专题04 一次函数常考几何问题10大题型（专项训练）数学新教材北京版八年级下册

专题04 一次函数常考几何问题10大题型（原卷版） 目录 A题型建模・专项突破 题型一、一次函数中的面积计算 1 题型二、一次函数中的平移问题 2 题型三、一次函数中的动点问题 3 题型四、一次函数与线段、图形交点问题 5 题型五、一次函数中的全等问题 6 题型六、一次函数中的翻折模型 8 题型七、一次函数中的旋转模型（45度角等） 9 题型八、一次函数中的最值问题 11 题型九、一次函数中的存在性问题 11 题型十、一次函数中的新定义问题 11 B综合攻坚・能力跃升 题型一、一次函数中的面积计算 1．如图，在平面直角坐标系中，过点的直线与直线相交于点，动点在线段和射线上运动． (1)求直线的解析式； (2)求的面积； (3)是否存在点，使的面积是的面积的？若存在求出此时点的坐标；若不存在，说明理由． 2．数学中，常对同一图形的面积用两种不同的方法计算，从而建立相等关系，这是一种重要的数学方法，称为等面积法．如图1，四个直角边分别为、、斜边长为的直角三角形和一个边长为的小正方形拼成一个大正方形． 解：四个直角三角形其面积都为，边长为的小正方形的面积为，大正方形的面积为． 由图形可知：． 整理得 ． 故结论为：直角边长分别为、斜边为的直角三角形中． (1)【类比尝试】如图2，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点都在格点上，若是的边上的高，求： ①的面积； ②的长． (2)【拓展探究】如图3坐标系中，直线与轴、轴分别交于点和，直线经过坐标原点，且，垂足为．求： ①点和点的坐标． ②点到轴的距离． 3．如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，且直线与直线交于点．已知直线与y轴交于点，与x轴交于点E． (1)求点A、B的坐标； (2)求直线的解析式； (3)求的面积； (4)在直线上有一点P，且满足的面积是面积的，求点P的坐标． 题型二、一次函数中的平移问题 4．已知一次函数的图象经过点和． (1)求该一次函数的解析式； (2)平移该函数图象，使它经过点，求出平移后的一次函数的解析式，并写出一种平移方法． 5．如图，在平面直角坐标系中，过点的直线与直线相交于点． (1)求m的值； (2)将直线平移，平移之后的直线记作直线，若直线与直线的交点在第二象限内，直接写出b的取值范围． 6．在平面直角坐标系中，对于点P与图形给出如下定义：N为图形上任意一点，P，N两点间距离的最小值称为点P与图形的“近点距离”．特别的，当点P在图形W上时，点P与图形的“近点距离”为零．如图1，点． (1)点与线段的“近点距离”是___________；点与线段的“近点距离”是___________； (2)点P在直线上，如果点P与线段的“近点距离”为，那么点P的坐标是___________ (3)如图2，将线段向右平移3个单位，得到线段，连接，若直线上存在点G，使得点G与四边形的“近点距离”小于或等于，直接写出b的取值范围． 题型三、一次函数中的动点问题 7．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标分别为． (1)求直线的函数表达式； (2)若为直线上一动点，的面积为6，求点的坐标． 8．已知：如图所示，在平面直角坐标系中，过点的直线与直线相交于点，与y轴交于点M． (1)求直线的表达式． (2)求的面积． (3)点是x轴上一个动点，过点P垂直于x轴的直线分别与直线和交于C、D两点，当点C位于点D上方时，直接写出n的取值范围． 9．如图1，在平面直角坐标系中，已知一次函数的图象交轴于点，交轴于点． (1)求直线的函数表达式； (2)直线垂直平分交于点，点是直线上一动点，且在点的上方，设点的纵坐标为． ①用含的代数式表示_______； ②当时，点的坐标为_______； ③在②的条件下，如图2，点、为轴上两个动点，满足，并且点在点的上方，连接，，当四边形周长最小时，直接写出点的坐标_______． 题型四、一次函数与线段、图形交点问题 10．如图，直线交坐标轴于D，E两点，等边三角形的边在x轴上，且点B为线段的中点，若将沿y轴竖直向上平移，当点C落在直线上时，点C平移的距离为（    ）    A． B． C． D． 11．在平面直角坐标系中，，，下面有三种说法： ①一次函数的图像与线段有公共点； ②当时，一次函数的图像与线段有公共点； ③当时，一次函数的图像与线段有公共点； 其中说法正确的有 ． 12．在平面直角坐标系xOy中，A（﹣1，1）B（3，2），连接线段AB． (1)一次函数y＝﹣x+b与线段AB有交点，求b的取值范围； (2)一次函数y＝kx+3与线段AB有交点，求k的取值范围． 题型五、一次函数中的全等问题 13．【模型建立】 美国总统伽菲尔德利用图验证了勾股定理，过等腰的直角顶点作直线，再过点作于点，过点作于点，易证得：．我们称这种全等模型为“型全等”（无需证明）． 【模型应用】 （1）如图，在平面直角坐标系中，等腰中，，，点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标为______； （2）如图，在平面直角坐标系中，直线分别交轴，轴于点、点，将直线绕点逆时针旋转得到直线，则直线的函数表达式为______； （3）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像分别交轴，轴于点、点，点，是正比例函数图像上两点，若，，则点到直线的距离为______； 【模型拓展】 （4）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，过点作轴于点，作轴于点，点是线段上一点，点在直线上．当点，，构成等腰直角三角形时，直接写出点的横坐标______． 14．某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的全等模型． 【全等模型】如图1，已知在中，，直线经过点直线直线，垂足分别为点D，E．易证：． （1）①如图1，若，则__________； ②如图2，，点的坐标为，连接交轴于点，求点的坐标，点的坐标． 【拓展探究】 （2）如图3，的图象分别交轴和轴于A、B两点，点坐标为，点在直线上，连结，当与的图象的夹角为时，请求出点的坐标． 15．某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的全等模型． 【全等模型】如图1，已知：在△ABC中，，，直线l经过点A，直线l，直线l，垂足分别为点D，E．易证： （1）①如图1，若，，则________； ②如图2，，，点B的坐标为，连接交y轴于点M，求点A的坐标，点M的坐标． 【模型应用】（2）数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：如图3，过△ABC的边、向外作正方形和正方形，是边上的高，延长交于点I，若，，则________． 【拓展探究】（3）如图4，的图象分别交x轴和y轴于A、B两点，点D坐标为，点C在直线上，连结，当与的图象的夹角为时，请直接写出点C的坐标________． 题型六、一次函数中的翻折模型 16．如图，把长方形纸片放入平面直角坐标系中，使，分别落在x轴，y轴的正半轴上，连接， ． (1)求A、C两点的坐标； (2)将纸片折叠， 使点A与点C重合（折痕为），求折叠后纸片重叠部分的面积； (3)求所在直线的函数表达式． 17．在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点A、点B，点P的坐标为． (1)如图1，连接，将沿直线折叠，点O的对应点点C恰好落在上，则 ； (2)如图2，取线段的中点E，连接，过点E作，交x轴于点Q．将沿所在直线折叠，点B的对应点记作点D，连接． ①猜想的度数，并证明； ②求证：； (3)连接，请直接写出直线的解析式（用含有a的代数式表示）． 18．如图，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于点A、B，C是x轴上一点，将沿着过点B、C的直线折叠，使点A落在y轴上的点D处． (1)求点D的坐标； (2)求直线的函数表达式． 题型七、一次函数中的旋转模型（45度角等） 19．规定：在平面直角坐标系内，某直线绕原点O顺时针旋转，得到的直线称为的“旋转垂线”．    (1)求出直线的“旋转垂线”的解析式； (2)若直线的“旋转垂线”为直线．求证：； (3)如图，在平面直角坐标系中，点，点，点P是直线上一点，度，求点P的坐标． 20．如图，在平面直角坐标系中，直线l：y＝kx+b分别与x轴、y轴相交于点A、B．现将直线l绕原点O顺时针旋转90°，得到的直线称为直线l的“顺旋转垂线”． （1）若点A、B的坐标分别为A(2，0)、B(0，2)，则直线l的“顺旋转垂线”的关系式为　． （2）若直线l＝k1x+b1（k1＜0，b1≠0）的“顺旋转垂线”为：y＝k2x+b2.求证：k1•k2＝﹣1． （3）已知直线l的“顺旋转垂线”为l'：yx+2，点C是直线l与x轴、y轴交点A、B的中点，动点M的坐标为(0，m)．问当m为何值时，MA+MC取得最小值，并求出该最小值． 21．【问题背景】 数学课上，我们以等腰直角三角形为背景，利用旋转的性质研究线段和角的关系． 【问题初探】 （1）如图1，在中，，点与直角顶点重合，射线交边于点，点在射线上，且满足，连接．判断线段与的关系为______． 【问题深探】 （2）如图2，在中，，点为斜边中点，射线交边于点，射线交边于点，且满足 问题①：线段与满足什么数量关系？请说明理由； 问题②：请直接写出线段之间的数量关系____________． 【问题拓展】 （3）如图3，在平面直角坐标系中，为等腰直角三角形，，点为斜边中点，轴上有一点，动直线绕着点旋转，与轴相交于点，且满足，直线的表达式为____________（直接写出表达式即可）． 题型八、一次函数中的最值问题 22．