专题05 一次函数易错压轴题型汇总（专项训练）数学新教材北京版八年级下册

专题05 一次函数易错压轴题型汇总（解析版） 目录 A题型建模・专项突破 题型一、常量和变量 1 题型二、函数的基本概念 2 题型三、函数的表示法 3 题型四、求平面直角坐标系中的坐标 5 题型五、平面直角坐标系点坐标平移 6 题型六、正比例函数的概念、图象与性质 8 题型七、一次函数的概念 9 题型八、画一次函数的图象 11 题型九、求一次函数的自变量或函数值 11 题型十、已知函数经过的象限求参数范围 11 题型十一、一次函数解析式 11 题型十二、一次函数的增减性 11 题型十三、一次函数的平移问题 11 题型十四、比较一次函数值的大小 11 题型十五、求直线围成的图形面积 11 题型十六、一次函数与方程的关系 11 题型十七、一次函数与不等式的关系 11 题型十八、分配方案问题 11 题型十九、最大利润问题 11 题型二十、行程问题 11 题型二十一、梯度计价问题 11 题型二十二、平面直角坐标系中的规律探索问题（压轴） 11 题型二十三、函数图象的识别问题（压轴） 11 题型二十四、一次函数的平移综合（压轴） 11 题型二十五、一次函数的旋转综合45°（压轴） 11 题型二十六、一次函数与线段交点问题（压轴） 11 题型二十七、一次函数与几何综合（压轴） 11 题型二十八、一次函数的实际应用综合（压轴） 11 题型一、常量和变量 1．在圆的周长公式中，下列关于变量、常量的说法正确的是（  ） A．、、均是变量，2是常量 B．和是变量，2和是常量 C．是变量，2，和是常量 D．是变量，是常量 2．下面三个问题中都有两个变量： ①水池有水，现打开进水管进水，进水速度为，x小时后，这个水池有水； ②某电信公司手机的A类收费标准为：不管通话时间多长，每部手机每月必须缴月租费12元，另外，通话费按0.2元计，若一个月的通话时间为xmin，应缴费用为y元； ③柿子熟了，从树上落下来，柿子下落过程中落地前的速度y随时间x的变化而变化；其中，变量y随变量x的变化情况可以用如图所示的图象大致刻画的是 ．（填序号） 3．一个小球由静止开始在一个斜坡上向下滚动，通过仪器观察得到小球滚动的距离与时间的数据如表所示．请写出s和t满足的关系式，并指出哪些是常量，哪些是变量． 时间 1 2 3 4 5 … 距离 2 8 18 32 50 … 题型二、函数的基本概念 4．函数中自变量x的取值范围是（　　） A． B．且 C．且 D． 5．下列图象中，表示y是x的函数的是（    ） A． B． C． D． 6．在函数中，当时，函数值为 ；当函数值为4时，自变量x的值为 ． 题型三、函数的表示法 7．一辆汽车油箱内有56L油，从某地出发，每行驶耗油0.08L．如果设油箱内剩余油量为（单位：L），行驶路程为（单位：），那么与之间的关系式为 ． 8．某科技小组在网上获取了声音在空气中传播速度与空气温度之间关系的一些数据，如下表所示： 空气温度 0 10 20 30 声音在空气中传播速度 318 324 330 336 342 348 给出下面三个结论：①空气温度越高声音在空气中传播速度越快；②声音在空气中传播速度与空气温度关系式可以是；③温度每升高，声音在空气中传播速度增加．上述结论中，所有正确结论的序号是 ． 9．如图1，已知长方形中，动点M沿长方形的边以的路径匀速运动到A处停止，记的面积为y，动点M运动的路程为x，y与x的关系如图2所示，则图2中的m的值为 ． 题型四、求平面直角坐标系中的坐标 10．在平面直角坐标系中，已知点在第二象限，且点到两坐标轴的距离之和为7，写出一个符合条件的点的坐标： ． 11．如图，在平面直角坐标系中，为等腰三角形、轴．若点．则点的坐标为 ． 12．在平面直角坐标系中，点A的坐标是． (1)若点A在y轴上，求a的值． (2)若点A在第二象限，且a为整数，求点A的坐标． 题型五、平面直角坐标系点坐标平移 13．在平面直角坐标系中，点的坐标为，将点向右平移3个单位，再向下平移3个单位后得到点，且点位于第三象限． (1)求的取值范围； (2)若为整数，求出、两点的坐标． 14．在平面直角坐标系中，点M的坐标为（a，－2a）． （1）当a＝－1时，点M在坐标系的第_____象限；（直接填写答案） （2）将点M向左平移2个单位，再向上平移1个单位后得到点N，当点N在第三象限时，求a的取值范围． 15．（教材变式）长方形在平面直角坐标系中的位置如图所示．将长方形沿轴向右平移使点与原点重合，再沿轴向下平移，使点与原点重合，则此时点的坐标为 ． 题型六、正比例函数的概念、图象与性质 16．已知是正比例函数，则的值是 ． 17．如图，三个正比例函数的图象分别对应的表达式是：①；②；③．请用“>”表示，，的大小关系 ． 18．已知正比例函数． (1)判断点是否在正比例函数的图象上，并说明理由． (2)若点和在正比例函数的图象上，则___________．（填“”“ ”“或“=”） 题型七、一次函数的概念 19．在平面直角坐标系中，四个点的坐标分别为，，，．若一次函数的图象经过上述四个点中的三个点，则的值为（    ） A． B． C． D． 20．若是关于x的一次函数，则m的值为 ． 21．已知函数． (1)当m，n取何值时，此函数为一次函数？ (2)当m，n取何值时，此函数为正比例函数？ 题型八、画一次函数的图象 22．在平面直角坐标系中，画出函数的图像，并写出与坐标轴的交点坐标． 23．已知与成正比例，当时，， (1)求出与之间的函数关系式； (2)在平面直角坐标系中画出该函数的图象． 24．（1）画出函数的图象（要求列表、描点、连线）； （2）结合图象，写出该函数图象与x轴、y轴的交点坐标； （3）求该函数图象与两坐标轴围成的三角形面积． 题型九、求一次函数的自变量或函数值 25．已知函数． (1)当n为何值时，函数是一次函数？ (2)如果函数是一次函数，计算当的函数值． 26．已知函数． (1)求当时，函数y的值； (2)求当时，自变量x的值． 27．已知与成正比例，且当时，． (1)求y与的函数解析式； (2)如果x的取值范围是，求y的取值范围． 题型十、已知函数经过的象限求参数范围 28．已知一次函数． (1)m为何值时，直线经过原点？ (2)m为何值时，直线经过第一、二、三象限？ (3)m为何值时，直线不经过第三象限？ 29．已知关于的函数． (1)若这个函数的图象经过原点，求的值． (2)若这个函数是一次函数，且图象经过第一、二、四象限，求的取值范围． 30．已知函数. (1)若这个函数图象经过原点，求m的值； (2)若这个函数是一次函数，且图象经过第一、二、三象限，求m的取值范围. 题型十一、一次函数解析式 31．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，且与正比例函数的图象交于点． (1)求点的坐标； (2)求一次函数的表达式． 32．已知是的一次函数，且当时，；当时，． (1)求关于的函数表达式； (2)当时，求的取值范围． 33．已知，其中与x成正比例，与成正比例，且当时，；当时，． (1)求y与x之间的函数表达式； (2)求当时，y的值． 题型十二、一次函数的增减性 34．已知关于的一次函数． (1)若函数值随着的增大而增大，则m的取值范围是 ． (2)若此一次函数的图象经过第一、二、四象限，求m的取值范围． 35．已知直线（k、b是常数） 经过点，且y随x的增大而减小，则b的值可以是 （写出一个即可） 36．已知一次函数，请解答下列问题： (1)为何值时，该函数的图象与直线平行？ (2)为何值时，随增大而增大？ (3)为何值时，该函数的图象经过第二、三、四象限？ 题型十三、一次函数的平移问题 37．一次函数的图象经过点和点． (1)求这个函数的表达式； (2)直接写出将这条直线向上平移4个单位长度的函数表达式． 38．在平面直角坐标系中，已知一次函数，完成下列问题： (1)画出一次函数的图像； (2)此函数图像与坐标轴围成的三角形的面积是________； (3)将直线沿y轴向下平移3个单位长度，平移后的直线与x轴交于点A，与y轴交于点B．在y轴有一点P，使的面积等于2，则点P的坐标是________． 39．如图，线段两个端点的坐标分别为，一次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点． (1)求一次函数的解析式． (2)将直线向上平移a个单位长度，使平移后的直线与线段有交点，求a的取值范围． 题型十四、比较一次函数值的大小 40．已知点都在直线上，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 41．点，是一次函数（k，b为常数，且）的图象上的两点，且，则k的值为 ． 42．在平面直角坐标系中，一次函数的图象由正比例函数的图象平移得到，且经过点． (1)确定这个一次函数表达式； (2)若点，在这个一次函数的图象上，试比较y1与y2的大小． 题型十五、求直线围成的图形面积 43．直线和分别交y轴于A、B两点，两直线交于点． (1)求m，k的值； (2)求的面积． 44．如图，直线与坐标轴交于 A，B两点． (1)求点 A 与点 B 的坐标; (2)若 P 为直线上一点，当时，求点 P的坐标． 45．一次函数的图象分别与x、y轴交于A、B两点，正比例函数与交于点． (1)求m的值及的解析式； (2)若点D在x轴上，且满足，求点D的坐标． 题型十六、一次函数与方程的关系 46．已知一次函数（为常数，）和． (1)若的图象过点，求的值； (2)在（1）的条件下，与的图象的交点坐标为__________． 47．在平面直角坐标系中有两条直线，和它们的交点为P，与x轴交点分别为A、B． (1)点A、B的坐标分别为_________ (2)求点P的坐标 (3)以P、A、B为顶点的三角形的面积为_________ 48．在平面直角坐标系中，函数与的图象交于点． (1)求k，b的值； (2)当时，对于x的每一个值，函数的值既大于函数的值，也大于函数的值，直接写出m的取值范围． 题型十七、一次函数与不等式的关系 49．已知一次函数的图象经过点，，与x轴，y轴相交于点C，D． (1)结合函数图象，直接写出的解集为______； (2)求一次函数的表达式； (3)求的面积． 50．已知一次函数． (1)在如图所示的平面直角坐标系中，画出该函数的图象； (2)设函数的图象与轴交于点，与轴交于点，求的面积； (3)利用图象直接写出：当时，的取值范围． 51．已知：如图一次函数与的图象相交于点A． (1)若一次函数与的图象与x轴分别相交于点B、C，求的面积． (2)结合图象，直接写出时x的取值范围． 题型十八、分配方案问题 52．甲、乙两家商场平时以同样价格出售相同的商品．春节期间两家商场都让利酬宾，其中甲商场所有商品按8折出售，乙商场对一次购物中超过200元后的价格部分打7折． （1）以x（单位：元）表示商品原价，y（单位：元）表示购物金额，分别就两家商场的让利方式写出y关于x的函数解析式； （2）春节期间如何选择这两家商场去购物更省钱？ 53．某校要采购一款水杯，了解到有A，B两家超市可供选择，此款水杯在A，B两家超市售价均为50元，为了促销两家超市给出了不同的优惠方案： A超市：打8折出售； B超市：20个以内（含20个）不打折，超过20个后，超过的部分打7折． 该校计划购买水杯x个，设去A超市购买应付元，去B超市购买应付元． (1)分别求出，关于x的函数关系式； (2)若该校只在一个超市购买，怎样买更划算． 54．为鼓励学生加强锻炼，增强体质，某校准备购买若干套健身器材供学生使用，经调查，某公司有，两种健身器材可供选择，每套型健身器材售价为万元，每套型健身器材售价为万元，经协商，该公司承诺：每套型健身器材在售价的基础上减免万元；每套型健身器材在售价的基础上打七折．学校想购进，两种健身器材共套，若型健身器材买套，共花费万元． (1)请求出与的函数关系式； (2)若型健身器材的数量不超过套，学校应如何购买才能使总费用最少？ 题型十九、最大利润问题 55．为提升训练质量，某羽毛球俱乐部计划采购某品牌羽毛球训练器材．经市场调查了解到该品牌羽毛球拍每副120元，羽毛球每筒40元，某体育用品商场抓住机遇推出促销活动，提供了两种优惠方案： 方案一：买一副羽毛球拍送一筒羽毛球； 方案二：羽毛球拍和羽毛球全部按定价打八折． 若该羽毛球俱乐部需采购球拍100副，羽毛球x筒．方案一、二所需付款金额分别为元、元． (1)求， 与之间的函数表达式； (2)当时，通过计算比较这两种方案哪种更划算． 56．中秋节前夕，某批发部购入一批进价为5元/千克的阳光玫瑰葡萄，销售过程中发现：日销量（千克）与售价（元/千克）满足如图所示的一次函数关系． (1)求与之间的函数关系式； (2)若计划日销售利润为1440元，那么每千克葡萄的售价应定为多少元？ 57．某电商公司根据市场需求购进一批，两种型号的电脑小音箱进行销售，每台型小音箱的进价比型小音箱的进价多10元，用6000元购进型小音箱的台数是用4000元购进型小音箱的台数的2倍． (1)求每台两种型号的小音箱的进价． (2)该电商公司计划分别购进两种型号的小音箱共80台进行销售，其中型小音箱台数不少于型小音箱台数的2倍，型小音箱每台售价为35元，型小音箱每台售价为48元，怎样安排进货才能使售完这80台小音箱所获利润最大?最大利润是多少元? 题型二十、行程问题 58．甲乙两人匀速从学校出发到1500米处的图书馆看书，如图分别表示甲、乙两人离开学校的距离与甲出发后的时间之间的关系，甲的速度为． (1)由图象可知：甲比乙先出发________分钟，乙的速度是________； (2)甲出发多少分钟，两人相遇，这时他们离开学校多少米？ 59．据悉，邻国某地发生级地震，我国救援队紧急集结赴灾区开展地震救援．某救援队利用无人机勘测灾情，从地面升起一架无人机，匀速上升，上升到处，悬停拍照，又匀速下降到处，悬停拍照，然后匀速返回地面，无人机的高度和时间的函数图象如图所示． (1)直接写出结果： ， ； (2)求段的函数表达式： (3)求段无人机下降的速度． 60．一辆巡逻车从A地出发沿一条笔直的公路匀速驶向B地，后，一辆货车从A地出发，沿同一路线每小时行驶匀速驶向B地，货车到达B地填装货物耗时，然后立即按原路匀速返回A地．巡逻车、货车离A地的距离与货车出发时间之间的函数关系如图所示，请结合图象解答下列问题： (1)A，B两地之间距离是 ， ； (2)结合图象，求线段所在直线的解析式？ (3)货车出发多长时间时，两车相距？（直接写出答案） 题型二十一、梯度计价问题 61．为了增强市民的节水意识，合理利用水资源，某城市规定用水收费标准如下：每户每月用水量不超过6m3时，按3.2元收费；每户每月用水量超过时，超过的部分按3.8元收费．设每户每月用水量为，应缴费y元． (1)写出每月用水量不超过和超过时，y与x之间的函数关系式，并判断它们是否为一次函数． (2)已知某户5月份的用水量为，求该户5月份的水费． 62．按某市电力部门用电收费标准，用电客户应付电费（元）与每月用电量（度）的关系如图所示． (1)分别求和时与的函数解析式； (2)求用电量为180度时的应付费用． 63．某地出租车计费标准如下：当里程不超过时，均按起步价元收费；当里程超过时，超过部分按元收费．某乘客乘坐出租车时，观察到一些时刻的车费与行驶里程之间的关系如下表： 行驶里程 3 5 7 车费（元） 11 17 23 设行驶里程为，出租车的车费为元，是的一次函数． (1)________，________； (2)求与之间的函数表达式； (3)若某乘客一次乘坐出租车的行驶里程为，求这位乘客需付的车费． 题型二十二、平面直角坐标系中的规律探索问题（压轴） 64．如图所示的平面直角坐标系中，有一边长为的等边三角形，点，分别在轴、轴上，且．将进行“翻折、平移、翻折、平移”操作：将沿直线翻折，得到，再将沿直线向右平移个单位长度，得到；将沿直线翻折，得到，再将沿直线向右平移个单位长度，得到…如此循环操作（点分别是点，，的对应点，是正整数），则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 65．如图，在平面直角坐标系中，A，B，C，D是边长为1个单位长度的小正方形的顶点，开始时，顶点A，B依次放在点，的位置，然后沿x轴向右滚动，第1次滚动使点A落在点的位置，第2次滚动使点A落在点的位置……，按此规律滚动下去，则第2025次滚动后，顶点A的坐标是 ． 66．如下图所示，在直角坐标系中，第一次将变换成，第二次将变换成，第三次将变换成，已知． (1)观察每次变换前后的三角形有何变化，找出规律，按此变换规律将变换成，则的坐标是______，的坐标是______． (2)若按第（1）题的规律将进行了次变换，得到，比较每次变换中三角形顶点坐标有何变化，找出规律，请推测的坐标是______，的坐标是______． 题型二十三、函数图象的识别问题（压轴） 67．已知动点P以的速度沿如图1所示的边框以的路径运动，记的面积为，s与运动时间的关系如图2所示，若．请回答下列问题： (1) ， ， ． (2)当的面积为15时，求出t的值． (3)若是等腰三角形时，请直接写出t的值． 68．在一条笔直的公路上依次有，，三地，甲、乙两人同时出发，甲从地骑自行车匀速去地，途经地休息后继续按原速骑行至地，甲到达地后，立即按原路原速返回地；乙步行匀速从地至地．甲、乙两人距地的距离（单位：m）与出发时间（单位：）之间的关系如图所示，请结合图象解答下列问题： (1)甲的骑行速度为____________，乙的步行速度为____________，，两地的距离为____________m； (2)求甲返回时距地的距离与出发时间之间的关系式； (3)两人出发后，在甲返回到地之前，直接写出两人距地的距离相等时的出发时间． 69．如图1，在一个矩形信息传输线路中，有、、、、五个信息基站，其中基站和的距离为48个单位长度，和的距离为24个单位长度，和为变速基站．信号源经过基站时速度会变为原来的一半，信号源经过基站时速度会变为原来的2倍，信号源P从出发按顺时针方向沿线路传输到被接收，信号源Q从出发按逆时针方向沿线路传输到被接收．信号源P和信号源Q同时出发，速度分别为每秒8个单位长度和每秒4个单位长度，运动时间为t秒，信号源Q与基站、构成的三角形面积S与运动时间的变化情况如图2所示． (1)图2中，_____，_____，_____． (2)若两个信号源的距离不超过10个单位长度时会互相干扰，求信号源在传输过程中相互干扰的时长． (3)当运动时间为t秒时，信号源P与基站、构成的三角形面积S和信号源Q与基站、构成的三角形面积S相差12，求t所有可能的取值． 题型二十四、一次函数的平移综合（压轴） 70．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于，两点，以线段为一边向直线左侧作正方形． (1)求直线的解析式． (2)将直线向上平移个单位长度．当直线与线段有交点时，求的取值范围． (3)若点是直线上一点，点是坐标平面内一点，当以，，，为顶点的四边形是菱形时，直接写出点的坐标． 71．如图1，在平面直角坐标系中，点A坐标为，点B坐标为，以线段为底边向右作等腰直角． (1)求边的长和点C的坐标． (2)如图2，将等腰直角向右平移m个单位，记平移后的三角形为，点F恰好在直线上，求直线对应的函数表达式． (3)在（2）的条件下，若点G为直线上的动点，使，请直接写出点G的坐标． 72．在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴、轴分别交于、两点，点是轴上一点，把坐标平面沿直线折叠，使点的对应点刚好落在轴上，作直线． (1)求直线对应的函数表达式； (2)求的值： (3)点为直线上一点，点，连接．若，求点的坐标； (4)若直线上的一点到直线的距离是2，请直接写出点的坐标． 题型二十五、一次函数的旋转综合45°（压轴） 73．某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的全等模型． 【模型学习】如图1，已知在中，，直线EF经过点A，于点E，于点F．易证：． （1）如图2，平面直角坐标系中，点B的坐标为，求直线的函数关系式； 【类比探究】 （2）如图3，一次函数的图象分别交x轴和y轴于M、N两点，点D坐标为． ①连接，则_____； ②点P在直线上，连接，当与直线的夹角为时，求出点P的坐标； 【拓展探究】 （3）在（2）的条件下，若一次函数的图象与直线相交所夹锐角大于，请直接写出k的取值范围． 74．【基础知识】 将含有的三角板的直角顶点放在直线上，过两个锐角顶点分别向直线作垂线，这样就可以得到两个全等的直角三角形． （1）如图1，等腰直角中，，过点作交于点，过点作交于点．直接写出与的数量关系__________． 【基本技能】 （2）已知：直线的图象与轴交于点，与轴交于点． ①如图2，当时，在第一象限构造等腰直角，求直线的表达式； ②如图3，当的取值变化，点随之在负半轴上运动，在第二象限构造等腰直角，，连接，问的面积是否发生变化？若不变，求出面积；若变，请说明理由． 【应用拓展】 （3）如图4，直线的图象与轴交于点，与轴交于点，若点在轴上，且，请直接写出点的坐标． 75．【模型构建】如图，将含有的三角板的直角顶点放在直线l上，过两个锐角顶点分别向直线作垂线这样就得到了两个全等的直角三角形，由于三个直角的顶点都在同一条直线上，因此我们将其称为“一线三直角”，这模型在数学解题中被广泛使用． 【模型应用】（1）如图1，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于A，B两点， ①点A坐标为_______；点B坐标为_______； ②C，D是正比例函数图象上的两个动点，连接，若，，则的最小值是_______； （2）如图2，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于A，B两点．将直线绕点B顺时针旋转得到直线l，求直线l对应的函数表达式； 【模型拓展】（3）如图3，直线的图象与x轴、y轴分别交于A，B两点，直线与x轴交于点D．点，Q分别是直线l和直线上的动点，点C的坐标为，当是以为斜边的等腰直角三角形时，直接写出点Q的坐标． 题型二十六、一次函数与线段交点问题（压轴） 76．如图，在平面直角坐标系中，点，点，若将直线向上平移c个单位长度后与线段有交点，则c的取值范围是 ． 77．如图，在平面直角坐标系中，点，，，将直线向上平移n个单位长度，当平移后的直线与折线有两个交点时，满足条件的整数n有 个． 78．在平面直角坐标系中，已知一次函数（是常数且）． （1）无论取何非零的值，一次函数的图象都经过一个定点，则这个点的坐标是 ； （2）该平面直角坐标系中有一条线段，其中，．若这个一次函数的图象与线段没有交点，则的取值范围是 ． 题型二十七、一次函数与几何综合（压轴） 79．已知平面直角坐标系中有三点，若过点的直线将分成面积之比为两部分，则k的值 ． 80．如图，在平面直角坐标系中，直线交坐标轴于点，，点C为x轴正半轴上一点，连接，将沿所在直线折叠，点B恰好与y轴上的点D重合． (1)求直线对应的函数表达式； (2)求的长； (3)P为直线上一点，，求点P的坐标． 81．如图，在长方形中，点为坐标原点，点的坐标为，点在坐标轴上，直线与交于点，与轴交于点． (1)分别求点的坐标； (2)连接求的面积； (3)动点在直线上，点是坐标平面第一象限内的点，且在直线上，是否存在以点为直角顶点的等腰直角三角形，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 题型二十八、一次函数的实际应用综合（压轴） 82．为保障师生健康，某校会定期对教室采取喷洒药物的方式进行消毒．在消毒过程中，封闭教室内空气中的含药量y（单位：）与药物在空气中的持续时间x（单位：min）的函数关系如下图所示． (1)①药物喷洒后空气中的含药量y关于药物在空气中的持续时间x的函数表达式为________________； ②当空气中的含药量首次达到时，已经喷洒药物多长时间了？ (2)如果室内空气中的含药量不低于且持续时间不少于20min，才能达到有效消毒的效果，试说明此次消毒是否有效． (3)若后续药物挥发的速率不变，则喷洒药物后经过多长时间，空气中无药物残留？ 83．某茶叶店计划购进甲、乙两种茶叶进行销售，两种茶叶的进价和售价如下已知用4000元购进甲种茶叶的数量与用6000元购进乙种茶叶的数量相同． 茶叶品种 进价（元/斤） 售价（元/斤） 甲 200 乙 300 (1)求的值； (2)茶叶店计划购进甲、乙两种茶叶共300斤，其中甲种茶叶不少于80斤且不超过120斤，“五一”期间，茶叶店让利销售，将乙种茶叶的售价每斤降低元（），甲种茶叶的售价不变，为保证销售完这两种茶叶的利润的最小值不低于31800元，求的最大值． 84．如图，某校研学小组在博物馆中看到了一种“公道杯”，在这种杯子中加水超过一定量时，水会自动排尽，体现了“满招损，谦受益”的寓意． 该小组模仿其原理，自制了一个圆柱形简易“公道杯”，确保向杯中匀速注水和杯中水自动向外排出时，杯中的水位高度的变化都是匀速的，向此简易“公道杯”中匀速注入清水，一段时间后停止，再等水完全排尽．在这个过程中，对不同时间的水位高度进行了记录，部分数值如下： 时间（） 水位高度（） 根据以上信息，解决下列问题： (1)完善表中的数据，并在直角坐标系中描出表中各组已知对应值为坐标的点； (2)当__________时，杯中水位最高，是__________； (3)在自动向外排水开始前，杯中水位上升的速度为__________； (4)求停止注水时的值； (5)从开始注水，到杯中水完全排尽，共用时__________． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 一次函数易错压轴题型汇总（解析版） 目录 A题型建模・专项突破 题型一、常量和变量 1 题型二、函数的基本概念 2 题型三、函数的表示法 3 题型四、求平面直角坐标系中的坐标 5 题型五、平面直角坐标系点坐标平移 6 题型六、正比例函数的概念、图象与性质 8 题型七、一次函数的概念 9 题型八、画一次函数的图象 11 题型九、求一次函数的自变量或函数值 11 题型十、已知函数经过的象限求参数范围 11 题型十一、一次函数解析式 11 题型十二、一次函数的增减性 11 题型十三、一次函数的平移问题 11 题型十四、比较一次函数值的大小 11 题型十五、求直线围成的图形面积 11 题型十六、一次函数与方程的关系 11 题型十七、一次函数与不等式的关系 11 题型十八、分配方案问题 11 题型十九、最大利润问题 11 题型二十、行程问题 11 题型二十一、梯度计价问题 11 题型二十二、平面直角坐标系中的规律探索问题（压轴） 11 题型二十三、函数图象的识别问题（压轴） 11 题型二十四、一次函数的平移综合（压轴） 11 题型二十五、一次函数的旋转综合45°（压轴） 11 题型二十六、一次函数与线段交点问题（压轴） 11 题型二十七、一次函数与几何综合（压轴） 11 题型二十八、一次函数的实际应用综合（压轴） 11 题型一、常量和变量 1．在圆的周长公式中，下列关于变量、常量的说法正确的是（  ） A．、、均是变量，2是常量 B．和是变量，2和是常量 C．是变量，2，和是常量 D．是变量，是常量 【答案】B 【分析】本题考查常量与变量的定义，关键是明确在变化过程中，常量是数值固定不变的量，变量是数值可以发生变化的量．在圆的周长公式中，2是固定系数，是圆周率，二者数值固定不变，属于常量；半径可取不同值，对应的周长会随之改变，故和是变量，据此可判断正确选项． 【详解】解：根据常量与变量的定义，在中，2和是固定不变的量，为常量；随的变化而变化，因此和是变量． 故选：B． 2．下面三个问题中都有两个变量： ①水池有水，现打开进水管进水，进水速度为，x小时后，这个水池有水； ②某电信公司手机的A类收费标准为：不管通话时间多长，每部手机每月必须缴月租费12元，另外，通话费按0.2元计，若一个月的通话时间为xmin，应缴费用为y元； ③柿子熟了，从树上落下来，柿子下落过程中落地前的速度y随时间x的变化而变化；其中，变量y随变量x的变化情况可以用如图所示的图象大致刻画的是 ．（填序号） 【答案】①②/②① 【分析】①根据小时后，这个水池的蓄水量等于原来的蓄水量加上后来增加的进水量判断即可；②根据应缴费用等于月租费加上通话费判断即可；③柿子下落速度从零开始判断即可．本题考查了利用函数的图象解决实际问题，正确理解函数图象表示的意义，理解问题的过程，就能够通过图象得到函数问题的相应解决． 【详解】解：①水池有水，现打开进水管进水，进水速度为，x小时后，这个水池有水，则：，可以用如图的图象表示，符合题意； ②由题意，可知：，可以用如图的图象表示，符合题意； ③柿子下落速度从零开始，图象应该过原点，不能用如图的图象表示，不符合题意； 故答案为：①②． 3．一个小球由静止开始在一个斜坡上向下滚动，通过仪器观察得到小球滚动的距离与时间的数据如表所示．请写出s和t满足的关系式，并指出哪些是常量，哪些是变量． 时间 1 2 3 4 5 … 距离 2 8 18 32 50 … 【答案】，常量是2，变量是s和t 【分析】通过观察发现：距离都为偶数，应都与2有关，所以表中数据的规律可以确定为t秒时，距离为，从而得出s和t满足的关系式；再根据常量和变量的定义即可得出答案． 【详解】解：∵1秒时，距离为2； 2秒时，距离为； 3秒时，距离为； 4秒时，距离为； ∴t秒时，距离为，； 常量是2，变量是s和t． 题型二、函数的基本概念 4．函数中自变量x的取值范围是（　　） A． B．且 C．且 D． 【答案】D 【分析】本题考查了函数自变量的取值范围，熟练掌握二次根式和分式有意义的条件，是解题的关键．二次根式被开方数为非负数，分式分母不能为0，根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件，即可进行解答． 函数包含平方根和分母，需满足被开方数非负且分母不为零． 【详解】解：， ∵被开方数， ∴． ∵分母， ∴． 综上，． 故选：D． 5．下列图象中，表示y是x的函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了函数的定义，根据对于任意一个x的值，都有唯一的一个y值对应，结合图形判定即可求解． 【详解】解：A、如图所示， 当时，函数值不唯一，故y不是x的函数，不符合题意； B、如图所示， 当时，函数值不唯一，故y不是x的函数，不符合题意； C、如图所示， 当时，函数值不唯一，故y不是x的函数，不符合题意； D、任取一个x的值，都有唯一的一个y值对应，符合题意； 故选：D ． 6．在函数中，当时，函数值为 ；当函数值为4时，自变量x的值为 ． 【答案】 9 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数上点的坐标特征，分别将和代入函数解析式求解即可． 【详解】解：当时，， ∴当时，函数的值为9； 当时，即， 解得， ∴当函数值为4时，自变量x的值为． 故答案为：9；． 题型三、函数的表示法 7．一辆汽车油箱内有56L油，从某地出发，每行驶耗油0.08L．如果设油箱内剩余油量为（单位：L），行驶路程为（单位：），那么与之间的关系式为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查用关系式表示变量间的关系，找到等量关系是解题的关键． 根据剩余油量总油量消耗油量，列出函数关系式即可． 【详解】解：总油量为，每行驶耗油， 行驶消耗油量为，因此剩余油量， 故答案为：． 8．某科技小组在网上获取了声音在空气中传播速度与空气温度之间关系的一些数据，如下表所示： 空气温度 0 10 20 30 声音在空气中传播速度 318 324 330 336 342 348 给出下面三个结论：①空气温度越高声音在空气中传播速度越快；②声音在空气中传播速度与空气温度关系式可以是；③温度每升高，声音在空气中传播速度增加．上述结论中，所有正确结论的序号是 ． 【答案】①③ 【分析】本题考查了用表格表示变量之间的关系，正确从表格获取信息是解答本题的关键． 根据表格中所描述的声音在空气中传播的速度与空气中的温度之间的关系进行逐项分析，进行判断，即可作答． 【详解】解：由题意可得：在这变化过程中，空气的温度越高声音传播的速度越快，故①说法正确； 温度每升高，声音速度增加，故③说法正确； 即温度每升高，声音速度增加， 又∵温度为时，声音的速度是， ∴声音速度与关系式可以是，故②说法不正确； 故答案为：①③ 9．如图1，已知长方形中，动点M沿长方形的边以的路径匀速运动到A处停止，记的面积为y，动点M运动的路程为x，y与x的关系如图2所示，则图2中的m的值为 ． 【答案】 【分析】本题侧重考查用图象表示两个变量间的关系，从图象中得到信息是解决此题的关键．先根据图2得出，，再根据当时，点P在点D处，利用三角形面积公式求出y的值，即可得出答案． 【详解】解：由图（2）可得，则， ∴， 当时，点P在点D处， ∴，即， 故答案为：． 题型四、求平面直角坐标系中的坐标 10．在平面直角坐标系中，已知点在第二象限，且点到两坐标轴的距离之和为7，写出一个符合条件的点的坐标： ． 【答案】(答案不唯一) 【分析】本题考查平面直角坐标系中第二象限内点的坐标特征及点到坐标轴距离的定义，关键是牢记：第二象限的点横坐标为负、纵坐标为正；点到轴的距离是纵坐标的绝对值，到轴的距离是横坐标的绝对值． 【详解】解：∵点在第二象限， ∴点的横坐标，纵坐标； 又∵点到两坐标轴的距离之和为7，即， 不妨取，则， ∴， 又， ∴， ∴符合条件的点的坐标为； 故答案为：(答案不唯一)． 11．如图，在平面直角坐标系中，为等腰三角形、轴．若点．则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查坐标与图形，等腰三角形的性质．熟练掌握平行于轴的直线上的点的纵坐标相同，等腰三角形三线合一，是解题的关键． 根据平行于轴的直线上的点的纵坐标相同，得到点的纵坐标，过点作，利用等腰三角形的三线合一，求出点的横坐标即可． 【详解】解：∵轴，， ∴点的纵坐标为1， 过点作，交轴于点，交于点， 则：，    ∵ ∴， ∴点的横坐标为， ∴． 故答案为：． 12．在平面直角坐标系中，点A的坐标是． (1)若点A在y轴上，求a的值． (2)若点A在第二象限，且a为整数，求点A的坐标． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了平面直角坐标系，求不等式组的解集，熟练掌握坐标系中点的坐标特征是解题的关键． （1）根据y轴上的点横坐标为0，列出关于a的方程，即可求出a的值； （2）根据第二象限上的点横坐标为负，纵坐标为正，列出关于a的不等式组，求出a的范围，再结合a为整数，求出a的值，即可求解． 【详解】（1）解：∵点在y轴上， ∴， 解得； （2）解：∵点在第二象限， ∴， 解得， ∵a为整数， ∴或， 当时，，，此时点A的坐标为； 当时，，，此时点A的坐标为； 综上，点A的坐标是或． 题型五、平面直角坐标系点坐标平移 13．在平面直角坐标系中，点的坐标为，将点向右平移3个单位，再向下平移3个单位后得到点，且点位于第三象限． (1)求的取值范围； (2)若为整数，求出、两点的坐标． 【答案】(1) (2)点的坐标为，点的坐标为 【分析】（1）按照平移得到N的坐标，根据第三象限的坐标性质列出不等式即可解得． （2）a为整数，确定a的值，带入即可解得坐标． 【详解】（1）∵点的坐标为， ∴将点向右平移3个单位，再向下平移3个单位后得到点的坐标为． ∵点位于第三象限， ∴ 解得：． （2）∵为整数，， ∴ 则，，， ∴点的坐标为，点的坐标为． 【点睛】此题考查了坐标平移规律，解题的关键是根据象限的坐标性质列出不等式确定a的取值范围． 14．在平面直角坐标系中，点M的坐标为（a，－2a）． （1）当a＝－1时，点M在坐标系的第_____象限；（直接填写答案） （2）将点M向左平移2个单位，再向上平移1个单位后得到点N，当点N在第三象限时，求a的取值范围． 【答案】（1）二；（2）＜a＜2 【分析】（1）当a=-1时点M的坐标为（-1，2），所以M在第二象限； （2）根据平移方法，可得到N点坐标，N在第三象限，所以横坐标小于0，纵坐标小于0解不等式组可得a的取值范围． 【详解】解：（1）当a=-1时点M的坐标为（-1，2），所以M在第二象限， 故填“二”； （2）将点M向左平移2个单位，再向上平移1个单位后得到点N， 点M的坐标为（a，-2a），所以N点坐标为（a-2，-2a+1）， 因为N点在第三象限，所以， 解得＜a＜2， 所以a的取值范围为＜a＜2． 【点睛】本题考查了图形的平移变换．关键是要懂得左右平移点的纵坐标不变，而上下平移时点的横坐标不变． 15．（教材变式）长方形在平面直角坐标系中的位置如图所示．将长方形沿轴向右平移使点与原点重合，再沿轴向下平移，使点与原点重合，则此时点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了坐标与图形的平移变换．熟练掌握点的平移规律是解题的关键．平移点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减． 首先根据题意得到平移方式，然后根据平移规律求解即可． 【详解】解：∵将长方形沿轴向右平移使点与原点重合，再沿轴向下平移，使点与原点重合， ∴平移方式为沿轴向右平移4个单位，再沿轴向下平移3个单位 ∴点C的坐标变为，即． 故答案为：． 题型六、正比例函数的概念、图象与性质 16．已知是正比例函数，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了正比例函数的定义，代数式求值，根据正比例函数的定义求出的值，再代入代数式计算即可求解，掌握正比例函数的定义是解题的关键． 【详解】解：∵函数是正比例函数， ∴且， 解得 ， ∴， 故答案为：． 17．如图，三个正比例函数的图象分别对应的表达式是：①；②；③．请用“>”表示，，的大小关系 ． 【答案】 【分析】本题主要考查正比例函数的图象，掌握正比例函数图象的性质是解题的关键． 直接根据正比例函数的性质判断a、b、c的大小即可解答． 【详解】解：由图象可得，， ∴． 故答案为：． 18．已知正比例函数． (1)判断点是否在正比例函数的图象上，并说明理由． (2)若点和在正比例函数的图象上，则___________．（填“”“ ”“或“=”） 【答案】(1)不在，理由见解析 (2) 【分析】（1）计算时，对应的函数值，若等于，在正比例函数的图象上，反之不在． （2）根据函数的性质解答即可． 本题考查了点与图象的关系，函数的增减性解题，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】（1）解：当时，， 故点不在正比例函数的图象上． （2）解：∵中， ∴y随x的增大而减小， ∵， ∴． 故答案为：． 题型七、一次函数的概念 19．在平面直角坐标系中，四个点的坐标分别为，，，．若一次函数的图象经过上述四个点中的三个点，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的知识点是根据一次函数的定义求参数，解题关键是利用分类讨论思想求解． 分四种情况讨论：假设，，三点共线；，，三点共线；，，三点共线；，，三点共线，将共线三点代入一次函数解析式，推导得出的值． 【详解】解：设，，三点共线， 代入一次函数中可得， 将分别代入、可解得， 值不相等， ，，三点不共线，不符合题意； 设，，三点共线， 代入一次函数中可得， 将分别代入、可解得， 值不相等， ，，三点不共线，不符合题意； 设，，三点共线， 代入一次函数中可得， 、得， 值相等， ，，三点共线，符合题意； 设，，三点共线， 代入一次函数中可得， 将分别代入、可解得， 值不相等， ，，三点不共线，不符合题意； 综上，，，三点共线，此时， 则， 即， ． 故选：． 20．若是关于x的一次函数，则m的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的定义．熟练掌握解析式形如，这样的函数叫一次函数是解题的关键． 根据一次函数的定义得到且，据此即可求解． 【详解】解：∵是关于x的一次函数， ∴且， 解得， 故答案为：． 21．已知函数． (1)当m，n取何值时，此函数为一次函数？ (2)当m，n取何值时，此函数为正比例函数？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一次函数和正比例函数的定义，解答的关键是熟知：形如的函数是一次函数，形如的函数是正比例函数． （1）根据一次函数的定义即可解答； （2）根据正比例函数的定义即可解答． 【详解】（1）解：当函数是一次函数时， ，且， 解得， 所以当时，函数是一次函数． （2）解：当函数是正比例函数时， ，且， 解得， 所以当时，函数是正比例函数． 题型八、画一次函数的图象 22．在平面直角坐标系中，画出函数的图像，并写出与坐标轴的交点坐标． 【答案】图象见解析；与坐标轴的交点为，． 【分析】本题考查了一次函数的图象，主要利用了一次函数图象与坐标轴的交点的求法，以及两点法作一次函数图象． 令分别求出与坐标轴的交点，然后利用两点法作出函数图象即可． 【详解】解： 令， 令，则， 解得， ∴与坐标轴的交点为，． 23．已知与成正比例，当时，， (1)求出与之间的函数关系式； (2)在平面直角坐标系中画出该函数的图象． 【答案】(1) (2)图象见详解 【分析】本题主要考查一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键； （1）根据待定系数法可进行求解； （2）根据描点、连线可作函数图象． 【详解】（1）解：由题意可设， ∴当时，则， ∴， ∴与之间的函数关系式为； （2）解：当时，，当时，，则所作函数图象如图所示： 24．（1）画出函数的图象（要求列表、描点、连线）； （2）结合图象，写出该函数图象与x轴、y轴的交点坐标； （3）求该函数图象与两坐标轴围成的三角形面积． 【答案】（1） 见解析；（2）该函数图象与x轴的交点坐标为，与y轴的交点坐标为；（3）2 【分析】本题主要考查了画一次函数图象，一次函数的图象与坐标轴的交点坐标： （1）根据列表、描点、连线的步骤即可解答； （2）直接观察图象，即可解答； （3）根据三角形的面积公式即可进行解答． 【详解】解：（1）解：列表如下： x 0 1 2 3 y 3 2 1 0 描点、连线，画出函数图象如下： （2）该函数图象与x轴、y轴的交点坐标分别为； （3）该函数图象与两坐标轴围成的三角形面积为． 题型九、求一次函数的自变量或函数值 25．已知函数． (1)当n为何值时，函数是一次函数？ (2)如果函数是一次函数，计算当的函数值． 【答案】(1)当时，函数是一次函数 (2)函数值为 【分析】本题考查了一次函数的定义，以及求函数值． （1）根据一次函数的定义得到，求出，再判断一次项系数是否为0即可； （2）求出一次函数解析式，再把代入求解函数值． 【详解】（1）解：由题意得，时，则， 此时， ∴当时，函数是一次函数； （2）解：由（1）得， ∴一次函数解析式为， 当时，． 26．已知函数． (1)求当时，函数y的值； (2)求当时，自变量x的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了求自变量值或函数值，已知自变量值或求函数值或自变量，是基础题，准确计算是解题的关键． （1）把x的值分别代入函数关系式计算即可得解； （2）把函数值代入函数关系式，解关于x的一元一次方程即可． 【详解】（1）解：当时，； （2）解：当时，， 解得：． 27．已知与成正比例，且当时，． (1)求y与的函数解析式； (2)如果x的取值范围是，求y的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了求正比例函数解析式，求一次函数值的取值范围： （1）设 ，然后利用待定系数法求解即可； （2）根据一次函数的性质得到y随x增大而减小，再分别求出当时，当时的函数值即可得到答案． 【详解】（1）解：设 ， ∵当时，， ∴， ∴， ∴，即； （2）解：∵在中，， ∴y随x增大而减小， 当时，， 当时，， ∴当时，． 题型十、已知函数经过的象限求参数范围 28．已知一次函数． (1)m为何值时，直线经过原点？ (2)m为何值时，直线经过第一、二、三象限？ (3)m为何值时，直线不经过第三象限？ 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、一次函数的定义以及一次函数图象与系数的关系． （1）由一次函数的图象经过原点，利用一次函数图象上点的坐标特征及一次函数的定义可得出关于m的一元一次方程及一元一次不等式，解之即可得出m的值； （2）由一次函数的图象经过第一、二、三象限，利用一次函数图象与系数的关系可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围； （3）由直线不经过第三象限，利用一次函数图象与系数的关系可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围． 【详解】（1）解：∵一次函数经过坐标原点， ∴且， 解得：． 故m为时，函数的图象经过坐标原点． （2）解：∵一次函数的图象经过第一、二、三象限， ∴， 解得：． 故时，直线经过第一、二、三象限． （3）解：∵直线不经过第三象限， ∴， 解得， 故时，直线不经过第三象限． 29．已知关于的函数． (1)若这个函数的图象经过原点，求的值． (2)若这个函数是一次函数，且图象经过第一、二、四象限，求的取值范围． 【答案】(1)； (2)的取值范围是． 【分析】本题主要考查了一次函数图象的性质，解不等式组， 对于（1），将点代入关系式，再计算可得答案； 对于（2），根据一次函数图象经过第一、二、四象限，可知，求出解集即可. 【详解】（1）解：关于的函数的图象经过原点， 点满足函数的解析式，， 解得； （2）解：函数是一次函数，且图象经过第一、二、四象限， ∴， 解得， 的取值范围是． 30．已知函数. (1)若这个函数图象经过原点，求m的值； (2)若这个函数是一次函数，且图象经过第一、二、三象限，求m的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据已知条件知，关于的函数的图象经过点，所以把代入已知函数解析式列出关于系数的方程，通过解方程即可求得的值； （2）根据题意列不等式组即可得到结论． 本题考查的是一次函数图象上点的坐标特征，熟知一次函数图象上各点一定适合此函数的解析式以及一次函数的性质是解答此题的关键． 【详解】（1）解：关于的函数的图象经过原点， 点满足函数的解析式， ， 解得． （2）解：函数是一次函数，且图象经过第一、二、三象限， 且， ， 的取值范围是． 题型十一、一次函数解析式 31．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，且与正比例函数的图象交于点． (1)求点的坐标； (2)求一次函数的表达式． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了求一次函数的解析式，一次函数的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，把代入，求出，即可作答． （2）运用待定系数法求一次函数的解析式，即可作答． 【详解】（1）解：点在正比例函数图象上， ， ， （2）解：由（1）得，在一次函数图象上， 代入一次函数解析式可得， 解得， 一次函数的解析式为． 32．已知是的一次函数，且当时，；当时，． (1)求关于的函数表达式； (2)当时，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查一次函数的运用，掌握待定系数法，自变量取值范围的计算是关键． （1）根据一次函数的定义，设，运用待定系数法即可求解； （2）根据函数解析式，函数值的取值方法计算自变量的取值范围即可． 【详解】（1）解：已知是的一次函数， ∴设， ∵当时，，当时，， ∴， 解得，， ∴； （2）解：∵， ∴一次函数图象经过第一、三、四象限，随的增大而增大， ∵， ∴当时，，解得，， 当时，，解得，， ∴当时，的取值范围为． 33．已知，其中与x成正比例，与成正比例，且当时，；当时，． (1)求y与x之间的函数表达式； (2)求当时，y的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了正比例函数的定义，待定系数法求一次函数解析式，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据题意设，则，然后利用待定系数法求得a、b的值，即可解答； （2）根据（1）中的结论，把代入计算，即可解答． 【详解】（1）解：设， ， ， 当时，；当时，． ， 解得， ； （2）解：当时，． 题型十二、一次函数的增减性 34．已知关于的一次函数． (1)若函数值随着的增大而增大，则m的取值范围是 ． (2)若此一次函数的图象经过第一、二、四象限，求m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查一次函数的图象与系数的关系，一次函数图象上点的坐标特征，解一元一次不等式组，熟练掌握一次函数的性质是解此题的关键． （1）依据题意，根据一次函数的性质可得当时，函数值随的增大而增大，求解即可； （2）根据此一次函数的图象经过第一、二、四象限，列出关于m的不等式组，求出m的取值范围即可． 【详解】（1）解：由题意，函数值随着的增大而增大， ， 解得：， 故答案为：． （2）解：此一次函数的图象经过第一、二、四象限， 解得， 即的取值范围为． 35．已知直线（k、b是常数） 经过点，且y随x的增大而减小，则b的值可以是 （写出一个即可） 【答案】4(答案不唯一) 【分析】本题考查了根据一次函数增减性求参数，求一次函数解析式等知识，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 直线经过点，代入解析式得；由y随x的增大而减小，得．选择满足条件的k值，代入关系式，即可求出b的值． 【详解】解：∵直线经过点， ∴，即． ∵y随x的增大而减小， ∴． 当时，． ∴b的值可以是4． 故答案为：4(答案不唯一)． 36．已知一次函数，请解答下列问题： (1)为何值时，该函数的图象与直线平行？ (2)为何值时，随增大而增大？ (3)为何值时，该函数的图象经过第二、三、四象限？ 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了两直线相交或平行的性质、一次函数图象与系数的关系，明确：①当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小，②两直线平行时，一次项系数相等． （1）两直线平行，则一次项系数相等，常数项不等，列式求解即可； （2）根据y随x的增大而增大可知：，求解即可； （3）函数的图象经过第二、三、四象限可知：，求解即可． 【详解】（1）由题意得 解得； （2）由题意得， 解得； （3）由题意得 解得． 题型十三、一次函数的平移问题 37．一次函数的图象经过点和点． (1)求这个函数的表达式； (2)直接写出将这条直线向上平移4个单位长度的函数表达式． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减”的法则是解题的关键； （1）直接把点和点代入一次函数，求出k，b的值即可得出函数解析式； （2）根据平移规律求解即可． 【详解】（1）解：设，代入， 得，解得， ∴这个函数的表达式为； （2）解：∵直线向上平移4个单位长度 ∴平移后的函数表达式为． 38．在平面直角坐标系中，已知一次函数，完成下列问题： (1)画出一次函数的图像； (2)此函数图像与坐标轴围成的三角形的面积是________； (3)将直线沿y轴向下平移3个单位长度，平移后的直线与x轴交于点A，与y轴交于点B．在y轴有一点P，使的面积等于2，则点P的坐标是________． 【答案】(1)见解析 (2)4 (3)点P的坐标是或． 【分析】本题考查的是一次函数图像上点的坐标特点，一次函数图像与几何变换，熟知一次函数图像上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键． （1）利用两点画出函数图像； （2）分别求出直线与x轴、y轴的交点，进而解答即可； （3）根据平移的规律求得平移后的函数解析式，然后求出点A，点B的坐标，设点P的坐标是，利用三角形面积公式列式求解即可． 【详解】（1）解：令，解得，令，则， 一次函数的图像如图： （2）解：令，解得，令，则， 直线与x轴交点坐标为，与y轴交点坐标为， 函数图像与坐标轴围成的三角形的面积是； 故答案为：4； （3）解：将直线沿y轴向下平移3个单位长度，得，即， 令，则，解得；令，则； ，， 设点P的坐标是， 由题意得， 解得或， ∴点P的坐标是或． 39．如图，线段两个端点的坐标分别为，一次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点． (1)求一次函数的解析式． (2)将直线向上平移a个单位长度，使平移后的直线与线段有交点，求a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了一次函数的图象与几何变换，一次函数的性质，灵活运用所学知识解决问题并认真计算是解题的关键． （1）把和代入可求得解析式； （2）设平移后的直线的解析式为ya，把分别代入，求出a的值，进一步即可求得a的取值范围． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点． ∴把和代入可得， ， 解得， ∴这个一次函数的解析式为：； （2）解：将直线向上平移a个单位长度，得直线的解析式为：， 把分别代入， 得，解得， 得，解得， ∴a的取值范围是． 题型十四、比较一次函数值的大小 40．已知点都在直线上，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键；因此此题可根据一次函数的性质进行求解即可． 【详解】解：∵点，，都在直线，且，即y随x的增大而增大， 又， ∴； 故选：C． 41．点，是一次函数（k，b为常数，且）的图象上的两点，且，则k的值为 ． 【答案】3 【分析】本题考查一次函数的性质．将，代入得，的值，进一步计算即可求解． 【详解】解：将，代入得， ，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：3． 42．在平面直角坐标系中，一次函数的图象由正比例函数的图象平移得到，且经过点． (1)确定这个一次函数表达式； (2)若点，在这个一次函数的图象上，试比较y1与y2的大小． 【答案】(1)这个一次函数的表达式为 (2) 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握以上知识点是关键． （1）根据待定系数法求出一次函数解析式即可； （2）根据一次函数图象上点的坐标特征解答即可． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象由正比例函数的图象平移得到， ∴， 又∵一次函数的图象过点， ∴， ∴这个一次函数的表达式为． （2）解：∵， ∴一次函数y随x的增大而增大， ∵， ∴． 题型十五、求直线围成的图形面积 43．直线和分别交y轴于A、B两点，两直线交于点． (1)求m，k的值； (2)求的面积． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了一次函数与几何综合，涉及待定系数法求函数解析式，直线与坐标轴的交点坐标，正确求出直线的表达式是解题的关键． （1）先利用直线求出点C坐标，再利用直线求出，的值． （2）两个函数图象与y轴的交点为点，，即时，可以求出，坐标，即可得出三角形面积． 【详解】（1）解：∵点在直线上， ∴， ∴点的坐标为． ∵点在直线上， ∴， 解得：， ∴，． （2）解：∵点是直线与轴的交点， ∴令，则． ∴点的坐标为． ∵点是直线与轴的交点， ∴令，则． ∴， ∴． 44．如图，直线与坐标轴交于 A，B两点． (1)求点 A 与点 B 的坐标; (2)若 P 为直线上一点，当时，求点 P的坐标． 【答案】(1)； (2)点 P 的坐标为或 【分析】本题考查了一次函数与坐标轴的交点问题、三角形面积公式，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）分别令，，即可得出、的坐标； （2）设点P的坐标为，根据得出，求出或，即可得出答案． 【详解】（1）解：在中，当时，， 当时，， 解得：， ，； （2）解：设点P的坐标为， ∵， ∴， 解得：或， ∴点 P 的坐标为或． 45．一次函数的图象分别与x、y轴交于A、B两点，正比例函数与交于点． (1)求m的值及的解析式； (2)若点D在x轴上，且满足，求点D的坐标． 【答案】(1)， (2)或 【分析】本题考查一次函数图象上点的坐标特征，坐标与图形性质，熟知待定系数法是解题的关键． （1）将点坐标代入的函数解析式可求出，再将点坐标代入的函数解析式中求解即可； （2）根据和的面积关系，可求出的长，进而解决问题． 【详解】（1）解：将代入一次函数解析式中，得， 解得． 则点坐标为． 设的解析式为， 将点坐标代入，得， 解得， 所以的解析式为； （2）解：将代入中，得， ∴点坐标为，又， 故． ∵， ∴，又， 则， 解得， 又点坐标为， ∴点坐标为或． 题型十六、一次函数与方程的关系 46．已知一次函数（为常数，）和． (1)若的图象过点，求的值； (2)在（1）的条件下，与的图象的交点坐标为__________． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一次函数图象的交点问题，待定系数法求解函数解析式． （1）将点代入即可求解； （2）先求出，再与联立求解即可． 【详解】（1）解：一次函数的图象经过点， ∴， 解得； （2）解：∵， ∴， 与联立得，， 解得， ∴此时交点纵坐标为， ∴与的图象的交点坐标为， 故答案为：． 47．在平面直角坐标系中有两条直线，和它们的交点为P，与x轴交点分别为A、B． (1)点A、B的坐标分别为_________ (2)求点P的坐标 (3)以P、A、B为顶点的三角形的面积为_________ 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了求直线围成的图形面积，两直线的交点与二元一次方程组的解，一次函数图象与坐标轴的交点问题，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，令，分别算出和对应的x的值，即可得出； （2）理解题意，得出，故，然后把代入，得，即可作答． （3）理解题意，得出，再把数值代入进行计算，即可作答． 【详解】（1）解：和与x轴交点分别为A、B， ∴令，则 解得， 故 令，则 解得， 故； （2）解：∵和它们的交点为P， ∴， 解得， 把代入，得， ∴； （3）解：由（1）得， 由（2）得， ∴， ∴． 48．在平面直角坐标系中，函数与的图象交于点． (1)求k，b的值； (2)当时，对于x的每一个值，函数的值既大于函数的值，也大于函数的值，直接写出m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式，一次函数图象平行的条件，利用数形结合的思想是解决本题的关键． （1）将代入先求出k，再将和k的值代入即可求出b； （2）根据数形结合的思想解决，将问题转化为当时，对于的每一个值，直线的图象在直线和的上方，画出临界状态图象分析即可． 【详解】（1）解：由题意，将代入得：， 解得：， 将，，代入函数中， 得：， 解得：， ∴； （2）解：∵， ∴两个一次函数的解析式分别为， 当时，对于的每一个值，函数的值既大于函数的值，也大于函数的值， 即当时，对于的每一个值，直线的图象在直线和直线的上方，则画出图象为： 由图象得：当直线与直线平行时符合题意， 或者，当与x轴的夹角大于直线与x轴的夹角也符合题意， ∴当时，对于的每一个值，直线的图象在直线和直线的上方时，， ∴m的取值范围为． 题型十七、一次函数与不等式的关系 49．已知一次函数的图象经过点，，与x轴，y轴相交于点C，D． (1)结合函数图象，直接写出的解集为______； (2)求一次函数的表达式； (3)求的面积． 【答案】(1) (2) (3)8 【分析】本题考查一次函数与一元一次不等式、待定系数法求一次函数的解析式、三角形面积等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识． （1）结合函数图像与点B的坐标可回答． （2）用待定系数法求一次函数解析式即可． （3）先求出点C的坐标，即可得出，再根据即可得出答案． 【详解】（1）解：根据函数图像以及点可知， ∴当时，， 故答案为：． （2）解，∵一次函数的图象经过点，， ∴， 解得：， ∴一次函数的解析式为： （3）另，则， 解得：， ∴， ∴ ∴ 50．已知一次函数． (1)在如图所示的平面直角坐标系中，画出该函数的图象； (2)设函数的图象与轴交于点，与轴交于点，求的面积； (3)利用图象直接写出：当时，的取值范围． 【答案】(1)画图见解析 (2) (3) 【分析】本题考查的是画一次函数的图象，利用一次函数的图象求解不等式的解集，熟练的利用数形结合的方法解题是关键； （1）先列表，再描点并连线即可； （2）根据，，再结合三角形的面积公式计算即可； （3）利用函数图象确定时，的取值范围即可． 【详解】（1）解：列表如下： 描点并连线如下： ． （2）由（1）得：，， ∴； （3）由图象可得： 当时，． 51．已知：如图一次函数与的图象相交于点A． (1)若一次函数与的图象与x轴分别相交于点B、C，求的面积． (2)结合图象，直接写出时x的取值范围． 【答案】(1)9 (2) 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，三角形面积的求解，一次函数与一元一次不等式的关系，熟练掌握一次函数的图象与性质是解决本题的关键． （1）先联立与求解x与y的值，即可得点A的坐标，再求解点B与点C的坐标即可求解面积； （2）表示函数的图象在函数的图象上方的x的取值范围包括交点，根据函数图象即可求解． 【详解】（1）解：解方程组，解得， 所以点A坐标为； 当时，，解得，则B点坐标为； 当时，，解得，则C点坐标为； ∴， ∴的面积为； （2）解：表示函数的图象在函数的图象上方的x的取值范围包括交点的横坐标， ∵两个函数的交点坐标为， 根据图象可知，时x的取值范围是． 题型十八、分配方案问题 52．甲、乙两家商场平时以同样价格出售相同的商品．春节期间两家商场都让利酬宾，其中甲商场所有商品按8折出售，乙商场对一次购物中超过200元后的价格部分打7折． （1）以x（单位：元）表示商品原价，y（单位：元）表示购物金额，分别就两家商场的让利方式写出y关于x的函数解析式； （2）春节期间如何选择这两家商场去购物更省钱？ 【答案】（1）甲，乙； （2）当购物金额按原价等于600元时，在两商场购物花钱一样多； 当购物金额按原价大于600元时，在乙商场购物省钱； 当购物金额按原价小于600元时，在甲商场购物省钱 【分析】（1）根据题意列出解析式，甲商场直接用商品原价乘以折扣等于购物金额，乙商场分情况讨论，区分200元以内和超过200元两种情况； （2）比较甲乙两家商场的购物金额，解一元一次不等式即可 【详解】（1）商品原价乘以折扣等于购物金额 甲 当时， 当时， 乙 （2）两商场购物花钱一样多时： ，解得： 在甲商场购物省钱： ，解得： 乙商场购物省钱： ，解得： 当购物金额按原价等于600元时，在两商场购物花钱一样多； 当购物金额按原价大于600元时，在乙商场购物省钱； 当购物金额按原价小于600元时，在甲商场购物省钱． 【点睛】本题考查了列代数式，一元一次不等式的应用，理解题意列出解析式是本题解题的关键． 53．某校要采购一款水杯，了解到有A，B两家超市可供选择，此款水杯在A，B两家超市售价均为50元，为了促销两家超市给出了不同的优惠方案： A超市：打8折出售； B超市：20个以内（含20个）不打折，超过20个后，超过的部分打7折． 该校计划购买水杯x个，设去A超市购买应付元，去B超市购买应付元． (1)分别求出，关于x的函数关系式； (2)若该校只在一个超市购买，怎样买更划算． 【答案】(1)，； (2)当时，在A厂家购买划算；当时，两个厂家付款一样；当时，在B厂家购买划算． 【分析】本题考查一次函数的应用，理解题意、根据题意写出函数关系式并掌握一元一次不等式的解法是本题的关键． （1）根据售价、购买数量和折扣可直接写出关于x的函数关系式；分别根据购买数量小于等于20件和大于20件两种情况列出方程即可； （2）根据x不同的取值范围，分别求出当、、时对应的x的取值范围即可． 【详解】（1）解：，， ∴， 当时，， 当时，， ∴； （2）解：当时，， 当且为整数时： 若，得，解得； 若，得，解得； 若，得，解得； 综上，当时，在A厂家购买划算；当时，两个厂家付款一样；当时，在B厂家购买划算． 54．为鼓励学生加强锻炼，增强体质，某校准备购买若干套健身器材供学生使用，经调查，某公司有，两种健身器材可供选择，每套型健身器材售价为万元，每套型健身器材售价为万元，经协商，该公司承诺：每套型健身器材在售价的基础上减免万元；每套型健身器材在售价的基础上打七折．学校想购进，两种健身器材共套，若型健身器材买套，共花费万元． (1)请求出与的函数关系式； (2)若型健身器材的数量不超过套，学校应如何购买才能使总费用最少？ 【答案】(1) (2)购买型健身器材套，型健身器材套才能使总费用最少 【分析】本题主要考查一次函数的应用，解题的关键是理解题意； （1）根据题意易得购买型健身器材套，然后可列函数解析式进行求解； （2）根据题意易得，然后由及一次函数的增减性可进行求解． 【详解】（1）解：若型健身器材买套，则型健身器材套， 由题意得：， 即与的函数关系式为（，且x为整数）； （2）解：由题意可知，，由可知，总费用为：， 随的增大而减小， 当时，有最小值， 即若型健身器材买套， 则型健身器材买套， 答：购买型健身器材套，型健身器材套才能使总费用最少． 题型十九、最大利润问题 55．为提升训练质量，某羽毛球俱乐部计划采购某品牌羽毛球训练器材．经市场调查了解到该品牌羽毛球拍每副120元，羽毛球每筒40元，某体育用品商场抓住机遇推出促销活动，提供了两种优惠方案： 方案一：买一副羽毛球拍送一筒羽毛球； 方案二：羽毛球拍和羽毛球全部按定价打八折． 若该羽毛球俱乐部需采购球拍100副，羽毛球x筒．方案一、二所需付款金额分别为元、元． (1)求， 与之间的函数表达式； (2)当时，通过计算比较这两种方案哪种更划算． 【答案】(1)， (2)方案一更划算，理由见解析 【分析】本题主要考查了函数关系式，求函数值，根据题意列出代数式是解题的关键． （1）根据两种不同的优惠方案列出函数关系式即可； （2）把分别代入（1）中函数关系式，然后进行比较即可． 【详解】（1）解：， （2）解：当时，， ， 方案一更划算． 56．中秋节前夕，某批发部购入一批进价为5元/千克的阳光玫瑰葡萄，销售过程中发现：日销量（千克）与售价（元/千克）满足如图所示的一次函数关系． (1)求与之间的函数关系式； (2)若计划日销售利润为1440元，那么每千克葡萄的售价应定为多少元？ 【答案】(1) (2)每千克葡萄的售价应定为11元 【分析】本题主要考查一元二次方程与一次函数的应用，解题的关键是理解题意； （1）设与之间的函数关系式为，然后由图象可把点代入进行求解即可； （2）由题意易得方程，然后进行求解即可． 【详解】（1）解：设与之间的函数关系式为，由图象可把点代入得： ，解得：， ∴与之间的函数关系式为； （2）解：由（1）及题意可得： ， 解得：， 答：每千克葡萄的售价应定为11元． 57．某电商公司根据市场需求购进一批，两种型号的电脑小音箱进行销售，每台型小音箱的进价比型小音箱的进价多10元，用6000元购进型小音箱的台数是用4000元购进型小音箱的台数的2倍． (1)求每台两种型号的小音箱的进价． (2)该电商公司计划分别购进两种型号的小音箱共80台进行销售，其中型小音箱台数不少于型小音箱台数的2倍，型小音箱每台售价为35元，型小音箱每台售价为48元，怎样安排进货才能使售完这80台小音箱所获利润最大?最大利润是多少元? 【答案】(1)每台型小音箱的进价是元，每台型小音箱的进价是元 (2)购进型小音箱台、型小音箱台才能使售完这台小音箱所获利润最大，最大利润是元 【分析】本题主要考查了分式方程和一次函数的实际应用，关键在于知识点的掌握和与现实生活结合的能力． （1）根据已知条件建立方程求出两种型号小音箱的进价． （2）根据利润关系和数量限制条件确定利润最大时的进货方案． 【详解】（1）设每台型小音箱的进价是元，则每台型小音箱的进价是元． 根据题意，得， 解得， 经检验，是所列分式方程的根， ， 每台型小音箱的进价是元，每台型小音箱的进价是元； （2）设购进型小音箱台，则购进型小音箱台， 根据题意，得， 解得且为整数， 设售完这台小音箱所获利润为元，则， ， 随的减小而增大， 且为整数， 当时，取最大值，（元）， 此时购进型小音箱（台）， 购进型小音箱台、型小音箱台才能使售完这台小音箱所获利润最大，最大利润是元． 题型二十、行程问题 58．甲乙两人匀速从学校出发到1500米处的图书馆看书，如图分别表示甲、乙两人离开学校的距离与甲出发后的时间之间的关系，甲的速度为． (1)由图象可知：甲比乙先出发________分钟，乙的速度是________； (2)甲出发多少分钟，两人相遇，这时他们离开学校多少米？ 【答案】(1)3，50 (2)甲出发15分钟，两人相遇，这时他们离开学校600米 【分析】本题主要考查一次函数的应用，解题的关键是理解题意； （1）根据图象可直接进行求解； （2）分别求出的解析式，然后问题可求解． 【详解】（1）解：由图象可知：甲比乙先出发3分钟，乙的速度为； 故答案为3，50； （2）解：设直线的解析式为，由图象可把点代入得： ，解得：， ∴直线的解析式为， 同理可得：， 联立，解得， 答：甲出发15分钟，两人相遇，这时他们离开学校600米． 59．据悉，邻国某地发生级地震，我国救援队紧急集结赴灾区开展地震救援．某救援队利用无人机勘测灾情，从地面升起一架无人机，匀速上升，上升到处，悬停拍照，又匀速下降到处，悬停拍照，然后匀速返回地面，无人机的高度和时间的函数图象如图所示． (1)直接写出结果： ， ； (2)求段的函数表达式： (3)求段无人机下降的速度． 【答案】(1)， (2)段的解析式为：； (3) 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，从函数图象获取信息，待定系数法求一次函数的表达式，正确理解题意，从图中获取信息是解答本题的关键． （1）根据题意，结合图象即可得出答案； （2）用待定系数法，设为，把，代入求解即可； （3）利用路程除以时间，即可求解． 【详解】（1）解：由题意可得：，； （2）解：设为， 把，代入得： ， 解得：， ∴段的解析式为：； （3）解：段无人机下降的速度为． 60．一辆巡逻车从A地出发沿一条笔直的公路匀速驶向B地，后，一辆货车从A地出发，沿同一路线每小时行驶匀速驶向B地，货车到达B地填装货物耗时，然后立即按原路匀速返回A地．巡逻车、货车离A地的距离与货车出发时间之间的函数关系如图所示，请结合图象解答下列问题： (1)A，B两地之间距离是 ， ； (2)结合图象，求线段所在直线的解析式？ (3)货车出发多长时间时，两车相距？（直接写出答案） 【答案】(1)60，1 (2) (3)或或 【分析】本题主要考查行程问题，函数图象获取形象，一次函数图象的运用，理解函数图象，掌握一次函数解决实际问题的方法，正确列方程求解是关键． （1）根据函数图象，行程的数量关系求解即可； （2）直线经过点，且，运用待定系数法即可求解； （3）运用待定系数法分别得到线段的解析式为，线段的解析式为，根据函数图象，分类讨论，列出方程求解即可． 【详解】（1）解：一辆货车从A地出发，沿同一路线每小时行驶匀速驶向B地，，货车到达B地填装货物耗时，然后立即按原路匀速返回A地， 根据图示可得，货车从的时间为， ∴两地之间的距离为， ∴， ∴货车从的时间为， 故答案为：，； （2）解：一辆巡逻车从A地出发沿一条笔直的公路匀速驶向B地，后，一辆货车开始出发， ∴直线经过点，且， 设直线的解析式为， ∴， 解得，， ∴线段所在直线的解析式为； （3）解：设线段的解析式为，， ∴， 解得，， ∴线段的解析式为， 货车去时与巡逻车相遇前，两车相距， ∴， 解得，（不符合题意，舍去）； 货车去时与巡逻车相遇后，两车相距， ∴， 解得，，即时，两车相距； 设线段的解析式为，且， ∴， 解得，， ∴线段的解析式为， ∴当货车返回时未相遇时，两车相距， ∴， 解得，，即时，两车相距； ∴当货车返回时相遇后，两车相距， ∴， 解得，，即时，两车相距； 综上所述，当或或时，两车相距． 题型二十一、梯度计价问题 61．为了增强市民的节水意识，合理利用水资源，某城市规定用水收费标准如下：每户每月用水量不超过6m3时，按3.2元收费；每户每月用水量超过时，超过的部分按3.8元收费．设每户每月用水量为，应缴费y元． (1)写出每月用水量不超过和超过时，y与x之间的函数关系式，并判断它们是否为一次函数． (2)已知某户5月份的用水量为，求该户5月份的水费． 【答案】(1)当时，，是一次函数；当时，，是一次函数 (2)该户月份的水费是元 【分析】（1）分别根据每月用水不超过和超过时的收费标准，即可得出与的函数关系式； （2）将，代入函数关系式即可得出答案． 【详解】（1）当时，，是一次函数； 当时，，即，是一次函数． （2）把代入中， 得（元）． 故该户月份的水费是元． 【点睛】本题考查了一次函数的运用，解答时求出函数的解析式是关键． 62．按某市电力部门用电收费标准，用电客户应付电费（元）与每月用电量（度）的关系如图所示． (1)分别求和时与的函数解析式； (2)求用电量为180度时的应付费用． 【答案】(1)时；时 (2)142元 【分析】本题考查了一次函数的应用，求一次函数的解析式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用待定系数法进行求一次函数，即可作答． （2）直接把代入进行计算，即可作答． 【详解】（1）解：设当时，， 把代入，得 解得 ∴； 设当时，， 把，分别代入， 得 解得 ∴； （2）解：依题意，由（1）得时 依题意，当时，(元) 63．某地出租车计费标准如下：当里程不超过时，均按起步价元收费；当里程超过时，超过部分按元收费．某乘客乘坐出租车时，观察到一些时刻的车费与行驶里程之间的关系如下表： 行驶里程 3 5 7 车费（元） 11 17 23 设行驶里程为，出租车的车费为元，是的一次函数． (1)________，________； (2)求与之间的函数表达式； (3)若某乘客一次乘坐出租车的行驶里程为，求这位乘客需付的车费． 【答案】(1)11，3 (2) (3)乘客需付车费50元 【分析】本题考查一次函数的实际应用，正确的列出函数关系式是解题的关键： （1）根据题意结合表格信息，得到，，即可得出结果； （2）根据收费方式得到，把（1）中的数值代入即可； （3）求出时的函数值即可． 【详解】（1）解：由题意，时，； 当时，，解得； 故答案为：11，3； （2）解：由（1）可知：； （3）解：∵， ∴当时，． 答：当行驶里程为时，该乘客需付车费50元． 题型二十二、平面直角坐标系中的规律探索问题（压轴） 64．如图所示的平面直角坐标系中，有一边长为的等边三角形，点，分别在轴、轴上，且．将进行“翻折、平移、翻折、平移”操作：将沿直线翻折，得到，再将沿直线向右平移个单位长度，得到；将沿直线翻折，得到，再将沿直线向右平移个单位长度，得到…如此循环操作（点分别是点，，的对应点，是正整数），则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了翻折变换，平移变换，等边三角形的性质，点坐标规律，设为非负整数，由，，，在轴上方，，，，在轴上，可得，在轴上方，，在轴上，又，则点在轴上方，然后观察，，，，从而得出，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：根据题意画出图形，如图， 由题意可得：， 设为非负整数， 由，，，在轴上方，，，，在轴上， ∴，在轴上方，，在轴上， ∵， ∴点在轴上方， ∵，，，， ∴， 故选：． 65．如图，在平面直角坐标系中，A，B，C，D是边长为1个单位长度的小正方形的顶点，开始时，顶点A，B依次放在点，的位置，然后沿x轴向右滚动，第1次滚动使点A落在点的位置，第2次滚动使点A落在点的位置……，按此规律滚动下去，则第2025次滚动后，顶点A的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了点的坐标变化规律，解题关键是找到点随滚动次数的变化规律．列举几次滚动后的点坐标，找到滚动次数与点坐标之间的规律，进而求出第2025次滚动后顶点的坐标． 【详解】解：第1次滚动点的坐标为， 第2次滚动点的坐标为， 第3次滚动点的坐标为， 第4次滚动点的坐标为， 滚动5次后，； 滚动6次后，； 滚动7次后，； 滚动8次后，； ∴每滚动4次一个循环， ， ， ， 即， 故答案为：． 66．如下图所示，在直角坐标系中，第一次将变换成，第二次将变换成，第三次将变换成，已知． (1)观察每次变换前后的三角形有何变化，找出规律，按此变换规律将变换成，则的坐标是______，的坐标是______． (2)若按第（1）题的规律将进行了次变换，得到，比较每次变换中三角形顶点坐标有何变化，找出规律，请推测的坐标是______，的坐标是______． 【答案】(1)， (2)， 【分析】考查了坐标与图形性质，坐标规律，仔细观察图形中点的横坐标的变化并熟悉2的指数次幂是解题的关键． （1）根据规律直接写出结论； （2）由题可得，点的规律为：可以发现它们各点坐标的关系为横坐标是，纵坐标都是3；点坐标规律为：可以发现它们各点坐标的关系为横坐标是，纵坐标都是0，再写出，的坐标即可． 【详解】（1）解：∵， ∴的横坐标为：，纵坐标为：， ∴点的坐标为：． 又∵， ∴的横坐标为：，纵坐标为：0， ∴点的坐标为：． 故答案为：； （2）解：由，可以发现它们各点坐标的关系为横坐标是，纵坐标都是3． 故的坐标为：． 由，可以发现它们各点坐标的关系为横坐标是，纵坐标都是0． 故的坐标为：． 故答案为：． 题型二十三、函数图象的识别问题（压轴） 67．已知动点P以的速度沿如图1所示的边框以的路径运动，记的面积为，s与运动时间的关系如图2所示，若．请回答下列问题： (1) ， ， ． (2)当的面积为15时，求出t的值． (3)若是等腰三角形时，请直接写出t的值． 【答案】(1)8；24；17 (2)t或 (3)或或 【分析】本题考查动点问题的函数图象，等腰三角形的性质，速度、时间、路程之间的关系，三角形的面积等知识，采用了数形结合的思想方法．解题的关键是读懂图象信息． （1）因为点速度为，所以根据图的时间可以求出线段，和的长度；由图像可知的值就是的面积，的值就是运动的总时间，由此即可解决； （2）分两和情况，由三角形面积可得出答案； （3）分，，三种情况，利用矩形的判定及性质及等腰三角形的性质求解即可． 【详解】（1）解：由图2可知，点从的运动时间为， ∴， 由图2可知，点从的运动时间为：， ∴， 由图2可知，点从的运动时间为， ∴． 根据题意得： ， ∵， ∴ ． ∴图2中的值为，的值为． 故答案为：8；24；17． （2）解：①当点P在上时， ， ∴， 此时； ②当点P在上时， ， ∴， 即还剩，P点运动到A点， ∴此时， 综上，或时，的面积S是15； （3）解：如图，当时，， 如图，当时，过点作于， ∴ 由题意得 ∴四边形是长方形， ∴， ∴； 如图，当时， ， 综上，若是等腰三角形时，的值为或或． 68．在一条笔直的公路上依次有，，三地，甲、乙两人同时出发，甲从地骑自行车匀速去地，途经地休息后继续按原速骑行至地，甲到达地后，立即按原路原速返回地；乙步行匀速从地至地．甲、乙两人距地的距离（单位：m）与出发时间（单位：）之间的关系如图所示，请结合图象解答下列问题： (1)甲的骑行速度为____________，乙的步行速度为____________，，两地的距离为____________m； (2)求甲返回时距地的距离与出发时间之间的关系式； (3)两人出发后，在甲返回到地之前，直接写出两人距地的距离相等时的出发时间． 【答案】(1)240，60，1200； (2)； (3)或或． 【分析】本题考查了一次函数的应用、行程问题中的分段讨论知识点，掌握从函数图像中提取关键信息、根据行程位置关系分类讨论的方法是解题的关键． （1）从图像中提取甲、乙的行程信息，利用速度 = 路程÷时间计算速度，再根据甲到地的距离确定两地距离； （2）确定甲返回的起始时间，用待定系数法求返回时的函数关系式； （3）分四种情况讨论两人距地的距离相等，根据位置关系列方程求解，筛选符合条件的解． 【详解】（1）解：∵甲从地到地用时，路程为， ∴甲的骑行速度为 ∵甲从地到地再返回地，总用时，其中休息， ∴甲的总骑行时间为min ∴两地的距离为(m) ∵乙从地到地用时，路程为， ∴乙的步行速度为 ； （2）解：，因为甲的速度为，从地到地距离为， 所以甲从地返回地时距地的距离与出发时间的关系式为； （3）解：两人距地的距离相等时的出发时间为或或； 由图象可知，，两地的距离为． 由（1）可知，甲的骑行速度为，乙的步行速度为，，两地的距离为，所以，两地的距离为． 由题意可分以下四种情况讨论： ①当时，甲在，两地之间，乙在，两地之间，所以，解得，此种情况不符合题意； ②当时，甲、乙都在，两地之间，所以，解得； ③当时，甲在，两地之间，乙在，两地之间， 所以， 解得； ④当时，甲在返回途中，乙在，两地之间． a．当甲在，之间时，， 解得， 此种情况不符合题意； b．当甲在，之间时，，解得． 综上所述，在甲返回到地之前，两人距地的距离相等时的出发时间为或或． 69．如图1，在一个矩形信息传输线路中，有、、、、五个信息基站，其中基站和的距离为48个单位长度，和的距离为24个单位长度，和为变速基站．信号源经过基站时速度会变为原来的一半，信号源经过基站时速度会变为原来的2倍，信号源P从出发按顺时针方向沿线路传输到被接收，信号源Q从出发按逆时针方向沿线路传输到被接收．信号源P和信号源Q同时出发，速度分别为每秒8个单位长度和每秒4个单位长度，运动时间为t秒，信号源Q与基站、构成的三角形面积S与运动时间的变化情况如图2所示． (1)图2中，_____，_____，_____． (2)若两个信号源的距离不超过10个单位长度时会互相干扰，求信号源在传输过程中相互干扰的时长． (3)当运动时间为t秒时，信号源P与基站、构成的三角形面积S和信号源Q与基站、构成的三角形面积S相差12，求t所有可能的取值． 【答案】(1)6；9；24 (2)秒 (3)， 【分析】本题主要考查了三角形的面积与底的正比例关系，关键是需要结合图像判断三角形的底是多少，有一定难度． （1）长为24个长度单位，即三角形的高是24个单位长度；据此用面积乘2除以高求得相应的底，即为信号Q的运动距离，进而用这个距离除以速度求得a值；同理求出相应的b、c之值得解． （2）由题意可知，信号源P，Q距离不超过10个单位长度时的位置是在上，此时P的速度均为每秒4个单位长度，Q的速度均为每秒8个单位长度，相遇前相距10个单位长度开始干扰，到相遇后相距10个单位长度结束，用10个单位长度乘以2，再除以信号源P，Q速度和等于干扰时长． （3）信号源P与基站、构成的三角形面积和信号源Q与基站、构成的三角形面积S与运动时间t的变化情况如图，根据图以及三角形面积公式，即可求出t所有可能的取值． 【详解】（1）解：（个单位长度）， （秒）， （个单位长度）， （秒）， （秒）， 故答案为：6；9；24． （2）解：（秒）， 答：信号源P，Q在传输过程中相互干扰的时长为秒． （3）解：由图可知，t的取值有2个； ①当时， ， ， ， ， ， ②当时， ， ， ， ， ， ， 答：可能的取值为，． 题型二十四、一次函数的平移综合（压轴） 70．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于，两点，以线段为一边向直线左侧作正方形． (1)求直线的解析式． (2)将直线向上平移个单位长度．当直线与线段有交点时，求的取值范围． (3)若点是直线上一点，点是坐标平面内一点，当以，，，为顶点的四边形是菱形时，直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)点的坐标为或或或 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，图形平移，正方形性质，菱形的判定与性质，一元二次方程的应用知识点，掌握待定系数法，图形平移的规律，菱形的分类讨论方法是解题的关键． （1）设直线解析式为，代入两点坐标，解方程组求； （2）先求点坐标，再求直线平移后的解析式，分别计算直线过时的值，确定的范围； （3）分为边和为对角线三种情况，设点坐标，利用菱形边长相等列方程求解． 【详解】（1）解：， ∴设直线的解析式为． 将代入，得， 解得， 直线的解析式为． （2）解：如图①，连接． ，，， ∴由勾股定理得． ∵四边形为正方形， ， ∴由勾股定理得． ，， ，， ，， ∴点的坐标为． 直线向上平移个单位长度后的解析式为． 当平移后的直线经过点时，， 解得， ． （3）解：点的坐标为或或或． 【提示】如图②，当以为边，时，设点的坐标为． 由（2）知， ，即， 解得． 当时，，即； 当时，，即． 当以为边，时，设点的坐标为． ∵四边形是正方形，，， 点的坐标为． ， ， 解得或． 当时，，与点重合，不合题意，舍去； 当时，，即． 当以为对角线时，点与点重合，点与点重合，即． 综上所述，点的坐标为或或或． 71．如图1，在平面直角坐标系中，点A坐标为，点B坐标为，以线段为底边向右作等腰直角． (1)求边的长和点C的坐标． (2)如图2，将等腰直角向右平移m个单位，记平移后的三角形为，点F恰好在直线上，求直线对应的函数表达式． (3)在（2）的条件下，若点G为直线上的动点，使，请直接写出点G的坐标． 【答案】(1) (2)直线DF对应的函数表达式为 (3)或． 【分析】（1）过点作轴垂足为，过点作轴，与交于点，先证得，然后设点坐标为，根据全等三角形的对应边相等及线段的长度关系列方程解答即可；利用勾股定理求出，再利用等腰直角三角形的性质即可求出； （2）由平移得到，，然后点代入直线，求出，进而求出两点坐标，再用待定系数法求解即可； （3）过点作轴于点，在轴上截取，连接交于点，作关于的对称点，先求出直线，进而求出点，再利用垂直平分线性质以及中点坐标即可求出． 【详解】（1）解：过点作轴垂足为，过点作轴，与交于点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点A坐标为，点B坐标为， ∴，， ∴，， ∵等腰直角， ∴， 设点坐标为， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∴点坐标为； （2）解：∵点坐标为，点A坐标为，将等腰直角向右平移m个单位得到， ∴，， 又∵点F恰好在直线上， ∴， 解得， ∴，， 设直线对应的函数表达式为， ∴， ∴， ∴直线对应的函数表达式为． （3）解：如图，过点作轴于点，在轴上截取，连接交于点，作关于的对称点， 由（2）可知等腰直角向右平移4个单位，记平移后的三角形为， ∴点坐标为：，，， ∵等腰直角， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴，即， ∵， ∴设直线为：， 故， ∴， ∴直线为：， ∵为与的交点， ∴， 解得：， ∴； ∵作关于的对称点， ∴垂直平分， ∴，即，为中点， 设， ∴， 解得； ∴ ∴综上，的点坐标为：或． 【点睛】本题考查一次函数与几何综合，涉及勾股定理，全等三角形等知识点，能够对知识点进行综合应用是解题关键． 72．在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴、轴分别交于、两点，点是轴上一点，把坐标平面沿直线折叠，使点的对应点刚好落在轴上，作直线． (1)求直线对应的函数表达式； (2)求的值： (3)点为直线上一点，点，连接．若，求点的坐标； (4)若直线上的一点到直线的距离是2，请直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2) (3) (4)或 【分析】本题是一次函数综合题，考查了待定系数法，一次函数及其图象性质，一次函数与二元一次方程组，全等三角形的判定和性质，三角形面积，勾股定理，解决问题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会添加常用辅助线． （1）先求出、两点的坐标，由勾股定理求出的长，由折叠的性质求出点的坐标，再根据待定系数法即可求出直线对应的函数表达式； （2）连接，由题意得，，在中，,列方程即可求出的值； （3）过点作的平行线，交轴于点，易证，由此可得点的纵坐标，代入中，即可得点的坐标； （4）在线段上取一点，使点到线段的距离为2，连接，过点作于点，过点作直线的平行线，交轴于点，则直线与直线的交点即为点；过点作点的对称点，过点作直线的平行线，交直线于点；求出点、的坐标即可 【详解】（1）解：， 令，则， ． 令，则， ． ，． ． 由折叠得：, ． ． 设直线的函数表达式为， 将，，代入得， ，解得， ∴直线的函数表达式为． （2）解：如图，连接， ∵点， ， ． 由折叠得：， 在中，, 即，解得． （3）解：如图，过点作的平行线，交轴于点， ． ． ． ， 轴． ． 又， ． ． ， ． ． ． ． 在中，令，则， ． （4）解：如图，在线段上取一点，使点到线段的距离为2，连接，过点作于点，则， 过点作直线的平行线，交轴于点，则直线上所有点到直线的距离均为2， ∴直线与直线的交点即为点． ， ． ． ． ∵， ∴直线的函数表达式为． 联立，解得， ． 在中，令，则． ． 如图，过点作点的对称点，则，过点作直线的平行线，交直线于点， ∵直线与直线关于直线对称， ∴直线上每一点到直线的距离也为2． ∴点即为所求． ， ∴直线的函数表达式为． 联立，解得， ． 综上所述，点的坐标为或． 题型二十五、一次函数的旋转综合45°（压轴） 73．某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的全等模型． 【模型学习】如图1，已知在中，，直线EF经过点A，于点E，于点F．易证：． （1）如图2，平面直角坐标系中，点B的坐标为，求直线的函数关系式； 【类比探究】 （2）如图3，一次函数的图象分别交x轴和y轴于M、N两点，点D坐标为． ①连接，则_____； ②点P在直线上，连接，当与直线的夹角为时，求出点P的坐标； 【拓展探究】 （3）在（2）的条件下，若一次函数的图象与直线相交所夹锐角大于，请直接写出k的取值范围． 【答案】（1）；（2）①90，②或；（3）且 【分析】本题考查一次函数与几何的综合，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，掌握知识点是解题的关键． (1)过点A作轴于D，过点B作轴于E，推导出，得到，求出，设直线的函数关系式为，求出直线的函数关系式为，即可解答； (2)①推导出，，在x轴上取点过点F作轴，交于E，求出，得到，继而证明，得到推导出，则即可解答； ②先证明，连接，推导出是等腰直角三角形，得到，则点P与点E重合时，与直线的夹角为，得到；当点P在x轴下方时，过点P作轴于G，推导出是等腰直角三角形，得到进而证明，得到，则得到，即可解答； (3)先求出直线的函数关系式为，直线的函数关系式为，推导出直线必定经过点，过点Q分别作和的平行线，交y轴于，求出或，由一次函数的图象与直线相交所夹锐角大于，得到，求出直线的解析式为，得到，则且，，即可解答． 【详解】解：(1)过点A作轴于D，过点B作轴于E，如图， 则， ， ， ， ， ， ， 点B的坐标为， ， ， ， 设直线的函数关系式为，则 解得： 直线的函数关系式为； (2)①当时， ， 解得：， ， 当时， ， ， ∴在x轴上取点过点F作轴，交于E，如图， 则， 当时， ， ∴， ∴， ∵D坐标为， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴ ∵， ∴，即 故答案为：90； ②由①知， ∴， 连接，如图， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴点P与点E重合时，与直线的夹角为，则； 当点P在x轴下方时，过点P作轴于G， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴ ∵， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴ ∴，且点P在直线上； 综上所述，点P的坐标为或； (3)由(2)知， 同理可得，直线的函数关系式为，直线的函数关系式为， ∵，且 ∴当时， ， ∴直线必定经过点，如图， 过点Q分别作和的平行线，交y轴于， ∴或， ∵一次函数的图象与直线相交所夹锐角大于， ∴． 设直线的解析式为， 将分别代入，得 ， 解得， ∴直线的解析式为， 当时，一次函数的图象与直线平行，此时一次函数的图象与直线垂直，不符合题意， ∴， 综上所述，且，． 74．【基础知识】 将含有的三角板的直角顶点放在直线上，过两个锐角顶点分别向直线作垂线，这样就可以得到两个全等的直角三角形． （1）如图1，等腰直角中，，过点作交于点，过点作交于点．直接写出与的数量关系__________． 【基本技能】 （2）已知：直线的图象与轴交于点，与轴交于点． ①如图2，当时，在第一象限构造等腰直角，求直线的表达式； ②如图3，当的取值变化，点随之在负半轴上运动，在第二象限构造等腰直角，，连接，问的面积是否发生变化？若不变，求出面积；若变，请说明理由． 【应用拓展】 （3）如图4，直线的图象与轴交于点，与轴交于点，若点在轴上，且，请直接写出点的坐标． 【答案】（1）；（2）①直线为，②不变，；（3）或 【分析】（1）根据，过点作交于点，过点作交于点，得出，证明，即可证出． （2）①当时，则直线为直线，先求出，，则，过点E作于，如图所示：证明，得出，求出点的坐标为，待定系数法求出直线的解析式为． ②根据当的取值变化，点随之在轴负半轴上运动，得出，过点作于，证明，得出，再根据，即可求解； （3）根据点C的位置分两种情况：①如图，过作轴交于点，过作轴于点，先求出点的坐标是，点的坐标是，得出，根据，得出，则，证明，则，求出，待定系数法求出直线的解析式为，再令，即可求出； ②如图，过作交于点，过作轴，过作交于点，过作交于点，根据，得出，证出，证明，则，设，则，得出，根据点在直线的图象上，代入求解即可． 【详解】解：（1）． 证明：，过点作交于点，过点作交于点， ， ， 在和中 ， ， ∴． （2）①当时，则直线为直线， 当时，， ∴， 当时，， ∴， ∴， 过点E作于，如图所示：     ， ， 是以为直角顶点的等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ， ∴点的坐标为， 设直线的解析式为， 把与代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为． ②当变化时，的面积是定值，， 理由如下： ∵当的取值变化，点随之在轴负半轴上运动， ， 过点作于， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 变化时，的面积是定值，； （3）①如图，过作轴交于点，过作轴于点， ∵直线与轴交于点，与轴交于点， ∴点的坐标是，点的坐标是， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 把代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为， 令，则，解得：， 则； ②如图， 如图，过作交于点，过作轴，过作交于点，过作交于点， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 设， 则， ∴， ∵点在直线的图象上， ∴， ∴， ∴． 综上，或． 【点睛】本题是一次函数综合题，主要考查了一次函数的图像及性质、一次函数解析式求解、坐标与图形、等腰直角三角形的性质和判定、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握一次函数的图像及性质，正确作出辅助线构造全等三角形解题是关键． 75．【模型构建】如图，将含有的三角板的直角顶点放在直线l上，过两个锐角顶点分别向直线作垂线这样就得到了两个全等的直角三角形，由于三个直角的顶点都在同一条直线上，因此我们将其称为“一线三直角”，这模型在数学解题中被广泛使用． 【模型应用】（1）如图1，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于A，B两点， ①点A坐标为_______；点B坐标为_______； ②C，D是正比例函数图象上的两个动点，连接，若，，则的最小值是_______； （2）如图2，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于A，B两点．将直线绕点B顺时针旋转得到直线l，求直线l对应的函数表达式； 【模型拓展】（3）如图3，直线的图象与x轴、y轴分别交于A，B两点，直线与x轴交于点D．点，Q分别是直线l和直线上的动点，点C的坐标为，当是以为斜边的等腰直角三角形时，直接写出点Q的坐标． 【答案】（1）①；；②4；（2）；（3）或 【分析】（1）①分别令和求解即可； ②过A作于，证明，得到，利用勾股定理求得，根据垂线段最短得的最小值是的长，进而可求解； （2）过点A作交直线l于C，过点C作轴于D，证明是等腰直角三角形，则，证明得到，，进而求得，然后利用待定系数法求解即可； （3）分两种情况：当时，当时，分别画出图形，进行求解即可． 【详解】解：（1）①当时，，当时，由，解得， ∴点A坐标为，点B坐标为； ②过A作于， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵点A坐标为，点B坐标为， ∴， ∴， ∴， 在中，； ∵D是正比例函数图象上的动点， ∴根据垂线段最短，得的最小值是的长， 故的最小值是； （2）如图，过点A作交直线l于C，过点C作轴于D， 则， ， ， 直线绕点B逆时针旋转得到直线l， ， 是等腰直角三角形，则， 同（1）可证明：， ，， 一次函数的图象与x轴、y轴分别交于A，B两点， 当时，， 当时，由得， ，， ，， ， ， 设直线l对应的函数表达式为， 将、代入， 得，解得， 直线l对应的函数表达式为； （3）点Q的坐标为或． 解：把代入直线得：， 把代入直线得：， 解得：， ∴，， ①当时，如图2，过点P作轴于E，过点Q作，交延长线于F， ， ， ， ， ， 又，， ， ，， ， 点Q的坐标为， 将点Q的坐标代入得，， 解得， ，， 点Q的坐标为； ②当时，如图3，过点P作轴于E，过点Q作，交延长线于F， ， ， ， ， ， 又，， ， ，， ， 点Q的坐标为， 将点Q的坐标代入得，， 解得， ，， 点Q的坐标为； 综上，点Q的坐标为或． 【点睛】本题考查一次函数的应用，涉及待定系数法求函数解析式、垂线段最短、全等三角形的判定与性质、坐标与图形、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理等知识，理解题中新定义方法，添加合适辅助线构造“一线三直角”是解答的关键． 题型二十六、一次函数与线段交点问题（压轴） 76．如图，在平面直角坐标系中，点，点，若将直线向上平移c个单位长度后与线段有交点，则c的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数图象与几何变换、一次函数的平移等知识点，灵活运用极值法求解是解题的关键． 先求出平移后的解析式为，分别代入A、B的坐标，求得对应的c的值， 根据函数图象即可解答． 【详解】解：把直线向上平移c个单位长度后得到， 若直线过，则，解得：， 若直线过，则，解得， ∴将直线向上平移c个单位长度后与线段有交点，则． 故答案为：． 77．如图，在平面直角坐标系中，点，，，将直线向上平移n个单位长度，当平移后的直线与折线有两个交点时，满足条件的整数n有 个． 【答案】1 【分析】本题考查了一次函数图象与几何变换，一次函数图象上点的坐标特征，数形结合是解题的关键．先求得平移后的直线解析式，求得直线过点B、C时的n的值，结合图象即可求得当平移后的直线与折线有两个交点时，则，整数n为4，共1个． 【详解】解：将直线向上平移n个单位长度，得到直线， 把代入得，，解得， 把代入得，，解得， 由图象可知，当平移后的直线与折线有两个交点时，则， ∴满足条件的整数n为4，共1个． 故答案为：1． 78．在平面直角坐标系中，已知一次函数（是常数且）． （1）无论取何非零的值，一次函数的图象都经过一个定点，则这个点的坐标是 ； （2）该平面直角坐标系中有一条线段，其中，．若这个一次函数的图象与线段没有交点，则的取值范围是 ． 【答案】 ； 或． 【分析】本题考查了一次函数图象与系数的关系、一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是运用数形结合的思想进行转化解题． 把整理，可得：，因为当时，，与的值无关，所以无论取何非零的值，该函数的图象总经过定点； 分别求出一次函数过点、时的值分别为和，可知当或时一次函数的图象与线段没有交点． 【详解】解：把整理， 可得：， 当时，， 无论取何非零的值，该函数的图象总经过定点； 解：把点代入， 可得：， 解得：， 把点代入， 可得：， 解得：， 当一次函数的图象与线段没有交点时，且， 即或． 题型二十七、一次函数与几何综合（压轴） 79．已知平面直角坐标系中有三点，若过点的直线将分成面积之比为两部分，则k的值 ． 【答案】 【分析】本题考查了求一次函数解析式，一次函数与几何综合，求直线围成的图形面积等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． 直线恒过点，与x轴交于点D，将分成两个小三角形，点D一定在线段上，分、两种情况求解，分别求出k的值． 【详解】解：设过点C的直线与x轴交于点D， ∵，， ∴， 当点为原点时，如图， ∵，， ∴，， ∴，符合要求， 此时直线过原点， ∴， 解得：； 当点在时，如图， 此时，， ∴，符合要求， 此时直线过和， ∴， ∴， 综上，k的值是或． 故答案为：． 80．如图，在平面直角坐标系中，直线交坐标轴于点，，点C为x轴正半轴上一点，连接，将沿所在直线折叠，点B恰好与y轴上的点D重合． (1)求直线对应的函数表达式； (2)求的长； (3)P为直线上一点，，求点P的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查了一次函数表达式的求解，勾股定理的应用及三角形面积公式的运用． （1）利用待定系数法，将直线所过的两个点的坐标代入一次函数表达式，求解出函数表达式； （2）先根据勾股定理求出的长度，再利用折叠的性质得到相关线段的长度关系，通过设未知数，根据勾股定理列出方程求解的长； （3）设出点P的坐标，根据三角形面积公式列出方程，求解得到点P的坐标． 【详解】（1）解：设直线对应的函数表达式为：， ∵直线交坐标轴于点，， ∴， 解得：， ∴直线对应的函数表达式为：． （2）解：由题意可知：，，， ∴， ∵将沿所在直线折叠，点B恰好与y轴上的点D重合， ，， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得， 解得， 即． （3）解：∵P在直线上， ∴设， ∵， ∴， 解得或， ①当时，， ②当时，， ∴或． 81．如图，在长方形中，点为坐标原点，点的坐标为，点在坐标轴上，直线与交于点，与轴交于点． (1)分别求点的坐标； (2)连接求的面积； (3)动点在直线上，点是坐标平面第一象限内的点，且在直线上，是否存在以点为直角顶点的等腰直角三角形，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】本题考查了平面几何图形与一次函数的结合，图形面积的计算，等腰直角三角形的性质与存在性问题．熟悉求直线与坐标轴、直线与直线的交点坐标的方法，利用坐标计算三角形的面积的方法，根据等腰直角三角形的性质，结合一次函数，全等三角形的知识，解决动点条件下的几何存在性问题的方法，是解题的关键． （1）根据长方形的性质和平行的性质，计算直线与坐标轴，直线与直线的交点坐标． （2）根据直线与坐标轴的交点坐标，利用割补法计算的面积． （3）设，过点作交所在直线于点，交所在直线于点，分①点在上方，②点在下方，两种情况讨论，通过证明，，得到对应线段相等，建立关于的一元一次方程，得到的值，继而得到点的坐标． 【详解】（1）解：在长方形中，点为坐标原点，点的坐标为， ，，轴， ∵直线与交于点，与轴交于点， ∴当时，，解得， 当时，， ，： （2）解：如图，令与轴的交点为， 令，解得， ， ， ，，； ，，， ， ； （3）解：点是坐标平面第一象限内的点，且在直线上， ∴设， 如图，过点作交所在直线于点，交所在直线于点， ①若点在上方， 是等腰直角三角形，且， ，， ， ， ， 在与中，， ， ， ， ，解得：， ； ②若点在下方，同理可证，， ， ， 即，解得， ， 综上可知，点的坐标为或． 题型二十八、一次函数的实际应用综合（压轴） 82．为保障师生健康，某校会定期对教室采取喷洒药物的方式进行消毒．在消毒过程中，封闭教室内空气中的含药量y（单位：）与药物在空气中的持续时间x（单位：min）的函数关系如下图所示． (1)①药物喷洒后空气中的含药量y关于药物在空气中的持续时间x的函数表达式为________________； ②当空气中的含药量首次达到时，已经喷洒药物多长时间了？ (2)如果室内空气中的含药量不低于且持续时间不少于20min，才能达到有效消毒的效果，试说明此次消毒是否有效． (3)若后续药物挥发的速率不变，则喷洒药物后经过多长时间，空气中无药物残留？ 【答案】(1)①②当空气中的含药量首次达到时，已经喷洒药物3.75min了 (2)此次消毒有效；理由见解析 (3)喷洒药物55min后，空气中无药物残留 【分析】（1）①当时，与是一次函数关系，设函数解析式为，将代入解析式，求出第一段函数解析式；再将代入求出第二段函数解析式即可； ②将代入函数解析式求出对应的值即可； （2）计算函数值为对应的自变量的值，则它们的差为含药量不低于的持续时间，然后与比较大小即可判断此次消毒是否有效； （3）将代入函数关系式求出对应的值即可． 【详解】（1）解：①由图可知，药物喷洒后空气中的含药量与药物在空气中的持续时间成一次函数关系， 设． 当时，将，代入， 得解得 ∴； 当时，将，代入， 得解得 ∴． 综上所述，药物喷洒后空气中的含药量关于药物在空气中的持续时间的函数表达式为 ②当时，，解得， ∴当空气中的含药量首次达到时，已经喷洒药物了． （2）解：当时，令，，解得； 当时，令，，解得， 所以空气中药物含量不低于持续的时间为． 因为， 所以此次消毒有效． （3）解：当时，， 解得． 故喷洒药物后，空气中无药物残留． 【点睛】本题考查了一次函数的应用：能把实际的问题转化为数学问题，建立一次函数的数学模型，理解题意以及对函数的分类讨论是解题关键． 83．某茶叶店计划购进甲、乙两种茶叶进行销售，两种茶叶的进价和售价如下已知用4000元购进甲种茶叶的数量与用6000元购进乙种茶叶的数量相同． 茶叶品种 进价（元/斤） 售价（元/斤） 甲 200 乙 300 (1)求的值； (2)茶叶店计划购进甲、乙两种茶叶共300斤，其中甲种茶叶不少于80斤且不超过120斤，“五一”期间，茶叶店让利销售，将乙种茶叶的售价每斤降低元（），甲种茶叶的售价不变，为保证销售完这两种茶叶的利润的最小值不低于31800元，求的最大值． 【答案】(1)100 (2)40 【分析】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找出数量关系，正确得出一元一次不等式和一次函数关系式． （1）由题意：用4000元购进甲种茶叶的数量与用6000元购进乙种茶叶的数量相同，列出分式方程，解方程即可； （2）设购进甲种茶叶斤，销售完这两种茶叶的总利润为元，由题意得出与的一次函数关系式，再由一次函数的性质结合题意得出一元一次不等式，解不等式即可． 【详解】（1）解：由题意可知， 解得， 经检验，是原方程的根，且符合题意； （2）解：设茶叶店计算购进甲茶叶斤，那么乙茶叶斤，利润为， 由题意得：， ， ， 随的增大而减小， ， 当时，的最小值为：， 解得：， 的最大值为40． 84．如图，某校研学小组在博物馆中看到了一种“公道杯”，在这种杯子中加水超过一定量时，水会自动排尽，体现了“满招损，谦受益”的寓意． 该小组模仿其原理，自制了一个圆柱形简易“公道杯”，确保向杯中匀速注水和杯中水自动向外排出时，杯中的水位高度的变化都是匀速的，向此简易“公道杯”中匀速注入清水，一段时间后停止，再等水完全排尽．在这个过程中，对不同时间的水位高度进行了记录，部分数值如下： 时间（） 水位高度（） 根据以上信息，解决下列问题： (1)完善表中的数据，并在直角坐标系中描出表中各组已知对应值为坐标的点； (2)当__________时，杯中水位最高，是__________； (3)在自动向外排水开始前，杯中水位上升的速度为__________； (4)求停止注水时的值； (5)从开始注水，到杯中水完全排尽，共用时__________． 【答案】(1)图见解析 (2)， (3) (4) (5) 【分析】（1）将表中数据完善后，描点即可； （2）由表格即可求解； （3）由表格即可求解； （4）先求出从开始向外排水到停止注水时关于的函数表达式，再求出排水的速度，利用时的水位高度和排水速度即可求出时的水位高度，进而可求出停止注水后关于的函数表达式，将二者联立，可得二元一次方程组，解之，即可求得停止注水时的值； （5）先求出水位高度为时排完水所需要的时间，进而得出答案． 【详解】（1）解：完善数据后，在直角坐标系中描出表中各组已知对应值为坐标的点如下： （2）解：由表格可知： 当时，杯中水位最高，最高水位为， 故答案为：，； （3）解：由表格可知： 自动排水前，每经过秒钟，水位上升， 即杯中水位上升的速度为， 故答案为：； （4）解：设从开始向外排水到停止注水，关于的函数表达式为， 把，代入，得： ， 解得：， ， 由表格可知：排水的速度为： （）， 当时，， 当时，， 设停止注水后，关于的函数表达式为， 把，代入，得： ， 解得：， ， 可得方程组 ， 解得：， 时，停止注水； （5）解：由（4）可知，时停止注水，此时的水位高度为， 从开始注水，到杯中水完全排尽，共用时： （）， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了一次函数的实际应用，坐标系中描点，观察表格从中获取信息，待定系数法求一次函数解析式，解二元一次方程组，有理数四则混合运算等知识点，观察表格并从中获取正确信息是解题的关键． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $