精品解析：湖南省长沙市华益中学2025-2026学年九年级上学期期末考试卷 数学

长沙市华益中学2025—2026学年度第一学期期末检测试卷 九年级数学 分值：120分 时量：120min 一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的．本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1. 花钿是古时汉族妇女脸上的一种花饰，是用黄金、翡翠等珠宝制成的花形首饰，在唐代达到鼎盛．下列四种眉心花钿图案是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的定义，在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．据此进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、不是中心对称图形，不符合题意； B、是中心对称图形，符合题意； C、不是中心对称图形，不符合题意； D、不是中心对称图形，不符合题意； 故选：B． 2. 2025年9月3日，纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利周年大会在北京天安门广场隆重举行．据统计，网络视听平台直播收视逾亿人次．将用科学记数法表示应为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查用科学记数法表示较大的数，熟练掌握其定义是解题的关键．用科学记数法表示较大的数时，表现形式为的形式，其中，为正整数，小数点向左移动位数即为n的值，据此即可解答． 【详解】解：用科学记数法表示为， 故选：B． 3. 在平面直角坐标系中，点与点关于原点对称，则（ ） A. B. C. 1 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查平面直角坐标系中关于原点对称的点的坐标特征，正确掌握关于原点对称的点的坐标特征是解题的关键． 根据平面直角坐标系中关于原点对称的点的坐标特征，即横、纵坐标均互为相反数，求出m、n的值，再代入计算即可． 【详解】解：点与点关于原点对称， ，， ． 故选：A． 4. 如图是由5个完全相同的小正方体搭成的几何体，该几何体的左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查三视图，根据左视图是从左往右看到的图形，进行判断即可． 【详解】解：该几何体的左视图是 故选D． 5. 如图，直线，的顶点C在直线b上，若，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形外角的性质，根据平行线的性质求出，根据对顶角的性质得出，然后根据三角形外角的性质求解即可． 【详解】解：如图， ∵，， ∴， 又， ∴， 故选：D． 6. 下列说法中，正确的是（ ） A. 为了解长沙市中学生的睡眠情况实行全面调查 B. 一组数据，2，5，5，7，7，4的众数是7 C. 明天的降水概率为，则明天下雨是必然事件 D. 若平均数相同的甲、乙两组数据，，，则乙组数据更稳定 【答案】D 【解析】 【分析】利用概率的意义，全面调查与抽样调查，中位数，众数，以及方差的定义判断即可． 【详解】解：A、为了解长沙市中学生的睡眠情况，应该采用抽样调查的方式，不符合题意； B、一组数据，2，5，5，7，7，4中，5和7出现的次数最多，都是2次，故这组数据的众数是5和7，故原说法错误，不符合题意； C、明天的降水概率为，则明天下雨的概率更大些，是随机事件，不符合题意； D、若甲组数据的方差，乙组数据的方差，则乙组数据比甲组数据稳定，符合题意； 故选：D． 【点睛】此题考查了概率的意义，全面调查与抽样调查，众数以及方差，熟练掌握各自的定义是解本题的关键． 7. 1995年，希腊为纪念毕达哥拉斯学派发行了如图1所示的邮票，图案中间的直角三角形由三个正方形顶点相连构成．图2是小华模仿这个图形结构所画的图，则图2中三个正方形的面积可能取值为（ ） A. 2，3，4 B. 5，6，11 C. 6，8，15 D. 7，12，14 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，由正方形的面积结合勾股定理可知，图2中两个较小正方形的面积等于最大正方形的面积，即可得出正确选项． 【详解】解：由正方形的面积结合勾股定理可知，图2中两个较小正方形的面积等于最大正方形的面积， ∴A项：，不满足要求，不符合题意； B项：，满足要求，符合题意； C项：，不满足要求，不符合题意； D项：，不满足要求，不符合题意， 故选：B． 8. 如图所示，某校数学兴趣小组利用标杆测量建筑物的高度，已知标杆高，测得，，则建筑物的高是(　　　) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求得AC，再说明△ABE∽△ACD，最后根据相似三角形的性质列方程解答即可． 【详解】解：∵， ∴AC=1.2m+12.8m=14m ∵标杆和建筑物CD均垂直于地面 ∴BE//CD ∴△ABE∽△ACD ∴,即,解得CD=17.5m． 故答案为A． 【点睛】本题考查了相似三角形的应用，正确判定相似三角形并利用相似三角形的性质列方程计算是解答本题的关键． 9. 如图，A是反比例函数的图象上一点，轴于B，点C在x轴上，若面积为2，则k的值为（ ） A. B. 1 C. 2 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】连接，可得，根据反比例函数的几何意义，可求出的值． 【详解】解：连接， 轴， 轴， ，即：， ，或（舍去）， 故选：D． 【点睛】本题考查反比例函数的图象和性质，理解反比例函数的几何意义以及同底等高的三角形的面积相等，是解决问题的前提． 10. 小华和小益进行了十次剪刀石头布的对决，已知：①小华出了6次石头，1次剪刀，3次布；②小益出了4次石头，3次剪刀，3次布；③10次对决中没有平局；④你不知道他们的出拳顺序，则这十次对决中小华赢了（ ）次． A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查推理论证，需根据无平局的规则，结合双方出拳次数对应分析赢的情况． 【详解】解：∵10次对决无平局， ∴小华出石头（6次）时，小益只能出剪刀或布（小益共3次剪刀、3次布，总数6次，刚好对应）， ∵石头赢剪刀， ∴这6局中小华赢了3次， 又∵小华剩余1次剪刀、3次布，对应小益的4次石头（）， ∵布赢石头， ∴这4局中小华赢了3次， ∴小华共赢了次， 故选：C． 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11. 若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式与二次根式有意义的条件，根据同时满足二次根式的被开方数为非负数、分式的分母不为，列出不等式求解即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：根据二次根式有意义的条件：被开方数为非负数，且分式有意义的条件：分母不为，可得， 解得：， 故答案为：． 12. 圆心角是的扇形的半径为4，则这个扇形的面积为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了扇形面积公式，根据扇形的面积公式计算即可，熟练掌握扇形面积公式是解此题的关键． 【详解】解：该扇形的面积为， 故答案为：． 13. 足球是一项非常古老的运动，最早起源于中国，是全球体育界极具影响力的单项体育运动之一，现从一批足球中随机抽检部分足球的质量，统计结果如下表： 抽取的足球数n/个 100 200 400 600 1000 1500 2000 优等品的频数m/个 93 192 380 561 938 1413 1878 优等品的频率 0.93 0.96 0.95 0.935 0.938 0.942 0.939 据此推测，从这批足球中随机抽取一个足球是优等品的概率约是_________（结果精确到0.01） 【答案】0.94 【解析】 【分析】由表中数据可判断频率在0.94左右摆动，于是利用频率估计概率可判断任意抽取一只足球是优等品的概率为0.94． 【详解】解：从这批足球中，任意抽取一只足球是优等品的概率的估计值是0.94． 故答案为：0.94 【点睛】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确． 14. 如图，是的直径，点B、D在上，，，则的度数是________． 【答案】##35度 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，熟练掌握相关判定与性质是解题的关键，先证明得出，再利用圆的半径相等和三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：在和中， ， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 15. 已知关于x的一元二次方程的两根分别为、，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了一元二次方程根与系数的关系．根据一元二次方程根与系数的关系可得，，将变形后代入数值计算即可． 【详解】解：关于的一元二次方程的两实数根分别为，， ，， ， 故答案为：． 16. 如图，在正方形中，对角线与相交于点O，E为上一点，，F为的中点，若的周长为32，则的长为___________． 【答案】 【解析】 【分析】利用斜边上的中线等于斜边的一半和的周长，求出的长，进而求出的长，勾股定理求出的长，进而求出的长，利用三角形的中位线定理，即可得解． 【详解】解：的周长为32， ． 为DE的中点， ． ， ， ， ， ． 四边形是正方形， ，O为BD的中点， 是的中位线， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查正方形的性质，斜边上的中线，三角形的中位线定理．熟练掌握斜边上的中线等于斜边的一半，是解题的关键． 三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题8分，第22、23题每小题9分，第24、25题每小题10分，共72分） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查0指数幂，负整数指数幂及特殊角的三角函数值．根据0指数幂，二次根式的性质，负整数指数幂及特殊角的三角函数值直接求解即可得到答案． 【详解】解： ． 18. 先化简，再求值，其中． 【答案】 【解析】 【分析】首先对括号内的式子进行通分相加，把除法转化为乘法，进行约分，最后代入数值计算即可． 【详解】原式， 当 时，原式 【点睛】本题考查了分式的混合运算以及化简求值，熟练掌握因式分解，通分约分是解题的关键． 19. 如图，已知平行四边形中，平分且交于点，且交于点． （1）求证：； （2）若，求的大小． 【答案】（1）证明见解析； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定，平行四边形的性质，角平分线定义，三角形内角和定理等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． （）由平行四边形性质可得，，，通过平行线性质可得，，则有，然后通过“”证明全等即可； （）由（）得，，根据角平分线定义可得，最后三角形内角和定理即可求解． 【小问1详解】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； 【小问2详解】 解：由（）得：，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴． 20. 某数学兴趣小组到一单位对工作人员使用办公的喜爱程度开展了一次随机调查活动，形成了如下调查报告： 调查主题 工作人员使用办公的喜爱程度调查 调查方式 抽样调查 调查对象 ××单位工作人员 数据的收集、整理与描述 使用办公的喜爱程度______． A．很喜欢　B．喜欢　C．一般　D．不喜欢 调查结论 …… 请根据以上调查报告，解答下列问题： （1）本次调查的样本容量为________； （2）请补全条形统计图； （3）扇形统计图中B所对应的扇形圆心角的度数为________； （4）估计该单位300名工作人员“很喜欢”使用办公的人数． 【答案】（1）50 （2） 补全统计图如下： （3）108 （4）120人 【解析】 【分析】本题主要考查了扇形统计图与条形统计图信息相关联，用样本估计总体，样本容量，正确读懂统计图是解题的关键． （1）用D的人数除以其人数占比求出参与调查的人数即可得到答案； （2）求出A的人数，再补全统计图即可； （3）用360度乘以样本中B的人数占比即可得到答案； （4）用300乘以样本中A的人数占比即可得到答案． 【小问1详解】 解：（人）， ∴本次一共调查了50人，即样本容量为50； 故答案为：50； 【小问2详解】 解：A的人数为（人）， 【小问3详解】 解：， ∴扇形统计图中B所对应的扇形圆心角的度数为； 故答案为：108； 【小问4详解】 解：（人）， ∴估计该单位300名工作人员“很喜欢”使用办公的人数为120人． 21. 如图，是一座南北走向的大桥，一辆汽车在笔直的公路上由北向南行驶，在处测得桥头在南偏东方向上，继续行驶米后到达处，测得桥头在南偏东方向上，桥头在南偏东方向上，求大桥的长度．（结果精确到米，参考数据：） 【答案】米 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，分别过点作的垂线，垂足分别为，根据题意得出，解求得，，进而求得，根据，即可求解． 【详解】解：如图所示，分别过点作的垂线，垂足分别为， ∴四边形是矩形， ∴，， 依题意，， ∴， ∴， ∴； 在中，， ； 在中，， ∴． 答：大桥的长度约为米． 22. 2025年春晚舞台上，宇树科技的人形机器人以一身喜庆的大红棉袄亮相，随着秧歌舞步灵活扭动，手中的红手绢在空中划出流畅弧线．这场表演不仅让观众惊叹于机器人动作的精准协调，更因机器人舞团在舞蹈时队形变化整齐无误，成为社交媒体热议的焦点．某公司计划购买甲、乙两种机器人进行销售．已知甲种机器人的单价比乙种机器人的单价少万元，花万元购进甲种机器人的数量是花万元购进乙种机器人数量的倍． （1）求购买一个甲种机器人、一个乙种机器人各需多少万元？ （2）某公司开展科技学习活动，打算从购进甲、乙两种机器人共个，且经费预算不超过万元，则该公司最少可以购进甲种机器人多少个？ 【答案】（1）购买一个甲种机器人需万元，购买一个乙种机器人需万元； （2）该公司最少可以购进甲种机器人个． 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的应用和一元一次不等式的应用，熟练掌握根据实际问题中的数量关系列方程（组）或不等式（组）求解是解题的关键． （1）设乙种机器人单价为万元，则甲种机器人单价为万元．根据1200万元购进甲种机器人的数量=2×（650万元购进乙种机器人的数量）这一等量关系，列分式方程求解． （2）设购进甲种机器人个，则购进乙种机器人个．根据甲种机器人总费用+乙种机器人总费用≤1900万元这一不等关系，列一元一次不等式求解的最小整数值． 【小问1详解】 解：设购买一个乙种机器人需要万元，则购买一个甲种机器人需要万元． ， ， ， ， ， 经检验，是原方程的解，且符合题意． ， 答：购买一个甲种机器人需60万元，购买一个乙种机器人需65万元． 【小问2详解】 解：设该公司购进甲种机器人个，则购进乙种机器人个． ， ， ， ， 为整数， 的最小值为10． 答：该公司最少可以购进甲种机器人10个． 23. 如图，内接于，，是的直径，是延长线上一点，且． （1）求证：是的切线； （2）若，，求线段的长． 【答案】（1）见解析 （2）4 【解析】 【分析】（1）根据直径所对的圆周角是90°，得出，根据圆周角定理得到，推出，即可得出结论； （2）根据得出，再根据勾股定理得出CE即可． 【小问1详解】 证明：∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵为的半径， ∴是的切线； 【小问2详解】 由（1）知， 在和中， ∵，， ∴， 即， ∴， 在中， ，， ∴， 解得． 【点睛】本题主要考查圆的综合题，熟练掌握圆周角定理，切线的判定，勾股定理等知识是解题的关键． 24. 在平面直角坐标系中，如果抛物线的顶点满足，我们就称这样的抛物线为“定斜抛物线”； （1）下列抛物线是“定斜抛物线”的有________（填序号）； ；；；． （2）若抛物线是“定斜抛物线”，求的取值范围； （3）已知顶点为的抛物线和顶点为的抛物线都是“定斜抛物线”（点在点左侧），且抛物线经过点，如图，两条抛物线相交于点，若，试判断点、点的横坐标的和是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 【答案】（1）； （2）且； （3）是定值，该定值为． 【解析】 【分析】（1）根据“定斜抛物线”的定义，依次求出每个抛物线的顶点坐标，将顶点坐标代入进行验证，满足该等式的抛物线即为所求，据此判断对应序号即可； （2）先利用二次函数的顶点公式求出抛物线的顶点横、纵坐标，结合“定斜抛物线”的定义列出等式并整理为关于的一元二次方程，根据方程有实数解的条件，利用一元二次方程的根的判别式求出的取值范围，同时结合二次函数的定义注意二次项系数的限制条件； （3）先结合“定斜抛物线”的定义和抛物线经过点的条件，求出的解析式和顶点的坐标，设顶点的横坐标并结合定义表示出其纵坐标，用待定系数法求出直线的解析式，过点作轴交直线于点，利用锐角三角函数的定义得到角相等的关系，结合公共角证明，得出的比例关系，再联立和的解析式，化简后得到与的数量关系，用表示出、和的表达式，代入比例关系列方程，通过因式分解解方程，筛选出符合条件的，进而求出，最终计算出点、点横坐标的和得到定值． 【小问1详解】 解：对于①，顶点坐标为，，满足定义，是“定斜抛物线”； 对于②，顶点横坐标，顶点纵坐标，，不满足定义，不是“定斜抛物线”； 对于③，顶点横坐标，顶点纵坐标，，满足定义，是“定斜抛物线”； 对于④，顶点坐标为，，恒满足定义，是“定斜抛物线”； 综上，是“定斜抛物线”的有①③④； 【小问2详解】 解：抛物线， 顶点横坐标，顶点纵坐标， ∵抛物线是“定斜抛物线”， ∴，即， 整理得， ∵关于的一元二次方程有实数解， ∴判别式， 即，解得， 又∵抛物线中， ∴的取值范围是且； 【小问3详解】 解：抛物线， 顶点横坐标，顶点纵坐标， ∵是“定斜抛物线”， ∴，即， ∵抛物线经过点，代入得， ∴，解得， ∴抛物线的解析式为，顶点的坐标为； 设顶点的横坐标为， ∵是“定斜抛物线”， ∴，即顶点的纵坐标， ∴抛物线. 设直线的解析式为，将、代入得： ，解得， ∴直线的解析式为， ∴点在直线上． 过点作轴，交直线于点，与轴交于点， 设点的横坐标与点的横坐标为， ∴，， 在中，，， ∴， ∵， ∴，即． ∵， ∴， ∴，即； 联立与的解析式：，得， 展开整理得， ∵， ∴，即，变形得， ∴． ； ∵点在上， ∴， ； ∴， 化简得， ，两边同除以，得：， 展开整理得， 因式分解得， 解得或或， 结合，只有符合条件， ∴， ∴， 即点、点的横坐标的和为定值． 25. 如图，在中，，为的直径，连接并延长至点，使得．连接并延长交于点，连接． （1）求证：； （2）如图，连接，交于点． ①记的面积分别为、、，若，求； ②记，，求关于的函数关系式（不需要考虑的取值范围）． 【答案】（1）证明见详解； （2）①，② 【解析】 【分析】（1）利用三角形中位线定理得到平行线，结合圆周角定理推出圆心角相等，从而证明弧相等； （2）①根据直径所对圆周角为直角，结合线段中点得到面积关系，再利用已知面积等式和三角函数定义求解； ②由，得，由，得，即得． 【小问1详解】 证明：，， 是的中位线， ， ， ； 【小问2详解】 解：①为直径， ， ， ， ， ， ，即,即， 令，则， 解得：，（舍去） ， ， ， ，， ， ， 又垂直平分， ， ， ； ②∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 长沙市华益中学2025—2026学年度第一学期期末检测试卷 九年级数学 分值：120分 时量：120min 一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的．本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1. 花钿是古时汉族妇女脸上的一种花饰，是用黄金、翡翠等珠宝制成的花形首饰，在唐代达到鼎盛．下列四种眉心花钿图案是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 2025年9月3日，纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利周年大会在北京天安门广场隆重举行．据统计，网络视听平台直播收视逾亿人次．将用科学记数法表示应为（　　） A. B. C. D. 3. 在平面直角坐标系中，点与点关于原点对称，则（ ） A. B. C. 1 D. 5 4. 如图是由5个完全相同的小正方体搭成的几何体，该几何体的左视图是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，直线，的顶点C在直线b上，若，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 6. 下列说法中，正确的是（ ） A. 为了解长沙市中学生的睡眠情况实行全面调查 B. 一组数据，2，5，5，7，7，4的众数是7 C. 明天的降水概率为，则明天下雨是必然事件 D. 若平均数相同的甲、乙两组数据，，，则乙组数据更稳定 7. 1995年，希腊为纪念毕达哥拉斯学派发行了如图1所示的邮票，图案中间的直角三角形由三个正方形顶点相连构成．图2是小华模仿这个图形结构所画的图，则图2中三个正方形的面积可能取值为（ ） A. 2，3，4 B. 5，6，11 C. 6，8，15 D. 7，12，14 8. 如图所示，某校数学兴趣小组利用标杆测量建筑物的高度，已知标杆高，测得，，则建筑物的高是(　　　) A. B. C. D. 9. 如图，A是反比例函数的图象上一点，轴于B，点C在x轴上，若面积为2，则k的值为（ ） A. B. 1 C. 2 D. 4 10. 小华和小益进行了十次剪刀石头布的对决，已知：①小华出了6次石头，1次剪刀，3次布；②小益出了4次石头，3次剪刀，3次布；③10次对决中没有平局；④你不知道他们的出拳顺序，则这十次对决中小华赢了（ ）次． A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11. 若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是______． 12. 圆心角是的扇形的半径为4，则这个扇形的面积为_________． 13. 足球是一项非常古老的运动，最早起源于中国，是全球体育界极具影响力的单项体育运动之一，现从一批足球中随机抽检部分足球的质量，统计结果如下表： 抽取的足球数n/个 100 200 400 600 1000 1500 2000 优等品的频数m/个 93 192 380 561 938 1413 1878 优等品的频率 0.93 0.96 0.95 0.935 0.938 0.942 0.939 据此推测，从这批足球中随机抽取一个足球是优等品的概率约是_________（结果精确到0.01） 14. 如图，是的直径，点B、D在上，，，则的度数是________． 15. 已知关于x的一元二次方程的两根分别为、，则的值为________． 16. 如图，在正方形中，对角线与相交于点O，E为上一点，，F为的中点，若的周长为32，则的长为___________． 三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题8分，第22、23题每小题9分，第24、25题每小题10分，共72分） 17. 计算：． 18. 先化简，再求值，其中． 19. 如图，已知平行四边形中，平分且交于点，且交于点． （1）求证：； （2）若，求的大小． 20. 某数学兴趣小组到一单位对工作人员使用办公的喜爱程度开展了一次随机调查活动，形成了如下调查报告： 调查主题 工作人员使用办公的喜爱程度调查 调查方式 抽样调查 调查对象 ××单位工作人员 数据的收集、整理与描述 使用办公的喜爱程度______． A．很喜欢　B．喜欢　C．一般　D．不喜欢 调查结论 …… 请根据以上调查报告，解答下列问题： （1）本次调查的样本容量为________； （2）请补全条形统计图； （3）扇形统计图中B所对应的扇形圆心角的度数为________； （4）估计该单位300名工作人员“很喜欢”使用办公的人数． 21. 如图，是一座南北走向的大桥，一辆汽车在笔直的公路上由北向南行驶，在处测得桥头在南偏东方向上，继续行驶米后到达处，测得桥头在南偏东方向上，桥头在南偏东方向上，求大桥的长度．（结果精确到米，参考数据：） 22. 2025年春晚舞台上，宇树科技的人形机器人以一身喜庆的大红棉袄亮相，随着秧歌舞步灵活扭动，手中的红手绢在空中划出流畅弧线．这场表演不仅让观众惊叹于机器人动作的精准协调，更因机器人舞团在舞蹈时队形变化整齐无误，成为社交媒体热议的焦点．某公司计划购买甲、乙两种机器人进行销售．已知甲种机器人的单价比乙种机器人的单价少万元，花万元购进甲种机器人的数量是花万元购进乙种机器人数量的倍． （1）求购买一个甲种机器人、一个乙种机器人各需多少万元？ （2）某公司开展科技学习活动，打算从购进甲、乙两种机器人共个，且经费预算不超过万元，则该公司最少可以购进甲种机器人多少个？ 23. 如图，内接于，，是的直径，是延长线上一点，且． （1）求证：是的切线； （2）若，，求线段的长． 24. 在平面直角坐标系中，如果抛物线的顶点满足，我们就称这样的抛物线为“定斜抛物线”； （1）下列抛物线是“定斜抛物线”的有________（填序号）； ；；；． （2）若抛物线是“定斜抛物线”，求的取值范围； （3）已知顶点为的抛物线和顶点为的抛物线都是“定斜抛物线”（点在点左侧），且抛物线经过点，如图，两条抛物线相交于点，若，试判断点、点的横坐标的和是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 25. 如图，在中，，为的直径，连接并延长至点，使得．连接并延长交于点，连接． （1）求证：； （2）如图，连接，交于点． ①记的面积分别为、、，若，求； ②记，，求关于的函数关系式（不需要考虑的取值范围）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $