专题02 复数、不等式与平面向量（3大考点）（四川专用）2026年高考数学一模分类汇编

专题02 复数、不等式与平面向量 3大考点概览 考点01复数的运算 考点02不等式的性质；解常见的不等式；基本不等式； 考点03平面向量 复数的运算 考点1 1．（2026·四川巴中·一模）已知（其中i为虚数单位），则（    ）． A．5 B．7 C．9 D．25 2．（2025·四川泸州·一模）若复数满足，则（    ） A．1 B． C．2 D．4 3．（2025·四川自贡·一模）已知复数z满足，则（   ） A．4 B． C．2 D． 4．（2025·四川资阳·一模）复数（   ） A． B． C． D． 5．（2025·四川成都·一模）在复平面内，复数对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 6．（2026·四川雅安·一模）若复数满足，则（    ） A． B． C． D． 7．（2026·四川巴中·一模）已知复数 满足 ，则 （ ） A． B． C． D． 8．（2026·四川遂宁·一模）已知复数满足，则（    ） A． B． C． D． 9．（2026·四川广安·一模）已知复数在复平面内对应的点为，则（    ） A． B． C． D． 10．（2026·四川宜宾·一模）已知为虚数单位，则（    ） A． B． C． D． 11．（2025·四川德阳·一模）复数的虚部为（   ） A．-3 B． C． D． 12．（2025·四川成都·一模）已知复数为虚数单位，若为纯虚数，则（    ） A．10 B．20 C．9 D．18 13．（2025·四川凉山·一模）已知复数z满足，则（    ） A． B． C． D． 14．（2026·四川攀枝花·一模）（多选）设复数z满足（i为虚数单位），记为z的共轭复数，则（   ） A． B．复数z的虚部为 C． D．复数z在复平面内对应的点在第一象限 15．（2025·四川成都·一模）欧拉是18世纪最伟大的数学家之一，在很多领域中都有杰出的贡献，人们把欧拉恒等式“”与麦克斯韦方程组并称为“史上最伟大的公式”，其中，欧拉恒等式是欧拉公式：的一种特殊情况.若复数，则= ． 不等式的性质；解常见的不等式；基本不等式 考点2 1．（2025·四川绵阳·一模）若，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（2026·四川遂宁·一模）（多选）下列命题正确的是（    ） A．若，，则 B．若，则 C．若，则 D．若，，则 3．（2025·四川德阳·一模）（多选）下列选项正确的是（   ） A．； B．若，则； C．若，则； D．若，则. 4．（2026·四川巴中·一模）已知集合 ，则 （ ） A． B． C． D． 5．（2025·四川德阳·一模）已知集合，集合，则（   ） A． B． C． D． 6．（2025·四川自贡·一模）已知随机变量，且，则当时，的最小值为（   ） A． B．3 C． D． 7．（2025·四川泸州·一模）若，则的最小值为（    ） A． B．4 C．8 D．3 8．（2026·四川攀枝花·一模）（多选）已知，，且，则（   ） A．有最大值 B．有最小值8 C．有最大值1 D．有最小值 9．（2025·四川成都·一模）（多选）已知，为正数，且则（    ） A．的最大值为4 B．的最大值为4 C．的最小值为 D．的最小值为 10．（2026·四川雅安·一模）（多选）已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，点为上异于长轴的顶点的一点，则下列说法正确的是（    ） A．当 时，椭圆的离心率为； B．当的面积的最大值为时，椭圆的长轴长的最小值为4； C．已知 ，当点位于第一象限时，四边形的面积的最大值为； D．已知 ，则直线与直线的斜率之积为. 11．（2025·四川达州·一模）正实数满足，则的最小值是 ． 12．（2026·四川巴中·一模）若直线是圆的一条对称轴，则的最小值是 . 13．（2025·四川眉山·一模）卡西尼卵形线是由到两个定点（叫做焦点）距离之积为常数的所有点连接形成的图形，设一条卡西尼卵形线方程为，其两焦点直角坐标系坐标为和，动点是上一点，则最小值为 . 14．（2025·四川成都·一模）在三棱锥中，底面，侧面侧面，且，的面积为4.若三棱锥的各个顶点都在球的球面上，则球表面积的最小值为 . 15．（2025·四川成都·一模）在锐角中，若，则的最小值是 . 平面向量 考点3 1．（2026·四川遂宁·一模）已知平面向量与平行，则的值为（    ） A．1 B． C．4 D． 2．（2026·四川雅安·一模）已知平面向量与的夹角为，，则（    ） A．2 B． C． D． 3．（2026·四川巴中·一模）若 是夹角 的单位向量， ，则 （ ） A． B．2 C． D． 4．（2026·四川巴中·一模）已知平面向量满足，与的夹角为，则（    ）． A．7 B．1 C． D． 5．（2026·四川宜宾·一模）已知向量，若，则（    ） A． B． C．1 D． 6．（2025·四川达州·一模）向量满足，则（ ） A． B．1 C． D． 7．（2025·四川成都·一模）已知，为非零向量，则“存在实数，使”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 8．（2025·四川资阳·一模）如图，D是的边AC的中点，点E在BD上，且，则（   ）    A． B． C． D． 9．（2025·四川成都·一模）在平行四边形中，，是线段DE的中点，连接交于O，若，则（    ） A．1 B． C． D． 10．（2025·四川凉山·一模）已知向量，满足，，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 11．（2026·四川广安·一模）冰球运动是一种以冰刀和冰球杆为工具，在冰上进行的相互对抗的集体性竞技运动．运动员小华以球杆击球，使冰球从点出发，沿运动至点，已知，，且，则冰球位移的大小是（    ）      A． B． C． D． 12．（2025·四川达州·一模）（多选）在中，三个内角对边分别为，，则（ ） A． B． C． D．的范围为 13．（2025·四川凉山·一模）（多选）在空间四边形ABCD中，，，则（    ） A．若M为CD的中点，则 B．直线AD与BC所成角的余弦值为 C． D．空间四边形ABCD外接球的表面积为 14．（2026·四川攀枝花·一模）若平面向量，，均为单位向量，且，则与的夹角为 ． 15．（2025·四川泸州·一模）已知平面向量与均为单位向量，，则与的夹角为 . 16．（2025·四川自贡·一模）若非零向量、的夹角为，且，则 ． 17．（2025·四川资阳·一模）已知向量，，满足，，，向量与的夹角为，则的最小值是 . 18．（2025·四川德阳·一模）点是函数的图象上在轴右侧任意一点，过作直线的垂线，垂足为，过作轴的垂线与的图象交于另一点，则 . 19．（2025·四川成都·一模）已知椭圆的离心率为，左、右顶点分别为，，且. (1)求椭圆的方程； (2)若直线与相交于，两点，求的值. 20．（2026·四川宜宾·一模）记的内角的对边分别为，已知. (1)求角A； (2)已知边上的两条中线相交于点，且，求的余弦值. 21．（2025·四川眉山·一模）在中，，上存在一点，使得，为的中点. (1)若，求的面积； (2)若在上的投影向量为，求的大小. 22．（2025·四川成都·一模）已知椭圆：（）的右顶点为，离心率为，左、右焦点分别为、，为椭圆上不同于左、右顶点的任意一点. (1)求椭圆的方程； (2)求的取值范围. 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $可学科网 www.zxxk.com 专题02 复数、不等式与平面向量 考点1 复数的运算 2 3 4 5 6 7 8 A E D D D D C 11 12 13 14 B C AC 15. 考点2 不等式的性质；解常见的不等式；基本不等式 2 3 4 5 6 7 8 D ABD AC B B D C ABD 11.22 12.9 13.2 14.20m 15.8 考点3 平面向量 1 2 3 4 5 6 7 8 A C C B D B 0 11 12 13 D AC ACD 14.号 15.2 3 16.0 17.1 18.4 19.【详解】(1)由A1A2=2a=4,得a=2, 又腐心率e==9,则c5,b2=a2-c2=1, 所以椭圆E的方程为妥+y2=1. (2)设P,Q的坐标分别为(x1y1),（82y2), 【2y=x-1, 由〔x2+4y2-4=0消去y,得2x2-2x-3=0, △=4+24=28>0，所以81+x2=1,8182=-月， 1/4 让教与学更高效 9 10 C D 9 10 ABC ABC 9 10 B A 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 所以AA=(x+2)(x+2)+yy=(x+2)(x+2)+号号 =xx+子(x+x2)+4+-, 所以APA1d的值为号 20.【详解】(1)因为V3c=5 acosB+asinB,由正弦定理可得 3 sinC-V3 sinAcosB+-sinAsinB, 又因为sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB, 3 sinAcosB+3 cosAsinB-3 sinAcosB+sinAsinB,3 cosAsinB-sinAsinB, 且BE(0,元)，则sinB≠0，可得5cosA=sinA,即tanA=V5, 且AE(0,m),所以A=号. (2)因为A=2,Ad=4,A·AC=A|ACCOsA-=2×4×=4, 由题意可知：∠MPN=(A立M,B), 又因为A成-A店+AC,BN=A-A=-A+AC 则A2=(A+A)2=A2+AC+AAC=1+4+2=7,即|A=万： iN2=(-A+号AC)2=A2+片AC2-AAC=4+44=4,即BN=2: 且AMBN=(A+AC)·(-A+A)=-AB2+片Ac2-AAC=-2+4-1=1: 可oMPN-c-o(成利需-应-装. 所以∠NPN的余速值为语 21.【详解】(1)解：在△ABC中，AC=1AB=2,∠ABC=30°， 2/4 面学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 由余弦定理得cos2ABC-超会c-号，解得：BC-F, 2AB?AC 又因为BE=1且E为BC的一点，则BE+CE=BC,可得CE=BC-BE=V3-1, 所以a以eE=是x8e=气号×对x2xW5xgin80”-5号 (2)解：因为G为CA的中点，且A在AC上的投影向量为AG, 过E作EGLAC,垂足为G,则△AEC为等腰三角形，所以AE=CE, 设AE=CE=x,可得cosC=去，① 在△ABE中，由正弦定理得： mE=m2品E,即倍-20-2X,② AE 联立①②，可得sin(晋-2C)=cosC, 因为Ce(0,),可得（晋-2C)+C=号或(-2C)-C=号， 解得C-胃或C=号， B E a=5 /a=5 景-青 C=4 22.【详解】(1)设椭圆焦距为FF2=2c,由题意可得 a2=b2+c2 (b=3, 所以椭圆C:器+号=1： (2)由题可设P(xy)(-5x<5),则由(1)器+号=1， PF1=(-4-x-y),PF2=(4-8-y), 所以PF1PF2=(-4-xy)(4-x-y)=x2-16+y2=x2-16+9-号x2=x2-7e[-7,9) 3/4 学科网 以 F 0 外 www zxxk.com 让 4/4 教与学更高效 专题02 复数、不等式与平面向量 3大考点概览 考点01复数的运算 考点02不等式的性质；解常见的不等式；基本不等式； 考点03平面向量 复数的运算 考点1 1．（2026·四川巴中·一模）已知（其中i为虚数单位），则（    ）． A．5 B．7 C．9 D．25 【答案】A 【分析】根据共轭复数的概念和复数的模的公式求解即可. 【详解】因为，所以， 则. 故选：A 2．（2025·四川泸州·一模）若复数满足，则（    ） A．1 B． C．2 D．4 【答案】B 【分析】根据复数的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解. 【详解】， 所以. 故选：B. 3．（2025·四川自贡·一模）已知复数z满足，则（   ） A．4 B． C．2 D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用复数除法求出，再利用复数模的定义求解. 【详解】由，得，所以. 故选：D 4．（2025·四川资阳·一模）复数（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据复数的除法运算，求出结果即可. 【详解】由题意得， 故选：D. 5．（2025·四川成都·一模）在复平面内，复数对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】应用复数的除法化简，并确定其对应点所在的象限，即可得. 【详解】由，对应点为在第四象限. 故选：D 6．（2026·四川雅安·一模）若复数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据复数的除法法则可得，化简求即可. 【详解】因为， 所以， 故选：A. 7．（2026·四川巴中·一模）已知复数 满足 ，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据复数的除法运算求出，然后根据共轭复数的概念求出结果. 【详解】因为复数 满足 ，所以. 所以. 故选：D. 8．（2026·四川遂宁·一模）已知复数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据复数的运算法则，通过移项计算得出复数. 【详解】由，得. 故选：C. 9．（2026·四川广安·一模）已知复数在复平面内对应的点为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据复数的几何意义得到，进而求出和，代入即可求出答案. 【详解】由题意得，则，， 所以. 故选：C. 10．（2026·四川宜宾·一模）已知为虚数单位，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据复数的四则运算求解即可. 【详解】已知为虚数单位，则, 故选：D 11．（2025·四川德阳·一模）复数的虚部为（   ） A．-3 B． C． D． 【答案】C 【分析】由复数除法运算和复数虚部概念即可求解. 【详解】由题复数， 所以复数的虚部为. 故选：C 12．（2025·四川成都·一模）已知复数为虚数单位，若为纯虚数，则（    ） A．10 B．20 C．9 D．18 【答案】B 【分析】化简得到，根据纯虚数得到方程和不等式，求出，，求出模长. 【详解】由题意得， 且为纯虚数，，， ，. 故选：B. 13．（2025·四川凉山·一模）已知复数z满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据复数的除法运算和复数模的计算公式即可得到答案. 【详解】依题意得， 故. 故选：C. 14．（2026·四川攀枝花·一模）（多选）设复数z满足（i为虚数单位），记为z的共轭复数，则（   ） A． B．复数z的虚部为 C． D．复数z在复平面内对应的点在第一象限 【答案】AC 【分析】由已知计算出，根据复数模的计算公式求解判断A，根据复数的概念判断B，根据复数的加法和乘法计算判断C，根据复数的几何意义判断D. 【详解】因为，所以， 对于A：，A正确； 对于B：因为复数，所以复数的虚部为，B错误； 对于C：因为，所以，所以， 又，所以，C正确； 对于D：因为复数，所以复数在复平面内对应的点坐标为，在 第四象限，D错误； 故选：AC. 15．（2025·四川成都·一模）欧拉是18世纪最伟大的数学家之一，在很多领域中都有杰出的贡献，人们把欧拉恒等式“”与麦克斯韦方程组并称为“史上最伟大的公式”，其中，欧拉恒等式是欧拉公式：的一种特殊情况.若复数，则= ． 【答案】/ 【分析】根据欧拉公式写出对应复数的三角形式并化简，即可求模． 【详解】由欧拉公式得，又， 所以，． 故答案为：． 不等式的性质；解常见的不等式；基本不等式 考点2 1．（2025·四川绵阳·一模）若，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意及不等式的性质依次判断各项的正误. 【详解】当且，则，，A、B错， 由题设，则，且，C错，D对. 故选：D 2．（2026·四川遂宁·一模）（多选）下列命题正确的是（    ） A．若，，则 B．若，则 C．若，则 D．若，，则 【答案】ABD 【分析】对于A，由不等式同向可加性可判断选项正误；对于B，由可判断选项正误；对于C，通过举特例可判断选项正误；对于D，由作差法可判断选项正误. 【详解】对于A，因，由不等式同向可加性可得，故A正确； 对于B，因，则，故B正确； 对于C，当，时，，故C错误； 对于D，， 因，则， 从而，故D正确. 故选：ABD 3．（2025·四川德阳·一模）（多选）下列选项正确的是（   ） A．； B．若，则； C．若，则； D．若，则. 【答案】AC 【分析】由即可分析求解判断A；举反例即可判断BD；由不等式性质即可分析判断C； 【详解】因为，当且仅当时等号成立， 所以，所以，故A正确； 当，满足，但，故B错误； 若，则，则即，故C正确； 当时，，故D错误. 故选：AC 4．（2026·四川巴中·一模）已知集合 ，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】解不等式得集合，并将集合使用列举法表示，再使用交集的运算即可求. 【详解】解，得，则有集合， 易得集合，则. 故选：B. 5．（2025·四川德阳·一模）已知集合，集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先解分式不等式和绝对值不等式求出集合A、B，再由交集定义即可得解. 【详解】解不等式，解得或， 所以集合 或， 解得，即， 所以集合， 所以. 故选：B 6．（2025·四川自贡·一模）已知随机变量，且，则当时，的最小值为（   ） A． B．3 C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用正态分布的对称性求出，再利用基本不等式“1”的妙用求出最小值. 【详解】由随机变量，且，得，解得， 由，得 ，当且仅当，即时取等号， 所以所求最小值为. 故选：D 7．（2025·四川泸州·一模）若，则的最小值为（    ） A． B．4 C．8 D．3 【答案】C 【分析】先根据对数的运算法则求出的值，再利用基本不等式可求的最小值. 【详解】由 ， 因为，， 所以 ， 当且仅当，即时取等号. 故选：C 8．（2026·四川攀枝花·一模）（多选）已知，，且，则（   ） A．有最大值 B．有最小值8 C．有最大值1 D．有最小值 【答案】ABD 【分析】直接使用基本不等式可判断A；利用常数代换法，结合基本不等式可判断B；消元后结合二次函数性质可判断C；配方后使用基本不等式可判断D. 【详解】对A，因为，，且，所以， 整理可得，当且仅当，即时等号成立，正确； 对B，因为，所以， 当且仅当，即时等号成立，正确； 对C，因为，所以，当时等号成立， 又，故取不到等号，即的最大值不是1，错误； 对D，因为，所以， 由上知，，所以，当且仅当时等号成立，正确. 故选：ABD 9．（2025·四川成都·一模）（多选）已知，为正数，且则（    ） A．的最大值为4 B．的最大值为4 C．的最小值为 D．的最小值为 【答案】ABC 【分析】根据题意化简可得,从而得,化简原等式可得,即可求出的范围， 由即可求出的范围. 【详解】由,可得：,, 由，可得：，即，由，所以,即 由，可得：，即，由，所以,即, 则, 所以, 由,,可得:, 所以，即 解得：, 所以时，取最大值为4，故A正确； 所以当,，或,时，取最小值为，故C正确； 由,可得： 由于,则， 所以, 当，取最大值,故B正确； 当,，或,时，取最小值，故D不正确； 故选：ABC 10．（2026·四川雅安·一模）（多选）已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，点为上异于长轴的顶点的一点，则下列说法正确的是（    ） A．当 时，椭圆的离心率为； B．当的面积的最大值为时，椭圆的长轴长的最小值为4； C．已知 ，当点位于第一象限时，四边形的面积的最大值为； D．已知 ，则直线与直线的斜率之积为. 【答案】ABC 【分析】由，根据椭圆的定义，求得，可判定A正确；求得的面积的最大值为，得到，结合，可判定B正确；设，得到，结合三角函数的性质，可判定C正确；设，得到，结合斜率公式，可判定D错误. 【详解】对于A，由椭圆的定义，可得，且， 因为，可得，即，所以，所以A正确； 对于B，因为点是椭圆上异于长轴的顶点的一点， 则的面积为， 即的面积的最大值为，所以， 又由，当且仅当时，等号成立， 所以，即，所以，所以椭圆的长轴长的最小值为，所以B正确； 对于C，由，且点是椭圆位于第一象限的一点， 可设，其中 则四边形的面积为 ， 因为，可得， 当时，即，取得最大值，所以， 所以四边形的面积的最大值为，所以C正确； 对于D，设，可得，所以， 又由点，可得， 则，所以D错误. 故选：ABC. 11．（2025·四川达州·一模）正实数满足，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】先根据基本不等式可得，再由，进而得到，注意检验是否能同时成立即可． 【详解】，， （当且仅当，即时取等）， （当且仅当时取等）， 综上（当且仅当时等号同时成立）， 则的最小值是． 故答案为：． 12．（2026·四川巴中·一模）若直线是圆的一条对称轴，则的最小值是 . 【答案】9 【分析】由题意得直线过圆心，可得，再使用1的代换，即可求得的最小值. 【详解】易得圆心，半径， 由题意得直线 过圆心，则有， 故，当且仅当即时取等号， 故 的最小值是9， 故答案为：9. 13．（2025·四川眉山·一模）卡西尼卵形线是由到两个定点（叫做焦点）距离之积为常数的所有点连接形成的图形，设一条卡西尼卵形线方程为，其两焦点直角坐标系坐标为和，动点是上一点，则最小值为 . 【答案】 【分析】由题中方程得到点在曲线上，根据卡西尼卵形线的定义，得到，结合基本不等式，即可求解. 【详解】由卡西尼卵形线的定义，可得卡西尼卵形线上的点有为定值， 因为西尼卵形线方程为，可得点在卡西尼卵形线上， 则由 所以，当时，等号成立， 所以最小值为. 故答案为：. 14．（2025·四川成都·一模）在三棱锥中，底面，侧面侧面，且，的面积为4.若三棱锥的各个顶点都在球的球面上，则球表面积的最小值为 . 【答案】 【分析】根据题设，结合面面垂直的性质有侧面，进而有，，，将三棱锥补全为长方体且，则球是长方体的外接球，结合基本不等式求外接球表面积的最小值. 【详解】由底面，平面，则平面底面， 又侧面侧面，底面侧面，则侧面， 由底面，则，， 由侧面，则，故，即， 所以两两垂直，则三棱锥可补全为如下长方体， 三棱锥的各个顶点都在球的球面上，则球为三棱锥的外接球， 所以球为上述长方体的外接球，则其表面积， 当且仅当时取等号，故球表面积的最小值为. 故答案为： 15．（2025·四川成都·一模）在锐角中，若，则的最小值是 【答案】8 【分析】由可得，在中，利用和角的正切公式化简推出，于是得到，再利用基本不等式即可推得，从而得到的最小值. 【详解】由，得， 因为为锐角三角形，所以均大于0， 所以， 又 ， 所以， 解得，当且仅当，即，即时取等号，解得或， 所以的最小值是8. 故答案为：8. 平面向量 考点3 1．（2026·四川遂宁·一模）已知平面向量与平行，则的值为（    ） A．1 B． C．4 D． 【答案】A 【分析】利用向量平行的坐标表示可求答案. 【详解】因为与平行，所以，解得. 故选：A 2．（2026·四川雅安·一模）已知平面向量与的夹角为，，则（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】先由条件求出，再利用向量数量积的运算律计算即得. 【详解】由题意，，，与的夹角为， 故， 则. 故选：C. 3．（2026·四川巴中·一模）若 是夹角 的单位向量， ，则 （ ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】结合向量的模及数量积的公式即可求解. 【详解】因为 是夹角 的单位向量， 所以， . 故答案为：C 4．（2026·四川巴中·一模）已知平面向量满足，与的夹角为，则（    ）． A．7 B．1 C． D． 【答案】B 【分析】由向量的线性运算及数量积的定义求解即可. 【详解】因为. 故选：B. 5．（2026·四川宜宾·一模）已知向量，若，则（    ） A． B． C．1 D． 【答案】C 【分析】由向量的模长的坐标运算求解即可． 【详解】根据题意，， ，，即， ， ． 故选：C． 6．（2025·四川达州·一模）向量满足，则（ ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【分析】先求出，代入即可得出答案. 【详解】因为所以 所以，所以. 故选：D. 7．（2025·四川成都·一模）已知，为非零向量，则“存在实数，使”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】由向量共线用表示出，应用向量数量积的运算律得，结合充分、必要性的定义判断推出关系，即可得. 【详解】由存在实数，使， 则，， 当时，，故充分性不成立， 由，则， 故， 所以， 即，故， 所以同向共线，即存在实数，使，必要性成立， 所以“存在实数，使”是“”的必要不充分条件. 故选：B 8．（2025·四川资阳·一模）如图，D是的边AC的中点，点E在BD上，且，则（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平面向量的线性运算求解即可. 【详解】由题意， . 故选：D 9．（2025·四川成都·一模）在平行四边形中，，是线段DE的中点，连接交于O，若，则（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】设，以为基底，分别用表示，建立方程组求解. 【详解】 ， 又因为，所以， 设，则， 所以，解得， 故选：B. 10．（2025·四川凉山·一模）已知向量，满足，，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由投影向量的公式计算可得. 【详解】因，， 则在上的投影向量为. 故选：A. 11．（2026·四川广安·一模）冰球运动是一种以冰刀和冰球杆为工具，在冰上进行的相互对抗的集体性竞技运动．运动员小华以球杆击球，使冰球从点出发，沿运动至点，已知，，且，则冰球位移的大小是（    ）      A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据条件代入数量积公式，计算，即可求解. 【详解】，即， 则，即，因为，所以， . 故选：D 12．（2025·四川达州·一模）（多选）在中，三个内角对边分别为，，则（ ） A． B． C． D．的范围为 【答案】AC 【分析】A：利用正弦定理结合两角和的正弦公式，化简可得结果；B：假设成立后推出矛盾；C：根据向量的线性运算求出结果；D：将C的结果平方结合余弦定理可求解出关于的表示，根据的取值范围可求解出结果. 【详解】和正弦定理，可得， 即， 则， 所以， 则，即， 所以，由正弦定理，得，故A正确； 假设成立，因为，所以， 所以，且，所以， 所以，且，此时无解，假设错误，故B错误； 因为，故C正确； 因为， 所以，由余弦定理，， 所以， 又因为，所以， 由三角形性质可知，即，解得， 所以，即的范围为，故的范围为，故D错误. 故选：AC. 13．（2025·四川凉山·一模）（多选）在空间四边形ABCD中，，，则（    ） A．若M为CD的中点，则 B．直线AD与BC所成角的余弦值为 C． D．空间四边形ABCD外接球的表面积为 【答案】ACD 【分析】根据空间向量的线性运算以为基底计算即可判断A；根据空间四边形的棱长结合余弦定理计算的值，从而利用空间向量的线性运算与数量积计算，即可判断B；计算，从而得数量积即可判断C；根据空间四边形的对棱长度相等，将几何体补成长方体，按照长方体计算外接球的表面积即可判断D. 【详解】 对于A，若M为CD的中点，则，故A正确； 对于B，因为，，所以由余弦定理得： ， 又，所以， 故直线AD与BC所成角的余弦值为，故B不正确； 对于C，因为，又， 所以，则，故C正确 ； 对于D，由于空间四边形ABCD中，，， 所以如下图将空间四边形ABCD补成长方体， 则空间四边形ABCD外接球即长方体的外接球， 所以外接球半径 所以外接球的表面积为，故D正确. 故选：ACD. 14．（2026·四川攀枝花·一模）若平面向量，，均为单位向量，且，则与的夹角为 ． 【答案】 【分析】对进行平方求出的值，再利用向量的数量积公式求解即可. 【详解】由可得，，即， 因为，，均为单位向量，所以， 所以，即. 设与的夹角为 ， 则，所以. 故答案为： 15．（2025·四川泸州·一模）已知平面向量与均为单位向量，，则与的夹角为 . 【答案】/ 【分析】根据题设，结合平面向量数量积的定义及运算律求解即可. 【详解】由题意，，， 则，即， 则，所以， 又，则. 故答案为：. 16．（2025·四川自贡·一模）若非零向量、的夹角为，且，则 ． 【答案】 【分析】利用平面向量数量积的定义和运算性质化简即可得解. 【详解】因为非零向量、的夹角为，且， 则. 故答案为：. 17．（2025·四川资阳·一模）已知向量，，满足，，，向量与的夹角为，则的最小值是 . 【答案】1 【分析】先求出夹角为，设起点为，终点为，画出示意图，由向量与的夹角为可得，则点C在所对圆周角为的圆弧上，求出圆心半径，利用定点到圆上点的最值即可求解. 【详解】由题意， 代入，得，则夹角为， 如图所示在直角三角形中，， ， 令，则， 即为向量与的夹角为， 则点C在所对圆周角为的圆弧上，其圆心角为， 如图所示，要使得最小，显然在下方的圆弧上， 由于，则在上取，由于，由余弦定理可得，同理可求， 所以点即为圆心，半径， 则，此时共线且点C在之间， 故的最小值是1. 故答案为：1. 18．（2025·四川德阳·一模）点是函数的图象上在轴右侧任意一点，过作直线的垂线，垂足为，过作轴的垂线与的图象交于另一点，则 . 【答案】4 【分析】先求出函数的解析式，判断函数奇偶性，根据题意设，利用已知条件求出的坐标，写出向量的坐标，利用向量数量积运算即可. 【详解】由， 当时，， 则时，， 所以， 所以， 由函数定义域为关于原点对称， 且当时，， 当时，， 所以函数为偶函数，图象关于对称， 因为点是函数的图象上在轴右侧任意一点， 所以设， 又过作直线的垂线，则垂线的斜率为1， 所以垂线方程为：， 即， 联立，解得：， 即， 又过作轴的垂线与的图象交于另一点， 且函数为偶函数， 所以， 即， 又， ， 所以， 故答案为：4. 19．（2025·四川成都·一模）已知椭圆的离心率为，左、右顶点分别为，，且. (1)求椭圆的方程； (2)若直线与相交于，两点，求的值. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）由得到，由离心率得到，由得到，从而得到椭圆的方程. （2）设，的坐标分别为，，直线与联立方程组，消去，得到关于的一元二次方程，利用韦达定理得到和的值，计算即可得解. 【详解】（1）由，得， 又离心率，则， 所以椭圆的方程为. （2）设，的坐标分别为，， 由消去，得， ，所以，， 所以 ， 所以的值为. 20．（2026·四川宜宾·一模）记的内角的对边分别为，已知. (1)求角A； (2)已知边上的两条中线相交于点，且，求的余弦值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据正弦定理结合三角恒等变换可得，即可得角A的大小； （2）以为基底向量，求，，利用向量的夹角公式求的余弦值. 【详解】（1）因为，由正弦定理可得， 又因为， 即，即， 且，则，可得，即， 且，所以. （2）因为，， 由题意可知：， 又因为，， 则，即； ，即； 且； 可得， 所以的余弦值为. 21．（2025·四川眉山·一模）在中，，上存在一点，使得，为的中点. (1)若，求的面积； (2)若在上的投影向量为，求的大小. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据余弦定理，求得，得到，结合，即可求解； （2）过作，得到，设，得到，再在中，由正弦定理求得，联立方程组，得到，即可求解. 【详解】（1）解：在中，， 由余弦定理得，解得：， 又因为且为上的一点，则，可得， 所以. （2）解：因为为的中点，且在上的投影向量为， 过作，垂足为， 则为等腰三角形，所以， 设，可得，① 在中，由正弦定理得：，即，② 联立①②，可得， 因为，可得或， 解得或.    22．（2025·四川成都·一模）已知椭圆：（）的右顶点为，离心率为，左、右焦点分别为、，为椭圆上不同于左、右顶点的任意一点. (1)求椭圆的方程； (2)求的取值范围. 【答案】(1)椭圆：； (2). 【分析】（1）由题设列出关于的方程组即可求解； （2）由题设设，再由数量积的坐标运算计算即可. 【详解】（1）设椭圆焦距为，由题意可得， 所以椭圆：； （2）由题可设，则由（1），， 所以.    2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $