第17章 一元二次方程及其应用 章节（10知识详解+25典例分析）2025-2026学年沪科版八年级数学下册同步讲义与测试

第17章 一元二次方程及其应用 章节（10知识详解+25典例分析） 【知识点01】一元二次方程的定义二次 一元 1. 定义 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2的整式方程，叫做一元二次方程 . 2. 一元二次方程的“三要素” 整理后. 分母或根号内不含未知数 一是整式方程， 二是只含一个未知数， 三是整理后未知数的最高次数是2. 警示误区 最高次数是 2的项的系数的取值范围不明确的方程不一定是一元二次方程， 如：(m－2)x2+3x－8=0不一定是一元二次方程. 【知识点02】一元二次方程的一般形式 1. 一般形式 关于 x 的一元二次方程ax2+bx+c=0(a ≠ 0) ，其中ax2是二次项， a是二次项系数，bx是一次项，b 是一次项系数，c 是常数项. 2. 特殊形式 特殊形式 二次项系数 一次项系数 常数项 ax²+bx=0(a ≠ 0，b ≠ 0) a b 0 ax²+c=0(a ≠ 0，c ≠ 0) a 0 c ax²=0(a ≠ 0) a 0 0 【知识点03】一元二次方程的解(根) 1. 定义 使一元二次方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，也叫作一元二次方程的根. 2.关于一元二次方程ax2+bx+c=0(a ≠ 0)的根的三个重要结论(拓展) (1)有一个根为x=1 a+b+c=0； (2)有一个根为x=-1 a-b+c=0； (3)有一个根为x=0 c=0. 【知识点04】直接开平方法 1. 定义 利用平方根的意义直接开平方，求一元二次方程解的方法叫作直接开平方法. 知识链接 平方根的定义： 若 x2=a(a ≥ 0)，则 x 是 a 的平方根，即x=± . 2. 方程x2=p 的解(根)的情况 (1)当p>0 时，方程有两个不等的实数根=－ ，= ； (2)当p=0 时，方程有两个相等的实数根==0； (3)当p<0 时，方程没有实数根. 3. 用直接开平方法解一元二次方程的一般步骤 移项 将方程变成左边是完全平方式的形式，且二次项系数化为1，右边是非负数的形式(若方程右边是负数，则该方程无实数根) 开平方 将方程转化为两个一元一次方程 解这两个一元一次方程 得出的两个解即为一元二次方程的两个根 【知识点05】配方法 1. 定义 通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫作配方法. 2.用配方法解一元二次方程的一般步骤 一般步骤 方法 示例(2x²7x+3=0) 一移 移项 将常数项移到等号右边，含未知数的项移到等号左边 2x²-7x=-3 二化 二次项系数化为1 左、右两边同时除以二次项系数 三配 配方 左、右两边同时加上一次项系数一半的平方 即 四开 开平方 利用平方根的意义直接开平方 五解 解两个一元一次方程 移项、合并同类项 【知识点06】公式法 1.求根公式 x= 是一元二次方程 ax2＋bx＋c=0(a ≠ 0 且 b2－4ac ≥ 0)的求根公式 . 2. 公式法 有了求根公式，要解一个一元二次方程，只要先把它整理成一般形式，确定出a， b， c 的值，然后，把a， b， c 的值代入求根公式，就可以得出方程的根，这种解法叫做公式法 . 3.用公式法解一元二次方程的步骤 (1)把一元二次方程化成一般形式； (2)确定公式中a，b，c 的值； (3)求出b2－4ac 的值； (4)若b2－4ac ≥ 0，则把a，b 及b2－4ac 的值代入求根公式求解. 【知识点07】因式分解法 1. 定义 通过因式分解，将一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来求解的方法叫作因式分解法. 2. 用因式分解法解一元二次方程的一般步骤 (1)整理方程，使其右边为0； (2)将方程左边分解为两个一次因式的乘积； (3)令两个一次因式分别为0，得到两个一元一次方程； (4)分别解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解. 3. 常见的可以用因式分解法求解的方程的类型(a, b 为常数) 常见类型 因式分解 方程的解 x²+bx=0 x(x+b)=0 =0, =-b x²-a²=0 (x+a) (x-a)=0 =-a, =a x²±2ax+a²=0 (x±a)²=0 == ±a x²+(a+b)x+ab=0 (x+a) (x+b)=0 =-a, =-b 【知识点08】一元二次方程根的判别式 1. 定义一元二次方程ax2+bx+c=0(a ≠ 0)根的情况由b2-4ac 来确定. 我们把b2-4ac 叫作一元二次方程ax2+bx+c=0(a ≠ 0)根的判别式，通常用符号“Δ”来表示，即Δ=b2-4ac. 2. 一元二次方程根的情况与根的判别式的关系 (1)Δ>0 ⇔方程ax2+bx+c=0(a ≠ 0)有两个不相等的实数根. (2)Δ=0 ⇔方程ax2+bx+c=0(a ≠ 0)有两个相等的实数根. (3)Δ<0 ⇔方程ax2+bx+c=0(a ≠ 0)没有实数根. 【知识点09】一元二次方程的根与系数的关系 1. 一元二次方程的根与系数的关系 如果ax2+bx+c=0 (a ≠0)的两个根为x1，x2，那么x1+x2=－，x1x2= . 这个关系通常称为韦达定理 . 当一元二次方程的二次项系数为1时，它的一般形式为x2+px+q=0. 设它的两个根为x1，x2，这时有x1+x2=-p，x1x2=q. 2. 与一元二次方程两根有关的代数式的常见变形 (1)x12+x22=(x1+x2)2－2x1x2； (2)(x1－x2)2=(x1+x2)2－4x1x2； (3)+ = ； (4)+ = . (5)|x1-x2|= = ； (6)x1x22+x21x2=x1x2(x2+x1). 【知识点10】建立一元二次方程的模型解应用题 1.列一元二次方程解应用题的一般步骤 步骤 内容摘要 注意事项 ①审 审清题意，明确已知量和未知量，找到它们之间的等量关系 等量关系往往体现在关键词句中 ②设 设未知数，方法有直接设元法、间接设元法和辅助设元法(引入辅助未知数，并在解题过程中消去) 有单位的要带单位 ③列 用含有未知数的代数式表示有关的量，根据等量关系列出方程 方程两边单位要统一 ④解 根据方程的特点，选择适当解法求出未知数的值 一般不必写出解方程的过程 ⑤检 检验未知数的值是否满足所列方程，检验该值在实际问题中是否有意义 一般两个根中只有一个符合实际意义 ⑥答 写出实际问题的答案 遵循“问什么答什么”的原则 2. 常见问题的数量关系 常见问题 等量关系 平均增长率(降低率)问题 a 为起始量，b 为终止量，平均增长率公式：a(1+x)n=b(x为平均增长率，n 为增长的次数)；平均降低率公式：a(1-x)n=b(x 为平均降低率，n 为降低的次数) 几何图形问题 涉及的常见计算与证明有三角形的三边关系、三角形全等、各种规则图形的面积、体积或周长公式 数字问题 (1)两位数= 十位上的数字×10 + 个位上的数字； (2) 三位数= 百位上的数字×100 + 十位上的数字×10 + 个位上的数字 商品销售问题 利润= 售价- 进价；利润率=×100%；售价= 进价×(1 + 利润率)；总利润= 总售价- 总成本= 单件利润× 总销量 【题型一】一元二次方程的定义 1．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）关于的方程是一元二次方程，则的取值范围是（    ） A． B． C． D．0 2．（23-24八年级下·安徽池州·期末）若关于的方程是一元二次方程，则 ． 【题型二】化成一元二次方程的一般式 3．（22-23八年级下·安徽亳州·期末）把一元二次方程化成一般形式，正确的是（   ） A． B． C． D． 4．已知一元二次方程，将其化成二次项系数为正数的一般形式后，它的常数项是 ． 【题型三】判断是否是一元二次方程 5．下列方程是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【题型四】由一元二次方程的定义求参数 6．（24-25八年级下·安徽合肥·月考）一元二次方程的二次项系数和一次项系数分别是（　　） A． B．2，1 C．0，1 D． 7．若方程是关于的一元二次方程，则 ． 【题型五】判断是否是一元二次方程的解 8．列表法解方程，可能不是最直接或最高效的方法，但在某些情况下，它可以作为一种可视化的工具来帮助我们理解方程的解，如下表，根据表格可知方程：的解是（   ） 0 1 2 3 ... ... A． B． C．或 D．或 9．（24-25八年级下·安徽淮北·期中）已知是方程的一个根，则代数式的值为 ． 【题型六】由一元二次方程的解求参数 10．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）已知关于x的方程： 的一个根是，则m的值为（    ） A． B．0 C．1 D．2 11．（24-25八年级下·安徽池州·期末）若关于x的一元二次方程的一个解为，则a的值是 ． 12．（24-25八年级下·安徽淮北·月考）定义：如果一元二次方程（）满足，那么称这个方程为“联合方程”． (1)判断一元二次方程是否为“联合方程”，说明理由； (2)已知是关于的“联合方程”，若是此“联合方程”的一个根，求和的值． 【题型七】一元二次方程的解的估算 13．（22-23八年级下·安徽六安·期中）根据下表的对应值，试判断一元二次方程 的一个解的取值范围是（　　） x 1 4 0.06 0.02 A． B． C． D． 14．根据下列表格的对应值，由此可判断方程必有一个解x的取值范围是 ． x 1 1.1 1.2 13 14.41 15.84 【题型八】解一元二次方程——直接开平方法 15．（22-23八年级下·安徽安庆·期中）若关于x的一元二次方程两根为和3，则关于x的方程的实数根个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 16．（24-25八年级下·安徽六安·月考）公元8世纪波斯数学家花拉子米被誉为代数学之父，他在《代数学》中列举了这样一道例题： 根的3倍与简单数4的和等于一个平方．用现代数学语言表示为：．即如图所示，正方形的边长为，，将正方形分成面积为的矩形和面积为4的矩形，取中点，构造边长为正方形，延长到，使，则有正方形，此时显然有，即，可以很容易求得该方程的一个正根 ；若令，，则 ． 17．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）解方程：． 【题型九】解一元二次方程——配方法 18．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）将一元二次方程配方后可化为（  ） A． B． C． D． 19．（23-24八年级下·安徽淮北·月考）关于的方程，若通过配方得，则 ． 20．（24-25八年级下·安徽安庆·月考）用配方法解方程： (1) (2)． 【题型十】公式法解一元二次方程 21．（24-25八年级下·安徽六安·月考）用公式法解一元二次方程的根为，该方程为（   ） A． B． C． D． 22．（22-23八年级下·安徽滁州·期中）用公式法解关于x的一元二次方程，得，则该一元二次方程是 ． 23．（22-23八年级下·安徽淮北·期末）解方程：． 【题型十一】因式分解法解一元二次方程 24．（24-25八年级下·安徽六安·期末）一元二次方程的根是（　　） A． B． C． D． 25．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）方程的根是 ． 26．（24-25八年级下·安徽六安·月考）解一元二次方程． 【题型十二】换元法解一元二次方程 27．（24-25八年级下·安徽淮北·月考）已知关于x的一元二次方程的解是，，则另一个关于x的方程的解是（   ） A．， B．， C．， D．， 28．（24-25八年级下·安徽安庆·月考）关于的方程的解是，（、、均为常数，）． 问题： （1）关于的方程的根是 ； （2）关于的方程的根为 ． 29．（24-25八年级下·安徽安庆·月考）阅读材料：为解方程，我们可以将视为一个整体，然后设，则，原方程化为. 解得， 当时，，∴.∴； 当时，，∴.∴. ∴原方程的解为，，，； 请利用以上知识解决下列问题： 如果，求的值. 【题型十三】配方法的应用 30．（24-25八年级下·安徽蚌埠·期中）若一元二次方程 （a，b为常数），化成一般形式为，则a，b的值分别是（    ） A．，1 B．2，1 C．2， D．， 31．（22-23八年级下·安徽阜阳·期末）将一元二次方程化成的形式 ． 32．（22-23八年级下·安徽合肥·月考）“”这个结论在数学中非常有用，有时我们需要将代数式配成完全平方式，例如：，，，．试利用“配方法”解决下列问题： (1)填空：因为+ ；所以当_______时，代数式有最 （填“大”或“小”）值，这个最值为 ； (2)比较代数式与的大小． 【题型十四】根据判别式判断一元二次方程根的情况 33．（24-25八年级下·安徽池州·期末）一元二次方程的根的情况是（    ） A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法判断 34．（23-24八年级下·安徽安庆·期末）一元二次方程的根的判别式的值为 ． 35．（23-24八年级下·安徽淮北·期中）关于的方程， (1)求证：方程恒有两个不相等的实数根； (2)若此方程的一个根为3，求的值． 【题型十五】根据一元二次方程根的情况求参数 36．（24-25八年级下·安徽宣城·期末）若方程没有实数根，则m的值可以是（    ） A． B． C． D． 37．（24-25八年级下·安徽淮南·期末）若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是 ． 38．（24-25八年级下·安徽六安·期末）已知关于的一元二次方程． (1)求证：该方程总有两个不相等的实数根； (2)若是方程的一个根，求的值． 【题型十六】一元二次方程的根与系数的关系 39．（24-25八年级下·安徽淮南·期末）若关于x的一元二次方程的一个根是，则它的另一个根是（    ） A． B． C． D． 40．（24-25八年级下·安徽阜阳·期中）若关于的方程的两根分别是，，则的值为 ． 41．（24-25八年级下·安徽滁州·期末）已知关于的一元二次方程． (1)判断此方程根的情况，并说明理由． (2)若此方程的两个实数根都是整数，求符合条件的整数的值的和． (3)若此方程的两个实数根分别为，求代数式的值． 【题型十七】传播问题(一元二次方程的应用) 42．有一人患了流感，经过两轮传染后共有100人患了流感，那么每轮传染中平均一个人传染给 个人． 43．（22-23八年级下·安徽合肥·期中）随着通信事业的日益发达，信息传播越来越快捷，如果有一个人收到一条信息后，转发了此信息，收到转发的信息的人中有会将其再转发给其他没有此信息的人，经过两轮转发后，共有169人收到此信息，请问平均每人每轮转发给几个人？ 【题型十八】增长率问题(一元二次方程的应用) 44．（24-25八年级下·安徽池州·期末）某超市一月份的营业额是100万元，第一季度的总营业额是364万元，若设月平均增长率为x，则可列出的方程是（    ） A． B． C． D． 45．（24-25八年级下·安徽亳州·期中）某种品牌的手机经过四、五月份连续两次降价，每部售价由3200元降到了1600元．设平均每月降价的百分率为，根据题意列出的方程是 ． 46．（24-25八年级下·安徽蚌埠·期末）在国家积极政策的鼓励下，中国新能源汽车的市场需求呈螺旋式上升，某汽车企业2023到2025这两年A型汽车年销售总量增加了，年销售单价下降了． (1)设2023年销售A型汽车总量为a万辆，销售单价为b万元，请用代数式填表： 年份 年销售A型汽车总量/万辆 年销售A型汽车单价/万元 年销售A型汽车总额/亿元 2023 ①______ 2025 ②______ (2)该汽车企业A型汽车这两年销售总额的年增长率相同，求年增长率． 【题型十九】与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 47．（24-25八年级下·安徽六安·月考）《田亩比类乘除捷法》是我国古代数学家杨辉的著作．其中有一个数学问题：“直田积八百八十一步，只云长阔共六十步，问长多阔几何？”译文：“一块矩形田地的面积为891平方步，只知道它的长与宽共60步，问它的长比宽多多少步？”则长比宽多（    ） A．3步 B．5步 C．6步 D．9步 48．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）如图，在一块长、宽的矩形空地上修建同样宽的两条道路，剩余部分栽种花草，且栽种花草的面积为．则道路的宽为 ． 49．（23-24八年级下·安徽宣城·期中）如图，某部门举办广场舞比赛，在一块正方形绿地上搭建宽度为的临时舞台（阴影部分）．若舞台中间空白部分的面积为，求正方形绿地的边长． 【题型二十】数字问题(一元二次方程的应用) 50．（22-23八年级下·安徽滁州·月考）两个连续奇数的积为99，设其中较小的一个奇数为x，则可得方程为（    ） A． B． C． D． 51．（22-23八年级下·安徽亳州·期中）两个连续奇数的积为，若设其中较小的奇数为，则可列方程为 ，这两个数分别为 ． 52．（22-23八年级下·安徽亳州·期中）一个两位数，十位数与个位数字之和是3，把这个数的个位数与十位数字对调后，得到的新两位数与原来的两位数的乘积为252，求原来的两位数． 【题型二十一】营销问题(一元二次方程的应用) 53．（22-23八年级下·安徽合肥·期中）某商店从厂家以每件18元的价格购进一批商品．该商品可以自行定价．据市场调查，该商品的售价与销售量的关系是：若每件售价a元，则可卖出件，但物价部门限定每件商品加价不能超过进货价的25%，如果商店计划要获利400元．则每件商品的售价应定为（    ） A．22元 B．24元 C．26元 D．28元 54．（24-25八年级下·安徽六安·期末）利用以下素材解决问题． 茶叶定价问题 素材1 安徽盛产茶叶，如黄山毛峰、六安瓜片、太平猴魁、祁门红茶等知名品牌．皖叶茶叶专卖店销售某品牌茶叶，其进价为每千克240元，按每千克400元出售，平均每周可售出200千克． 素材2 经市场调研发现：单价每下降10元，平均每周的销售量可增加40千克；单价每上涨10元，平均每周的销售量要减少10千克． 任务1 若该专卖店销售这种品牌茶叶要想平均每周获利41600元，请计算每千克茶叶应降价多少元？ 任务2 降价销售时，在平均每周获利41600元的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？ 任务3 若涨价销售，该专卖店销售这种品牌茶叶平均每周获利能达到41600元吗？若能达到，请计算每千克茶叶应涨价多少元？若不能，请说明理由． 【题型二十二】动态几何问题(一元二次方程的应用) 55．（24-25八年级下·安徽滁州·期中）如图，中，，，动点从点出发以速度向点移动，同时动点从出发以的速度向点移动，设它们的运动时间为． (1)根据题意知：____________，____________；（用含t的代数式表示） (2)为何值时，的面积等于四边形的面积的？ 56．（23-24八年级下·安徽蚌埠·月考）如图中，，，．点P从A开始沿边向点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动，问：经过几秒，的面积等于 【题型二十三】行程问题(一元二次方程的应用) 57．一辆汽车以20m/s的速度行驶，司机发现前方路面26m处有情况，紧急刹车后汽车又滑行25m后停车，问刹车后汽车滑行到16m时约用了（　　） A．1s B．1.2s C．2s D．4s 【题型二十四】其他问题(一元二次方程的应用) 58．（2025·安徽合肥·一模）在设计人体雕像时，使雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与全部的高度比，可以增加视觉美感．如图，按此比例设计一座高度为的雷锋雕像，雕像的下部应设计为多高？设雕像的下部高为，则所列方程为（　　） A． B． C． D． 59．（22-23八年级下·安徽合肥·期末）如图，点O是矩形内一点，则点O到四个顶点的距离满足关系式，若点O在对角线，，．则 ．    60．（24-25八年级下·安徽阜阳·月考）某工厂生产一种零件，在质量检测环节，有两个检测指标分别对应代数式与，这关系到零件是否合格的判断，当这两个指标的值相等时，x取何值？ 【题型二十五】握手、循环赛问题（一元二次方程的应用） 61．在一次同学聚会上，参加的每个人都与其他人握手一次，共握手95次，设参加这次同学聚会的有x人，可得方程（　　） A．x（x﹣1）＝190 B．x（x﹣1）＝380 C．x（x﹣1）＝95 D．（x﹣1）2＝380 62．象棋是一种源自中国的传统棋类游戏，具有悠久的历史和深厚的文化底蕴．九年级（1）班利用课余时间开展象棋比赛，班主任要求每个选手都与其他选手恰好比赛一局，信息如下： (1)若该班级共有n个参赛选手，则每个选手都要与_______个选手比赛一局，比赛总共有______局； (2)求这次比赛共有多少个选手参加？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第17章 一元二次方程及其应用 章节（10知识详解+25典例分析） 一元 【知识点01】一元二次方程的定义二次 1. 定义 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2的整式方程，叫做一元二次方程 . 2. 一元二次方程的“三要素” 整理后. 分母或根号内不含未知数 一是整式方程， 二是只含一个未知数， 三是整理后未知数的最高次数是2. 警示误区 最高次数是 2的项的系数的取值范围不明确的方程不一定是一元二次方程， 如：(m－2)x2+3x－8=0不一定是一元二次方程. 【知识点02】一元二次方程的一般形式 1. 一般形式 关于 x 的一元二次方程ax2+bx+c=0(a ≠ 0) ，其中ax2是二次项， a是二次项系数，bx是一次项，b 是一次项系数，c 是常数项. 2. 特殊形式 特殊形式 二次项系数 一次项系数 常数项 ax²+bx=0(a ≠ 0，b ≠ 0) a b 0 ax²+c=0(a ≠ 0，c ≠ 0) a 0 c ax²=0(a ≠ 0) a 0 0 【知识点03】一元二次方程的解(根) 1. 定义 使一元二次方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，也叫作一元二次方程的根. 2.关于一元二次方程ax2+bx+c=0(a ≠ 0)的根的三个重要结论(拓展) (1)有一个根为x=1 a+b+c=0； (2)有一个根为x=-1 a-b+c=0； (3)有一个根为x=0 c=0. 【知识点04】直接开平方法 1. 定义 利用平方根的意义直接开平方，求一元二次方程解的方法叫作直接开平方法. 知识链接 平方根的定义： 若 x2=a(a ≥ 0)，则 x 是 a 的平方根，即x=± . 2. 方程x2=p 的解(根)的情况 (1)当p>0 时，方程有两个不等的实数根=－ ，= ； (2)当p=0 时，方程有两个相等的实数根==0； (3)当p<0 时，方程没有实数根. 3. 用直接开平方法解一元二次方程的一般步骤 移项 将方程变成左边是完全平方式的形式，且二次项系数化为1，右边是非负数的形式(若方程右边是负数，则该方程无实数根) 开平方 将方程转化为两个一元一次方程 解这两个一元一次方程 得出的两个解即为一元二次方程的两个根 【知识点05】配方法 1. 定义 通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫作配方法. 2.用配方法解一元二次方程的一般步骤 一般步骤 方法 示例(2x²7x+3=0) 一移 移项 将常数项移到等号右边，含未知数的项移到等号左边 2x²-7x=-3 二化 二次项系数化为1 左、右两边同时除以二次项系数 三配 配方 左、右两边同时加上一次项系数一半的平方 即 四开 开平方 利用平方根的意义直接开平方 五解 解两个一元一次方程 移项、合并同类项 【知识点06】公式法 1.求根公式 x= 是一元二次方程 ax2＋bx＋c=0(a ≠ 0 且 b2－4ac ≥ 0)的求根公式 . 2. 公式法 有了求根公式，要解一个一元二次方程，只要先把它整理成一般形式，确定出a， b， c 的值，然后，把a， b， c 的值代入求根公式，就可以得出方程的根，这种解法叫做公式法 . 3.用公式法解一元二次方程的步骤 (1)把一元二次方程化成一般形式； (2)确定公式中a，b，c 的值； (3)求出b2－4ac 的值； (4)若b2－4ac ≥ 0，则把a，b 及b2－4ac 的值代入求根公式求解. 【知识点07】因式分解法 1. 定义 通过因式分解，将一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来求解的方法叫作因式分解法. 2. 用因式分解法解一元二次方程的一般步骤 (1)整理方程，使其右边为0； (2)将方程左边分解为两个一次因式的乘积； (3)令两个一次因式分别为0，得到两个一元一次方程； (4)分别解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解. 3. 常见的可以用因式分解法求解的方程的类型(a, b 为常数) 常见类型 因式分解 方程的解 x²+bx=0 x(x+b)=0 =0, =-b x²-a²=0 (x+a) (x-a)=0 =-a, =a x²±2ax+a²=0 (x±a)²=0 == ±a x²+(a+b)x+ab=0 (x+a) (x+b)=0 =-a, =-b 【知识点08】一元二次方程根的判别式 1. 定义一元二次方程ax2+bx+c=0(a ≠ 0)根的情况由b2-4ac 来确定. 我们把b2-4ac 叫作一元二次方程ax2+bx+c=0(a ≠ 0)根的判别式，通常用符号“Δ”来表示，即Δ=b2-4ac. 2. 一元二次方程根的情况与根的判别式的关系 (1)Δ>0 ⇔方程ax2+bx+c=0(a ≠ 0)有两个不相等的实数根. (2)Δ=0 ⇔方程ax2+bx+c=0(a ≠ 0)有两个相等的实数根. (3)Δ<0 ⇔方程ax2+bx+c=0(a ≠ 0)没有实数根. 【知识点09】一元二次方程的根与系数的关系 1. 一元二次方程的根与系数的关系 如果ax2+bx+c=0 (a ≠0)的两个根为x1，x2，那么x1+x2=－，x1x2= . 这个关系通常称为韦达定理 . 当一元二次方程的二次项系数为1时，它的一般形式为x2+px+q=0. 设它的两个根为x1，x2，这时有x1+x2=-p，x1x2=q. 2. 与一元二次方程两根有关的代数式的常见变形 (1)x12+x22=(x1+x2)2－2x1x2； (2)(x1－x2)2=(x1+x2)2－4x1x2； (3)+ = ； (4)+ = . (5)|x1-x2|= = ； (6)x1x22+x21x2=x1x2(x2+x1). 【知识点10】建立一元二次方程的模型解应用题 1.列一元二次方程解应用题的一般步骤 步骤 内容摘要 注意事项 ①审 审清题意，明确已知量和未知量，找到它们之间的等量关系 等量关系往往体现在关键词句中 ②设 设未知数，方法有直接设元法、间接设元法和辅助设元法(引入辅助未知数，并在解题过程中消去) 有单位的要带单位 ③列 用含有未知数的代数式表示有关的量，根据等量关系列出方程 方程两边单位要统一 ④解 根据方程的特点，选择适当解法求出未知数的值 一般不必写出解方程的过程 ⑤检 检验未知数的值是否满足所列方程，检验该值在实际问题中是否有意义 一般两个根中只有一个符合实际意义 ⑥答 写出实际问题的答案 遵循“问什么答什么”的原则 2. 常见问题的数量关系 常见问题 等量关系 平均增长率(降低率)问题 a 为起始量，b 为终止量，平均增长率公式：a(1+x)n=b(x为平均增长率，n 为增长的次数)；平均降低率公式：a(1-x)n=b(x 为平均降低率，n 为降低的次数) 几何图形问题 涉及的常见计算与证明有三角形的三边关系、三角形全等、各种规则图形的面积、体积或周长公式 数字问题 (1)两位数= 十位上的数字×10 + 个位上的数字； (2) 三位数= 百位上的数字×100 + 十位上的数字×10 + 个位上的数字 商品销售问题 利润= 售价- 进价；利润率=×100%；售价= 进价×(1 + 利润率)；总利润= 总售价- 总成本= 单件利润× 总销量 【题型一】一元二次方程的定义 1．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）关于的方程是一元二次方程，则的取值范围是（    ） A． B． C． D．0 【答案】A 【知识点】一元二次方程的定义 【分析】本题考查了一元二次方程的定义． 根据一元二次方程的定义，二次项系数不为零，直接求解即可． 【详解】解：∵关于的方程是一元二次方程， ∴， 解得：， 故选：A． 2．（23-24八年级下·安徽池州·期末）若关于的方程是一元二次方程，则 ． 【答案】 【知识点】一元二次方程的定义 【分析】本题考查了一元二次方程，熟记定义是解题关键． 根据一元二次方程的定义（只含有一个未知数，并且未知数的最高次数2的整式方程，叫做一元二次方程）即可得． 【详解】解：∵关于的方程是一元二次方程， ∴， 解得， 故答案为：． 【题型二】化成一元二次方程的一般式 3．（22-23八年级下·安徽亳州·期末）把一元二次方程化成一般形式，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】化成一元二次方程的一般式 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，能熟记一元二次方程一般形式的特点是解此题的关键，一元二次方程的一般形式是（、、为常数，）． 【详解】解：根据题意得：， ， ， 故选：D． 4．已知一元二次方程，将其化成二次项系数为正数的一般形式后，它的常数项是 ． 【答案】 【知识点】化成一元二次方程的一般式 【分析】本题考查一元二次方程的一般形式，需将方程化为二次项系数为正的一般形式后确定常数项． 【详解】解：展开方程，得． 由于二次项系数为负，方程两边乘以，得． 因此常数项为． 故答案为：． 【题型三】判断是否是一元二次方程 5．下列方程是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】判断是否是一元二次方程 【分析】本题考查的是一元二次方程的定义，熟知只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程是解答此题的关键．根据一元二次方程的定义对各选项进行逐一分析即可． 【详解】解：A、，方程有2个未知数，不是一元二次方程，不符合题意； B、，方程不是整式方程，不是一元二次方程，不符合题意； C、，方程是一元二次方程，符合题意； D、，方程是一元一次方程，不符合题意； 故选：C． 【题型四】由一元二次方程的定义求参数 6．（24-25八年级下·安徽合肥·月考）一元二次方程的二次项系数和一次项系数分别是（　　） A． B．2，1 C．0，1 D． 【答案】A 【知识点】由一元二次方程的定义求参数 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，解题的关键是掌握一元二次方程一般形式，其中是二次项系数，是一次项系数，是常数项． 根据一元二次方程一般形式的定义，即可求解． 【详解】解：一元二次方程的二次项系数是，一次项系数是， 故选A． 7．若方程是关于的一元二次方程，则 ． 【答案】 【知识点】由一元二次方程的定义求参数、一元二次方程的定义 【分析】此题主要考查了一元二次方程的定义：含有一个未知数，且未知数的最高次幂是2次的整式方程，特别注意二次项系数不为0，正确把握定义是解题关键． 根据一元二次方程的定义得到，即可求解． 【详解】解：由题意得，， 解得：， 故答案为：． 【题型五】判断是否是一元二次方程的解 8．列表法解方程，可能不是最直接或最高效的方法，但在某些情况下，它可以作为一种可视化的工具来帮助我们理解方程的解，如下表，根据表格可知方程：的解是（   ） 0 1 2 3 ... ... A． B． C．或 D．或 【答案】D 【知识点】判断是否是一元二次方程的解 【分析】本题考查列表法求一元二次方程的解，将方程变形为 ，从表格中找出使该式值为6的x值，即为方程的解． 【详解】解：∵ 可化为 ， 由表可知，当 或 时，， ∴ 方程的解为 或 ． 故选：D． 9．（24-25八年级下·安徽淮北·期中）已知是方程的一个根，则代数式的值为 ． 【答案】 【知识点】判断是否是一元二次方程的解 【分析】本题考查一元二次方程的解，由是方程的一个根，得到，则，然后利用整体代入求值即可， 【详解】解：将a代入代数式可得： ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【题型六】由一元二次方程的解求参数 10．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）已知关于x的方程： 的一个根是，则m的值为（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】A 【知识点】由一元二次方程的解求参数 【分析】本题考查一元二次方程的根，将已知根代入方程，解关于m的方程即可． 【详解】解：将代入方程， 得：， 解得， 故选A． 11．（24-25八年级下·安徽池州·期末）若关于x的一元二次方程的一个解为，则a的值是 ． 【答案】4 【知识点】由一元二次方程的解求参数 【分析】本题考查了一元二次方程的解，解一元二次方程，由题意可得，，求解即可，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程的一个解为， ∴，， 解得， 故答案为：． 12．（24-25八年级下·安徽淮北·月考）定义：如果一元二次方程（）满足，那么称这个方程为“联合方程”． (1)判断一元二次方程是否为“联合方程”，说明理由； (2)已知是关于的“联合方程”，若是此“联合方程”的一个根，求和的值． 【答案】(1)该方程是“联合方程”，见解析 (2)的值为，的值为6 【知识点】加减消元法、由一元二次方程的解求参数 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，解二元一次方程组，正确理解一元二次方程的解得概念是解题的关键． （1）根据“联合方程”的定义进行计算即可； （2）根据题意得到二元一次方程组，解方程即可． 【详解】（1）解：该方程是“联合方程”，理由如下： 在一元二次方程中，，，， ， 一元二次方程是“联合方程”； （2）解：是关于的“联合方程”， ， 是此“联合方程”的一个根， ， 即， 解得， 的值为，的值为6． 【题型七】一元二次方程的解的估算 13．（22-23八年级下·安徽六安·期中）根据下表的对应值，试判断一元二次方程 的一个解的取值范围是（　　） x 1 4 0.06 0.02 A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】一元二次方程的解的估算 【分析】利用表中数据得到，于是可判断x在范围内取某一个值时，，所以得到一元二次方程的一解的取值范围． 【详解】解：∵当时，当时， ∴当x在中取一个值时，， ∴一元二次方程的某一个解的取值范围是． 故答案为：C． 【点睛】本题考查了估算一元二次方程的近似解：用列举法估算一元二次方程的近似解． 14．根据下列表格的对应值，由此可判断方程必有一个解x的取值范围是 ． x 1 1.1 1.2 13 14.41 15.84 【答案】 【知识点】一元二次方程的解的估算 【分析】本题考查了一元二次方程的解．利用表中数据得到时，，时，，则可判断时，有一个解满足． 【详解】解：由题意得 x 1 1.1 1.2 13 14.41 15.84 ∴当时，； 当时，， ∴当时，必有一个解， ∴x的取值范围是． 故答案为：． 【题型八】解一元二次方程——直接开平方法 15．（22-23八年级下·安徽安庆·期中）若关于x的一元二次方程两根为和3，则关于x的方程的实数根个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【知识点】解一元二次方程——直接开平方法、一元二次方程的解 【分析】根据关于x的一元二次方程两根为和3，可知或，分别解方程即可求解． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程两根为和3， ∴或， 解，得， ∴此方程无实数解； 解，得， ∴， ∴关于x的方程的实数根个数为2个， 故选：B． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解，以及解一元二次方程，根据方程的解得出或是解题的关键． 16．（24-25八年级下·安徽六安·月考）公元8世纪波斯数学家花拉子米被誉为代数学之父，他在《代数学》中列举了这样一道例题： 根的3倍与简单数4的和等于一个平方．用现代数学语言表示为：．即如图所示，正方形的边长为，，将正方形分成面积为的矩形和面积为4的矩形，取中点，构造边长为正方形，延长到，使，则有正方形，此时显然有，即，可以很容易求得该方程的一个正根 ；若令，，则 ． 【答案】 4 【知识点】解一元二次方程——直接开平方法 【分析】本题考查解一元二次方程，能够根据题意列出方程，利用直接开平方法求解方程是解题的关键． 由题意列出方程，利用直接开平方法解方程即可． 【详解】解：， ∴， ∴， 或， ∴该方程的一个正根； 由题意得， ∴， ∴， ∴或（舍去）， ， 故答案为：． 17．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）解方程：． 【答案】或 【知识点】解一元二次方程——直接开平方法 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握解一元二次方程的一般方法，准确计算．用直接开平方法，解一元二次方程即可． 【详解】解： 或， 解得：或． 【题型九】解一元二次方程——配方法 18．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）将一元二次方程配方后可化为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】解一元二次方程——配方法 【分析】本题考查配方法，根据配方法的步骤，一除，二移，三配，四变形，进行求解即可． 【详解】解：， ， ， ∴； 故选A． 19．（23-24八年级下·安徽淮北·月考）关于的方程，若通过配方得，则 ． 【答案】 【知识点】解一元二次方程——配方法 【分析】此题考查了配方法解一元二次方程，先移项，再进行配方，方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方，即可变形成左边是完全平方，右边是常数的形式． 【详解】 即 ∴ ∴ 依题意， ∴ ∴ 故答案为：． 20．（24-25八年级下·安徽安庆·月考）用配方法解方程： (1) (2)． 【答案】(1)， (2)， 【知识点】解一元二次方程——配方法 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握配方法解一元二次方程是解题的关键； （1）先化为，然后根据配方法解一元二次方程，即可求解； （2）先化为，然后根据配方法解一元二次方程，即可求解． 【详解】（1）解： 方程整理得：， 配方得：， 即， 开方得：或， ， （2）解： 方程整理得：， 配方得：， 即， 开方得：或， ， 【题型十】公式法解一元二次方程 21．（24-25八年级下·安徽六安·月考）用公式法解一元二次方程的根为，该方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】公式法解一元二次方程 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，解题的关键是掌握求根公式中字母所表示的意义．根据求根公式解答即可． 【详解】解：由知：，，． 所以该一元二次方程为：． 故选：D． 22．（22-23八年级下·安徽滁州·期中）用公式法解关于x的一元二次方程，得，则该一元二次方程是 ． 【答案】 【知识点】公式法解一元二次方程 【分析】根据公式法的公式，可得方程的各项系数，即可解答． 【详解】解：根据与，可得， 从而得到一元二次方程为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了用公式法解一元二次方程，熟记公式是解题的关键． 23．（22-23八年级下·安徽淮北·期末）解方程：． 【答案】， 【知识点】公式法解一元二次方程 【分析】先将方程化成一元二次方程的一般形式，再利用求根公式法求解即可． 【详解】解：方程可化为： ， ∴ ∴，． 【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，掌握运用公式法解一元二次方程是解答本题的关键． 【题型十一】因式分解法解一元二次方程 24．（24-25八年级下·安徽六安·期末）一元二次方程的根是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】因式分解法解一元二次方程 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、公式法，熟练掌握各种方法是解答本题的关键．用因式分解法求解即可． 【详解】解：， 或， ， 故选：B． 25．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）方程的根是 ． 【答案】， 【知识点】因式分解法解一元二次方程 【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 先将方程整理成一般形式，然后利用因式分解法解方程即可． 【详解】解： 解得， 故答案为：，． 26．（24-25八年级下·安徽六安·月考）解一元二次方程． 【答案】， 【知识点】因式分解法解一元二次方程 【分析】本题考查了解一元二次方程——因式分解法，利用因式分解法进行求解即可． 【详解】解： 或， 解得，． 【题型十二】换元法解一元二次方程 27．（24-25八年级下·安徽淮北·月考）已知关于x的一元二次方程的解是，，则另一个关于x的方程的解是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【知识点】换元法解一元二次方程 【分析】本题考查了一元二次方程的解．熟练掌握一元二次方程的解是解题的关键．换元法解一元二次方程，令，则方程即为方程，根据题意可得方程的解是，；则或，据此求解即可． 【详解】解：令，则方程即为方程， ∵方程的解是， ∴方程的解是，， ∴或， 解得，，， ∴方程的解是，，． 故选：B． 28．（24-25八年级下·安徽安庆·月考）关于的方程的解是，（、、均为常数，）． 问题： （1）关于的方程的根是 ； （2）关于的方程的根为 ． 【答案】 ， ， 【知识点】换元法解一元二次方程 【分析】本题考查了解一元二次方程，掌握运用换元法解一元二次方程是解题的关键． （1）将看作整体，由题意可知再求解即可； （2）仿照（1）计算即可． 【详解】解：（1）∵方程的解是，， ∴设，则可化为， ∴， ∴， 解得：． 故答案为：，． （2）设，则可化为， 即， ∵关于x的方程的解是，， ∴，，即， ∴， 解得：． 故答案为：，． 29．（24-25八年级下·安徽安庆·月考）阅读材料：为解方程，我们可以将视为一个整体，然后设，则，原方程化为. 解得， 当时，，∴.∴； 当时，，∴.∴. ∴原方程的解为，，，； 请利用以上知识解决下列问题： 如果，求的值. 【答案】 【知识点】换元法解一元二次方程 【分析】将视为一个整体，然后设则原方程化为．求得方程的解，进一步分析探讨得出答案即可． 此题考查换元法解一元二次方程，掌握整体的代换方法是解决问题的关键． 【详解】解：， 设， 则原方程化为， 即， ， 解得，， ∵不能是负数， ∴ 【题型十三】配方法的应用 30．（24-25八年级下·安徽蚌埠·期中）若一元二次方程 （a，b为常数），化成一般形式为，则a，b的值分别是（    ） A．，1 B．2，1 C．2， D．， 【答案】A 【知识点】配方法的应用 【分析】本题考查配方法的应用，将利用配方法转化为：，即可得出结论． 【详解】解： ∴， ∴； 故选：A． 31．（22-23八年级下·安徽阜阳·期末）将一元二次方程化成的形式 ． 【答案】 【知识点】配方法的应用 【分析】先移项，再在方程的两边都加上1，配方后可求解的值，从而可得答案． 【详解】解：， 移项得：， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是配方法的应用，掌握配方法的方法与步骤是解题的关键． 32．（22-23八年级下·安徽合肥·月考）“”这个结论在数学中非常有用，有时我们需要将代数式配成完全平方式，例如：，，，．试利用“配方法”解决下列问题： (1)填空：因为+ ；所以当_______时，代数式有最 （填“大”或“小”）值，这个最值为 ； (2)比较代数式与的大小． 【答案】(1)，，，小， (2) 【知识点】配方法的应用 【详解】（1）∵ ∴时，代数式有最小值，这个最小值为； 故答案为：，，，小， （2） ∵， ∴， ∴ 【点睛】本题考查了配方法的应用，解题的关键是利用作差法比较大小． 【题型十四】根据判别式判断一元二次方程根的情况 33．（24-25八年级下·安徽池州·期末）一元二次方程的根的情况是（    ） A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法判断 【答案】C 【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式；首先求出根的判别式的值，然后根据判别式的意义得出答案． 【详解】解：∵， ∴一元二次方程有两个不相等的实数根， 故选：C． 34．（23-24八年级下·安徽安庆·期末）一元二次方程的根的判别式的值为 ． 【答案】57 【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况 【分析】此题主要考查了根的判别式，正确记忆公式是解题关键． 直接利用根的判别式求出答案． 【详解】解：一元二次方程整理成一般形式为： ∴根的判别式的值是：． 故答案为57． 35．（23-24八年级下·安徽淮北·期中）关于的方程， (1)求证：方程恒有两个不相等的实数根； (2)若此方程的一个根为3，求的值． 【答案】(1)详见解析 (2) 【知识点】由一元二次方程的解求参数、根据判别式判断一元二次方程根的情况 【分析】本题考查根的判别式，一元二次方程的解，熟练掌握根的判别式与一元二次方程的根的个数之间的关系，是解题的关键： （1）求出判别式的符号，即可得出结论； （2）把代入方程，进行求解即可． 【详解】（1）证明：，，， ， 在实数范围内，无论取何值，都有，即． 关于的方程恒有两个不相等的实数根． （2）将代入方程， 可得， 解得． 【题型十五】根据一元二次方程根的情况求参数 36．（24-25八年级下·安徽宣城·期末）若方程没有实数根，则m的值可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．先根据根的判别式的意义得到，然后对各选项进行判断． 【详解】解：对于方程，其判别式为． 若方程无实数根，则需满足，即， 解得． 故选：D． 37．（24-25八年级下·安徽淮南·期末）若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】本题主要考查一元二次方程有实数根的条件，以及对完全平方非负性的理解． 原方程左边为完全平方形式，右边为常数表达式，由于左边，因此右边满足即可，无需展开方程计算判别式． 【详解】解：， 要使该方程有实数根，则， ． 故答案为：． 38．（24-25八年级下·安徽六安·期末）已知关于的一元二次方程． (1)求证：该方程总有两个不相等的实数根； (2)若是方程的一个根，求的值． 【答案】(1)证明见解析 (2)的值为 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数、根据判别式判断一元二次方程根的情况 【分析】此题考查了根据一元二次方程的根的判别式判断一元二次方程的根的情况，一元二次方程的解，掌握知识点的应用是解题的关键． （）求出，从而得证； （）将代入方程得：，然后求出的值即可． 【详解】（1）证明：， ∴该方程总有两个不相等的实数根； （2）解：将代入方程得：， 解得：， ∴的值为． 【题型十六】一元二次方程的根与系数的关系 39．（24-25八年级下·安徽淮南·期末）若关于x的一元二次方程的一个根是，则它的另一个根是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，已知方程的一个根为，利用根的和等于即可求出另一个根即可. 【详解】解：设该方程的另一个根为t，由题意得：， ∴另一个根为：； 故选 C． 40．（24-25八年级下·安徽阜阳·期中）若关于的方程的两根分别是，，则的值为 ． 【答案】 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，对于一元二次方程，若是该方程的两个实数根，则，由此可得，再代值计算即可得到答案． 【详解】解：∵关于的方程的两根分别是，， ∴， ∴， 故答案为：． 41．（24-25八年级下·安徽滁州·期末）已知关于的一元二次方程． (1)判断此方程根的情况，并说明理由． (2)若此方程的两个实数根都是整数，求符合条件的整数的值的和． (3)若此方程的两个实数根分别为，求代数式的值． 【答案】(1)此方程总有两个实数根，见解析 (2)0 (3)0 【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况、一元二次方程的根与系数的关系 【分析】本题考查了根的判别式、方程的解得定义、根与系数的关系：若是一元二次方程的两根时，，． （1）由根的判别式即可知； （2）根据韦达定理知，，由方程的两个实数根都是整数可得答案； （3）根据方程的解得定义得、，继而知，，两式相加可得． 【详解】（1）解：此方程总有两个实数根． 理由：， 不论为何值，， 此方程总有两个实数根． （2）解：设方程的两个根为， 则，． 此方程的两个实数根都是整数， 的值为， 符合条件的整数的值的和为0． （3）解：是方程的两个实数根， ，， ，， 以上两式相加，可得， 即． 【题型十七】传播问题(一元二次方程的应用) 42．有一人患了流感，经过两轮传染后共有100人患了流感，那么每轮传染中平均一个人传染给 个人． 【答案】9 【知识点】传播问题(一元二次方程的应用) 【分析】设每轮传染中平均每个人传染了x人，第一轮后有（1+x）人患了流感，第二轮后会传染给x（1+x）人，则两轮以后共有1+x+x（1+x）人得病，然后根据共有100人患了流感就可以列出方程求解． 【详解】解：设每轮传染中平均每个人传染了x人． 依题意得1+x+x（1+x）＝100， ∴x2+2x﹣99＝0， ∴x＝9或x＝﹣11（不合题意，舍去）． 所以，每轮传染中平均一个人传染给9个人． 故答案为：9． 【点睛】此题主要考查一元二次方程的应用，解题关键是正确理解题意列出方程． 43．（22-23八年级下·安徽合肥·期中）随着通信事业的日益发达，信息传播越来越快捷，如果有一个人收到一条信息后，转发了此信息，收到转发的信息的人中有会将其再转发给其他没有此信息的人，经过两轮转发后，共有169人收到此信息，请问平均每人每轮转发给几个人？ 【答案】21 【知识点】传播问题(一元二次方程的应用) 【分析】设平均每人每轮转发给个人，根据题意列出一元二次方程并求解，即可获得答案． 【详解】解：设平均每人每轮转发给个人， 根据题意可得，， 解得 ，（不合题意，舍去）， 答：平均每人每轮转发给21个人． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，理解题意，弄清数量关系是解题关键． 【题型十八】增长率问题(一元二次方程的应用) 44．（24-25八年级下·安徽池州·期末）某超市一月份的营业额是100万元，第一季度的总营业额是364万元，若设月平均增长率为x，则可列出的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】增长率问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设月平均增长率为，则二月份的营业额为万元，三月份为万元．第一季度的总营业额为一月、二月、三月的营业额之和，据此列方程． 【详解】解：设月平均增长率为，则二月份的营业额为万元，三月份为万元．根据题意得， 故选：C． 45．（24-25八年级下·安徽亳州·期中）某种品牌的手机经过四、五月份连续两次降价，每部售价由3200元降到了1600元．设平均每月降价的百分率为，根据题意列出的方程是 ． 【答案】 【知识点】增长率问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．利用该种品牌的手机经过两次降价后的价格，即可列出关于的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：根据题意得：． 故答案为：． 46．（24-25八年级下·安徽蚌埠·期末）在国家积极政策的鼓励下，中国新能源汽车的市场需求呈螺旋式上升，某汽车企业2023到2025这两年A型汽车年销售总量增加了，年销售单价下降了． (1)设2023年销售A型汽车总量为a万辆，销售单价为b万元，请用代数式填表： 年份 年销售A型汽车总量/万辆 年销售A型汽车单价/万元 年销售A型汽车总额/亿元 2023 ①______ 2025 ②______ (2)该汽车企业A型汽车这两年销售总额的年增长率相同，求年增长率． 【答案】(1) (2)该汽车企业型汽车这两年销售总额的年增长率为 【知识点】增长率问题(一元二次方程的应用)、列代数式 【分析】本题考查了代数式的应用，一元二次方程的应用，根据题意正确列出代数式和方程是解题的关键． （1）根据题意列代数式即可； （2）设该汽车企业型汽车这两年销售总额的年增长率为，根据题意，得，解方程即可． 【详解】（1）解：根据题意得，2023年销售型汽车总额为亿元， 2025年销售型汽车总额为亿元， 故答案为：； （2）解：设该汽车企业型汽车这两年销售总额的年增长率为， 根据题意，得， 解得（舍去）， 答：该汽车企业型汽车这两年销售总额的年增长率为． 【题型十九】与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 47．（24-25八年级下·安徽六安·月考）《田亩比类乘除捷法》是我国古代数学家杨辉的著作．其中有一个数学问题：“直田积八百八十一步，只云长阔共六十步，问长多阔几何？”译文：“一块矩形田地的面积为891平方步，只知道它的长与宽共60步，问它的长比宽多多少步？”则长比宽多（    ） A．3步 B．5步 C．6步 D．9步 【答案】C 【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用． 设矩形田地的长为步，则宽为步，根据面积公式列出一元二次方程，解方程后确定长和宽的具体数值，再求两者的差即可． 【详解】解：设长为步，则宽为步， ∴， 解得，， 当时，宽为步，满足长>宽，此时长比宽多（步）； 当时，宽为步，不符合长>宽的条件，舍去； 故选：C． 48．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）如图，在一块长、宽的矩形空地上修建同样宽的两条道路，剩余部分栽种花草，且栽种花草的面积为．则道路的宽为 ． 【答案】2 【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 设道路的宽度为，则两条路的面积为，根据栽种花草的面积为，即可得出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论． 【详解】解：设道路的宽度为， 依题意得：， 整理得：， 解得：（不合题意，舍去）， ∴道路的宽度为． 故答案为：2． 49．（23-24八年级下·安徽宣城·期中）如图，某部门举办广场舞比赛，在一块正方形绿地上搭建宽度为的临时舞台（阴影部分）．若舞台中间空白部分的面积为，求正方形绿地的边长． 【答案】 【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，设正方形绿地的边长为，用正方形的面积减去阴影部分的面积得到空白部分的面积，列出方程进行求解即可． 【详解】解：设正方形绿地的边长为，由题意，得： ， 解得：或（舍去）； 答：正方形绿地的边长． 【题型二十】数字问题(一元二次方程的应用) 50．（22-23八年级下·安徽滁州·月考）两个连续奇数的积为99，设其中较小的一个奇数为x，则可得方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】数字问题(一元二次方程的应用) 【分析】根据连续两个奇数相差2，得到较大的一个奇数为，由此列得方程． 【详解】解：设其中较小的一个奇数为x，则较大的一个奇数为， 则， 故选：B． 【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，正确理解题意表示出较大的一个奇数是解题的关键． 51．（22-23八年级下·安徽亳州·期中）两个连续奇数的积为，若设其中较小的奇数为，则可列方程为 ，这两个数分别为 ． 【答案】 或 【知识点】数字问题(一元二次方程的应用) 【分析】设其中较小的奇数为，则较大的奇数为，根据题意，列方程为，解方程即可． 【详解】设其中较小的奇数为，则较大的奇数为， 根据题意，得， 解得， 当时，； 当时，． 故答案为：，或． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，熟练掌握连续奇数的特点是解题的关键． 52．（22-23八年级下·安徽亳州·期中）一个两位数，十位数与个位数字之和是3，把这个数的个位数与十位数字对调后，得到的新两位数与原来的两位数的乘积为252，求原来的两位数． 【答案】原来的两位数是12或21 【知识点】数字问题(一元二次方程的应用) 【分析】设原来的两位数十位上的数字为，则个位上的数字为，根据“新两位数与原来的两位数的乘积为252”列出一元二次方程，解方程即可得到答案． 【详解】设原来的两位数十位上的数字为，则个位上的数字为， 依题意得： ， 整理得：， 解得：，， 当时，， 当时，， 原来的两位数是12或21， 答：原来的两位数是12或21． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的实际运用，读懂题意，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【题型二十一】营销问题(一元二次方程的应用) 53．（22-23八年级下·安徽合肥·期中）某商店从厂家以每件18元的价格购进一批商品．该商品可以自行定价．据市场调查，该商品的售价与销售量的关系是：若每件售价a元，则可卖出件，但物价部门限定每件商品加价不能超过进货价的25%，如果商店计划要获利400元．则每件商品的售价应定为（    ） A．22元 B．24元 C．26元 D．28元 【答案】A 【知识点】营销问题(一元二次方程的应用) 【分析】根据利润和售价建立一元二次方程组，得到，解方程组得到售价，最后对售价的合理性进行判断即可得到最终的答案． 【详解】设商店的获利为元， 得， 当时，， 得， ， 解方程得元或元， 当元，， ∴元舍去， ∴元， 故选：A． 【点睛】本题考查一元二次方程的应用及性质，解题的关键是掌握一元二次方程的相关知识． 54．（24-25八年级下·安徽六安·期末）利用以下素材解决问题． 茶叶定价问题 素材1 安徽盛产茶叶，如黄山毛峰、六安瓜片、太平猴魁、祁门红茶等知名品牌．皖叶茶叶专卖店销售某品牌茶叶，其进价为每千克240元，按每千克400元出售，平均每周可售出200千克． 素材2 经市场调研发现：单价每下降10元，平均每周的销售量可增加40千克；单价每上涨10元，平均每周的销售量要减少10千克． 任务1 若该专卖店销售这种品牌茶叶要想平均每周获利41600元，请计算每千克茶叶应降价多少元？ 任务2 降价销售时，在平均每周获利41600元的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？ 任务3 若涨价销售，该专卖店销售这种品牌茶叶平均每周获利能达到41600元吗？若能达到，请计算每千克茶叶应涨价多少元？若不能，请说明理由． 【答案】任务1：每千克茶叶应降价元或元；任务2：八折；任务3：不能，理由见详解 【知识点】营销问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 任务1：根据单价每下降10元，平均每周的销售量可增加40千克；其进价为每千克240元，按每千克400元出售，平均每周可售出200千克，故列式得，再计算，即可作答． 任务2：由任务1得每周获利41600元，每千克茶叶应降价元或元；因为尽可能让利于顾客，则降价元，再列式运算得出按原售价的几折出售，即可作答． 任务3：计算每千克茶叶应涨价元，则每千克的销售利润为元，平均每周可售出千克，再列式计算，得，即可作答． 【详解】解：任务1：设每千克茶叶应降价元， 则每千克的销售利润为元， 平均每周可售出千克， 根据题意得， 整理得， 解得； ∴每千克茶叶应降价元或元； 任务2：由任务1得每周获利41600元，每千克茶叶应降价元或元； ∵尽可能让利于顾客 ∴每千克茶叶应降价元， 则， 即该店应按原售价的八折出售； 任务3：不能，理由如下： 设每千克茶叶应涨价元， 则每千克的销售利润为元， 平均每周可售出千克， 根据题意得， ∴ ∴ 则， 此方程无实数根， 故不能达到41600元． 【题型二十二】动态几何问题(一元二次方程的应用) 55．（24-25八年级下·安徽滁州·期中）如图，中，，，动点从点出发以速度向点移动，同时动点从出发以的速度向点移动，设它们的运动时间为． (1)根据题意知：____________，____________；（用含t的代数式表示） (2)为何值时，的面积等于四边形的面积的？ 【答案】(1) (2) 【知识点】动态几何问题(一元二次方程的应用)、列代数式 【分析】本题考查了列代数式、一元二次方程的应用． （1）根据路程速度时间，即可求解； （2）根据题意可得面积等于面积的，根据的面积等于三角形的面积的列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵动点从点出发以速度向点移动，同时动点从出发以的速度向点移动，设它们的运动时间为． ∴，， 则； 故答案为：． （2）解：∵的面积等于四边形的面积的， ∴面积等于面积的， ∴， 即， 解得． 答：当时，的面积等于四边形的面积的． 56．（23-24八年级下·安徽蚌埠·月考）如图中，，，．点P从A开始沿边向点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动，问：经过几秒，的面积等于 【答案】或 【知识点】动态几何问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．关键是用含时间的代数式准确表示和的长度，再根据三角形的面积公式列出一元二次方程，进行求解．设出运动所求的时间，可将和的长表示出来，代入三角形面积公式，列出等式，可将时间求出． 【详解】解：设点P，Q运动的时间为，则，，则， 的面积等于， ，即， 解方程得，，， 经过或时，的面积等于． 【题型二十三】行程问题(一元二次方程的应用) 57．一辆汽车以20m/s的速度行驶，司机发现前方路面26m处有情况，紧急刹车后汽车又滑行25m后停车，问刹车后汽车滑行到16m时约用了（　　） A．1s B．1.2s C．2s D．4s 【答案】A 【知识点】行程问题(一元二次方程的应用) 【分析】等量关系为：平均速度×时间=16，把相关数值代入即可求解． 【详解】解：设约用了x秒． 汽车每秒减少的速度为：20÷[25÷（20÷2）]=8， ∴16米时的平均速度为：[20+（20﹣8x）]÷2=20﹣4x． ∴（20﹣4x）×x=16， 解得：x1=1，x2=4， ∵20﹣8x＞0， ∴x=1， 故选：A． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，用到的知识点为：匀变速运动的物体的平均速度=初速度与末速度和的一半；每秒减少的速度等于初速度与末速度之差与所用时间的比值． 【题型二十四】其他问题(一元二次方程的应用) 58．（2025·安徽合肥·一模）在设计人体雕像时，使雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与全部的高度比，可以增加视觉美感．如图，按此比例设计一座高度为的雷锋雕像，雕像的下部应设计为多高？设雕像的下部高为，则所列方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】其他问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查一元二次方程方程的应用，根据使雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与全部的高度比，列出方程即可． 【详解】解：设雕像的下部高为，则：雕像的上部高为，由题意，得： ， 即：； 故选A． 59．（22-23八年级下·安徽合肥·期末）如图，点O是矩形内一点，则点O到四个顶点的距离满足关系式，若点O在对角线，，．则 ．    【答案】或 【知识点】其他问题(一元二次方程的应用) 【详解】根据、的值计算出的值，即可得到的值，再用表示出，即可得到关于的方程，求解即可． 【解答】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵点O在对角线上，， ∴， ∴， 整理得， 解得或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，正确解出的长是解题的关键． 60．（24-25八年级下·安徽阜阳·月考）某工厂生产一种零件，在质量检测环节，有两个检测指标分别对应代数式与，这关系到零件是否合格的判断，当这两个指标的值相等时，x取何值？ 【答案】或 【知识点】其他问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，根据题意可得方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：由题意得：， 整理得：， 解得：或， 答：当这两个指标的值相等时，或． 【题型二十五】握手、循环赛问题（一元二次方程的应用） 61．在一次同学聚会上，参加的每个人都与其他人握手一次，共握手95次，设参加这次同学聚会的有x人，可得方程（　　） A．x（x﹣1）＝190 B．x（x﹣1）＝380 C．x（x﹣1）＝95 D．（x﹣1）2＝380 【答案】A 【知识点】握手、循环赛问题（一元二次方程的应用） 【分析】设共有x人参加联欢会，每人与其他人只握一次手，则每个人需要握（x﹣1）次手，x个人一共需要握手x（x﹣1）次，握手是在两人之间进行，所以共握x（x﹣1）÷2次，已知共要握手95次，由此可得等量关系式：x（x﹣1）÷2＝95，解此方程即得多少人参加联欢会． 【详解】解：设共有x人参加联欢会，可得方程： x（x﹣1）÷2＝95， x（x﹣1）＝190． 故选：A． 【点睛】此题考查握手问题的一元二次方程的实际应用，正确理解握手问题的次数是解题的关键． 62．象棋是一种源自中国的传统棋类游戏，具有悠久的历史和深厚的文化底蕴．九年级（1）班利用课余时间开展象棋比赛，班主任要求每个选手都与其他选手恰好比赛一局，信息如下： (1)若该班级共有n个参赛选手，则每个选手都要与_______个选手比赛一局，比赛总共有______局； (2)求这次比赛共有多少个选手参加？ 【答案】(1) (2)45个 【知识点】握手、循环赛问题（一元二次方程的应用） 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，正确的列出方程，是解题的关键： （1）根据题意，列出代数式即可； （2）根据每局比赛必得2分，以及所获总分，列出一元二次方程，进行求解即可． 【详解】（1）解：该班级共有n个参赛选手，则每个选手都要与个选手比赛一局，比赛总共有局； （2）设这次比赛共有个选手参加，依题意，得， 解方程，得（不符合题意，舍） 答：这次比赛共有45个选手参加. 1 学科网（北京）股份有限公司 $