安徽省临泉田家炳实验中学（临泉县教师进修学校）2025-2026学年高三下学期开学考试数学试题

高三数学 (120分钟　150分) 一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.若z(2i)2=2-4i,则z= A.1-2i B.-i C.-1+2i D.-+i 2.设公比为的等比数列{an}的前n项和为Sn,若S10-S8=9,则a10= A.6 B.3 C.4 D.2 3.设a∈R,则“a<1”是“函数f(x)=在(1,+∞)上单调递增”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.某单位共有A,B两个部门,1月份进行服务满意度问卷调查,得到两部门服务满意度得分的频率分布条形图如下.设A,B两部门的服务满意度得分的第75百分位数分别为n1,n2,方差分别为,,则 A.n1>n2,> B.n1>n2,< C.n1<n2,< D.n1<n2,> 5.已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的右焦点为F,过点F作垂直于x轴的直线l,M,N分别是l与双曲线C及其渐近线在第一象限内的交点.若M是线段FN的中点,则双曲线C的离心率为 A.2 B. C. D. 6.若对任意的x1,x2∈,2,都有2x1+a≤ln x2-2x2成立,则实数a的取值范围是 A.(-∞,ln 2-6] B.(-∞,ln 2-4] C.(-∞,ln 2-3] D.(-∞,ln 2-8] 7.在△ABC中,AB=AC=2,BC=2,P为线段BC上的动点,则·的最小值为 A.- B.- C.- D.- 8.已知A,B,C是半径为3的球O的球面上的三个点,且∠ACB=120°,AB=,AC+BC=2,则三棱锥O-ABC的体积为 A. B. C. D. 二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,选对但不全的得部分分,有选错的得0分. 9.已知函数y=f(x+1)是定义在R上的偶函数,且在(-∞,-1]上单调递增,则下列结论正确的有 A.函数f(x)的图象关于直线x=1对称 B.函数f(x)在[1,+∞)上单调递减 C.f(-3)<f(6) D.不等式f(-2x)>f(-8)的解集为(-∞,3) 10.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,动点E在线段A1C1上,则 A.直线A1C1与BC所成的角大于50° B.对任意的点E,都有BD⊥平面ACE C.存在点E,使得平面ABE∥平面CC1D1D D.不存在点E,使得平面ABE⊥平面CDE 11.小蒋同学喜欢吃饺子,某日他前往食堂购买了16个饺子,其中有X个为香菇肉馅的,其余为玉米肉馅的,且P(X=i)=,i=0,1,…,16.记事件Ai:16个饺子中有i个香菇肉馅饺子,i=0,1,…,16,事件B:吃到的前13个饺子均为玉米肉馅饺子,则下列结论正确的有 A.P(B|A0)=1 B.P(B|A2)= C.P(B)= D.P(A0|B)= 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分. 12.已知全集U={0,1,2,3,4},集合A={0,1,2},B={0,2,3},则∁U(A∪B)=　　　　.  13.已知抛物线C:y2=6x的焦点为F,准线为l,点P为C上一点,过点P作l的垂线,垂足为A,若直线AF的倾斜角为150°,则|PF|=　　　  14.将函数f(x)=sin(ωx+φ)ω>0,|φ|<的图象向左平移θ个单位长度得到函数g(x)的图象,如图所示,图中阴影部分的面积为,且f=1,则θ=　　　　,f=　　　　.  四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分)已知函数f(x)=x+. (1)求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程; (2)当x>0时,求证:f(ln 2-x)>f(ln 2+x). 16.(15分)某行业举行专业能力测试,该测试由A,B,C三项组成,每项测试成绩分为合格和不合格,三项测试结果相互独立.当三项测试成绩均合格时,认定分为10分;当C项测试成绩合格,且A,B两项中恰有一项成绩合格时,认定分为5分;当C项测试成绩不合格,且A,B两项测试成绩都合格时,认定分为2分;其它测试成绩,认定分为0分.甲在参加该专业能力测试前进行了20次模拟测试,测试成绩合格的频数统计如下表: 测试项 A B C 频数 16 15 10 用频率估计概率. (1)试估计甲的A项测试成绩合格的概率; (2)设X表示甲获得的认定分,求X的分布列和数学期望E(X). 17.(15分)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,该椭圆的离心率为,且椭圆C的短轴长为2. (1)求椭圆C的方程; (2)如图,若直线l:x=2y+n与x轴、椭圆C顺次交于点P,Q,R(点P在椭圆左顶点的左侧),且+=0,求△RQF1的面积. 18.(17分)如图,AB是圆柱底面圆O的直径,AA1,CC1为圆柱的母线,四边形ABCD是底面圆O的内接等腰梯形,且AB=AA1=2BC=2CD,E,F分别为A1D,C1C的中点. (1)证明:EF∥平面ABCD. (2)求平面OEF与平面BCC1夹角的余弦值. 19.(17分)已知数列{an}的前n项和为Sn.若对每一个n∈N*,有且仅有一个m∈N*,使得Sm≤an<Sm+1,则称{an}为“X数列”.记bn=Sm+1-an,n∈N*,称数列{bn}为{an}的“余项数列”. (1)若{an}的前四项依次为0,1,-1,1,试判断{an}是否为“X数列”,并说明理由; (2)若Sn=2n,证明{an}为“X数列”,并求它的“余项数列”的通项公式; (3)已知正项数列{an}为“X数列”,且{an}的“余项数列”为等差数列,证明:Sn≤(1+2n-2)a1. 参考答案 1.D 【解题分析】∵z(2i)2=2-4i,∴-4z=2-4i,∴z=-+i. 2.B 【解题分析】∵S10-S8=a10+a9=a10·(1+2)=9,∴a10=3. 3.A 【解题分析】∵函数f(x)=在(1,+∞)上单调递增,∴a≤1, ∴“a<1”是“函数f(x)=在(1,+∞)上单调递增”的充分不必要条件. 4.C 【解题分析】根据频率分布条形图可知n1=4,n2=5,即n1<n2; 显然A部门得分数据较B部门的更为集中,其方差更小,即<. 5.C 【解题分析】设双曲线的右焦点F(c,0),过第一象限的渐近线的方程为y=x,∵当x=c时,y=,∴Nc,.又Mc,, ∵M是线段FN的中点,∴=·,可得c=2b, ∴c2=4b2=a2+b2,∴a=b,∴双曲线C的离心率为e===. 6.D 【解题分析】∵对任意的x1,x2∈,2,都有2x1+a≤ln x2-2x2成立, ∴令f(x)=2x+a,g(x)=ln x-2x,∵g'(x)=-2=, ∴当x∈,2时,g'(x)≤0,∴g(x)在,2单调递减, ∴g(x)min=g(2)=ln 2-4,∵f(x)在,2上单调递增,∴f(x)max=f(2)=4+a, ∵对任意的x1,x2∈,2,都有f(x1)≤g(x2)成立,∴4+a≤ln 2-4,∴a≤ln 2-8. 7.B 【解题分析】如图,以BC所在直线为x轴,以BC的垂直平分线为y轴,建立平面直角坐标系, ∵AB=AC=2,BC=2,∴OA==1, ∴A(0,1),B(-,0),C(,0),设P(x,0)(-≤x≤), ∴=(-x,1),=(--x,0), ∴·=-x·(--x)=x2+x=x+2-, ∴当x=-时,·取得最小值-. 8.A 【解题分析】∵AB=,∠ACB=120°,∴△ABC的外接圆半径为r==1, ∴三棱锥O-ABC的高为h==2.∵在△ABC中,3=AB2=AC2+BC2-2AC·BCcos 120°=AC2+BC2+AC·BC=(AC+BC)2-AC·BC, ∴AC·BC=(AC+BC)2-3=1,∴S△ABC=AC·BCsin 120°=, ∴VO-ABC=S△ABC·h=××2=. 9.AD 【解题分析】∵函数f(x)的图象可由函数f(x+1)的图象向右平移1个单位长度得到, ∴函数f(x)的图象关于直线x=1对称,且在(-∞,0]上单调递增, ∴函数f(x)在[2,+∞)上单调递减,∴A项正确,B项错误; ∵f(-3)=f(2+3)=f(5)>f(6),∴C项错误; ∵f(-2x)>f(-8),且-2x,-8∈(-∞,0],∴-2x>-8,即2x<8,解得x<3, ∴不等式f(-2x)>f(-8)的解集为(-∞,3),∴D项正确. 10.BCD 【解题分析】因为AC∥A1C1,所以∠ACB即为直线A1C1与BC所成的角,∠ACB=45°,故A项错误;因为AA1⊥平面ABCD,BD⊂平面ABCD,所以AA1⊥BD,又因为AC⊥BD,AC∩AA1=A,所以BD⊥平面ACC1A1,故BD⊥平面ACE,故B项正确; 当点E在A1处时,平面ABE∥平面CC1D1D,所以存在点E,使得平面ABE∥平面CC1D1D,故C项正确;如图,过点E作MN∥A1B1,则MN为平面ABE与平面CDE的交线,在正方体中,A1B1⊥平面BCC1B1,所以MN⊥平面BCC1B1,所以BN⊥MN, CN⊥MN,所以∠BNC即为平面ABE与平面CDE所成的夹角, 因为点N一定在以BC为直径的圆外,所以∠BNC<90°,所以不存在点E, 使得平面ABE⊥平面CDE,故D项正确. 11.ACD 【解题分析】∵P(B|A0)=1,∴A项正确; ∵P(B|A1)=,P(B|A2)==,P(B|A3)==,∴B项错误; ∵当i=4,5,…,16时,P(B|Ai)=0,且P(Ai)=, ∴P(B)=P(Ai)P(B|Ai)=1+++=,∴C项正确; ∵P(BA0)=P(A0)P(B|A0)=,∴P(A0|B)===,∴D项正确. 12.{4} 【解题分析】∵A∪B={0,1,2,3},∴∁U(A∪B)={4}. 13.2 【解题分析】∵F,0,准线方程为x=-,设准线l与x轴交于点K, P(xP,yP),∴|KF|=3,∵直线AF的倾斜角为150°,∴∠AFK=30°, ∴|AK|=|KF|tan 30°=,∴yP=,∴3=6xP,∴解得xP=, ∴|PF|=|AP|=+xP=2. 14.　 【解题分析】如图所示,根据三角函数图象的对称性,可得阴影部分的面积等于矩形ABCD和EFGH的面积之和,即S=S矩形ABCD+S矩形EFGH=2S矩形ABCD, ∵函数f(x)=sin(ωx+φ)的图象向左平移θ个单位长度得到函数g(x)的图象,∴S矩形ABCD=θ×1=θ.又∵图中阴影部分的面积为, ∴2θ=,解得θ=. 又由图象可得θ=,即=,∴T=π,∴ω==2, ∴f(x)=sin(2x+φ). ∵f=sin2×+φ=1,∴+φ=+2kπ,k∈Z,即φ=+2kπ,k∈Z. ∵|φ|<,∴φ=,∴f(x)=sin2x+,∴f=sin+=cos=. 15.【解题分析】(1)∵f(x)=x+,∴f'(x)=1-,∴f'(0)=-1,f(0)=2, ∴曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为x+y-2=0. 5分 (2)设g(x)=f(ln 2-x)-f(ln 2+x)=ln 2-x+-ln 2+x+=-2x+ex-, ∵g'(x)=-2+ex+,且ex>0,>0,∴g'(x)=-2+ex+≥-2+2=0, 当且仅当ex=,即x=0时取等号,∴g'(x)在(0,+∞)上单调递增, ∴g(x)>g(0)=0,∴f(ln 2-x)>f(ln 2+x). 13分 16.【解题分析】(1)∵甲的A项测试成绩合格的频率为=, ∴估计甲的A项测试成绩合格的概率为P(A)=. 3分 (2)设甲的专业能力A,B,C三项测试成绩合格分别为事件A1,B1,C1, 由频率估计概率,可得P(A1)=,P(B1)=,P(C1)=, 根据题意,随机变量X的所有可能取值为10,5,2,0, ∵P(X=10)=P(A1B1C1)=P(A1)P(B1)P(C1)=××=, P(X=5)=P()P(B1)P(C1)+P(A1)P()P(C1)=××+××=, P(X=2)=P(A1B1)=P(A1)P(B1)P()=××=, P(X=0)=1-P(X=10)-P(X=5)-P(X=2)=, ∴X的分布列为 X 0 2 5 10 P ∴X的数学期望为E(X)=0×+2×+5×+10×=4.475. 15分 17.【解题分析】(1)∵2b=2,∴b=.∵e2=1-=,解得a=2, ∴椭圆C的方程为+=1. 5分 (2)设Q(x1,y1),R(x2,y2),由(1)知,F1(-1,0), ∵+=0,∴+=0,∴x1y2+y2+x2y1+y1=0. 由得28y2+12ny+3n2-12=0, ∴Δ=288n2-112(3n2-12)>0,∴n2<28. ∵y1+y2=-,y1y2=,x1=2y1+n,x2=2y2+n, ∴x1y2+y2+x2y1+y1=4y1y2+(n+1)(y1+y2)=0, ∴4·+(n+1)-=0,∴n=-4, ∴直线PQ的方程为x=2y-4,∴P(-4,0). ∴=|PF1|·|y1-y2|=·=. 15分 18.【解题分析】(1)取AD的中点M,连接EM,MC, ∵E为A1D的中点,M为AD的中点,F为CC1的中点,∴EM∥AA1,EM=AA1,又CF∥AA1,CF=AA1. ∴EM∥CF,EM=CF,∴四边形EMCF为平行四边形,∴EF∥CM. 又EF⊄平面ABCD,CM⊂平面ABCD,∴EF∥平面ABCD. 7分 (2)设AB=AA1=2BC=2CD=4,∵AC⊥BC,∴AC=2. 由题意知CA,CB,CC1两两垂直,故以C为坐标原点,分别以CA1,CB,CC1所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系,则A1(2,0,4),O(,1,0),F(0,0,2),C(0,0,0),D(,-1,0),∴A1D的中点E的坐标为,-,2, ∴=(-,-1,2),=-,,0, 设平面OEF的法向量为n=(x,y,z), 则即即 令x=,得n=(,9,6).∵AC⊥BC,AC⊥CC1,BC∩CC1=C, ∴AC⊥平面BCC1,∴平面BCC1的一个法向量为=(2,0,0),cos<n,>===, ∴平面OEF与平面BCC1夹角的余弦值为. 17分 19.【解题分析】(1)∵S1=0,S2=1,S3=0,S4=1,∴S1≤a1≤S2,S3≤a1≤S4, ∴根据“X数列”的定义知{an}不是“X数列”. 3分 (2)∵Sn=2n,∴当n=1时,a1=S1=2, ∵当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n-2n-1=2n-1, ∴a1=2不满足an=2n-1,∴an= 令Sm≤an<Sm+1,即2m≤an<2m+1, ∴当n=1时,有2m≤a1=2<2m+1,∴m=1, 当n≥2时,有2m≤2n-1<2m+1,∴m≤n-1<m+1,即m+1≤n<m+2, ∴对每一个n∈N*(n≥2),有且仅有一个m∈N*,且m=n-1,使得Sm≤an<Sm+1. 综上可知,对任意n∈N*,有且仅有一个m∈N*,使得Sm≤an<Sm+1,∴{an}为“X数列”.∵bn=Sm+1-an== ∴{an}的“余项数列”的通项公式为bn= 10分 (3)∵{an}是正项数列,∴{Sn}单调递增, ∴S1≤a1<S2,故b1=S2-a1=a2.∵a2<S2,且{an}为“X数列”, ∴a1=S1≤a2<S2,由bn=Sm+1-an(n∈N*),得b2=S2-a2=a1. {an}的“余项数列”{bn}为等差数列,故其公差d=b2-b1=a1-a2≤0. ∵Sm≤an<Sm+1,∴bn=Sm+1-an>0. 若d<0,则当n>1-时,bn=a2+(n-1)d<a2+1--1d=0,与bn>0矛盾,故d=0,∴bn=a2=a1,bn=Sm+1-an=a1,即Sm+1-an-a1=0, 对于n≥3,若m+1≥n,则a2≤Sm+1-an-a1=0,与正项数列{an}矛盾, ∴m+1≤n-1,故Sn-Sn-1+a1=an+a1=Sm+1≤Sn-1, ∴Sn-a1≤2(Sn-1-a1),故≤≤…≤==, ∴Sn≤(1+2n-2)a1(n≥3).又S1≤(1+2-1)a1,S2=2a1≤(1+20)a1, ∴Sn≤(1+2n-2)a1. 17分 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $