精品解析：天津市南开区美达菲津英中学2025-2026学年九年级上学期数学1月学情自测

2025—2026学年九年级上学期1月月考数学试题 一．选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形，中心对称图形的识别，解题的关键在于熟练掌握：在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形． 根据中心对称图形和轴对称图形的概念求解即可． 【详解】解：A、该图形既是轴对称图形又是中心对称图形，符合题意； B、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； C、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； D、该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意， 故选A 2. 下列事件中，属于必然事件的是（ ） A. 任意挪两枚均匀的骰子，点数之和一定小于13 B. 打开电视，正在播放新闻 C. 三条长度分别为2，5，7的线段可以组成一个三角形 D. 掷一枚硬币，正面朝上 【答案】A 【解析】 【分析】根据事件发生的可能性大小判断即可． 【详解】解：A、任意掷两枚均匀的骰子，点数之和一定小于13，是必然事件，符合题意； B、打开电视，正在播放新闻，是随机事件，不符合题意； C、三条长度分别为2，5，7的线段可以组成一个三角形，是不可能事件，不符合题意； D、掷一枚硬币，正面朝上，是随机事件，不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 3. 某个亮度可调节的台灯，其灯光亮度的改变，可以通过调节总电阻控制电流的变化来实现．如图是该台灯的电流（）与电阻（）的关系图象，该图象经过点．根据图象可知，下列说法：①与的函数关系式是（）；②时，；③当时，；④当时，的取值范围是．错误的个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】观察图象是反比例函数，设函数解析式为，代入点，即可求得解析式，进而观察函数图象，根据反比例函数的性质，即可判断②③④ 【详解】解：根据函数图象是反比例函数，设函数解析式为，代入点， 得， ∴与的函数关系式是，故①符合题意； 观察函数图象，随着的增大而减小，则时，，故②符合题意 ③当时，，故③符合题意 ④当时，,则当时，的取值范围是．故④不符合题意， 故选：C． 【点睛】本题考查了反比例函数的实际应用，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键． 4. 如图，，且，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质，掌握相似三角形对应角相等是关键． 根据相似三角形对应角相等即可求解． 【详解】解：∵，且， ∴， 故选：B ． 5. 如图，五边形为正五边形，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】过点B作，得出，根据平行线的性质得出，，再根据正多边形每个内角都相等求出的度数，即可得解． 【详解】如图，过点B作， ， ， ， 即， ， ， ∵五边形为正五边形， ，， ， ． 【点睛】正确作出辅助线，构造平行线是解题的关键． 6. 某校艺体节期间九年级举行足球赛，九年级每两个班之间都要比赛一场，艺体节为期35天，每天举行3场比赛，设该校九年级有x个班，依题意可列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意并正确列方程是解题关键．根据单循环比赛场数列方程即可． 【详解】解：∵每两个班之间比赛一场，为单循环赛， ∴总比赛场数为， ∵艺体节35天，每天3场比赛，总比赛场数为， ∴， 两边乘以2得：， 故选：C． 7. 如图，是的内切圆，与，，分别相切于点D，E，F．若的半径为r，，，，则的面积为（ ） A. B. 12r C. 13r D. 26r 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形内切圆与三角形三边的关系，熟练掌握三角形三边与内切圆的关系是解答此题的关键； 根据三角形面积=三角形边长之和乘以内切圆半径之积的一半． 计算即可． 【详解】 是的内切圆且半径为r，，， ， ， 则的面积为， 故选：C 8. 如图，等边三角形的边长为，半圆的直径为，连接，相交于点，将等边三角形从与重合的位置开始，绕点顺时针旋转．下列结论正确的是（ ） 结论Ⅰ：的长与的长之和为定值； 结论Ⅱ：使得的值有两个 A. Ⅰ对Ⅱ错 B. Ⅰ错Ⅱ对 C. Ⅰ和Ⅱ都错 D. Ⅰ和Ⅱ都对 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查等边三角形的性质，圆周角定理，弧长公式，解题的关键得到，然后利用弧长公式判断结论Ⅰ，根据圆周角定理可以得到，判断结论Ⅱ． 【详解】， ， 设，则 ， 长度长度定值, 结论Ⅰ正确； ， ， ， ， 使得的值有无数个， 结论Ⅱ错误， 故选A． 9. 若一元二次方程的两根之和与两根之积分别为m，n，则点在平面直角坐标系中位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程，根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的两个根，，满足，．将方程化为一般形式后，利用根与系数的关系求出两根之和与两根之积，得到点的坐标，再判断所在象限即可． 【详解】解：∵方程化为， ∴, , ， ∴两根之和为， 两根之积为， ∴点为， ∵横坐标为正，纵坐标为负， ∴点在第四象限． 故选：D． 10. 如图，在中，以为直径的经过点C，以点B为圆心，适当长为半径画弧分别交、于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内部交于点P，画射线分别交弦、劣弧于点D、E，连接．下列结论正确的是（ ）． A. B. C. 点D为弦中点 D. 点E为劣弧的中点 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的作图、圆周角定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 根据作图推出，得出，即可作答． 【详解】解：由作图可知， ∴，即点为劣弧的中点． 故选：D． 11. 如图，在中，，，O为的中点，将绕点O顺时针旋转得到，D、E分别在边和的延长线上，连接，若，则的面积是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据等腰三角形的性质可得，．根据旋转的性质可得，，则可得和都是等边三角形，则，则可得，由此得垂直平分， ，在中求出的长，则可知、的长，进而可得的长，从而可求得的面积． 【详解】连接，， ，， ∴， ∵O为的中点， ，， ， ∵将绕点O顺时针旋转得到， ，， 是等边三角形， ， ， ， ， ∴D点在的垂直平分线上， 是等边三角形， ， 即旋转角为， ， 是等边三角形， ∴， ∴F点在的垂直平分线上， 垂直平分， 设垂足为H， ， ，， ， ． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质、等边三角形的判定和性质、旋转的性质、线段垂直平分线的判定和性质以及勾股定理．熟练掌握以上知识，正确的作出辅助线是解题的关键． 12. 如图，在中，，，动点P从点A开始以的速度沿边向点B运动；动点Q从点B开始以的速度沿边向点C运动．如果P，Q两点分别从A，B两点同时出发，设运动时间为t秒． ①当时，的面积为； ②t有两个不同的值，都使的面积为； ③的面积可以为 其中，正确结论的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用、列代数式以及三角形的面积，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． ①当时，，，利用三角形的面积公式，可求出的面积为；②当运动时间为秒时，，，根据的面积为，可列出关于t的一元二次方程，解之即可得出结论；③假设的面积可以为，根据的面积为，可列出关于t的一元二次方程，由根的判别式，可得出原方程没有实数根，进而可得出假设不成立，即的面积不能为 【详解】解：①当时，，， ，结论①正确； ②秒，秒， 当运动时间为秒时，，， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，， 有两个不同的值，都使的面积为，结论②正确； ③假设的面积可以为， 根据题意得：， 整理得：， ， 原方程没有实数根， 假设不成立，即的面积不能为，结论③不正确． 综上所述，正确的结论有2个． 故选：C． 二．填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．请将答案直接填在答题纸中对应的横线上） 13. 一个不透明的盒子中装有3个黑棋和若干个白棋，每个棋子除颜色外都相同，任意摸出一个棋子，摸到黑棋的概率是，则盒子中棋子的总个数是______． 【答案】12 【解析】 【分析】本题考查利用概率求数量，根据概率公式进行计算即可． 【详解】解：， ∴盒子中棋子的总个数是． 故答案为：． 14. 若关于x的一元二次方程有解，则m的取值范围为____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次方程有解的条件即可求解． 【详解】解：由题意得： ，即， ， 解得， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程有解的条件，熟练掌握一元二次有解的条件是解题的关键． 15. 一次函数反比例函数交于点、，根据图象直接写出当时，x的取值范围为______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数图象与反比例函数图象综合，根据函数图象找到一次函数图象在反比例函数图象下方时，自变量的取值范围即可． 【详解】解：由函数图象可知，当或时，一次函数图象在反比例函数图象下方， ∴不等式的解集为或， 故答案为：或． 16. 中，、、，则外接圆圆心坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】先画出图形，证明，可得的外心是斜边的中点，从而可得答案． 【详解】解：如图，∵、、， ∴， ∴的外心是斜边的中点， ∴外接圆的圆心坐标为：，即； 故答案为： 【点睛】本题考查的是坐标与图形，求解直角三角形的外心坐标，熟记直角三角形的外心是斜边的中点是解本题的关键． 17. 如图，点是边长为4的正方形外一点，且，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接． （1）的大小为________（度）； （2）点是的中点，连接，则的最小值为_______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质、旋转的性质、全等三角形的判定与性质以及圆的性质． （1）通过旋转性质和正方形性质证明三角形全等，进而得出角的度数； （2）确定点的运动轨迹，利用圆的性质和勾股定理求出的最小值． 【详解】解：（1）线段绕点逆时针旋转得到线段， ， 四边形是正方形， ，则， ，即， 在和中，， ； ； （2）由（1）知， 点在以为直径的圆上运动（直角所对的弦是直径）, 如图：设的中点为，则为圆心，， 点是的中点，正方形边长为4， ，且， 是等腰直角三角形． 根据勾股定理，， 当、、三点共线时，取得最小值， ， 的最小值为． 三．解答题（本大题共7小题，共66分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 18. 在如图所示的方格中，每个小方格的边长都为1． （1）在图中以为边画出，使它的顶点都在格点上，且，； （2）作出（1）中所作最大边上的高． 【答案】（1） 如图所示： （2） 作图如下： 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理、网格作图、实数的大小比较以及全等三角形的判定和性质等知识； （1）根据勾股定理结合网格的特点即可确定三角形的第三个顶点； （2）先判断是最大边，取格点E，连接交于D，易得，利用网格的特点结合全等三角形的判定和性质即可判断即为边上的高． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由于，即， 所以是最大边，边上的高；取格点E，连接交于D，则即为边上的高． 19. 填空： （1）反比例函数，，，的图象中，在第一、三象限的是 ，在第二、四象限的是 ； （2）若反比例函数的图象在第二、四象限，则m的取值范围是 ； （3）已知反比例函数，且、为其图象上的两点，若，，则的取值范围是 ； （4）在函数，，中，其图象是中心对称图形且对称中心是原点的有 个． 【答案】（1）， （2） （3） （4） 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的图象和性质，一次函数的图象和性质． （1）根据反比例函数的图象和性质，即可求解； （2）由反比例函数的图象在第二、四象限，可得，即可得的取值范围； （3）根据题意可得反比例函数图象的两个分支分别位于第二四象限，可得，即可得的取值范围； （4）根据反比例函数的图象和性质，一次函数的图象和性质即可求解． 【小问1详解】 解：反比例函数，，的图象在第一、三象限， 反比例函数的图象在第二、四象限． 故答案为：，； 【小问2详解】 解：∵反比例函数的图象在第二、四象限， ∴， ∴． 故答案为：； 【小问3详解】 解：∵反比例函数，且、为其图象上的两点，，， ∴函数图象的两个分支分别位于第二四象限， ∴， ∴． 故答案为：； 【小问4详解】 解：∵，其图象是中心对称图形且对称中心是原点， ∴在函数，，中，其图象是中心对称图形且对称中心是原点的有个． 故答案为：． 20. 实现民族伟大复兴是近代中华民族最伟大的梦想，需要每位少年团结奋斗，同心共圆中国梦！在一个不透明的口袋里装有五个小球，分别标注汉字“共”、“圆”、“中”、“国”、“梦”，除汉字不同之外，小球没有任何区别，从中随机取出一个小球． （1）取出的小球上恰好标有“国”字的概率是多少？ （2）取出的小球不放回，再从中任取一球．请用树状图或列表法，求取出的两个球上的汉字恰能组成“中国”或“圆梦”的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：∵在分别标注汉字“共”、“圆”、“中”、“国”、“梦”的五个小球中，任取一球，共有5种不同的结果，且每种结果出现的可能性相同． ∴球上标注汉字是“国”的概率为． 【小问2详解】 画树状图如下： 由图可知，所有可能出现的结果共有20种，且每种结果出现的可能性相同，其中取出的两个球上的汉字恰能组成“中国”或“圆梦”（记为事件A）的情况有4种． ∴． 【点睛】本题考查了根据概率公式求概率，画树状图法求概率，掌握求概率的方法是解题的关键． 21. 如图，在菱形中，点G在边 上，连接 并延长交 的延长线于点F，连结交于点E，连结． （1）若请直接写出的度数； （2）求证：； （3）若 求的长． 【答案】（1） （2） 证明：∵是菱形， ∴，， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，即； （3） 【解析】 【分析】本题考查菱形的性质，相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定与性质是关键． （1）根据菱形的性质得到，，，然后求出和的度数，然后解题即可； （2）先证明，可以得到，然后根据菱形的性质为，即可得到，再根据公共角可以得到，即可解题； （3）设，则，，然后求出，，然后根据解题即可． 【小问1详解】 解：∵是菱形，， ∴，，， ∴，， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：设，则， ∵， ∴， ∴，， 又∵， ∴，， ∴， ∴， ∴． 22. 如图，在中，，以为直径作交于点D，过点D作的切线交于点E． （1）求证：； （2）如果，求的长． 【答案】（1） 证明：连接，则， ， ， ， ， ， 与相切于点， ， ， ； （2） 【解析】 【分析】（1）连接，则，所以，由，得，推导出，则，由切线的性质得，则，所以． （2）连接，由是的直径，得，因为，，于点，所以，求得，由，求得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接， 是的直径， ， ，，于点， ，， ， ， ， 的长是． 【点睛】利用直径所对的圆周角为直角，连接是常规辅助线，需要掌握． 23. 如图所示，一个运动员推铅球，铅球在点A处出手，出手时球离地面米，铅球落地点在B处，铅球运行在运动员前4米处（即）达到最高点，最高点高为3米，已知铅球经过的路线是抛物线．根据图示的直角坐标系回答下列问题． （1）求铅球所经过路线的函数关系式． （2）求该运动员的铅球成绩是多少米？ 【答案】（1） （2）10米 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的运用，解题的关键是求出解析式． （1）设抛物线的解析式为，运用待定系数法求出解析式即可； （2）求出（1）中抛物线与x轴正半轴的交点坐标即可得出结论． 【小问1详解】 解：由题意得：A点坐标为，点坐标为，且为抛物线的顶点， 设抛物线的解析式为， ， ， 抛物线解析式为； 【小问2详解】 解：令，则， ， 解得或， ∵因为点在轴正半轴， 点坐标为， ， 铅球的落地点离运动员有10米远， 即该运动员的铅球成绩是10米． 24. （1）如图1，在中，，，取的中点D，连接． ①的值是 ； ②在的延长线上截取，连接，将绕点C顺时针旋转，如图2，当点A，D，E在同一直线上时，求的长． （2）如图3，在中，，，，将绕点C逆时针旋转角α至，连接，． ①若，求的长； ②若，设的最大值为m，最小值为n，求的值． 【答案】（1）①；②；（2）①；②3 【解析】 【分析】（1）①由等腰直角三角形的性质和勾股定理可求，的长，即可求解； ②由勾股定理可求的长，由勾股定理可求的长，即可求解； （2）①由勾股定理可求的长，由可证，可得； ②由等腰直角三角形的性质和勾股定理可求的长，由点B在以点C为圆心，长为半径的圆上，则当点B在的延长线上时，有最大值，当点B在的延长线上时，有最小值，即可求m，n的长，即可求解． 【详解】解：（1）①过点D作于H， ∵，， ∴，， ∵点D是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； ②如图2，过点C作于F， ∵，，点F是的中点， ∴，， ∴， ∴； （2）①如图3，在的左侧以C为直角顶点作等腰直角，连接， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵将绕着点C逆时针旋转至， ∴，， ∴， ∴， ∴； ②如图4，过点C作于H， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵将绕点C逆时针旋转角α至， ∴点B在以点C为圆心，长为半径的圆上， 当点B在的延长线上时，有最大值， ∴的最大值为， 当点B在的延长线上时，有最小值， ∴的最小值为， ∴． 【点睛】本题是几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，旋转的性质，锐角三角函数等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 25. 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于点和，与轴交于点，顶点为，连接． （1）求抛物线的表达式； （2）点是抛物线上对称轴右侧的点． ①当点在轴上方时，连接，如果，求点的坐标； ②如果点在对称轴上，且使与相似，请直接写出点的坐标． 【答案】（1） （2）①；②或 【解析】 【分析】（1）把A、B的坐标代入，求出b、c即可； （2）①先求出直线的表达式为，过P作轴，交于Q，设，则，，结合，得出方程，解方程即可； ②先求出，根据与相似，且，则分两种情况讨论：当时，或，设，则或，分别解方程求出x，即可求出P的坐标；当时，过P作于H，证明，进而判断出与相似，，则或，然后同理可求出点P的坐标即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线与轴交于点和，与轴交于点， ∴， 解得， ∴； 【小问2详解】 解：①令，解得，， ∴， 设直线的表达式为， 则，解得， ∴， 过P作轴，交于Q， 设，则， ∴， ∵， ∴， 解得（不符合题意舍去），， ∴， ∴； ②∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵点在对称轴上，且与相似， ∴当时， 或， 设， 则或， 解方程，得，， ∴， ∴， 解，得，， ∴， ∴， 当时， 过P作于H， 则， 又， ∴， 又与相似， ∴与相似，， ∴或， 同理可求或， 综上：或． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数表达式，二次函数的图象与性质，相似三角形的判定与性质等知识，利用分类讨论的思想和添加合适的辅助线是解答类似题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年九年级上学期1月月考数学试题 一．选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列事件中，属于必然事件的是（ ） A. 任意挪两枚均匀的骰子，点数之和一定小于13 B. 打开电视，正在播放新闻 C. 三条长度分别为2，5，7的线段可以组成一个三角形 D. 掷一枚硬币，正面朝上 3. 某个亮度可调节的台灯，其灯光亮度的改变，可以通过调节总电阻控制电流的变化来实现．如图是该台灯的电流（）与电阻（）的关系图象，该图象经过点．根据图象可知，下列说法：①与的函数关系式是（）；②时，；③当时，；④当时，的取值范围是．错误的个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 4. 如图，，且，则的度数是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，五边形为正五边形，，则的值为（ ） A. B. C. D. 6. 某校艺体节期间九年级举行足球赛，九年级每两个班之间都要比赛一场，艺体节为期35天，每天举行3场比赛，设该校九年级有x个班，依题意可列方程（ ） A. B. C. D. 7. 如图，是的内切圆，与，，分别相切于点D，E，F．若的半径为r，，，，则的面积为（ ） A. B. 12r C. 13r D. 26r 8. 如图，等边三角形的边长为，半圆的直径为，连接，相交于点，将等边三角形从与重合的位置开始，绕点顺时针旋转．下列结论正确的是（ ） 结论Ⅰ：的长与的长之和为定值； 结论Ⅱ：使得的值有两个 A. Ⅰ对Ⅱ错 B. Ⅰ错Ⅱ对 C. Ⅰ和Ⅱ都错 D. Ⅰ和Ⅱ都对 9. 若一元二次方程的两根之和与两根之积分别为m，n，则点在平面直角坐标系中位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 10. 如图，在中，以为直径的经过点C，以点B为圆心，适当长为半径画弧分别交、于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内部交于点P，画射线分别交弦、劣弧于点D、E，连接．下列结论正确的是（ ）． A. B. C. 点D为弦中点 D. 点E为劣弧的中点 11. 如图，在中，，，O为的中点，将绕点O顺时针旋转得到，D、E分别在边和的延长线上，连接，若，则的面积是（　　） A. B. C. D. 12. 如图，在中，，，动点P从点A开始以的速度沿边向点B运动；动点Q从点B开始以的速度沿边向点C运动．如果P，Q两点分别从A，B两点同时出发，设运动时间为t秒． ①当时，的面积为； ②t有两个不同的值，都使的面积为； ③的面积可以为 其中，正确结论的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二．填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．请将答案直接填在答题纸中对应的横线上） 13. 一个不透明的盒子中装有3个黑棋和若干个白棋，每个棋子除颜色外都相同，任意摸出一个棋子，摸到黑棋的概率是，则盒子中棋子的总个数是______． 14. 若关于x的一元二次方程有解，则m的取值范围为____________． 15. 一次函数反比例函数交于点、，根据图象直接写出当时，x的取值范围为______． 16. 中，、、，则外接圆圆心坐标为______． 17. 如图，点是边长为4的正方形外一点，且，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接． （1）的大小为________（度）； （2）点是的中点，连接，则的最小值为_______． 三．解答题（本大题共7小题，共66分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 18. 在如图所示的方格中，每个小方格的边长都为1． （1）在图中以为边画出，使它的顶点都在格点上，且，； （2）作出（1）中所作最大边上的高． 19. 填空： （1）反比例函数，，，的图象中，在第一、三象限的是 ，在第二、四象限的是 ； （2）若反比例函数的图象在第二、四象限，则m的取值范围是 ； （3）已知反比例函数，且、为其图象上的两点，若，，则的取值范围是 ； （4）在函数，，中，其图象是中心对称图形且对称中心是原点的有 个． 20. 实现民族伟大复兴是近代中华民族最伟大的梦想，需要每位少年团结奋斗，同心共圆中国梦！在一个不透明的口袋里装有五个小球，分别标注汉字“共”、“圆”、“中”、“国”、“梦”，除汉字不同之外，小球没有任何区别，从中随机取出一个小球． （1）取出的小球上恰好标有“国”字的概率是多少？ （2）取出的小球不放回，再从中任取一球．请用树状图或列表法，求取出的两个球上的汉字恰能组成“中国”或“圆梦”的概率． 21. 如图，在菱形中，点G在边 上，连接 并延长交 的延长线于点F，连结交于点E，连结． （1）若请直接写出的度数； （2）求证：； （3）若 求的长． 22. 如图，在中，，以为直径作交于点D，过点D作的切线交于点E． （1）求证：； （2）如果，求的长． 23. 如图所示，一个运动员推铅球，铅球在点A处出手，出手时球离地面米，铅球落地点在B处，铅球运行在运动员前4米处（即）达到最高点，最高点高为3米，已知铅球经过的路线是抛物线．根据图示的直角坐标系回答下列问题． （1）求铅球所经过路线的函数关系式． （2）求该运动员的铅球成绩是多少米？ 24. （1）如图1，在中，，，取的中点D，连接． ①的值是 ； ②在的延长线上截取，连接，将绕点C顺时针旋转，如图2，当点A，D，E在同一直线上时，求的长． （2）如图3，在中，，，，将绕点C逆时针旋转角α至，连接，． ①若，求的长； ②若，设的最大值为m，最小值为n，求的值． 25. 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于点和，与轴交于点，顶点为，连接． （1）求抛物线的表达式； （2）点是抛物线上对称轴右侧的点． ①当点在轴上方时，连接，如果，求点的坐标； ②如果点在对称轴上，且使与相似，请直接写出点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $