忽略分母≠0、根号≥0、实际边界 图象绘制 列表（关键点）、描点、连线（平滑 / 分段） 漏画顶点 / 端点、连线不规范、分段错误 性质探究 对称性（轴 / 中心）、增减性（分段）、最值、值域、零点 增减性不分段、最值误判端点、对称性判断错误 含绝对值函数 y=∣f(x)∣、y=f(∣x∣) 图象翻折 / 对称 翻折后增减性 / 最值分析错误、去绝对值不分类 分段函数 分段解析式、图象拼接、连续性、最值 分段边界点遗漏、区间划分错误、最值不比较 函数变换 平移、翻折、对称、旋转后解析式与图象 平移 “左加右减、上加下减” 混淆、翻折后符号错误 含参新函数 参数对图象 / 性质的影响、分类讨论、取值范围 分类不全面、临界值遗漏、数形结合转化失误 函数与方程 / 不等式 图象交点、解的个数、解集区间 数形结合不熟练、漏解 / 多解、区间书写错误 函数与几何综合 动点坐标、长度 / 面积函数、相似 / 全等 几何关系转函数失误、定义域范围错误 ◇考点 02 重难点突破方法 1.含绝对值函数（必考） 解题关键：去绝对值→分类讨论→分段画图→析性质。 2.分段函数（高频） 解题模板：分段写解析式→分段画图象→分段析性质→分段求最值→端点比较。 注意：分段点函数值必须连续（左右相等），否则图象断开。 3.函数变换（核心） 平移：左加右减自变量，上加下减常数项（顶点式更便捷）。 翻折：x 轴翻折→a 变号、顶点纵坐标变号；y 轴翻折→x 换 - x。 对称：关于原点对称→x 换 - x、y 换 - y；关于 y=x 对称→x、y 互换。 4.数形结合思想（灵魂） 性质看图象：增减看升降、对称看对折、最值看顶点 / 端点、零点看交点。 问题转图象：方程解⇔图象交点、不等式解集⇔图象上下关系、参数范围⇔图象位置 ◇题型 01 实际情境新函数 方｜法｜提｜练 审情境：找自变量 x（时间 / 路程 / 数量）、因变量 y（费用 / 面积 / 速度）。 建模型：分段 / 复合写出解析式（注意定义域）。 画图象 + 析性质：确定最值、最优方案、临界值。 答问题：结合实际意义作答（取整、范围、合理性）。 思维口诀：情境转变量，分段写解析式，图象找最优。 典｜例｜精｜析 典例1（2025·四川攀枝花·中考真题）跨学科主题学习活动中，某探究小组对“弹珠在水平轨道上运动快慢、路程随时间变化的关系”开展深入探究．先设计方案，再进行实验，利用所学知识对实验数据进行分析，并进一步应用． 【设计实验方案】如图1所示，设计一个由倾斜和水平轨道组成的实验装置，将弹珠从倾斜轨道顶端由静止释放．从弹珠运动到点处开始，用计时器、测速仪等测量并记录弹珠在水平轨道上的运动时间、运动快慢、运动路程的数据． 【收集整理数据】 运动时间 0 4 8 12 16 20 … 运动快慢 12 10 8 6 4 2 … 运动路程 0 44 80 108 128 140 … 【数学建模探究】 【猜想】根据表格中的数据分别在图2、图3的平面直角坐标系中描点、连线，观察图象并猜想：与之间的关系可以近似地用______________函数表示，与之间的关系可以近似地用______________函数表示．（选填：一次、二次、反比例） 【检验】根据猜想求出与与之间的函数关系式，并代入一组数据进行验证． 【应用】当弹珠到达水平轨道上点时，前方点处有一辆电动小车以的速度在匀速向前直线运动，若弹珠能追上小车，那么的最大值是多少？ 【详解】解：【猜想】：描点，连线，画图如下： 猜想：与之间的关系可以近似地用一次函数表示，与之间的关系可以近似地用二次函数表示； 故答案为：一次，二次； 【检验】：设，把代入，得， 解得：， ∴， 验证：当时，，符合题意； 设，把点，代入，得， 解得， ∴， 验证：当时，，符合题意； 【应用】：∵，设， 由题意，得：， ∴， ∴当时，最大为； 故最大为． 典例2（2025·贵州遵义·二模）一座桥如图，桥下水面宽度是20米，高是4米．如图，若把桥看作是抛物线的一部分，建立如图坐标系． (1)求抛物线的解析式； (2)要使高为3米的船通过，则其宽度须不超过多少米？ (3)如图2，桥拱所在的函数图象是抛物线，该抛物线在轴下方部分与桥拱在平静水面中的倒影组成一个新函数图象．将新函数图象向右平移个单位长度． ①平移后的函数图象与直线没有交点，结合函数图象，直接写出的取值范围__________． ②直接写出当__________时，平移后的函数图象与直线有三个交点． 参考公式： 【详解】（1）解：由题意得：水面宽度是20米，高是4米， 结合函数图象可知，顶点，点, 设二次函数表达式为， 将代入函数表达式得， 解得： 二次函数表达式为 即 （2）当时，即 解得：， 答：要使高为3米的船通过，则其宽度须不超过10米． （3）①由题可知倒影函数图象与原函数图象关于轴对称， 倒影函数解析式为： 平移后的原抛物线解析式为： ，当时， 直线经过，要使直线与倒影函数图象没有交点，则 要使直线与平移后的原抛物线没有交点， 则无解 整理得： ，即 解得： 综上所述 ②倒影函数平移后的解析式为： 平移后的函数图象与直线有三个交点 则倒影函数平移后与直线相切 即有两个相等实数根 整理得： ，即 变｜式｜巩｜固 变式1（24-25九年级上·北京·月考）如图1，某桥拱截面可视为抛物线的一部分，以O为坐标原点，所在直线为x轴建立平面直角坐标系．在某一时刻，桥拱内的水面宽米，桥拱顶点B到水面的距离是4米． (1)求抛物线对应的函数解析式，并写出自变量x的取值范围； (2)要保证高2.26米的小船能够通过此桥（船顶与桥拱的距离不小于0.3米），求小船的最大宽度是多少？ (3)如图2，桥拱所在的抛物线在x轴下方部分与桥拱在平静水面中的倒影组成一个新函数图象，将新函数图象向右平移个单位长度，平移后的函数图象在时，y的值随x值的增大而减小，结合函数图象，直接写出n的取值范围． 【详解】（1），且点在轴上， ， 根据抛物线的特点确定抛物线的对称轴为直线， 顶点， ∴设抛物线的解析式为， 把原点代入得， 解得， ∴此二次函数的表达式． （2）二次函数的表达式， 令得： ， 解得：，， 小船的最大宽度为：米． （3）根据平移规律得到点平移后的对应点为，对称轴平移后的对称轴为，点平移后的对应点为，如图： 根据图象性质，得到当或时随的增大而减小， 或， 解得或（舍去）， 故的取值范围是． 变式2（2025·贵州贵阳·二模）篮球跃动身心，健康点亮生活．小星在距离篮筐7米处投篮，准确命中篮筐，篮球出手时离地的高度为米．已知篮筐中心离地面3米，篮球飞行的轨迹是一条抛物线，且在距离出手点水平方向4米处达到最高点4米．小星同学学习了二次函数之后，建立了如图2所示的直角坐标系，其中出手点的坐标为，篮筐点的坐标为，并求出球的高度关于水平方向运动的距离的二次函数表达式为．    (1)的值为______；的值为______； (2)若在小星将球投出手的同时，防守球员小明立即跑位到小星的正前方进行回防，已知小明起跳时手心离地的最大高度为米．请问小明能否成功将正在空中飞行的球拦截？若能，请说明理由，并求出拦截成功时小明距离小星出手点时的水平距离； (3)如图3，小星同学进一步研究所得到的二次函数的图象性质，他对原二次函数进行优化，使得自变量的取值范围为，并将原二次函数的图象向下平移个单位，得到一个新的二次函数：，新函数图象与轴交于点．点在对称轴右侧的抛物线上，点N在轴上，点在其对称轴上，且到轴的距离为1，并且点位于第一象限，请问是否存在以点F、P、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出所有符合条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【详解】（1）解：由题意得，将代入得：， 由题意得：抛物线顶点为， ∴， 解得：； （2）解：能，理由如下： 由（1）得抛物线表达式为：， 由题意得，将代入， 则， 整理得：， 解得：或， ∵或均在范围内， ∴小明能成功将正在空中飞行的球拦截，小明距离小星出手点时的水平距离为米或米； （3）解：存在，理由如下： 由题意得，平移后的函数解析式为：， 即：， 当时，， 解得：或， ∴， 而抛物线对称轴仍为直线， 由题意得：， 设，， ∵以点F、P、M、N为顶点的四边形是平行四边形， ∴①为对角线， 则， 解得：或（舍）， ∴， ∴； ②为对角线， 则， 解得：或（舍）， ∴， ∴； ③为对角线， 则， 解得：或（舍）， ∴， ∴， 综上：点F、P、M、N为顶点的四边形是平行四边形时，点坐标为或或． 变式3（2025·陕西·二模）圆弧形拱桥和抛物线形拱桥是常见的拱桥结构．坐落在河北省赵县洨河上的赵州桥的主桥拱便是圆弧形，北京八景之一“卢沟晓月”中卢沟桥的主桥拱可以近似看作抛物线． (1)如图1左图，甲桥主桥拱是圆弧形，已知跨度，拱顶C到水面的距离为，求这座桥主桥拱的半径； (2)如图1右图，乙桥的主桥拱是抛物线形，若水面宽，拱顶P到水面的距离为，按照如图2所示的方式建立平面直角坐标系，求桥拱所在抛物线的解析式； (3)在图1的基础上，某时刻桥拱和桥拱的桥下水位均上升了，求此时两桥的水面宽度； (4)如图3，将桥拱所在抛物线设为L，L在x轴下方部分与桥拱在平静水面中的倒影组成一个新函数图象．将新函数图象向右平移个单位长度，平移后的函数图象在时，y的值随x值的增大而减小，结合函数图象，直接写出满足条件的整数m的值． 【详解】（1）解：如图，O为圆弧的圆心，连接与交于点D，连接． 在中，，，， ， 解得， 即这座桥的主拱桥的半径为； （2）解：依题意可知：抛物线的顶点为，， 设抛物线的解析式为， 将代入解析式，得， 解得， 抛物线的解析式为； （3）解：如图，水位上升到，连接，连接与交于点E． 在中，，， ， 解得， ，即甲桥此时的水面宽度为； 由，解得，， ∵， 乙桥此时的水面宽度为； （4）解：抛物线在x轴上方的部分与桥拱在平静水面中的倒影关于x轴成轴对称． 平移后函数图象的对称轴是直线， 当或时，y的值随x值的增大而减小， 当时，y的值随x值的增大而减小， 结合函数图象，①当且时满足题意，解得； ②当时满足题意，解得（舍）． 综上所述，m的取值范围是， 所以,整数m的值为5，6，7，8 ◇题型 02 函数与几何综合 方｜法｜提｜练 设动点：设动点坐标 / 运动时间为 x，表相关线段长。 转函数：用勾股、相似、面积公式将几何关系转化为y=f(x)。 定定义域：由动点范围确定 x 取值。 探究 + 应用：画图、析性质、求最值 / 存在性 / 取值范围。 思维口诀：动定转化，几何转函数，数形破压轴。 典｜例｜精｜析 典例1（2025·辽宁·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴的正半轴相交于点，二次函数的图象经过点，且与二次函数的图象的另一个交点为，点的横坐标为． (1)求点的坐标及的值． (2)直线与二次函数的图象分别相交于点，与直线相交于点，当时， ①求证：； ②当四边形的一组对边平行时，请直接写出的值． (3)二次函数与二次函数组成新函数，当时，函数的最小值为，最大值为，求的取值范围． 【详解】（1）解：当时，， 解得， ∴， 将代入，得， ∴， 将，分别代入，得 ， 解得． 答：点的坐标为，的值分别为． （2）①证明：如图， 设直线的解析式为，将，分别代入，得 ，解得， ∴直线的解析式为， 设点E的坐标为 ∵， ∴， 将代入得， 将代入，得， ∴， ， ∴ ②如图 当时，， ∴， ∴， 即，解得． 当时，， ∴， ∴， 即，解得， ∴或． （3）∵次函数与二次函数组成新函数， ∴， ∴当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小； 当时，y随x的增大而增大．且当时，取得最小值． ∵当时，函数的最小值为，最大值为， ∴当时，取得最小值为，即， 解得． ∵时，函数的最大值为， ∴当时，函数的最大值为，即， 解得； 当时，， 解得，或（舍去）， ∴， ∵， ∴， 解得，． 典例2（25-26九年级上·辽宁大连·期末）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴分别相交于点A，B（点A在点B的右侧），与y轴交于点D，二次函数的图象经过点A，且与二次函数的图象的另一个交点为C，且点C的横坐标为． (1)求点A的坐标及a，c的值； (2)连接，，点P为抛物线上一点，若时，求点P的坐标； (3)二次函数与二次函数组成新函数，当时，新函数的最小值为，最大值为2，请直接写出t的值． 【详解】（1）解：由，令， 得 解得， ∵点在点右侧， ∴，， ∵点在上，横坐标为， ∴ ， ∴， ∵经过和， ∴， 解得，； （2）解：过点C作轴交于点H， 由（1）知点C的坐标为，点D的坐标为， ， 又， 四边形是平行四边形， 又， 四边形是矩形， ，， ， 当点P在上方时，设与y轴交于点M， ，， ， ， ， ， ， ， 设直线的解析式为， 把点C与点M代入解析式， 得， 解得， 直线的解析式为：， 令 解得（舍去）， 点P的坐标为； 当点P在下方时，设与y轴交于点N， 同理可得：， ， ， ， ， 设直线的解析式为， 把点C与点N代入解析式， 得， 解得， 直线的解析式为：， 令 解得（舍去）， 点P的坐标为； （3）解：由题意得，， 当时，最大值为， ∴在上时， 解得，则设该点为点F； 在上时， 解得（舍去），则设该点为点E， 过点E和点F作x轴的垂线，如图， ∴存在三种情况， 当时，则在C点处，函数取最小值， ∴， ∴（与假设矛盾，故舍去） 当时，则， ∴， 由图可知，该范围内的图象在x轴上方，故最小值大于0，则与最小值为相矛盾， ∴此情况不存在； 当时，函数在点A处取最小值0， ∴ ∴ 解得（舍去）， 综上所述，t的值为． 变｜式｜巩｜固 变式1（25-26九年级上·辽宁本溪·期末）给出如下定义：对于二次函数（其中、、为常数，且，），我们把一次函数叫作该二次函数的“随轴函数”．例如：二次函数的“随轴函数”为．    (1)已知二次函数，求该二次函数的“随轴函数”的表达式： (2)如图，设二次函数的图象交轴于点，交轴于点，它的“随轴函数”的图象为，图象与相交于，两点（点在点的左侧）． ①求，两点的坐标； ②直线与，分别交于点，，与轴交于点．连接，，，当时，且四边形的面积为，求的值； ③若二次函数与它的“随轴函数”组成新函数，若在函数图象上有两点，（与不重合），点的横坐标为，点的横坐标为．当，之间（包含，两点的图象）对应函数的最大值与最小值均不随的变化而变化，求的取值范围． 【详解】（1）解：∵二次函数， ∴，， ∴该二次函数的“随轴函数”为． 答：． （2）解：①∵交轴于点，交轴于点， ∴，∴， ∴， ∴该二次函数的“随轴函数”为， 令， 则， 解得，， 则，， ∴，．    ②∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，解得， 故的值为． ③∵，，∴， ∴点、到直线的距离相等， 当，， 当时，， ∵、之间的图象对应函数的最大值与最小值均不随的变化而变化， 而当时，，时，， 当，如图：    由题意得：， ∴； 当，如图：    由题意得：， ∴， 综上：或． 答：①，．②的值为．③或 变式2（24-25九年级下·上海·自主招生）如图，抛物线 与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，有，抛物线顶点D的坐标为 ． (1)求该抛物线的解析式； (2)构造新函数 交y轴于点E． ①若直线与构造的新函数有且只有三个交点，试求t的值． ②是否存在到直线、、距离都相等的点？若存在，求出该点的坐标；若不存在，试说明理由． 【详解】（1）设抛物线的表达式为：， 设，则，即点A、B的坐标分别为：、， 将点A、B的坐标代入抛物线表达式得：， 解得：， 即点A、B的坐标分别为：、， 则抛物线的表达式为：； （2）①如图，当直线平移到m的位置，即过点B以及直线平移到n的位置，即和抛物线只有一个交点时，符合题设条件， 将点的坐标代入得：， 解得：； 当时，； 联立上式和的表达式得：， ∴， 则， 解得：； 综上， 或； ②存在，理由： 当时，， ∴， ∴， ∴． ∵ ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴． ∵到三角形三边距离相等的点在三角形角平分线的交点上， ∴存在到直线距离都相等的点，即该点为角平分线的交点． 设该点为P， 当点P是内角平分线的交点时，即点， 则， ∴， ； 当点P为与外角平分线的交点时，即点， ∴， ∴是等边三角形， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 同理可求，，． 综上，符合条件点的坐标为：或或或． ◇题型 03 含参新函数 方｜法｜提｜练 分类讨论：按参数正负、临界值（顶点 / 零点 / 分段点） 划分区间。 固定参数：对每类参数，画图、析性质。 综合结论：整合所有情况，得参数取值范围或最值。 思维口诀：参数分类，固定画图，数形定范围。 典｜例｜精｜析 典例1（2025·江苏镇江·中考真题）在平面直角坐标系中，过点作轴的垂线与二次函数（、为常数）的图像交于点、（点在点的左侧），点在直线上，当点满足时，我们称点是该二次函数图像的生长点． (1)二次函数的图像如图所示． ①在的不同取值2、、5中，使该函数图像有生长点的的值是_____； ②已知是该函数图像的生长点，猜想的取值范围，并说明理由． (2)二次函数（h、k为常数）的图像经过点，若是该函数图像的生长点，求该函数的表达式． 【详解】（1）解：①当时，， ∴， ∴， ∴当时，， 此时在线段的延长线上或线段的延长线上，存在点使，满足题意； 当时，， ∴当点在线段上时，，满足题意； 当时，， ∴直线上不存在点使，不满足题意； 综上：使该函数图像有生长点的的值是； ②猜想，理由如下： ∵点在直线上， ∴， 由（1）知：当时，此时， ∴当时，，此时直线上不存在点使， ∴； 又∵过点作轴的垂线与的图像交于点， 而的最小值为， ∴； ∴； （2）∵二次函数（h、k为常数）的图像经过点， ∴； ∵是该函数图像的生长点， ∴， 当时，则：， ∴， ∴， ∴， ①当点在线段上时，则：， ∴， 解得， 把代入，得：或， 当时，，满足题意； 当时，，此时点不在线段上，不符合题意，舍去； ∴； ②当点在点的左侧时，则：， ∴， ∴， ∴， 把，代入，得：， 此时，符合题意； ∴； ③当点在点的右侧时，则：， ∴， ∴， 把，代入，得：， ∴ 此时，点不在点的右侧，不符合题意，舍去； 综上：或． 典例2（25-26九年级上·辽宁沈阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点． (1)求抛物线的表达式； (2)点在线段上，过作轴于，以为斜边在其右侧作等腰直角三角形． ①若点的横坐标为，请说明点是否落在轴上； ②若点落在该抛物线上，求点的坐标； (3)将抛物线先向右平移3个单位长度，再向上平移个单位长度后，所得新函数记为，当时，，求的值． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为：； （2）解：①点不落在轴上，理由如下： 不妨设直线的表达式为：，代入， ， 解得， ∴直线的表达式为：， 当时，， ∵点的横坐标为，点在线段上， ∴， ∵过作轴于， ∴， 过点作轴于点，过点作轴，交的延长线于点，如图所示： ∵为等腰直角三角形，， ∴， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴点不落在轴上； ②由①可知，直线的表达式为：，过点作轴于点，过点作轴，交的延长线于点，不妨设，如图所示： ∵为等腰直角三角形，， ∴， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∵点落在该抛物线上， ∴， ∴或， ∵当时，点A与点P重合， ∴； （3）解：∵抛物线先向右平移3个单位长度，再向上平移个单位长度后，所得新函数记为， ∴， ∴其开口向上，对称轴为，当时，取最小值， ∵当时，， 当时，时，；当时，， 那么有， ∴，， ∵， ∴； 当时，时，；当时，， 那么有， ∴，； 当时，时，；当时，， 那么有，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴不符合题意； 综上，或． 变｜式｜巩｜固 变式1（24-25九年级下·湖南长沙·期中）在平面直角坐标系中，我们约定横，纵坐标和为20的点称为“状元点”：例如，，，…都是“状元点”，若某函数图象上存在“状元点”，则把该函数称为“状元函数”．根据该约定，解答下列问题： (1)在下列关于x的函数中，是“状元函数”的是 （填序号）． ① ；②；③． (2)若函数 （，a为常数）图象上有且只有1个“状元点”，试求a的值与相应的“状元点”的坐标； (3)已知抛物线为 ，抛物线关于y轴对称的抛物线为，是“状元函数”，且有两个“状元点”，这两个“状元点”之间的线段长为 ．将抛物线绕点旋转得到新函数，且新函数图象上也存在两个不同的“状元点”，请求出m的取值范围，并用含m代数式表示上的两个“状元点”之间线段的长度． 【答案】(1)①② (2)a的值为33，相应的“状元点”的坐标为； (3)；上的两个“状元点”之间线段的长度为． 【详解】（1）解：在中，令得：， 整理得， ∵， ∴有两个不相等的实数解， ∴为“状元函数”； 在中，令得：， 解得， ∴为“状元函数”； 在中，令得：， 整理得， ∵， ∴无实数解， ∴不是“状元函数”； 故答案为：①②； （2）解：在中，令得：， 整理得：， ∵函数（，a为常数）图象上有且只有1个“状元点”， ∴有两个相等的实数解， ∴，即， 解得， 此时， 解得， ∴， ∴a的值为33，相应的“状元点”的坐标为； （3）解：∵抛物线：关于y轴对称的抛物线为， ∴抛物线的解析式为， ∵是“状元函数”，且有两个“状元点”， ∴有两个不相等的实数解， 解得，， ∴抛物线的两个“状元点”为，， ∵两个“状元点”之间的线段长为， ∴， 解得或， ∵， ∴， ∴抛物线解析式为， 抛物线的顶点绕点旋转得抛物线的顶点为， ∴抛物线的解析式为 ， ∵抛物线上也存在两个不同的“状元点”， ∴有两个不相等实数解， 整理得， ∴， 解得， 设两个实数解为α，β， 则，，抛物线上两个“状元点”分别是，， ∴ ， ∴上的两个“状元点”之间线段的长度为． 变式2（2024·辽宁盘锦·三模）我们定义【，，】为函数的“特征数”．如：函数的“特征数”是【2，，5】，函数的“特征数”是【0，1，2】，函数的“特征数”是【0，，0】．    (1)若一个函数的特征数是【1，，1】，将此函数的图象先向左平移2个单位，再向上平移1个单位，得到一个图象对应的函数“特征数”是 ． (2)将“特征数”是【0，，】的函数图象向上平移2个单位，得到一个新函数，这个新函数的解析式是 ． (3)当“特征数”是【1，，】的函数在直线和直线之间的部分（包括边界点）的最高点的纵坐标为5时，求的值． (4)点关于轴的对称点为点，点关于轴的对称点为点．当若（3）中的抛物线与四边形的边有两个交点，且两个交点到抛物线的对称轴的距离之和为3时，直接写出的值．（m为常数） 【详解】（1）解： 函数的特征数是【1，，1】， 函数为， 将函数向左平移2个单位，再向上平移1个单位得到， 函数的“特征数”是【1，0，】， 故答案为：【1，0，】； （2）解：函数的“特征数”是【0，，】， 函数解析式为， 将函数的图象向上平移2个单位得新函数解析式为， 故答案为：； （3）解：“特征数”是【1，，】的函数解析式为， 抛物线的顶点为，对称轴是直线， 由抛物线的性质可知，当与时，相等且， ①当，即时，抛物线的最高点在处取得， ， 解得，不符合题意，舍去； ②当，即时，抛物线的最高点在处取得， ， 解得或（舍去）， ③当，即时，抛物线的最高点在取得， ， 解得（舍去）或（舍去）， ④当，即时，抛物线的最高点在处取得， ， 解得， 综上所述，的值为或； （4）由（3）知抛物线的顶点坐标为，且， ①当，即时，抛物线与矩形没有交点，不符合题意； ②当，即时，抛物线与矩形没有交点，不符合题意； ③，即时， 需要分以下两种情况： 抛物线与直线有两个交点，如图，   两个交点到抛物线的对称轴的距离之和为3， ， ，，，； ， 解得， 抛物线与矩形相邻两边有交点，如图，   两个交点到抛物线的对称轴的距离之和为3，到轴距离与到轴距离都为2， 到轴距离为1，即， ， ， 解得（舍去）或； ④当时，如图：   两个交点到抛物线的对称轴的距离之和为3， ， 又， ， ， ， 解得或（舍去）， 综上所述，的取值为或1或． ◇重难 01 绝对值函数综合 方｜法｜提｜练 突破点：先画函数图象，再翻折；结合图象分析。 典｜例｜精｜析 典例1（2025·江苏扬州·一模）通过画出函数图象探究函数性质是学习新函数的一种基本方法，请运用此法判断新函数的图象与一次函数的图象的交点个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】解：， 或时，，当时，， 过、、 ， 其开口向上，对称轴为，顶点坐标为， 将的图象在轴下方的部分对称到上方，得到的图象， 一次函数，当时，，当时，，当时，，故一次函数过和和，如图所示： 从图象可知，交点个数为3个， 故选：C． 典例2（23-24九年级下·福建福州·月考）请用学过的方法研究一类新函数（为常数，且不等于0）的图象和性质． (1)请完成表格并在给出的平面直角坐标系中画出函数的图象： x … 1 2 3 6 … y … 6 3 2 1 … (2)对于函数，当自变量x的值增大时，函数值y怎样变化？ 【详解】（1）解：当时：， 当时：， 当时：， 当时， 填表如下： x … 1 2 3 6 … y … 1 2 3 6 6 3 2 1 … ∴函数的图象，如图所示： （2）解：∵时，函数的图象是在第一，二象限的双曲线，且关于y轴对称， ∴时，当，y随x增大而增大，时，y随x增大而减小． 变｜式｜巩｜固 变式1（25-26九年级上·浙江杭州·月考）我们定义一种新函数：形如的函数叫做“鹊桥”函数．某数学兴趣小组画出了“鹊桥”函数的图象（如图所示） (1)直接写出经过、、三个点的二次函数表达式； (2)当函数值随的增大而增大时，求的取值范围； (3)当直线与函数的图象有2个交点时，求的取值范围． 【详解】（1）解：， ∴当时，，当时，， 解得：，， ∴图象与坐标轴的交点为，，， 设经过、、三个点的二次函数表达式为， 把点代入得：， 解得：， ∴经过、、三个点的二次函数表达式为； （2）解：根据图象得：图象的对称轴为直线， 观察图象得：当或时，函数值随值的增大而增大； （3）解：如图，当直线过点时，直线与函数的图象恰好有三个交点， ， 解得：， 当直线过点时，直线与函数的图象恰好有一个交点， ， 解得：， 当时，， 当直线与函数的图象相切时，恰好有三个交点， 令， 整理得，， ， 解得，， 结合图象得，当直线与函数的图象有个交点时，的取值范围为或． 变式2（2025·山东泰安·一模）阅读材料： 在学习反比例函数的性质时，通过图象直观感受到反比例函数的图象关于原点对称．小明利用代数方法进行了推导． 证明：在反比例函数的图象上任取一点， 则点A关于原点的对称点B的坐标为． ， ∴点B也在反比例函数的图象上． ∵点A是反比例函数上的任意一点，它关于原点对称的点都在反比例函数的图象上， ∴反比例函数的图象关于原点对称． 问题解决： 下面我们来研究一个新函数． (1)试运用阅读材料提供的方法，证明函数的图象关于 对称； (2)已知点在函数的图象上，且，直接写出x的取值范围是 ． (3)已知函数的图象在函数的图象的下方，求x的取值范围． 【详解】（1）解：函数的图象关于y轴对称，                                       证明：在的图象上任取一点， 则点A关于y轴的对称点B坐标为， ∵把代入中，，即点B在的图象上， ∴的图象关于y轴对称， 故答案为：y轴； （2）解：∵点在函数的图象上，且， ， ， 或 故答案为：或； （3）解：如图： 结合函数图象与只交于部分， 此时联立， 解得，                                   经检验，是方程的解， ， ， ∵函数的图象在函数的图象的下方， ∴x的取值范围为：或． 变式3（25-26九年级上·河南信阳·期中）对于代数式A、B，定义一种新运算：．现研究新函数的图象与性质，过程如下： (1)根据新运算规则，新函数可改写为： ； (2)在如图的平面直角坐标系中，画出函数y的图象； (3)写出该函数的一条性质： ； (4)①若方程有四个不相等的实数根，则t的取值范围是 ； ②该函数的图象与直线有两个交点，则b的取值范围是 ． 【详解】（1）解：∵， ∴， 故答案为：； （2）解：画函数的图象如下： （3）解：由图象知，函数图象关于轴对称； 故答案为：函数图象关于轴对称； （4）解：①如图，当时，直线与的图象有四个交点， 所以，方程有四个不相等的实数根时，t的取值范围是； 故答案为：； ②如图，当直线与相切时，直线与函数的图象有三个交点， 令， 整理得， ∴， 解得，； 当时，，解得， 当时，，解得， 所以，函数的图象与直线有两个交点时，b的取值范围是或． 故答案为：或． ◇重难 02 分段函数与最值 方｜法｜提｜练 突破点：分段画图、分段分析、端点比较最值。 典｜例｜精｜析 典例1（2024·黑龙江大庆·模拟预测）定义：在平面直角坐标系中，有一条直线，对于任意一个函数，与原函数中自变量大于或等于m的部分共同构成一个新的函数图象，则这个新函数叫做原函数关于直线的“镜面函数”．例如：函数的“镜面函数”的解析式为，，，，，函数关于直线的“镜面函数”图象与矩形的边恰好有4个交点，则n的取值范围是 ． 【答案】或 【详解】解：如图： 函数关于直线的“镜面函数”解析式为， 当时，， ∴， 解得：， 当的顶点在上时，， 解得或（舍）， 此时，函数关于直线的“镜面函数”图象与矩形的边有5个交点，不合题意， ∴， 当时，， ∴， 解得， 综上，n的取值范围为或． 故答案为：或． 典例2（2025·辽宁葫芦岛·一模）定义：在平面直角坐标系中，是自变量的函数，下面构建一个新函数，当时，，当时，，即，将变换后函数称为原函数的变构函数，例如：二次函数的变构函数为． (1)求一次函数的变构函数的函数表达式； (2)点在反比例函数的变构函数图象上，求的值； (3)已知二次函数和一次函数，点在的变构函数的图象上，过点作轴与的变构函数的图象交于点，设点的横坐标为，长为，当时，求关于的函数表达式； (4)函数的解析式，点、的坐标分别为、，连接，线段与二次函数的变构函数的图象只有一个公共点时，直接写出的值或取值范围． 【详解】（1）解：由题意，当时，， 当时，， ∴一次函数的变构函数的函数表达式为； （2）解：∵反比例函数的变构函数为， 又∵点在的变构函数图象上， ∴当时，，解得：， 当时，，解得：， 综上：的值为或； （3）解：由定义得的变构函数为，的变构函数为， 当时， ∵点在的图象上， ∴， ∵点在的图象上，且轴， ∴， ∴长  -8分 当时，点在的图象上， ∴， ∵点在的图象上，且轴， ∴， ∴长， 综上：关于的函数表达式； （4）解：由定义得的变构函数为， 如图， ∵点、的坐标分别为、， ∴当经过点时， ，解得：； 当经过点时， ，解得：； 当顶点在上时，即点在上， ∴， 当与轴交点在上时，即在上， ∴， ∴线段与二次函数的变构函数的图象只有一个公共点时或或． 变｜式｜巩｜固 变式1（2025·辽宁沈阳·模拟预测）在平面直角坐标系中，是关于自变量的函数．给定一个实数，构造一个新函数，当时，，当时，，即，将变换后的函数称为原函数的“界变构函数”．例如：当时，一次函数的“1界变构函数”为． (1)求一次函数的“3界变构函数”． (2)点在反比例函数的“0界变构函数”上，求的值． (3)已知关于的二次函数，点在该二次函数的“界变构函数”上． ①求的值； ②当时，该二次函数的“界变构函数”的取值范围是，求的取值范围． 【详解】（1）解：当时，， 当时，， 即一次函数的“3界变构函数”为； （2）解：根据题意得：反比例函数的“0界变构函数”为， ∵点在反比例函数的“0界变构函数”上， 当时，， 此时； 当时，， 此时； 综上所述，的值为或3； （3）解：①根据题意得：二次函数的二次函数的“界变构函数”为， ∵点在该二次函数的“界变构函数”上， ∴或， 解得：或， ∵， ∴； ②由①得：二次函数的二次函数的“界变构函数”为，即， 画出函数图象，如下图， 对于， 当时，， 解得：， ∴当时，该二次函数的“界变构函数”的取值范围是， 把代入得：， 把代入得：，， ∵当时，该二次函数的“界变构函数”的取值范围是， ∴当k在之间时，才能满足题意， ∴根据函数图象可知：． 变式2（2025·辽宁·一模）在平面直角坐标系中，有一条直线．对于任意一个函数图象，把直线左边的部分取相应函数值的，再把直线上的点以及直线右边的部分向上平移4个单位长度，它们组成一个新的函数图象，则这个新函数叫做原函数关于直线的变形函数． 例如：函数关于直线的变形函数为． (1)已知点，，，，其中不在反比例函数关于直线的变形函数图象上的点有________（填字母） (2)一次函数关于直线的变形函数图象与轴相交所夹锐角的正切值为________． (3)二次函数关于直线作变形函数． ①当时，若点在该变形函数的图象上，求的值； ②当时，求该变形函数的最大值； ③若此变形函数图象上只有4个点到轴的距离等于12，请直接写出的取值范围． 【详解】（1）解：根据题意，得反比例函数关于直线的变形函数为， 当时，， ∴在其变形函数图象上， 当时，， ∴不在其变形函数图象上， 当时，， 在其变形函数图象上， 当时，， ∴不在其变形函数图象上， 故答案为：B、D； （2）解：根据题意，得一次函数关于直线的变形函数为， 当时，， 当时，，解得（不符合题意，舍去）；，解得， ∴变形函数与x轴的交点为，与y轴的交点为， ∴变形函数图象与轴相交所夹锐角的正切值为， 故答案为：1； （3）解：①当时，其变形函数为， ∵， ∴在变形函数图象上， ∴； ②当时，其变形函数， 当时，， ∵， ∴抛物线开口向下， 当时，y随x的增大而减小， ∴当时，y取最大值，最大值为； 当时，， ∵， ∴抛物线开口向下， ∴当时，y取最大值，最大值为， ∵， ∴该变形函数最大值为10； ③二次函数关于直线的变形函数为， 当时，， ∵， ∴抛物线开口向下， ∴当时，y取最大值，最大值为， 当时，， 当时，， 当时，， 令， 解得，（舍去）， 当时，，变形函数的图象大致如图1所示， 当时，，变形函数的图象大致如图2所示， 当时，，变形函数的图象大致如图3所示， ∵此变形函数图象上只有4个点到轴的距离等于12，其中x轴的下方始终有两个点到x轴的距离等于12． ∴x轴的上方只能有两个点到x轴的距离等于12，即变形函数的图象与直线有两个交点， 分以下三种情况：①如图 1，此时，∴不合题意，舍去； ②如图 2，此时，∴，即只能． 解得； ③如图3，此时，∴，符合题意， 综上，或时，此变形函数图象上有4个点到x轴的距离等于12． ◇重难 03 函数变换综合 方｜法｜提｜练 突破点：平移规律 “左加右减、上加下减”，新函数，分析定义域、值域。 典｜例｜精｜析 典例1（2025·山东青岛·中考真题）将二次函数的图象在轴下方的部分以轴为对称轴翻折到轴上方，得到如图所示的新函数图象，下列对新函数的描述正确的是（   ） A．图象与轴的交点坐标是 B．当时，函数取得最大值 C．图象与轴两个交点之间的距离为 D．当时，的值随值的增大而增大 【答案】C 【详解】解：A选项，二次函数， 令，解得， ∴原二次函数与轴的交点坐标为， 翻折后新函数图象与轴的交点坐标是，A选项错误； B选项，二次函数， 对称轴为， 将代入函数解析式可得， ∴原二次函数顶点坐标为， 翻折后新函数图象的对称轴不变，为， 在处，函数没有最大值，B选项错误； C选项，二次函数， 令，则有， 即，解得，， ∴原二次函数与轴的交点坐标为，， 翻折后新函数图象与轴的交点坐标不变，为，， ∴图象与轴两个交点之间的距离为，C选项正确； D选项，新函数图象的对称轴为， 由图象可知，函数在时，的值随值的增大而减小， 当时，的值随值的增大而增大，D选项错误． 故选：C ． 典例2（2025九年级下·浙江·专题练习）在学习一次函数的图象时，课本“合作学习”中提出了一个问题如下：“观察图中各个一次函数的图象，你发现了什么规律？”． 小姜发现，函数“”的图象与“”的图象关于y轴对称，如图所示．小姜观察的很仔细，我们认为：一次函数与的函数图象关于y轴对称，且他们相交于y轴上的点，我们称这样的两个一次函数互为“对称新函数”，理解定义并回答问题： (1)已知一次函数与互为“对称新函数”，那么 ； ． (2)互为“对称新函数”的两个一次函数分别交x轴于点A，点B（点A在点B左侧），交y轴正半轴于点C，若是面积为的等边三角形，求这对一次函数的解析式． 【详解】（1）解：因为一次函数与互为“对称新函数”， 所以，； 故答案为：，； （2）如图所示，设直线的函数表达式为， 所以直线CB的函数表达式为． 所以， 因为为等边三角形， 所以， 所以， 解得． 所以点A的坐标为，点C坐标为， 代入， ， 解得， 一次函数表达式为， 根据定义，另一个一次函数的表达式为． 典例3（2025·湖北襄阳·一模）如图，一次函数（m，n为常数，）与反比例函数（k为常数，）的图象相交于，两点． (1)求m，n，k的值； (2)将正比例函数的图象向上平移b个单位长度得到一个新函数的图象，当时，对于x的每一个取值，函数的值总小于新函数的值，请写出b的取值范围． 【详解】（1）解：由题意，∵一次函数（m，n为常数，）与反比例函数（k为常数，k≠0）的图象相交于，两点． ∴，． ∴，，． （2）解：由题意，结合（1）可得，一次函数为． 又∵正比例函数的图象向上平移b个单位长度得到一个新函数， ∴新函数为． 又∵当时，对于x的每一个取值，函数的值总小于新函数的值，且结合函数图象，一次函数与反比例函数（k为常数，）的图象相交于，两点， ∴． 典例4（2025·山东淄博·中考真题）如图，一条抛物线与轴相交于，两点，与轴相交于点． (1)求抛物线对应的函数表达式； (2)问在抛物线上是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由； (3)将射线绕点逆时针旋转一定角度，使其恰好经过抛物线的顶点，再将抛物线沿直线平移，得到一条新的抛物线（其顶点为）．设这两条抛物线的交点为． ①求旋转角度的正切值； ②当时，求原抛物线平移的距离． 【详解】（1）解：抛物线与轴相交于，两点，将两点坐标代入抛物线，得， 解得， ∴抛物线的表达式， （2）∵， ∴当时，， ∴， 作的中垂线交轴于点，连接，则：， ∴， ∴， ∵， ∴，， 设，则：， 在中，由勾股定理，得， 解得， ∴， 设直线的解析式为，把代入，得，解得， ∴， 过点作，交轴于点，交抛物线于点，则：， 设直线的解析式为，把代入，得，解得， ∴， 联立， 解得或， ∴； ∵， ∴当时，， ∴， 作点关于轴的对称点，连接，则：，， ∴直线与抛物线的交点也满足题意， 同法可得：直线的解析式为， 联立，解得或， ∴； 综上：或； （3）①∵， ∴， ∵， 同法可得直线的解析式为， 由题意，即为旋转角，作，交轴于点，作于点，则：， ∴， 同法可得直线的解析式为， ∴当时，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； ②将抛物线沿直线平移，等同于将抛物线沿直线平移， ∵， ∴抛物线在水平方向和竖直方向上的移动距离相等， 设将抛物线向右和向上分别平移个单位，得到新的抛物线，则新抛物线的解析式为， ∴， 联立， 解得：， ∴， 作轴，交的延长线于点， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得或（舍去）或（舍去）； ∴抛物线在水平方向和竖直方向的平移距离均为， ∴抛物线的平移距离为； 当抛物线沿直线向下移动时，同理可得抛物线的平移距离为； 综上：抛物线的平移距离为． 典例5（2025·四川·中考真题）如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线过原点，顶点为P，直线l过原点和点P． (1)求抛物线和直线l的解析式； (2)如图2，将抛物线的顶点沿射线平移，抛物线也随之移动得到抛物线，设顶点为A，其横坐标为，抛物线与抛物线交于点B． ①当时，求点B的横坐标； ②若点B的横坐标为n，请猜想并写出n与t的关系（不写推理过程）； ③如图3，若点B在第一象限内，设与y轴正半轴的夹角为，当时，求点B的坐标． 【详解】（1）解：抛物线：过原点， 将代入抛物线解析式可得 ， 解得， 抛物线的解析式为 ， ∵抛物线的解析式为， ∴顶点的坐标为， 设直线的解析式为， 将代入可得：， 解得， 直线的解析式为； （2）解：①：抛物线的顶点沿射线平移得到抛物线的顶点， 抛物线的解析式为， 当时，抛物线的解析式为， 联立抛物线与的解析式得， ， 解得， 点的坐标为； ②联立抛物线与的解析式得， ， 解得， 点的横坐标为， ∴， ∴； ③设抛物线的解析式为， 由②知点A的横坐标是点B的两倍， ∴点的坐标为，点B的横坐标为， 将代入得， ， ∴点B的坐标为， ∴ ， 作交直线于点C，过点B作轴于点D， ∵直线的解析式为， ∴直线的解析式为， 设直线的解析式为，， ∴， 解得， ∴直线的解析式为，， 联立直线和直线的解析式为， 解得， ∴点C的坐标为， ∴， ， ∴， ∵， ∴， ∴ 解得（舍去）， ∴点B的坐标为． 变｜式｜巩｜固 变式1（2025·福建泉州·一模）如图，二次函数及一次函数，将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新函数，当直线与新图象有4个交点时，m的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：如图， ∵， 令，则或， ∴，， ∵直线与新图象有4个交点， ∴①当直线过点A时，则交点有3个，此时； ②当直线与抛物线相切时，则，整理得： ， ， 解得， 如图所示，当直线在两条直线之间时，有4个交点， 此时m的范围为：． 故选：A． 变式2（24-25九年级上·吉林四平·期中）如图，将二次函数位于x轴的下方的图象沿x轴翻折，得到一个新函数的图象（实线部分）．当新函数中函数y随x的增大而增大时，自变量x的最值范围是 ． 【答案】或 【详解】解：由题意，将二次函数位于轴的下方的图象沿轴翻折，得到一个新函数， 新函数的解析式为． 当时，， 解得或， 如图， 当新函数中函数y随x的增大而增大时，自变量x的范围是或． 故答案为：或． 变式3（24-25九年级上·山东烟台·月考）如图，将二次函数位于的下方的图象沿轴翻折，得到一个新函数的图象（实线部分）． （1）当时，新函数值为 ，当时，新函数值为 ；当 时，新函数有最小值； （2）当新函数中函数随的增大而增大时，自变量的范围是 ； （3）直线与新函数图象有两个公共点时，的取值范围 ． 【详解】解：由题意，将二次函数位于的下方的图象沿轴翻折，得到一个新函数， 新函数的解析式为． （1）新函数的解析式为， 当时，新函数值为5．当时，新函数值为3． 结合函数图象可得，当或时，新函数有最小值． 故答案为：5；3；2或． （2）如图， 当新函数中函数y随x的增大而增大时，自变量x的范围是或． 故答案为：或． （3）如图， 直线与新函数图象有两个公共点时，的取值范围或． 故答案为：或． 变式4（2025·辽宁铁岭·三模）新定义：若函数图象上存在点，将其横坐标变为原来的a倍，纵坐标不变得到点，则称点B为点A的“a倍横变点”，所有“a倍横变点”构成的函数称为原函数的“a倍横变函数”． 例如：函数上的点的“3倍横变点”为，函数的“3倍横变函数”为． (1)点在一次函数的图象上，点B是点A的“倍横变点”求点B的坐标； (2)点C在反比例函数的图象上，点D是点C的“倍横变点”，若线段的中点E在直线上，求点C的坐标； (3)已知函数． ①求出函数的“2倍横变函数”的表达式； ②在①的条件下，将①中“2倍横变函数”在直线上方的部分沿直线向下翻折，与在直线及下方的部分共同组成新函数F的图象，当直线与新函数F的图象恰好有4个公共点时，求出b的取值范围； 【详解】（1）解：将代入得；， ， 点B是点A的倍横变点，， 点； （2）设点，依题意得点， 点E是线段的中点， 点， 点E在直线上， ， 解得：， ， ， 点； （3）①设函数图像上的点， 则点M的2倍横变点N的坐标为， 设，则， 点， ， 函数的2倍横变函数的表达式为：； ②当时，， 整理得：， 解得：，， 折点，， 当直线过点H时， ，， 当直线与在点H下方只有一个交点时， 一元二次方程即：有两个相等的实数根， ， 解得：， 当直线与新函数F的图象恰好有4个公共点时，b的取值范围是． 变式5（24-25九年级下·江西宜春·期中）定义把函数的图象绕点旋转，得到新函数的图象，我们称是关于点P的相关函数，函数的图象的顶点纵坐标为m． (1)当时，求新函数的顶点坐标（用含a的代数式表示）； (2)若，当时，函数的最大值为，最小值为，且，求函数的解析式； (3)当，时，函数的图象与直线y=2相交于A，B两点（点A在点B的右侧），与y轴相交于点D．把线段绕点逆时针旋转，得到它的对应线段，若线段与函数的图象有公共点，结合函数图象，请直接写出a的取值范围． 【详解】（1）解∶， 函数的顶点坐标为． 当时，点P的坐标为，． 新函数的顶点坐标为； （2）解：， 函数 函数的顶点坐标为． 把代入函数得∶ ． 根据抛物线的对称性可知，当时，． ①当时， 不符合题意，舍去 ②当时， ，，． 解得， (不合题意，舍去) 函数的解析式为； （3）解：，函数． 函数，． 当时，或；当时，， 点A，B，D的坐标分别为，， 线段绕点逆时针旋转，得到它的对应线段， 点的坐标为，点的坐标为． 当时， ①当点在点B的左侧(含点B)时，线段与函数的图象有公共点，如图1∶ ． ． ②当点在点B的右侧，且点D在点的下方(含点)时，线段与函数的图象有公共点，如图2∶ ．解得． ． 综上所述： 或． 变式6（25-26九年级上·广东广州·期末）已知二次函数（b，c为常数）交x轴于点，两点，交y轴于点C． (1)求该二次函数的解析式； (2)把二次函数的图象在y轴右侧的部分沿x轴翻折，其余部分不变，翻折后得到的图象和原来不变的部分构成一个新的函数图象，点P为新函数图象上y轴右侧一动点，且点P在x轴上方，请求出的取值范围； (3)在（2）的条件下，若直线与新的函数图象有且只有两个交点，请直接写出m的取值范围． 【详解】（1）解：∵二次函数（b，c为常数）交x轴于点，两点， ∴，解得：， ∴二次函数的解析式为； （2）解：如图，设交y轴于点K， 根据题意得：y轴右侧新函数的解析式为，点， 设点， 设直线的解析式为， 把点，代入得： ，解得：， ∴直线的解析式为， 当时，， 即点， ∴， ∴， ∵， ∴当时，最大为16，当时，随s的增大而增大，当时，随s的增大而减小， ∵，且， ∴当时，最小，为12， ∴的取值范围为； （3）解：如图，设当时，新函数图象与y轴交于点D，则点， 当直线与的图象有唯一公共点时， ，即， 此时， 解得：； 当直线过点时，； 此时直线过点， 当直线过点时，， ∵直线与新的函数图象有且只有两个交点， ∴m的取值范围为或． 变式7（2026·四川成都·一模）小宇同学在学习了反比例函数的图象（如下图）后，继续对新函数的图象和性质进行探究，请补充以下探究过程： (1)【基本操作】 第一步：对函数图象上的部分点列表如下： … … … … 求出表格中的值为_____． 第二步：通过描点、连线在如图所示的同一直角坐标系中画出的图象．    (2)【观察发现】函数的图象可由的图象平移得到，请描述这个平移的过程： ；若将的图象向左平移2个单位，向上平移1个单位，请写出平移后新函数的解析式： ． (3)【能力提升】函数与的图象都是双曲线，且既是中心对称图形又是轴对称图形．直接写出的对称中心坐标和对称轴的解析式． (4)【拓展应用】若直线与的图象有且只有一个交点，求的值． 【详解】（1）解：将代入，得， ∴， 函数图象如图所示： （2）解：观察两个函数的图象可知， 函数的图象可由的图象向右平移3个单位长度得到； 将的图象向左平移2个单位，向上平移1个单位，则平移后新函数的解析式为． 故答案为：向右平移3个单位长度；． （3）解：∵的对称中心为，对称轴为直线， 又∵函数的图象可由的图象向右平移3个单位长度得到， ∴的对称中心为，对称轴为直线和直线； （4）解：当直线与双曲线相交时， ， 化简，得， ∵直线与双曲线只有一个交点， ∴判别式， 化简，得， 解得或． ◇测能力 1.（25-26九年级上·安徽芜湖·月考）如图，二次函数及一次函数，将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新函数，当直线与新图象有4个交点时，m的取值范围是（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵， 令，则或， ∴，， 将二次函数在轴上方的图象沿轴翻折到轴下方， 其解析式为，, ∵ 直线与新抛物线有4个交点， ∴ ①当直线过点时，则交点有3个，此时； ②当直线与新抛物线相切时，则， 整理得：， ， 解得， 如图所示，当直线在两条直线之间时，有4个交点， 此时的范围为：． 故选：D． 2.（2024·浙江台州·三模）把函数的图象在直线下方的部分沿直线翻折后，再把翻折前后的图象中在直线上方部分叫做新函数图象T．当直线与图象T有四个交点时，n的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：函数的图象如图， 可知函数的最低点为， 点关于直线的对称点为， 当直线与图象有四个交点时，可得， 解得， 故选：B． 3．（25-26九年级上·广东广州·月考）我们定义一种新函数：形如的函数叫做“鹊桥”函数．某数学兴趣小组画出了“鹊桥”函数的图象（如图所示），并写出了下列结论： ①图象与坐标轴的交点为，，； ②当时，函数取得最大值； ③当或时，函数值随值的增大而增大； ④若在函数图象上，则也在函数图象上； ⑤当直线与函数的图象有个交点时，则的取值范围是．其中正确的结论有（    ） A．①②③ B．②③④ C．①④⑤ D．①③④ 【答案】D 【详解】解：对于①，， 由，得， 函数的图象与轴的交点为， 由，得， 即， 因式分解，得， 或， 解得，， 函数的图象与轴的交点为，， 函数的图象与坐标轴的交点为，，，故①正确； 对于②，由图可知，函数无最大值，故②错误； 对于③， 函数的图象与轴的交点为，， 结合图象可知，函数图象的对称轴为， 当或时，函数值随值的增大而增大，故③正确； 对于④：函数图象的对称轴为，， 若在函数图象上，则也在函数图象上，故④正确； 对于⑤：如图，当直线过点时，直线与函数的图象恰好有三个交点， ， 解得：， 当直线过点时，直线与函数的图象恰好有一个交点， ， 解得：， 当时，， 当直线与函数的图象相切时，恰好有三个交点， 令， 整理得，， ， 解得，， 结合图象可知，当直线与函数的图象有个交点时，的取值范围为或，故⑤错误． 综上所述，正确的结论有①③④． 故选：D． 4．（24-25九年级上·江苏苏州·月考）如图，将二次函数位于轴下方的图象沿轴翻折，再得到一个新函数的图象（图中的实线）．    (1)当时，新函数值为______，当时，新函数值为______； (2)当______时，新函数有最小值； (3)当新函数中函数随的增大而增大时，自变量的范围是______； (4)若关于的方程有且只有两个解，则的取值范围_______． 【详解】（1）解：把代入， 得， 把代入， 得， 当时，新函数值为，当时，新函数值为， 故答案为：，； （2）解：观察图象可得： 当或时，新函数有最小值为， 故答案为：或； （3）解：观察图象可得： 当新函数中函数随的增大而增大时，自变量的范围是或； 故答案为：或； （4）解：将二次函数位于轴下方的图象沿轴翻折， 得到新函数的解析式为：， 关于的方程有且只有两个解，即为直线与新函数图象有且只有两个公共点， 观察图象可得：的取值范围或， 故答案为：或． 5.（25-26九年级上·江苏淮安·期末）已知函数，，函数与组成一个新函数，图像记为． (1)若点在图像上，求的值； (2)当时，求函数最大值与最小值的差； (3)点为轴上一动点，过点作轴的垂线，当直线与图像有三个不同的交点时，设这三个交点的横坐标分别为，，，令，则的取值范围是______． 【详解】（1）解：∵点在图像上，且， ∴将代入得； （2）解：当时，，该二次函数开口向上，对称轴为， 当时，取得最小值，； 当时，； 当时，； ∴在时，的取值范围是； 当时，，该一次函数，随的增大而减小， 当时，取得最小值，； 当趋近于时，趋近于， ∴在时，的取值范围是， 综上，函数在时的最大值为，最小值为，最大值与最小值的差为； （3）解：设直线的解析式为， ∵直线与图象有三个不同的交点， ∴直线与有两个交点，与有一个交点， 由，其开口向上，顶点坐标为，当时，， ∴当时，与有两个交点， 设这两个交点的横坐标为，， ∵二次函数的对称轴为， ∴根据二次函数的对称性，， 对于，令，得，即， ∵， ∴，解得， 又∵，该条件成立， ∴， ∵， ∴，即， 故答案为：． 6.（25-26九年级上·福建福州·期中）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴的负半轴相交于点，二次函数的图象经过点，且与二次函数的图象的另一个交点为，点的横坐标为．    (1)直接写出：点的坐标是（________），________，________． (2)直线与二次函数，的图象分别相交于点，，与直线相交于点，当时，求证：． (3)二次函数（）与二次函数（）组成新函数，当时，函数的最大值为，最小值为，求的取值范围． 【详解】（1）解：令，即， 解得，， ∵点位于轴的负半轴， ∴点的坐标是， ∵点的横坐标为． ∴当时，可得， ∴点的坐标为， ∵二次函数的图象经过点与点， ∴，解得， ∴二次函数． 故答案为：；；． （2）证明：如图，    设直线的函数解析式为， ∵点的坐标是，点的坐标为， ∴，解得， ∴直线的函数解析式为， ∵直线与直线相交于点， ∴点， 直线与二次函数，的图象分别相交于点，， ∴，， ∴， ， ∵， ∴． （3）解：由条件可知，，如图，    ∴可知当时，随的增大而增大， 当时，随的增大而减小， 当时，随的增大而增大， 且当时，新函数取得最大值， ∵当时，函数的最大值为，最小值为， ∴当时，新函数取得最大值为， 即，解得， ∵当时，最小值为， 令，即， 解得，， ∴， 解得， ∴的取值范围为． 7.（2025·江苏苏州·一模）如图1，在平面直角坐标系中，四边形为矩形，，D为中点．某反比例函数过点D，且与直线交于点E． (1)点E的坐标为__________________． (2)好奇的小明在探索一个新函数．若点P为x轴上一点，过点P作x轴的垂线交直线于点Q，交该反比例函数图象于点R．若，点P横坐标为关于x的图像如图2，其中图像最低点横坐标分别为． ①求与x之间的函数关系式． ②写出该函数的两条性质． (3)已知 ①若关于x的方程有解，求m的取值范围．小明思考过程如下：由得是关于的二次函数，根据的范围可以求出的取值范围．请你完成解题过程． ②若关于x的方程有解，请直接写出m的取值范围． 【详解】（1）， 设反比例函数解析式为，直线OC的解析式为， 将点代入得， 解得：， 反比例函数解析式为， 将点C代入得， 解得：， 直线的解析式为， 联立，解得：， 点E在第一象限， ； （2）①反比例函数解析式为，直线的解析式为，点P横坐标为x， 当时， 当时，； ②由图可知： 该函数图象关于y轴对称； 当时，随x的增大先减小后增大； （3）①二次函数开口向上，对称轴为， 在的情况下，当时，有最小值， 当时，， ②当时，关于x的方程有解， 当时，二次函数与x轴有交点， 二次函数开口向上，对称轴为， 当时，，解得：， 或当时，，解得：， 且当时，，解得或， 综上，m的取值范围为． 8．（2025·辽宁营口·二模）已知函数，定义新函数． (1)若新函数的解析式为，求函数与的解析式； (2)在（1）条件下，点在函数上，过点作轴的平行线交函数的图象于点，且当时． ①若点重合，求的值； ②过点作轴的平行线交函数图象于点，函数，求函数关于的解析式（写出自变量的取值范围）；的面积是否存在最大值，若存在，请直接写出面积的最大值，若不存在请说明理由． 【详解】（1）解：∵， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴，． （2）解：①∵点重合，， ∴， 把代入，得， 把代入，得， ∴， 化简整理，得， 解得：，． ∴m的值为或2， ②把代入，得， ∴， ∵轴交函数的图象于点， ∴， ∵轴交函数图象于点， ∴点纵坐标为， 把代入，得， ∴， ∴， ∴当时， ， 当时， ， ∴ ∵， ∴当时， ，， ∵，， ∴当时，，取得最大值，最大值为，最大值为， 此时，面积的最大，最大值； 当时， ， ， ∵，，对称轴为直线， ∴，有最小值，当时，，都随着m的增大而增大， ∵， ∴， ∴， ∴当时，，都取得最大值， 最大值为2，最大值为6， ∴此时，面积的最大，最大值， ∵， ∴存在，面积的最大，最大值为． 9．（25-26九年级上·辽宁大连·期末）如图1，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于点A，B（点B在点A的左侧），与y轴交于点C，二次函数的图象经过点A，C．    (1)求a，c的值； (2)直线与二次函数，的图象分别交于点M，N，与直线AC交于点P，当时， ①求证：； ②当时，求的长； (3)二次函数与二次函数组成新函数，当时，函数的最大值与最小值的差为，直接写出t的值． 【详解】（1）解：当时，即 解得或3 点B在点A的左侧 ， 当时 的图象经过点A，C 解得 （2）解：①， 设直线的解析式为，把代入得 直线的解析式为 作直线与二次函数，的图象分别交于点M，N，与直线AC交于点P ，， ， ②连接、， ， ，即是的中点， ， （3）解：， ， 时，的最大值是1， 当时，即， 解得， ， ， 当时， 的最小值是，最大值是， 即， 解得或（舍去）， 当时， 的最小值是，最大值是1， ， 解得； 当时， 的最小值是，最大值是 即 或（舍去） 所以函数的最大值与最小值的差为， t的值为或2或． 10．（24-25九年级上·辽宁沈阳·期末）经验回顾： 初中阶段，我们先后学习了一次函数，反比例函数和二次函数的有关知识．在研究每一种函数的图象和性质时，都运用了数形结合思想，通过画图，观察，分析，对比等方式，经历了由“特殊”到“一般”的探究过程． 请你运用所学知识和方法解决下列问题： 阅读理解： 二次函数中，具有这样图象特征：开口方向和形状都相同，且顶点在同一直线上的所有函数统称为“同线函数”．例如：同线函数C：（c是常数）中的函数如的图象的开口方向和形状都相同，且顶点都在y轴上． 问题解决： 已知：同线函数M：（m是常数）． (1)填表，特例分析： m的取值 （m是常数） 图象顶点坐标 （ ） （ ） （ ） …… …… …… (2)根据（1）特例分析，求函数（m是常数）的图象顶点所在直线的表达式； (3)已知同线函数K（k是常数）中的一个函数的图象顶点在第二象限内，将该函数沿坐标轴方向平移7个单位后与同线函数M中的一个函数重合，求函数的表达式； (4)若满足（3）中条件且时，将函数的图象在上方的部分沿直线向下翻折后，得到新函数Q．当直线与新函数Q的图象恰有3个公共点时，请直接写出b的值． 【详解】（1），顶点为， ，顶点为， ，顶点为， 故答案为：； （2）， ∴顶点为， 即， ∴顶点所在直线的表达式为； （3）∵同线函数， ∴顶点坐标为， ∵顶点在第二象限， ， 由题意可知，平移后的顶点在直线上， ①沿轴向右平移7个单位， 此时顶点坐标为， ， ∴函数的解析式为； ②沿轴向左平移7个单位， 此时顶点坐标为， ，与题意矛盾，故舍去； ③沿轴向上平移7个单位，此时顶点坐标为， ， 解得，与题意矛盾，故舍去； ④沿轴向下平移7个单位，此时顶点坐标为， ， 解得， ， ∴函数的解析式为； 综上，函数的表达式为或； （4）∵， ∴函数的表达式为， 令， 解得或6， 如图，， 当直线经过点时，则直线与图象有3个交点， 此时， ， 当直线与在下方的部分只有一个交点时，则直线与图象有3个交点， 令 即 解得； 综上，的值为或． ◇提能力 1．（2025·江苏淮安·一模）定义把函数：的图象绕点旋转，得到新函数的图象，我们称是关于点的相关函数，函数的图象的顶点纵坐标为． (1)当时，求新函数的顶点坐标（用含a的代数式表示）； (2)若，当时，函数的最大值为，最小值为，且，求函数的解析式； (3)当时，函数的图象与直线相交于，两点（点在点的右侧），与轴相交于点．把线段绕点逆时针旋转，得到它的对应线段，若线段与函数的图象有公共点，结合函数图象，请直接写出的取值范围______． 【详解】（1）解：∵， ∴函数的顶点坐标为， ∵当时，点P的坐标为， ∴新函数的顶点坐标为； （2）解：∵， ∴函数， ∴函数的顶点坐标为， 把代入函数，得：， 根据抛物线的对称性可知，当时． ①当时，，（不符合题意，舍去）． ②当时，， ∴， 解得：（不合题意，舍去）． ∴， ∴的解析式为； （3）解：∵，函数， ∴函数， ∵当时，或；当时，， ∴点A，B，D的坐标分别为， ∵线段绕点逆时针旋转，得到它的对应线段， ∴点的坐标为，点的坐标为． ①当时， 当点在点B的左侧（含点B）时，线段与函数的图象有公共点，如图1： ∴， ∴； 当点在点B的右侧，且点D在点的下方（含点）时，线段与函数的图象有公共点，如图2： ∴， 解得， ∴． ②当时，点D在点的下方（含点）时，线段与函数的图象有公共点，如图3： ∴ ， ∴． 综上所述，或或． 2．（2025·辽宁抚顺·一模）新定义：在平面直角坐标系中，对于任意两点，，若点，满足，，那么称点T是点A，B的“合作点”，例如：，，当点满足，时，则点是点A、B的“合作点”． (1)已知点，，点T是点A，B的“合作点”，求出点T的坐标； (2)若点是抛物线上一动点，点，点是点A、B的“合作点”，试求出T中的y关于x的函数解析式； (3)把（2）中y关于x的函数解析式向上平移3个单位得到新函数，设新函数与平面直角坐标系中的y轴交于点C，点P是新函数图象上一动点，它的横坐标为m．过点P作轴于点M，当点P与点M都不与点C重合时，以、为边作矩形，设矩形的周长为． ①求l与m的函数解析式； ②若对于l的每一个取值，都有两个m的值与它对应，直接写出l的取值范围． 【详解】（1）解：设， ∵，，点是点，的“合作点”， ∴，， ∴； （2）解：∵点是抛物线上一动点， ∴，即， ∵点是点、的“合作点”，点， ∴， 由①可得：， 代入②得：； （3）解：①由题意可得：， 当时，，即， 点P是新函数图象上一动点，它的横坐标为m， ∴， ∵轴， ∴， 如图，当点在轴左侧时，即， ， ∵四边形为矩形， ∴，， ∴； 如图，当点在轴右侧，且在直线上方时，即时， ， 同理可得：，， ∴； 如图，当点在轴右侧，且在直线下方，即时， ， 同理可得：，， ∴； 综上所述，； ②的函数图象如图所示： ， 由图象明显可得，当或时，对于的每一个取值，都有两个的值与它对应． 3．（2025·辽宁铁岭·一模）定义：在平面直角坐标系中，有一条直线，对于任意一个函数，作该函数自变量大于m的部分关于直线的轴对称图形，与原函数中自变量大于或等于m的部分共同构成一个新的函数图象，则这个新函数叫做原函数关于直线的“镜面函数”．例如：图①是函数的图象，则它关于直线的“镜面函数”的图象如图②所示，且它的“镜面函数”的解析式为． (1)直接写出函数关于直线的“镜面函数”的解析式； (2)函数关于直线的“镜面函数”与直线有三个公共点，求m的值； (3)已知抛物线关于直线的“镜面函数”图象上的两点，，当，时，均满足，请结合函数图象，直接写出t的取值范围． 【详解】（1）解：当时，， ∴函数关于直线对称的直线经过点， 设直线上任意一点，则关于直线对称的点为， 设函数关于直线对称的直线解析式为：， 代入， 得：， 解得：， ∴函数关于直线对称的直线解析式为， ∴函数关于直线的“镜面函数”的解析式为； （2）解：∵， ∴顶点为， ∴关于直线的对称点为， 所以关于直线对称的函数解析式为， ∴镜面函数为，   对于 ，当时, ， ∴函数 与y轴的交点坐标为, 当直线经过点 时，如图： 则，解得：； 此时关于直线的“镜面函数”与直线有三个公共点， 当直线与原抛物线只有一个交点时，符合题意，如图： 则有：， 整理得 ， 此时， 解得， 综上，的值为或； （3）解：， ∴顶点为：， ∴关于轴的对称顶点为， ∴该抛物线的“镜面函数”为： 函数图象如图所示：    当 时，如图，点关于直线的对称点为 ，关于 的对称点为 若当 时，均满足， 则需满足 ， 解得： ∴t的取值范围为． 4．（2025·湖南长沙·模拟预测）中考在即，三年磨砺锻锋芒，一朝出鞘定乾坤．在平面直角坐标系中，我们不妨约定将横，纵坐标和为18的点称为“乾坤点”：例如，…都是“乾坤点”，若某函数图象上存在“乾坤点”，则把该函数称为“乾坤函数”．根据该约定，解答下列问题： (1)在下列关于的函数中，是“乾坤函数”的，请在相应题目后面的括号中打“√”，不是“乾坤函数”的打“×”． ①（_______）；②（_______）；③（_______） (2)若函数（为常数）图象上有且只有1个“乾坤点”，试求的值与相应的“乾坤点”的坐标； (3)已知抛物线关于轴对称的抛物线为是“乾坤函数”，且有两个“乾坤点”，这两个“乾坤点”之间的线段长为．将抛物线绕点旋转得到新函数，且新函数图象上也存在两个不同的“乾坤点”，请求出的取值范围，并用含的代数式表示上的两个“乾坤点”之间线段的长度． 【详解】（1）解：∵约定将横，纵坐标和为18的点称为“乾坤点”， ∴设“乾坤点”坐标为，则， ∴所有的“乾坤点”都在直线上， ∵若某函数图象上存在“乾坤点”，则把该函数称为“乾坤函数”， ∴“乾坤函数”必定与有交点； ①联立，整理得，，方程有两不等根，即与有两个交点，则是“乾坤函数”； ②联立，解得，即与有一个交点，则是“乾坤函数”； ③联立，整理得，，方程无解，即与没有交点，则不是“乾坤函数”； 故答案为：①；②；③； （2）解：∵函数（为常数）图象上有且只有1个“乾坤点”， ∴函数（为常数）与有且只有1个交点， 联立，整理得， ∴方程有两等根， ∴，两等根， 解得， 当时，， ∴相应的“乾坤点”的坐标为； （3）解：∵点关于轴对称的点坐标为， ∴抛物线关于轴对称的抛物线为解析式为，即， ∵是“乾坤函数”，且有两个“乾坤点”， ∴联立得，整理得， 解得， ∵当时，；当时，； ∴对应的两个“乾坤点”坐标为，， ∵这两个“乾坤点”之间的线段长为， ∴， 解得，或 ∵， ∴， ∴， ∵点绕点旋转得到， ∴将抛物线绕点旋转得到新函数解析式为，整理得， ∵新函数图象上也存在两个不同的“乾坤点”， ∴联立得， ∵新函数图象上也存在两个不同的“乾坤点”，， ∴，，， ∴解不等式得， ∴上的两个“乾坤点”之间线段的长度． 5.（2025·辽宁抚顺·一模）如图1，函数的图象与轴交于点A，B与轴交于点，连接，点为线段上任意一点，过点作轴的垂线，垂足为．直线交的图象于点，连接，； (1)求直线的解析式； (2)当的面积等于3时，求点的横坐标； (3)定义：将函数的表达式取绝对值，得到一个新函数，称新函数为原函数的绝对函数．例如：函数的绝对函数为， ①直接写出函数（）的绝对函数的解析式（化简到去掉绝对值符号）； ②如图2，是函数当时的图象，交轴于点．连接，点是直线上的两点，点的横坐标为，点的横坐标为．过点作轴的平行线，交函数图象于点．过点作轴的平行线，交函数图象于点，若点H，J，I，G构成的四边形是平行四边形，求的值． 【详解】（1）解：当时，即， 解得，， ， 当时，即， 设直线的解析式为将点和点代入， 得 解得 的解析式为. （2）如图1，作垂直于，垂足为， 设点，则的坐标为， ， ， ， 或. （3）①由图可知，当或时，， ， 当时，， ， ②∵， 当时，点H，J，I，G构成的四边形是平行四边形. 如图2，当时， ， 解得或（舍） 如图3当时， ， 解得或（舍） 如图4，当时， ， 解得 如图5，当时， ， 解得或（舍）； 综上， 的值为或或或． 6 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $