第一章 整式的乘法核心基础知识清单（含pdf可直接打印）数学新教材湘教版七年级下册

该初中数学“整式的乘法”单元知识清单全面涵盖幂的运算、整式乘法法则、乘法公式及混合运算顺序，搭建了从基础法则（同底数幂乘法等）到公式应用（平方差、完全平方公式）再到综合运算的递进式学习支架。 清单通过“易错点分类解析”（如混淆幂的运算、漏乘因式等9类错误）和“重难点分级突破”（如幂的逆用、不含某项求参数等5大专题）呈现知识体系，融入“首平方末平方”等记忆口诀，培养学生运算能力与推理意识。典例与核心思路结合，助力学生自主纠错提升，教师可精准把握教学重难点，提高复习效率。

第一章整式的乘法单元知识清单 思维导图 同底数幂相乘：am·a=am(m、n正整数) 幂的乘方：(a==ama(m、n正整数) 幂的运算O 积的乘方：(ab)=ab(n正整数) 法则逆用：用于求值、比较大小 单项式×单项式：系数、同底数幂分别乘，独存字母连指数 整式乘法法则O 单项式×多项式：单乘多项每一项，积相加（分配律） 整式的乘法O 多项式×多项式：一项乘另一项每一项，积相加再合并 平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2 乘法公式O 完全平方公式：(a±b)2=a2±2ab+b2 公式特征：识别结构、灵活逆用、几何验证 混合运算：先幂运算，再乘除，最后加减 运算技巧O 简便计算：乘法公式、整体代入、规律探究 知识清单 1同底数幂的乘法：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。 公式：am·an= (m,n是正整数) 推广：am.an.aP= (m,n,p为正整数) 2幂的乘方：底数不变，指数相乘。 公式：(amn= (m,n是正整数) 3积的乘方：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。 公式：(ab)n= (n是正整数) 推广：多个因式积的乘方同样适用，如(abc)n=a”b"cn 4.幂的运算法则逆用： amtn ； amn =(am)n=(an)m;anbn= 5单项式与单项式相乘 把 分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个 因式。 步骤：①系数相乘（注意符号）；②同底数幂相乘；③保留独存字母。 6单项式与多项式相乘 用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。 公式：a(b+c+d)= (分配律，注意不漏乘、符号正确) 7多项式与多项式相乘 先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。 公式：(a+b)(m+n)=_ (不重不漏，合并同类项) 8.平方差公式 两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差。 公式：(a+b)(a-b)= 特征：①左边：两个二项式相乘，一项完全相同，另一项互为相反数； ②右边：相同项的平方一相反项的平方： ③a、b可表示数、单项式、多项式。 9.完全平方公式 两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加（或减)它们的积的2倍。 公式：(a+b)2= ;(a-b)2= 巧记：首平方，末平方，首末两倍中间放，符号与左边一致。 变形公式： a2+b2=(a+b)2-2ab=」 (a+b)2-(a-b)2= 10.整式乘法混合运算顺序 先算幂的运算（同底数幂相乘、幂的乘方、积的乘方）； 再算整式的乘法（单项式×单项式、单项式×多项式、多项式×多项式）： 最后算加减（合并同类项）： 有括号先算括号内的，能运用乘法公式的优先用公式简化计算。 易错辨析 1.混淆同底数幂乘法与幂的乘方（指数相加相乘混淆） 错误：如a3·a2=a6、(a3)2=a5,误将同底数幂乘法指数相乘，幂的乘方指数相加。 注意：紧扣法则，同底数幂相乘“指数相加”，幂的乘方指数相乘”。 典例下列各式中，计算结果不是x8的是() A.(x2)16 B.(x2)9 C.(x)6 D.x°.x2 2.积的乘方漏乘因式、忽略符号 错误：如(2a)3=2a3、(-ab)2=-a2b2,漏对系数乘方或符号判断错误。 注意：积的乘方需对每一个因式分别乘方，负数的偶次幂为正，奇次幂为负。 典例下列计算正确的() A.x2+x=xB.(-a)(-a3=aC.(2x)3=6xD.（-y)2=y% 3.忽略底数的符号，未统一底数直接运算 错误：如(-a)2·a3=一a5、(x-y)2.y-x)3=(x-y)5,未将互为相反数的底数统一。 a”n为偶数) 注意：（@=仁dn为奇数0-”=（-1yr6-加. 典例计算：(x-y)2.(y-x)3= 4.单项式乘多项式漏乘项 错误：如2a(3a-b)=6a2-b,漏乘多项式的-b项。 注意：单项式需乘多项式的每一项，注意项的符号。 典例计算：2x(3x2-2x+1)() A.6x3-4x2B.6x3-4x2+1C.6x3-2x2+2xD.6x3-4x2+2x 5.多项式乘多项式漏乘、错乘，未合并同类项 错误：如(x+2)(x-3)=x2-6,漏乘x·(-3)和2·x项：或(2x+1)(x-2)=2x2-4x+x-1,未合并 -4x+x。 注意：按“一项乘遍另一项”的顺序计算，最后合并同类项。 典例下列计算结果为x2-5x-6是（) A.(x+6)(x-1) B.（x-6)(x+1) C.(x+3)(x-2) D.(x-3)(x+2) 6.整式乘法中忽略系数的符号运算 错误：如-a(2a-3b)=-2a2-3ab,符号错误，应为-2a2+3ab。 注意：单项式的符号与多项式每一项的符号相乘，遵循“同号得正，异号得负”。 典例计算：(-a)°.(b)+(2ab). 7.平方差公式误用，判断结构错误 错误：如(a+b)(a+b)=a2-b2、(a-2b)(-a+2b)=a2-4b2,不满足“一项相同，一项相反”的结构。 注意：严格判断平方差公式的结构特征，无相同项/相反项则不能用。 典例下列各式能用平方差公式计算的是() A.（x+2)(x+2) B.(2x-1)(-2x+1) C.(-x+y)(-x-y) D.(-3a-b)(3a+b) 8.完全平方公式漏乘“2ab”项，或符号错误 错误：如(a+b)2=a2+b2、(a-b)2=a2-2ab-b2,漏中间项或末项符号错误。 注意：完全平方公式是三项式，中间项为“首末积的2倍”，末项永远为正。 典例(2x+1)2-(2x-1)2=_ 9.乘法公式中字母代换错误，未将多项式看作整体 错误：如(x+2y-3z)2=x2+4y2+9z2,未将“x+2y”看作整体用完全平方公式。 注意：公式中的a、b可表示多项式，需用整体思想代换。 典例计算：(a+b-c2 重难突破 重难点1：幂的运算法则的灵活逆用（求值、比较大小） 核心思路：将所求代数式通过幂的运算法则逆用，转化为已知条件的形式，利用整体代入求值；比较幂的 大小时，将不同底数/指数的幂转化为同底数或同指数的形式，再比较。 典例1若xm=2,y=3,则(x2my")4=· 典例2己知a=25,b=34,c=53,那么a,b,c的大小顺序是() A.a<c<bB.c<b<a C.b<c<a D.a<b<c 重难点2：整式乘法中“不含某项求参数值” 核心思路：先按整式乘法法则展开代数式，合并同类项后，令“不含项”的系数为0，建立方程求解参数。 典例1若(x+2)(x2+ax+b)的结果中不含x2项和x项，则a,b的值为() A.a=-2,b=4B.a=2,b=-4C.a=-2,b=-4D.a=2,b=4 典例2若(y2+ay+2)(2y-4)的结果中不含y2项，则a的值为(). A.0 B.1 C.2 D.3 重雅点3：乘法公式的变形求值（整体思想） 核心思路：利用完全平方公式的变形公式(a2+b2=(a+b)2-2ab、(a+b)2-(a-b)2=4ab等)， 将所求代数式转化为已知的(a+b)、(a-b)、ab的形式，整体代入求值。 典例若x+y=5,y=6,则x2+y2的值为() A.11 B.13 C.17 D.25 重难点4：乘法公式与几何图形的结合（面积验证、求面积） 核心思路：用两种方法表示同一个几何图形的面积，建立代数等式，验证乘法公式：或利用乘法公式化简 代数式，求解图形面积。 典例从边长为的大正方形纸板挖去一个边长为b的小正方形纸板后，将其裁成四个大小和形状完全相同 的四边形，然后拼成一个平行四边形，那么通过计算两个图形阴影部分的面积，可以验证成立的等式为 () 6 A.a2-b2=(a+b)(a-b) B.(a-b)=a2-2ab+b2 C.(a+b)'=a2+2ab+b2 D.a2-b2=2(a+b)(a-b) 重难点5；整式乘法的混合运算与化简求值 核心思路：先根据幂的运算、整式乘法法则、乘法公式化简代数式，再将已知条件代入化简后的式子求值， 注意整体代入和符号运算。 典例1先化简后求值：(x-2)(x+3)-(x-1)2,其中x=2。 典例2先化简后求值：(a+2b)(a+b)-3a(a+b),其中a=1,b=-1. 第一章 整式的乘法 单元知识清单 1.同底数幂的乘法：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。 公式：（， 是正整数） 推广：（，， 为正整数） 2.幂的乘方：底数不变，指数相乘。 公式：（， 是正整数） 3.积的乘方：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。 公式：（ 是正整数） 推广：多个因式积的乘方同样适用，如 4.幂的运算法则逆用： ；； 5.单项式与单项式相乘 把系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。 步骤：①系数相乘（注意符号）；②同底数幂相乘；③保留独存字母。 6.单项式与多项式相乘 用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。 公式：（分配律，注意不漏乘、符号正确） 7.多项式与多项式相乘 先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。 公式：（不重不漏，合并同类项） 8.平方差公式 两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差。 公式： 特征：①左边：两个二项式相乘，一项完全相同，另一项互为相反数； ②右边：相同项的平方相反项的平方； ③、 可表示数、单项式、多项式。 9.完全平方公式 两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加（或减）它们的积的2倍。 公式：； 巧记：首平方，末平方，首末两倍中间放，符号与左边一致。 变形公式： ； 10.整式乘法混合运算顺序 先算幂的运算（同底数幂相乘、幂的乘方、积的乘方）； 再算整式的乘法（单项式×单项式、单项式×多项式、多项式×多项式）； 最后算加减（合并同类项）； 有括号先算括号内的，能运用乘法公式的优先用公式简化计算。 1. 混淆同底数幂乘法与幂的乘方（指数相加/相乘混淆） 错误：如、，误将同底数幂乘法指数相乘，幂的乘方指数相加。 注意：紧扣法则，同底数幂相乘“指数相加”，幂的乘方“指数相乘”。 典例 下列各式中，计算结果不是的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查指数运算法则，需熟练掌握幂的乘方和同底数幂相乘的法则． 通过指数运算法则计算各选项，找出结果不为的项． 【详解】解：A、，符合题意； B、，不符合题意； C、，不符合题意； D、，不符合题意； 故选：A． 2. 积的乘方漏乘因式、忽略符号 错误：如、，漏对系数乘方或符号判断错误。 注意：积的乘方需对每一个因式分别乘方，负数的偶次幂为正，奇次幂为负。 典例 下列计算正确的（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了整式的运算，根据合并同类项法则、同底数幂的除法、积的乘方和幂的乘方运算法则分别计算即可判断求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：、和 不是同类项，不能合并，该选项计算错误，不合题意； 、，该选项计算错误，不合题意； 、，该选项计算错误，不合题意； 、，该选项计算正确，符合题意； 故选：． 3. 忽略底数的符号，未统一底数直接运算 错误：如、，未将互为相反数的底数统一。 注意：；。 典例 计算：______ 【答案】（或） 【解析】， 故原式。 4. 单项式乘多项式漏乘项 错误：如，漏乘多项式的项。 注意：单项式需乘多项式的每一项，注意项的符号。 典例 计算：（） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】，逐项相乘无漏乘。 5. 多项式乘多项式漏乘、错乘，未合并同类项 错误：如，漏乘和项；或，未合并。 注意：按“一项乘遍另一项”的顺序计算，最后合并同类项。 典例 下列计算结果为是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了多项式乘多项式，解题的关键是掌握多项式相乘的运算法则． 根据多项式相乘的运算法则逐项进行验证即可． 【详解】解：A、，不符合题意； B、，符合题意； C、，不符合题意； D、，不符合题意； 故选：B． 6. 整式乘法中忽略系数的符号运算 错误：如，符号错误，应为。 注意：单项式的符号与多项式每一项的符号相乘，遵循“同号得正，异号得负”。 典例 计算：． 【分析】先计算积的乘方和幂的乘方，再计算单项式乘以单项式，最后合并同类项即可得到答案． 【详解】解： ． 7. 平方差公式误用，判断结构错误 错误：如、，不满足“一项相同，一项相反”的结构。 注意：严格判断平方差公式的结构特征，无相同项/相反项则不能用。 典例 下列各式能用平方差公式计算的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平方差公式，平方差公式为，因此需要找出两个二项式中一项相同另一项互为相反数的选项． 【详解】A、， 不符合平方差公式； B、， 不符合平方差公式； C、，∵相同项为，相反项为和， ∴原式， 符合平方差公式； D、， 不符合平方差公式． 故选：C． 8. 完全平方公式漏乘“2ab”项，或符号错误 错误：如、，漏中间项或末项符号错误。 注意：完全平方公式是三项式，中间项为“首末积的2倍”，末项永远为正。 典例 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了完全平方公式，根据完全平方公式去括号，然后合并同类项即可得到答案． 【详解】解： ， 故答案为：． 9. 乘法公式中字母代换错误，未将多项式看作整体 错误：如，未将“”看作整体用完全平方公式。 注意：公式中的、可表示多项式，需用整体思想代换。 典例 计算： 【答案】 【解析】原式 。 重难点1：幂的运算法则的灵活逆用（求值、比较大小） 核心思路：将所求代数式通过幂的运算法则逆用，转化为已知条件的形式，利用整体代入求值；比较幂的大小时，将不同底数/指数的幂转化为同底数或同指数的形式，再比较。 典例1若，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了幂的乘方和积的乘方的性质，熟记性质并转化成已知条件的形式是解题的关键． 利用已知条件 和 ，通过指数法则化简表达式 ，逐步计算得到结果。 【详解】解：由 ，得 ； 由 ，得 ； 因此，； 则 ． 故答案为：． 典例2已知，，，那么a，b，c的大小顺序是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了幂的乘方以及有理数大小比较，熟记幂的运算法则是解答本题的关键．根据幂的乘方运算法则把它们化为指数相同的幂，再比较底数大小即可． 【详解】解：∵，，，， ∴， 即， 故选：D． 重难点2：整式乘法中“不含某项求参数值” 核心思路：先按整式乘法法则展开代数式，合并同类项后，令“不含项”的系数为0，建立方程求解参数。 典例1 若的结果中不含项和项，则，的值为（） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【解析】展开原式 ； 不含项和项，故，解得。 典例2若的结果中不含项，则的值为（   ）． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题考查了多项式乘以多项式，根据结果中不含项，得出，进而即可求解． 【详解】解： ∵结果中不含项， ∴ 解得． 故选：C． 重难点3：乘法公式的变形求值（整体思想） 核心思路：利用完全平方公式的变形公式（、等），将所求代数式转化为已知的、、的形式，整体代入求值。 典例 若，则的值为（     ） A．11 B．13 C．17 D．25 【答案】B 【分析】本题考查了完全平方公式的应用．利用完全平方公式的变形，，直接代入已知数值计算． 【详解】解：∵， ∴． 故选：B． 重难点4：乘法公式与几何图形的结合（面积验证、求面积） 核心思路：用两种方法表示同一个几何图形的面积，建立代数等式，验证乘法公式；或利用乘法公式化简代数式，求解图形面积。 典例从边长为的大正方形纸板挖去一个边长为的小正方形纸板后，将其裁成四个大小和形状完全相同的四边形，然后拼成一个平行四边形，那么通过计算两个图形阴影部分的面积，可以验证成立的等式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了平方差公式，运用不同方法表示阴影部分面积是解题的关键． 分别表示出图甲和图乙中阴影部分的面积，二者相等，从而可得答案． 【详解】解：图甲中阴影部分的面积为：，图乙中阴影部分的面积为：， ∵甲乙两图中阴影部分的面积相等， ∴． 故选：A． 重难点5：整式乘法的混合运算与化简求值 核心思路：先根据幂的运算、整式乘法法则、乘法公式化简代数式，再将已知条件代入化简后的式子求值，注意整体代入和符号运算。 典例1 先化简后求值：，其中。 【答案】3 【解析】化简：原式 ； 代入：。 典例2 先化简后求值：，其中． 【答案】 【分析】本题考查了整式的混合运算化简求值，先将题目中的式子化简，然后将的值代入化简后的式子计算即可，熟练掌握整式的运算法则是解题的关键． 【详解】解：原式 ， 当时， 原式 ． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章 整式的乘法 单元知识清单 1.同底数幂的乘法：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。 公式： （， 是正整数） 推广： （，， 为正整数） 2.幂的乘方：底数不变，指数相乘。 公式： （， 是正整数） 3.积的乘方：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。 公式： （ 是正整数） 推广：多个因式积的乘方同样适用，如 4.幂的运算法则逆用： ；； . 5.单项式与单项式相乘 把 、 分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。 步骤：①系数相乘（注意符号）；②同底数幂相乘；③保留独存字母。 6.单项式与多项式相乘 用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。 公式： （分配律，注意不漏乘、符号正确） 7.多项式与多项式相乘 先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。 公式： （不重不漏，合并同类项） 8.平方差公式 两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差。 公式： . 特征：①左边：两个二项式相乘，一项完全相同，另一项互为相反数； ②右边：相同项的平方相反项的平方； ③、 可表示数、单项式、多项式。 9.完全平方公式 两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加（或减）它们的积的2倍。 公式： ； . 巧记：首平方，末平方，首末两倍中间放，符号与左边一致。 变形公式： ； . 10.整式乘法混合运算顺序 先算幂的运算（同底数幂相乘、幂的乘方、积的乘方）； 再算整式的乘法（单项式×单项式、单项式×多项式、多项式×多项式）； 最后算加减（合并同类项）； 有括号先算括号内的，能运用乘法公式的优先用公式简化计算。 1. 混淆同底数幂乘法与幂的乘方（指数相加/相乘混淆） 错误：如、，误将同底数幂乘法指数相乘，幂的乘方指数相加。 注意：紧扣法则，同底数幂相乘“指数相加”，幂的乘方“指数相乘”。 典例 下列各式中，计算结果不是的是（    ） A． B． C． D． 2. 积的乘方漏乘因式、忽略符号 错误：如、，漏对系数乘方或符号判断错误。 注意：积的乘方需对每一个因式分别乘方，负数的偶次幂为正，奇次幂为负。 典例 下列计算正确的（   ） A． B． C． D． 3. 忽略底数的符号，未统一底数直接运算 错误：如、，未将互为相反数的底数统一。 注意：；。 典例 计算：______ 4. 单项式乘多项式漏乘项 错误：如，漏乘多项式的项。 注意：单项式需乘多项式的每一项，注意项的符号。 典例 计算：（） A． B． C． D． 5. 多项式乘多项式漏乘、错乘，未合并同类项 错误：如，漏乘和项；或，未合并。 注意：按“一项乘遍另一项”的顺序计算，最后合并同类项。 典例 下列计算结果为是（   ） A． B． C． D． 6. 整式乘法中忽略系数的符号运算 错误：如，符号错误，应为。 注意：单项式的符号与多项式每一项的符号相乘，遵循“同号得正，异号得负”。 典例 计算：． 7. 平方差公式误用，判断结构错误 错误：如、，不满足“一项相同，一项相反”的结构。 注意：严格判断平方差公式的结构特征，无相同项/相反项则不能用。 典例 下列各式能用平方差公式计算的是（   ） A． B． C． D． 8. 完全平方公式漏乘“2ab”项，或符号错误 错误：如、，漏中间项或末项符号错误。 注意：完全平方公式是三项式，中间项为“首末积的2倍”，末项永远为正。 典例 ． 9. 乘法公式中字母代换错误，未将多项式看作整体 错误：如，未将“”看作整体用完全平方公式。 注意：公式中的、可表示多项式，需用整体思想代换。 典例 计算： 重难点1：幂的运算法则的灵活逆用（求值、比较大小） 核心思路：将所求代数式通过幂的运算法则逆用，转化为已知条件的形式，利用整体代入求值；比较幂的大小时，将不同底数/指数的幂转化为同底数或同指数的形式，再比较。 典例1若，，则 ． 典例2已知，，，那么a，b，c的大小顺序是（    ） A． B． C． D． 重难点2：整式乘法中“不含某项求参数值” 核心思路：先按整式乘法法则展开代数式，合并同类项后，令“不含项”的系数为0，建立方程求解参数。 典例1 若的结果中不含项和项，则，的值为（） A．， B．， C．， D．， 典例2若的结果中不含项，则的值为（   ）． A．0 B．1 C．2 D．3 重难点3：乘法公式的变形求值（整体思想） 核心思路：利用完全平方公式的变形公式（、等），将所求代数式转化为已知的、、的形式，整体代入求值。 典例 若，则的值为（     ） A．11 B．13 C．17 D．25 重难点4：乘法公式与几何图形的结合（面积验证、求面积） 核心思路：用两种方法表示同一个几何图形的面积，建立代数等式，验证乘法公式；或利用乘法公式化简代数式，求解图形面积。 典例从边长为的大正方形纸板挖去一个边长为的小正方形纸板后，将其裁成四个大小和形状完全相同的四边形，然后拼成一个平行四边形，那么通过计算两个图形阴影部分的面积，可以验证成立的等式为（   ） A． B． C． D． 重难点5：整式乘法的混合运算与化简求值 核心思路：先根据幂的运算、整式乘法法则、乘法公式化简代数式，再将已知条件代入化简后的式子求值，注意整体代入和符号运算。 典例1 先化简后求值：，其中。 典例2 先化简后求值：，其中． 学科网（北京）股份有限公司 $