第07讲 概率初步（知识详解+18典例分析+习题巩固）2025-2026学年北师大版七年级数学下册同步讲义与测试

第07讲 概率初步（知识详解+18典例分析+习题巩固） 【知识点01】事件的认识 1. 事件的类型 事件的类型 定义 举例 必然事件 在一定条件下进行可重复试验时，有些事件一定会发生，这样的事件称为必然事件 在一个只装有红球的袋中摸球，摸出红球 不可能事件 在一定条件下进行可重复试验时，有些事件一定不会发生，这样的事件称为不可能事件 在一个只装有红球的袋中摸球，摸出白球 随机事件 在一定条件下进行可重复试验时，有些事件可能发生也可能不发生，这样的事件称为随机事件 在一个装有红球和白球的袋中摸球，摸出红球 2. “一定条件下”的意义 必然事件、不可能事件、随机事件的定义中所说的“一定条件下”是指试验在相同的条件下进行，不同的条件下可能会导致不同的事件归类. 【知识点02】事件发生的可能性 1. 一般地，随机事件发生的可能性是有大有小的。不同的随机事件发生的可能性的大小可能相同，也可能不同. 2. 事件发生的可能性 (1)必然事件：试验中必然发生的事件，其发生的可能性为100%或1 ； (2)不可能事件：试验中不可能发生的事件，其发生的可能性为0； (3)随机事件：试验中可能发生也可能不发生的事件，其发生的可能性介于0和1之间. 3. 描述随机事件发生的可能性大小的常用语 “可能性极小”“不太可能”“可能”“很可能”“可能性极大”等. 【知识点03】频率及其稳定性 1. 频率 在n次重复试验中，事件A发生了m次，则比值称为事件A发生的频率. 2. 频率的稳定性 一般地，在大量重复的试验中，一个随机事件发生的频率会在某一个常数附近摆动，这个性质称为频率的稳定性. 随着试验次数的增加，摆动的幅度将会越来越小. 【知识点04】用频率估计概率 1. 概率 我们把刻画一个事件发生的可能性大小的数值，称为事件发生的概率. 我们常用大写字母A，B，C等表示事件，用P(A)表示事件A发生的概率. 2. 用频率估计概率 从长期实践中，人们观察到对一般的随机事件，在做大量重复试验时，随着试验次数的增加，一个事件出现的频率总在一个常数的附近摆动，显示出一定的稳定性. 因此，我们可以通过做大量的重复试验，用一个随机事件发生的频率去估计它的概率. 3. 概率的取值范围 (1)必然事件发生的概率为1； (2)不可能事件发生的概率为0； (3)随机事件A发生的概率P(A)是0与1之间的一个常数. 【知识点05】等可能事件的概率 1. 等可能事件 设一个试验的所有可能的结果有n种，每次试验有且只有其中的一种结果出现. 如果每种结果出现的可能性相同，那么我们就称这个试验的结果是等可能的. 2. 概率公式 一般地，如果一个试验有n种等可能的结果，事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率为 【知识点06】游戏的公平性 1. 游戏公平性的含义 游戏对双方公平是指双方获胜的可能性相等，即若游戏双方获胜的概率相等，则游戏对双方公平；否则，游戏对双方不公平.并不是指每方获胜的概率必是，而是指只要获胜的概率相等即可 2. 在设计游戏时需注意的事项 (1)必须保证游戏中各类事件的发生都具有等可能性，即试验中，如果总设计有n种可能的结果，那么每种结果发生的可能性都相等，即机会相等，即每种结果发生的概率均为.设计游戏就是计算概率的逆向应用. (2)根据随机事件发生的概率的要求制订相应的游戏规则，选择合适的游戏工具. 【知识点07】几何概率模型 1. 几何图形中的概率 设某个几何图形的面积为S，其中事件A发生所在区域的面积为S′，由于对这个几何图形内的每个点，事件发生的可能性是相等的，因此我们可以得到事件A发生的概率P(A)＝. 2. 计算简单事件的概率的主要类型 (1)个数类型：如摸球、掷骰子等可以表示出所有可能出现的结果； (2)面积类型：如果随机试验是向S区域内掷一点，那么掷在区域S′(S′在S内)内的概率P＝. 【题型一】事件的分类 例1．（25-26七年级下·全国·周测）下列事件中，不可能事件是（    ） A．通常加热到100℃时，水沸腾 B．购买一张彩票中奖 C．煮熟的鸭子飞了 D．经过十字路口，遇到红灯 【答案】C 【知识点】事件的分类 【分析】不可能事件是指一定不会发生的事件. 煮熟的鸭子无法飞行，因此是不可能事件；其他选项均为可能事件． 【详解】解：煮熟的鸭子已死亡，无法飞行， 该事件不可能发生，而A、B、D选项的事件均有可能发生． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了不可能事件的概念，解决本题的关键是熟练掌握概念． 变式1．（25-26七年级下·全国·单元测试）“打开电视机，正在播放新闻”是 （填“必然”“不可能”或“随机”）事件． 【答案】随机 【知识点】事件的分类 【分析】本题考查了随机事件，正确理解随机事件的意义是解题的关键． 根据事件的定义，打开电视机时正在播放新闻可能发生也可能不发生，因此是随机事件． 【详解】解：随机事件是指在一定条件下可能发生也可能不发生的事件．“打开电视机，正在播放新闻”有可能发生，也有可能不发生，因为电视机可能播放新闻或其他节目，所以这是一个随机事件． 故答案为：随机． 变式2．（24-25七年级下·全国·随堂练习）将下列事件按照发生的可能性由小到大进行排列． （1）有一个分数的分子比分母小； （2）一名10岁儿童每小时可以跑10km； （3）正数大于负数． 【答案】按照发生的可能性由小到大排列为（2）（1）（3） 【知识点】事件的分类 【分析】此题主要考查了可能性大小，一般地必然事件的可能性大小为1，不可能事件发生的可能性大小为0，随机事件发生的可能性大小在0至1之间．事件的可能性主要看事件的类型，事件的类型决定了可能性及可能性的大小．据此回答即可． 【详解】解：（1）有一个分数的分子比分母小，为随机事件，发生的可能性在0至1之间； （2）一名10岁儿童每小时可以跑，为不可能事件，发生的可能性为0； （3）正数大于负数，为必然事件，发生的可能性为1． ∴按照发生的可能性由小到大排列为（2）（1）（3）． 【题型二】判断事件发生的可能性的大小 例2．（24-25七年级下·全国·期末）不透明的袋子中装有标号为1，2，2，3，3，3的完全相同的六个小球，从中任意摸出一个球，则最有可能摸到的标号是（    ） A．1 B．2 C．3 D．不确定 【答案】C 【知识点】判断事件发生的可能性的大小 【分析】本题考查的是对可能性大小的判断，用到的知识点为：可能性等于所求情况数与总情况数之比．根据题意得到相应的可能性，然后再比较即可． 【详解】解：摸到标号为1的球的可能性为， 摸到标号为2的球的可能性为， 摸到标号为3的球的可能性为， ∵， ∴摸到标号为3的球的可能性最大． 故选：C． 变式1．（24-25七年级下·河南郑州·期末）转动如图的转盘一周以上，指针指向 区域的可能性最小．（填“红”、“黄”“蓝”或“黑”） 【答案】蓝 【知识点】判断事件发生的可能性的大小 【分析】本题考查了可能性的大小． 根据图像作答即可． 【详解】解：由图可知，转动如图的转盘一周以上，指针指向蓝区域的可能性最小． 故答案为：蓝． 变式2．（24-25七年级下·陕西咸阳·期中）掷一枚质地均匀的骰子，估计下列事件发生的概率，并将这些事件的序号按发生的可能性从大到小的顺序排列． （1）面朝上的点数大于0； （2）面朝上的点数是7； （3）面朝上的点数是3的倍数． 【答案】见解析 【知识点】判断事件发生的可能性的大小 【分析】本题考查求概率，根据概率公式进行计算即可． 【详解】解：（1）面朝上的点数大于0，是必然事件，故； （2）面朝上的点数是7，是不可能事件，故； （3）面朝上的点数是3的倍数有3，6两种情况，故； 按发生的可能性从大到小的顺序排列为． 【题型三】求某事件的频率 例3．抛掷两枚均匀的硬币，当抛掷次数很多以后，两个硬币出现一个正面朝上一个反面朝上的频率值大约稳定在（    ） A．25% B．50% C．75% D．33.3% 【答案】B 【知识点】求某事件的频率 【分析】先计算出两个硬币出现一个正面朝上一个反面朝上的概率，从而得到频率值的估计值． 【详解】解：抛掷两枚均匀的硬币， 可能出现：两个正面朝上、两个反面朝上、一个正面朝上一个反面朝上、一个反面朝上一个正面朝上共4种情况， ∴出现一个正面朝上一个反面朝上的概率为=50%， 即出现一个正面朝上一个反面朝上的频率值大约稳定在50%， 故选B． 【点睛】本题考查了概率的求法，解题的关键是理解频率和概率的关系． 变式1．（24-25七年级下·全国·课后作业）数据观念某种绿豆在相同条件下发芽情况的试验结果如下表所示．根据表中数据我们发现当参与试验的这种绿豆的粒数很大时，它的发芽率会在一个常数 （结果精确到）附近摆动，即这种绿豆的发芽率具有 ． 每批粒数 500 1000 2000 3000 发芽的粒数 463 930 1862 2793 发芽率 【答案】 稳定性 【知识点】求某事件的频率 【分析】本题考查了频率的稳定性，分析表格频率特点是关键． 根据“大量重复实验时，事件发生的频率会在某一个常数附近摆动，并且摆动的幅度越来越小，这个性质称为频率的稳定性”解答即可． 【详解】解：观察表格发现，随着试验次数的增多，绿豆发芽的频率逐渐稳定到（结果精确到）左右， ∴绿豆的发芽率具有稳定性． 故答案为：，稳定性． 变式2．（24-25七年级下·陕西汉中·期中）数学兴趣小组为探究事件A发生的概率，进行试验并将数据汇总填入下表： 试验总次数n 100 200 500 800 1000 事件A出现的次数m 34 64 160 b 330 事件A发生的频率 0.34 a 0.32 0.33 0.33 (1)表中______，______； (2)根据上表，完成折线统计图． 【答案】(1)；264 (2)见解析 【知识点】折线统计图、求某事件的频率 【分析】本题考查了频率和折线统计图，熟练掌握频率的计算方法是解题的关键． （1）根据题意，得，，解答即可． （2）根据题意，画出图即可． 【详解】（1）解：根据题意，得，， 解得． （2）解：根据题意，折线图画图如下： 【题型四】概率的意义理解 例4．（24-25七年级下·四川成都·期末）下列说法合理的是（ ） A．小明做了3次抛瓶盖的实验，发现2次盖口向上，由此他说盖口向上的概率是 B．某彩票的中奖概率是，因此买100张彩票一定会有5张中奖 C．某射击运动员射击一次只有“中靶”与“不中靶”两种可能的结果，所以它们发生的概率都是 D．小明掷一枚质地均匀的硬币，他掷了3次，其中1次正面朝上、2次正面朝下．他认为再掷一次，正面朝上的概率是 【答案】D 【知识点】概率的意义理解 【分析】本题考查了概率的意义，准确熟练地进行计算是解题的关键． 根据概率的意义，逐一判断即可解答． 【详解】解：A、小明做了3次抛瓶盖的实验，发现2次盖口向上，由此他说盖口向上的概率是，是错误的，3次试验不能总结出概率，故A不符合题意； B、某彩票的中奖概率是，因此买100张彩票不一定会有5张中奖，故B不符合题意； C、某射击运动员射击一次只有“中靶”与“不中靶”两种可能的结果，所以它们发生的概率都是，是错误的，“中靶”与“不中靶”不是等可能事件，故C不符合题意； D、小明掷一枚质地均匀的硬币，他掷了3次，其中1次正面朝上、2次正面朝下．他认为再掷一次，正面朝上的概率是，故D符合题意； 故选：D． 变式1．（24-25七年级下·河北邯郸·期末）连续抛掷一枚质地均匀的一元硬币9次，出现了8次正面朝上，则第10次抛掷该硬币出现正面朝上的概率是 ． 【答案】/ 【知识点】概率的意义理解 【分析】根据概率的意义可知，每一次正面朝上的概率都为，据此即可求解． 【详解】解：每一次正面朝上的概率都为， 第10次抛掷该硬币出现正面朝上的概率是． 故答案为： 变式2．计算下列事件发生的概率并将你算出的概率标在下图中．（标序号）   (1)十五的月亮就像一个弯弯细勾； (2)正常情况下，气温低于零摄氏度，水会结冰； (3)任意掷一枚六面分别写有、、、、、的均匀骰子，“”朝上； (4)从装有个红球，个白球，个黄球的口袋中任取一个球，恰好是白球（这些球除颜色外完全相同）． 【答案】(1)0，标序号见解析 (2)1，标序号见解析 (3)，标序号见解析 (4)，标序号见解析 【知识点】判断事件发生的可能性的大小、概率的意义理解 【分析】根据随机事件的概率问题，正确理解概率的性质就能很快的得到答案． 【详解】（1）解：十五的月亮就像一个弯弯细勾，不可能发生，故概率为0； （2）正常情况下，气温低于零摄氏度，水会结冰，一定发生，故概率为1； （3）任意掷一枚六面分别写有1、2、3、4、5、6的均匀骰子，“3”朝上的概率为； （4）从装有6个红球，20个白球，4个黄球的口袋中任取一个球，恰好是白球的概率为． 【点睛】本题主要考查了随机事件的概率问题，难度适中． 【题型五】关于频率与概率关系说法的正误 例5．（24-25七年级下·河北保定·期末）如图，显示了用计算机模拟随机投掷一枚图钉的某次试验的结果．下面的推断合理的是（　　） A．当投掷次数是500时，计算机记录“钉尖向上”的次数是308，所以“钉尖向上”的概率是 B．当投掷次数是6000时，“钉尖向上”的频率一定是 C．随着试验次数的增加，“钉尖向上”的频率总在附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“钉尖向上”的概率是 D．若再次用计算机模拟此试验，则当投掷次数为1000时，“钉尖向上”的频率一定仍是 【答案】C 【知识点】关于频率与概率关系说法的正误 【分析】本题主要考查了用频率估计概率，计算频率，大量反复试验下频率的稳定值即为概率值，频率等于频数除以总数，每次试验频率的值都有可能发生变化，据此可得答案． 【详解】解：A、当投掷次数是500时，计算机记录“钉尖向上”的次数是308，所以此时“钉尖向上”的频率是： ，但“钉尖向上”的概率不一定是，原说法错误，不符合题意； B、当投掷次数是6000时，“钉尖向上”的频率不一定是，原说法错误，不符合题意； C、随着实验次数的增加，“钉尖向上”的频率总在附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“钉尖向上”的概率是，原说法正确，符合题意； D、若再次用计算机模拟实验，则当投掷次数为1000时，“钉尖向上”的概率可能是，但不一定是，原说法错误，不符合题意． 故选：C． 变式1．下表显示了在同样条件下对某种小麦种子进行发芽实验的部分结果． 试验种子数n（粒） 1 5 50 100 200 500 1000 2000 3000 … 发芽频率m 0 4 45 92 188 476 951 1900 2850 … 发芽频率 0 0.8 0.9 0.92 0.94 0.952 0.951 0.95 0.95 … 则下列推断： ①随着试验次数的增加，此种小麦种子发芽的频率总在0.95附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计此种小麦种子发芽的概率是0.95； ②当试验种子数为500粒时，发芽频率是476，所以此小麦种子发芽的概率是0.952； ③若再次试验，则当试验种子数为1000时，此种小麦种子发芽的频率一定是0.951； 其中合理的是 （填序号） 【答案】① 【知识点】关于频率与概率关系说法的正误 【分析】根据表中信息，当随着小麦种子粒数的增加，小麦的发芽率越来越稳定，可以用频率估计概率． 【详解】解：①随着试验次数的增加，从第500粒开始，此种小麦种子发芽的频率分别是0.952、0.951、0.95、0.95总在0.95附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计此种小麦种子发芽的概率是0.95，故正确； ②当试验种子数为500粒时，发芽频数是476，此时小麦种子发芽的频率是0.952，不能说明小麦种子发芽的概率就是0.952，此推断错误； ③若再次试验，则当试验种子数为1000时，此种小麦种子发芽的频率不一定是0.951，此推断错误； 故答案为：①． 【点睛】本题主要考查利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：频率=所求情况数与总情况数之比． 变式2．王强和李刚在学习概率时，做掷骰子（质地均匀的正方体形状）试验，他们共掷了60次，出现朝上点数的次数如下表： 朝上点数 1 2 3 4 5 6 出现次数 8 11 6 9 16 10 (1)计算出现朝上点数为3的频率及出现朝上点数为5的频率． (2)根据以上试验，王强说：“根据试验结果，一次试验中出现朝上点数为5的概率最大．”李刚说：“如果掷600次，那么出现朝上点数为6的次数正好是100次．”这两名学生的说法是否正确？为什么？ 【答案】(1)出现向上点数为3的频率是，出现向上点数为5的频率 (2)都不正确，理由见解析 【知识点】关于频率与概率关系说法的正误、根据数据描述求频率 【分析】本题考查了频率（频数）和概率． （1）求一个点数朝上的频率，就是用出现的次数除以抛的总次数即可； （2）根据概率的概念和概率公式，可知各类数出现的概率一样大，都为．由于频数的随机性，试验次数扩大10倍时，频数不一定正好扩大为原来频数的10倍，可得结论． 【详解】（1）解：出现向上点数为3的频率：， 出现向上点数为5的频率：， 即出现向上点数为3的频率是，出现向上点数为5的频率； （2）解：王强和李刚的说法都不正确，理由如下： 他们混淆了频率与概率的概念．概率是确定的常数，频率（频数）是不确定的、随机的．只有当试验次数足够大时，频率才稳定于概率这一数值．在该试验中，各类数出现的概率一样大，都为．由于频数的随机性，试验次数扩大10倍时，频数不一定正好扩大为原来频数的10倍 【题型六】由频率估计概率 例6．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）某科学研究院为研究一类新品种苹果树的成活率，在同一条件下进行移植试验，部分结果如下表所示： 移植总数n 400 750 1500 3500 7000 10000 成活总数m 369 682 1359 3192 6398 9130 成活率 0.923 0.909 0.906 0.912 0.914 0.913 估计这一类新品种苹果树成活的概率约为（    ） A．0.89 B．0.85 C．0.91 D．0.95 【答案】C 【知识点】由频率估计概率 【分析】本题考查了利用频率估计概率，根据频率估计概率的原理，当试验次数很大时，事件发生的频率会稳定在概率附近，由表格数据可知，随着移植总数增加，成活率稳定在0.91左右，据此求解即可． 【详解】解：由表格数据可知，随着移植总数增加，成活率稳定在0.91左右． ∴估计这一类新品种苹果树成活的概率约为0.91． 故选：C． 变式1．（22-23七年级下·陕西汉中·期末）某射手在相同条件下进行射击训练．结果如下： 射击次数 10 20 40 50 100 200 500 1000 击中靶心的频数 9 19 37 45 89 181 449 901 击中靶心的频率 在相同条件下，该射手射击一次，击中靶心的概率的估计值是 ．（精确到） 【答案】 【知识点】由频率估计概率 【分析】本题考查了利用频率估计概率的思想，解题的关键是根据每一次事件的频率，然后即可估计概率解决问题． 根据表格中实验的频率，然后根据频率即可估计概率． 【详解】解：由击中靶心频率都在上下波动， 所以该射手击中靶心的概率的估计值是， 故答案为：． 变式2．（24-25七年级下·陕西咸阳·期中）某渔民准备将自家的鱼塘转让出去，现在需要通过估计鱼塘中鱼的数量来估算鱼塘的价值．他从鱼塘中打捞了200条鱼，在每一条鱼身上做好标记后，把这些鱼放归鱼塘，经过一段时间后，再从鱼塘中打捞鱼．通过多次试验得到数据如下表所示： 每次打捞鱼数 50 100 200 300 500 每次打捞鱼中带标记的鱼数 4 11 19 31 打捞到带标记的鱼的频率 0.080 0.095 0.103 0.100 根据表中数据，回答下列问题： (1)表中_____，_____； (2)随机从鱼塘中打捞一条鱼，估计打捞到带标记的鱼的概率．（结果精确到0.1） 【答案】(1)0.11；50 (2)0.1 【知识点】由频率估计概率 【分析】本题考查利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率． （1）根据频率=频数÷总数求解即可； （2）利用频率估计概率即可． 【详解】（1）解：，； 故答案为：0.11，50； （2）解：根据表中数据估计打捞到带标记的鱼的概率为0.1． 【题型七】用频率估计概率的综合应用 例7．（24-25七年级下·山东烟台·期中）如图，是根据“用频率估计概率”的实验统计的某一结果出现的频率，绘制了如图的折线统计图，则符合这一结果的实验最有可能的是（     ） A．小明和小刚做“石头、剪刀、布”游戏（结果可能出现胜、负、平），小明获胜 B．一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃 C．投掷一枚图钉，尖朝上 D．掷一个质地均匀的正六面体骰子，向上的面点数是偶数 【答案】D 【知识点】用频率估计概率的综合应用 【分析】此题考查了利用频率估计概率．根据统计图可知，试验结果在附近波动，即其概率，计算四个选项的概率，约为的即为正确答案． 【详解】解：试验结果在附近波动，即其概率， A、小明和小刚做“石头、剪刀、布”游戏（结果可能出现胜、负、平），小明获胜的概率为，故A选项错误； B、一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃的概率是；故B选项错误； C、投掷一枚图钉，尖朝上的概率无法判断，故C选项错误； D、掷一个质地均匀的正六面体骰子，向上的面点数是偶数是，故D选项正确； 故选：D． 变式1．（2025·贵州·一模）在一个不透明的盒子中有3个红球、若干个白球，这些球除颜色外都相同．从中随机摸出1个球，记下颜色后放回．通过大量重复摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在左右，则盒子中球的总个数大约是 ． 【答案】15 【知识点】用频率估计概率的综合应用 【分析】本题考查了用频率估计概率，利用频率估计概率是解题的关键．由题意得，利用红球个数除以摸到红球的频率，可估计出球的总数即可求解． 【详解】解：由题意得，估计盒子中球的总个数为（个）， 故答案为：15． 变式2．（24-25七年级下·福建漳州·期中）阅读下列材料，回答问题： 任务1：估计不规则封闭图形的面积 如图，地面上有一个不规则的封闭图形，为求得它的面积，小明在此封闭图形内画出一个边长为1米的正方形后，在附近闭上眼睛向封闭图形内丢掷绿豆（可把绿豆近似看成点），并记录如下数据（有效丢掷绿豆落在该封闭图形内，含边界）： 有效丢掷绿豆总次数m 50 150 300 600 绿豆落在正方形内（含正方形的边）的次数n 10 35 78 151 （1）当有效丢掷绿豆总次数时，绿豆落在正方形内（含正方形边上）的次数n最可能是______； A．150  B．230  C．251  D．510 （2）请根据表格中的数据估计，如果你随机丢掷一颗绿豆（落在该封闭图形内，含边界），那么该绿豆恰好落在正方形内（含正方形的边）的概率约为______（精确到）； （3）请你利用（2）中所得概率，估计该不规则封闭图形的面积； 任务2：估计圆周率的大小 （4）关于圆周率，数学发展史上出现过许多有创意的求法，小华借鉴任务1的探究思路，设计一个估算圆周率的实验，如图，地面上有一个边长为3米的正方形，在此正方形内画出一个半径为米的圆．在正方形外闭上眼睛向正方形内掷绿豆（可把绿豆近似看成点），大量重复实验记录数据，小华将有效丢掷绿豆总次数计为a，绿豆落在圆内（含圆的边）的次数记为b．当a很大时，绿豆落在圆内（含圆的边上）的频率值稳定在，则______（用字母a，b表示） 【答案】（1）C；（2）；（3）估计该不规则封闭图形的面积约是平方米；（4）． 【知识点】用频率估计概率的综合应用 【分析】本题考查了利用频率求概率，熟练掌握概率公式是解题的关键． （1）观察数据，根据大量试验时，频率可估计概率找到稳定值进行估计即可； （2）大量试验时，频率可估计概率； （3）利用概率，用正方形面积：封闭图形的面积概率建立方程求解； （4）如图，地面上有一个边长为3米的正方形，在此正方形内画出一个半径为米的圆，在正方形外闭上眼睛向正方形内掷绿豆(可把绿豆近似看成点)，大量重复实验记录数据，根据频率可估计概率即可求解． 【详解】解：（1）观察表格得：随着投掷次数的增大，绿豆落在正方形内（含正方形边上）的频率值稳定在， ∴如果你掷一次绿豆，那么绿豆落在正方形内（含正方形边上）的概率约为， 当掷绿豆所落的总次数时，绿豆落在正方形内（含正方形边上）的次数最可能为，只有比较接近， 故选：C； （2）由（1）可知如果你掷一次绿豆，那么绿豆落在正方形内（含正方形边上）的概率约为， 故答案为：； （3）设封闭图形的面积为， 根据题意得：， 解得：， 即：估计整个不规则封闭图形的面积约是平方米； （4）如图，地面上有一个边长为米的正方形，在此正方形内画出一个半径为米的圆， 在正方形外闭上眼睛向正方形内掷绿豆（可把绿豆近似看成点），大量重复实验记录如下： 有效丢掷绿豆总次数 绿豆落在圆内（含圆的边）的次数 当很大时，绿豆落在圆内（含圆的边上）的频率值稳定在， ∴如果掷一次绿豆，那么绿豆落在圆内（含圆的边上）的概率约为，则， ． 【题型八】列举随机实验的所有可能结果 例8．（24-25七年级下·西藏·自主招生）班级图书角有文学类、历史类、哲学类、自然类图书，扎西可随机从四类图书中任选两类阅读，他的选法有（    ） A．4种 B．5种 C．6种 D．7种 【答案】C 【知识点】列举随机实验的所有可能结果 【分析】本题考查列举法，通过列举法，进行求解即可． 【详解】解：由题意，他的选法有：文学类、历史类；文学类、哲学类；文学类，自然类；历史类、哲学类；历史类、自然类；哲学类、自然类，共6种； 故选：C． 变式1．（2025·贵州遵义·模拟预测）在一次数学活动课上，李老师带学生做一个数学游戏，伸出右手，张开5指，然后任意弯曲两指，问同学们一共有多少种弯曲方式？同学们通过讨论，得出共有10种弯曲方式．接下来，李老师又说，伸出左手，握成拳头，然后任意张开三指，请问一共有 种张开方式． 【答案】10 【知识点】列举随机实验的所有可能结果 【分析】此题考查了列举法求可能的情况，设5指分别为1，2，3，4，5，根据题意列举出所有可能得情况即可求解． 【详解】解：设5指分别为1，2，3，4，5 根据题意得，可能的情况有： ①1，2，3；②1，2，4；③1，2，5；④1，3，4；⑤1，3，5；⑥1，4，5； ⑦2，3，4；⑧2，3，5；⑨2，4，5；⑩3，4，5． ∴一共有10种张开方式． 故答案为：10． 【题型九】判断实验所得结果是否是等可能的 例9．下列随机试验中，结果具有“等可能性”的是（    ） A．掷一枚质地均匀的骰子 B．篮球运动员定点投篮 C．掷一个矿泉水瓶盖 D．从装有若干小球的透明袋子摸球 【答案】A 【知识点】判断实验所得结果是否是等可能的 【详解】解：A，掷一枚质地均匀的骰子，任一点数的概率都是六分之一，故该选项正确； B，篮球运动员定点投篮，投中与否的概率并不相等，故该选项错误； C，掷一个矿泉水瓶盖，因瓶盖质地不均匀，正反面出现的概率并不相等，故该选项错误； D，从装有若干小球的透明袋子摸球，摸到某一颜色小球的概率不一定相等，故该选项错误； 故选A． 【点睛】本题考查等可能事件的判断，掌握等可能事件的定义是解题的关键． 变式1．将一枚图钉抛起，落地后会出现“钉尖朝上”和“钉帽朝上”两种情况．有人认为这两种情况是等可能的，因此“钉尖朝上”的概率是．请判断该观点是否正确，并说明理由． 【答案】不正确，理由见解析 【知识点】判断实验所得结果是否是等可能的、概率的意义理解 【分析】本题主要考查概率的意义，判断实验所得结果是不是等可能的，熟练掌握以上知识点是做题的关键．根据概率的意义及判断“钉尖朝上”和“钉帽朝上”所得结果不是等可能的进行解答即可． 【详解】解：该观点不正确，理由如下： 因为图钉的构造不是对称的，其重心偏向一侧，所以落地时“钉尖朝上”和“钉帽朝上”两种结果发生的可能性不相等，因此“钉尖朝上”的概率不是，故该观点不正确． 【题型十】列举法求概率 例10．（24-25七年级下·山东烟台·期中）现有标有数字0，4，5的三张卡片，将这三张卡片任意摆成一个三位正整数，摆出的三位数不是5的倍数的概率是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】列举法求概率 【分析】本题考查了列举法求概率，熟练掌握概率公式是解题的关键． 根据题意列出所有可能，根据概率公式即可求解． 【详解】∵有数字0，4，5的三张卡片，将这三张卡片任意摆成一个三位正整数， ∴摆出的三位数有405，450，504，540， ∴共4种可能，其中不是5的倍数是504，有1个， ∴摆出的三位数不是5的倍数的概率是． 故选：C． 变式1．（2025·河南开封·三模）开封是一座历史悠久的古城，以其深厚的文化底蕴和令人垂涎的美食吸引着无数游客前来探访．为了进一步提升游客体验，某旅行社推出了免费品尝美食活动，每位游客可以从如图所示的四种美食中任选两种进行品尝，那么游客小华选到开封灌汤包和汴京烤鸭的概率为 ． 【答案】 【知识点】列举法求概率 【分析】该题考查了列举法求概率，先列举出所有可能情况，再由概率公式求解即可． 【详解】解：从四种美食中任选两种的所有可能情况有：（开封灌汤包，桶子鸡）、（开封灌汤包，花生糕）、（开封灌汤包，汴京烤鸭）、（桶子鸡，花生糕）、（桶子鸡，汴京烤鸭）、（花生糕，汴京烤鸭），共6种， 其中选到开封灌汤包和汴京烤鸭的情况只有1种，所以概率为． 故答案为：． 变式2．（24-25七年级下·江西九江·期中）某景区4月7日～13日一周的天气预报如下．小丽打算选择这期间的一天或两天去该景区旅游，求下列事件的概率： (1)随机选择一天，恰好天气预报是雨； (2)随机选择连续的两天，恰好天气预报都是晴． 【答案】(1) (2) 【知识点】列举法求概率 【分析】此题考查了列举法求概率的知识．熟练掌握列举法求概率是解答本题的关键． （1）随机选择一天，共有7种结果，天气预报是雨的有1天，直接利用概率公式求解即可求得答案； （2）首先利用列举法可得：随机选择连续的两天等可能的结果有：（4月7日晴，4月8日晴）、（4月8日晴，4月9日雨）、（4月9日雨，4月10日阴）、（4月10日阴，4月11日晴）、（4月11日晴，4月12日晴）、（4月12日晴，4月13日阴），天气预报都是晴的有2天，然后直接利用概率公式求解即可求得答案． 【详解】（1）随机选择一天，天气预报可能出现的结果有7种，即4月7日晴、4月8日晴、4月9日雨、4月10日阴、4月11日晴、4月12日晴、4月13日阴，并且这些结果出现的可能性相等．恰好天气预报是雨（记为事件）的结果有1种，即4月9日雨，所以． （2）随机选择连续的两天，天气预报可能出现的结果有6种，即（4月7日晴，4月8日晴）、（4月8日晴，4月9日雨）、（4月9日雨，4月10日阴）、（4月10日阴，4月11日晴）、（4月11日晴，4月12日晴）、（4月12日晴，4月13日阴），并且这些结果出现的可能性相等．连续两天恰好天气预报都是晴（记为事件）的结果有2种，即（4月7日晴，4月8日晴）、（4月11日晴，4月12日晴），所以． 【题型十一】根据概率公式计算概率 例11．（24-25七年级下·广东清远·期末）二十四节气是一种用来指导农事的历法，是中华民族劳动人民的智慧结晶．从二十四个节气中随机抽取一个节气，刚好抽到“惊蛰”这个节气的概率是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】根据概率公式计算概率 【分析】本题主要考查概率公式，解题关键是掌握随机事件A的概率事件A可能出现的结果数所有可能出现的结果数．根据概率公式求解即可． 【详解】解：从二十四个节气中随机抽取一个节气，刚好抽到“惊蛰”这个节气的概率是. 故选：A． 变式1．（25-26七年级下·全国·周测）如图，在一棋盘中，“马”的位置在图中虚线的下方，“马”移动一次能够到达的所有位置已用“·”标记，则“马”随机移动一次，到达的位置在虚线下方的概率是 ． 【答案】 【知识点】根据概率公式计算概率 【分析】根据概率公式直接计算即可． 【详解】解：“马”移动一次能够到达的所有位置共有个，在虚线下方的有个， “马”随机移动一次，到达的位置在虚线下方的概率是 ． 故答案为： ． 【点睛】本题考查了概率公式，解决本题的关键是理解题意，掌握概率公式． 变式2．（25-26七年级下·全国·期中）一次抽奖活动制作了如图所示的翻奖牌，翻奖牌的正面印有1～9的数字，反面是对应的奖品．将翻奖牌反面朝上，规定只能在9个数字中选中1个翻牌，请解决下面的问题： (1)直接写出抽到“手机”奖品的概率； (2)每张奖牌只能翻一次，翻过的奖牌不能再翻．若第一次没有抽到“手机”奖品，请求出第二次抽到“手机”奖品的概率； (3)请你根据上述规定重新设计翻奖牌反面的奖品，包含“手机”“微波炉”“球拍”“电影票”“谢谢参与”，并使得第一次抽到“球拍”的概率是． 【答案】(1)； (2)； (3)见解析． 【知识点】根据概率公式计算概率 【分析】（1）用“手机”的数量除以总数量即可； （2）第二次的抽取机会一共有8种可能，第二次抽到“手机”奖品的结果有2种，根据概率公式求解即可； （3）根据概率公式求解即可． 【详解】（1）解：抽到“手机”奖品的概率是； （2）解：由题意可得，第二次抽到的结果一共有8种，第二次抽到“手机”奖品的结果有2种，所以第二次抽到“手机”奖品的概率是； （3）解：示例：9张翻奖牌的反面有“球拍”4张，“手机”“微波炉”“电影票”各1张，“谢谢参与”2张． 【点睛】本题考查可能性大小，解题的关键是明确题意，能够写出各种可能性． 【题型十二】根据概率作判断 例12．（24-25七年级下·全国·课后作业）一个不透明的箱子中放有红、黄、黑三种颜色的小球，这些小球除颜色外都相同．三个人先后去摸球，一人摸一次，一次摸出1个小球，摸出后放回，摸出黑色小球的人赢（可以所有人都赢）．这个游戏是（   ） A．对所有人都公平 B．先摸者赢的可能性大 C．后摸者赢的可能性大 D．无法判断是否公平 【答案】A 【知识点】根据概率作判断 【分析】此题考查游戏公平性，解题关键在于利用概率进行分析． 三个人摸到每种球的概率均相等，所以游戏公平． 【详解】解：∵一个箱子中放有红、黄、黑三种小球，三个人先后去摸球，一人摸一次，一次摸出一个小球，摸出后放回， ∴三个人摸到每种球的概率均相等， ∴这个游戏是公平的． 故选：A． 变式1．（23-24七年级下·河南郑州·期末）小明利用质地均匀的骰子和小颖做游戏，规则如下： ①两人同时做游戏，各自掷一枚骰子，每人可以只掷一次骰子，也可以连续地掷几次骰子； ②当掷出的点数和不超过时，如果决定停止掷，那么你的得分就是所掷出的点数和；当掷出的点数和超过时，必须停止掷，并且你的得分为； ③比较两人的得分，谁的得分多谁就获胜． 在一次游戏中，小颖连续投掷两次，掷出的点数分别是，．小明也是连续投掷两次，掷出的点数分别是，．请问： (1)如果小颖继续掷，点数和不超过的概率是_____； (2)如果你是小明，你是决定继续掷还是决定停止掷？为什么？（请通过计算说明） (3)在做游戏的过程中，你认为该如何决定继续掷骰子还是停止掷骰子？ 【答案】(1) (2)停止掷，理由见解析 (3)见解析 【知识点】根据概率公式计算概率、根据概率作判断 【分析】本题主要考查简单的概率计算，确定所需情况数和掌握概率公式是解答本题的关键． （1）根据当前已掷出的点数和，即可求得小颖继续掷时，点数和不超过的概率； （2）分别计算出点数和超过和不超过的概率，比较大小即可解题； （3）根据已掷出的点数和前面掷的人的结果综合考虑来决定是否继续掷即可． 【详解】（1）解：由题可知：小颖已掷出的点数和为， 再掷一次，只有掷出点时，其点数和才会超过， 小颖继续掷，点数和不超过的概率是， 故答案为：； （2）解：停止掷； 理由如下： 小明前两次掷出的点数和是，若再掷一次，点数为，时，得分为 或 （小明得分或）； 点数为，，，时．得分为， （小明得分）． ， 停止掷． （3）解：一般来说，当前面掷出的点数和不超过时，应该继续掷； 当前面掷出的点数和在-之间时，可以选择继续掷； 当前面掷出的点数和在-之间时，可以选择停止掷； 当前面掷出的点数和为时，应该停止掷． 当然，如果你在后面掷，还要视前面掷的人的结果来决定是否继续掷． 【题型十三】已知概率求数量 例13．（24-25七年级下·四川成都·期末）一个不透明的袋子中有红球、白球共30个，这些球除颜色外都相同．将袋子中的球搅拌均匀，从中随意摸出1个球，记下它的颜色后放回袋中．不断重复这个过程，共摸了100次球，其中有40次摸到红球，由此可以估计袋子中红球的个数约为（    ） A．8 B．12 C．15 D．18 【答案】B 【知识点】已知概率求数量、由频率估计概率 【分析】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确．首先求出摸到红球的频率，用频率去估计概率即可求出袋子中红球约有多少个． 【详解】解：∵共摸了100次球，其中有40次摸到红球， ∴摸到红球的频率， ∴估计袋子中红球的数量为（个）． 故选：B． 变式1．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图所示的是一个可以自由转动的质地均匀的转盘，被分成了12个相同的扇形，其中 个扇形涂上红色， 个扇形涂上蓝色，可以使得转动的转盘自由停止时，指针指向红、蓝两色扇形的概率分别为，． 【答案】 4 3 【知识点】已知概率求数量 【分析】本题考查了概率的计算，掌握概率=所求情况数÷总情况数是解题的关键． 根据概率=所求情况数÷总情况数的公式，用总扇形数分别乘以红、蓝两种颜色对应的概率，计算出各自需要涂的扇形个数． 【详解】解：设个扇形涂上红色，个扇形涂上蓝色． 由P（指向红色扇形），P（指向蓝色扇形）， 得，， 解得，． 故答案为：4；3． 变式2．（23-24七年级下·贵州毕节·期末）一个不透明盒子中装有8张红色卡牌和6张白色卡牌，两种卡牌除颜色外完全相同，将盒子中的卡牌充分摇匀． (1)求随机取出一张卡牌是白色卡牌的概率； (2)为了使取出两种卡牌的概率相同，再向盒子中放入红色卡牌和白色卡牌共6张，求再放入的白色卡牌的张数． 【答案】(1) (2)再放入的白色卡牌的张数为4张 【知识点】根据概率公式计算概率、已知概率求数量 【分析】本题考查求概率，利用概率求数量，熟练掌握概率公式是解题的关键． （1）直接利用概率公式进行求解即可； （2）设再放入的白色卡牌张，进而得到放入红色卡牌张，根据取出两种卡牌的概率相同，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：随机取出一张卡牌是白色卡牌的概率为； （2）设再放入的白色卡牌张，则放入红色卡牌张，由题意，得： ， 解得：； 答：再放入的白色卡牌的张数为4张． 【题型十四】游戏的公平性 例14．（24-25七年级下·河南郑州·期中）一个不透明的箱子中放有1个红球、2个黄球和3个黑球，这些小球除颜色外都相同，小明、小芳、小雪三人先后去摸球，每人每次只能摸出一个球，每次摸出球后放回，摸出红球的人获得礼品（可以所有人都获得礼品）．你觉得这个游戏（    ） A．对所有人都公平 B．无法判断是否公平 C．先摸者获得礼品的可能性大 D．后摸者获得礼品的可能性大 【答案】A 【知识点】游戏的公平性 【分析】此题考查游戏公平性，三个人摸到每种球的概率均相等，所以游戏公平． 本题考查游戏公平性的判断，关键在于每次摸球后放回，使得每次摸到红球的概率相同． 【详解】解：∵小明、小芳、小雪三人每次摸到红球的概率均为， ∴游戏对所有人都公平， 故选：A． 变式1．（24-25七年级下·广东揭阳·期中）小兰和小青两人做游戏，如果小兰掷出的骰子的点数是偶数，则小兰赢．如果小青掷出的骰子的点数是3的倍数，则小青赢，那么这个游戏对小兰和小青公平吗？ （填公平或不公平） 获胜的概率大，概率是 ． 【答案】 不公平 小兰 【知识点】游戏的公平性 【分析】此题考查了概率的应用．用列举法求概率必须把所有可能的结果都列举出来，然后再求其中某个事件发生的概率． 因为骰子的点数是1，2，3，4，5，6．其中偶数有三个，占，是3的倍数的只有两个，占．据此解答． 【详解】解：∵骰子的点数是1，2，3，4，5，6， ∴P（偶数）； P（3的倍数）． ∴游戏不公平；小兰获胜的概率大，概率是． 故答案为：不公平，小兰，． 变式2．（24-25七年级下·四川巴中·期中）同一副扑克中有9张分别写有1、2、3、4、5、6、7、8、9的扑克牌，把它们的背面朝上洗匀后，在桌面排开，从中任意摸取一张牌． (1)摸到大于4的概率是多少？ (2)小明和小凡利用这9张扑克做游戏，摸到奇数小明获胜，摸到偶数小凡获胜．这个游戏对双方公平吗？说明理由． 【答案】(1) (2)不公平，理由见解析 【知识点】根据概率公式计算概率、游戏的公平性 【分析】本题考查了等可能事件的概率，一般地，如果一个试验有n种等可能的结果，事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率为． （1）根据概率公式进行计算即可； （2）根据摸到奇数的结果求出摸到奇数的概率，根据摸到偶数的结果求出摸到偶数的概率，比较概率大小即可得知游戏是否公平． 【详解】（1）解：摸到大于4的结果有5种， ； （2）不公平，理由如下： 摸到奇数的结果有5种， ， 摸到偶数的结果有4种， ， ， 这个游戏对双方不公平． 【题型十五】几何概率 例15．（24-25七年级下·全国·课后作业）有下列四个游戏盘，若扔一粒黄豆落在涂色部分，则可中奖．小明希望中奖，他应选择的游戏盘是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】几何概率 【分析】本题考查了概率与面积占比的关系，掌握通过计算涂色部分的面积占比来判断中奖概率大小是解题的关键． 分别计算每个游戏盘涂色部分的面积占整个盘面积的比例，比例越大，中奖概率越高，选择比例最大的游戏盘． 【详解】解：A、游戏盘的中奖概率为：； B、游戏盘的中奖概率为：； C、游戏盘的中奖概率为：； D、游戏盘的中奖概率为：； ∴C游戏盘的中奖概率最大． 故选：C． 变式1．（25-26七年级下·全国·月考）如图，在一张半径为的圆形纸片中，画出7个同样大小的半径为的圆并涂上颜色．若一只蚂蚁（蚂蚁视为1个点）随机停留在该纸片上，则蚂蚁停留在涂有颜色区域的概率为 ． 【答案】 【知识点】几何概率 【分析】设小圆的半径为,得出大圆的半径是,根据圆的面积公式先求出7个小圆的面积和一个大圆的面积，然后根据概率公式即可得出答案． 【详解】解：设小圆的半径为，大圆的半径为，所以7个小圆的面积为，大圆的面积为，所以蚂蚁停留在涂有颜色区域的概率为． 故答案为： 【点睛】本题主要考查了概率，解决本题的关键是掌握概率的计算公式． 变式2．（24-25七年级下·河北保定·期末）小明和哥哥都很想去看足球比赛，爸爸只买到了一张门票，最后商定通过转盘游戏决定去观看比赛．游戏规则是：转动如图1所示的转盘，转盘停止后，若转盘指针指向红色小明去；若转盘指针指向蓝色或黄色，哥哥去；如果指针恰好指向白色或指向分割线，重新转动． (1)求小明去观看足球比赛的概率； (2)你认为这个游戏规则公平吗？若公平，请说明理由；若不公平，请你设计出一种公的游戏规则； (3)请你利用图2所示转盘，设计一个转盘游戏，使得小明去的概率为，并简要说明游戏规则． 【答案】(1) (2)游戏公平，理由见解析 (3)见解析 【知识点】几何概率、游戏的公平性 【分析】本题考查几何概率模型求概率，读懂题意，搞懂相关事件所占的几何比例是解决问题的关键． （1）根据几何概率模型，由转盘中每一个扇形面积相同，共有9份，其中红色占4份；蓝色占3份；白色和黄色占1份；再结合如果指针恰好指向白色或指向分割线，则重新转动，从而由几何概率模型求概率的方法直接计算小明去观看足球比赛的概率即可得到答案； （2）根据几何概率模型，由转盘中每一个扇形面积相同，共有9份，其中红色占4份；蓝色占3份；白色和黄色占1份；再结合如果指针恰好指向白色或指向分割线，则重新转动，从而由几何概率模型求概率的方法直接计算小明或哥哥去观看成都蓉城足球比赛的概率，比较大小即可得到答案； （3）根据小明去的概率为，设计转盘即可． 【详解】（1）解：由题意可知，转盘中每一个扇形面积相同，共有9份，其中红色占4份；蓝色占3份；白色和黄色各占1份，再结合如果指针恰好指向白色或指向分割线，则重新转动， （小明去观看足球比赛）； （2）解：由题意可知，转盘中每一个扇形面积相同，共有9份，其中红色占4份；蓝色占3份；白色和黄色占1份，再结合如果指针恰好指向白色或指向分割线，则重新转动， （小明去观看足球比赛）； （哥哥去观看足球比赛）； （小明去观看足球比赛）（哥哥去观看足球比赛）， 游戏公平； （3）解：将转盘平均分为8个区域，其中红色占5份；白色占3份，如果指针转动转盘，转盘停止后，若转盘指针指向红色，小明去． 【题型十六】概率在转盘抽奖中的应用 例16．在转盘游戏中，如果转出的第一个数是9，为使四位数最大，应将它填在（    ） A．第一格 B．第二格 C．第三格 D．第四格 【答案】A 【知识点】概率在转盘抽奖中的应用 【分析】填在最高位即可． 【详解】解：转盘中共有1至9位数，9在第一位时，数最大．故选． 【点睛】解决本题的关键是理解最高位上的数越大，得到的数越大． 变式1．（2023·山东青岛·一模）小明参加了一个抽奖游戏：一个不透明的布袋里装有1个红球，2个蓝球，4个黄球，8个白球，这些小球除颜色外完全相同．从布袋里摸出1球，摸到红球、蓝球、黄球、白球可分别得到奖金30元、20元、5元和0元，则小明摸一次球得到的平均收益是 元． 【答案】6 【知识点】概率在转盘抽奖中的应用 【分析】求出任摸一球，摸到红球、黄球、绿球和白球的概率，那么获奖的平均收益可以用加权平均数的方法求得． 【详解】解： =2+4 =6（元） 故答案为6 【点睛】此题主要考查了考查概率的计算和加权平均数的计算方法，理解获奖平均收益实际就是求各种奖项的加权平均数． 变式2．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）某商场节假日期间举行有奖促销活动，凡购买一定金额的商品即可参与转盘抽奖．如图，转盘被分为“A”“B”“C”“D”四个区域，自由转动转盘，若指针落在字母“A”所在区域内，中一等奖；指针落在字母“B”所在区域内，中二等奖；指针落在字母“C”所在区域内，中三等奖；若指针落在字母“D”所在区域内，则未中奖（若指针指向分界线上时，需要重新转动，直到指针指向扇形区域内）．若某顾客转动一次转盘，请回答下列问题： (1)求顾客未获奖的概率； (2)求顾客获得二等奖或三等奖的概率． 【答案】(1) (2) 【知识点】概率在转盘抽奖中的应用 【分析】本题主要考查概率，熟练掌握概率是解题的关键； （1）由图可知字母“D”所在区域的扇形圆心角度数为，然后问题可求解； （2）由图可知字母“B”所在区域的扇形圆心角度数为，然后问题可求解． 【详解】（1）解：由图可知，字母“D”所在区域的扇形圆心角度数为， 所以顾客未获奖的概率为． （2）解：由图可知，字母“B”所在区域的扇形圆心角度数为， 所以顾客获得二等奖或三等奖的概率为． 【题型十七】概率在比赛中的应用 例17．（24-25七年级下·山西运城·期中）某公园游乐场为了增加趣味性，精心设计了一款独具创意的转盘（转盘被等分成8个扇形）游戏，命名为“开心大转盘”，游戏规则如下：参与者可随心转动转盘，指针指向“A”区，参与者需支付2元费用；指针指向“B”区，参与者可获得3元奖励；指针指向“C”区，参与者可获得1元奖励．某天，参与游戏的人共转动转盘80次，你认为这一天针对该转盘游戏游乐场盈利了还是亏损了？为什么？ 【答案】盈利了，理由见解析 【知识点】概率在比赛中的应用 【分析】本题考查概率的应用，根据几何概率的定义，面积比即概率．图中A，B，C所占的面积与总面积之比即为A，B，C各自的概率，算出相应的可能性，乘以钱数，比较即可． 【详解】解：盈利了． 理由如下： 游乐场收入：（元）． 游乐场支出：（元）． 因为，所以盈利了． 变式1．（24-25七年级下·广东深圳·期中）小明和小亮利用质地均匀的骰子做游戏，规则如下： ●两人同时做游戏，各自掷一枚骰子，每人可以只掷一次骰子，也可以连续地掷几次骰子． ●当一人掷出的点数和不超过10时，如果决定停止掷，那么此人的得分就是他所掷出的点数之和；当一人掷出的点数和超过10时，必须停止掷，并且得分为0． ●比较两人的得分，谁的得分高谁就获胜． 根据下面这个表格中的数据记录回答： 游戏次序 游戏者 第1次点数 第2次点数 第3次点数 得分 第一次 小明 2 3 2 小亮 3 4 6 第二次 小明 4 1 小亮 3 5 (1)在第一次游戏中，小明的最终得分是________分，小亮的最终得分是________分，所以获胜的是________（填小明或小亮）； (2)在第二次游戏中，如果小明继续掷第三次，试计算他最终得分为0的概率； (3)在第二次游戏中，如果你是小亮，在不知道小明最终得分的情况下，你会继续掷第三次吗？请说明你的理由． 【答案】(1)7，0，小明 (2) (3)不会，理由见解析 【知识点】概率在比赛中的应用 【分析】本题考查概率的实际应用，熟练掌握概率公式，是解题的关键： （1）根据规则，进行求和计算即可； （2）先求出小明第三次投掷的点数与前两次的点数之和超过10的结果，再利用概率公式进行计算即可； （3）求出小亮第三次投掷和不超过10和超过10的概率，进行判断即可． 【详解】（1）解：小明得分：（分）； 小亮投掷的点数之和为：， ∴小亮得分为0分； ∴小明赢； 故答案为：7，0，小明； （2）小明前两次投掷的点数和为：， ∴当小明第三次投掷的点数为时，最终得分为0分， ∴； （3）不会，理由如下： 小亮前两次投掷的点数和为：， ∴当小亮第三次投掷的点数，即为：3，4，5，6时，小亮的得分为0分，概率为：，小亮第三次投掷的点数为1，2时，小亮得分不为0，概率为， ∵， ∴不会投掷第三次． 【题型十八】概率的其他应用 例18．（2024·河北沧州·一模）某小区门口的电子显示屏上滚动显示的内容和停留时间如图所示，小明抬头看显示屏时，最大可能看到的内容是（    ） 内容 时间/秒 日期 4 星期 3 时间 6 天气 3 A．日期 B．星期 C．时间 D．天气 【答案】C 【知识点】概率的其他应用 【分析】本题考查概率的应用，计算出所有情况的概率直接比较判断即可得到答案； 【详解】解：由题意可得， ，，，， ∵， ∴大可能看到的内容是时间， 故选：C． 变式1．现有1，2，3，…，9九个数字，甲、乙轮流从中选出一个数字，从左至右依次填入下图所示的表格中（表中已出现的数字不再重复使用），每次填数时，甲会选择填入后使表中现有数据平均数最大的数字，乙会选择填入后使表中现有数据中位数最小的数字．如图，若表中第一个数字是4，甲先填，则满足条件的填法有 种，请你在表中空白处填出一种符合要求的填数结果． 4 【答案】6，9182 【知识点】概率的其他应用 【分析】根据填数时，甲会选择填入后使表中现有数据平均数最大的数字，可知，甲每次都会选最大的数字；再根据乙选择数字的方法判断满足条件的填法即可． 【详解】解：∵甲会选择填入后使表中现有数据平均数最大的数字，表中第一个数字是4，甲先填， ∴第二个数字为9，第四个数字为8， ∵乙会选择填入后使表中现有数据中位数最小的数字． ∴第三个数字可以为1，2，3，第五个数字可以为1,2，且不能与第三个数字相同，即第三个数字有3种选法，第五个数字有2种选法， ∴满足条件的填法有6种，表中空白处可以为9182． 故答案为：6，9182 【点睛】本题考查概率的知识，解题的关键是理解甲选数字的方法，乙选数字的方法，根据其选数字的方法知道其所选数字． 变式2．一工厂生产某种型号的节能灯的质量抽检结果如表： 抽检个数 50 100 200 300 400 500 次品个数 1 3 5 6 7 9 (1)根据表格中的数据求任抽1件是次品的概率； (2)厂家承诺：顾客买到次品包换．如果卖出这批节能灯800个，那么要准备多少个兑换的节能灯？ 【答案】(1)0.02 (2)16 【知识点】概率的其他应用、根据概率公式计算概率 【分析】（1）根据概率的求法，找准两点：1、符合条件的情况数目；2、全部情况的总数；二者的比值就是其发生的概率； （2）需要准备兑换的节能灯数＝销售的节能灯×次品的概率，依此计算即可． 【详解】（1）抽查总体数m＝50+100+200+300+400+500＝1550， 次品件数n＝1+3+5+6+7+9＝31， 这批节能灯中任抽1个是次品的概率为0.02； （2）根据（1）的结论：这批节能灯中任抽1件是次品的概率为0.02， 则800×0.02＝16（个）． 答：准备16个兑换的节能灯． 【点睛】此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）． 一、单选题 1．下列成语所描述的事件属于不可能事件的是（   ） A．守株待兔 B．旭日东升 C．水滴石穿 D．竹篮打水 【答案】D 【分析】本题考查不可能事件的概念，即绝对不可能发生的事件，熟练掌握随机事件，必然事件，不可能事件的特点是解题的关键． 通过分析各成语的含义，判断其描述事件的可能性，逐一判断即可解答． 【详解】解：A、守株待兔：兔子撞树可能性极小，但并非绝对不可能，属于随机事件，不符合题意； B、旭日东升：太阳从东边升起是必然事件，不符合题意； C、水滴石穿：水滴长期冲击石头可能穿透，属于随机事件，不符合题意； D、竹篮打水：竹篮有孔，水会漏出，绝对不可能打到水，是不可能事件，符合题意． 故选：D． 2．某口袋中有10个球，其中白球个，绿球个，其余为黑球，从袋中任意摸出一个球，若为绿球，则小星获胜，若为黑球，则小红获胜，要使游戏对小星、小红双方公平，则的值是（    ） A． B． C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了概率的计算，掌握概率的计算公式是解题的关键． 根据题意可得黑球有个，根据概率公式可得摸到绿球的概率为，摸到黑球的概率为，使得游戏公平，则概率相等，由此列式求解即可． 【详解】解：口袋中有10个球，其中白球个，绿球个，其余为黑球， ∴黑球有个， ∴摸到绿球的概率为，摸到黑球的概率为， ∵使游戏对小星、小红双方公平， ∴， 解得，， 故选：B ． 3．某学习小组做摸球试验，在一个不透明的袋子里装有红、黄两种颜色的小球共个，除颜色外都相同．将球搅匀后，随机摸出个球，发现个是红球，估计袋中红球的个数是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求摸到红球的频率，再用20乘以摸到红球的频率即可． 【详解】摸到红球的频率为， 估计袋中红球的个数是个， 故选：A． 【点睛】本题考查了用样本估计总体，关键是求出摸到红球的频率． 4．教室地面的瓷砖如图所示，一把钥匙被藏在某种颜色的一块瓷砖下面，则下列判断中，正确的是（   ） A．被藏在白色瓷砖下的概率大 B．被藏在灰色瓷砖下的概率大 C．被藏在两种瓷砖下的概率一样大 D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查了几何概率，解答此题的关键是分别计算出灰白瓷砖的块数，用到的知识点为：概率相应的面积与总面积之比． 先求出教室地面的瓷砖的总块数，再分别求出灰、白瓷砖的块数，根据概率公式解答即可． 【详解】解：教室地面的瓷砖共有（块）， 其中白色瓷砖有块，概率为， 灰色瓷砖有块，概率为， 故被藏在白色瓷砖下的概率大． 故选：A． 5．如图，是化学元素周期表中原子序数为1~5的元素，从中随机选取两种元素，则这两种元素恰好都是金属元素的概率为（   ）（注：锂和铍为金属元素） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查概率，熟练掌握概率的求法是解题的关键；因此此题可根据列举法进行求解概率． 【详解】解：由题意得： 从这5种元素中任取两种元素的可能性有：（氢，氦），（氢，锂），（氢，铍），（氢，硼），（氦，锂），（氦，铍），（氦，硼），（锂，铍），（锂，硼），（铍，硼），其中两种元素都为金属元素的只有一种，故抽取到两种元素都为金属元素的概率为； 故选C． 6．下列说法正确的是（    ） A．天气预报说章丘区明天降水概率非常大，则明天章丘区会下雨是必然事件 B．某彩票中奖率为5%，小明买了4张这种彩票，前3张都没有中奖，则最后一张中奖的概率仍为5% C．任意抛掷一枚图钉10次，针尖全都向上，则抛掷一枚图钉针尖向上为必然事件 D．射击运动员射击一次只有2种可能的结果：中靶或脱靶，所以他中靶的概率为 【答案】B 【分析】根据概率和事件的分类进行逐项分析即可． 【详解】解：A、天气预报说章丘区明天降水概率非常大，则明天章丘区会下雨是随机事件，只是可能性较大，非必然事件，原说法错误，不符合题意； B、某彩票中奖率为5%，即为每张彩票的中奖率均为5%，则最后一张中奖的概率仍为5%，原说法正确，符合题意； C、任意抛掷一枚图钉10次，不能代表全部情况，则抛掷一枚图钉针尖向上不是必然事件，原说法错误，不符合题意； D、射击运动员射击一次只有2种可能的结果：中靶或脱靶，但是这两种情况不是等可能的情况，所以中靶的概率不为，原说法错误，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查概率的定义，等可能情况的理解，事件的分类等，理解基本定义是解题关键． 7．某小组在“用频率估计概率”的试验中，统计了某种结果出现的频率，绘制了如图所示的折线图，那么最符合这一结果的试验是（　　） A．掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面向上” B．掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时面朝上的点数是6 C．在一副扑克中随机抽取一张，抽到的牌是红桃 D．不透明袋中有红球、黄球、蓝球各1个，每个球除颜色外其余均相同，从中随机摸出一个球，是黄球 【答案】B 【分析】本题主要考查随机事件的概率以及用频率估计概率，理解折线图中横轴与纵轴的关系，掌握概率的计算方法是解题的关键．根据折线统计图可知，随着试验次数的增多频率稳定在以上，以下，通过计算各选项的概率，由此即可求解． 【详解】解：根据折线统计图可知，随着试验次数的增多概率稳定在以上，以下， ∴A、掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面向上”的概率是，不符合题意； B、掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时朝上的面点数是的概率是，符合题意； C、在一副扑克中随机抽取一张，抽到的牌是红桃的概率是，不符合题意； D、不透明袋中有红球、黄球、蓝球各1个，每个球除颜色外其余均相同，从中随机摸出一个球，是黄球的概率是，不符合题意； 故选：B． 8．结果期，研究人员对该试验田中圣女果每株的结果个数统计如下表，则该品种圣女果每株的结果个数在60以上的概率为（    ） 测试的圣女果总株数m 200 400 600 800 1000 结果个数在60以上的株数n 169 339 511 681 850 结果个数在60以上的频率 0.845 0.848 0.852 0.851 0.850 A．0.80 B．0.84 C．0.85 D．0.90 【答案】C 【分析】根据频率稳定性原理，当试验次数足够大时，频率趋于概率. 由表可知，随着测试株数增加，频率稳定在0.85附近． 【详解】解：∵ 测试总株数m增大时，频率在0.85附近波动， 且当时，， ∴ 概率估计值为0.85． 【点睛】本题考查的知识点为“频率随试验次数增加而稳定于概率”，熟练掌握该原理是解题的关键． 9．在一个不透明的袋子里装有若干个红球和黄球，这些球除颜色外完全相同，从中任意摸出一个球，记下颜色后放回，搅匀后再重新摸球．下列说法正确的是（    ） A．摸到黄球的频数越大，摸到黄球的频率越大 B．摸到黄球的频数越大，摸到黄球的频率越小 C．重复多次摸球后，摸到黄球的频数逐渐稳定 D．重复多次摸球后，摸到黄球的频率逐渐稳定 【答案】D 【分析】本题考查频率与频数的概念以及频率的稳定性． 频数是事件发生的次数，频率是频数与总次数的比值. 随着试验次数的增加，频率会逐渐稳定在概率附近． 【详解】解：A、摸到黄球的频数增大时，总摸球次数也会增加，频率是频数与总次数的比值，因此频率不一定增大，该说法错误，不符合题意； B、同理，频数增大时总次数也增加，频率不一定减小，该说法错误，不符合题意； C、频数是摸到黄球的次数，会随试验次数增加而增加，不会稳定，该说法错误，不符合题意； D、重复多次摸球后，摸到黄球的频率会逐渐稳定在概率附近，该说法正确，符合题意． 故选：D． 10．在一次数学活动课上，王老师将1～8共八个整数依次写在八张不透明的卡片上（每张卡片上只写一个数字，每一个数字只写在一张卡片上，而且把写有数字的那一面朝下）．他先像洗扑克牌一样打乱这些卡片的顺序，然后把甲、乙、丙、丁四位同学叫到讲台上，随机地发给每位同学两张卡片，并要求他们把自己手里拿的两张卡片上的数字之和写在黑板上，写出的结果依次是：甲：12；乙：11；丙：9；丁：4，则拿到数字5的同学是（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】B 【分析】根据两数之和结果确定，对两个加数的不同情况进行分类讨论，列举出所有可能的结果后，再逐一根据条件进行推理判断，最后确定出正确结果即可． 【详解】解：由题意可知，一共八张卡片八个数，四个人每人两张卡片， ∴每人手里的数字不重复． 由甲：12，可知甲手中的数字可能是4和8，5和7； 由乙：11，可知乙手中的数字可能3和8；4和7，5和6； 由丙：9，可知丙手中的数字可能是1和8，2和7，3和6，4和5； 由丁：4，可知丁手中的数字可能是1和3， ∴丁只能是1和3， 因为甲手中的数字可能是4和8，5和7； 所以乙不能是4和7，则只能是5和6， 故选B． 【点睛】本题考查了列举所有可能性，关键是把所有可能的结果列举出来，再进行推理． 二、填空题 11．七年级（2）班在一次活动中分两次选拔参与活动成员．第一次确定了9人，第二次确定了2名男生和1名女生．现从确定的人员中随机抽取一名同学负责展示，若抽中女生的概率是，则第一次确定的同学中，女生有 人． 【答案】 【分析】本题考查频率估计概率，设第一次确定的同学中，女生有人，由题意可得，解一元一次方程即可得到答案．读懂题意，理解由频率估计概率的方法是解决问题的关键． 【详解】解：设第一次确定的同学中，女生有人， 抽中女生的概率是， ，解得， 故答案为：． 12．下表记录了某机械零件加工厂对一批零件进行质量抽检的结果． 抽取的机械零件个数n 100 200 500 1000 优等品的频数m 96 189 476 951 优等品的频率 0.960 0.945 0.952 0.951 从这批零件中，任意抽取1个机械零件是优等品的概率的估计值是 （结果精确到0.01）． 【答案】0.95 【分析】本题考查了用频率估计概率的知识点，掌握大量重复试验中频率稳定值即为概率是解题的关键． 根据表格中优等品的频率在左右浮动，利用频率估计概率． 【详解】解：从表格数据可知，优等品的频率分别为，，，，这些值均在附近波动，因此任意抽取一个机械零件是优等品的概率的估计值为， 故答案为：． 13．初三学生小明为表达对母校的感情，用大小和形状都完全一样的正方体按照一定规律排放了一组图案（如图所示），每个图案中他只在最下面的正方体上写“心”字，寓意“不忘初心”．其中第（1）个图案中有1个正方体，第（2）个图案中有3个正方体，第（3）个图案中有6个正方体，…．按照此规律，从第（70）个图案所需正方体中随机抽取一个正方体，抽到带“心”字正方体的概率是 ． 【答案】 【分析】先根据已知图形得出第70个图形中，正方体一共有1+2+3+……+69+70＝2485个，再用带“心”字的正方体个数除以总个数即可得． 【详解】解：∵第1个图形中正方体的个数为1， 第2个图形中正方体的个数3＝1+2， 第3个图形中正方体的个数6＝1+2+3， ∴第70个图形中，正方体一共有1+2+3+……+70＝＝2485（个），其中写有“心”字的正方体有70个， ∴抽到带“心”字正方体的概率是＝． 故答案为：． 【点睛】本题考查了概率公式、规律型：图形的变化类，理解题意找到规律是解题的关键． 14．在边长为1的小正方形组成的网格中，有如图所示的，两点，在格点上任意放置点（除点，外的格点），恰好能使得的面积为1的概率为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了概率公式，解决此题的关键是正确找出恰好能使的面积为的点． 根据题意分别找出点所在的位置：当点与点在同一条网格线上时，边上的高为，，符合条件的点有个；当点与点在同一条网格线上时，边上的高为，，符合条件的点有个，再根据概率公式求出概率即可． 【详解】解：如图，可以找到个恰好能使的面积为的点，则概率为． 故答案为：． 15．要从甲、乙、丙、丁4人中抽签选出两人参加素质检测，恰好抽到甲、乙两人的可能性是 【答案】 【分析】本题考查了列举法求概率，列举出所有组合，再由概率公式求解即可． 【详解】解：4人中选2人，基本事件有甲乙、甲丙、甲丁、乙丙、乙丁、丙丁，共6种，抽中甲乙只是其中的一种，所以抽中甲乙的概率：． 故答案为：． 16．下列语句中，关于频率与概率的关系表示正确的有 ． ①频率就是概率 ②频率是客观存在的，与试验次数无关 ③随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率 ④概率是随机的，在实验前不能确定 【答案】③ 【分析】由概率和频率的有关概念逐个分析． 【详解】解：①：频率不是概率，频率会随着重复试验的次数变化而变化，而概率是固定的，故①错误； ②：频率是客观存在的，与试验次数有关，试验次数越多，频率越稳定，故②错误 ③：由频率的性质知：随着试验次数的增加，事件发生的频率一般会稳定于概率，故③正确； ④：概率是客观的，在试验前能确定，故④错误． 故答案为：③． 【点睛】本题考查概率与频率的概念，以及它们之间的关系，难度不大，属于基础题，解题关键是要记住相关概念． 17．年3月日，是我国的第个植树节，今年植树节的主题是“共同呵护地球家园，筑造美丽未来”．下表是某地区在植树节期间，不同批次种植杨树的成活率的统计结果，请你估计植树节期间，种植杨树的成活率大约为 （结果保留两位小数）． 第一批次 第二批次 第三批次 第四批次 第五批次 种植数量 成活数量 成活频率 【答案】 【分析】本题考查了频率．熟练掌握频率的定义是解题的关键． 根据，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，种植杨树的成活率大约为， 故答案为：． 18．盒子里有5个白球，7个黄球和2个红球，若从中任意摸一个球，摸到 球的可能性最小．如果要使拿到这种颜色的球可能性最大，至少需要增加 个这种颜色的球． 【答案】 红 6 【分析】本题主要考查了可能性大小的实际应用，掌握可能性大小的比较方法是解题的关键． 比较盒子里白球、黄球、红球的数量多少，数量最多的，摸到的可能性最大；反之，数量最少的，摸到的可能性就最小．要使拿到这种颜色的球可能性最大，则其个数至少要比7多1，据此即可确定需要增加的个数． 【详解】解：∵， ∴红球的数量最少，所以从中任意摸一个球，摸到红球的可能性最小． ∵（个）， ∴要使拿到这种颜色的球可能性最大，至少需要增加6个这种颜色的球． 故答案为：红，6． 三、解答题 19．（1）一个盒子中装有33个分别涂有红、黑、白三种颜色的质地相同的小球．若红球的个数比黑球的2倍多5，从盒子中任取1个球是白球的概率是，求从盒子中任取1个球是黑球的概率； （2）一只小鸟自由自在地在空中飞行，然后随意落在如下图所示的某个方格中（每个方格除颜色外完全一样）．计算小鸟停在深色方格中的概率． 【答案】（1）  （2） 【分析】本题考查了几何概率，概率公式，掌握①如果一个事件有种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件出现种结果，那么事件的概率，②某事件的概率等于相应事件的面积与总面积之比是解题的关键． （1）先根据概率公式求出白球的个数为，再根据红球个数是黑球个数的倍多个，可设黑球有个，则红球有个，根据总个数为个列方程即可求出黑球的个数，根据概率公式可求从盒子中任取个球是黑球的概率； （2）用深色方格的面积除以总面积即可． 【详解】解：（1）∵从盒子中任取个球是白球的概率是， ∴白球有（个）． 设黑球有个，则红球有个． 根据题意，得， 解得， ∴黑球有个， ∴从盒子中任取个球是黑球的概率为． 答：从盒子中任取个球是黑球的概率是． （2）小鸟停在深色方格中的概率为． 答：小鸟停在深色方格中的概率是． 20．某游乐园门票价格如下表所示： 门票价格一览表 指定日普通票 元 平日优惠票 元 …… …… 某旅行社准备了元，全部用来购买指定日普通票和平日优惠票，且每种至少买一张． (1)有多少种购票方案？列举所有可能结果； (2)如果从上述方案中任意选一种方案购票，求恰好选到11张门票的概率． 【答案】(1)有6种购票方案 (2) 【分析】此题考查了列举法求概率和概率公式． （1）某旅行社准备了元，全部用来购买指定日普通票和平日优惠票，且每种至少买一张，再结合票价写出所有方案即可； （2）根据概率公式进行解答即可． 【详解】（1）解：有6种购票方案，方案如下． 指定日普通票张数 平日优惠票张数 一 1 11 二 2 9 三 3 7 四 4 5 五 5 3 六 6 1 （2）由（1）知，共有6种购票方案，且选到每种方案的可能性相等，而恰好选到11张门票的方案只有1种，因此恰好选到11张门票的概率是． 21．如图，一个均匀的转盘被分成8等份，分别标有“我”“骄”“傲”“我”“是”“中”“国”“人”这几个汉字，转动转盘，当转盘停止后，指针指向的汉字即为转出的汉字（指向分界线重转）． (1)转动转盘，当转盘停止时，指针指向的汉字的笔画数是偶数的概率是____________； (2)小明和小华利用该转盘做游戏，当转出的汉字笔画数不小于8时，小明获胜，否则小华获胜．请你判断这个游戏是否公平，并说明理由． 【答案】(1)； (2)游戏公平．理由见解析． 【分析】（1）直接根据概率公式求解即可； （2）分别计算出小明、小华获胜的概率，判断大小关系即可得出答案． 【详解】（1）解：转动转盘，指针指向汉字的笔画数是偶数的概率是 ， 故答案为：； （2）解：游戏公平．理由如下： 因为笔画数不小于8的汉字有“骄”“傲”“是”“国”，笔画数小于8的汉字有“我”“中”“人”， 所以小明获胜的概率为，小华获胜的概率为． 因为，所以游戏公平． 【点睛】本题考查的是游戏公平性的判断．实际考查概率的计算与游戏公平性的理解，解决本题的关键是概率的计算公式与游戏公平性的理解. 22．已知在一个盒子里共有红、黄、绿三种颜色的棋子共20枚，每次在盒子里随机摸一个棋子，记录下颜色，再放回去．下面是总共摸了1000次后的频数表． 棋子颜色 红 黄 绿 次数 539 137 324 (1)遵循“四舍五入”原则，估计各色棋子各有多少枚？ (2)用你的估计数据计算，若在盒子里随机摸两次，正好有一次是红色，1次是黄色的概率是多少？ 【答案】(1)估计红色棋子有11个，黄色棋子有3个，绿色棋子有6个 (2) 【分析】本题考查用频率估计概率，概率公式，理解在大量反复试验下频率稳定值即概率是解题的关键． （1）根据部分的具体数目＝总数×（频数÷试验总次数）即可解答； （2）求出分别从盒子中摸到红色棋子的概率，摸到黄色棋子的概率，再分别求出第一次摸到红色棋子，第二次摸到黄色棋子和第一次摸到黄色棋子，第二次摸到红色棋子的概率，它们之和即为所求． 【详解】（1）解：红色棋子有（个）， 黄色棋子有（个）， 绿色棋子有（个）． 答：估计红色棋子有11个，黄色棋子有3个，绿色棋子有6个． （2）解：从盒子中摸到红色棋子的概率为，摸到黄色棋子的概率为， ∴在盒子里随机摸两次，第一次摸到红色棋子，第二次摸到黄色棋子的概率是， 第一次摸到黄色棋子，第二次摸到红色棋子的概率是， ∴在盒子里随机摸两次，正好有一次是红色，1次是黄色的概率是． 23．红岭中学七年级数学小组在综合实践活动中调查肯德基、真功夫和必胜客三家餐饮店的外卖评价情况．他们在美团外卖上找到这三家店，并分别随机选出了800条网络评价，统计如表： 等级 评价条数 店铺 五星 四星 三星及三星以下 合计 肯德基 m 278 120 800 真功夫 359 n k 800 必胜客 325 275 200 800 (1)根据统计表中的信息，计算 ； (2)若在“真功夫”的评价中，三星及三星以下占比为，则 ； (3)当顾客给出评价不低于四星时，可以称之为一次良好的用餐体验．根据调查的结果，顾客选择 _________（填店名），获得良好用餐体验的可能性最大． 【答案】(1)402 (2)150 (3)顾客选择肯德基餐饮店．理由见解析 【分析】本题考查了概率的计算及比较可能性大小，用到的知识点为：可能性等于所求情况数与总情况数之比． （1）用800减去四星和三星及三星以下的人数，即可得出m的值； （2）用800乘以三星及三星以下占比，即可求出k的值； （3）根据概率公式先求出三家餐饮店获得良好的用餐体验的可能性，再进行比较即可得出答案． 【详解】（1）解：． 故答案为：402； （2）解：由题意，可得． 故答案为：150； （3）解：顾客选择肯德基餐饮店．理由如下： 从样本看，肯德基餐饮店获得良好用餐体验的比例为， 真功夫餐饮店获得良好用餐体验的比例为， 必胜客餐饮店获得良好用餐体验的比例为， 肯德基餐饮店获得良好用餐体验的比例最高， 由此估计，肯德基餐饮店获得良好用餐体验的比例最高． 故答案为：肯德基． 24．某商家“幸运抽奖”活动规则：参与者可从数字1-9中任选一个翻牌，有机会赢取礼品．牌的正、反面（部分）内容如图所示，其中为石湾公仔，为佛山剪纸，为盲公饼，为木版年画，为谢谢参与． (1)事件“随机翻一个牌，赢取礼品是木版年画”是什么事件？ (2)若“②奖牌反面”中出现的次数是的2倍，则（抽到）________； (3)请在“③奖牌反面”中重新设计奖牌反面的内容，须同时满足以下条件： *包含“”； *（抽到）（抽到）（抽到）（抽到）． 【答案】(1)随机事件； (2)； (3)详见解答． 【分析】本题考查概率公式，随机事件． （1）根据随机事件的定义进行判断即可； （2）根据题意得到“A出现2次，B出现1次”，再根据概率的定义进行计算即可； （3）根据“格子的总数”，包含“A、B、C、E”，且（抽到）（抽到）（抽到）（抽到）调查答案即可． 【详解】（1）解：事件“随机翻一个牌，赢取礼品是木版年画”是随机事件； （2）若“②奖牌反面”中A出现的次数是B的2倍，根据图②奖牌反面的分布情况可知，A出现2次，B出现1次， 所以P（抽到A） ， 故答案为：； （3）由于一共是9个格，包含“A、B、C、E”，且（抽到）（抽到）（抽到）（抽到）． 所以C和E各占一格，还剩7格，B占4格，A占3格即可．（答案不唯一） 25．某商场为了吸引顾客，打出这样一个广告：本商场为了感谢广大消费者的支持和厚爱，特举行购物抽奖活动，中奖率，最高奖为50元．具体规则是顾客购物每满100元，就能获得1次转动如下图所示的转盘的机会（转盘被等分成16份）．如果转盘停止后，指针正好对准黄色、红色、绿色、白色区域，那么顾客就可以分别获得50元、20元、10元、5元的购物券（若指针与边界线重合，则重转）．请根据以上信息，解答下列问题： (1)若小亮的妈妈购物满100元，她获得购物券的概率是多少？ (2)若小亮的妈妈购物满150元，她获得50元、5元购物券的概率分别是多少？ (3)若改变红色区域的份数，使得自由转动这个转盘，当它停止转动时，指针对准红色区域的概率是，请算出它的份数并在转盘的适当位置涂上颜色． 【答案】(1)1 (2)， (3)使转盘上共有6份为红色区域即可，见解析． 【分析】本题考查概率的求法与运用，概率公式，掌握如果一个事件有种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件出现种结果，那么事件的概率是解题的关键． （1）由中奖率，可得获得购物券的概率是； （2）由转盘共分为等份，获得元的购物券的只有种情况，获得元的购物券的只有种情况，直接利用概率公式求解即可求得答案； （3）由指针落在红色区域的概率为，可得红色区域为块，继而求得答案． 【详解】（1）解：若小亮的妈妈购物满元，则有次转动转盘的机会，所以她获得购物券的概率是． （2）解：若小亮的妈妈购物满元，则有次转动转盘的机会． ∵转盘被等分成份，黄色区域占份，白色区域占份， ∴她获得元、元购物券的概率分别是，． （3）（份），要使指针对准红色区域的概率是，只要使转盘上共有份为红色区域即可． 如图所示： 26．五一期间在银川会展中心进行车展，某汽车经销商推出A、B、C、D四种型号的小轿车共1000辆进行展销．C型号轿车销售的成交率为50%，其它型号轿车的销售情况绘制在图1和图2两幅尚不完整的统计图中． (1)请你将图2的统计图补充完整． (2)通过计算说明，哪一种型号的轿车销售情况最好？ (3)若对已售出轿车进行抽奖，现将已售出A、B、C、D四种型号轿车的发票（一车一票）放到一起，从中随机抽取一张，求抽到A型号轿车发票的概率． 【答案】(1)见解析 (2)D (3) 【分析】(1)先利用扇形统计图计算出C型号轿车的展销量，然后用它的展销量乘以50%得到C型轿车的销售量，再补全条形图； (2)分别计算出四种型号轿车销售的成交率，然后进行比较判断即可； (3)利用概率公式计算即可． 【详解】（1）C型号轿车的销售量为1000×20%×50%=100（辆），补全统计图如图所示， （2）解：A型号的轿车销售成交率为； B型号的轿车销售成交率为； D型号的轿车销售成交率为； C型号的轿车销售成交率为； ∴D型号的轿车销售情况最好； （3）抽到A型号的轿车发票的概率 【点睛】本题考查了条形统计图和扇形统计图的应用及概率的计算，正确地从统计图中获得有用的信息是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第07讲 概率初步（知识详解+18典例分析+习题巩固） 【知识点01】事件的认识 1. 事件的类型 事件的类型 定义 举例 必然事件 在一定条件下进行可重复试验时，有些事件一定会发生，这样的事件称为必然事件 在一个只装有红球的袋中摸球，摸出红球 不可能事件 在一定条件下进行可重复试验时，有些事件一定不会发生，这样的事件称为不可能事件 在一个只装有红球的袋中摸球，摸出白球 随机事件 在一定条件下进行可重复试验时，有些事件可能发生也可能不发生，这样的事件称为随机事件 在一个装有红球和白球的袋中摸球，摸出红球 2. “一定条件下”的意义 必然事件、不可能事件、随机事件的定义中所说的“一定条件下”是指试验在相同的条件下进行，不同的条件下可能会导致不同的事件归类. 【知识点02】事件发生的可能性 1. 一般地，随机事件发生的可能性是有大有小的。不同的随机事件发生的可能性的大小可能相同，也可能不同. 2. 事件发生的可能性 (1)必然事件：试验中必然发生的事件，其发生的可能性为100%或1 ； (2)不可能事件：试验中不可能发生的事件，其发生的可能性为0； (3)随机事件：试验中可能发生也可能不发生的事件，其发生的可能性介于0和1之间. 3. 描述随机事件发生的可能性大小的常用语 “可能性极小”“不太可能”“可能”“很可能”“可能性极大”等. 【知识点03】频率及其稳定性 1. 频率 在n次重复试验中，事件A发生了m次，则比值称为事件A发生的频率. 2. 频率的稳定性 一般地，在大量重复的试验中，一个随机事件发生的频率会在某一个常数附近摆动，这个性质称为频率的稳定性. 随着试验次数的增加，摆动的幅度将会越来越小. 【知识点04】用频率估计概率 1. 概率 我们把刻画一个事件发生的可能性大小的数值，称为事件发生的概率. 我们常用大写字母A，B，C等表示事件，用P(A)表示事件A发生的概率. 2. 用频率估计概率 从长期实践中，人们观察到对一般的随机事件，在做大量重复试验时，随着试验次数的增加，一个事件出现的频率总在一个常数的附近摆动，显示出一定的稳定性. 因此，我们可以通过做大量的重复试验，用一个随机事件发生的频率去估计它的概率. 3. 概率的取值范围 (1)必然事件发生的概率为1； (2)不可能事件发生的概率为0； (3)随机事件A发生的概率P(A)是0与1之间的一个常数. 【知识点05】等可能事件的概率 1. 等可能事件 设一个试验的所有可能的结果有n种，每次试验有且只有其中的一种结果出现. 如果每种结果出现的可能性相同，那么我们就称这个试验的结果是等可能的. 2. 概率公式 一般地，如果一个试验有n种等可能的结果，事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率为 【知识点06】游戏的公平性 1. 游戏公平性的含义 游戏对双方公平是指双方获胜的可能性相等，即若游戏双方获胜的概率相等，则游戏对双方公平；否则，游戏对双方不公平.并不是指每方获胜的概率必是，而是指只要获胜的概率相等即可 2. 在设计游戏时需注意的事项 (1)必须保证游戏中各类事件的发生都具有等可能性，即试验中，如果总设计有n种可能的结果，那么每种结果发生的可能性都相等，即机会相等，即每种结果发生的概率均为.设计游戏就是计算概率的逆向应用. (2)根据随机事件发生的概率的要求制订相应的游戏规则，选择合适的游戏工具. 【知识点07】几何概率模型 1. 几何图形中的概率 设某个几何图形的面积为S，其中事件A发生所在区域的面积为S′，由于对这个几何图形内的每个点，事件发生的可能性是相等的，因此我们可以得到事件A发生的概率P(A)＝. 2. 计算简单事件的概率的主要类型 (1)个数类型：如摸球、掷骰子等可以表示出所有可能出现的结果； (2)面积类型：如果随机试验是向S区域内掷一点，那么掷在区域S′(S′在S内)内的概率P＝. 【题型一】事件的分类 例1．（25-26七年级下·全国·周测）下列事件中，不可能事件是（    ） A．通常加热到100℃时，水沸腾 B．购买一张彩票中奖 C．煮熟的鸭子飞了 D．经过十字路口，遇到红灯 变式1．（25-26七年级下·全国·单元测试）“打开电视机，正在播放新闻”是 （填“必然”“不可能”或“随机”）事件． 变式2．（24-25七年级下·全国·随堂练习）将下列事件按照发生的可能性由小到大进行排列． （1）有一个分数的分子比分母小； （2）一名10岁儿童每小时可以跑10km； （3）正数大于负数． 【题型二】判断事件发生的可能性的大小 例2．（24-25七年级下·全国·期末）不透明的袋子中装有标号为1，2，2，3，3，3的完全相同的六个小球，从中任意摸出一个球，则最有可能摸到的标号是（    ） A．1 B．2 C．3 D．不确定 变式1．（24-25七年级下·河南郑州·期末）转动如图的转盘一周以上，指针指向 区域的可能性最小．（填“红”、“黄”“蓝”或“黑”） 变式2．（24-25七年级下·陕西咸阳·期中）掷一枚质地均匀的骰子，估计下列事件发生的概率，并将这些事件的序号按发生的可能性从大到小的顺序排列． （1）面朝上的点数大于0； （2）面朝上的点数是7； （3）面朝上的点数是3的倍数． 【题型三】求某事件的频率 例3．抛掷两枚均匀的硬币，当抛掷次数很多以后，两个硬币出现一个正面朝上一个反面朝上的频率值大约稳定在（    ） A．25% B．50% C．75% D．33.3% 变式1．（24-25七年级下·全国·课后作业）数据观念某种绿豆在相同条件下发芽情况的试验结果如下表所示．根据表中数据我们发现当参与试验的这种绿豆的粒数很大时，它的发芽率会在一个常数 （结果精确到）附近摆动，即这种绿豆的发芽率具有 ． 每批粒数 500 1000 2000 3000 发芽的粒数 463 930 1862 2793 发芽率 变式2．（24-25七年级下·陕西汉中·期中）数学兴趣小组为探究事件A发生的概率，进行试验并将数据汇总填入下表： 试验总次数n 100 200 500 800 1000 事件A出现的次数m 34 64 160 b 330 事件A发生的频率 0.34 a 0.32 0.33 0.33 (1)表中______，______； (2)根据上表，完成折线统计图． 【题型四】概率的意义理解 例4．（24-25七年级下·四川成都·期末）下列说法合理的是（ ） A．小明做了3次抛瓶盖的实验，发现2次盖口向上，由此他说盖口向上的概率是 B．某彩票的中奖概率是，因此买100张彩票一定会有5张中奖 C．某射击运动员射击一次只有“中靶”与“不中靶”两种可能的结果，所以它们发生的概率都是 D．小明掷一枚质地均匀的硬币，他掷了3次，其中1次正面朝上、2次正面朝下．他认为再掷一次，正面朝上的概率是 变式1．（24-25七年级下·河北邯郸·期末）连续抛掷一枚质地均匀的一元硬币9次，出现了8次正面朝上，则第10次抛掷该硬币出现正面朝上的概率是 ． 变式2．计算下列事件发生的概率并将你算出的概率标在下图中．（标序号）   (1)十五的月亮就像一个弯弯细勾； (2)正常情况下，气温低于零摄氏度，水会结冰； (3)任意掷一枚六面分别写有、、、、、的均匀骰子，“”朝上； (4)从装有个红球，个白球，个黄球的口袋中任取一个球，恰好是白球（这些球除颜色外完全相同）． 【题型五】关于频率与概率关系说法的正误 例5．（24-25七年级下·河北保定·期末）如图，显示了用计算机模拟随机投掷一枚图钉的某次试验的结果．下面的推断合理的是（　　） A．当投掷次数是500时，计算机记录“钉尖向上”的次数是308，所以“钉尖向上”的概率是 B．当投掷次数是6000时，“钉尖向上”的频率一定是 C．随着试验次数的增加，“钉尖向上”的频率总在附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“钉尖向上”的概率是 D．若再次用计算机模拟此试验，则当投掷次数为1000时，“钉尖向上”的频率一定仍是 变式1．下表显示了在同样条件下对某种小麦种子进行发芽实验的部分结果． 试验种子数n（粒） 1 5 50 100 200 500 1000 2000 3000 … 发芽频率m 0 4 45 92 188 476 951 1900 2850 … 发芽频率 0 0.8 0.9 0.92 0.94 0.952 0.951 0.95 0.95 … 则下列推断： ①随着试验次数的增加，此种小麦种子发芽的频率总在0.95附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计此种小麦种子发芽的概率是0.95； ②当试验种子数为500粒时，发芽频率是476，所以此小麦种子发芽的概率是0.952； ③若再次试验，则当试验种子数为1000时，此种小麦种子发芽的频率一定是0.951； 其中合理的是 （填序号） 变式2．王强和李刚在学习概率时，做掷骰子（质地均匀的正方体形状）试验，他们共掷了60次，出现朝上点数的次数如下表： 朝上点数 1 2 3 4 5 6 出现次数 8 11 6 9 16 10 (1)计算出现朝上点数为3的频率及出现朝上点数为5的频率． (2)根据以上试验，王强说：“根据试验结果，一次试验中出现朝上点数为5的概率最大．”李刚说：“如果掷600次，那么出现朝上点数为6的次数正好是100次．”这两名学生的说法是否正确？为什么？ 【题型六】由频率估计概率 例6．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）某科学研究院为研究一类新品种苹果树的成活率，在同一条件下进行移植试验，部分结果如下表所示： 移植总数n 400 750 1500 3500 7000 10000 成活总数m 369 682 1359 3192 6398 9130 成活率 0.923 0.909 0.906 0.912 0.914 0.913 估计这一类新品种苹果树成活的概率约为（    ） A．0.89 B．0.85 C．0.91 D．0.95 变式1．（22-23七年级下·陕西汉中·期末）某射手在相同条件下进行射击训练．结果如下： 射击次数 10 20 40 50 100 200 500 1000 击中靶心的频数 9 19 37 45 89 181 449 901 击中靶心的频率 在相同条件下，该射手射击一次，击中靶心的概率的估计值是 ．（精确到） 变式2．（24-25七年级下·陕西咸阳·期中）某渔民准备将自家的鱼塘转让出去，现在需要通过估计鱼塘中鱼的数量来估算鱼塘的价值．他从鱼塘中打捞了200条鱼，在每一条鱼身上做好标记后，把这些鱼放归鱼塘，经过一段时间后，再从鱼塘中打捞鱼．通过多次试验得到数据如下表所示： 每次打捞鱼数 50 100 200 300 500 每次打捞鱼中带标记的鱼数 4 11 19 31 打捞到带标记的鱼的频率 0.080 0.095 0.103 0.100 根据表中数据，回答下列问题： (1)表中_____，_____； (2)随机从鱼塘中打捞一条鱼，估计打捞到带标记的鱼的概率．（结果精确到0.1） 【题型七】用频率估计概率的综合应用 例7．（24-25七年级下·山东烟台·期中）如图，是根据“用频率估计概率”的实验统计的某一结果出现的频率，绘制了如图的折线统计图，则符合这一结果的实验最有可能的是（     ） A．小明和小刚做“石头、剪刀、布”游戏（结果可能出现胜、负、平），小明获胜 B．一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃 C．投掷一枚图钉，尖朝上 D．掷一个质地均匀的正六面体骰子，向上的面点数是偶数 变式1．（2025·贵州·一模）在一个不透明的盒子中有3个红球、若干个白球，这些球除颜色外都相同．从中随机摸出1个球，记下颜色后放回．通过大量重复摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在左右，则盒子中球的总个数大约是 ． 变式2．（24-25七年级下·福建漳州·期中）阅读下列材料，回答问题： 任务1：估计不规则封闭图形的面积 如图，地面上有一个不规则的封闭图形，为求得它的面积，小明在此封闭图形内画出一个边长为1米的正方形后，在附近闭上眼睛向封闭图形内丢掷绿豆（可把绿豆近似看成点），并记录如下数据（有效丢掷绿豆落在该封闭图形内，含边界）： 有效丢掷绿豆总次数m 50 150 300 600 绿豆落在正方形内（含正方形的边）的次数n 10 35 78 151 （1）当有效丢掷绿豆总次数时，绿豆落在正方形内（含正方形边上）的次数n最可能是______； A．150  B．230  C．251  D．510 （2）请根据表格中的数据估计，如果你随机丢掷一颗绿豆（落在该封闭图形内，含边界），那么该绿豆恰好落在正方形内（含正方形的边）的概率约为______（精确到）； （3）请你利用（2）中所得概率，估计该不规则封闭图形的面积； 任务2：估计圆周率的大小 （4）关于圆周率，数学发展史上出现过许多有创意的求法，小华借鉴任务1的探究思路，设计一个估算圆周率的实验，如图，地面上有一个边长为3米的正方形，在此正方形内画出一个半径为米的圆．在正方形外闭上眼睛向正方形内掷绿豆（可把绿豆近似看成点），大量重复实验记录数据，小华将有效丢掷绿豆总次数计为a，绿豆落在圆内（含圆的边）的次数记为b．当a很大时，绿豆落在圆内（含圆的边上）的频率值稳定在，则______（用字母a，b表示） 【题型八】列举随机实验的所有可能结果 例8．（24-25七年级下·西藏·自主招生）班级图书角有文学类、历史类、哲学类、自然类图书，扎西可随机从四类图书中任选两类阅读，他的选法有（    ） A．4种 B．5种 C．6种 D．7种 变式1．（2025·贵州遵义·模拟预测）在一次数学活动课上，李老师带学生做一个数学游戏，伸出右手，张开5指，然后任意弯曲两指，问同学们一共有多少种弯曲方式？同学们通过讨论，得出共有10种弯曲方式．接下来，李老师又说，伸出左手，握成拳头，然后任意张开三指，请问一共有 种张开方式． 【题型九】判断实验所得结果是否是等可能的 例9．下列随机试验中，结果具有“等可能性”的是（    ） A．掷一枚质地均匀的骰子 B．篮球运动员定点投篮 C．掷一个矿泉水瓶盖 D．从装有若干小球的透明袋子摸球 变式1．将一枚图钉抛起，落地后会出现“钉尖朝上”和“钉帽朝上”两种情况．有人认为这两种情况是等可能的，因此“钉尖朝上”的概率是．请判断该观点是否正确，并说明理由． 【题型十】列举法求概率 例10．（24-25七年级下·山东烟台·期中）现有标有数字0，4，5的三张卡片，将这三张卡片任意摆成一个三位正整数，摆出的三位数不是5的倍数的概率是（　　） A． B． C． D． 变式1．（2025·河南开封·三模）开封是一座历史悠久的古城，以其深厚的文化底蕴和令人垂涎的美食吸引着无数游客前来探访．为了进一步提升游客体验，某旅行社推出了免费品尝美食活动，每位游客可以从如图所示的四种美食中任选两种进行品尝，那么游客小华选到开封灌汤包和汴京烤鸭的概率为 ． 变式2．（24-25七年级下·江西九江·期中）某景区4月7日～13日一周的天气预报如下．小丽打算选择这期间的一天或两天去该景区旅游，求下列事件的概率： (1)随机选择一天，恰好天气预报是雨； (2)随机选择连续的两天，恰好天气预报都是晴． 【题型十一】根据概率公式计算概率 例11．（24-25七年级下·广东清远·期末）二十四节气是一种用来指导农事的历法，是中华民族劳动人民的智慧结晶．从二十四个节气中随机抽取一个节气，刚好抽到“惊蛰”这个节气的概率是（　　） A． B． C． D． 变式1．（25-26七年级下·全国·周测）如图，在一棋盘中，“马”的位置在图中虚线的下方，“马”移动一次能够到达的所有位置已用“·”标记，则“马”随机移动一次，到达的位置在虚线下方的概率是 ． 变式2．（25-26七年级下·全国·期中）一次抽奖活动制作了如图所示的翻奖牌，翻奖牌的正面印有1～9的数字，反面是对应的奖品．将翻奖牌反面朝上，规定只能在9个数字中选中1个翻牌，请解决下面的问题： (1)直接写出抽到“手机”奖品的概率； (2)每张奖牌只能翻一次，翻过的奖牌不能再翻．若第一次没有抽到“手机”奖品，请求出第二次抽到“手机”奖品的概率； (3)请你根据上述规定重新设计翻奖牌反面的奖品，包含“手机”“微波炉”“球拍”“电影票”“谢谢参与”，并使得第一次抽到“球拍”的概率是． 【题型十二】根据概率作判断 例12．（24-25七年级下·全国·课后作业）一个不透明的箱子中放有红、黄、黑三种颜色的小球，这些小球除颜色外都相同．三个人先后去摸球，一人摸一次，一次摸出1个小球，摸出后放回，摸出黑色小球的人赢（可以所有人都赢）．这个游戏是（   ） A．对所有人都公平 B．先摸者赢的可能性大 C．后摸者赢的可能性大 D．无法判断是否公平 变式1．（23-24七年级下·河南郑州·期末）小明利用质地均匀的骰子和小颖做游戏，规则如下： ①两人同时做游戏，各自掷一枚骰子，每人可以只掷一次骰子，也可以连续地掷几次骰子； ②当掷出的点数和不超过时，如果决定停止掷，那么你的得分就是所掷出的点数和；当掷出的点数和超过时，必须停止掷，并且你的得分为； ③比较两人的得分，谁的得分多谁就获胜． 在一次游戏中，小颖连续投掷两次，掷出的点数分别是，．小明也是连续投掷两次，掷出的点数分别是，．请问： (1)如果小颖继续掷，点数和不超过的概率是_____； (2)如果你是小明，你是决定继续掷还是决定停止掷？为什么？（请通过计算说明） (3)在做游戏的过程中，你认为该如何决定继续掷骰子还是停止掷骰子？ 【题型十三】已知概率求数量 例13．（24-25七年级下·四川成都·期末）一个不透明的袋子中有红球、白球共30个，这些球除颜色外都相同．将袋子中的球搅拌均匀，从中随意摸出1个球，记下它的颜色后放回袋中．不断重复这个过程，共摸了100次球，其中有40次摸到红球，由此可以估计袋子中红球的个数约为（    ） A．8 B．12 C．15 D．18 变式1．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图所示的是一个可以自由转动的质地均匀的转盘，被分成了12个相同的扇形，其中 个扇形涂上红色， 个扇形涂上蓝色，可以使得转动的转盘自由停止时，指针指向红、蓝两色扇形的概率分别为，． 变式2．（23-24七年级下·贵州毕节·期末）一个不透明盒子中装有8张红色卡牌和6张白色卡牌，两种卡牌除颜色外完全相同，将盒子中的卡牌充分摇匀． (1)求随机取出一张卡牌是白色卡牌的概率； (2)为了使取出两种卡牌的概率相同，再向盒子中放入红色卡牌和白色卡牌共6张，求再放入的白色卡牌的张数． 【题型十四】游戏的公平性 例14．（24-25七年级下·河南郑州·期中）一个不透明的箱子中放有1个红球、2个黄球和3个黑球，这些小球除颜色外都相同，小明、小芳、小雪三人先后去摸球，每人每次只能摸出一个球，每次摸出球后放回，摸出红球的人获得礼品（可以所有人都获得礼品）．你觉得这个游戏（    ） A．对所有人都公平 B．无法判断是否公平 C．先摸者获得礼品的可能性大 D．后摸者获得礼品的可能性大 变式1．（24-25七年级下·广东揭阳·期中）小兰和小青两人做游戏，如果小兰掷出的骰子的点数是偶数，则小兰赢．如果小青掷出的骰子的点数是3的倍数，则小青赢，那么这个游戏对小兰和小青公平吗？ （填公平或不公平） 获胜的概率大，概率是 ． 变式2．（24-25七年级下·四川巴中·期中）同一副扑克中有9张分别写有1、2、3、4、5、6、7、8、9的扑克牌，把它们的背面朝上洗匀后，在桌面排开，从中任意摸取一张牌． (1)摸到大于4的概率是多少？ (2)小明和小凡利用这9张扑克做游戏，摸到奇数小明获胜，摸到偶数小凡获胜．这个游戏对双方公平吗？说明理由． 【题型十五】几何概率 例15．（24-25七年级下·全国·课后作业）有下列四个游戏盘，若扔一粒黄豆落在涂色部分，则可中奖．小明希望中奖，他应选择的游戏盘是（    ） A． B． C． D． 变式1．（25-26七年级下·全国·月考）如图，在一张半径为的圆形纸片中，画出7个同样大小的半径为的圆并涂上颜色．若一只蚂蚁（蚂蚁视为1个点）随机停留在该纸片上，则蚂蚁停留在涂有颜色区域的概率为 ． 变式2．（24-25七年级下·河北保定·期末）小明和哥哥都很想去看足球比赛，爸爸只买到了一张门票，最后商定通过转盘游戏决定去观看比赛．游戏规则是：转动如图1所示的转盘，转盘停止后，若转盘指针指向红色小明去；若转盘指针指向蓝色或黄色，哥哥去；如果指针恰好指向白色或指向分割线，重新转动． (1)求小明去观看足球比赛的概率； (2)你认为这个游戏规则公平吗？若公平，请说明理由；若不公平，请你设计出一种公的游戏规则； (3)请你利用图2所示转盘，设计一个转盘游戏，使得小明去的概率为，并简要说明游戏规则． 【题型十六】概率在转盘抽奖中的应用 例16．在转盘游戏中，如果转出的第一个数是9，为使四位数最大，应将它填在（    ） A．第一格 B．第二格 C．第三格 D．第四格 变式1．（2023·山东青岛·一模）小明参加了一个抽奖游戏：一个不透明的布袋里装有1个红球，2个蓝球，4个黄球，8个白球，这些小球除颜色外完全相同．从布袋里摸出1球，摸到红球、蓝球、黄球、白球可分别得到奖金30元、20元、5元和0元，则小明摸一次球得到的平均收益是 元． 变式2．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）某商场节假日期间举行有奖促销活动，凡购买一定金额的商品即可参与转盘抽奖．如图，转盘被分为“A”“B”“C”“D”四个区域，自由转动转盘，若指针落在字母“A”所在区域内，中一等奖；指针落在字母“B”所在区域内，中二等奖；指针落在字母“C”所在区域内，中三等奖；若指针落在字母“D”所在区域内，则未中奖（若指针指向分界线上时，需要重新转动，直到指针指向扇形区域内）．若某顾客转动一次转盘，请回答下列问题： (1)求顾客未获奖的概率； (2)求顾客获得二等奖或三等奖的概率． 【题型十七】概率在比赛中的应用 例17．（24-25七年级下·山西运城·期中）某公园游乐场为了增加趣味性，精心设计了一款独具创意的转盘（转盘被等分成8个扇形）游戏，命名为“开心大转盘”，游戏规则如下：参与者可随心转动转盘，指针指向“A”区，参与者需支付2元费用；指针指向“B”区，参与者可获得3元奖励；指针指向“C”区，参与者可获得1元奖励．某天，参与游戏的人共转动转盘80次，你认为这一天针对该转盘游戏游乐场盈利了还是亏损了？为什么？ 变式1．（24-25七年级下·广东深圳·期中）小明和小亮利用质地均匀的骰子做游戏，规则如下： ●两人同时做游戏，各自掷一枚骰子，每人可以只掷一次骰子，也可以连续地掷几次骰子． ●当一人掷出的点数和不超过10时，如果决定停止掷，那么此人的得分就是他所掷出的点数之和；当一人掷出的点数和超过10时，必须停止掷，并且得分为0． ●比较两人的得分，谁的得分高谁就获胜． 根据下面这个表格中的数据记录回答： 游戏次序 游戏者 第1次点数 第2次点数 第3次点数 得分 第一次 小明 2 3 2 小亮 3 4 6 第二次 小明 4 1 小亮 3 5 (1)在第一次游戏中，小明的最终得分是________分，小亮的最终得分是________分，所以获胜的是________（填小明或小亮）； (2)在第二次游戏中，如果小明继续掷第三次，试计算他最终得分为0的概率； (3)在第二次游戏中，如果你是小亮，在不知道小明最终得分的情况下，你会继续掷第三次吗？请说明你的理由． 【题型十八】概率的其他应用 例18．（2024·河北沧州·一模）某小区门口的电子显示屏上滚动显示的内容和停留时间如图所示，小明抬头看显示屏时，最大可能看到的内容是（    ） 内容 时间/秒 日期 4 星期 3 时间 6 天气 3 A．日期 B．星期 C．时间 D．天气 变式1．现有1，2，3，…，9九个数字，甲、乙轮流从中选出一个数字，从左至右依次填入下图所示的表格中（表中已出现的数字不再重复使用），每次填数时，甲会选择填入后使表中现有数据平均数最大的数字，乙会选择填入后使表中现有数据中位数最小的数字．如图，若表中第一个数字是4，甲先填，则满足条件的填法有 种，请你在表中空白处填出一种符合要求的填数结果． 4 变式2．一工厂生产某种型号的节能灯的质量抽检结果如表： 抽检个数 50 100 200 300 400 500 次品个数 1 3 5 6 7 9 (1)根据表格中的数据求任抽1件是次品的概率； (2)厂家承诺：顾客买到次品包换．如果卖出这批节能灯800个，那么要准备多少个兑换的节能灯？ 一、单选题 1．下列成语所描述的事件属于不可能事件的是（   ） A．守株待兔 B．旭日东升 C．水滴石穿 D．竹篮打水 2．某口袋中有10个球，其中白球个，绿球个，其余为黑球，从袋中任意摸出一个球，若为绿球，则小星获胜，若为黑球，则小红获胜，要使游戏对小星、小红双方公平，则的值是（    ） A． B． C．3 D．4 3．某学习小组做摸球试验，在一个不透明的袋子里装有红、黄两种颜色的小球共个，除颜色外都相同．将球搅匀后，随机摸出个球，发现个是红球，估计袋中红球的个数是（　　） A． B． C． D． 4．教室地面的瓷砖如图所示，一把钥匙被藏在某种颜色的一块瓷砖下面，则下列判断中，正确的是（   ） A．被藏在白色瓷砖下的概率大 B．被藏在灰色瓷砖下的概率大 C．被藏在两种瓷砖下的概率一样大 D．无法确定 5．如图，是化学元素周期表中原子序数为1~5的元素，从中随机选取两种元素，则这两种元素恰好都是金属元素的概率为（   ）（注：锂和铍为金属元素） A． B． C． D． 6．下列说法正确的是（    ） A．天气预报说章丘区明天降水概率非常大，则明天章丘区会下雨是必然事件 B．某彩票中奖率为5%，小明买了4张这种彩票，前3张都没有中奖，则最后一张中奖的概率仍为5% C．任意抛掷一枚图钉10次，针尖全都向上，则抛掷一枚图钉针尖向上为必然事件 D．射击运动员射击一次只有2种可能的结果：中靶或脱靶，所以他中靶的概率为 7．某小组在“用频率估计概率”的试验中，统计了某种结果出现的频率，绘制了如图所示的折线图，那么最符合这一结果的试验是（　　） A．掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面向上” B．掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时面朝上的点数是6 C．在一副扑克中随机抽取一张，抽到的牌是红桃 D．不透明袋中有红球、黄球、蓝球各1个，每个球除颜色外其余均相同，从中随机摸出一个球，是黄球 8．结果期，研究人员对该试验田中圣女果每株的结果个数统计如下表，则该品种圣女果每株的结果个数在60以上的概率为（    ） 测试的圣女果总株数m 200 400 600 800 1000 结果个数在60以上的株数n 169 339 511 681 850 结果个数在60以上的频率 0.845 0.848 0.852 0.851 0.850 A．0.80 B．0.84 C．0.85 D．0.90 9．在一个不透明的袋子里装有若干个红球和黄球，这些球除颜色外完全相同，从中任意摸出一个球，记下颜色后放回，搅匀后再重新摸球．下列说法正确的是（    ） A．摸到黄球的频数越大，摸到黄球的频率越大 B．摸到黄球的频数越大，摸到黄球的频率越小 C．重复多次摸球后，摸到黄球的频数逐渐稳定 D．重复多次摸球后，摸到黄球的频率逐渐稳定 10．在一次数学活动课上，王老师将1～8共八个整数依次写在八张不透明的卡片上（每张卡片上只写一个数字，每一个数字只写在一张卡片上，而且把写有数字的那一面朝下）．他先像洗扑克牌一样打乱这些卡片的顺序，然后把甲、乙、丙、丁四位同学叫到讲台上，随机地发给每位同学两张卡片，并要求他们把自己手里拿的两张卡片上的数字之和写在黑板上，写出的结果依次是：甲：12；乙：11；丙：9；丁：4，则拿到数字5的同学是（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 二、填空题 11．七年级（2）班在一次活动中分两次选拔参与活动成员．第一次确定了9人，第二次确定了2名男生和1名女生．现从确定的人员中随机抽取一名同学负责展示，若抽中女生的概率是，则第一次确定的同学中，女生有 人． 12．下表记录了某机械零件加工厂对一批零件进行质量抽检的结果． 抽取的机械零件个数n 100 200 500 1000 优等品的频数m 96 189 476 951 优等品的频率 0.960 0.945 0.952 0.951 从这批零件中，任意抽取1个机械零件是优等品的概率的估计值是 （结果精确到0.01）． 13．初三学生小明为表达对母校的感情，用大小和形状都完全一样的正方体按照一定规律排放了一组图案（如图所示），每个图案中他只在最下面的正方体上写“心”字，寓意“不忘初心”．其中第（1）个图案中有1个正方体，第（2）个图案中有3个正方体，第（3）个图案中有6个正方体，…．按照此规律，从第（70）个图案所需正方体中随机抽取一个正方体，抽到带“心”字正方体的概率是 ． 14．在边长为1的小正方形组成的网格中，有如图所示的，两点，在格点上任意放置点（除点，外的格点），恰好能使得的面积为1的概率为 ． 15．要从甲、乙、丙、丁4人中抽签选出两人参加素质检测，恰好抽到甲、乙两人的可能性是 16．下列语句中，关于频率与概率的关系表示正确的有 ． ①频率就是概率 ②频率是客观存在的，与试验次数无关 ③随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率 ④概率是随机的，在实验前不能确定 17．年3月日，是我国的第个植树节，今年植树节的主题是“共同呵护地球家园，筑造美丽未来”．下表是某地区在植树节期间，不同批次种植杨树的成活率的统计结果，请你估计植树节期间，种植杨树的成活率大约为 （结果保留两位小数）． 第一批次 第二批次 第三批次 第四批次 第五批次 种植数量 成活数量 成活频率 18．盒子里有5个白球，7个黄球和2个红球，若从中任意摸一个球，摸到 球的可能性最小．如果要使拿到这种颜色的球可能性最大，至少需要增加 个这种颜色的球． 三、解答题 19．（1）一个盒子中装有33个分别涂有红、黑、白三种颜色的质地相同的小球．若红球的个数比黑球的2倍多5，从盒子中任取1个球是白球的概率是，求从盒子中任取1个球是黑球的概率； （2）一只小鸟自由自在地在空中飞行，然后随意落在如下图所示的某个方格中（每个方格除颜色外完全一样）．计算小鸟停在深色方格中的概率． 20．某游乐园门票价格如下表所示： 门票价格一览表 指定日普通票 元 平日优惠票 元 …… …… 某旅行社准备了元，全部用来购买指定日普通票和平日优惠票，且每种至少买一张． (1)有多少种购票方案？列举所有可能结果； (2)如果从上述方案中任意选一种方案购票，求恰好选到11张门票的概率． 21．如图，一个均匀的转盘被分成8等份，分别标有“我”“骄”“傲”“我”“是”“中”“国”“人”这几个汉字，转动转盘，当转盘停止后，指针指向的汉字即为转出的汉字（指向分界线重转）． (1)转动转盘，当转盘停止时，指针指向的汉字的笔画数是偶数的概率是____________； (2)小明和小华利用该转盘做游戏，当转出的汉字笔画数不小于8时，小明获胜，否则小华获胜．请你判断这个游戏是否公平，并说明理由． 22．已知在一个盒子里共有红、黄、绿三种颜色的棋子共20枚，每次在盒子里随机摸一个棋子，记录下颜色，再放回去．下面是总共摸了1000次后的频数表． 棋子颜色 红 黄 绿 次数 539 137 324 (1)遵循“四舍五入”原则，估计各色棋子各有多少枚？ (2)用你的估计数据计算，若在盒子里随机摸两次，正好有一次是红色，1次是黄色的概率是多少？ 23．红岭中学七年级数学小组在综合实践活动中调查肯德基、真功夫和必胜客三家餐饮店的外卖评价情况．他们在美团外卖上找到这三家店，并分别随机选出了800条网络评价，统计如表： 等级 评价条数 店铺 五星 四星 三星及三星以下 合计 肯德基 m 278 120 800 真功夫 359 n k 800 必胜客 325 275 200 800 (1)根据统计表中的信息，计算 ； (2)若在“真功夫”的评价中，三星及三星以下占比为，则 ； (3)当顾客给出评价不低于四星时，可以称之为一次良好的用餐体验．根据调查的结果，顾客选择 _________（填店名），获得良好用餐体验的可能性最大． 24．某商家“幸运抽奖”活动规则：参与者可从数字1-9中任选一个翻牌，有机会赢取礼品．牌的正、反面（部分）内容如图所示，其中为石湾公仔，为佛山剪纸，为盲公饼，为木版年画，为谢谢参与． (1)事件“随机翻一个牌，赢取礼品是木版年画”是什么事件？ (2)若“②奖牌反面”中出现的次数是的2倍，则（抽到）________； (3)请在“③奖牌反面”中重新设计奖牌反面的内容，须同时满足以下条件： *包含“”； *（抽到）（抽到）（抽到）（抽到）． 25．某商场为了吸引顾客，打出这样一个广告：本商场为了感谢广大消费者的支持和厚爱，特举行购物抽奖活动，中奖率，最高奖为50元．具体规则是顾客购物每满100元，就能获得1次转动如下图所示的转盘的机会（转盘被等分成16份）．如果转盘停止后，指针正好对准黄色、红色、绿色、白色区域，那么顾客就可以分别获得50元、20元、10元、5元的购物券（若指针与边界线重合，则重转）．请根据以上信息，解答下列问题： (1)若小亮的妈妈购物满100元，她获得购物券的概率是多少？ (2)若小亮的妈妈购物满150元，她获得50元、5元购物券的概率分别是多少？ (3)若改变红色区域的份数，使得自由转动这个转盘，当它停止转动时，指针对准红色区域的概率是，请算出它的份数并在转盘的适当位置涂上颜色． 26．五一期间在银川会展中心进行车展，某汽车经销商推出A、B、C、D四种型号的小轿车共1000辆进行展销．C型号轿车销售的成交率为50%，其它型号轿车的销售情况绘制在图1和图2两幅尚不完整的统计图中． (1)请你将图2的统计图补充完整． (2)通过计算说明，哪一种型号的轿车销售情况最好？ (3)若对已售出轿车进行抽奖，现将已售出A、B、C、D四种型号轿车的发票（一车一票）放到一起，从中随机抽取一张，求抽到A型号轿车发票的概率． 1 学科网（北京）股份有限公司 $