如图，在平面直角坐标系中，点，M是线段的中点． (1)求直线 的函数表达式； (2)若点P是y轴上一点，且使周长最小，求最小周长． 23．已知一次函数的图象分别与x轴、y轴交于点，点C在直线上，其纵坐标为5． (1)点B的坐标为________，点C的坐标为________； (2)在x轴上找一点P，连接，使的值最小，并求出点P的坐标． 24．如图，直线与坐标轴交于A、B两点，与过点的直线交于点． (1)求直线的解析式； (2)求的面积； (3)在y轴上是否存在一点P，使最大？若存在，请求出点P的坐标，并求出的最大值；若不存在，请说明理由． 题型九、一次函数中的存在性问题 25．如图，已知直线与轴交于点，直线与轴，轴分别交于点和点，且两直线交于点点坐标为． (1)求的值． (2)在轴上是否存在一点，使得与面积相等？若存在，请求出的坐标；若不存在，请说明理由． (3)直线上是否存在点，使得．若存在，求出的坐标；若不存在，请说明理由． 26．如图，在平面直角坐标系中，直线的解析式为，直线与交于点，与轴交于点，且． (1)求直线的解析式； (2)线段上是否存在点P，使得将的面积分为两部分．若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由； (3)射线上是否存在点M，使得？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 27．如图，直线：与x轴交于点D，直线：与x轴交于点A，且经过定点，直线与交于点． (1)填空：___________，___________，___________； (2)在x轴上是否存在一点E，使的周长最短？若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由； (3)若动点P在射线上从点D开始以每秒1个单位的速度运动，连接，设点P的运动时间为t秒．是否存在t的值，使和的面积比为？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由． 题型十、一次函数中的新定义问题 28．新定义：如图1，在平面直角坐标系中，直线l与坐标轴不平行，点P为直线l外一点．过点分别作轴交直线于点，作轴交直线于点，我们称折线为点关于直线的“路径”，“路径”的长度称为点关于直线的“距离”，记为即， 定义理解： （1）如图2，若直线l的表达式为 与x轴和y轴分别交于A，B两点，求．（点O为坐标原点） 定义运用： （2）如图3，将直线l： 沿y轴向上平移n个单位长度后得到直线 m，与x轴和y轴分别交于D，C两点，当 时 （点O为坐标原点），求平移距离n的值； 定义拓展： （3）在（2）的条件下，y轴上是否存在点Q，使得为等腰三角形，且点Q关于直线l的“L路径”与直线m有交点．若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 29．定义：在平面直角坐标系中，将直线..的点的横坐标和纵坐标都扩大到原来的倍，得到新的直线，则称直线为直线的“k倍伴随线”． 【定义辨析】 （1）若点在上，则下列四个点① 、②、③、④，在的 “k 倍伴随线”上的点有 （填序号）； （2）下列函数图像是直线的“2倍伴随线”的是（ ）； A．   B．   C．   D． 【定义延伸】 （3）若直线的“k倍伴随线”记为．现给出两个关系式：①；②．其中正确的是 （填序号）； 【定义应用】 （4）如图，已知直线与x轴、y轴相交于A、B两点，若在它的“k倍伴随线”上存在一点C，能使△ABC为等腰直角三角形，求k的值． 30．阅读理解：在平面直角坐标系中，给出如下定义： 定义一：若有三点，，，且，则称点是，的轴美点； 定义二：若函数图像上存在某点到轴和轴的距离中，其中一个距离是另一个距离的2倍，则称点为该函数的“倍美点”，此函数称为“倍美函数”，如点是函数图像上的点，所以函数是“倍美函数”，点是该函数的“倍美点”．像、等则是特殊的“倍美函数”． 根据以上材料，完成下列问题： (1)已知函数与轴和轴分别相交于点A，，若有三点、、，则其中是A、“轴美点”的是__________．（只填字母） (2)已知两点、． ①请说明点、的“轴美点”在函数上； ②在①的条件下，若“倍美函数”上存在点，使得点既是，“轴美点”，又是此函数的“倍美点”，求出的值． (3)已知“倍美函数”，是否存在整数使得该函数恰好具有三个“倍美点”？若存在，直接写出值和“倍美点”坐标；若不存在，简要说理． 1．（2024·山东济南·一模）阅读材料：已知点 和直线，则点到直线的距离可用公式 计算．例如：求点到直线的距离．其中，，所以点到直线的距离为，根据以上材料，有下列结论： ①点到直线的距离是； ②直线和直线的距离是； ③若点是抛物线上的点，则点到直线距离的最小值是． ④抛物线上存在两个点到直线的距离是；其中，正确结论的个数是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·内蒙古包头·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像分别与轴，轴交于，两点，将直线向左平移后与轴，轴分别交于点，点．若，则直线的函数解析式为（   ） A． B． C． D． 3．（2024·贵州贵阳·模拟预测）如图，顶点坐标分别为，将沿x轴向右平移，当点A落在直线上时，线段扫过区域的面积为（     ）    A．6 B．9 C．12 D．15 4．（23-24八年级下·河北石家庄·期中）如图，八个边长为的正方形如图摆放在平面直角坐标系中，直线经过点时， ；若直线将这八个正方形分成面积相等的两部分，则的值为 ． 35．（2021·湖北黄石·模拟预测）如图，直线的解析式为分别与，轴交于，两点，点的坐标为，过点的直线交轴负半轴于点，且．在轴上方存在点，使以点，，为顶点的三角形与全等，则点的坐标为 ． 36．（24-25八年级下·安徽阜阳·期末）如图1，在平面直角坐标系中，已知点A在x轴的负半轴上，直线与x轴、y轴分别交于点C，B，且． (1)求直线的解析式； (2)P为线段上一个动点，若，求此时点P的坐标； (3)如图2，点M是的中点，N为直线上的一个动点，连接．若，求点N的坐标． 37．（2025·广西柳州·二模）综合与探索 【探索发现】如图，等腰直角三角形中，，，过点作交于点，过点作交于点，易得，我们称这种全等模型为“型全等”．（不需要证明） 【迁移应用】如图，在直角坐标系中，直线：分别与轴，轴交于点、， (1)直接写出______，______； (2)将直线绕点顺时针旋转得直线，求出直线解析式： 小明的解题思路是：在第二象限构造等腰直角，使得，，根据型全等和坐标之间的关系，求出点的坐标为______；通过，两点坐标求出直线的解析式______； (3)如图，将直线绕点顺时针旋转得到，求的函数解析式． 38．（2022·河北石家庄·一模）如图，在平面直角坐标系中，过点A（8，6）作AB⊥y轴，垂足为B；动点P从原点O出发，以每秒3个单位长度的速度沿x轴正方向运动；动点Q从点A同时出发，以每秒2个单位长度的速度沿AB向终点B运动，连接PQ．设运动的时间为ts． (1)当t为何值时，PQ取得最小值； (2)当PQ=2时，求t的值； (3)在备用图中，连接OA交PQ于点C，试问：随着两个动点P、Q的运动，点C的位置是否变化？若不变化，请求出点C的坐标；若变化，请说明理由． 39．（2025·河北石家庄·三模）如图，平面直角坐标系中，有一动点和正方形，其中，．    (1)求直线的解析式； (2)当时，判断点是否在正方形内（含边界）； 当点运动到轴上时，求的面积； (3)若点在内部（含边界，直接写出的取值范围． 40．（2025·广东佛山·一模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与轴交于点，与轴交于点，且与正比例函数的图像交于点． (1)求一次函数的表达式； (2)点是轴上一动点，过点作轴的垂线（垂线位于点的右侧），分别交两函数图像于点，连接，若的面积为15，求线段的长度． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 一次函数常考几何问题10大题型（解析版） 目录 A题型建模・专项突破 题型一、一次函数中的面积计算 1 题型二、一次函数中的平移问题 2 题型三、一次函数中的动点问题 3 题型四、一次函数与线段、图形交点问题 5 题型五、一次函数中的全等问题 6 题型六、一次函数中的翻折模型 8 题型七、一次函数中的旋转模型（45度角等） 9 题型八、一次函数中的最值问题 11 题型九、一次函数中的存在性问题 11 题型十、一次函数中的新定义问题 11 B综合攻坚・能力跃升 题型一、一次函数中的面积计算 1．如图，在平面直角坐标系中，过点的直线与直线相交于点，动点在线段和射线上运动． (1)求直线的解析式； (2)求的面积； (3)是否存在点，使的面积是的面积的？若存在求出此时点的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1)直线的解析式是： (2) (3)存在，的坐标是：或或 【分析】本题考查了一次函数的几何应用，待定系数法求解析式，三角形的面积； （1）根据点，的坐标，利用待定系数法即可得； （2）令，求出点的坐标，再根据三角形的面积公式即可得； （3）先利用待定系数法求出直线的解析式，再分①点在线段上，②点在射线上两种情况，分别根据三角形的面积关系建立方程，解方程即可得． 【详解】（1）解：设直线的解析式是，代入， 根据题意得： 解得： 则直线的解析式是：； （2）在中，令，解得：， ∴，则， ； （3）设的解析式是，则， 解得：， 则直线的解析式是：， ∵当的面积是的面积的时， ∴当的横坐标是， 在中，当时，，则的坐标是； 在中，，则，则的坐标是． 则的坐标是：或， 当的横坐标是：，则在上， 当时，，则的坐标是； 综上所述：的坐标是：或或． 2．数学中，常对同一图形的面积用两种不同的方法计算，从而建立相等关系，这是一种重要的数学方法，称为等面积法．如图1，四个直角边分别为、、斜边长为的直角三角形和一个边长为的小正方形拼成一个大正方形． 解：四个直角三角形其面积都为，边长为的小正方形的面积为，大正方形的面积为． 由图形可知：． 整理得 ． 故结论为：直角边长分别为、斜边为的直角三角形中． (1)【类比尝试】如图2，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点都在格点上，若是的边上的高，求： ①的面积； ②的长． (2)【拓展探究】如图3坐标系中，直线与轴、轴分别交于点和，直线经过坐标原点，且，垂足为．求： ①点和点的坐标． ②点到轴的距离． 【答案】(1)①7 ② (2)①点，点 ② 【分析】此题主要考查了一次函数的图象与性质，勾股定理，，熟练掌握相关知识是解决问题的关键． （1）①根据正方形网格的特点，分别求出，，，，进而根据可得出答案； ②由勾股定理求出，再根据三角形的面积公式可求出的长； （2）①对于，当时，，当时，，由此可得点和点的坐标； ②过点作轴于，由①得，，则，由三角形的面积公式可求出，再由勾股定理求出，然后再由三角形的面积公式即可求出的长． 【详解】（1）解：①如图2所示： 依题意得：四边形为正方形，且， ， 又，，， ， ， ， ， ②在中，由勾股定理得：， 是的边上的高， ， ； （2）①对于， 当时，， 当时，，， 点，点； 由①可知：，， 在中，由勾股定理得：， ，垂足为， ， ， 在中，由勾股定理得：， 轴于， ， ， ． 3．如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，且直线与直线交于点．已知直线与y轴交于点，与x轴交于点E． (1)求点A、B的坐标； (2)求直线的解析式； (3)求的面积； (4)在直线上有一点P，且满足的面积是面积的，求点P的坐标． 【答案】(1)， (2) (3)5 (4)和 【分析】本题主要考查了一次函数与坐标轴的交点、待定系数法求函数解析式、三角形面积等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． （1）分别求解即可； （2）先求出点D的坐标，再用待定系数法求直线解析式即可； （3）先求出的长，再根据求解即可； （4）先求得，即；再分两种情况：当点P在点D下方时，当点P在点D上方时，根据三角形的面积公式、列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵直线与x轴交于点A，与y轴交于点B， ∴当时，，即； 当时，，即． （2）解：∵直线经过点， ， ， 设直线的解析式为， ∴，即， ∴直线的解析式为． （3）解：∵，， ∴， ∴． （4）解：∵直线的解析式为． ∴， ∴， ∴， ∴； ①如图，当点P在点D的上方， 设点P的坐标为， ∵， ∴，解得：， ∴； ②如图，当点P在点D的下方， 设点P的坐标为， ∵， ∴，解得：， ∴． 综上，点P的坐标为和． 题型二、一次函数中的平移问题 4．已知一次函数的图象经过点和． (1)求该一次函数的解析式； (2)平移该函数图象，使它经过点，求出平移后的一次函数的解析式，并写出一种平移方法． 【答案】(1) (2)；向上平移个单位（或其他合理平移，如先右移再上移等，只要最终得到即可 ） 【分析】此题主要是考查了利用待定系数法求一次函数的解析式和一次函数的平移，能够熟练掌握待定系数法是解答此题的关键． （1）设一次函数的解析式为，把点和代入解析式求得与的值即可； （2）设平移后的直线表达式为．把代入求出m的值，对比原解析式与平移后，通过纵坐标变化确定平移方向和距离，如向上平移个单位（或其他合理组合平移 ）． 【详解】（1）解：设一次函数的解析式为， 一次函数的图象经过点和， ， 解得． 一次函数的解析式为． （2）设平移后的直线表达式为． 把代入得到，， 解得， ∴平移后的直线表达式为． 平移方法：原函数，要得到，需向上平移个单位（或其他合理平移，如先右移再上移等，只要最终得到 ）． 5．如图，在平面直角坐标系中，过点的直线与直线相交于点． (1)求m的值； (2)将直线平移，平移之后的直线记作直线，若直线与直线的交点在第二象限内，直接写出b的取值范围． 【答案】(1)2 (2) 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数图象的交点，象限内点的坐标特征，解一元一次不等式组，解二元一次方程组等，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）将点B的坐标代入即可求解； （2）先求出直线的解析式，再联立，求出交点坐标，再根据交点在第二象限，且第二象限的点的横坐标小于0、纵坐标大于0，得到关于b的不等式组，求解即可． 【详解】（1）解：把代入，得， ∴； （2）解：∵， ∴， 设直线的解析式为， 把，代入，得， 解得， ∴直线的解析式为， 联立，解得， ∵直线与直线的交点在第二象限内， ∴， 解得． 6．在平面直角坐标系中，对于点P与图形给出如下定义：N为图形上任意一点，P，N两点间距离的最小值称为点P与图形的“近点距离”．特别的，当点P在图形W上时，点P与图形的“近点距离”为零．如图1，点． (1)点与线段的“近点距离”是___________；点与线段的“近点距离”是___________； (2)点P在直线上，如果点P与线段的“近点距离”为，那么点P的坐标是___________ (3)如图2，将线段向右平移3个单位，得到线段，连接，若直线上存在点G，使得点G与四边形的“近点距离”小于或等于，直接写出b的取值范围． 【答案】(1)1，； (2)或； (3)． 【分析】（1）画出图形，直接利用新定义结合勾股定理可得答案； （2）画出图形，分两种情况利用数形结合的方法，一次函数的性质与勾股定理解答即可； （3）如图，过作直线，则线段的长度为点与四边形的“近点距离”，求解直线为，过作轴于，过作直线，则线段的长度为点与四边形的“近点距离”由平移可得，同理可得直线为，再进一步解答即可． 【详解】（1）解：如图： ∵， ∴点与线段的“近点距离”是， ∵， ， ∴点与线段的“近点距离”是， 故答案为：1，； （2）解：如图，当在左边时， 当时，两点间距离最小， ∵点与线段的“近点距离”为， ， ， ， ， ∴， 当在的右边时，如图中的， ， 过作轴的平行线，过作轴的垂线，交点为， ∵直线为， 为等腰直角三角形， ， ， 故答案为：或； （3）解：如图，过作直线，则线段的长度为点与四边形的“近点距离”， ∵一次函数， ， ， ∴设， ∴， 设直线为， ∴ 解得：， ∴直线为， ∴， 当时，， 过作轴于， ， ， ， ； 如图，过作直线，则线段的长度为点与四边形的“近点距离”， ∵由平移可得， 同理可得直线为， ∴， ， 当时，则， 过作轴于， ， ， ， ， ∴， 解得； ∴直线上存在点，使得点与四边形的“近点距离”小于或等于，的取值范围为． 【点睛】本题考查了新定义的含义，一次函数的几何应用，勾股定理的应用，等腰直角三角形的判定与性质，二次根式的运算，平移的性质，理解题意是解题的关键． 题型三、一次函数中的动点问题 7．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标分别为． (1)求直线的函数表达式； (2)若为直线上一动点，的面积为6，求点的坐标． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查一次函数与几何的综合应用，正确的求出函数解析式是解题的关键： （1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）根据，求出点的坐标即可． 【详解】（1）解：∵点的坐标分别为， ∴设直线的解析式为：， 把，代入，得：，解得：， ∴； （2）∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 当时，，解得：； 当时，，解得：； ∴或． 8．已知：如图所示，在平面直角坐标系中，过点的直线与直线相交于点，与y轴交于点M． (1)求直线的表达式． (2)求的面积． (3)点是x轴上一个动点，过点P垂直于x轴的直线分别与直线和交于C、D两点，当点C位于点D上方时，直接写出n的取值范围． 【答案】(1) (2)3 (3) 【分析】本题考查两条直线平行、相交问题，解题的关键是灵活应用待定系数法，学会利用图象，根据条件确定自变量取值范围． （1）先求出点B坐标，再利用待定系数法即可解决问题． （2）把代入解析式，求出M坐标，利用三角形面积公式解答即可； （3）由图象可知直线在直线上方即可，由此即可写出n的范围． 【详解】（1）解：∵点在直线上， ∴， ∴， ∴点， 设直线的表达式为， 将，代入得：， 解得， ∴直线的表达式为； （2）将代入，得：， ∴， ∴， ∴的面积； （3）当点C位于点D上方时，即是直线在直线上方，如图： 由图象可知． 9．如图1，在平面直角坐标系中，已知一次函数的图象交轴于点，交轴于点． (1)求直线的函数表达式； (2)直线垂直平分交于点，点是直线上一动点，且在点的上方，设点的纵坐标为． ①用含的代数式表示_______； ②当时，点的坐标为_______； ③在②的条件下，如图2，点、为轴上两个动点，满足，并且点在点的上方，连接，，当四边形周长最小时，直接写出点的坐标_______． 【答案】(1)； (2)①；②；③． 【分析】（1）根据点A和点B坐标应用待定系数法即可． （2）①根据线段垂直平分线的性质和一次函数解析式求出点D坐标，进而用m表示的长度，再根据三角形面积公式计算即可． ②根据①中面积公式求出m的值，再根据线段垂直平分线的性质确定点P的横坐标，即可求出点P的坐标． ③在直线a上取一点，作点Q关于y轴的对称点C，连接，其与y轴的交点即为N．根据四边形周长公式确定当取得最小值时，四边形的周长取得最小值，根据平行四边形的判定定理和性质，轴对称的性质确定，进而确定当B，N，C三点共线时，四边形的周长取得最小值，根据点B和点C坐标应用待定系数法求出直线的解析式，进而即可求出点N的坐标． 【详解】（1）解：将点，，代入 得：． 解得 直线的函数表达式为． （2）解：①直线a垂直平分交于点D， 点D的横坐标为， 点D在直线上， ． 点P的纵坐标为m， ． 故答案为：． ②， ． ． 点P在线段的垂直平分线上， 点P的横坐标是． ． 故答案为：． ③如下图所示，在直线a上取一点，作点Q关于y轴的对称点C，连接，其与y轴的交点即为N． 点B和点P是定点， 的长度为固定值． 四边形，， 当取得最小值时，四边形的周长取得最小值． ，， ． ，， ． ． 四边形是平行四边形． ． 点C与点Q关于y轴对称， ，． ． 当B，N，C三点共线时，取得最小值，即取得最小值． 当B，N，C三点共线时，四边形的周长取得最小值． 设直线的解析式为． 把点B和点C坐标代入直线解析式得． 解得． 直线解析式为． 当时，． ． 故答案为：． 【点睛】本题考查待定系数法求一次函数解析式，根据自变量求一次函数的函数值，三角形面积公式，线段垂直平分线的性质，平行四边形的判定定理和性质，轴对称的性质，两点之间线段最短，综合应用这些知识点是解题关键． 题型四、一次函数与线段、图形交点问题 10．如图，直线交坐标轴于D，E两点，等边三角形的边在x轴上，且点B为线段的中点，若将沿y轴竖直向上平移，当点C落在直线上时，点C平移的距离为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点C作于点M，延长交于点N，先根据题意求出的长，再求出的长即可求出答案． 【详解】解：如图，过点C作于点M，延长交于点N， 令，则， 解得， ∴点D的坐标为， ∵点B为线段的中点， ， 是等边三角形， ， 又∵， ∴， ∴， 将代入， 得， 即， ∴， 即点C平移的距离为． 故选：C．    【点睛】本题考查一次函数图象上点的坐标特征、等边三角形的性质、坐标与图形变化﹣平移，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用等边三角形的性质和平移的性质解答． 11．在平面直角坐标系中，，，下面有三种说法： ①一次函数的图像与线段有公共点； ②当时，一次函数的图像与线段有公共点； ③当时，一次函数的图像与线段有公共点； 其中说法正确的有 ． 【答案】② 【分析】根据一次函数图像上点的坐标特征以及一次函数的性质即可判断． 【详解】解：①一次函数的图像经过点，， 一次函数的图像与线段没有公共点，故错误，不符合题意； ②， ， 一次函数的图像经过点， 当时，一次函数的图像与线段交于点，故②正确，符合题意； ③，，与轴的交点为， 设直线：，过，，得，解得：，， 直线：， 如图： 当时，一次函数的图像与线段有公共点，故③错误，不符合题意． 故答案为：②． 【点睛】本题考查了一次函数图像上点的坐标特征，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键． 12．在平面直角坐标系xOy中，A（﹣1，1）B（3，2），连接线段AB． (1)一次函数y＝﹣x+b与线段AB有交点，求b的取值范围； (2)一次函数y＝kx+3与线段AB有交点，求k的取值范围． 【答案】(1)0≤b≤5 (2)k≥2或k≤ 【分析】（1）把A、B分别代入y=-x+b，分别求得b的值，即可求得b的取值范围； （2）把A点和B点坐标分别代入计算出对应的k的值，然后利用一次函数图象与系数的关系确定k的范围． 【详解】（1）∵A（-1，1），B（3，2）， ∴若过A点，则1=1+b，解得b=0， 若过B点，则2=-3+b，解得b=5， ∴0≤b≤5． （2）把A（-1，1）代入得kx+3=1，解得k=2； 把B（3，2）代入得3k+3=2，解得k=， 所以当一次函数y=kx+3与线段AB只有一个交点时，k≥2或k≤． 即k的取值范围为k≥2或k≤-． 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，图象上的点的坐标符合解析式是解题的关键． 题型五、一次函数中的全等问题 13．【模型建立】 美国总统伽菲尔德利用图验证了勾股定理，过等腰的直角顶点作直线，再过点作于点，过点作于点，易证得：．我们称这种全等模型为“型全等”（无需证明）． 【模型应用】 （1）如图，在平面直角坐标系中，等腰中，，，点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标为______； （2）如图，在平面直角坐标系中，直线分别交轴，轴于点、点，将直线绕点逆时针旋转得到直线，则直线的函数表达式为______； （3）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像分别交轴，轴于点、点，点，是正比例函数图像上两点，若，，则点到直线的距离为______； 【模型拓展】 （4）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，过点作轴于点，作轴于点，点是线段上一点，点在直线上．当点，，构成等腰直角三角形时，直接写出点的横坐标______． 【答案】（）；（）；（）；（），． 【分析】（）作轴于，根据得出，，进而得出结果； （）作轴于，根据（）知：，设的解析式为，将，两点坐标代入，进一步得出结果； （）作于，可证得, 从而得出； （）当，时，作轴，延长，交于，设，根据，得出，进而根据由，得方程，进一步得出结果；同样方法得出当，时的情形，当时，求得的值不能满足在上； 本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，求一次函数的解析式等知识，掌握知识点的应用及分类讨论思想是解题的关键． 【详解】解：（）如图，作轴于， 由［模型建立］得， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：； （）如图， 作轴于， 由得，当时，；当时，； ∴，， 由（）知：， 设的解析式为， ∴，解得：， ∴， 故答案为：； （）如图， 作于， ∴， 由得，当时，；当时，； ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴ ∴， 故答案为：； （）如图， 当，时， 作轴，延长，交于， 设， ∴，，， 由［模型建立］得， ∴， ∴， 由得，， ∴， ∴点横坐标为：， 如图， 当，时， 作于，作，交的延长线于， 设，则，， 由上可知，，， ∴， ∴， ∴， ∴点横坐标为: ； 如图， 当时， 作，交的延长线于，设， 同理可得，，， ∴， ∴， ∴， 此时点不在线段上， ∴舍去， 综上所述：点的横坐标为：或； 故答案为：或． 14．某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的全等模型． 【全等模型】如图1，已知在中，，直线经过点直线直线，垂足分别为点D，E．易证：． （1）①如图1，若，则__________； ②如图2，，点的坐标为，连接交轴于点，求点的坐标，点的坐标． 【拓展探究】 （2）如图3，的图象分别交轴和轴于A、B两点，点坐标为，点在直线上，连结，当与的图象的夹角为时，请求出点的坐标． 【答案】（1）①；②，；（2）或 【分析】（1）①根据垂直的定义得到，根据余角的性质得到，根据全等三角形的性质得到，，于是得到结论； ②如图2，过A作轴于C，过B作轴于D，根据垂直的定义得到，根据余角的性质得到，根据全等三角形的性质即可得到结论； （2）如图所示，当在轴下方时，以为直角顶点作等腰直角三角形，同理可得，设，则，，进而表示出点的坐标，代入一次函数解析式，即可求解． 【详解】（1）解：①∵直线l，直线l， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：8； ②如图2， 过A作轴于C，过B作轴于D， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵在与中， ， ∴， ∴，， ∵点B的坐标为， ∴，， ∴，， ∴， 设直线的解析式为，代入，得， ， 解得： ∴直线的解析式为， 当时，， ∴； （2）解：如图所示，当在轴下方时，以为直角顶点作等腰直角三角形， 设，则，， 同理可得， ∴， ∴， ∵在上， ∴， 解得：， ∴，， ∴， 当在点的位置时，， 综上所述，或． 15．某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的全等模型． 【全等模型】如图1，已知：在△ABC中，，，直线l经过点A，直线l，直线l，垂足分别为点D，E．易证： （1）①如图1，若，，则________； ②如图2，，，点B的坐标为，连接交y轴于点M，求点A的坐标，点M的坐标． 【模型应用】（2）数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：如图3，过△ABC的边、向外作正方形和正方形，是边上的高，延长交于点I，若，，则________． 【拓展探究】（3）如图4，的图象分别交x轴和y轴于A、B两点，点D坐标为，点C在直线上，连结，当与的图象的夹角为时，请直接写出点C的坐标________． 【答案】（1）①；②，；（2）；（3）或 【分析】（1）①根据垂直的定义得到，根据余角的性质得到，根据全等三角形的性质得到，，于是得到结论； ②如图2，过A作轴于C，过B作轴于D，根据垂直的定义得到，根据余角的性质得到，根据全等三角形的性质即可得到结论； （2）如图3，过E作于M，的延长线于N．根据正方形的性质得到，，根据全等三角形的性质得到，，同理，，，根据全等三角形的性质得到，于是得到结论； （3）如图所示，当在轴下方时，以为直角顶点作等腰直角三角形，同理可得，设，则，，进而表示出点的坐标，代入一次函数解析式，即可求解． 【详解】（1）解：①∵直线l，直线l， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中，， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：8； ②如图2，    过A作轴于C，过B作轴于D， ∴， ∵， ∴， ∴， 在与中，， ∴， ∴，， ∵点B的坐标为， ∴，， ∴，， ∴， 设直线的解析式为，代入，得， 解得： ∴直线的解析式为 当时， ∴ （2）如图3，过E作于M，的延长线于N．    ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， 同理，，， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． （3）解：如图所示，当在轴下方时，以为直角顶点作等腰直角三角形， 设，则， 同理可得 ∴ ∴ ∵在上， ∴ 解得： ∴，， ∴， 当在点的位置时， 综上所述，或 题型六、一次函数中的翻折模型 16．如图，把长方形纸片放入平面直角坐标系中，使，分别落在x轴，y轴的正半轴上，连接， ． (1)求A、C两点的坐标； (2)将纸片折叠， 使点A与点C重合（折痕为），求折叠后纸片重叠部分的面积； (3)求所在直线的函数表达式． 【答案】(1) (2)折叠后纸片重叠部分的面积为10 (3) 【分析】本题考查了一次函数的面积问题，求一次函数解析，勾股定理，坐标与图形，熟练掌握待定系数法，求出重叠部分三角形的底和高是解题的关键． （1）根据得出，根据勾股定理得出，列出方程求解即可； （2）设，则，在中，根据勾股定理可得，列出方程求出，根据，即可解答； （3）由（2）可得，设，则，在中，根据勾股定理可得：，列出方程求出，则，在用待定系数法即可求出所在直线的函数表达式． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵四边形为长方形， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴； （2）解：∵四边形为长方形， ∴， ， 由折叠可得：， 设，则， 在中，根据勾股定理可得：， 即， 解得：， ∴， ∴， ∴折叠后纸片重叠部分的面积为10； （3）解：由（2）可得， ∴， 由折叠可得：， 设，则， 在中，根据勾股定理可得：， 即， 解得：， ∴， ∴， 设所在直线的函数表达式为， 把，代入得： ， 解得：， ∴所在直线的函数表达式为． 17．在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点A、点B，点P的坐标为． (1)如图1，连接，将沿直线折叠，点O的对应点点C恰好落在上，则 ； (2)如图2，取线段的中点E，连接，过点E作，交x轴于点Q．将沿所在直线折叠，点B的对应点记作点D，连接． ①猜想的度数，并证明； ②求证：； (3)连接，请直接写出直线的解析式（用含有a的代数式表示）． 【答案】(1) (2)①，证明见解析；②证明见解析 (3) 【分析】（1）求出直线与两坐标轴的交点，易得是等腰直角三角形，由折叠的性质可得是等腰直角三角形，进而得，则由勾股定理建立方程即可求得a的值； （2）①由折叠性质得，；由则可得；由E是中点，则得，从而可证，则，最后可得； ②连接，证明，则这两个三角形面积相等，从而可求证； （3）过点D作y轴的垂线，垂足为H，证明，则其面积相等，设，由面积关系求得m与n的关系，再设解析式，即可求得解析式． 【详解】（1）解：在中，令，得；令，得； ∴， ∴， ∵ ∴是等腰直角三角形， ∴； 由折叠的性质：， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴； 在中，由勾股定理得：， 解得：或（舍去）, 故答案为：； （2）解：①猜想； 理由如下： 由折叠性质得，； ∵， ∴，， ∴； ∵E是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ②如图，连接， ∵E是的中点， ∴，，； ∴，； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵ ； （3）解：如图，过点D作y轴的垂线，垂足为H， 由折叠知，，由（2）知，， ∴， ∵， ∴, ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 设， 则，即， 即； 设直线解析式为，则， ∴， ∴直线解析式为． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，求函数解析式等知识，证明三角形全等是解题的关键． 18．如图，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于点A、B，C是x轴上一点，将沿着过点B、C的直线折叠，使点A落在y轴上的点D处． (1)求点D的坐标； (2)求直线的函数表达式． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一次函数的性质，勾股定理，折叠的性质，求一次函数解析式． （1）先求出，，得到，，根据勾股定理求出，根据折叠的性质得到，求出，即可求出点D的坐标； （2）根据折叠的性质得到，设，根据勾股定理求出，即，可知，根据待定系数法求解即可． 【详解】（1）解：当时，，即； 当时，解得：，即； ∴，， ∴， ∵将沿着过点B、C的直线折叠，使点A落在y轴上的点D处， ∴， ∴， 即； （2）解：∵将沿着过点B、C的直线折叠，使点A落在y轴上的点D处， ∴， 设， 则， ∴， 解得：， 则， 即， 设直线的函数表达式为， 则， 解得：， 即． 题型七、一次函数中的旋转模型（45度角等） 19．规定：在平面直角坐标系内，某直线绕原点O顺时针旋转，得到的直线称为的“旋转垂线”．    (1)求出直线的“旋转垂线”的解析式； (2)若直线的“旋转垂线”为直线．求证：； (3)如图，在平面直角坐标系中，点，点，点P是直线上一点，度，求点P的坐标． 【答案】(1)直线的“旋转垂线”的解析式是： (2)见解析 (3) 【分析】（1）先求出直线与坐标轴的交点，再求出这两个交点绕原点顺时针旋转后的点，再用待定系数法求出直线的“旋转垂线”的解析式即可； （2）分别求出直线和直线与坐标轴的交点，再利“直线绕原点O顺时针旋转得到的直线”得到这些交点横纵坐标的相等关系，从而得解； （3）作交的延长线于点C，作，作于D，先证明，从而证明，继而推导点C的坐标，再用待定系数法求出直线的解析式，最后用两直线求交点的方法求出点P的坐标． 【详解】（1）解：如图1，    由得：，， ∴点A绕点O顺时针旋转90°后对应的点是， 点B绕点O顺时针旋转90°后对应的点是， 设的解析式为：， 将点，代入得： 解得：， ∴的解析式为：， 即直线的“旋转垂线”的解析式是：； （2）证明：如图2，设直线与轴、轴分别交于点，直线与轴、轴分别交于点，    对于直线 当时，， ∴ 当时，， 解得：， ∴ 同理可得：， ， 依题意得：点绕点O顺时针旋转90°后对应的点是， 点绕点O顺时针旋转90°后对应的点是， ∴ 由得： 两边同时除以并整理得：； （3）解：如图3，作交的延长线于点C，作，作于D，   ， ， ， ， ， ， ， ， ， 设直线的解析式为：， 将代入得： 解得 ∴直线的解析式为：， 直线与直线的解析式联立得： ， 解得 ∴ 【点睛】本题考查待定系数法求一次函数解析式，全等三角形的判定与性质，一次函数图像与坐标轴的交点等知识，利用与坐标轴的交点解决旋转问题是解题的关键．第二问中直线与坐标轴的交点无论在原点的哪个方向，它旋转后用字母表示的结果不变．更一般地，直角坐标系内任意一点绕原点旋转顺时针之后的点是，因此可以不对进行讨论． 20．如图，在平面直角坐标系中，直线l：y＝kx+b分别与x轴、y轴相交于点A、B．现将直线l绕原点O顺时针旋转90°，得到的直线称为直线l的“顺旋转垂线”． （1）若点A、B的坐标分别为A(2，0)、B(0，2)，则直线l的“顺旋转垂线”的关系式为　． （2）若直线l＝k1x+b1（k1＜0，b1≠0）的“顺旋转垂线”为：y＝k2x+b2.求证：k1•k2＝﹣1． （3）已知直线l的“顺旋转垂线”为l'：yx+2，点C是直线l与x轴、y轴交点A、B的中点，动点M的坐标为(0，m)．问当m为何值时，MA+MC取得最小值，并求出该最小值． 【答案】（1）y=x-2；（2）见解析；（3）m=，最小值为5 【分析】（1）将点和点绕原点顺时针旋转，得到，点坐标，用待定系数法求解析式即可； （2）设直线，分别与轴、轴相交于点、，则“顺旋转垂线” 分别与轴、轴相交于点、，则得，，即可得出结论； （3）先求出点和点的坐标，求出点坐标，作点关于轴的对称点，连接交轴于，此时有最小值，求出该值即可． 【详解】解：（1）由题知，点旋转后的坐标为，点旋转后的坐标为， 即直线的“顺旋转垂线” 过点和点， 设直线的“顺旋转垂线” 的解析式为， ， 解得， 即直线的“顺旋转垂线” 的解析式为， 故答案为：； （2）设直线，分别与轴、轴相交于点、， 则“顺旋转垂线” 分别与轴、轴相交于点、， 将、点代入直线的解析式，得 ， 解得， 将、点代入直线的解析式，得 ， 解得， ； （3）由题知直线的“顺旋转垂线” 与轴，轴的交点分别为，， ，， ， 作点关于轴的对称点，即， 连接交轴于， 此时的值最小，即为， ， 即的值最小为5， 设直线的解析式为， 代入点，点的坐标，得 ， 解得， 直线的解析式为， 当时，， 即时，的值最小为5． 【点睛】本题主要考查一次函数的性质，待定系数法求解析式，正确理解“顺旋转垂线”是解题的关键． 21．【问题背景】 数学课上，我们以等腰直角三角形为背景，利用旋转的性质研究线段和角的关系． 【问题初探】 （1）如图1，在中，，点与直角顶点重合，射线交边于点，点在射线上，且满足，连接．判断线段与的关系为______． 【问题深探】 （2）如图2，在中，，点为斜边中点，射线交边于点，射线交边于点，且满足 问题①：线段与满足什么数量关系？请说明理由； 问题②：请直接写出线段之间的数量关系____________． 【问题拓展】 （3）如图3，在平面直角坐标系中，为等腰直角三角形，，点为斜边中点，轴上有一点，动直线绕着点旋转，与轴相交于点，且满足，直线的表达式为____________（直接写出表达式即可）． 【答案】（1）且，理由见解析；（2）①，理由见解析；②（3）或 【分析】本题主要考查的是一次函数综合运用、全等三角形的判定与性质、一次函数的图象和性质、勾股定理的运用等知识点，正确作出辅助线是解题的关键． （1）用证明即可求解； （2）①先证明得到即可解答；②先说明，再在中，即可求解； （3）先求得，再证明，则；设点，则，解得：（舍去）或4，即点；然后运用勾股定理求得直线的表达式为，当直线l和上述垂直时，也符合题意，求得点F的坐标，最后运用待定系数法求出直线直线l的表达式即可求解． 【详解】解：（1）且，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即． 故答案为：且． （2）①，理由如下： 如图：连接， ∵，点为斜边中点， ∴， ， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； ②∵， ∴； 在中，，即． 故答案为：． （3）∵在平面直角坐标系中，为等腰直角三角形，， ∴ ∵点为斜边中点， ∴点， ∵， ∴，则， 设点，则，解得：（舍去）或4， ∴点， 设直线的解析式为， 则，解得：， ∴直线的表达式为：， 如图：当直线和上述垂直时， ∵在平面直角坐标系中，为等腰直角三角形，， ∴，， ∵点为斜边中点， ∴点，， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即：该直线l符合题意； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即， 设直线的解析式为，则有： 则，解得：， ∴直线的解析式为． 综上，直线的表达式为或． 故答案为：或． 题型八、一次函数中的最值问题 22．如图，在平面直角坐标系中，点，M是线段的中点． (1)求直线 的函数表达式； (2)若点P是y轴上一点，且使周长最小，求最小周长． 【答案】(1) (2)的最小周长是 【分析】本题考查了一次函数的图像性质，待定系数法求一次函数解析式，轴对称的性质，勾股定理，合理做出辅助线是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）作点关于y轴对称的点C，连接交y轴于点P，过点M作于点D，此时，可得到最小值，再利用勾股定理运算求解即可． 【详解】（1）解：设直线的解析式为，把代入可得： ， 解得：， 直线的解析式为； （2）周长， 当最小时，的周长最小， 如下图，作点关于y轴对称的点C，连接交y轴于点P，过点M作于点D， 此时，可得到最小值， ，C与A关于y轴对称， M为中点，， ，即， ， ， 在中，， 在中，， 周长． 23．已知一次函数的图象分别与x轴、y轴交于点，点C在直线上，其纵坐标为5． (1)点B的坐标为________，点C的坐标为________； (2)在x轴上找一点P，连接，使的值最小，并求出点P的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）在中，分别令和即可求出点B、C的坐标； （2）将B点关于x轴对称为，将转化为，数形结合即可求出最值时P的位置，求出此时的解析式，令即可求出P的坐标． 本题考查了求一次函数与坐标轴的交点、利用轴对称处理线段之和最小的问题，能够识别这种问题实际上就是“将军饮马”问题是解题的关键． 【详解】（1）解：对于， 令，得， 故点B的坐标为； 令，得， 故点C的坐标为； 故答案为：； （2）解：作点B关于x轴的对称点，连接， ∴，当且仅当三点共线时，等号成立， ∴的最小值为，此时P是与x轴的交点． 设所在直线的表达式为， 根据题意，得， 将①代入②，得， ∴：， 令，则，解得， ∴． 24．如图，直线与坐标轴交于A、B两点，与过点的直线交于点． (1)求直线的解析式； (2)求的面积； (3)在y轴上是否存在一点P，使最大？若存在，请求出点P的坐标，并求出的最大值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)直线的解析表达式为； (2)； (3)点的坐标为时，的最大值为． 【分析】（）设直线的解析表达式为，然后把和代入求解即可； （）作轴于点，分别求出，，再由三角形的面积公式即可得出结论； （）延长交轴于点，则点即是所求的点，此时的最大值为线段的长度， 由可得出点，由勾股定理可得，即可得出答案； 【详解】（1）解：设直线的解析表达式为， ∵和， ∴， 解得， ∴直线的解析表达式为； （2）解：作轴于点， ∵， ∴，， 由，令，得， ∴， ∴，， ∴， ∴； （3）解：存在，理由如下： 延长交轴于点，则点即是所求的点，此时的最大值为线段的长度， 由（）得直线的解析表达式为， 令，得， ∴点的坐标为， 在中， 由勾股定理得， 综上，点的坐标为时，的最大值为． 【点睛】本题考查了一次函数与几何问题，待定系数法求函数解析式， 两点之间线段最短，构造三角形全等求线段长度，三角形面积，掌握以上知识是解题的关键． 题型九、一次函数中的存在性问题 25．如图，已知直线与轴交于点，直线与轴，轴分别交于点和点，且两直线交于点点坐标为． (1)求的值． (2)在轴上是否存在一点，使得与面积相等？若存在，请求出的坐标；若不存在，请说明理由． (3)直线上是否存在点，使得．若存在，求出的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)或 【分析】本题考查了一次函数与几何图形综合，待定系数法求一次函数解析式，全等三角形的性质与判定． （1）将代入，得出，再代入，即可求解； （2）由（1）可得的解析式为，进而求得，设交轴于点，得出，进而求得面积为，根据与面积相等得出，即可求解； （3）根据，将绕点逆时针旋转得到，得到等腰直角三角形，连接，过点作轴，过点作交于点，过点作交于，则为的交点，证明，求出，直线与直线的交点为；点关于点的对称点，则直线与直线的交点为另一个． 【详解】（1）解：依题意，将代入，得 ∴ 将代入得， 解得：； （2）解：由（1）可得的解析式为， 当时，，解得： ∴ 如图，设交轴于点， 当时，， ∴ ∴ ∵直线与轴交于点， 当时，，则 ∴， ∴ ∵， ∴ ∵与面积相等 ∴ 解得： ∵ ∴或 （3）存在点，使得，理由如下； 将绕点逆时针旋转得到，连接，过点作轴，过点作交于点，过点作交于，则是等腰直角三角形， ∴为的交点 ，， ， ， ， ， ， ，， ， 直线与轴交于点 当时，，解得 设直线的解析式为，代入得 解得： 直线的解析式为， ， 同理可得直线的解析式为， 解得： 设关于的对称点为， 的中点为， 即 同理可得直线的解析式为 解得： ∴ 综上所述，或 26．如图，在平面直角坐标系中，直线的解析式为，直线与交于点，与轴交于点，且． (1)求直线的解析式； (2)线段上是否存在点P，使得将的面积分为两部分．若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由； (3)射线上是否存在点M，使得？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，或，理由见解析 (3)存在，或，理由见解析 【分析】（1）根据非负数的性质，解方程，求出a和b，再用待定系数法求直线的解析式； （2）设，由将的面积分为两部分，得到或，再列方程求解即可； （3）先进行分类讨论，当点M在y轴右侧时，在x正半轴上取点E，使得，连接，过点E作的垂线，交于点F，作轴，垂足为G，设点E坐标为，点F坐标为．不难得出，是等腰直角三角形．根据等腰直角三角形的性质，可以证出，由全等的性质，计算出点E的坐标，直线与的交点即为点M，利用一次函数计算即可．当点M在y轴左侧时，容易得出此时直线与直线关于y轴对称，利用对称性算出点M的坐标． 【详解】（1）解：， ∴，， ，， 设直线的解析式为， 把，代入， 得， 解得， 直线的解析式为； （2）解：存在，理由如下： 设，则， ， ， 若将的面积分为两部分，则或， 即或， ∴或， ∴或， ∴或； （3）解：存在，理由如下： ①当点M在y轴右侧时， 如图，在x正半轴上取点E，使得，连接，过点E作的垂线，交于点F，作轴，垂足为G，设点E坐标为，点F坐标为． 由题意可知，直线与的交点即为所求的点M． ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∵轴， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵点E坐标为，点F坐标为，点B坐标为 ∴，，，， ∴， 解得，， ∴点E坐标为， 设直线的函数解析式为， 将，代入得， ， 解得，， ∴直线的函数解析式为， 联立方程， 解得，， ∴点M坐标为， ②当点M在y轴左侧时， 如图，作点E关于y轴的对称点H，连接， 由对称的性质可得，，点H坐标为， 由①可知，， ∴， ∴直线与与的交点即为所求的点M． 设直线的函数解析式为， 将，代入得， ， 解得，， ∴直线的函数解析式为， 联立方程， 解得，， ∴点M坐标为， 综上所述，点M的坐标为或． 【点睛】本题考查了一次函数与角度相关的综合问题，一次函数与面积的相关问题，用待定系数法求一次函数的解析式，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，构造等腰直角三角形解题是关键． 27．如图，直线：与x轴交于点D，直线：与x轴交于点A，且经过定点，直线与交于点． (1)填空：___________，___________，___________； (2)在x轴上是否存在一点E，使的周长最短？若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由； (3)若动点P在射线上从点D开始以每秒1个单位的速度运动，连接，设点P的运动时间为t秒．是否存在t的值，使和的面积比为？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)；4；2 (2)存在一点，使的周长最短 (3)存在的值，使和的面积比为，t的值为或． 【分析】本题属于一次函数综合题，考查了一次函数的性质，待定系数法，轴对称最短问题，勾股定理，三角形的面积等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题，学会用分类讨论的思想思考问题； （1）利用待定系数法即可求解． （2）作点关于轴的对称点，连接交轴于，连接，则此时的周长最小，，求出直线的解析式，即可解决问题． （3）分两种情况：①点在线段上，②点在线段的延长线上，由和的面积比为，即可求解． 【详解】（1）解：直线经过定点， ∴， ， 直线为， 直线经过点， ， 点的坐标为， 直线经过点， ． （2）解：如图，作点关于轴的对称点，连接交轴于点，连接，则的周长最小． ∵，， 直线的解析式为， 令，得， 点的坐标为， 存在一点，使的周长最短； （3）解：直线为 点的坐标为， ， ， 点的运动时间为秒，速度为每秒1个单位， ， 分两种情况： ①如图，点在线段上， 和的面积比为， ， ， ， ； ②如图，点在线段的延长线上． 和的面积比为， ， ， ， ； 综上，存在的值，使和的面积比为，值为或； 题型十、一次函数中的新定义问题 28．新定义：如图1，在平面直角坐标系中，直线l与坐标轴不平行，点P为直线l外一点．过点分别作轴交直线于点，作轴交直线于点，我们称折线为点关于直线的“路径”，“路径”的长度称为点关于直线的“距离”，记为即， 定义理解： （1）如图2，若直线l的表达式为 与x轴和y轴分别交于A，B两点，求．（点O为坐标原点） 定义运用： （2）如图3，将直线l： 沿y轴向上平移n个单位长度后得到直线 m，与x轴和y轴分别交于D，C两点，当 时 （点O为坐标原点），求平移距离n的值； 定义拓展： （3）在（2）的条件下，y轴上是否存在点Q，使得为等腰三角形，且点Q关于直线l的“L路径”与直线m有交点．若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3）存在，点的坐标为或或 【分析】本题考查了一次函数的性质，等腰三角形的性质，解题的关键是掌握求一次函数与坐标轴交点的方法以及讨论等腰三角形的存在性． （1）求出点A和点B的坐标，即可解答； （2）求出点C和点D的坐标，根据，列出方程，即可解答； （3）根据等腰三角形的性质，进行分类讨论：当点Q在y轴上时，分3种情况进行讨论，结合“L路径”的定义，即可解答． 【详解】解：（1）把代入得：， 把代入得：，解得， 、， ，， ； （2）∵将直线l： 沿y轴向上平移n个单位长度后得到直线 m， ∴直线m： ， 把代入得：， 把代入得：，解得， 、， ，， ， ， 解得：； （3）， 、， 根据勾股定理可得：， 点Q在y轴上，共分为三种情况： 第一种情况，当时， 或， 点关于直线l的“L路径”与直线m没有交点，故不符合题意， 即只有符合题意； 第二种情况，当时， ， ， ； 第三种情况，当时， 设， ， 根据勾股定理可得：， 则， 解得：， ； 综上所述，存在，点的坐标为或或． 29．定义：在平面直角坐标系中，将直线..的点的横坐标和纵坐标都扩大到原来的倍，得到新的直线，则称直线为直线的“k倍伴随线”． 【定义辨析】 （1）若点在上，则下列四个点① 、②、③、④，在的 “k 倍伴随线”上的点有 （填序号）； （2）下列函数图像是直线的“2倍伴随线”的是（ ）； A．   B．   C．   D． 【定义延伸】 （3）若直线的“k倍伴随线”记为．现给出两个关系式：①；②．其中正确的是 （填序号）； 【定义应用】 （4）如图，已知直线与x轴、y轴相交于A、B两点，若在它的“k倍伴随线”上存在一点C，能使△ABC为等腰直角三角形，求k的值． 【答案】1．（1）②④；（2）B；（3）②；（4）或3． 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． （1）依据“k倍伴随线”求解即可； （2）依据“k倍伴随线”求解即可； （3）先求出直线与坐标轴的交点坐标，再将横、纵坐标都乘以，得，再将代入可得结果； （4）先求出，，再求出直线的“k倍伴随线”为，再分三种情况讨论即可求解． 【详解】（1）∵将横、纵坐标都乘以2，得到， 将横、纵坐标都乘以3，得到， ∴在的“k 倍伴随线”上的点有②、 ④， 故答案为：②④； （2）直线经过，将这两点横、纵坐标都乘以2，得， 设直线的“2倍伴随线”关系式为， 将代入得： ，解得：， ∴直线的“2倍伴随线”关系式为， 故选：B； （3）直线中，令，得，令，得， ∴经过，将这两点横、纵坐标都乘以，得， ∵直线的“k倍伴随线”记为． ∴将代入得：， 故答案为：②； （4）直线中，令，得，令，得， ∴，， ∴，， ∴， 设直线的“k倍伴随线”为， 将，，横、纵坐标都乘以，得到，， ∴， ∴直线的“k倍伴随线”为， ∵为等腰直角三角形，如图，分三种情况讨论： 当且时， ， ∴， ∴， ∴， 当且时， ， ∴， ∴， ∴， 当且时， 得， ∴， ∴， 综上所述，或3 30．阅读理解：在平面直角坐标系中，给出如下定义： 定义一：若有三点，，，且，则称点是，的轴美点； 定义二：若函数图像上存在某点到轴和轴的距离中，其中一个距离是另一个距离的2倍，则称点为该函数的“倍美点”，此函数称为“倍美函数”，如点是函数图像上的点，所以函数是“倍美函数”，点是该函数的“倍美点”．像、等则是特殊的“倍美函数”． 根据以上材料，完成下列问题： (1)已知函数与轴和轴分别相交于点A，，若有三点、、，则其中是A、“轴美点”的是__________．（只填字母） (2)已知两点、． ①请说明点、的“轴美点”在函数上； ②在①的条件下，若“倍美函数”上存在点，使得点既是，“轴美点”，又是此函数的“倍美点”，求出的值． (3)已知“倍美函数”，是否存在整数使得该函数恰好具有三个“倍美点”？若存在，直接写出值和“倍美点”坐标；若不存在，简要说理． 【答案】(1)D (2)①见解析；②7或或 (3)或 【分析】（1）分别求出各点到点A、B的距离，若相等，即为A，B的“轴美点”，据此判断即可； （2）①设函数上一点M为，利用两点间的距离公式得到的长度，可得，那么点G、H的“轴美点”在函数上；②根据点P在上，设出点P的坐标，进而根据“倍美点”的定义一个距离是另一个距离的2倍得到点P的坐标，代入“倍美函数”上即可求得m的值； （3）易得“倍美函数”关于直线对称，那么画出相关图象，得到与直线，时恰好有3个交点时的位置，计算出相关交点即可． 【详解】（1）解：∵与x轴和y轴分别相交于点A，B， ∴点A的坐标为，点B的坐标为， ∵点、、， ∴，；， ∵， ∴是A、B“轴美点”的是D． 故答案为：D． （2）解：①证明：设函数上一点M为， ∵、， ，， ∴， ∴G、H的“轴美点”在函数上； ②由题意得：点， Ⅰ、， ∴或，解得：或； Ⅱ、， ∴或，解得：或无解； 当时，点P为， ∴，解得：； 当时，点P为， ∴，解得：； 当时，点P为， ∴，解得：． 综上：m的值为7或或． （3）解：∵“倍美函数”恰好具有三个“倍美点”， ∴与和恰好有3个交点， 如图：当时，恰好具有三个“倍美点”，分别是； 当时，恰好具有三个“倍美点”， 或，解得：或． ∴“倍美点”分别是或． 【点睛】本题主要考查了求一次函数的性质、勾股定理、一次函数的图象、一次函数与方程组等知识点．理解并灵活运用所给的新定义解决问题是解决本题的关键．难点运用数形结合的方法得到恰好具有三个“倍美点”时“倍美函数”的具体位置． 1．（2024·山东济南·一模）阅读材料：已知点 和直线，则点到直线的距离可用公式 计算．例如：求点到直线的距离．其中，，所以点到直线的距离为，根据以上材料，有下列结论： ①点到直线的距离是； ②直线和直线的距离是； ③若点是抛物线上的点，则点到直线距离的最小值是． ④抛物线上存在两个点到直线的距离是；其中，正确结论的个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数的点与直线之间的距离公式的运用，由函数的解析式求点的坐标的运用，平行线的性质的运用，解答时掌握点到直线的距离公式是关键． ①利用点到直线的距离公式求出即可；②从直线上找一个点，求出该点到的距离，即为两条平行线的距离；③利用点到直线的距离公式求出点的坐标，即可作出判断；④求得直线与抛物线有一个交点时的m的值，即可求得直线的解析式，从直线上找一个点，求出该点到的距离，即为点P到直线距离的最小值； ④利用点到直线的距离公式求出点的坐标，即可作出判断． 【详解】解：①直线， ∴点到直线的距离是，故①正确； ②∵直线和的k值相等，都等于 ∴直线与直线平行， 根据 “平行线间距离相等”找出直线上的一点， ∴点到直线的距离，故②正确； ③设直线向上平移m个单位与抛物线有一个交点，则平移后的直线为， 令，则， ∴，即， 解得， ∴平移后的直线为， 找出直线上一点， ∴点到直线的距离， ∴若点P是抛物线上的点，则点P到直线距离的最小值是，故③正确； ④设点是抛物线的点，到直线的距离是， 则， ∴， ∴，即， 当时，此方程无解； 当时，解得，或 ∴抛物线上存在两个点到直线的距离是； 故④正确； 所以正确的结论有①②③④，共4个， 故选：D． 2．（2024·内蒙古包头·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像分别与轴，轴交于，两点，将直线向左平移后与轴，轴分别交于点，点．若，则直线的函数解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数图像的平移，掌握一次函数的图象和性质是解题的关键．先利用一次函数解析式求出点坐标，再证明，得到，即得点的坐标，最后根据一次函数平移的性质即可求出直线的函数解析式． 【详解】解：对于直线， 当时，， ∴， ∵直线向左平移后与轴，轴分别交于点，点， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴点的坐标为， ∴平移以后的函数解析式为． 故选：． 3．（2024·贵州贵阳·模拟预测）如图，顶点坐标分别为，将沿x轴向右平移，当点A落在直线上时，线段扫过区域的面积为（     ）    A．6 B．9 C．12 D．15 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及坐标图图形变化-平移，利用一次函数图象上点的坐标特征及平移的性质，利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点A平移后所在的位置，找出线段扫过区域是边长为底为4，高为3的平行四边形，再求出平行四边形的面积即可． 【详解】解：当时，， 解得：， ∴平移后点A落在的位置为点， ∴线段扫过区域是边长为底为4，高为3的平行四边形， ∴线段扫过区域的面积． 故选：C． 4．（23-24八年级下·河北石家庄·期中）如图，八个边长为的正方形如图摆放在平面直角坐标系中，直线经过点时， ；若直线将这八个正方形分成面积相等的两部分，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的性质，待定系数法求解析式，三角形面积，先把点代入得，，即可求出，过作于点，如图所示，根据题意可得，由经过原点的直线将这八个正方形分成面积相等的两部分，则有，从而求出，然后利用待定系数法即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：把点代入得，， ∴， 过作于点，如图所示： ∵正方形的边长为， ∴， ∵经过原点的直线将这八个正方形分成面积相等的两部分， ∴两边的面积都是， ∴， ∴， ∴， 把代入得， 解得， 故答案为：，． 35．（2021·湖北黄石·模拟预测）如图，直线的解析式为分别与，轴交于，两点，点的坐标为，过点的直线交轴负半轴于点，且．在轴上方存在点，使以点，，为顶点的三角形与全等，则点的坐标为 ． 【答案】或 【分析】求出、点，分平行x轴、不平行x轴两种情况，作出图形，结合图形分别求解即可． 【详解】解：将点的坐标代入函数表达式得：， 解得：， 故直线的表达式为：， ∴点， ∴， ∵， ∴， 即点； ①如图，当平行x轴时， 点，，为顶点的三角形与全等，则四边形为平行四边形， 则，则点， ②当不平行x轴时，如下图所示，，    ∵， ∴， ∴， ∴轴，且， ∴， 故答案为：或． 【点睛】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特征，涉及到三角形全等、平行线的性质、勾股定理的运用等，并注意分类求解，题目难度较大． 36．（24-25八年级下·安徽阜阳·期末）如图1，在平面直角坐标系中，已知点A在x轴的负半轴上，直线与x轴、y轴分别交于点C，B，且． (1)求直线的解析式； (2)P为线段上一个动点，若，求此时点P的坐标； (3)如图2，点M是的中点，N为直线上的一个动点，连接．若，求点N的坐标． 【答案】(1)直线的解析式为 (2)此时点P的坐标为 (3)点N的坐标为或 【分析】（1）先求出直线与坐标轴交点坐标，再求出点坐标，再由待定系数法求解； （2）求出，则可得到，进而可求出．设，则，解方程即可答案． （3）当点在点下方时，过点作交直线于，过点作于，过点作直线于，过点作直线于，证明，设点，表示出，再代入，求解；当点在点上方时，构造同样辅助线，同理可求解． 【详解】（1）解：由题意，令，得， ． 令，得，解得， ， ． ， ． ∵点A在x轴的负半轴上， ． 设直线的解析式为． 把代入， 得， 解得， ∴直线的解析式为． （2）解：， ， ． ， ， ． 设， 则， 解得， ∴此时点P的坐标为． （3）解：如图，当点N在点B的下方时，过点M作交于点H，过点M作于点D，过点N作直线于点F，过点H作直线于点E， 则， ， ． ， 是等腰直角三角形， ， ， ． ∵点M是的中点，， ． 设，则， ， ， 解得：， ∴点N的坐标为； 当点N在点B的上方时，构造同样辅助线， 同理， ， ∵点是的中点，点，点， ， 设点． ， ， ， ， ∴点坐标为； 综上所述，点N的坐标为或． 【点睛】本题考查了一次函数与几何综合，涉及待定系数法求函数解析式，直线与坐标轴的交点问题，全等三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． 37．（2025·广西柳州·二模）综合与探索 【探索发现】如图，等腰直角三角形中，，，过点作交于点，过点作交于点，易得，我们称这种全等模型为“型全等”．（不需要证明） 【迁移应用】如图，在直角坐标系中，直线：分别与轴，轴交于点、， (1)直接写出______，______； (2)将直线绕点顺时针旋转得直线，求出直线解析式： 小明的解题思路是：在第二象限构造等腰直角，使得，，根据型全等和坐标之间的关系，求出点的坐标为______；通过，两点坐标求出直线的解析式______； (3)如图，将直线绕点顺时针旋转得到，求的函数解析式． 【答案】(1)，； (2)，； (3)的函数表达式为． 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，一次函数的图象与性质，等腰直角三角形等知识点，熟练掌握其性质，正确作出辅助线是解题的关键． （）由即可求出点的坐标为，点的坐标为，从而求解； （）根据“型全等”证明，则有点的坐标为，设解析式为，然后把，坐标代入求解即可； （）过点作交于点，过点作轴，过点作轴与交于点，与轴交于点，证明，则有，设，则，，得出，最后通过待定系数法即可求解． 【详解】（1）解：如图，在直角坐标系中，直线分别与轴，轴交于点， 令，解得，令，得，解得：， ∴点的坐标为，点的坐标为， ∴，， 故答案为：，； （2）解：过点作轴于，如图， 则， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴点的坐标为， 设解析式为， ∴，解得：， ∴解析式为， 故答案为：，； （3）解：过点作交于点，过点作轴，过点作轴与交于点，与轴交于点，如图， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则，， ∴， ∴，解得， ∴， ∴设直线解析式为 ，解得， ∴的函数表达式为． 38．（2022·河北石家庄·一模）如图，在平面直角坐标系中，过点A（8，6）作AB⊥y轴，垂足为B；动点P从原点O出发，以每秒3个单位长度的速度沿x轴正方向运动；动点Q从点A同时出发，以每秒2个单位长度的速度沿AB向终点B运动，连接PQ．设运动的时间为ts． (1)当t为何值时，PQ取得最小值； (2)当PQ=2时，求t的值； (3)在备用图中，连接OA交PQ于点C，试问：随着两个动点P、Q的运动，点C的位置是否变化？若不变化，请求出点C的坐标；若变化，请说明理由． 【答案】(1)当t为s时，PQ取得最小值； (2)t的值为或2； (3)点C的位置不变化，点C的坐标为（，）． 【分析】（1）由题意知当QP⊥AB时，QP取得最小值，列出一元一次方程即可求解； （2）得到P（3t，0），Q（8-2t，6），利用两点之间的距离公式即可求解； （3）分别求得直线PQ的解析式为y=，直线OA的解析式为y=，联立求解即可得到结论 【详解】（1）解：由题意知：A（8，6），B（0，6）， OP=3t，AQ=2t， ∴BQ=8-2t； 当QP⊥AB时，QP取得最小值， 此时OP= BQ，即3t=8-2t， 解得：t=（s）； ∴当t为s时，PQ取得最小值； （2）解：由（1）得：P（3t，0），Q（8-2t，6）， 根据题意得：PQ=， 整理得：5t2-16t+12=0， 解得：t=或2； ∴t的值为或2； （3）解：设直线PQ的解析式为y=kx+b， ∴，解得：， ∴直线PQ的解析式为y=， 同理可得直线OA的解析式为y=， 联立得：， 整理得：24x-15tx=24x-72t， 解得：x=， 把x=代入 y=，得y=， ∴点C的坐标为（，），即点C的位置不变化． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，勾股定理，解一元二次方程，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键． 39．（2025·河北石家庄·三模）如图，平面直角坐标系中，有一动点和正方形，其中，．    (1)求直线的解析式； (2)当时，判断点是否在正方形内（含边界）； 当点运动到轴上时，求的面积； (3)若点在内部（含边界，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)①点在正方形内；② (3) 【分析】本题考查一次函数综合应用，涉及待定系数法，三角形面积，正方形性质等，解题的关键是数形结合思想的应用． （1）用待定系数法可得直线解析式； （2）①当时，的坐标为，画出图形可知点在正方形内； ②当在轴上时，，此时的坐标为，用三角形面积公式可得的面积； （3）在直线上移动，当时，点在内部（含边界），解不等式即可解题． 【详解】（1）解：设直线解析式为， 把，代入得：， 解得， 直线解析式为； （2）解：①当时，的坐标为，如图：    由图可知，此时点在正方形内； ②当在轴上时，，此时的坐标为，如图：     ， ， ， ， 的面积为； （3）解：如图：    令，， ，即在直线上移动， 联立方程，解得， 由图可知，当时，点在内部（含边界）， 解得， 的取值范围是． 40．（2025·广东佛山·一模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与轴交于点，与轴交于点，且与正比例函数的图像交于点． (1)求一次函数的表达式； (2)点是轴上一动点，过点作轴的垂线（垂线位于点的右侧），分别交两函数图像于点，连接，若的面积为15，求线段的长度． 【答案】(1) (2)5 【分析】本题主要查了一次函数的图像和性质，熟练掌握利用待定系数法求一次函数的解析式是解题的关键． （1）点代入，可得点C的坐标，再把点B，C得坐标代入，即可求解； （2）设点P的坐标为，则，可得点D的坐标为，点E的坐标为，从而得到，然后根据的面积为15，列出关于m的方程，即可求解． 【详解】（1）解：把点代入，得： ，解得：， ∴点， 把点，代入，得： ， 解得：， ∴一次函数的表达式为； （2）解：设点P的坐标为，则， ∵轴于点P， ∴点D的坐标为，点E的坐标为， ∴， ∵的面积为15，， ∴， 解得：或（舍去）， ∴． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $