专题03 一次函数与方程、不等式关系8大题型（专项训练）数学新教材北京版八年级下册

专题03 一次函数与方程、不等式关系8大题型（原卷版） 目录 A题型建模・专项突破 题型一、两直线的交点与二元一次方程组的解 1 题型二、图象法解二元一次方程组 2 题型三、已知直线与坐标轴交点求方程的解 3 题型四、由一元一次方程的解判断直线与x轴的交点 5 题型五、利用图象法解一元一次方程 6 题型六、由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 8 题型七、根据两条直线的交点求不等式的解集 9 题型八、一次函数图象与坐标轴交点问题 11 B综合攻坚・能力跃升 题型一、两直线的交点与二元一次方程组的解 1．如图，已知一次函数与（，且k，m为常数）的交点坐标为，则关于x，y的方程组的解为（   ） A． B． C． D． 2．如图，一次函数与的图象相交于点，若点的纵坐标为2，则关于的二元一次方程组的解为 ． 3．如图所示，在平面直角坐标系中，已知函数和的图象相交于点点P的横坐标为1． (1)直接写出关于的方程组的解是___________； (2)a=___________： (3)求出函数和的图象与轴围成的的面积． 题型二、图象法解二元一次方程组 4．（1）在同一平面直角坐标系中，作出函数与的图象； （2）利用图象法求方程组的解． 5．综合与实践 同学，还记得学习研究一次函数的路径吗？请结合一次函数的学习经验探究函数的图象． (1)列表： … … … … 表格中_______，________； (2)在下面的平面直角坐标系中画出该函数的图象；    (3)观察（2）中所画函数的图象，求出当取何值时该函数的有最小值．最小值是多少？ (4)写出关于的方程的解，并利用（2）中的图像简单说明此方程的解是如何得到的． 6．【课本再现】 七年级下册教材中我们曾探究过“以方程的解为坐标（的值为横坐标、的值为纵坐标）的点的特性”，了解了二元一次方程的解与其图象上点的坐标的关系． 规定：以方程的解为坐标的所有点的全体叫做方程的图象； 结论：一般的，任何一个二元一次方程的图象都是一条直线． 示例：如图，我们在画方程的图象时，可以取点和，作出直线． 【解决问题】 （1）已知，则点________（填“或或”）在方程的图象上． （2）请你在图所给的平面直角坐标系中画出二元一次方程组中的两个二元一次方程的图象．（提示：依据“两点确定一条直线”，画出图象即可，无需写过程）； （3）观察图象，两条直线的交点坐标为________，由此你得出这个二元一次方程组的解是________． 【拓展延伸】 （4）已知二元一次方程的图象经过两点和，试求的值． 题型三、已知直线与坐标轴交点求方程的解 7．一次函数和一次函数在同一坐标系中的图象如图所示，已知，，，观察图象回答下列问题： (1)关于的一元一次方程的解是 ； (2)关于，的方程组的解是 ． 8．如图，一次函数与的图象相交于点A． (1)求点A的坐标； (2)若一次函数与的图象与轴分别相交于点，，求的面积； (3)结合图象，直接写出时的取值范围． 9．小明根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究，并尝试解决了相关问题．下面是小明的探究过程，请补充完整： (1)当时，； 当时，_____； 当时，_____． (2)在如图所示的平面直角坐标系中画出函数的图象； (3)直接写出关于的方程（为常数，）解的个数及对应的取值范围． 题型四、由一元一次方程的解判断直线与x轴的交点 10．已知一次函数的图象经过点，． (1)求此一次函数的解析式； (2)求此一次函数的图象与两坐标轴所围成的三角形面积． 11．如图，在平面直角坐标系中，直线：与轴交于点，与轴交于点，直线：与轴交于点． (1)求直线，的函数表达式． (2)若点在直线上，且的面积为10，求点的坐标． 12．在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴，轴分别交于点，． (1)在如图所示的平面直角坐标系中画出该一次函数的图象，并标出点A，B； (2)当时，的取值范围是_____； (3)将一次函数的图象沿轴向上平移个单位长度，所得直线与轴交于点．若，求的值． 题型五、利用图象法解一元一次方程 13．如图，已知一次函数的图象经过点和点，且与正比例函数的图象相交于点． (1)求直线的解析式； (2)求点的坐标． 14．已知一次函数． (1)画出一次函数的图象； (2)由图可知，若方程，求方程的解． 15．学习“一次函数”时，我们从“数”和“形”两方面研究一次函数的性质，并积累了一些经验和方法，尝试用你积累的经验和方法，研究函数的图象和性质，并解决相关问题． (1)从数的角度，①当时，； ②当时，； ③当时， ； 显然，②和③均为相应一次函数的一部分． (2)从形的角度，我们尝试画出这个函数的图象： ①列表： …… 0 1 2 3 …… …… 1 2 1 0 …… 根据函数表达式可求表格中 ， ； ②描点； ③连线．（请在给出的平面直角坐标系中完成） (3)观察函数的图象，判断下列关于该函数性质的结论：①y随x的增大而减小；②该函数有最大值；③该函数图象关于y轴对称；其中正确的有： ．（请写出所有正确结论的序号） (4)结合函数的图象，解决下列问题： ①关于x的方程的解为 ； ②若关于x的方程有且只有两个解m和n，且，请直接写出满足条件的b的取值范围． 题型六、由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 16．如图，已知函数和的图象交于点，这两个函数的图象与轴分别交于点、． (1)分别求出这两个函数的解析式； (2)求的面积； (3)根据图象直接写出不等式的解集． 17．学习一次函数时，王老师带领同学们探索了课本上的一道函数题． 【课本原型】原题为：“画出函数的图象”． 【初步探究】王老师和同学们对此函数的图象和性质进行了探究，部分过程如下． 自变量x的取值范围是全体实数，y与x的几组对应值列表如表：根据表格的数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分． x … 0 1 2 3 4 5 … y … 4 3 2 1 0 1 2 3 4 … （1）请补全该函数的图象； 【数学思考】：（2）观察该函数图象，写出该函数的一条性质：______； 【深入探究】：（3）已知函数（其中n为常量），并解决下列问题： ①该函数的图象与x轴的交点坐标为______； ②若当自变量时，此函数的最小值为，请求出此时n的值． （）由图象可知，函数； 18．如图，直线与轴相交于点，直线经过点，与轴相交于点，与轴相交于点，与直线相交于点． (1)求直线的函数关系式； (2)根据图象，直接写出的解集； (3)点是上的一点，若的面积等于的面积的2倍，求点的坐标． 题型七、根据两条直线的交点求不等式的解集 19．如图，已知直线和直线相交于点，直线分别与轴和轴相交于点和点，直线与轴交于点． (1)分别求出这两个函数的解析式； (2)直接写出不等式组的解集_____． 20．如图，正比例函数的图象与一次函数的图象交于点，一次函数图象经过点，与轴的交点为． (1)求，，的值； (2)不等式的解集为：______． 21．八年级数学社团学生在学习了“一次函数与一元一次方程、不等式的关系”后，尝试解决其他函数的类似问题，他们将函数确定为研究对象．请你根据以下探究过程，解答问题． 观察探究： （1）作出函数的图象． ①列表： 0 1 其中，表格中的值为__________． ②描点连线画出该函数的图象． （2）观察函数的图象． ①当__________时，函数有最大值，最大值为__________． ②方程的解是__________． 拓展应用： （3）已知直线，请结合图象，直接写出不等式的解集为__________． 题型八、一次函数图象与坐标轴交点问题 22．如图，一次函数图象经过点，，与轴的交点为． (1)求这个一次函数解析式； (2)若在轴上有一点，且的面积等于的面积的，求点的坐标． 23．如图，已知直线经过点，，直线与直线相交于点． (1)求直线的表达式和的值； (2)若直线与轴交于点，直线与轴交于点，求的面积． 24．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点． (1)求直线的函数表达式； (2)点是轴上一点，连接，若的面积为，求点的坐标； (3)在（2）的条件下，将沿折叠，点的对应点为点，请直接写出点的坐标． 1．（2025·陕西咸阳·模拟预测）在平面直角坐标系中，将正比例函数的图象向上平移m个单位长度，平移后的图象与一次函数的图象的交点在第二象限，则m的值可以为（    ） A．1 B．4 C．5 D．6 2．（2025·广西桂林·二模）数形结合是解决数学问题常用的思想方法．如图，直线与直线相交于点．根据图象可知，关于的不等式的解集是（   ）    A． B． C． D． 3．（2025·辽宁盘锦·三模）如图，已知一次函数与正比例函数的图象交于点，则关于的不等式的解集为 ． 4．（2025·山东临沂·二模）在同一直角坐标系中，一次函数，的图象如图所示，则以下结论：①随x的增大而减小；②；③当时，；④方程组的解为．其中正确的为 ．（写出所有正确结论的序号） 5．（2025·辽宁·一模）如图，已知一次函数的图象分别与轴、轴交于，两点，若，，则关于的方程的解为 ． 6．（2025·黑龙江哈尔滨·一模）如图，直线与x轴的正半轴相交于点A，与直线相交于点，则关于x的不等式的解集是 ．    7．（2025·河北邯郸·模拟预测）如图，是平面直角坐标系中的一个动点，直线与x轴、y轴分别交于点，B． (1)求直线l的解析式； (2)判断点P是否有可能落在直线l上？并说明理由； (3)点B先向右平移6个单位长度，再向下平移6个单位长度得到点C． ①直接写出点C的坐标； ②当点P在的内部（不包括边界）时，求a的取值范围． 8．（2025·北京顺义·一模）在平面直角坐标系中，函数（）的图象由函数的图象平移得到，且经过点． (1)求k，b的值； (2)当时，对于x的每一个值，函数（）的值大于函数（）的值且小于的值，直接写出m的取值范围． 9．（2025·北京·三模）在平面直角坐标系中，已知函数和． (1)若两个函数的图象相交于点A，当时，求点A的坐标； (2)当时，对于x的每一个值，函数的值既小于函数的值也小于1，直接写出m的取值范围． 10．（2025·河南安阳·模拟预测）已知方程组 (1)列表取值：二元一次方程有无数组解，请补充下面表格，使上下每一对x，y的值都是二元一次方程的解，则_______，_______． x (2)实践操作：把x的值作为点的横坐标，所对应的y的值作为点的纵坐标，描出表格中的值所对应的点，并把这些点按照横坐标从小到大的顺序依次连接起来．你有什么发现？ (3)类比探究：你能用同样的方法在同一坐标系中画出以二元一次方程的解为横、纵坐标的点并连成线吗？参考表格： y 由图象可知，（2）和（3）中的图象的交点坐标为_______； (4)发现特征：解二元一次方程组结合图象写下你的发现． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 一次函数与方程、不等式关系8大题型（解析版） 目录 A题型建模・专项突破 题型一、两直线的交点与二元一次方程组的解 1 题型二、图象法解二元一次方程组 2 题型三、已知直线与坐标轴交点求方程的解 3 题型四、由一元一次方程的解判断直线与x轴的交点 5 题型五、利用图象法解一元一次方程 6 题型六、由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 8 题型七、根据两条直线的交点求不等式的解集 9 题型八、一次函数图象与坐标轴交点问题 11 B综合攻坚・能力跃升 题型一、两直线的交点与二元一次方程组的解 1．如图，已知一次函数与（，且k，m为常数）的交点坐标为，则关于x，y的方程组的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数图象交点坐标与方程组解的关系．把代入求出的值，根据函数图象即可求解． 【详解】解：把代入，得 ， ∴， ∵一次函数与的图象相交于点， ∴方程组的解是． ∴关于x，y的方程组的解为． 故选：C． 2．如图，一次函数与的图象相交于点，若点的纵坐标为2，则关于的二元一次方程组的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查两直线的交点与二元一次方程组的解． 将代入，可得点的横坐标，即可得方程组的解． 【详解】解：∵一次函数与的图像相交于点，且点的纵坐标为， ∴， 解得， ∴点坐标为， ∴关于，的二元一次方程组的解为． 故答案为：． 3．如图所示，在平面直角坐标系中，已知函数和的图象相交于点点P的横坐标为1． (1)直接写出关于的方程组的解是___________； (2)a=___________： (3)求出函数和的图象与轴围成的的面积． 【答案】(1) (2) (3)4 【分析】本题主要考查了一次函数的图象和性质，一次函数与二元一次方程组的解，求直线构成的三角形的面积，解题的关键是掌握一次函数的性质． （1）利用待定系数法求函数解析式，然后根据直线交点即可得出方程组的解； （2）利用待定系数法求函数解析式即可 （3）根据函数的解析式求出与坐标轴的交点坐标，求出线段的长度，根据三角形的面积公式求解即可． 【详解】（1）解：当时，， ∴， ∴方程组的解是， 故答案为：； （2）解：将代入得， ， 解得， ∴， 故答案为：； （3）解：当时，，， 解得， ∴； 当时，， 解得， ∴； ∴， ∴的面积为． 题型二、图象法解二元一次方程组 4．（1）在同一平面直角坐标系中，作出函数与的图象； （2）利用图象法求方程组的解． 【答案】（1）见解析；（2） 【分析】本题主要考查了一次函数图象的绘制以及一次函数与二元一次方程组的关系，熟练掌握一次函数图象的绘制方法和 “一次函数图象的交点坐标是对应的二元一次方程组的解” 是解题的关键． （1）通过找两个函数上的点来绘制图象； （2）依据一次函数图象交点与二元一次方程组解的关系，利用图象交点求方程组的解． 【详解】解：（1）如图所示． （2）由图可知函数与交点为， 所以方程组的解为 5．综合与实践 同学，还记得学习研究一次函数的路径吗？请结合一次函数的学习经验探究函数的图象． (1)列表： … … … … 表格中_______，________； (2)在下面的平面直角坐标系中画出该函数的图象；    (3)观察（2）中所画函数的图象，求出当取何值时该函数的有最小值．最小值是多少？ (4)写出关于的方程的解，并利用（2）中的图像简单说明此方程的解是如何得到的． 【答案】(1)1；1 (2)见解析 (3)； (4)，；见解析 【分析】本题主要考查了一次函数的图像与性质，掌握画一次函数图像的方法，理解一次函数交点坐标的意义是解题的关键． （1）分别把和代入函数解析式，即可求解； （2）根据表格选取点，点作射线，选取点，点作射线，即可解答； （3）观察（2）中的函数图象，即可求解； （4）画出函数和的图象，由两个函数图象的交点坐标即可求解． 【详解】（1）解： ， 故答案为：1；1 （2）解：如图，    （3）解：根据图像得：当时 函数有最小值，最小值为； （4）解：方程的解为：，， 理由如下： 画出函数和的图象，如图所示：    函数和的图象交点坐标分别为，， 关于的方程的解为：，． 6．【课本再现】 七年级下册教材中我们曾探究过“以方程的解为坐标（的值为横坐标、的值为纵坐标）的点的特性”，了解了二元一次方程的解与其图象上点的坐标的关系． 规定：以方程的解为坐标的所有点的全体叫做方程的图象； 结论：一般的，任何一个二元一次方程的图象都是一条直线． 示例：如图，我们在画方程的图象时，可以取点和，作出直线． 【解决问题】 （1）已知，则点________（填“或或”）在方程的图象上． （2）请你在图所给的平面直角坐标系中画出二元一次方程组中的两个二元一次方程的图象．（提示：依据“两点确定一条直线”，画出图象即可，无需写过程）； （3）观察图象，两条直线的交点坐标为________，由此你得出这个二元一次方程组的解是________． 【拓展延伸】 （4）已知二元一次方程的图象经过两点和，试求的值． 【答案】（）；（）画图见解析；（），；（）的值为，的值为． 【分析】本题考查了二元一次方程的解与其图象上点的坐标的关系，解二元一次方程组，掌握知识点的应用是解题的关键． （）把分别代入方程中，判断方程左右两边是否相等即可； （）分别取两个点，让它们的坐标满足方程和，然后过两点画直线即可； （）观察图象即可求解； （）把两点和代入，然后解方程组即可． 【详解】解：（）∵当时，，解得， ∴点不在方程的图象上； ∵当时，，解得， ∴点不在方程的图象上； ∵当时，，解得， ∴点不在方程的图象上； 故答案为：； （）由可得， 当时，；当时，，即点，； 由得， 当时，；当时，，即点，； 画图如图， （）观察图象可得两条直线的交点坐标为， 这个二元一次方程组的解是， 故答案为：，； （）∵二元一次方程的图象经过两点和， ∴， 解得：， ∴的值为，的值为． 题型三、已知直线与坐标轴交点求方程的解 7．一次函数和一次函数在同一坐标系中的图象如图所示，已知，，，观察图象回答下列问题： (1)关于的一元一次方程的解是 ； (2)关于，的方程组的解是 ． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查一次函数与二元一次方程组、一次函数与一元一次方程，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （）由题意得，关于的方程的解是； （）由图可得答案． 【详解】（1）解：∵点坐标为， ∴关于的一元一次方程的解是， 故答案为：； （2）解：由图可得，一次函数和一次函数图象的交点为， ∴关于，的方程组的解是， 故答案为：． 8．如图，一次函数与的图象相交于点A． (1)求点A的坐标； (2)若一次函数与的图象与轴分别相交于点，，求的面积； (3)结合图象，直接写出时的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查一次函数与一元一次不等式之间的关系，两直线交点坐标的求法和三角形面积的求法，求出点A、B、C的坐标是解题的关键． （1）将两个函数表达式联立解得，即可得点A的坐标； （2）先根据两个函数表达式求出点B、C的坐标，从而得到的长，再利用三角形的面积公式可得结果； （3）根据两函数图象和点A的坐标即可得到不等式解集． 【详解】（1）解：当时， ， 解得， ∴ ∴点A 的坐标为． （2）解：当 时，， 解得， 则点坐标为； 当 时，， 解得， 则点坐标为． ， 的面积． （3）解：∵一次函数与的图象相交于点， ∴当时，的取值范围是． 9．小明根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究，并尝试解决了相关问题．下面是小明的探究过程，请补充完整： (1)当时，； 当时，_____； 当时，_____． (2)在如图所示的平面直角坐标系中画出函数的图象； (3)直接写出关于的方程（为常数，）解的个数及对应的取值范围． 【答案】(1)， (2)见解析 (3)当时，方程有两个解；当或或时，方程有一个解；当或时，方程没有解 【分析】本题考查一次函数的性质、一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答． （1）去绝对值符号，化简即可； （2）由（1）的结论可画出函数图象，结合函数图象可得出函数的性质； （3）根据题意分情况讨论，进而判断出k的范围． 【详解】（1）当时，； 当时，； （2）函数的图象如图所示． （3）关于的方程（为常数，）， 令，则图象过点， 当直线过点时，， ， 此时，关于的方程（为常数，）有一个解； 当直线平行于直线时，， 时，关于的方程（为常数，）有一个解； 当直线平行于直线时，， 时，关于的方程（为常数，）有一个解． 综上，当时，方程有两个解；当或或时，方程有一个解；当或时，方程没有解． 题型四、由一元一次方程的解判断直线与x轴的交点 10．已知一次函数的图象经过点，． (1)求此一次函数的解析式； (2)求此一次函数的图象与两坐标轴所围成的三角形面积． 【答案】(1) (2)1 【分析】本题考查求一次函数解析式，一次函数与坐标轴的交点问题． （1）待定系数法求出函数解析式； （2）求出一次函数与坐标轴的两个交点，利用三角形面积公式进行计算即可． 【详解】（1）解：设一次函数的解析式为， ∵一次函数的图象经过点，， ∴，解得：， ∴； （2）解：∵， ∴当时，，当时，； ∴一次函数与坐标轴的两个交点为，， ∴一次函数的图象与两坐标轴所围成的三角形面积为． 11．如图，在平面直角坐标系中，直线：与轴交于点，与轴交于点，直线：与轴交于点． (1)求直线，的函数表达式． (2)若点在直线上，且的面积为10，求点的坐标． 【答案】(1)直线的函数表达式为，直线的函数表达式为 (2)点的坐标为或 【分析】本题主要考查一次函数与几何图形的综合，掌握待定系数法，几何图形面积的计算是关键． （1）运用待定系数法即可求解； （2）根据题意得到，设，由三角形面积的计算得到，解绝对值方程即可求解． 【详解】（1）解：直线：与轴交于点，与轴交于点， ∴， ∴直线的函数表达式为， 直线：与轴交于点， ∴， 解得，， ∴直线的函数表达式为； （2）解：直线：与轴交于点， ∴当时，， 解得，， ∴， ∴， ∵点在直线上， ∴设， ∴， ∴， 当时，，则； 当时，，则； ∴点的坐标为或． 12．在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴，轴分别交于点，． (1)在如图所示的平面直角坐标系中画出该一次函数的图象，并标出点A，B； (2)当时，的取值范围是_____； (3)将一次函数的图象沿轴向上平移个单位长度，所得直线与轴交于点．若，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) (3)12 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质、一次函数图象的平移，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题关键． （1）先求出点的坐标，再利用描点法画出函数图象即可得； （2）结合函数图象即可得； （3）先求出平移后的直线的解析式，再求出点的坐标，然后求出，根据建立方程，解方程即可得． 【详解】（1）解：对于一次函数， 当时，，解得，即， 当时，，即． 在平面直角坐标系中画出该一次函数的图象如下： ． （2）解：由函数图象可知，当时，的取值范围是， 故答案为：． （3）解：将一次函数的图象沿轴向上平移个单位长度，所得直线的解析式为， 将代入得：，解得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得或（不符合题意，舍去）， 所以的值为12． 题型五、利用图象法解一元一次方程 13．如图，已知一次函数的图象经过点和点，且与正比例函数的图象相交于点． (1)求直线的解析式； (2)求点的坐标． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了一次函数的交点问题． （1）直接根据待定系数法求解即可； （2）根据一次函数与正比例函数的图象相交于点列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象经过点和点， ∴， 解得：， 即直线的解析式为； （2）解：∵一次函数与正比例函数的图象相交于点， ∴， 解得：， ∴， 即点的坐标为． 14．已知一次函数． (1)画出一次函数的图象； (2)由图可知，若方程，求方程的解． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了一次函数的图像与性质： （1）确定两点后，连接即可； （2）一次函数与轴的交点坐标即为方程的解． 【详解】（1）函数的图象如图所示； （2）从图象上可知一次函数与轴的交点坐标为 则关于的方程的解是． 15．学习“一次函数”时，我们从“数”和“形”两方面研究一次函数的性质，并积累了一些经验和方法，尝试用你积累的经验和方法，研究函数的图象和性质，并解决相关问题． (1)从数的角度，①当时，； ②当时，； ③当时， ； 显然，②和③均为相应一次函数的一部分． (2)从形的角度，我们尝试画出这个函数的图象： ①列表： …… 0 1 2 3 …… …… 1 2 1 0 …… 根据函数表达式可求表格中 ， ； ②描点； ③连线．（请在给出的平面直角坐标系中完成） (3)观察函数的图象，判断下列关于该函数性质的结论：①y随x的增大而减小；②该函数有最大值；③该函数图象关于y轴对称；其中正确的有： ．（请写出所有正确结论的序号） (4)结合函数的图象，解决下列问题： ①关于x的方程的解为 ； ②若关于x的方程有且只有两个解m和n，且，请直接写出满足条件的b的取值范围． 【答案】(1) (2)，图象见解析 (3)②③ (4)①，② 【分析】本题考查了一次函数的性质，画函数图象，函数与方程的关系，掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据一个负数的绝对值等于它的相反数，即可求解； （2）将和代入解析式，即可求出的值，描点，连线，即可得到函数图象； （3）根据（2）中的函数图象，即可求解； （4）①画出函数的图象，观察函数与函数的交点，即可求解；②根据①可知当时，函数与函数图象只有一个交点，要想符合题目要求，需将函数向下平移，则． 【详解】（1）解：当时，． （2）解：当时，，则， 当时，，则， 描点，连线，函数图象如下图所示． （3）解：根据函数图象可知，当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小，故结论①错误， 当，函数有最大值，故结论②正确， 函数图象关于y轴对称，故结论③正确， 综上所述，结论②③正确． （4）解：①画出函数的函数图象如下所示， 根据图象，可知函数与函数相交于点， 关于x的方程的解为， ②关于x的方程有且只有两个解m和n，且， 函数与函数图象有两个交点，一个在y轴左侧，一个在y轴右侧， 根据①中函数图象可知，当时，两个函数图象交于一点，要想符合题目要求，必须将函数向下平移， 当时，符合题目要求． 题型六、由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 16．如图，已知函数和的图象交于点，这两个函数的图象与轴分别交于点、． (1)分别求出这两个函数的解析式； (2)求的面积； (3)根据图象直接写出不等式的解集． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了一次函数解析式的求法，一次函数与一元一次不等式，一次函数与一元一次方程，解题的关键是求一次函数与坐标轴的交点． （1）把点分别代入函数和，求出a、b的值即可； （2）根据（1）中两个函数的解析式得出A、B两点的坐标，再由三角形的面积公式即可得出结论； （3）直接观察函数图象即可得出结论． 【详解】（1）解：将点代入，得， 解得， ， 将点代入，得， 解得， ； （2）在中，令，得， 解得， ， 在中，令，得， 解得， ； （3）由函数图象可知：当时，，当时，， 所以当时，． 17．学习一次函数时，王老师带领同学们探索了课本上的一道函数题． 【课本原型】原题为：“画出函数的图象”． 【初步探究】王老师和同学们对此函数的图象和性质进行了探究，部分过程如下． 自变量x的取值范围是全体实数，y与x的几组对应值列表如表：根据表格的数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分． x … 0 1 2 3 4 5 … y … 4 3 2 1 0 1 2 3 4 … （1）请补全该函数的图象； 【数学思考】：（2）观察该函数图象，写出该函数的一条性质：______； 【深入探究】：（3）已知函数（其中n为常量），并解决下列问题： ①该函数的图象与x轴的交点坐标为______； ②若当自变量时，此函数的最小值为，请求出此时n的值． 【答案】（1）见解析；（2）函数；（3）①；② 【分析】本题考查了一次函数性质与图象，数形结合是解题的关键． （）根据表格数据，画出函数图象即可； （）根据函数图象，写出一条性质即可； （）①令，求解即可得出结果；②在自变量范围内，分情况讨论最值情况得到结果即可． 【详解】解：（）补全图象如图所示： （）由图象可知，函数； （）①令， 解得，则函数的图象与x轴的交点坐标为， 故答案为：； ②若，当时，函数取最小值， ∴， ∴， ∴，符合题意， 若，当时，函数取最小值， ∴， ∴， ∴，舍去， 若，当时，函数取最小值， ∴， ∴， ∴，舍去， ∴综上，． 18．如图，直线与轴相交于点，直线经过点，与轴相交于点，与轴相交于点，与直线相交于点． (1)求直线的函数关系式； (2)根据图象，直接写出的解集； (3)点是上的一点，若的面积等于的面积的2倍，求点的坐标． 【答案】(1)直线的函数关系式为 (2) (3)或 【分析】本题主要考查一次函数图象的性质，两直线交点的计算，图象法求不等式解集，掌握一次函数图象的性质是关键． （1）运用待定系数法即可求解； （2）联立方程组求解得到，结合图象即可得到不等式组的解集； （3）根据题意得到，，设，由面积公式列式求解即可． 【详解】（1）解：直线经过点，与轴相交于点， ∴， 解得，， ∴直线的函数关系式为； （2）解：∵直线交于点， ∴联立方程组得，， 解得，， ∴，且， ∴由图象可得，当时，， ∴解集为：； （3）解：直线与轴相交于点， ∴当时，，即， ∴， ∴， ∴， 设， ∴， ∴或， 解得，或， ∴或． 题型七、根据两条直线的交点求不等式的解集 19．如图，已知直线和直线相交于点，直线分别与轴和轴相交于点和点，直线与轴交于点． (1)分别求出这两个函数的解析式； (2)直接写出不等式组的解集_____． 【答案】(1)直线为，直线； (2)． 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式、待定系数法求一次函数解析式、两条直线相交或平行问题，解题时要能利用数形结合是关键． （1）先将点分别代入直线和直线，求出的值，再代入即可； （2）依据题意得，不等式组的解集是直线在直线的下方，且都在轴下方部分对应的自变量的取值范围，从而结合函数图象即可得解． 【详解】（1）解：∵直线和直线相交于点， ∴将代入直线中，得，即， 将代入直线中，得，即， ∴直线为，直线． （2）解：依据题意得，不等式组的解集是直线在直线下方，且都在轴下方部分对应的自变量的取值范围， ∵， ∴结合函数图象可得，． 20．如图，正比例函数的图象与一次函数的图象交于点，一次函数图象经过点，与轴的交点为． (1)求，，的值； (2)不等式的解集为：______． 【答案】(1)，， (2) 【分析】本题考查了一次函数的交点问题，解题的关键是： （1）将点代入，求出m，得到，把P、B两点的坐标代入，利用待定系数法即可求出一次函数解析式； （2）利用函数图象作答即可． 【详解】（1）解：过点， ∴， ， 一次函数过点，， ， 解得， 一次函数表达式； （2）解：根据函数图象可知：不等式的解集为． 故答案为：． 21．八年级数学社团学生在学习了“一次函数与一元一次方程、不等式的关系”后，尝试解决其他函数的类似问题，他们将函数确定为研究对象．请你根据以下探究过程，解答问题． 观察探究： （1）作出函数的图象． ①列表： 0 1 其中，表格中的值为__________． ②描点连线画出该函数的图象． （2）观察函数的图象． ①当__________时，函数有最大值，最大值为__________． ②方程的解是__________． 拓展应用： （3）已知直线，请结合图象，直接写出不等式的解集为__________． 【答案】（1）①1；②见解析；（2）①；；②-4或2；（3） 【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，一次函数与一元一次不等式，一次函数与一元一次方程，数形结合是解决本题关键． （1）①把代入解析式即可求得；②描出表中以各对对应值为坐标的点，然后连线． （2）根据图象即可求得； （3）观察图象即可得到答案． 【详解】（1）解：当时，， ． 函数图象如图所示． 故答案为：1； （2）解：观察函数的图象， ①当时，函数有最大值，最大值为2； ②方程的解是或2． 故答案为：，2；或2； （3）解：画出直线如图， 观察图象，不等式的的取值范围是； 故答案为：． 题型八、一次函数图象与坐标轴交点问题 22．如图，一次函数图象经过点，，与轴的交点为． (1)求这个一次函数解析式； (2)若在轴上有一点，且的面积等于的面积的，求点的坐标． 【答案】(1) (2)点坐标为或 【分析】本题考查了一次函数的解析式求解，一次函数与坐标轴的交点问题，准确求出一次函数的解析式为解题关键． （1）利用待定系数法求出函数解析式即可； （2）将代入，求出C点坐标，求出的面积，设，表示出，利用的面积等于的面积的，列出方程求解即可． 【详解】（1）解：设一次函数解析式为，把点，分别代入 得， 解得， 一次函数解析式为； （2）将代入， 得， 解得：， 即， ， 设， 的面积等于的面积的， ，即， 解得，或， 点坐标为或． 23．如图，已知直线经过点，，直线与直线相交于点． (1)求直线的表达式和的值； (2)若直线与轴交于点，直线与轴交于点，求的面积． 【答案】(1)直线的表达式为； (2)的面积 【分析】本题主要考查了待定系数法求一次函数的解析式、一次函数的性质． (1)用待定系数法求出直线和的解析式，即可得到的值； (2)根据直线和的解析式求出点、的坐标，从而可知，边上的高即为点的横坐标，根据三角形的面积公式即可求出的面积． 【详解】（1）解：直线经过点，， ， 解得：， 直线的表达式为； 直线经过， ， ；                     （2）解：当时，， 点坐标为， 当时，， 点C坐标为， ， ． 24．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点． (1)求直线的函数表达式； (2)点是轴上一点，连接，若的面积为，求点的坐标； (3)在（2）的条件下，将沿折叠，点的对应点为点，请直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2)或； (3)点的坐标为 【分析】本题考查运用待定系数法求一次函数解析式、一次函数的图象和性质等，解题的关键是注意分情况讨论，避免漏解． （1）利用待定系数法求解； （2）设点的坐标为，则，根据三角形面积公式可列式求解即可； （3）根据折叠的性质可得结论． 【详解】（1）解：设直线的表达式为， 将，代入， 得， 解得， 所以直线的函数表达式为； （2）解：设点的坐标为， 则， 因为的面积为， 所以， 即， 解得或， 所以点的坐标为或； （3）解：当点的坐标为时，点的坐标为； 当点的坐标为时，点的坐标为 1．（2025·陕西咸阳·模拟预测）在平面直角坐标系中，将正比例函数的图象向上平移m个单位长度，平移后的图象与一次函数的图象的交点在第二象限，则m的值可以为（    ） A．1 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【详解】解：将正比例函数向上平移个单位后，得到的新函数为， 联立该函数与得： ，解得交点坐标为， 因交点在第二象限，需满足： 解得：， 的值可以是5． 故选：C． 2．（2025·广西桂林·二模）数形结合是解决数学问题常用的思想方法．如图，直线与直线相交于点．根据图象可知，关于的不等式的解集是（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数与不等式的关系，数形结合是关键，当的图象位于的图象上方时，满足，再结合图象可得答案． 【详解】解：由图象知，当时，函数的图象位于函数的图象上方， 所以关于的不等式的解集是， 故选：A． 3．（2025·辽宁盘锦·三模）如图，已知一次函数与正比例函数的图象交于点，则关于的不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查对一次函数与一元一次不等式的理解和掌握，能根据图象解不等式是解此题的关键；从函数图象中找出函数在下方或相交时x的值可得的解,并求得时，则得出，即可求解． 【详解】解：∵一次函数（）与正比例函数（）的图像交于点， 观察图象可得： 当时，直线在下方或相交， ∴的解为， 把代入得：，， ∴时，则，解得：， ∴不等式的解集为：， 故答案为： 4．（2025·山东临沂·二模）在同一直角坐标系中，一次函数，的图象如图所示，则以下结论：①随x的增大而减小；②；③当时，；④方程组的解为．其中正确的为 ．（写出所有正确结论的序号） 【答案】①②④ 【分析】本题主要考查一次函数的图象和性质，一次函数与二元一次方程组，一次函数与一元一次不等式．从函数图象中有效的获取信息，熟练掌握图象法解方程组和不等式，是解题的关键．结合图象，逐一进行判断即可． 【详解】解：由图可知，随的增大而减小，故①符合题意； 由图象可知，一次函数与y轴的交点在的上方，即，故②符合题意； 把代入， 得， 解得， 故与的交点为， 令，则 解得， 即与轴的交点为， 由图象可知：当时，则， 故③不符合题意； 由图象可知，两条直线的交点为， ∴关于，的方程组的解为，故④符合题意． 故答案为：①②④ 5．（2025·辽宁·一模）如图，已知一次函数的图象分别与轴、轴交于，两点，若，，则关于的方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次方程之间的关系，掌握知识点的应用是解题的关键． 根据一次函数与轴交点坐标可得出答案． 【详解】解：∵， ∴，即一次函数的图象轴交点坐标为， ∴关于的方程的解为， 故答案为：． 6．（2025·黑龙江哈尔滨·一模）如图，直线与x轴的正半轴相交于点A，与直线相交于点，则关于x的不等式的解集是 ．    【答案】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系，根据图象即可确定不等式组的解集．从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值大于（或小于）0的自变量的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线在轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合． 【详解】解：把代入， 可得， 解得， ， 由图象可得关于x的不等式的解集是， 故答案为：． 7．（2025·河北邯郸·模拟预测）如图，是平面直角坐标系中的一个动点，直线与x轴、y轴分别交于点，B． (1)求直线l的解析式； (2)判断点P是否有可能落在直线l上？并说明理由； (3)点B先向右平移6个单位长度，再向下平移6个单位长度得到点C． ①直接写出点C的坐标； ②当点P在的内部（不包括边界）时，求a的取值范围． 【答案】(1)； (2)有可能，当P的坐标是时，点P落在直线l上，见解析； (3)①点C的坐标是；②． 【分析】本题主要考查了一次函数的图象与性质、一次函数图象的平移、求一次函数的解析式，解决本题的关键是待定系数法求一次函数的解析式，然后再利用一次函数的图象与性质求解． （1）把点A的坐标代入，得到关于k的一次方程，解方程求出k的值即可； （2）把代入，得到关于a的一元一次方程，解方程求出a的值，再根据a的值求出点P的坐标即可判断； （3）①先根据一次函数的解析式求出点B的坐标，再根据平面直角坐标系中点平移时，左减右加，上加下减求出点C的坐标； ②根据点P的坐标可知：点P在直线上，用待定系数法求出直线的解析式为，因为点P在的内部（不包括边界），所以可得不等式组，解不等式组求出a的取值范围． 【详解】（1）解：∵点在直线上， ∴， 解得：， ∴直线l的解析式为； （2）有可能，理由如下： 由条件可得：， 解得：， ∴， ∴当P的坐标是时，点P落在直线l上； （3）①当时，可得：， ∴点B的坐标为， ∴把点向右平移6个单位长度，再向下平移6个单位长度可得：点C的坐标是； ②∵是平面直角坐标系中的一个动点， ∴点P在直线上， 设直线的解析式为， 把点，代入， 可得：， 解得：， 可得：直线的解析式为， ∵点的坐标满足：， 当时解得：； 当时解得：， ∴在的内部（不包括边界）的点的坐标满足：， ∵点P在的内部（不包括边界）， ∴． 8．（2025·北京顺义·一模）在平面直角坐标系中，函数（）的图象由函数的图象平移得到，且经过点． (1)求k，b的值； (2)当时，对于x的每一个值，函数（）的值大于函数（）的值且小于的值，直接写出m的取值范围． 【答案】(1)，； (2)． 【分析】本题主要考查了一次函数图象与几何变换、一次函数图象与系数的关系，解题时要熟练掌握并能灵活运用一次函数的性质是关键． （1）依据题意，由函数的图象由函数的图象平移得到，从而，结合函数过，可得，进而计算可以得解； （2）依据题意，结合（1）可得为，当时，有函数，，，由当时，对于x的每一个值，函数（）的值大于函数（）的值且小于的值，可得，进而解不等式组即可解答． 【详解】（1）解：∵函数的图象由函数的图象平移得到， ∴ 将点、代入，得 解得 答：的值为1，的值为． （2）由（1）得， 当时，，，， ∵当时，对于x的每一个值，函数（）的值大于函数（）的值且小于的值， ∴，解得． 故答案为：． 9．（2025·北京·三模）在平面直角坐标系中，已知函数和． (1)若两个函数的图象相交于点A，当时，求点A的坐标； (2)当时，对于x的每一个值，函数的值既小于函数的值也小于1，直接写出m的取值范围． 【答案】(1)点的坐标为； (2)． 【分析】本题主要考查一次函数的性质以及函数图象交点问题．解题关键在于理解函数图象交点坐标是联立函数方程的解，对于比较函数值大小的问题，要结合函数图象的位置关系，通过分析交点以及函数斜率等性质来确定参数的取值范围． （1）由，此得和．可联立这两个函数方程求解． （2）先求得点，代入求得，根据题意画出草图，再结合函数的性质来确定的取值范围． 【详解】（1）解：当时，函数，． 联立方程组， 解得， ∴点的坐标为； （2）解：当时，， ∵当，对于x的每一个值，函数的值既小于函数的值也小于1， ∴， 解得， ∴． 10．（2025·河南安阳·模拟预测）已知方程组 (1)列表取值：二元一次方程有无数组解，请补充下面表格，使上下每一对x，y的值都是二元一次方程的解，则_______，_______． x (2)实践操作：把x的值作为点的横坐标，所对应的y的值作为点的纵坐标，描出表格中的值所对应的点，并把这些点按照横坐标从小到大的顺序依次连接起来．你有什么发现？ (3)类比探究：你能用同样的方法在同一坐标系中画出以二元一次方程的解为横、纵坐标的点并连成线吗？参考表格： y 由图象可知，（2）和（3）中的图象的交点坐标为_______； (4)发现特征：解二元一次方程组结合图象写下你的发现． 【答案】(1)4，1 (2)画图见解析，这些点在一条直线上 (3)表格和函数图象见解析， (4)，方程组的解中x的值是交点的横坐标，y的值是交点的纵坐标 【分析】本题主要考查了画一次函数图象，一次函数与二元一次方程之间的关系，一次函数与二元一次方程组之间的关系，正确理解题意是解题的关键． （1）把对应的数值代入到中计算求解即可； （2）先描点，再连线画出对应的图象即可得到结论； （3）先列表，再描点，连线画出对应的图象即可得到结论； （4）利用加减消元法解方程组即可得到结论． 【详解】（1）解：在中，当时，， ∴，即； 在中，当时，， ∴，即； （2）解：如图所示，即为所求． 发现这些点在一条直线上． （3）解：列表如下： y 0 1 2 3 画函数图象如下所示： 由函数图象可知，两个函数的交点坐标为； （4）解： 得：，解得， 把代入①得，，解得， ∴原方程组的解为, 我发现：方程组的解中x的值是交点的横坐标，y的值是交点的纵坐标． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $