精品解析：湖南省长沙市湖南师大附中教育集团联考2024-2025学年九年级上学期期末考试数学试卷

2025届九年级第二次质量调研检测暨期末考试 数学试题 注意事项： 1．答题前，请先将自己的姓名、班级、考场号、座位号填写清楚； 2．必须在答卷上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效； 3．答题时，请考生注意各大题号后面的答题提示； 4．请注意卷面，保持字体工整、笔迹清晰、卷面清洁； 5．答卷上不准使用涂改液、涂改胶和贴纸； 6．本试卷时量120分钟，满分120分． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1. 下列四幅作品分别代表“立春”、“谷雨”、“白露”、“大雪”，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的定义，在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．据此进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、不是中心对称图形，故不符合题意； B、不是中心对称图形，故不符合题意； C、不是中心对称图形，故不符合题意； D、是中心对称图形，故符合题意； 故选：D． 2. 个人养老金制度于年月日起在全国全面实施．目前个人养老金每年的缴存上限是元，可以按月分次或者按年度缴费．将用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查用科学记数法表示绝对值较大的数，熟练掌握科学记数法的表示方法是解题的关键； 根据科学记数法表示即可求解； 【详解】解：； 故选：C 3. 下列运算中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查合并同类项，幂的乘方，二次根式的减法，完全平方公式，根据相关运算法则逐项计算，即可得出答案． 【详解】解：，故A选项运算错误，不合题意； ，故B选项运算错误，不合题意； ，故C选项运算正确，符合题意； ，故D选项运算错误，不合题意； 故选C． 4. 下列说法正确的是（ ） A. 抛掷一枚质地均匀的硬币，“硬币落地时正面朝上”是随机事件 B. 个人分成两组，每组至少人，“一定有个人分在同一组”是不可能事件 C. 任意打开九年级上册数学教科书，“正好是第页”是必然事件 D. 某种彩票的中奖率为，则买张彩票一定有张中奖 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了随机事件，解决本题的关键是需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念； 必然事件指在一定条件下一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件； 【详解】解：A、抛掷一枚质地均匀的硬币，“硬币落地时正面朝上”是随机事件，该选项正确； B.、个人分成两组，每组至少人，“一定有个人分在同一组”是必然事件，故该选项错误； C、任意打开九年级上册数学教科书，“正好是第页”是随机事件，故该选项错误； D、某种彩票的中奖率为，则买张彩票有可能中奖，也有可能不中奖，故该选项错误； 故选：A 5. 如图，与是位似图形，点为位似中心，已知的周长为1，则的周长为（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了位似图形的性质；根据题意求出位似比，然后根据位似图形的周长比等于相似比可得答案． 【详解】解：∵， ∴， 又∵与是位似图形， ∴与的周长为， ∴的周长为， 故选：B． 6. 已知方程两根分别是和，则的值等于（ ） A. 2 B. C. D. -1 【答案】C 【解析】 【分析】直接根据根与系数的关系求解． 【详解】解：因为x1+x2== 故选：C． 【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=，x1x2=． 7. “爱护环境，人人有责”．为减少塑料垃圾袋的使用，小明统计了他家某一周每天使用塑料垃圾袋的数量（单位：个）：2，2，3，3，3，4，4．则对这组数据说法错误的是（　　） A. 众数是3 B. 中位数是3 C. 平均数是3 D. 方差是3 【答案】D 【解析】 【分析】根据平均数、中位数、众数、方差的定义和计算公式，分别进行计算即可得出正确答案． 【详解】解：A：3出现了三次，故众数为3，故本选项不符合题意； B、将数据排列后为2，2，3，3，3，4，4，因此中位数是第4个数为3，故本选项不符合题意； C、平均数为，故本选项不符合题意； D、，故本选项符合题意． 故选：D． 【点睛】此题考查了平均数、中位数、众数以及方差，一般地设个数据，，，的平均数为，则方差，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数），众数是一组数据中出现次数最多的数据． 8. 如图，AB是⊙O直径，过⊙O上的点C作⊙O切线，交AB的延长线于点D，若∠D＝40°，则∠A大小是（ ） A. 20° B. 25° C. 30° D. 35° 【答案】B 【解析】 【分析】根据切线的性质可得∠OCD=90°，即可求出∠COD的度数，根据圆周角定理即可得答案． 【详解】∵CD是⊙O的切线， ∴∠OCD=90°， ∵∠D=40°， ∴∠COD=50°， ∵AB是⊙O直径， ∴∠A和∠COD分别为所对的圆周角和圆心角， ∴∠A=∠COD=25°， 故选：B． 【点睛】本题考查切线的性质及圆周角定理，圆的切线垂直于过切点的半径；在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半；熟练掌握相等定理及性质是解题关键． 9. 已知点，，在同一个函数图象上，则这个函数图象可能是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了二次函数图象、一次函数、反比例函数的图象．由点，，在同一个函数图象上，可得与关于轴对称；当时，随的减小而增大，继而求得答案． 【详解】解：点，， 与关于轴对称，故选项A，B不符合题意； ，， 当时，随的增大而增大，故选项C符合题意，选项D不符合题意． 故选：C． 10. 如图是第七届国际数学教育大会（ICME﹣7）的会徽，由其主体图案中相邻两个直角三角形组合而成．作菱形，使点D，E，F分别在边，，上，过点E作于点H，若，，则（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，相似三角形的判定和性质，含角的直角三角形的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．设，根据菱形的性质，含角的直角三角形的性质，勾股定理可得，，证明，即可得到答案． 【详解】解：设， 四边形为菱形， ，， 和为直角三角形，且， ， 在中，， ， 由勾股定理得：， ， 在中，，， ， 由勾股定理得：， ， ，， ， ， ． 故选：C． 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11. 函数中的自变量x的取值范围__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据分式的意义，分母不等于0，可以求出x的范围． 【详解】解：根据题意得：x-4≠0， 解得：x≠4． 故答案为x≠4． 【点睛】本题考查了函数自变量的范围，函数自变量的范围一般从三个方面考虑： （1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数； （2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0； （3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负． 12. 中国有四大国粹：京剧、武术、中医和书法．某校开设这四门课程供学生任意选修一门，则小丽同学恰好选修了中医的概率是___________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了简单事件的概率，利用概率公式计算即可． 【详解】解：∵某校开设京剧、武术、中医和书法共四门课程供学生任意选修一门， 小丽同学恰好选修了中医的概率是， 故答案为： 13. 如图，A、B、C、D为一个正多边形的顶点，O为正多边形的中心，若，则这个正多边形的边数为______ 【答案】九##9 【解析】 【分析】本题考查正多边形与圆，圆周角，掌握圆周角定理是解决问题的关键，理解正多边形的边数与相应的圆心角之间的关系是解决问题的前提． 根据圆周角定理可得正多边形的边所对的圆心角，再根据正多边形的一条边所对的圆心角的度数与边数之间的关系可得答案． 【详解】解：如图，设正多边形的外接圆为，连接，， ， ， 而， 这个正多边形为正九边形， 故答案为：九． 14. 已知圆锥的底面圆半径为，侧面积为，则这个圆锥的母线长为______． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查的是圆锥的计算，熟记扇形面积公式是解题的关键．根据扇形面积公式计算即可． 【详解】解：设圆锥的母线长为， 由题意得：， 解得：， ∴这个圆锥的母线长为 故答案为：5． 15. 已知关于的一元二次方程 的一个解是，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了一元二次方程的解，代数式求值，解题的关键是利用整体代入的思想解决问题． 首先把代入已知方程中，然后利用整体代值的方法即可求解． 【详解】解：把代入， ， 即， ； 故答案为： 16. 司机小王驾车在公路上匀速行驶，他看到里程碑上的数是两位数，1小时后，看到里程碑上的数恰是第一次看到的数颠倒了顺序的两位数，再过一小时后，第三次看到里程碑上的数又恰好是第一次见到的两位数字之间添上一个零的三位数，第一块里程碑上的数是______________． 【答案】16 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程的应用．设第一次看到的两位数的十位数字为，个位数字为，则第一次看到的两位数为，第二次看到的两位数为，第三次看到的两位数为，根据题意，列出方程，即可求解． 【详解】解：设第一次看到的两位数的十位数字为，个位数字为，则第一次看到的两位数为，第二次看到的两位数为，第三次看到的两位数为， ∴， 解得：， ∵x，y均为1到9的自然数， ∴， ∴第一块里程碑上的数是16． 故答案为：16 三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题9分，第24、25题每题10分，共72分） 17. 计算：． 【答案】6 【解析】 【分析】原式分别根据绝对值的代数意义、负整数指数幂、二次根式的乘方以及零指数幂运算法则化简各项后，再算加减即可． 【详解】解： = =6 【点睛】本题考查了实数的运算，掌握各部分的运算法则是解答本题的关键． 18. 先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【解析】 【分析】本题主要考查分式的化简求值，先将原式的括号内通分，再把除法转换为乘法，约分后得最简结果，再把的值代入进行计算即可． 【详解】解： ； 当时，原式． 19. 如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的的网格中，点A，B，C均在网格线的交点上． （1）将绕点A 逆时针旋转，画出旋转后的 ； （2）在（1）的条件下，点B旋转后的对应点是，则旋转过程中的长度为 （结果保留π）． 【答案】（1）作图见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查利用旋转变换作图，勾股定理和弧长的计算，熟练掌握旋转的性质和弧长公式是解题的关键， （1）利用旋转变换的性质画出图形即可； （1）点B旋转的路径，以A为圆心，为半径的圆上，即，点B逆时针旋转后的对应点是，则旋转过程中的长度为圆周长的，根据弧长公式计算即可． 【小问1详解】 【小问2详解】 ， 解：旋转如图所示： ，， ， ， ． 故答案为：． 20. 北京冬奥会已于2022年2月4日至20日举行，为了了解学校学生对于北京冬奥会了解情况，进行了随机在线问卷调查，调查结果分为四类：A．非常了解；B．了解较多；C．基本了解；D．了解较少．将收集到的信息进行了统计，绘制成不完整的统计表和统计图（如图所示）．请你根据统计图表所提供的信息解答下列问题． 频数分布统计表 类别 频数 频率 A 60 n B m C 90 D 30 （1）接受问卷调查的学生共有______人，_______，______； （2）补全条形统计图； （3）学校决定从选填结果是A类的学生中，选取甲、乙、丙、丁四人，从这四位学生中随机抽取两名学生参与冬奥知识竞赛，用画树状图或列表的方法，求甲、乙两名同学同时被抽中的概率． 【答案】（1）300，120， （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查频数分布表、频率、频数、补全条形统计图、画树状图求概率等知识，是基础考点，掌握相关知识是解题关键． （1）由C类别的频数除以C类别的频率即可求得总人数，继而解得A、B类别的频率和频数； （2）由频数分布统计表的数据解答； （3）画树状图表示所有等可能的结果，再求出甲、乙两名同学同时被抽中的情况，然后利用概率公式计算即可． 【小问1详解】 解：接受问卷调查的学生共有：（人）， ， ， 故答案为：300；120；； 【小问2详解】 解：补全的条形统计图如图所示： 【小问3详解】 解：画树状图如下， 共有12种情况，甲乙同时被选中的情况由2种， ∴甲、乙两名同学同时被抽中的概率为：． 21. 如图，反比例函数与一次函数的图象交于点，轴于点D，分别交反比例函数与一次函数的图象于点B、C． （1）求反比例函数和一次函数的表达式； （2）连接，若，求面积． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数的交点问题，涉及待定系数法求函数解析式等知识点，正确求出函数解析式是解题的关键． （1）将点A坐标分别代入两个解析式得到k、m值即可； （2）将分别代入两个解析式求出点B、C坐标，根据三角形面积公式计算即可． 【小问1详解】 解：∵点在反比例函数图象上， ∴， ∴反比例函数解析式为：， ∵的图象过点， ∴，解得， ∴一次函数解析式为：． 【小问2详解】 解：∵轴于点D，， ∴， ∴将代入得， ∴， 将代入得， ∴， ∴， ∴． 22. 如图，在中，，D为延长线上一点，，，过D作，交的延长线于点H． （1）求证：． （2）求长度． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握相似三角形的判定与性质． ()根据两个角对应相等即可证明； () 根据得到，由，对应线段成比例可得，再结合() ，对应边成比例即可求出的长度； 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 由（）知， ∴， ∴， ∴（负值舍去）， 答：的长度为． 23. 某中学要新建一块篮球场地（如图所示），要求：①篮球场（阴影部分）的长和宽分别为，；②在篮球场四周修建宽度相等的安全区域；③篮球场及安全区域的总面积为． （1）求安全区域的宽度； （2）某公司希望用45万元承包这项工程，该中学认为金额太高需要降价，通过两次协商，最终以36.45万元达成一致．若两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率． 【答案】（1）米 （2） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用（与图形有关的问题及增长率问题），理解题意，根据题中的等量关系正确列出方程并求解是解题的关键． （1）设安全区域的宽度为米，根据总面积为列方程求解即可； （2）设每次降价的百分率为，根据题中的等量关系列方程求解即可． 【小问1详解】 解：设安全区域的宽度为米，由题意可得： ， 整理，得：， 解得：，（不符合题意，故舍去）， 安全区域的宽度为米； 【小问2详解】 解：设每次降价百分率为，由题意可得： ， 解得：，（不符合题意，故舍去）， 每次降价的百分率为． 24. 我们知道，平方具有非负性，若一个代数式能化成几个代数式的平方和，则这个代数式也会具有非负性．有时我们也可以借助函数图象，利用图象判断代数式的非负性． （1）下列代数式具有非负性的有 （填序号）； ； ； ； ． （2）已知：，，， 试问是否具有非负性？ 请说明理由； （3）二次三项式（，，为常数，），对任意的不等式 恒成立． ①代数式 非负性；（填“具有”或“不具有”） ②若，二次函数 与直线交于点，，用线段围成一个平行四边形，求这个平行四边形面积的最大值． 【答案】（1） （2） 不具有，理由见解析 （3）具有 【解析】 【分析】（1）由代数式的特点可知不具有非负性，利用配方法将，进行配方即可得出答案； （2）由题意可知，设，可得，，利用配方法可得，据此即可得出结论； （3）①由“对任意的不等式 恒成立”可得，据此即可得出结论； ②由①可知由已知条件可得，由不等式恒成立可得，化简得，进而可得，，然后求出，两点坐标并得出，用 围成一个平行四边形，要使其面积最大，则该平行四边形必为矩形，设其一边长为，则另一边长为，于是这个平行四边形的面积（），据此即可得出答案． 【小问1详解】 解：∵， ， 具有非负性，不具有非负性， 故答案为：； 【小问2详解】 解：不具有非负性，理由如下： 由题意可知：， ∴设， 则，， ∴ ， ， ∴当时，， 答：不具有非负性； 【小问3详解】 解：①∵对任意的不等式 恒成立， ∴当时，的开口向下，此时不符合题意， ∴， ∴， ∴代数式具有非负性， 故答案为：具有； ②由①可知：， ， ， 恒成立， ， 即： ， 化简，得：， ∴， ，， 由可得， ，两点坐标为，， ∴， 用 围成一个平行四边形，要使其面积最大，则该平行四边形必为矩形， 设其一边长为，则另一边长为， ∴（）， 故这个平行四边形面积的最大值为． 【点睛】本题主要考查了配方法的应用，的图象与性质，二次函数的图象与系数的关系，因式分解法解一元二次方程，计算多项式乘多项式，已知两点坐标求两点距离等知识点，本题难度较大，熟练掌握配方法的应用是解题的关键。 25. 定义：对于凸四边形，对角线相等的四边形称为“等对”四边形，对角线垂直的四边形称为“垂对”四边形． （1）请你判断下列说法是否正确（在题后相应的括号中，正确的打“”，错误的打“”） ①平行四边形一定不是“等对”四边形； （ ） ②“垂对”四边形的面积等于其对角线长的乘积的一半；（ ） ③顺次连接“等对”四边形四边中点而成的四边形是“垂对”四边形；（ ） （2）如图1，已知四边形既是“等对”四边形，又是“垂对”四边形，且四边形的四个顶点都在上，连接四边形的对角线，交于点P． ①记，，四边形的面积分别为，，求证： ； ②如图2，点为中点，连接并延长交于点N，若 ，求的半径（用含，的式子表示）． 【答案】（1）①×； ②√；③√ （2）①见解析；② 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的性质和判定，圆周角，“等对”四边形定义，勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键； （1）根据“等对”四边形和“垂对”四边形定义，判断即可求解； （2）①根据“等对”四边形的性质可知，从而推导出，为等腰直角三角形，根据勾股定理即可求解； ②根据M为的中点，可得，进而根据勾股定理求解即可； 【小问1详解】 解：①矩形也是平行四边形，矩形的对角线相等， 平行四边形也可能是“等对”四边形，故该说法错误； ②“垂对”四边形的对角线垂直，所以“垂对”四边形的面积等于其对角线长的乘积的一半；故正确； ③顺次连接“等对”四边形四边中点而成的四边形是萎形，所以是“垂对”四边形；故正确； 故答案为：①×； ②√；③√； 【小问2详解】 ①∵四边形是“等对”四边形， ， ， ， 又∵四边形是“垂对”四边形， ， ，为等腰直角三角形， 设，， 则，，， ， ②， 在中， ， 又∵为的中点， ， ，，， ， 即， ， ， 即， 将代入， 得， 解得： 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025届九年级第二次质量调研检测暨期末考试 数学试题 注意事项： 1．答题前，请先将自己的姓名、班级、考场号、座位号填写清楚； 2．必须在答卷上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效； 3．答题时，请考生注意各大题号后面的答题提示； 4．请注意卷面，保持字体工整、笔迹清晰、卷面清洁； 5．答卷上不准使用涂改液、涂改胶和贴纸； 6．本试卷时量120分钟，满分120分． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1. 下列四幅作品分别代表“立春”、“谷雨”、“白露”、“大雪”，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 个人养老金制度于年月日起在全国全面实施．目前个人养老金每年的缴存上限是元，可以按月分次或者按年度缴费．将用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算中正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列说法正确的是（ ） A. 抛掷一枚质地均匀的硬币，“硬币落地时正面朝上”是随机事件 B. 个人分成两组，每组至少人，“一定有个人分在同一组”是不可能事件 C. 任意打开九年级上册数学教科书，“正好是第页”是必然事件 D. 某种彩票的中奖率为，则买张彩票一定有张中奖 5. 如图，与是位似图形，点为位似中心，已知的周长为1，则的周长为（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 6. 已知方程的两根分别是和，则的值等于（ ） A 2 B. C. D. -1 7. “爱护环境，人人有责”．为减少塑料垃圾袋的使用，小明统计了他家某一周每天使用塑料垃圾袋的数量（单位：个）：2，2，3，3，3，4，4．则对这组数据说法错误的是（　　） A. 众数3 B. 中位数是3 C. 平均数是3 D. 方差是3 8. 如图，AB是⊙O直径，过⊙O上的点C作⊙O切线，交AB的延长线于点D，若∠D＝40°，则∠A大小是（ ） A. 20° B. 25° C. 30° D. 35° 9. 已知点，，在同一个函数图象上，则这个函数图象可能是( ) A. B. C. D. 10. 如图是第七届国际数学教育大会（ICME﹣7）的会徽，由其主体图案中相邻两个直角三角形组合而成．作菱形，使点D，E，F分别在边，，上，过点E作于点H，若，，则（　　） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11. 函数中的自变量x的取值范围__________． 12. 中国有四大国粹：京剧、武术、中医和书法．某校开设这四门课程供学生任意选修一门，则小丽同学恰好选修了中医的概率是___________． 13. 如图，A、B、C、D为一个正多边形顶点，O为正多边形的中心，若，则这个正多边形的边数为______ 14. 已知圆锥的底面圆半径为，侧面积为，则这个圆锥的母线长为______． 15. 已知关于的一元二次方程 的一个解是，则_______． 16. 司机小王驾车在公路上匀速行驶，他看到里程碑上的数是两位数，1小时后，看到里程碑上的数恰是第一次看到的数颠倒了顺序的两位数，再过一小时后，第三次看到里程碑上的数又恰好是第一次见到的两位数字之间添上一个零的三位数，第一块里程碑上的数是______________． 三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题9分，第24、25题每题10分，共72分） 17. 计算：． 18. 先化简，再求值：，其中． 19. 如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的的网格中，点A，B，C均在网格线的交点上． （1）将绕点A 逆时针旋转，画出旋转后的 ； （2）在（1）的条件下，点B旋转后的对应点是，则旋转过程中的长度为 （结果保留π）． 20. 北京冬奥会已于2022年2月4日至20日举行，为了了解学校学生对于北京冬奥会的了解情况，进行了随机在线问卷调查，调查结果分为四类：A．非常了解；B．了解较多；C．基本了解；D．了解较少．将收集到的信息进行了统计，绘制成不完整的统计表和统计图（如图所示）．请你根据统计图表所提供的信息解答下列问题． 频数分布统计表 类别 频数 频率 A 60 n B m C 90 D 30 （1）接受问卷调查的学生共有______人，_______，______； （2）补全条形统计图； （3）学校决定从选填结果是A类的学生中，选取甲、乙、丙、丁四人，从这四位学生中随机抽取两名学生参与冬奥知识竞赛，用画树状图或列表的方法，求甲、乙两名同学同时被抽中的概率． 21. 如图，反比例函数与一次函数的图象交于点，轴于点D，分别交反比例函数与一次函数的图象于点B、C． （1）求反比例函数和一次函数的表达式； （2）连接，若，求的面积． 22. 如图，在中，，D为延长线上一点，，，过D作，交延长线于点H． （1）求证：． （2）求长度． 23. 某中学要新建一块篮球场地（如图所示），要求：①篮球场（阴影部分）的长和宽分别为，；②在篮球场四周修建宽度相等的安全区域；③篮球场及安全区域的总面积为． （1）求安全区域的宽度； （2）某公司希望用45万元承包这项工程，该中学认为金额太高需要降价，通过两次协商，最终以36.45万元达成一致．若两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率． 24. 我们知道，平方具有非负性，若一个代数式能化成几个代数式的平方和，则这个代数式也会具有非负性．有时我们也可以借助函数图象，利用图象判断代数式的非负性． （1）下列代数式具有非负性的有 （填序号）； ； ； ； ． （2）已知：，，， 试问是否具有非负性？ 请说明理由； （3）二次三项式（，，为常数，），对任意的不等式 恒成立． ①代数式 非负性；（填“具有”或“不具有”） ②若，二次函数 与直线交于点，，用线段围成一个平行四边形，求这个平行四边形面积的最大值． 25. 定义：对于凸四边形，对角线相等的四边形称为“等对”四边形，对角线垂直的四边形称为“垂对”四边形． （1）请你判断下列说法是否正确（在题后相应括号中，正确的打“”，错误的打“”） ①平行四边形一定不是“等对”四边形； （ ） ②“垂对”四边形的面积等于其对角线长的乘积的一半；（ ） ③顺次连接“等对”四边形四边中点而成的四边形是“垂对”四边形；（ ） （2）如图1，已知四边形既是“等对”四边形，又是“垂对”四边形，且四边形的四个顶点都在上，连接四边形的对角线，交于点P． ①记，，四边形的面积分别为，，求证： ； ②如图2，点为的中点，连接并延长交于点N，若 ，求的半径（用含，的式子表示）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $