第05讲 数据分析初步（知识详解+22典例分析+习题巩固）2025-2026学年浙教版八年级数学下册同步讲义与测试

第05讲 数据分析初步（知识详解+22典例分析+习题巩固） 【知识点01】算术平均数 内容 定义 一般地，有𝑛个数，，⋯ ， ，我们把(++⋯+)叫作这𝑛 个数的算术平均数，简称平均数，记作（读作“𝑥 拔”）。 特点 反映了一组数据取值的平均水平，是刻画数据集中趋势最常用的统计量。 说明： 根据样本数据计算得到的平均数，叫作样本平均数；根据总体数据计算得到的平均数，叫作总体平均数。在生活实际中，常用样本的平均数来估计总体的平均数。 注意：（1）一组数据的平均数是唯一的; （2）一组数据的平均数的大小与这组数据中的每个数据都有关系，其中任何一个数据的变动都可能会引起平均数的变动； （3）平均数的单位与原数据的单位一致。 【知识点02】加权平均数 1.权重的定义：一组数据中，一个数的频数可以看作这个数的“权重”，简称权。“权”原指秤锤，用于称物体，这里有表示数据重要程度的意思 2.加权平均数 内容 定义 一般地，对于一组数据，，⋯ ， ，对应的权分别为，，⋯ ，(>0,𝑖=1,2,⋯,𝑛) ，则称= 为这组数据的加权平均数。 特点 加权平均数是一种考虑数据权重的统计方法，其核心特点在于通过赋予各个数据不同的重要性（权）来更准确地反映数据的整体趋势。 说明：在实际问题中，我们可以根据需要赋予数据不同的权重来计算加权平均数。“权”越大，该数据对平均数的影响就大。 【知识点03】分布式计算 分布式计算 内容 定义 当样本容量较大时，我们可以把样本分成若干个子样本，分别统计出平均数，然后运用计算加权平均数的方法，求出整个样本数据的平均数。将一个大的计算任务分解成若干个小的计算任务分别计算，再将结果汇总处理得到最终结果，这样的计算方式称为分布式计算。 特点 (1)可以节约整体计算时间，提高计算效率； (2)可以减少大量数据传输和存储带来的时间、经济成本。 【知识点04】中位数 定义 将一组数据按从小到大（或从大到小）的顺序排列，位于中间的数值是中位数。 确定方法 当数据个数为奇数时，中位数是位于最中间的一个数据；当数据个数是偶数时，中位数是位于最中间两个数据的平均数。 特点 一组数据按大小排序后，位于中位数左、右两侧的数据个数相同，因此中位数反映一组数据取值的中间水平。 注意：（1）中位数的单位与数据的单位相同。 （2）一组数据的中位数是唯一的，它可能是这组数据中的原数据，也可能不是。 【知识点05】众数 定义 众数是一组数据中出现次数最多的那个数据。 确定方法 如果一组数据中有两个或两个以上的数据出现的次数并列最多，那么把这几个数据都作为这组数据的众数；如果一组数据中没有出现相同的数据，那么就认为这组数据没有众数。 特点 众数是刻画数据集中趋势的一种统计量，当一组数据有较多的重复数据时，众数往往能较好地反映其集中趋势。 说明：求一组数据的众数时，众数可能是不唯一的,如数据1,3,3,5,5,6的众数是3和5:如果各个数据都不相同，这种情况下众数已失去意义 注意：（1）众数是一组数据中出现次数最多的数据，而不是数据出现的次数。 （2） 众数的单位与原数据的单位一致。 【知识点06】平均数、中位数、众数的特点一组数据中与其余数据差异很大的数据 统计量 优点 缺点 平均数 平均数是一组数据的平均值，计算时要用到所有的数据，它能够充分利用全部数据信息，在现实生活中较为常用。 平均数受极端值的影响较大，对于存在极端值的数据，一般平均数的代表性较差。 中位数 中位数是一组数据按大小排序后处于中间位置的数，计算简单，不受极端值影响。 中位数不能充分利用全部数据信息。 众数 众数是一组数据中出现次数最多的数据，不受极端值影响。 当各个数据的重复次数差别不大时，众数往往不具有代表性。 【知识点07】离差平方和 定义 样本中，各数据与平均数的差（又称离差）的平方和称为离差平方和，记为𝐷² 。 公式 对于一组数据，，⋯ ，，这组数据的平均数为，则𝐷²=(−)²+(−)²+⋯+(−)² 。 特点 可以刻画一组数据的离散程度，在比较两组数据的离散程度时，只适用于数据个数相同的情况。 因为离差平方和除了和离差有关，还和数据个数相关，所以在用离差平方和比较两组数据的离散程度时，前提是两组数据的个数相同 【知识点08】方差 定义 一般地，一组数据的各离差的平方的平均数叫作这组数据的方差，记为𝑆² 。 公式 [(−)²+(−)²+⋯+(−)²] 。 特点 方差能较好地反映出数据的离散程度，方差越大，说明数据的波动越大（即离散程度越大），越不稳定；在利用方差比较两组数据的离散程度时，不受数据个数的限制。 说明：在求总体方差时，若所要考察的总体包含很多个体或考察对象带有破坏性，常常用样本方差来估计总体方差。 【知识点09】标准差 定义 一组数据的方差的算术平方根称为这组数据的标准差。 公式 𝑆== 。 特点 标准差越大，说明数据的波动越大，越不稳定。 【知识点10】数据的分组 1.组内离差平方和与组间离差平方和 一般地，设有n个数据，，，⋯ ，，它们的平均数为 ，离差平方和为D²。如果把这些数据分为两组，第1组有个数据，平均数为，离差平方和为；第2组有个数据，平均数为，离差平方和为，其中+=n。通常称(+) 为组内离差平方和，它表达了两个组组内数据的离散程度；称[(−)²+(−)²] 为组间离差平方和，它表达了两个组之间的差异。 2.数据分组原则 合理的分组原则是使+最小，同时使(−)²+(−)²最大。由于总离差平方和D² 不变，所以只需考虑+最小，即组内离差平方和最小即可。 说明： 在大数据分析中，数据分组是重要的方法之一。数据分组方法有许多种，其中使得“组内离差平方和最小”的方法最为常见 【知识点11】四分位数 1.百分位数 定义 一组数据按从小到大的顺序排列，将数据分成100等份的每一分点处的值叫作这组数据的百分位数。 意义 百分位数是一类关于数据整体分布的统计量，它可以较全面地反映出数据的分布信息。 说明：一般地,处于p%位置的数据称第p百分位数,记为。①第50百分位数：一般地，一组数据中至少有50% 的数小于或等于中位数，也至少有50% 的数大于或等于中位数。中位数也叫作第50百分位数，记为 。 ②第25百分位数和第75百分位数：进一步地，将一组数据按从小到大排列，中位数把这组数据分成左右两部分，用和 分别表示左右两部分数据的中位数，那么，所有数据中，至少有25% 的数小于或等于（也至少有75%的数大于或等于），至少有75%的数小于或等于（也至少有25%的数大于或等于）。和分别叫作第25百分位数和第75百分位数。 2.四分位数 在一组从小到大排列的数据中，，，这三个数值把所有数据分为个数相等的四个部分，这三个数叫作四分位数。其中第25百分位数也称为下四分位数，第75百分位数也称为上四分位数。 示例 四分位数 解题通法 确定一组数据的四分位数的步骤 （1）先将数据按照从小到大的顺序进行排列； （2）找出这组数据的中位数； （3）找出中位数左侧和右侧的数据各自的中位数，分别作为这组数据的下四分位数和上四分位数。 【知识点12】箱线图 概念 人们用如图所示的统计图来表示四分位数所刻画的一组数据的分布特点。水平的线从下至上依次表示最小值， (下四分位数)，（中位数），（上四分位数），最大值。图中的长方形（即“箱子”）的高度等于与的差，反映了中间50% 数据的离散程度。这样的统计图叫作箱线图。 图示 意义 “箱子”越扁，说明中间的数据越集中； “箱子”越高，说明中间的数据越分散。 说明：箱线图大多用于多组数据的比较。箱体越扁，中间的竖线（也就是常说的“须”）越短，说明数据越集中。 【题型一】求一组数据的平均数 例1．（24-25八年级下·浙江绍兴·期中）某班有45名学生，其中25名男生的平均身高为m厘米，20名女生的平均身高为n厘米，则全班45名学生的平均身高为（　　）厘米． A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求一组数据的平均数 【分析】本题主要考查了求平均数，分别求出男生和女生的总身高，二者求和后除以班级总人数即可得到答案． 【详解】解：由题意得，全班45名学生的平均身高为厘米， 故选：C． 变式1．（24-25八年级下·浙江绍兴·期中）某快递员一周投放快递物品件数为：有2天是每天37件，有1天是47件，有4天是每天45件，则本周的日平均投递物品件数为 ． 【答案】 【知识点】求一组数据的平均数 【分析】本题考查了加权平均数，求出总数量除以7即可 【详解】解：（件） 故答案为： 变式2．小梧是某校一名七年级新生，新学期开始，他打算每天早上和同小区里的几位新同学一起上学．小梧和同学计划每天早上7：00出发搭乘公共交通工具前往该学校，并在7：50前入校．几位同学通过查询出行软件，发现有三条路线可供选择，他们约定开学后的两周内分三组体验不同的路线并进行记录，结果如表二所示． 表二 路线 上学路上所用的时间（单位：min） 第1天 第2天 第3天 第4天 第5天 第6天 第7天 第8天 第9天 第10天 路线一 43 44 43 44 52 45 43 45 46 45 路线二 42 41 44 54 41 41 51 42 52 42 路线三 47 53 44 46 47 48 47 46 47 45 (1)根据表二，求体验路线一的同学这10天平均每天上学路上所用的时间； (2)请你为小梧和他的同学选择一条较为合理的上学路线，并说明理由． 【答案】(1)45min (2)路线一，理由见解析． 【知识点】求一组数据的平均数 【分析】（1）根据平均数公式代入数据计算即可； （2）求出所有路线的平均数，以及迟到的概率，选择平均数小且迟到概率低的路线即可． 【详解】（1）解： 根据表二，体验路线一的同学这10天平均每天上学路上所用的时间为： （min）． （2）解：由（1）可知，体验路线一的同学这10天平均每天上学路上所用的时间为45min． 由题可得，体验路线二、三的同学这10天平均每天上学路上所用的时间分别为： （min）， （min）． 由表格数据，可知这10天体验路线一、二、三的同学迟到的概率分别为，，． 根据上述数据，可以估计： 由路线一、二、三上学所用的平均时间分别为45min，45min，47min，而迟到的概率分别为，，． 考虑到学校对入校时间的要求，小梧和他的同学选择平均用时较短且迟到概率较低的路线一较为合理． 【点睛】本题考查了数据的计算，相关知识点有：平均数、概率等，熟练处理所有数据是解题关键． 【题型二】已知 平均数求未知数据的值 例2．（24-25八年级下·浙江宁波·期中）样本数据3，a，4，5的平均数是4，则a的值是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【知识点】已知 平均数求未知数据的值 【分析】根据平均数的公式计算出的值即可．本题考查了算术平均数，正确理解算术平均数的意义是解题的关键． 【详解】解：3，a，4，5的平均数是4， ， ， 故选：C． 变式1．（24-25八年级下·浙江宁波·期末）已知一样本数据4，4，5，6，的平均数为5，则数的值为 ． 【答案】6 【知识点】已知 平均数求未知数据的值 【分析】本题主要考查了平均数．根据平均数的计算方法解答即可． 【详解】解：∵数据4，4，5，6，的平均数为5， ∴， 解得：． 故答案为：6 【题型三】利用已知的平均数求相关数据的平均数 例3．（22-23八年级下·浙江杭州·期中）若一组数据，，，，的平均数为，那么数据，，，，的平均数为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】 利用已知的平均数求相关数据的平均数 【分析】根据数据，，，，的平均数为可知，据此可得出的值． 【详解】解：数据，，，，的平均数为， ， ， 数据，，，，的平均数为． 故选：B． 【点睛】此题主要考查了平均数，熟记平均数是解答此题的关键． 变式1．（24-25八年级下·浙江金华·月考）已知5个数、、、、的平均数是，则数据，，，，的平均数为 【答案】/ 【知识点】 利用已知的平均数求相关数据的平均数 【分析】本题主要考查平均数的概念，熟练掌握算术平均数的计算是关键．根据平均数的算法计算即可． 【详解】解：由题意得，， 则，，，，的平均数为： ． 故答案为：． 【题型四】求加权平均数 例4．（24-25八年级下·浙江温州·期中）学校举行“水火箭制作”科技大赛，选手综合成绩分为两项：创新设计占，现场展示占．小温的创新设计得80分，现场展示得90分，则他的综合成绩是（    ） A．80分 B．84分 C．85分 D．90分 【答案】B 【知识点】求加权平均数 【分析】本题主要考查了加权平均数的计算，根据创新设计得分乘以加现场展示乘以的加权平均计算得出． 【详解】解：根据题意可知：（分） 因此，小温的综合成绩为84分 故选：B． 变式1．（2023八年级下·浙江杭州·竞赛）某博物馆拟招聘一名优秀志愿讲解员，其中某位志愿者笔试、试讲、面试三轮测试得分分别为80分、94分、92分，综合成绩中笔试占，试讲占，面试占，则该名志愿者的综合成绩是 分． 【答案】 【知识点】求加权平均数 【分析】本题主要考查了加权平均数，掌握加权平均数的定义是解题的关键． 根据加权平均数的定义列式计算即可． 【详解】解：该名志愿者的综合成绩是分， 故答案为：． 变式2．（24-25八年级下·浙江金华·期末）某校团委要招聘一名节目主持人，、、三位同学报名并参加了3个项目的素质测试，测试成绩如下表（单位：分）． 知识积累 人文素养 实践经验 80 78 82 78 86 79 79 87 74 (1)计算得同学的总成绩的平均分为80分，请求出、两同学的平均分； (2)对于主持人工作，三个项目的重要性程度有所不同，规定应聘者的知识积累、人文素养、实践经验的成绩按的比例计算，得分高的应聘，请问谁能应聘成功？ 【答案】(1)B：81分；C：80分 (2)B，见解析 【知识点】求一组数据的平均数、求加权平均数 【分析】本题考查了算术平均数和加权平均数的计算及应用．解题的关键是根据不同的问题情境，正确选择对应的平均数计算方法，明确算术平均数是各数据之和除以数据个数，加权平均数需结合各数据的权重进行计算． （1）先算出同学三个项目成绩的总和，再分别除以3得到平均分． （2）根据的比例确定各项目权重，分别计算三位同学的加权得分，最后比较得分高低确定成功者． 【详解】（1）解：（分）；（分） 答：两同学的平均分别是81分与80分． （2）A：（分）； B：（分）； C：（分）； 比较三位同学的得分：， 同学应聘成功． 【题型五】利用加权平均数求未知数据的值 例5．（24-25八年级下·浙江杭州·期末）在某次期末考试中，甲学校和乙学校八年级学生的数学成绩统计数据如下表： 类别 男生平均分 女生平均分 年级平均分 甲学校 95 85 92 乙学校 97 87 91 根据表中数据，下列分析正确的是（   ） A．甲学校八年级总人数比乙学校多 B．甲学校八年级男生人数比乙学校多 C．甲学校八年级男生比例比乙学校高 D．甲学校女生人数多于男生 【答案】C 【知识点】 利用加权平均数求未知数据的值 【分析】本题考查了加权平均数的概念及应用，利用加权平均数的概念分析人数是解决本题的关键． 根据加权平均数的概念，年级平均分由男生和女生的平均分及其人数比例决定，比较各校年级平均分与男女平均分的距离，可推断男生比例高低． 【详解】解：甲学校分析：年级平均分92分，介于男生95分和女生85分之间， 92距95差3分，距85差7分，说明男生人数多于女生，男生比例更高； 乙学校分析：年级平均分91分，介于男生97分和女生87分之间， 91距97差6分，距87差4分，说明女生人数多于男生，女生比例更高， A：年级平均分无法推断总人数，错误； B：男生人数需结合总人数，无法确定，错误； C：甲校男生比例高于乙校，正确； D：甲校男生多于女生，错误． 故选：C． 变式1．（2024·浙江温州·模拟预测）某学校在一次广播操比赛中，901班，902班，903班的各项得分如表： 班级 服装统一 动作整齐 动作准确 901班 85 70 85 902班 75 85 80 903班 90 85 95 （1）若取三个项目的得分平均分作为该班成绩，分别求各班的成绩． （2）若学校认为三个项目的重要程度各不相同，从低到高依次为“服装统一”“动作整齐”“动作准确”，它们在总分中所占的比例分别为10％，％，％．请你设计一组符合要求的，值，并直接给出三个班级的排名顺序． 【答案】（1）901班80分，902班80分，903班90分；（2），时，903班第一名，902班第二名，901班第三名 【知识点】求加权平均数、 利用加权平均数求未知数据的值 【分析】（1）根据算术平均数的定义列式求解即可； （2）答案不唯一，可取a＝40、b＝50，根据加权平均数的定义列式求出三个班级的平均分，从而得出答案． 【详解】（1）901班：分， 902班：分， 903班：分； （2）取a＝40，b＝50， 901班平均成绩为85×10%＋70×40%＋85×50%＝79（分）， 902班平均成绩为75×10%＋85×40%＋80×50%＝81.5（分）， 903班平均成绩为90×10%＋85×40%＋95×50%＝90.5（分）， ∴903第一名，902第二名，901第三名． 【点睛】本题主要考查加权平均数，解题的关键是掌握加权平均数和算术平均数的定义． 【题型六】运用加权平均数做决策 例6．（22-23八年级下·浙江温州·期中）某学校考查各个班级的教室卫生状况时包括以下三项：地面、黑板，门窗，其中“地面”最重要，“黑板”次之，“门窗”要求最低，根据这个要求，对地面、黑板、门窗三项考察比较合适的比例设计分别为（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】B 【知识点】运用加权平均数做决策 【分析】根据题意可知：“地面”最重要，“黑板”次之，“门窗”要求最低，再观察各个选项，可得答案． 【详解】解：“地面”最重要，“黑板”次之，“门窗”要求最低， 对地面、黑板、门窗三项考察比较合适的比例设计分别为，，， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了加权平均数，解答本题的关键是明确权的意义. 变式1．某校团委举行“喜迎二十大，奋进新征程”演讲比赛中，评委将从演讲内容、演讲能力、演讲效果三个方面为选手打分，各项成绩均为百分制，然后按演讲内容占50%、演讲能力占40%、演讲效果占10%计算选手的综合成绩（百分制）．进入决赛的前两名选手的单项成绩如下表所示，则获得冠军的是选手 ． 选手 演讲内容 演讲能力 演讲效果 A 85 95 95 B 95 85 95 【答案】B 【知识点】运用加权平均数做决策 【分析】这个问题可以看成是求两名选手三项成绩的加权平均数，50%，40%，10%说明演讲内容、演讲能力、演讲效果三项成绩在总成绩中的重要程度，是三项成绩的权． 【详解】解：选手A的最后得分是： ， 选手B的最后得分是： ． ∴选手B获得冠军． 故答案为：B． 【点睛】本题主要考查了加权平均数，解题的关键是认真审题从题目中抽取出有效信息． 变式2．（24-25八年级下·浙江宁波·期末）某校广播台要招聘一名编辑，甲、乙、丙三位同学报名参加了三项素质测试，各项得分如下表（单位：分）． 语言文字能力 运用媒体能力 创意设计能力 甲 86 77 77 乙 84 89 73 丙 80 78 85 (1)计算得甲、乙的平均分分别为80分，82分，请求出丙的平均分，并根据三人的平均分从高到低进行排序； (2)如果学校认为这三项的重要程度有所不同，每位应聘者的价格文字能力、运用媒体能力、创意设计能力的成绩应按的比例计算成绩，并且每位应聘者的单项得分最低不能低于75分．问谁能成功应聘？ 【答案】(1)平均分从高到低排序为：乙，丙，甲 (2)甲将成功应聘 【知识点】求一组数据的平均数、运用加权平均数做决策 【分析】本题主要考查了加权平均数的求法及应用等知识点，熟练掌握加权平均数公式是是解决此题的关键． （1）利用平均数的公式即可直接求解，即可判断； （2）利用加权平均数公式求解，即可判断． 【详解】（1）解：丙的平均分=（分）， 平均分从高到低排序为：乙，丙，甲； （2）因为乙的创意设计能力低于75分，所以乙首先被淘汰， 甲的加权平均分是：（分）， 丙的加权平均分是：（分）， 因为甲的加权平均分高，所以甲将成功应聘． 【题型七】求中位数 例7．（24-25八年级下·浙江杭州·月考）为了丰富校园生活，增强学生体质，文理中学八年级开展了投篮比赛活动，名选手投中的个数分别为，，，，，这组数据的中位数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求中位数 【分析】本题考查中位数，解题的关键是熟练掌握中位数的定义． 根据中位数的概念求解即可． 【详解】解：这组数据排序为：，，，，， ∵这组数据中，出现在中间位置， ∴这组数据的中位数是． 故选：． 变式1．（23-24八年级下·浙江温州·期中）某班一学习互助小组有6人，数学期末考试成绩（单位：分）分别为：96，73，86，98，80，82，则这组数据的中位数是 分． 【答案】84 【知识点】求中位数 【分析】本题主要考查中位数，将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．据此求解即可． 【详解】解：数据排序为73，80，82，86，96，98， 中位数为． 故答案为：84 【题型八】利用中位数求未知数据的值 例8．一组数据按从小到大排列为3，4，7，x，15，17，若这组数据的中位数为9，则x是（　　） A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】C 【知识点】 利用中位数求未知数据的值 【分析】根据中位数为9和数据的个数，可求出x的值． 【详解】解：由题意得，（7+x）÷2＝9， 解得：x＝11， 故选：C． 【点睛】本题考查中位数的应用，熟练掌握中位数的意义和求法是解题关键 ． 变式1．（22-23八年级下·浙江温州·期中）一组数据的中位数是，则的最大值为 ． 【答案】 【知识点】 利用中位数求未知数据的值 【分析】本题考查了中位数的知识，“将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数”，可得数据按大小排序后第三个数是，进而可得，据此即可求解，掌握中位数的定义是解题的关键． 【详解】解：∵一组数据的中位数是， ∴数据按大小排序后第三个数是， ∴， ∴的最大值为， 故答案为：． 【题型九】运用中位数做决策 例9．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）有11位同学参加学校举行的歌唱比赛，比赛后根据每个学生的最后得分计算出中位数、平均数、众数和方差，如果去掉一个最高分和一个最低分，则一定不会发生变化的是（   ） A．中位数 B．平均数 C．众数 D．方差 【答案】A 【知识点】运用中位数做决策 【分析】此题主要考查了中位数、众数、算术平均数、方差的含义和判断掌握中位数代表了这组数据值大小的“中点”，不易受极端值影响解答即可． 【详解】中位数的定义：从小到大排列后位于中间位置或中间两数的平均数， 所以去掉一个最高分和一个最低分对中位数没有影响， 故选：A． 变式1．（22-23八年级下·浙江台州·期末）广告公司采用考核的方式竞聘设计师，考核分笔试、面试两部分，成绩均为10分．并分别赋予笔试、面试成绩一定的权重，得到综合成绩，笔试成绩前8名的应聘者进入面试．现有15名应聘者的笔试成绩如下表所示，其中应聘者小张的笔试成绩为7分． 笔试成绩／分 3 4 5 6 7 8 9 频数 1 1 4 2 3 3 1 (1)求这15名应聘者笔试成绩的中位数； (2)小张能否进入面试？为什么？ (3)你认为小张的综合成绩有可能为3.4分吗？为什么？ 【答案】(1)6 (2)能，理由见详解 (3)可能，理由见详解 【知识点】运用中位数做决策、求中位数 【分析】（1）根据中位数可进行求解； （2）根据小张的笔试成绩及中位数可进行求解； （3）从“面试成绩的权重高于笔试成绩”．或从“具体的笔试、面试的成绩与权重”进行分析即可． 【详解】（1）解：由表格可知：这15名应聘者笔试成绩的中位数为第8位应聘者的成绩，即为6分； （2）解：由应聘者小张的笔试成绩为7分，排在15名应聘者成绩的前8名，所以小张能进入面试； （3）解：因为分别赋予笔试、面试成绩一定的权重，得到综合成绩，因此会出现得到3.4分的情况． 【点睛】此题考查数据的分析，解题关键是分清算术平均数和加权平均数． 【题型十】求众数 例10．（23-24八年级下·浙江温州·期中）为了解八（1）班学生的睡眠状况，小明调查了全班50名学生每天的睡眠时间，绘成如图所示的睡眠时间统计图，则所调查学生睡眠时间的众数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求众数 【分析】本题考查众数，直接根据众数的定义求解即可． 【详解】解：全部学生中，睡眠时间为的人数最多，有19人，故众数是． 故选：A． 变式1．（24-25八年级下·浙江温州·期中）温州市4月11日－15日这5天的最高气温如下（单位：）：28，22，24，28，27，这组数据的众数是 ． 【答案】28 【知识点】求众数 【分析】本题考查众数，熟练掌握一组数据中出现次数最多的数就是众数是解题的关键． 根据众数的定义判断即可． 【详解】解：这组数据中，28出现次数了2次，其它数据只出现了1次，28出现次数最多， 因此这组数据的众数是28； 故答案为：28． 变式2．（24-25八年级下·浙江台州·月考）随着AI技术发展，机器人正逐步应用于更多领域．现有A，B两款机器人，网友对其评分如下： 网友对A、B两款机器人评分数据统计表 款式 外观 性能 售后 A款 90 95 92 B款 95 90 94 7位网友对A款机器人的综合评分：93，94，92，93，93，96，94． (1)求7位网友对A款机器人综合评分的众数． (2)若将机器人的外观，性能，售后等三项评分按的比例统计，请通过计算比较A，B两款机器人的平均分． 【答案】(1)93 (2)A款机器人的平均分高于B款机器人的平均分 【知识点】求加权平均数、求众数 【分析】本题考查了众数、加权平均数； （1）根据众数的定义可得答案； （2）根据加权平均数的计算方法求解即可． 【详解】（1）解：∵7位网友对A款机器人的评分中93分最多， ∴众数为93； （2）A的平均分为：（分）， B的平均分为：（分）， 所以A款机器人的平均分高于B款机器人的平均分． 【题型十一】利用众数求未知数据的值 例11．（24-25八年级下·浙江宁波·期中）为备战体育中考，小明每日坚持引体向上，下表为其记录的一周中每日引体向上个数，其中一天数据缺失了，但这组数据中有唯一众数，则这组数据的中位数为（    ） 周一 周二 周三 周四 周五 周六 周日 10 9 9 10 7 8 A．10 B．9 C．8 D．7 【答案】B 【知识点】 利用众数求未知数据的值、求中位数 【分析】本题主要考查了求中位数，根据众数求未知数据，众数是一组数据中出现次数最多的数据，据此可得周五的个数要么为10，要么为9，据此分周五的个数为10个和周五的个数为9个两种情况，根据中位数的定义讨论求解即可． 【详解】解；∵这组数据中有唯一众数， ∴周五的个数要么为10，要么为9， 当周五的个数为10个时，把这组数据按照从小到大的顺序排列为7，8，9，9，10，10，10，此时中位数为9， 当周五的个数为9个时，把这组数据按照从小到大的顺序排列为7，8，9，9，9，10，10，此时中位数为9， 综上所述，这组数据的中位数为9， 故选；B． 变式1．（24-25八年级下·浙江杭州·月考）已知一组数据3，4，5，6，的众数为5，则这组数据的平均数为 ． 【答案】 【知识点】求一组数据的平均数、 利用众数求未知数据的值 【分析】本题主要考查了众数和平均数，解题的关键是掌握众数和平均数的定义． 利用众数和平均数的定义和公式进行求解即可． 【详解】解：∵一组数据3，4，5，6，的众数为5， ∴ ∴平均数为， 故答案为：． 变式2．某次数学测试，圆圆同学所在的学习小组其他同学的平均分为75分，圆圆说，“我的分是100分，我们学习小组的平均分恰好是80分”． (1)圆圆同学所在的学习小组具有多少人？ (2)已知该学习小组本次测试得分的众数是90分，最低分为50分，求该学习小组本次测试得分的中位数． 【答案】(1)圆圆同学所在的学习小组有5人； (2)该学习小组本次测试得分的中位数是90分． 【知识点】已知 平均数求未知数据的值、求中位数、 利用众数求未知数据的值 【分析】（1）利用平均数的定义直接计算即可； （2）利用众数，中位数的定义即可求解． 【详解】（1）解：根据题意得：(100- 75) ÷ (80- 75)= 5(人)， ∴圆圆同学所在的学习小组有5人； （2）解：该学习小组有5人，最低分为50分，圆圆的分是100分， ∵众数是90分， ∴本次测试得分是90分的有2人，最低分为50分， ∴该学习小组本次测试还有一个得分是80×5－(50＋ 90×2＋100)= 70(分)， ∴该学习小组本次测试得分从小到大排列为50，70，90， 90，100， ∴该学习小组本次测试得分的中位数是90分． 【点睛】本题考查的是平均数，众数，中位数，弄清题意是解本题的关键． 【题型十二】运用众数做决策 例12．（23-24八年级下·浙江台州·期末）路桥区某服装经销商对甲、乙、丙、丁四种服装（利润均相同）在一段时间内的销售情况统计如下表，最终决定增加乙种服装的进货数量，影响该服装经销商决策的统计量是（    ） 种类 甲 乙 丙 丁 销售量（件） A．中位数 B．平均数 C．众数 D．方差 【答案】C 【知识点】运用众数做决策 【分析】本题主要考查了众数．根据众数的意义，即可求解． 【详解】解：根据题意得：影响该服装经销商决策的统计量是众数． 故选：C 变式1．（24-25八年级下·浙江台州·期末）一家鞋店在一段时间内销售了某种女鞋30双，销售量如表：根据表中的数据，可建议鞋店进货时，多进尺码为 的女鞋． 尺码 22 23 24 25 销售量/双 1 5 12 6 3 2 1 【答案】23 【知识点】运用众数做决策 【分析】本题主要考查统计的有关知识，掌握平均数、中位数、众数、方差的意义是解题的关键．一组数据中出现次数最多的数据叫做众数． 根据众数的定义即可求解． 【详解】解：观察数据可知，23出现的次数最多，故鞋店多进一些同一尺码的鞋，该尺码为， 故答案为：． 变式2．（24-25八年级下·浙江温州·期中）近日，深度求索推出了“DeepSeek”AI聊天机器人（以下简称A款），抖音推出了“豆包”AI聊天机器人（以下简称B款）.有关人员开展了A，B两款AI聊天机器人的使用满意度评分测验，并从中各随机抽取20份，下面给出了部分信息：（单位：分）（评分分数用表示，分为四个等级：不满意，比较满意，满意，非常满意） 抽取的对A款AI聊天机器人的评分数据中“满意”的数据：83，85，86，87，88，89； 抽取的对B款AI聊天机器人的评分数据：67，68，69，83，85，86，87，87，87，88，88，89，95，96，96，96，96，98，99，100； 抽取的对A，B款AI聊天机器人的评分统计表 设备 平均数 中位数 众数 “非常满意”所占百分比 A 88 88.5 98 B 88 (1)求出上述图表中，，的值； (2)若你是用户，从平均数、中位数、众数的这三个角度进行分析，你认为哪款聊天机器人更受喜爱？请说明理由. 【答案】(1)15，88，96； (2)A款聊天机器人更受喜爱,理由见解析 【知识点】求中位数、运用中位数做决策、求众数、运用众数做决策 【分析】本题考查了扇形统计图、中位数、众数等知识，正确理解中位数、众数的意义，熟练掌握中位数、众数的计算方法是解题的关键． （1）用1分别减去其他三个等级所占百分比可得a的值，根据中位数的定义可得b的值，根据众数的定义可得c的值； （2）从平均数、中位数、众数的这三个角度进行分析即可得到解答． 【详解】（1）解：由题意得：， 即， ∵A款的评分非常满意有（个），“满意”的数据为84、86、86、87、88、89， ∴B款的评分数据从小到大排列，排在中间的两个数是88、88， ∴中位数， 在B款的评分数据中，96出现的次数最多， ∴众数； 故答案为：15，88，96； （2）A款聊天机器人更受喜爱,理由如下：平均数相同，A款聊天机器人的中位数高于B款聊天机器人的中位数、A款聊天机器人的众数高于B款聊天机器人的众数， ∴A款聊天机器人更受喜爱. 【题型十三】求离差平方和 例13．组内离差平方和的计算依据是（   ） A．数据与最大值的差的平方和 B．数据与最小值的差的平方和 C．数据与平均数的差的平方和 D．数据与中位数的差的平方和 【答案】C 【知识点】求离差平方和 【分析】根据组内离差平方和是方差计算的基础，其依据是数据点与平均数的偏差平方和即可选出正确答案； 本题考查了组内离差平方和的计算依据，熟练掌握其依据是解题的关键． 【详解】解：∵离差平方和的定义为各数据与平均数之差的平方和，用于度量数据离散度． ∴组内离差平方和的计算依据是数据与平均数的差的平方和． 故选：C． 变式1．把5个数据分成和两组，则这种分组情况的组内离差平方和为 ． 【答案】4 【知识点】求离差平方和 【分析】本题主要考查了求一组数据的离差平方和，分别计算两组数据的均值，再求每组数据与其均值之差的平方和，则可得到两组数据的离差平方和，再求和即可得到答案． 【详解】解：组的平均数为， 则组的离差平方和为， 组的平均数为， 则组的离差平方和为， ∴这种分组情况的组内离差平方和为， 故答案为：4． 【题型十四】求方差 例14．（24-25八年级下·浙江杭州·期末）某合唱团成员的平均年龄为13岁，方差为10，在人员没有变动的情况下，一年后，方差（  ） A．不变 B．变小 C．变大 D．无法确定 【答案】A 【知识点】求方差 【分析】本题考查了平均数和方差的定义．根据平均数和方差的定义求解即可． 【详解】解：一年后这批成员的平均年龄为：（岁）， 方差不变，仍为10， 故选：A． 变式1．（24-25八年级下·浙江金华·月考）已知一组数据，，，的方差为5，则，，，的方差为 ． 【答案】5 【知识点】求方差 【分析】本题主要考查了确定一组数据的方差，理解方差的意义是解题关键． 方差的意义：方差反映的是一组数据的波动大小，方差越大，波动越大．据此即可获得答案． 【详解】一组数据，，，的方差为5， 又数据，，，与数据，，，的波动大小一样， 数据，，，的方差为5． 故答案为：5． 变式2．（2023八年级下·浙江宁波·期中）小明同学参加某体育项目训练，近期的五次测试成绩得分如下表，试求出五次成绩的平均值和方差． 五次测试成绩得分表 次数 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 分数 10 13 12 14 16 【答案】， 【知识点】求方差、求一组数据的平均数 【分析】本题考查了平均数，方差，先求出平均数，再根据方差公式求方差． 【详解】解：， ． 【题型十五】利用方差求未知数据的值 例15．（23-24八年级下·浙江杭州·期中）已知数据的方差计算公式为，则这组数据的（    ） A．方差为40 B．中位数为4 C．平均数为4 D．标准差为40 【答案】C 【知识点】 利用方差求未知数据的值 【分析】本题考查了方差的计算公式，解题的关键是掌握一组数据的方程等于各个数据与平均数的差的平方的平均数．据此即可解答． 【详解】解：∵数据的方差计算公式为， ∴这组数据的平均数为4， 故选：C． 变式1．（23-24八年级下·浙江嘉兴·月考）一样本数据的方差是，则这组数据的平均数是 ． 【答案】 【知识点】 利用方差求未知数据的值 【分析】本题考查了方差公式，由样本方差的公式可知．方差，其中n表示样本容量，表示样本平均数． 【详解】∵数据的方差是 ∴这个样本的平均数． 故答案为：． 【题型十六】根据方差判断稳定性 例16．（24-25八年级下·浙江杭州·期末）某班甲、乙两个体育小组各有5名同学，为比较这两个小组同学跳绳成绩的稳定性，在相同条件下，记录一分钟跳绳次数如下表．根据表中的数据，则跳绳次数（    ） 学生序号 ① ② ③ ④ ⑤ 平均个数 甲（个/分钟） 165 184 185 186 205 185 乙（个/分钟） 182 185 187 184 187 185 A．甲更稳定 B．乙更稳定 C．甲与乙一样稳定 D．稳定情况不确定 【答案】B 【知识点】根据方差判断稳定性 【分析】本题考查了方差，先计算出甲乙的方差，再比较即可得出答案，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：， ， ∵， ∴乙更稳定， 故选：B． 变式1．（24-25八年级下·浙江嘉兴·月考）甲、乙两个篮球队队员身高的平均数都为米，若，，则队员身高比较整齐的球队是 队（填“甲”或“乙”）． 【答案】乙 【知识点】根据方差判断稳定性 【分析】本题考查了方差，方差是反映一组数据波动程度的统计量，在平均数相同的情况下，方差越小，数据波动程度越小，反之则波动越大；据此解答即可． 【详解】解：∵甲、乙两个篮球队队员身高的平均数都为米，，， ∴乙队身高比较整齐， 故答案为：乙． 【题型十七】运用方差做决策 例17．（24-25八年级下·浙江宁波·期末）下表记录了甲、乙、丙、丁四名同学最近几次数学考试成绩的平均数与方差： 甲 乙 丙 丁 平均数（分） 方差 根据这个记录的成绩选择一名成绩好且发挥稳定的同学参加数学比赛，应该选择（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】B 【知识点】利用平均数做决策、运用方差做决策 【分析】本题考查了平均数和方差，根据平均数和方差的意义判断即可求解，掌握平均数和方差的意义是解题的关键． 【详解】解：甲和乙的平均分均为分，是四人中最高，因此，成绩好的同学应在甲、乙中选择；又因为甲的方差为，乙的方差为，方差越小，发挥越稳定，故乙的稳定性优于甲，综上，选择一名成绩好且发挥稳定的同学参加数学比赛，应该选择乙， 故选：． 变式1．（24-25八年级下·浙江宁波·期末）某校甲、乙两班学生身高的方差为，则 班身高更整齐（填“甲”或“乙”）． 【答案】乙 【知识点】运用方差做决策 【分析】本题主要考查了根据方差做决策，掌握方差越小、数据越稳定成为解题的关键． 根据方差的意义即可解答． 【详解】解：∵， ∴ ∴乙班身高更整齐（方差越小，身高越稳定，更整齐）． 故答案为：乙． 变式2．（24-25八年级下·浙江杭州·期末）李老师要从小聪、小亮两人中选拔一人参加知识竞赛，现对两人的5次测试成绩进行整理分析，两人的成绩如下： 小聪：76，80，79，85，80； 小亮：77，79，81，82，81． 李老师将两人的成绩分析如下：（单位：分）． 平均成绩 中位数 众数 小聪 80 小亮 80 81 (1)填空： ； ； ． (2)李老师已经求得小聪5次测试成绩的方差，请你帮助李老师计算小亮5次测试成绩的方差． (3)根据以上信息，请你运用所学的统计知识帮助李老师作出选择，并说明理由． 【答案】(1)80，81，80； (2)3.2； (3)选小亮参加知识竞赛，因为两人的平均数相同，但小亮的方差比小聪小，成绩更稳定，所以选小亮参加知识竞赛．（答案不唯一） 【知识点】求一组数据的平均数、求中位数、求众数、运用方差做决策 【分析】本题考查了方差、平均数，中位数和众数，方差反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立． （1）分别根据平均数，中位数和众数的定义解答即可； （2）根据方差的计算公式计算即可； （3）根据平均数和方差的意义解答即可．（答案不唯一）． 【详解】（1）解：小聪的平均数， 把小亮的5次测试成绩从小到大排列，排在最中间的数是81，故中位数， 小聪的5次测试成绩中80出现的次数最多，故众数， 故答案为：80，81，80； （2）解：， 故小亮5次测试成绩的方差为3.2； （3）解：选小亮参加知识竞赛，理由如下： 因为两人的平均数相同，但小亮的方差比小聪小，成绩更稳定，所以选小亮参加知识竞赛．（答案不唯一）． 【题型十八】标准差 例18.（24-25八年级下·浙江杭州·期中）计算数据3，4，5，6，7的标准差为 ． 【答案】 【知识点】标准差 【分析】本题考查标准差的计算，熟练掌握计算标准差的步骤是解题的关键．先算出平均数，再根据方差公式计算方差，求出其算术平方根即为标准差． 【详解】解：数据3，4，5，6，7的平均数为， 方差， 标准差． 故答案为：． 变式1．（22-23八年级下·浙江湖州·月考）已知样本数据，下列说法不正确的是（    ） A．平均数是3 B．方差是2 C．中位数是4 D．标准差是 【答案】C 【知识点】求方差、标准差、求中位数 【分析】根据平均数、方差、中位数和极差的定义逐项判断即得答案. 【详解】解：A、这组数据的平均数为，故本选项说法正确； B、这组数据的方差是，故本选项说法正确； C、这组数据的中位数是3，故本选项说法不正确； D、这组数据的标准差是，故本选项说法正确； 故选：C. 【点睛】本题考查了平均数、方差、中位数和极差的定义，熟知这几个基本概念是解题关键. 变式2．（2023八年级下·浙江·专题练习）（1）若一组数据…，的方差是9，则数据，…，的方差是多少？ （2）若一组数据…，的方差为，将这组数据中的每个数乘以9，则所得到的一组新数据的标准差是多少？ （3）若一组数据…，的方差为，将这组数据中的每个数乘以a，再加上b，那么得到的一组新数据的方差是多少？标准差是多少？ 【答案】（1）9；（2）；（3）， 【知识点】求方差、标准差 【分析】（1）设…，的平均数为，则，…，的平均数为，再利用方差的计算公式就可求出，…，的方差； （2）先设原数据的平均数为a，再求出每个数据都乘以9后的平均数，然后利用方差公式进行求解，最后求出方差的算术平方根，据此即可解决问题； （3）根据（1）和（2）两题的结论可得出新数组的方差，再根据标准差是方差的算术平方根即可解决问题． 【详解】解：（1）设…，的平均数为， 则，…，的平均数为． 因为， 所以，…，的方差为 ． （2）设其平均数为a，则将每个数据都乘以9之后得到的新数分别为，…，，其平均数为， 所以原数据方差为 ， 所以新数组，…，的标准差为． （3）由（2）的结论可知这组数据中的每个数乘以a得到的新数组的方程为， 再根据（1）的结论可知将数据，…，中的每一个数都加上b以后得到的新数组与数组，…，的方差一样，仍为， 所以最后得到的新数组的标准差． 【点睛】本题考查的是方差和标准差，关键是掌握方差与标准差的计算方法． 【题型十九】求四分位数 例19．2022年北京成功举办了第24届冬季奥林匹克运动会，北京由此成为全球首个既举办过夏季奥运会又举办过冬季奥运会的“双奥之城”，在比赛前，某体育社团为积极响应号召，开展了“冰雪运动，健康生活”的体育活动．该社团模拟冬奥会的短道速滑比赛，某小组8名选手的完赛时间（单位：秒）如下：46，47，48，49，50，51，52，53，规定“成绩优于上四分位数的选手可直接晋级决赛”，则晋级决赛的人数为（　　） A．1 B．2 C．4 D．6 【答案】D 【知识点】求四分位数 【分析】此题考查了四分位数，首先计算出上四分位数，然后找出成绩优于上四分位数的选手人数即可求解． 【详解】解：∵数据为：46，47，48，49，50，51，52，53，共8个数据． ∵个数是偶数，上四分位数为上半部分数据（50，51，52，53）的中位数， ∴上四分位数为， ∵规定“成绩优于上四分位数的选手可直接晋级决赛”， ∴时间小于51.5的数据有：46，47，48，49，50，51，共6个． ∴晋级决赛的人数为6． 故选：D． 变式1．下面分别给出了25个男生和25个女生的肺活量（单位：L）： 女生组：2.7，2.8，2.9，3.1，3.1，3.1，3.1，3.2，3.4，3.4，3.4，3.4，3.4，3.4，3.5，3.5，3.5，3.6，3.7，3.7，3.7，3.8，3.8，4.0，4.1． 男生组：4.1，4.1，4.3，4.3，4.5，4.6，4.7，4.8，4.8，5.1，5.3，5.3，5.3，5.4，5.4，5.5，5.6，5.7，5.8，5.8，6.0，6.1，6.3，6.7，6.7． 分别计算女生组和男生组的第三四分位数与第一四分位数的差． 【答案】女生组0.6  男生组1.15 【知识点】求四分位数 【分析】本题考查了四分位数与四分位距的计算，掌握四分位数的位置确定方法，以及四分位距为第三四分位数与第一四分位数的差是解题的关键． 先确认两组数据已按从小到大排序，再根据四分位数的位置公式确定第一四分位数和第三四分位数的数值，最后计算两者的差值． 【详解】解：由题意可知，男生组和女生组的25个数据都是按从小到大的顺序排列的． ，女生组的第一四分位数是第6、7个数字的平均数，即， ，第三四分位数第19、20个数字的平均数，即， 则女生组的第三四分位数与第一四分位数的差为； 男生组的第一四分位数第6、7个数字的平均数，即， 第三四分位数第19、20个数字的平均数，即， 则男生组的第三四分位数与第一四分位数的差为． 【题型二十】画箱线图 例20．绘制箱线图时，不需要的数据是（   ） A．四分位数 B．中位数 C．平均值 D．极值 【答案】C 【知识点】画箱线图 【分析】本题考查了箱线图的绘制要素，解题关键是明确箱线图的核心组成仅涉及四分位数、中位数、极值，与平均值无关． 需明确箱线图的核心组成元素对应的统计量． 【详解】解：箱线图的绘制依赖以下数据：四分位数（下四分位数​、上四分位数）、中位数、极值（最小值、最大值）． A、四分位数：是箱线图箱体边界的依据，需要该数据，不符合题意； B、中位数：是箱线图箱体中间竖线的依据，需要该数据，不符合题意； C、平均值：箱线图的结构中不包含平均值，绘制时不需要该数据，符合题意； D、极值：是箱线图须线两端的依据，需要该数据，不符合题意． 故选：C． 变式1．某老师绘制了一次数学小测验中甲、乙、丙三个班级学生得分的箱线图（如图），若每班有42名学生，则三个班级的第11名中， 班的分数最高．（填“甲”“乙”或“丙”） 【答案】丙 【知识点】画箱线图 【分析】根据箱线图，第11名刚好是对应各班的上四分位数，从箱线图看出丙班的上四分位数最大，解答即可． 本题考查了箱线图，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得第11名刚好是对应各班的上四分位数，从箱线图看出丙班的上四分位数最大，故最高的是丙班． 故答案为：丙． 变式2．某中学举办“校园好声音”朗诵大赛，根据初赛成绩，七年级和八年级各选出10名选手组成七年级代表队和八年级代表队参加学校决赛，两个队各选出的10名选手的决赛成绩如图所示．下面是七年级、八年级两组的测试成绩的统计表： 七年级 91 96 70 89 60 70 100 80 92 98 八年级 92 93 70 88 82 75 96 80 92 95 (1)求七年级数据的四分位数． (2)根据四分位数可绘制如下的箱线图，观察图中八年级成绩的箱线图，绘制七年级成绩的箱线图．    (3)根据箱线图和对四分位数的理解，谈谈你对七年级和八年级成绩的看法． 【答案】(1)，， (2)见解析 (3)见解析 【知识点】求四分位数、画箱线图 【分析】本题主要考查了四分位数的计算和箱线图的绘制与解读，通过这些工具可以直观地分析数据的分布特征． （1）先将七年级数据从小到大排序，再计算出四分位数即可； （2）根据七年级的四分位数绘制箱线图即可； （3）根据箱线图和四分位数比较两组数据即可． 【详解】（1）解：将七年级的成绩从小到大排列为 60，70，70，80，89，91，92，96，98，100， 所以，，； （2）解：由题意，画图如下：    （3）根据箱线图和四分位数可知七年级成绩的中位数和八年级相同，但七年级成绩明显比八年级的波动大． 【题型二十一】根据要求选择合适的统计量 例21．（23-24八年级下·浙江宁波·期中）有21名同学参加学校组织的几何画板比赛，已知他们所得的分数互不相同，共设10个获奖名额．某同学知道自己的比赛成绩后，要判断自己能否获奖，在下列关于这21名同学成绩的统计量中只需知道一个量，它是（    ） A．方差 B．平均数 C．众数 D．中位数 【答案】D 【知识点】根据要求选择合适的统计量、求中位数 【分析】本题主要考查统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数、方差的意义．反映数据集中程度的统计量有平均数、中位数、众数、方差等，各有局限性，因此要对统计量进行合理的选择和恰当的运用．由于比赛设置了10个获奖名额，共有21名选手参加，故应根据中位数的意义分析． 【详解】解：10位获奖者的分数肯定是21名参赛选手中最高的，而21个不同的分数按从小到大排序后，中位数及中位数之后的共有11个数， ∴只要知道自己的分数和中位数就可以知道是否获奖了， 故选：D． 变式1．在平均数、中位数、众数、方差等几个统计量中，最能刻画数据波动（离散）程度的量是 ． 【答案】方差 【知识点】根据要求选择合适的统计量 【分析】根据方差和标准差反映了一组数据与其平均值的离散程度的大小．方差（或标准差）越大，数据的离散程度越大，稳定性越小；反之，则离散程度越小，稳定性越好可得答案． 【详解】解：在平均数、中位数、众数、方差等几个统计量中，最能刻画数据波动（离散）程度的量是方差， 故答案为：方差． 【点睛】此题主要考查了统计量的选择，关键是掌握平均数、众数、中位数和极差、方差在描述数据时的区别． 【题型二十二】利用合适的统计量做决策 例22．某商场试销一种新款衬衫，一周内各种尺码衬衫的销售情况如下表： 尺码 38 39 40 41 42 43 数量/件 18 25 30 52 35 8 商场经理要确定哪种尺码最畅销，则对她来说，最有意义的统计量是（    ） A．众数 B．中位数 C．平均数 D．方差 【答案】A 【知识点】利用合适的统计量做决策、运用众数做决策 【分析】商场经理要了解哪种型号最畅销，所最关心的即为众数． 【详解】解：根据题意知：对商场经理来说，最有意义的是各种尺码的衬衫的销售数量，即众数，故A正确． 故选：A． 【点睛】本题主要考查数据集中趋势中的平均数、众数、中位数、方差在实际问题中的正确应用，解题的关键是掌握众数的集中趋势特点． 变式1．某校组织35名同学参加了马拉松知识竞赛，预赛分数各不相同，取前18名同学参加决赛．其中一名同学知道自己的分数后，要判断自己能否进入决赛，只需要知道这35名同学分数的 ．（填“众数”，“中位数”，“平均数”，“方差”） 【答案】中位数 【知识点】利用合适的统计量做决策、运用中位数做决策 【分析】本题考查了统计量的选择以及中位数意义，解题的关键是正确的求出这组数据的中位数． 由于比赛取前18名参加决赛，共有35名选手参加，根据中位数的意义分析即可． 【详解】解：35个不同的成绩按从小到大排序后，中位数及中位数之后的共有18个数， 故只要知道自己的成绩和中位数就可以知道是否进入决赛了． 故答案为：中位数． 变式2．（23-24八年级下·浙江台州·期末）某校为迎接椒江区初中数学学生“微说题”比赛，在校内进行了选拔赛，参加选拔的20位学生分A，B两组，成绩如下： A组：82，82，84，85，87，88，91，92，93，96； B组：82，84，84，84，86，87，89，91，95，98． 数据分析如下表： 组别 平均数 中位数 众数 优秀率（大于90分为优秀） A组 88 87.5 82 B组 88 84 30% 根据以上信息，回答下列问题： (1)______，______； (2)B组的小明说：“我的成绩是87分，在B组属于中上水平，那么我的成绩在A组肯定也属于中上水平！”你同意小明的说法吗？请说明理由； (3)选择适当的统计量，分析哪一组学生成绩更好？ 【答案】(1)， (2)不同意小明的说法；理由见解析 (3)A组的总体成绩较好． 【知识点】利用平均数做决策、求中位数、运用中位数做决策、利用合适的统计量做决策 【分析】本题主要考查调查与统计的知识，掌握平均数，中位数，众数的计算，根据调查数据作决策的方法是解题的关键． （1）根据中位数，优秀率的计算方法即可求解； （2）根据中位数的意义即可求解； （3）根据中位数，优秀率进行判定即可求解． 【详解】（1）解：∵B组：82，84，84，84，86，87，89，91，95，98， ∴中位数为第5，6位同学成绩的中位数， ∵A组：82，82，84，85，87，88，91，92，93，96；（大于90分为优秀） ∴； （2）解：∵B组的中位数为分，A组的中位数为分； 小明说：我的成绩是87分，在B组属于中上水平说法是正确的，但是在A组不属于中上水平， ∴不同意小明的说法； （3）解：A组的总体成绩较好，理由如下， A组的成绩中位数为分，高于B组的中位数为分，九年A组级的成绩优秀率，高于B组的优秀率， ∴A组的总体成绩较好． 一、单选题 1．甲、乙、丙、丁四地去年同期的平均气温 （单位： ）和方差（单位： ）如下表．根据表中数据， 要从中选取一处气温低且稳定的地区举办高山滑雪比赛，应选择（    ） 甲 乙 丙 丁 0 3 A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】B 【分析】根据平均气温高低，及方差的大小判断稳定性即可得出结论． 【详解】解：由平均数的大小可知甲和乙温度较低， 乙的方差比甲的方差小， ∴乙比较稳定， 故选：B． 【点睛】本题考查平均数与方程的性质，熟练掌握数据的情况是解题的关键． 2．如图是甲、乙两人5次投篮成绩统计图（每人每次投球10个），则对于方差的描述正确的是（    ）    A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】根据甲、乙的进球的统计图可知，甲的成绩波动幅度比乙的波动幅度小，由此即可得到答案． 【详解】解：由图可知，甲的成绩波动幅度比乙的波动幅度小， ∴ ， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了方差的定义，解题的关键在于能够熟练掌握，波动越小，方差越小，数据越稳定． 3．在一次射击比赛中，甲、乙两名同学射击10次，若他们两人成绩的“一般水平”大体相当，甲同学的成绩比乙同学的成绩稳定，则甲、乙两名同学的平均成绩和离差平方和可能是（    ） A．，；， B．，；， C．，；， D．，；， 【答案】D 【分析】先根据“一般水平大体相当”筛选出平均成绩相近的选项，再结合样本容量相同时，离差平方和越小数据越稳定的性质，选出符合甲成绩更稳定的选项即可． 【详解】解：∵两人成绩的“一般水平”大体相当， ∴甲、乙的平均成绩应相近， ∴排除平均成绩差距较大的B、C选项， 又∵甲同学的成绩比乙同学的成绩稳定，且两人射击次数相同，离差平方和越小，成绩波动越小、越稳定， ∴甲的离差平方和应小于乙的离差平方和， ∴A选项中，不符合要求；D选项中，符合要求． 4．我校八年级开展“校园歌手大赛”选拔赛，某选手的音准节奏、舞台表现、情感表达这三项的成绩分别为90分、80分、75分、若依次按照的百分比确定最终成绩，则该选手的最终成绩是（   ） A．74分 B．84分 C．80.5分 D．82分 【答案】B 【分析】本题主要考查加权平均数的计算，掌握加权平均数的定义是解题的关键； 根据加权平均数定义可得． 【详解】解：∵最终成绩； ∴该选手的最终成绩是84分． 故选：B． 5．在一场篮球赛中，某队5名场上队员的身高（单位：cm）分别是：187，188，192，193，194．因身高为m的队员受伤，教练让身高为的队员替补上场．与换人前相比，换人后场上队员的身高（   ） A．平均数变小，方差变大 B．平均数变小，方差变小 C．平均数变大，方差变小 D．平均数变大，方差变大 【答案】B 【分析】 本题主要考查平均数和方差，根据平均数和方差的定义和意义即可得出答案． 【详解】 解：用一名身高的队员换下场上身高的队员，与换人前相比，场上队员身高的和变小，而人数没变， 所以他们的平均数变小， 由于数据的波动性变小，所以数据的方差变小. 故选: B． 6．下表是某公司员工月收入的统计表： 月收入/元 45000 18000 10000 5500 5000 3400 3000 2500 人数 1 1 1 3 6 1 11 1 则该公司员工月收入的中位数比众数多（     ） A．400元 B．2000元 C．2250元 D．2500 元 【答案】A 【分析】本题考查了中位数，众数，解题的关键是理解题意，掌握这些知识点．根据表格得众数是，该公司员工人数为人，则中位数是第名，根据表格得中位数是，即可得． 【详解】解：根据表格得众数是：，共出现11次， 该公司员工人数为：（人）， 则中位数是第名， 根据表格得中位数是：， 则该公司员工月收入的中位数比众数多：（元）， 故选：A． 7．小申将9月份每天的书籍销售量绘制成了箱线图，以下说法正确的是（    ） A．这个月有15天每天销售量在200本以上 B．这个月中销售量最大的一天，销售量大于400本 C．这个月每天的书籍销售量的中位数在200本以下 D．这个月中每天的销售量差异不大 【答案】C 【分析】本题主要考查箱线图的应用，从箱线图中得到信息是解题的关键． 根据箱线图得到信息即可求解． 【详解】解：A、由箱线图可得，中位数小于200，不代表有这个月有15天每天销售量在200本以上，故A错误； B、由箱线图可得，最大值小于400，故B错误； C、由箱线图可得，中位数小于200，故C正确； D、由箱线图可得，最小值和最大值相差很大，销售量波动明显，差异较大，故D错误， 故选：C． 8．如果用公式计算一组数据的方差，那么数据，，，…，的和是（   ） A．268 B．240 C．90 D．43 【答案】B 【分析】本题主要考查了方差与平均数的计算公式，熟记公式是解题关键． 先根据方差的计算公式可得这组数据的平均数，再利用平均数的计算公式即可得． 【详解】解：由题意得：这组数据的平均数为6， 则， 解得：， ∴ 故选：B． 9．对于数据3，5，7，9，11，其中第三四分位数是（    ） A．7 B．9 C．10 D．11 【答案】C 【分析】本题考查了第三四分位数的计算，掌握第三四分位数是上半部分数据的中位数，注意不同教材对上半部分的定义差异是解题的关键． 第三四分位数是数据上半部分的中位数，数据已排序． 【详解】解：数据排序后为 ∵数据个数，为奇数， ∴中位数，上半部分数据为， ∴第三四分位数 故选：C． 10．学校组织领导、教师、学生、家长等代表对教师的教学质量进行综合评分，满分为100分． 张老师的得分情况如下：领导代表给分80分，教师代表给分76分，学生代表给分90分，家长代表给分84分，如果按照的权重进行计算，张老师的综合评分为（    ） A．84.5分 B．84.3分 C．84.4分 D．88.4分 【答案】C 【分析】先根据加权平均数的公式列出算式，再进行计算即可． 【详解】解：张老师的综合评分为：， 故选：C． 【点睛】此题考查了加权平均数，解题的关键是掌握加权平均数的公式，是一道基础题． 二、填空题 11．某品牌专卖店月份销售了双运动鞋，其尺码和数量统计如下表： 尺码 38 39 40 41 42 数量 2 4 5 6 3 这双运动鞋尺码的众数是 ． 【答案】 【分析】根据众数的定义：一组数据中出现次数最多的数据叫做这组数据的众数，故数量最多的尺码即是答案． 【详解】∵尺码，数量；尺码，数量；尺码，数量；尺码，数量；尺码，数量 ∴ ∴尺码是这双运动鞋尺码的众数 故答案为：． 【点睛】本题考查众数的定义，数量掌握众数的定义是解题的关键． 12．在某校举办的队列比赛中，班的成绩如下： 项目 着装 队形 精神风貌 成绩/分 90 95 95 若按着装占10%、队形占60%、精神风貌占30%计算参赛班级的综合成绩，则班的最后得分是 分． 【答案】94.5 【分析】根据加权平均数的计算方法列出算式，再进行计算即可． 【详解】解：A班的最后得分是90×10%+95×60%+95×30%=94.5（分）； 故答案为：94.5 【点睛】此题考查了加权平均数，解题的关键是掌握加权平均数的求法，本题易出现的错误是求90，95，95这三个数的平均数，对加权平均数的理解不正确． 13．某芭蕾舞团新进一批女演员，她们的身高及其对应人数情况如表所示： 身高（cm） 163 164 165 166 168 人数 1 2 3 1 1 那么，这批女演员身高的方差为 ． 【答案】2cm2 【分析】根据表格中的数据，可以先求出平均数，然后根据方差的计算方法代入数据计算即可． 【详解】解：， ， 故答案为：2cm2． 【点睛】本题考查方差，解答本题的关键是求出数据的平均数，明确方差的计算方法． 14．已知一组数据5，2，，6，4，它们的平均数是4，则这组数据的标准差为 ． 【答案】 【分析】先利用平均数求出x=3，再求出这组数据的方差，即可得到标准差． 【详解】解：∵一组数据5，2，，6，4，它们的平均数是4， ∴5+2+x+6+4=20， 解得x=3， ∴这组数据的方差为， ∴这组数据的标准差为， 故答案为：． 【点睛】此题考查了平均数，计算一组数据的方差，正确理解平均数求出x及掌握方差的计算公式是解题的关键． 15．体育课上，某班名男生进行引体向上的训练，在训练后的测试中，这名男生做引体向上个数的统计数据如下： 个数 人数 根据以上数据，这名男生做引体向上个数的众数是 ，中位数是 ． 【答案】 ； ． 【分析】本题考查了众数和中位数，根据众数和中位数的定义就可以求解，正确理解众数和中位数的定义是解题关键． 【详解】解：根据表格可知，出现次数最多的为个共次， ∴众数为， ∵名男生做引体向上个数的统计数据， ∴第个数据为个，故中位数为， 故答案为：，． 16．某校要从甲、乙两个跳远运动员中挑选一人参加一项比赛．在最近的10次选拔赛中，他们的成绩（单位：）折线统计图如图所示： 历届比赛成绩表明，成绩达到就很可能夺冠．若为了稳妥夺冠，则应选择参赛的运动员是 （填“甲”或“乙”）． 【答案】甲 【分析】本题考查平均数，中位数的意义，根据平均数，中位数的意义，以及样本中成绩达到夺冠的成绩判断即可． 【详解】解：∵甲成绩由小到大排列为：585，596，597，598，600，601，604，610，612，613， ∴甲成绩的中位数为：， 甲成绩的平均数为：； ∵乙成绩由小到大排列为：574，580，585，590，593，598，613，618，618，624， ∴乙成绩的中位数为：， 乙成绩的平均数为：， ∵甲成绩的平均数高于乙平均数，甲成绩的中位数高于乙中位数，从折线统计图可以看出甲的成绩波动较小，且甲10次成绩中有9次达到夺冠的成绩，乙只有5次达到夺冠的成绩， ∴应选择参赛的运动员是：甲． 故答案为：甲． 17．已知一组数据的方差计算如下：，则这组数据的和是 ． 【答案】21 【分析】由方差的计算算式知，这组数据共有7个，且这组数据的平均数为3，再根据平均数的概念可得答案． 【详解】解：由方差的计算算式可知，这组数据共有7个，且这组数据的平均数为3， 所以这组数据的和为． 故答案为：21． 【点睛】本题主要考查了方差的知识，解题的关键是掌握方差的计算公式及平均数的定义． 三、解答题 18．某班举行美食比赛，美食评委要从色泽、味感、创意三个方面对菜肴进行打分，综合成绩根据如图所示的权重计算，参赛选手甲的一道菜肴相应的得分依次记为4分，3分，2分，求参赛选手甲的这道菜肴的综合成绩． 【答案】参赛选手甲的综合成绩为3分 【分析】本题考查了加权平均数的应用，掌握加权平均数的计算公式是关键；由加权平均数的计算公式计算即可． 【详解】解：（分）． 答：参赛选手甲的综合成绩为3分． 19．为增强学生预防新冠肺炎的安全意识，某校开展了疫情防控知识答题活动．为了解答题活动的得分情况（满分100分），随机抽取了部分参加答题活动的学生的成绩，并用得到的数据绘制了统计图①和图②，请根据图中提供的信息，回答下列问题： （1）图①中的m的值为__________； （2）求该随机抽样获取的样本数据的平均数； （3）若该校有360名学生参加了本次答题活动，估计其中获得满分的学生人数． 【答案】（1）30；（2）93.2；（3）36． 【分析】（1）根据得分为84分的人数为3，和所占的百分比为10%，可以求得本次调查的学生人数，然后即可计算出的值； （2）根据条形统计图中的数据，可以计算平均数； （3）根据扇形统计图中的数据，可以计算出获得满分的学生人数． 【详解】解：（1）本次随机抽样抽取的学生人数为：， ， 即的值是30， 故答案为：30； （2）由图②，可得 平均数是：（分， 即本次随机抽样获取的样本数据的平均数是93.2分； （3）（人， 即估计其中获得满分的学生有36人． 【点睛】本题考查了条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体及平均数，解答本题的关键是明确题意．明白扇形统计图、条形统计图的意义． 20．苹果作为一种广受欢迎的水果，不仅因其鲜甜多汁的口感而备受喜爱，更因其丰富的营养价值而备受推崇．按照组内离差平方和达到最小的方法，把图中的10个苹果按直径大小分成两组．（计算过程结果保留整数） 【答案】第一组：65，69，70 第二组：75，76，76，78，80，80，81 【分析】本题考查了组内离差平方和的计算与分组优化，掌握列出所有分组情况、分别计算每组离差平方和后比较总和是解题的关键． 先将数据排列，再分9种情况讨论求解即可． 【详解】解：将10个数据按照从小到大排序：65，69，70，75，76，76，78，80，80，81，把10个数据分成两组，共有9种情况． ①第一组：65，第二组：69，70，75，76，76，78，80，80，81， 第一组的平均数为65， 第二组的平均数为， 组内离差平方和 ； ②第一组：65，69，第二组：70，75，76，76，78，80，80，81，同理可得，组内离差平方和为98； ③第一组：65，69，70，第二组：75，76，76，78，80，80，81，同理可得，组内离差平方和为48； ④第一组：65，69，70，75，第二组：76，76，78，80，80，81，同理可得，组内离差平方和为76； ⑤第一组：65，69，70，75，76，第二组：76，78，80，80，81，同理可得，组内离差平方和为98； ⑥第一组：65，69，70，75，76，76，第二组：78，80，80，81，同理可得，组内离差平方和为108； ⑦第一组：65，69，70，75，76，76，78，第二组：80，80，81，同理可得，组内离差平方和为137； ⑧第一组：65，69，70，75，76，76，78，80，第二组：80，81，同理可得，组内离差平方和为184； ⑨第一组：65，69，70，75，76，76，78，80，80，第二组：81，同理可得，组内离差平方和为219， 第一组：65，69，70，第二组：75，76，76，78，80，80，81组内离差平方和达到最小． 21．今年6月26日是第37个国际禁毒日，某校八年级1，2班开展了一次禁毒知识竞赛，每班选25名同学参赛，成绩评为A，B，C，D四个等级，相应等级的得分依次为100分，90分，80分，70分，将两个班的成绩整理后，绘制成如下统计图表： 平均数 中位数 众数 1班 90 2班 87.6 80 (1)请把1班竞赛成绩统计图补充完整； (2)计算出表格中a，b，c的值：_______，_______，______； (3)请你根据平均数和众数，分析比较1班和2班的竞赛成绩． 【答案】(1)见解析 (2)87.6，90，100 (3)见解析 【分析】本题考查了条形统计图、平均数、中位数、众数，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）先求出一班竞赛成绩为C等级的人数，再补全条形统计图即可； （2）由平均数、众数、中位数的定义进行计算即可得出答案； （3）根据众数和平均数进行分析即可． 【详解】（1）解：1班C等级人数为， 补图如下： （2）解：1班的平均成绩（分）， 一班竞赛成绩处于第13个数为90，故中位数为90， 由二班竞赛成绩的统计图可得，处于A等级的人数最多，故众数为100，即， 故答案为：87.6，90，100； （3）解：两个班级的平均数相等，都是87.6，一班的众数为90 ，二班的众数为100，二班的众数大于一班的众数，因此二班的成绩相对较好． 22．为了解我校学生阅读的情况，现从各年级随机抽取了部分学生，对他们一周阅读的时间进行了调查，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图： 根据统计图提供的信息，解答下列问题： (1)本次共调查了________名学生； (2)请根据以上信息，直接在答题卡中补全扇形统计图和条形统计图； (3)请直接写出本次调查获取的学生~周阅读的总时间数据的众数为________h，中位数为________h，平均数为________h； (4)若该校有1500名学生，根据抽样调查的结果，请你估计该校有多少名学生一周阅读的时间小于6小时． 【答案】(1)50 (2)见解析 (3)6，6，6 (4)300 【分析】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键． （1）由阅读时间为的人数及其所占百分比可得总人数，根据百分比之和为1可得a的值． （2）总人数乘以阅读时间为的人数对应的百分比可得答案． （3）依据众数、中位数和方差的定义求解即可． （4）总人数乘以样本中一周阅读的时间小于人数所占比例即可 【详解】（1）解：本次调查的总人数为（名）， 故答案为：50； （2）解：， 对应人数为（名）， 补全图形如下： （3）解：学生一周阅读的总时间数据中出现次数最多，所以众数为； 中位数是第25、26个数据的平均数，而第25、26个数据分别为、，所以这组数据的中位数为； 这组数据的平均数为， 故答案为：6，6，6； （4）解：估计该校一周阅读的时间小于的人数为（名） 23．劳动教育是中国特色社会主义教育制度的重要内容，是大、中、小学必须开展的教育活动．某中学为落实劳动教育，组织八年级学生进行了劳动知识技能竞赛，现随机抽取了部分同学的成绩（百分制），绘制了统计图表：    表一： 成绩 人数 1 2 8 3 表二： 统计量 平均数 中位数 众数 成绩 79.7 72 请根据以上信息回答下列问题： (1)若抽取的学生竞赛成绩处在这一组的数据如下：88，87，81，80，82，88，84，86．根据以上数据填空：______，______． (2)在扇形统计图中，表示竞赛成绩为这一组所对应扇形的圆心角度数为______． (3)已知该校八年级共有学生800名．若将竞赛成绩不少于80分的学生评为“劳动达人”，请你估计该校八年级被评为“劳动达人”的学生人数． 【答案】(1)6， (2) (3)440 【分析】本题考查了统计表和扇形统计图分析，中位数的求法，扇形统计图圆心角度数的求法，用样本估计总体，从图表中获得准确的信息是解决本题的关键． （1）根据这一组的人数和所占的百分比，可以计算出本次抽取的学生人数，然后即可计算出a和b的值； （2）根据这一组所占的百分比，即可求得计算出竞赛成绩在这一组的扇形圆心角度数； （3）根据竞赛成绩不少于80分所占的百分比，即可计算出该校八年级被评为“劳动达人”的学生人数． 【详解】（1）解：本次抽取的学生数为： (人)， ， 因，故被抽取的学生的竞赛成绩的中位数是这一组数据按照从小到大排列后，第10和第11个数的平均数， 故中位数是这一组的数据按照从小到大排列后的第1和第2个数的平均数， 这一组的数据按照从小到大排列是：80，81，82，84，86，87，88，88， 故， 故答案为：6，； （2）解：竞赛成绩在这一组的扇形圆心角度数为：， 故答案为：； （3）解： (人)， 即估计该校八年级被评为“劳动达人”的学生人数是440人． 24．某校举办了防溺水安全知识竞赛，现从七、八年级的学生中各随机抽取20名学生的竞赛成绩（成绩为百分制且为整数）进行收集、整理、描述和分析，所有学生的成绩均高于60分（成绩得分用表示，共分成四组：A．，B．，C．，D．），下面给出了部分信息： 七年级20名学生竞赛成绩为： 64，68，69，69，72，75，76，77，82，86， 86，86，87，88，94，95，95，96，97，98． 八年级20名学生的竞赛成绩在C组的数据为：83，84，87，87，87，88，89，89． 七、八年级所抽学生的竞赛成绩统计表 年级 七年级 八年级 平均数 83 83 中位数 86 众数 87 八年级所抽学生的竞赛成绩扇形统计图 根据以上信息，完成下列问题： (1)上述图表中_____，_____，_____； (2)根据以上数据分析，你认为该校七、八年级中哪个年级学生的防溺水安全知识竞赛成绩较好？请说明理由（写出一条理由即可）； (3)若将平均数、中位数和众数按照的权重计算七、八年级的竞赛成绩，哪个年级学生的防溺水安全知识竞赛成绩更高？ 【答案】(1)；；； (2)七年级学生的防溺水安全知识竞赛成绩较好，七年级中位数比八年级大； (3)八年级的成绩更高 【分析】本题考查了数据的分析，众数，中位数的求法，统计图相关信息的获取，合理从图表中获取相关信息是解题的关键． （1）根据中位数的运算方法运算即可，根据七年级数据中出现最多的分数推导即可，运算出D组的占比，即可求出的值； （2）对比中位数解答即可； （3）根据占比运算求解即可． 【详解】（1）解：由题意可得：八年级在竞赛成绩在A组的人数为：人， 八年级在竞赛成绩在B组的人数为：人， ∵八年级抽取的人数为20，故中位数为从低到高的第十个人和第十一个人分数的平均值，即； 由七年级的数据可得，出现最多的分数为：，即； ∵八年级在竞赛成绩在C组的人数为人， ∴八年级在竞赛成绩在C组的占比为：， ∴D组的占比为：，即； 故答案为：；；； （2）∵七八年级平均数相同，七年级的中位数为大于八年级的中位数，故七年级有一半以上的人高于分， ∴七年级学生的防溺水安全知识竞赛成绩较好； （3）解：七年级成绩， 八年级成绩， ∵ ∴八年级的成绩更高． 25．甲、乙两名队员参加射击训练，每次射击的环数均为整数．其成绩分别被制成如下统计图表（乙队员射击训练成绩统计图部分被污染）： 平均成绩/环 中位数/环 众数/环 方差/环2 甲 7 7 12 乙 7 8 根据以上信息，解决下列问题： （1）求出的值； （2）直接写出乙队员第7次的射击环数及的值，并求出的值； （3）若要选派其中一名参赛，你认为应选哪名队员？请说明你的理由． 【答案】（1）7，（2）乙队员第7次的射击环数是7环或8环；7.5；4.2（3）乙，理由见解析． 【分析】（1）利用平均数的计算公式直接计算平均分即可； （2）根据众数可求乙队员第7次的射击环数,中位数是第5次和第6次射击环数的平均数；根据乙的平均数利用方差的公式计算即可； （3）结合平均数和中位数、众数、方差三方面的特点进行分析． 【详解】解：（1）甲的平均成绩a＝（环）； （2）∵已知的环数分别是： 3、4、6、7、8、8、9、10，平均数是7， 可知剩余两次的成绩和为：70-55=15（环），根据统计图可知不可能是9和6，只能是7和8，所以乙队员第7次的射击环数是7环或8环； 把乙的成绩从小到大排列：3、4、6、7、7、8、8、8、9、10， ∴乙射击成绩的中位数b＝＝7.5（环）， 其方差c＝×[（3﹣7）2+（4﹣7）2+（6﹣7）2+2×（7﹣7）2+3×（8﹣7）2+（9﹣7）2+（10﹣7）2] ＝×（16+9+1+3+4+9） ＝4.2； （3）从平均成绩看甲、乙二人的成绩相等均为7环，从中位数看甲射中7环以上的次数小于乙，从众数看甲射中7环的次数最多而乙射中8环的次数最多，从方差看乙的成绩比甲的成绩稳定；综合以上各因素，若选派一名队员参加比赛的话，可选择乙参赛，因为乙获得高分的可能更大． 【点睛】本题考查的是条形统计图和方差、平均数、中位数、众数的综合运用．熟练掌握平均数的计算，理解方差的概念，能够根据计算的数据进行综合分析. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第05讲 数据分析初步（知识详解+22典例分析+习题巩固） 【知识点01】算术平均数 内容 定义 一般地，有𝑛个数，，⋯ ， ，我们把(++⋯+)叫作这𝑛 个数的算术平均数，简称平均数，记作（读作“𝑥 拔”）。 特点 反映了一组数据取值的平均水平，是刻画数据集中趋势最常用的统计量。 说明： 根据样本数据计算得到的平均数，叫作样本平均数；根据总体数据计算得到的平均数，叫作总体平均数。在生活实际中，常用样本的平均数来估计总体的平均数。 注意：（1）一组数据的平均数是唯一的; （2）一组数据的平均数的大小与这组数据中的每个数据都有关系，其中任何一个数据的变动都可能会引起平均数的变动； （3）平均数的单位与原数据的单位一致。 【知识点02】加权平均数 1.权重的定义：一组数据中，一个数的频数可以看作这个数的“权重”，简称权。“权”原指秤锤，用于称物体，这里有表示数据重要程度的意思 2.加权平均数 内容 定义 一般地，对于一组数据，，⋯ ， ，对应的权分别为，，⋯ ，(>0,𝑖=1,2,⋯,𝑛) ，则称= 为这组数据的加权平均数。 特点 加权平均数是一种考虑数据权重的统计方法，其核心特点在于通过赋予各个数据不同的重要性（权）来更准确地反映数据的整体趋势。 说明：在实际问题中，我们可以根据需要赋予数据不同的权重来计算加权平均数。“权”越大，该数据对平均数的影响就大。 【知识点03】分布式计算 分布式计算 内容 定义 当样本容量较大时，我们可以把样本分成若干个子样本，分别统计出平均数，然后运用计算加权平均数的方法，求出整个样本数据的平均数。将一个大的计算任务分解成若干个小的计算任务分别计算，再将结果汇总处理得到最终结果，这样的计算方式称为分布式计算。 特点 (1)可以节约整体计算时间，提高计算效率； (2)可以减少大量数据传输和存储带来的时间、经济成本。 【知识点04】中位数 定义 将一组数据按从小到大（或从大到小）的顺序排列，位于中间的数值是中位数。 确定方法 当数据个数为奇数时，中位数是位于最中间的一个数据；当数据个数是偶数时，中位数是位于最中间两个数据的平均数。 特点 一组数据按大小排序后，位于中位数左、右两侧的数据个数相同，因此中位数反映一组数据取值的中间水平。 注意：（1）中位数的单位与数据的单位相同。 （2）一组数据的中位数是唯一的，它可能是这组数据中的原数据，也可能不是。 【知识点05】众数 定义 众数是一组数据中出现次数最多的那个数据。 确定方法 如果一组数据中有两个或两个以上的数据出现的次数并列最多，那么把这几个数据都作为这组数据的众数；如果一组数据中没有出现相同的数据，那么就认为这组数据没有众数。 特点 众数是刻画数据集中趋势的一种统计量，当一组数据有较多的重复数据时，众数往往能较好地反映其集中趋势。 说明：求一组数据的众数时，众数可能是不唯一的,如数据1,3,3,5,5,6的众数是3和5:如果各个数据都不相同，这种情况下众数已失去意义 注意：（1）众数是一组数据中出现次数最多的数据，而不是数据出现的次数。 （2） 众数的单位与原数据的单位一致。 【知识点06】平均数、中位数、众数的特点一组数据中与其余数据差异很大的数据 统计量 优点 缺点 平均数 平均数是一组数据的平均值，计算时要用到所有的数据，它能够充分利用全部数据信息，在现实生活中较为常用。 平均数受极端值的影响较大，对于存在极端值的数据，一般平均数的代表性较差。 中位数 中位数是一组数据按大小排序后处于中间位置的数，计算简单，不受极端值影响。 中位数不能充分利用全部数据信息。 众数 众数是一组数据中出现次数最多的数据，不受极端值影响。 当各个数据的重复次数差别不大时，众数往往不具有代表性。 【知识点07】离差平方和 定义 样本中，各数据与平均数的差（又称离差）的平方和称为离差平方和，记为𝐷² 。 公式 对于一组数据，，⋯ ，，这组数据的平均数为，则𝐷²=(−)²+(−)²+⋯+(−)² 。 特点 可以刻画一组数据的离散程度，在比较两组数据的离散程度时，只适用于数据个数相同的情况。 因为离差平方和除了和离差有关，还和数据个数相关，所以在用离差平方和比较两组数据的离散程度时，前提是两组数据的个数相同 【知识点08】方差 定义 一般地，一组数据的各离差的平方的平均数叫作这组数据的方差，记为𝑆² 。 公式 [(−)²+(−)²+⋯+(−)²] 。 特点 方差能较好地反映出数据的离散程度，方差越大，说明数据的波动越大（即离散程度越大），越不稳定；在利用方差比较两组数据的离散程度时，不受数据个数的限制。 说明：在求总体方差时，若所要考察的总体包含很多个体或考察对象带有破坏性，常常用样本方差来估计总体方差。 【知识点09】标准差 定义 一组数据的方差的算术平方根称为这组数据的标准差。 公式 𝑆== 。 特点 标准差越大，说明数据的波动越大，越不稳定。 【知识点10】数据的分组 1.组内离差平方和与组间离差平方和 一般地，设有n个数据，，，⋯ ，，它们的平均数为 ，离差平方和为D²。如果把这些数据分为两组，第1组有个数据，平均数为，离差平方和为；第2组有个数据，平均数为，离差平方和为，其中+=n。通常称(+) 为组内离差平方和，它表达了两个组组内数据的离散程度；称[(−)²+(−)²] 为组间离差平方和，它表达了两个组之间的差异。 2.数据分组原则 合理的分组原则是使+最小，同时使(−)²+(−)²最大。由于总离差平方和D² 不变，所以只需考虑+最小，即组内离差平方和最小即可。 说明： 在大数据分析中，数据分组是重要的方法之一。数据分组方法有许多种，其中使得“组内离差平方和最小”的方法最为常见 【知识点11】四分位数 1.百分位数 定义 一组数据按从小到大的顺序排列，将数据分成100等份的每一分点处的值叫作这组数据的百分位数。 意义 百分位数是一类关于数据整体分布的统计量，它可以较全面地反映出数据的分布信息。 说明：一般地,处于p%位置的数据称第p百分位数,记为。①第50百分位数：一般地，一组数据中至少有50% 的数小于或等于中位数，也至少有50% 的数大于或等于中位数。中位数也叫作第50百分位数，记为 。 ②第25百分位数和第75百分位数：进一步地，将一组数据按从小到大排列，中位数把这组数据分成左右两部分，用和 分别表示左右两部分数据的中位数，那么，所有数据中，至少有25% 的数小于或等于（也至少有75%的数大于或等于），至少有75%的数小于或等于（也至少有25%的数大于或等于）。和分别叫作第25百分位数和第75百分位数。 2.四分位数 在一组从小到大排列的数据中，，，这三个数值把所有数据分为个数相等的四个部分，这三个数叫作四分位数。其中第25百分位数也称为下四分位数，第75百分位数也称为上四分位数。 示例 四分位数 解题通法 确定一组数据的四分位数的步骤 （1）先将数据按照从小到大的顺序进行排列； （2）找出这组数据的中位数； （3）找出中位数左侧和右侧的数据各自的中位数，分别作为这组数据的下四分位数和上四分位数。 【知识点12】箱线图 概念 人们用如图所示的统计图来表示四分位数所刻画的一组数据的分布特点。水平的线从下至上依次表示最小值， (下四分位数)，（中位数），（上四分位数），最大值。图中的长方形（即“箱子”）的高度等于与的差，反映了中间50% 数据的离散程度。这样的统计图叫作箱线图。 图示 意义 “箱子”越扁，说明中间的数据越集中； “箱子”越高，说明中间的数据越分散。 说明：箱线图大多用于多组数据的比较。箱体越扁，中间的竖线（也就是常说的“须”）越短，说明数据越集中。 【题型一】求一组数据的平均数 例1．（24-25八年级下·浙江绍兴·期中）某班有45名学生，其中25名男生的平均身高为m厘米，20名女生的平均身高为n厘米，则全班45名学生的平均身高为（　　）厘米． A． B． C． D． 变式1．（24-25八年级下·浙江绍兴·期中）某快递员一周投放快递物品件数为：有2天是每天37件，有1天是47件，有4天是每天45件，则本周的日平均投递物品件数为 ． 变式2．小梧是某校一名七年级新生，新学期开始，他打算每天早上和同小区里的几位新同学一起上学．小梧和同学计划每天早上7：00出发搭乘公共交通工具前往该学校，并在7：50前入校．几位同学通过查询出行软件，发现有三条路线可供选择，他们约定开学后的两周内分三组体验不同的路线并进行记录，结果如表二所示． 表二 路线 上学路上所用的时间（单位：min） 第1天 第2天 第3天 第4天 第5天 第6天 第7天 第8天 第9天 第10天 路线一 43 44 43 44 52 45 43 45 46 45 路线二 42 41 44 54 41 41 51 42 52 42 路线三 47 53 44 46 47 48 47 46 47 45 (1)根据表二，求体验路线一的同学这10天平均每天上学路上所用的时间； (2)请你为小梧和他的同学选择一条较为合理的上学路线，并说明理由． 【题型二】已知 平均数求未知数据的值 例2．（24-25八年级下·浙江宁波·期中）样本数据3，a，4，5的平均数是4，则a的值是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 变式1．（24-25八年级下·浙江宁波·期末）已知一样本数据4，4，5，6，的平均数为5，则数的值为 ． 【题型三】利用已知的平均数求相关数据的平均数 例3．（22-23八年级下·浙江杭州·期中）若一组数据，，，，的平均数为，那么数据，，，，的平均数为（ ） A． B． C． D． 变式1．（24-25八年级下·浙江金华·月考）已知5个数、、、、的平均数是，则数据，，，，的平均数为 【题型四】求加权平均数 例4．（24-25八年级下·浙江温州·期中）学校举行“水火箭制作”科技大赛，选手综合成绩分为两项：创新设计占，现场展示占．小温的创新设计得80分，现场展示得90分，则他的综合成绩是（    ） A．80分 B．84分 C．85分 D．90分 变式1．（2023八年级下·浙江杭州·竞赛）某博物馆拟招聘一名优秀志愿讲解员，其中某位志愿者笔试、试讲、面试三轮测试得分分别为80分、94分、92分，综合成绩中笔试占，试讲占，面试占，则该名志愿者的综合成绩是 分． 变式2．（24-25八年级下·浙江金华·期末）某校团委要招聘一名节目主持人，、、三位同学报名并参加了3个项目的素质测试，测试成绩如下表（单位：分）． 知识积累 人文素养 实践经验 80 78 82 78 86 79 79 87 74 (1)计算得同学的总成绩的平均分为80分，请求出、两同学的平均分； (2)对于主持人工作，三个项目的重要性程度有所不同，规定应聘者的知识积累、人文素养、实践经验的成绩按的比例计算，得分高的应聘，请问谁能应聘成功？ 【题型五】利用加权平均数求未知数据的值 例5．（24-25八年级下·浙江杭州·期末）在某次期末考试中，甲学校和乙学校八年级学生的数学成绩统计数据如下表： 类别 男生平均分 女生平均分 年级平均分 甲学校 95 85 92 乙学校 97 87 91 根据表中数据，下列分析正确的是（   ） A．甲学校八年级总人数比乙学校多 B．甲学校八年级男生人数比乙学校多 C．甲学校八年级男生比例比乙学校高 D．甲学校女生人数多于男生 变式1．（2024·浙江温州·模拟预测）某学校在一次广播操比赛中，901班，902班，903班的各项得分如表： 班级 服装统一 动作整齐 动作准确 901班 85 70 85 902班 75 85 80 903班 90 85 95 （1）若取三个项目的得分平均分作为该班成绩，分别求各班的成绩． （2）若学校认为三个项目的重要程度各不相同，从低到高依次为“服装统一”“动作整齐”“动作准确”，它们在总分中所占的比例分别为10％，％，％．请你设计一组符合要求的，值，并直接给出三个班级的排名顺序． 【题型六】运用加权平均数做决策 例6．（22-23八年级下·浙江温州·期中）某学校考查各个班级的教室卫生状况时包括以下三项：地面、黑板，门窗，其中“地面”最重要，“黑板”次之，“门窗”要求最低，根据这个要求，对地面、黑板、门窗三项考察比较合适的比例设计分别为（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 变式1．某校团委举行“喜迎二十大，奋进新征程”演讲比赛中，评委将从演讲内容、演讲能力、演讲效果三个方面为选手打分，各项成绩均为百分制，然后按演讲内容占50%、演讲能力占40%、演讲效果占10%计算选手的综合成绩（百分制）．进入决赛的前两名选手的单项成绩如下表所示，则获得冠军的是选手 ． 选手 演讲内容 演讲能力 演讲效果 A 85 95 95 B 95 85 95 变式2．（24-25八年级下·浙江宁波·期末）某校广播台要招聘一名编辑，甲、乙、丙三位同学报名参加了三项素质测试，各项得分如下表（单位：分）． 语言文字能力 运用媒体能力 创意设计能力 甲 86 77 77 乙 84 89 73 丙 80 78 85 (1)计算得甲、乙的平均分分别为80分，82分，请求出丙的平均分，并根据三人的平均分从高到低进行排序； (2)如果学校认为这三项的重要程度有所不同，每位应聘者的价格文字能力、运用媒体能力、创意设计能力的成绩应按的比例计算成绩，并且每位应聘者的单项得分最低不能低于75分．问谁能成功应聘？ 【题型七】求中位数 例7．（24-25八年级下·浙江杭州·月考）为了丰富校园生活，增强学生体质，文理中学八年级开展了投篮比赛活动，名选手投中的个数分别为，，，，，这组数据的中位数是（   ） A． B． C． D． 变式1．（23-24八年级下·浙江温州·期中）某班一学习互助小组有6人，数学期末考试成绩（单位：分）分别为：96，73，86，98，80，82，则这组数据的中位数是 分． 【题型八】利用中位数求未知数据的值 例8．一组数据按从小到大排列为3，4，7，x，15，17，若这组数据的中位数为9，则x是（　　） A．9 B．10 C．11 D．12 变式1．（22-23八年级下·浙江温州·期中）一组数据的中位数是，则的最大值为 ． 【题型九】运用中位数做决策 例9．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）有11位同学参加学校举行的歌唱比赛，比赛后根据每个学生的最后得分计算出中位数、平均数、众数和方差，如果去掉一个最高分和一个最低分，则一定不会发生变化的是（   ） A．中位数 B．平均数 C．众数 D．方差 变式1．（22-23八年级下·浙江台州·期末）广告公司采用考核的方式竞聘设计师，考核分笔试、面试两部分，成绩均为10分．并分别赋予笔试、面试成绩一定的权重，得到综合成绩，笔试成绩前8名的应聘者进入面试．现有15名应聘者的笔试成绩如下表所示，其中应聘者小张的笔试成绩为7分． 笔试成绩／分 3 4 5 6 7 8 9 频数 1 1 4 2 3 3 1 (1)求这15名应聘者笔试成绩的中位数； (2)小张能否进入面试？为什么？ (3)你认为小张的综合成绩有可能为3.4分吗？为什么？ 【题型十】求众数 例10．（23-24八年级下·浙江温州·期中）为了解八（1）班学生的睡眠状况，小明调查了全班50名学生每天的睡眠时间，绘成如图所示的睡眠时间统计图，则所调查学生睡眠时间的众数是（   ） A． B． C． D． 变式1．（24-25八年级下·浙江温州·期中）温州市4月11日－15日这5天的最高气温如下（单位：）：28，22，24，28，27，这组数据的众数是 ． 变式2．（24-25八年级下·浙江台州·月考）随着AI技术发展，机器人正逐步应用于更多领域．现有A，B两款机器人，网友对其评分如下： 网友对A、B两款机器人评分数据统计表 款式 外观 性能 售后 A款 90 95 92 B款 95 90 94 7位网友对A款机器人的综合评分：93，94，92，93，93，96，94． (1)求7位网友对A款机器人综合评分的众数． (2)若将机器人的外观，性能，售后等三项评分按的比例统计，请通过计算比较A，B两款机器人的平均分． 【题型十一】利用众数求未知数据的值 例11．（24-25八年级下·浙江宁波·期中）为备战体育中考，小明每日坚持引体向上，下表为其记录的一周中每日引体向上个数，其中一天数据缺失了，但这组数据中有唯一众数，则这组数据的中位数为（    ） 周一 周二 周三 周四 周五 周六 周日 10 9 9 10 7 8 A．10 B．9 C．8 D．7 变式1．（24-25八年级下·浙江杭州·月考）已知一组数据3，4，5，6，的众数为5，则这组数据的平均数为 ． 变式2．某次数学测试，圆圆同学所在的学习小组其他同学的平均分为75分，圆圆说，“我的分是100分，我们学习小组的平均分恰好是80分”． (1)圆圆同学所在的学习小组具有多少人？ (2)已知该学习小组本次测试得分的众数是90分，最低分为50分，求该学习小组本次测试得分的中位数． 【题型十二】运用众数做决策 例12．（23-24八年级下·浙江台州·期末）路桥区某服装经销商对甲、乙、丙、丁四种服装（利润均相同）在一段时间内的销售情况统计如下表，最终决定增加乙种服装的进货数量，影响该服装经销商决策的统计量是（    ） 种类 甲 乙 丙 丁 销售量（件） A．中位数 B．平均数 C．众数 D．方差 变式1．（24-25八年级下·浙江台州·期末）一家鞋店在一段时间内销售了某种女鞋30双，销售量如表：根据表中的数据，可建议鞋店进货时，多进尺码为 的女鞋． 尺码 22 23 24 25 销售量/双 1 5 12 6 3 2 1 变式2．（24-25八年级下·浙江温州·期中）近日，深度求索推出了“DeepSeek”AI聊天机器人（以下简称A款），抖音推出了“豆包”AI聊天机器人（以下简称B款）.有关人员开展了A，B两款AI聊天机器人的使用满意度评分测验，并从中各随机抽取20份，下面给出了部分信息：（单位：分）（评分分数用表示，分为四个等级：不满意，比较满意，满意，非常满意） 抽取的对A款AI聊天机器人的评分数据中“满意”的数据：83，85，86，87，88，89； 抽取的对B款AI聊天机器人的评分数据：67，68，69，83，85，86，87，87，87，88，88，89，95，96，96，96，96，98，99，100； 抽取的对A，B款AI聊天机器人的评分统计表 设备 平均数 中位数 众数 “非常满意”所占百分比 A 88 88.5 98 B 88 (1)求出上述图表中，，的值； (2)若你是用户，从平均数、中位数、众数的这三个角度进行分析，你认为哪款聊天机器人更受喜爱？请说明理由. 【题型十三】求离差平方和 例13．组内离差平方和的计算依据是（   ） A．数据与最大值的差的平方和 B．数据与最小值的差的平方和 C．数据与平均数的差的平方和 D．数据与中位数的差的平方和 变式1．把5个数据分成和两组，则这种分组情况的组内离差平方和为 ． 【题型十四】求方差 例14．（24-25八年级下·浙江杭州·期末）某合唱团成员的平均年龄为13岁，方差为10，在人员没有变动的情况下，一年后，方差（  ） A．不变 B．变小 C．变大 D．无法确定 变式1．（24-25八年级下·浙江金华·月考）已知一组数据，，，的方差为5，则，，，的方差为 ． 变式2．（2023八年级下·浙江宁波·期中）小明同学参加某体育项目训练，近期的五次测试成绩得分如下表，试求出五次成绩的平均值和方差． 五次测试成绩得分表 次数 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 分数 10 13 12 14 16 【题型十五】利用方差求未知数据的值 例15．（23-24八年级下·浙江杭州·期中）已知数据的方差计算公式为，则这组数据的（    ） A．方差为40 B．中位数为4 C．平均数为4 D．标准差为40 变式1．（23-24八年级下·浙江嘉兴·月考）一样本数据的方差是，则这组数据的平均数是 ． 【题型十六】根据方差判断稳定性 例16．（24-25八年级下·浙江杭州·期末）某班甲、乙两个体育小组各有5名同学，为比较这两个小组同学跳绳成绩的稳定性，在相同条件下，记录一分钟跳绳次数如下表．根据表中的数据，则跳绳次数（    ） 学生序号 ① ② ③ ④ ⑤ 平均个数 甲（个/分钟） 165 184 185 186 205 185 乙（个/分钟） 182 185 187 184 187 185 A．甲更稳定 B．乙更稳定 C．甲与乙一样稳定 D．稳定情况不确定 变式1．（24-25八年级下·浙江嘉兴·月考）甲、乙两个篮球队队员身高的平均数都为米，若，，则队员身高比较整齐的球队是 队（填“甲”或“乙”）． 【题型十七】运用方差做决策 例17．（24-25八年级下·浙江宁波·期末）下表记录了甲、乙、丙、丁四名同学最近几次数学考试成绩的平均数与方差： 甲 乙 丙 丁 平均数（分） 方差 根据这个记录的成绩选择一名成绩好且发挥稳定的同学参加数学比赛，应该选择（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 变式1．（24-25八年级下·浙江宁波·期末）某校甲、乙两班学生身高的方差为，则 班身高更整齐（填“甲”或“乙”）． 变式2．（24-25八年级下·浙江杭州·期末）李老师要从小聪、小亮两人中选拔一人参加知识竞赛，现对两人的5次测试成绩进行整理分析，两人的成绩如下： 小聪：76，80，79，85，80； 小亮：77，79，81，82，81． 李老师将两人的成绩分析如下：（单位：分）． 平均成绩 中位数 众数 小聪 80 小亮 80 81 (1)填空： ； ； ． (2)李老师已经求得小聪5次测试成绩的方差，请你帮助李老师计算小亮5次测试成绩的方差． (3)根据以上信息，请你运用所学的统计知识帮助李老师作出选择，并说明理由． 【题型十八】标准差 例18.（24-25八年级下·浙江杭州·期中）计算数据3，4，5，6，7的标准差为 ． 变式1．（22-23八年级下·浙江湖州·月考）已知样本数据，下列说法不正确的是（    ） A．平均数是3 B．方差是2 C．中位数是4 D．标准差是 变式2．（2023八年级下·浙江·专题练习）（1）若一组数据…，的方差是9，则数据，…，的方差是多少？ （2）若一组数据…，的方差为，将这组数据中的每个数乘以9，则所得到的一组新数据的标准差是多少？ （3）若一组数据…，的方差为，将这组数据中的每个数乘以a，再加上b，那么得到的一组新数据的方差是多少？标准差是多少？ 【题型十九】求四分位数 例19．2022年北京成功举办了第24届冬季奥林匹克运动会，北京由此成为全球首个既举办过夏季奥运会又举办过冬季奥运会的“双奥之城”，在比赛前，某体育社团为积极响应号召，开展了“冰雪运动，健康生活”的体育活动．该社团模拟冬奥会的短道速滑比赛，某小组8名选手的完赛时间（单位：秒）如下：46，47，48，49，50，51，52，53，规定“成绩优于上四分位数的选手可直接晋级决赛”，则晋级决赛的人数为（　　） A．1 B．2 C．4 D．6 变式1．下面分别给出了25个男生和25个女生的肺活量（单位：L）： 女生组：2.7，2.8，2.9，3.1，3.1，3.1，3.1，3.2，3.4，3.4，3.4，3.4，3.4，3.4，3.5，3.5，3.5，3.6，3.7，3.7，3.7，3.8，3.8，4.0，4.1． 男生组：4.1，4.1，4.3，4.3，4.5，4.6，4.7，4.8，4.8，5.1，5.3，5.3，5.3，5.4，5.4，5.5，5.6，5.7，5.8，5.8，6.0，6.1，6.3，6.7，6.7． 分别计算女生组和男生组的第三四分位数与第一四分位数的差． 【题型二十】画箱线图 例20．绘制箱线图时，不需要的数据是（   ） A．四分位数 B．中位数 C．平均值 D．极值 变式1．某老师绘制了一次数学小测验中甲、乙、丙三个班级学生得分的箱线图（如图），若每班有42名学生，则三个班级的第11名中， 班的分数最高．（填“甲”“乙”或“丙”） 变式2．某中学举办“校园好声音”朗诵大赛，根据初赛成绩，七年级和八年级各选出10名选手组成七年级代表队和八年级代表队参加学校决赛，两个队各选出的10名选手的决赛成绩如图所示．下面是七年级、八年级两组的测试成绩的统计表： 七年级 91 96 70 89 60 70 100 80 92 98 八年级 92 93 70 88 82 75 96 80 92 95 (1)求七年级数据的四分位数． (2)根据四分位数可绘制如下的箱线图，观察图中八年级成绩的箱线图，绘制七年级成绩的箱线图．    (3)根据箱线图和对四分位数的理解，谈谈你对七年级和八年级成绩的看法． 【题型二十一】根据要求选择合适的统计量 例21．（23-24八年级下·浙江宁波·期中）有21名同学参加学校组织的几何画板比赛，已知他们所得的分数互不相同，共设10个获奖名额．某同学知道自己的比赛成绩后，要判断自己能否获奖，在下列关于这21名同学成绩的统计量中只需知道一个量，它是（    ） A．方差 B．平均数 C．众数 D．中位数 变式1．在平均数、中位数、众数、方差等几个统计量中，最能刻画数据波动（离散）程度的量是 ． 【题型二十二】利用合适的统计量做决策 例22．某商场试销一种新款衬衫，一周内各种尺码衬衫的销售情况如下表： 尺码 38 39 40 41 42 43 数量/件 18 25 30 52 35 8 商场经理要确定哪种尺码最畅销，则对她来说，最有意义的统计量是（    ） A．众数 B．中位数 C．平均数 D．方差 变式1．某校组织35名同学参加了马拉松知识竞赛，预赛分数各不相同，取前18名同学参加决赛．其中一名同学知道自己的分数后，要判断自己能否进入决赛，只需要知道这35名同学分数的 ．（填“众数”，“中位数”，“平均数”，“方差”） 变式2．（23-24八年级下·浙江台州·期末）某校为迎接椒江区初中数学学生“微说题”比赛，在校内进行了选拔赛，参加选拔的20位学生分A，B两组，成绩如下： A组：82，82，84，85，87，88，91，92，93，96； B组：82，84，84，84，86，87，89，91，95，98． 数据分析如下表： 组别 平均数 中位数 众数 优秀率（大于90分为优秀） A组 88 87.5 82 B组 88 84 30% 根据以上信息，回答下列问题： (1)______，______； (2)B组的小明说：“我的成绩是87分，在B组属于中上水平，那么我的成绩在A组肯定也属于中上水平！”你同意小明的说法吗？请说明理由； (3)选择适当的统计量，分析哪一组学生成绩更好？ 一、单选题 1．甲、乙、丙、丁四地去年同期的平均气温 （单位： ）和方差（单位： ）如下表．根据表中数据， 要从中选取一处气温低且稳定的地区举办高山滑雪比赛，应选择（    ） 甲 乙 丙 丁 0 3 A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 2．如图是甲、乙两人5次投篮成绩统计图（每人每次投球10个），则对于方差的描述正确的是（    ）    A． B． C． D．无法确定 3．在一次射击比赛中，甲、乙两名同学射击10次，若他们两人成绩的“一般水平”大体相当，甲同学的成绩比乙同学的成绩稳定，则甲、乙两名同学的平均成绩和离差平方和可能是（    ） A．，；， B．，；， C．，；， D．，；， 4．我校八年级开展“校园歌手大赛”选拔赛，某选手的音准节奏、舞台表现、情感表达这三项的成绩分别为90分、80分、75分、若依次按照的百分比确定最终成绩，则该选手的最终成绩是（   ） A．74分 B．84分 C．80.5分 D．82分 5．在一场篮球赛中，某队5名场上队员的身高（单位：cm）分别是：187，188，192，193，194．因身高为m的队员受伤，教练让身高为的队员替补上场．与换人前相比，换人后场上队员的身高（   ） A．平均数变小，方差变大 B．平均数变小，方差变小 C．平均数变大，方差变小 D．平均数变大，方差变大 6．下表是某公司员工月收入的统计表： 月收入/元 45000 18000 10000 5500 5000 3400 3000 2500 人数 1 1 1 3 6 1 11 1 则该公司员工月收入的中位数比众数多（     ） A．400元 B．2000元 C．2250元 D．2500 元 7．小申将9月份每天的书籍销售量绘制成了箱线图，以下说法正确的是（    ） A．这个月有15天每天销售量在200本以上 B．这个月中销售量最大的一天，销售量大于400本 C．这个月每天的书籍销售量的中位数在200本以下 D．这个月中每天的销售量差异不大 8．如果用公式计算一组数据的方差，那么数据，，，…，的和是（   ） A．268 B．240 C．90 D．43 9．对于数据3，5，7，9，11，其中第三四分位数是（    ） A．7 B．9 C．10 D．11 10．学校组织领导、教师、学生、家长等代表对教师的教学质量进行综合评分，满分为100分． 张老师的得分情况如下：领导代表给分80分，教师代表给分76分，学生代表给分90分，家长代表给分84分，如果按照的权重进行计算，张老师的综合评分为（    ） A．84.5分 B．84.3分 C．84.4分 D．88.4分 二、填空题 11．某品牌专卖店月份销售了双运动鞋，其尺码和数量统计如下表： 尺码 38 39 40 41 42 数量 2 4 5 6 3 这双运动鞋尺码的众数是 ． 12．在某校举办的队列比赛中，班的成绩如下： 项目 着装 队形 精神风貌 成绩/分 90 95 95 若按着装占10%、队形占60%、精神风貌占30%计算参赛班级的综合成绩，则班的最后得分是 分． 13．某芭蕾舞团新进一批女演员，她们的身高及其对应人数情况如表所示： 身高（cm） 163 164 165 166 168 人数 1 2 3 1 1 那么，这批女演员身高的方差为 ． 14．已知一组数据5，2，，6，4，它们的平均数是4，则这组数据的标准差为 ． 15．体育课上，某班名男生进行引体向上的训练，在训练后的测试中，这名男生做引体向上个数的统计数据如下： 个数 人数 根据以上数据，这名男生做引体向上个数的众数是 ，中位数是 ． 16．某校要从甲、乙两个跳远运动员中挑选一人参加一项比赛．在最近的10次选拔赛中，他们的成绩（单位：）折线统计图如图所示： 历届比赛成绩表明，成绩达到就很可能夺冠．若为了稳妥夺冠，则应选择参赛的运动员是 （填“甲”或“乙”）． 17．已知一组数据的方差计算如下：，则这组数据的和是 ． 三、解答题 18．某班举行美食比赛，美食评委要从色泽、味感、创意三个方面对菜肴进行打分，综合成绩根据如图所示的权重计算，参赛选手甲的一道菜肴相应的得分依次记为4分，3分，2分，求参赛选手甲的这道菜肴的综合成绩． 19．为增强学生预防新冠肺炎的安全意识，某校开展了疫情防控知识答题活动．为了解答题活动的得分情况（满分100分），随机抽取了部分参加答题活动的学生的成绩，并用得到的数据绘制了统计图①和图②，请根据图中提供的信息，回答下列问题： （1）图①中的m的值为__________； （2）求该随机抽样获取的样本数据的平均数； （3）若该校有360名学生参加了本次答题活动，估计其中获得满分的学生人数． 20．苹果作为一种广受欢迎的水果，不仅因其鲜甜多汁的口感而备受喜爱，更因其丰富的营养价值而备受推崇．按照组内离差平方和达到最小的方法，把图中的10个苹果按直径大小分成两组．（计算过程结果保留整数） 21．今年6月26日是第37个国际禁毒日，某校八年级1，2班开展了一次禁毒知识竞赛，每班选25名同学参赛，成绩评为A，B，C，D四个等级，相应等级的得分依次为100分，90分，80分，70分，将两个班的成绩整理后，绘制成如下统计图表： 平均数 中位数 众数 1班 90 2班 87.6 80 (1)请把1班竞赛成绩统计图补充完整； (2)计算出表格中a，b，c的值：_______，_______，______； (3)请你根据平均数和众数，分析比较1班和2班的竞赛成绩． 22．为了解我校学生阅读的情况，现从各年级随机抽取了部分学生，对他们一周阅读的时间进行了调查，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图： 根据统计图提供的信息，解答下列问题： (1)本次共调查了________名学生； (2)请根据以上信息，直接在答题卡中补全扇形统计图和条形统计图； (3)请直接写出本次调查获取的学生~周阅读的总时间数据的众数为________h，中位数为________h，平均数为________h； (4)若该校有1500名学生，根据抽样调查的结果，请你估计该校有多少名学生一周阅读的时间小于6小时． 23．劳动教育是中国特色社会主义教育制度的重要内容，是大、中、小学必须开展的教育活动．某中学为落实劳动教育，组织八年级学生进行了劳动知识技能竞赛，现随机抽取了部分同学的成绩（百分制），绘制了统计图表：    表一： 成绩 人数 1 2 8 3 表二： 统计量 平均数 中位数 众数 成绩 79.7 72 请根据以上信息回答下列问题： (1)若抽取的学生竞赛成绩处在这一组的数据如下：88，87，81，80，82，88，84，86．根据以上数据填空：______，______． (2)在扇形统计图中，表示竞赛成绩为这一组所对应扇形的圆心角度数为______． (3)已知该校八年级共有学生800名．若将竞赛成绩不少于80分的学生评为“劳动达人”，请你估计该校八年级被评为“劳动达人”的学生人数． 24．某校举办了防溺水安全知识竞赛，现从七、八年级的学生中各随机抽取20名学生的竞赛成绩（成绩为百分制且为整数）进行收集、整理、描述和分析，所有学生的成绩均高于60分（成绩得分用表示，共分成四组：A．，B．，C．，D．），下面给出了部分信息： 七年级20名学生竞赛成绩为： 64，68，69，69，72，75，76，77，82，86， 86，86，87，88，94，95，95，96，97，98． 八年级20名学生的竞赛成绩在C组的数据为：83，84，87，87，87，88，89，89． 七、八年级所抽学生的竞赛成绩统计表 年级 七年级 八年级 平均数 83 83 中位数 86 众数 87 八年级所抽学生的竞赛成绩扇形统计图 根据以上信息，完成下列问题： (1)上述图表中_____，_____，_____； (2)根据以上数据分析，你认为该校七、八年级中哪个年级学生的防溺水安全知识竞赛成绩较好？请说明理由（写出一条理由即可）； (3)若将平均数、中位数和众数按照的权重计算七、八年级的竞赛成绩，哪个年级学生的防溺水安全知识竞赛成绩更高？ 25．甲、乙两名队员参加射击训练，每次射击的环数均为整数．其成绩分别被制成如下统计图表（乙队员射击训练成绩统计图部分被污染）： 平均成绩/环 中位数/环 众数/环 方差/环2 甲 7 7 12 乙 7 8 根据以上信息，解决下列问题： （1）求出的值； （2）直接写出乙队员第7次的射击环数及的值，并求出的值； （3）若要选派其中一名参赛，你认为应选哪名队员？请说明你的理由. 1 学科网（北京）股份有限公司 $