专题01 一次函数24大题型（期末复习讲义）八年级数学下学期新教材北京版

专题01 一次函数（期末复习讲义） 内 容 导 航 明·期末考情 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 变量与常量 题型02 函数的概念 题型03 自变量取值范围、函数值 题型04 函数的表示法 题型05 平面直角坐标系 题型06 坐标的平移问题 题型07 描点法画函数图象 题型08 一次函数基本概念 题型09 正比例函数基本概念 题型10 正比例函数的图象与性质 题型11 一次函数的解析式 题型12 已知函数经过的象限求参数范围 题型13 一次函数图形与坐标轴的交点问题 题型14 一次函数图象平移问题 题型15 一次函数的增减性求参数 题型16 比较一次函数值的大小 题型17 一次函数的规律探究问题 题型18 一次函数与方程 题型19 一次函数与不等式 题型20 分配方案问题 题型21 最大利润问题 题型22 行程问题 题型23 梯度计价问题 题型24 一次函数与几何综合 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 常量和变量 理解常量与变量的意义，能识别、表示并正确运用二者解决简单问题。 基础常考点，一般在小题考查，分值在2分左右 函数基本概念 理解函数的定义与三要素，能判断函数关系、确定自变量取值范围，并会用三种形式表示函数。 基础常考点，一般在小题考查，分值在2分左右 函数的表示法 掌握函数的列表、解析式、图像三种表示法，能相互转化、灵活选用，并读懂每种表示法中的函数信息。 基础常考点，一般在小题考查，分值在2分左右 函数图象的画法 掌握函数图像的列表、描点、连线基本画法，能规范绘制简单函数图像，并根据图像分析函数基本特征。 重要常考点，一般在解答题考查，分值在3分左右 一次函数的概念、自变量或函数值 理解一次函数的定义及一般形式，能准确判断一次函数与正比例函数，熟练求自变量取值范围和对应的函数值。 基础常考点，选填考查比较多，分值在3分左右 正比例函数的概念、图象与性质 理解正比例函数概念与解析式，掌握其图象特征与增减性，能结合图象分析性质并进行简单应用。 基础常考点，一般在小题考查，分值3分 已知函数经过的象限求参数范围 掌握根据一次函数图象经过的象限，判断斜率 k 和截距 b 的符号，进而求出参数取值范围的方法。 重要考点，一般在小题考查 一次函数图象与坐标轴的交点问题 熟练掌握一次函数与 x 轴、y 轴交点坐标的求法，能利用交点解决图像位置、长度及面积相关问题。 核心考点，一般在解答题考查，与其他题型综合考查，分值在5分左右 一次函数解析式 掌握待定系数法求一次函数解析式，能根据已知点坐标、图像或实际问题列出并求解函数表达式。 核心考点，一般在解答题第一问考查，2分左右 一次函数图象的平移问题 掌握一次函数图象上下、左右平移的规律，能根据平移方向与距离写出新解析式，或由新图象反推平移方式。 核心考点，易出难题，4分左右 一次函数的增减性求参数 掌握一次函数增减性与系数 k 的关系，能根据函数增减情况判断 k 的符号，进而求出参数的取值范围。 核心考点，一般在解答题考查，3分左右 一次函数与方程 理解一次函数与一元一次方程的内在联系，能利用函数图象求方程的解，并结合图像分析方程解的意义。 核心考点，一般在解答题考查，5分左右 一次函数与不等式 理解一次函数与一元一次不等式的关系，能借助函数图象确定不等式的解集，并运用数形结合解决简单不等关系问题。 核心考点，一般在解答题考查，5分左右 一次函数的实际应用 能从实际问题中抽象出一次函数模型，确定自变量范围，利用解析式、图像与性质解决行程、利润、方案选择等实际问题。 核心必考点，一般在解答题考查，8分左右 知识点01 函数的相关概念 变量与常量 1.在一个变化过程中，我们称数值发生变化的量为变量.数值保持不变的量叫做常量. 2.判断一个物体是常量还是变量的方法：看这个量的值在某一变化过程中是否发生改变，若在变化过程中这个量的值不变，则这个量就是常量，若这个量的值会发生改变，则这个量就是变量. 3.常量不等于是常数，它可以用一个数值不改变的字母来表示. 函数的概念 1.函数：一般地，在一个变化过程中. 如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值， 都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数. 2.确定函数与自变量的方法：在某个变化过程中处于主导地位的变量是自变量，随之变化且对应值唯一确定的变量是该变量的函数. 3.函数具有唯一对应性，判断两个变量是否具有函数关系，不能只看是否有关系式存在，还要看对应给定的x的每一个值，y是否有唯一值与之对应. 4.函数是一个变量相对于另一个变量而言的，如果两个变量x与y，若y是x的函数，就不能说成x是y的函数. 函数的三种常见表示方法 表示法 定义 优点 缺点 列表法 把自变量x的一系列值和函数y的对应值列成一个表，这种表示函数关系的方法叫做列表法 一目了然，对表格中已有自变量的每一个值，可直接查出与之对应的函数的值 列出的对应值是有限的，而且在表格中也不容易看出自变量与函数的变化规律 解析法 两个变量之间的函数关系可以用等式来表示，这种表示两个变量之间函数关系的式子称为函数表达式，用函数表达式表示函数的方法叫做解析法 能准确地反映整个变化过程中自变量与函数的对应关系 求对应值时，往往要经过比较复杂的计算，有些函数不能用表达式表示出来 图像法 用图像来表示函数关系的方法叫做图像法 能直观、形象地反映出函数关系变化的趋势 由自变量的值常常难以找到对应函数的准确值 函数的三种表示方法各有不同的长处.解析式法能揭示出变量之间的内在联系，但较抽象，不是所有的函数都能列出解析式；列表法可以清楚地列出一些自变量和函数值的对应值，这会对某些特定的数值带来一目了然的效果，例如火车的时刻表，平方表等；图象法可以直观形象地反映函数的变化趋势，而且对于一些无法用解析式表达的函数，图象可以充当重要角色. 函数的图像 在平面直角坐标系中，以函数的自变量的值为横坐标，对应的函数值为纵坐标的点所组成的图形叫做这个函数的图像. 函数的自变量与函数值 1.自变量的取值范围：使函数有意义的自变量的取值的全体实数叫自变量的取值范围. 2.常见函数自变量取值范围的确定： （1）当解析式是整式时，自变量的取值范围是全体实数； （2）当解析式是分式时，自变量的取值范围是使分母不为零的实数； （3）当解析式是二次根式时，自变量的取值范围是使被开方数不小于零的实数； （4）当解析式中含有零指数幂或负整数指数幂时，自变量的取值应使相应的底数不为零； （5）当解析式表示实际问题时，自变量的取值必须使实际问题有意义. 3.函数值：y是x的函数，如果当x＝a时y＝b，那么b就叫做当自变量为a时的函数值. （1）一个函数的函数值随着自变量值的变化而变化，因此在求函数值时，一定要明确是求自变量为多少时的函数值. （2）对于每个确定的自变量值，函数值是唯一的，但反过来，可以不唯一，即一个函数值对应的自变量可以是多个. 知识点02 一次函数、正比例函数 1.一次函数：一般地，形如y＝kx＋b（k、b为常数且k≠0）的函数叫做一次函数，其中x是自变量，y是x的函数. 2.正比例函数：当b＝0时，即y＝kx（k为常数且k≠0），y叫做x的正比例函数. 3.正比例函数是一次函数的特例，即正比例函数是一次函数，而一次函数不一定是正比例函数. 4.一般地，一次函数中自变量x的取值范围是任意实数，但在实际问题中x的取值范围要根据具体问题的实际意义来确定. 5.判断一次函数的方法：式子经过恒等变形后，若满足：（1）等号右边是关于x的整式；（2）自变量x的最高次数是1；（3）一次项系数k≠0这三个条件，则是一次函数，否则就不是一次函数. 确定一次函数的表达式 1.待定系数法：一次函数y＝kx＋b（k、b为常数且k≠0）中有两个待定系数k、b，需要两个两个独立条件确定两个关于k、b的方程，这两个条件通常为两个点或两对x、y的值. 2.用待定系数法确定一次函数表达式的步骤： （1）设：设一次函数的表达式为y＝kx＋b（k≠0）； （2）列：将已知条件代入表达式，列出关于k、b的方程（组）； （3）解：解方程（组），求出k、b的值； （4）代：将k、b的值代回所设的函数表达式. 知识点03 一次函数的图像与性质 1.一次函数的图像：一次函数y＝kx＋b（k、b为常数，且k≠0）的图像是一条直线. 2.正比例函数的图像：正比例函数y＝kx（k≠0）的图像是经过原点的一条直线. 3.一次函数的图像是一条直线，但不是所有的直线都是一次函数的图像，在利用一次函数的图像解决实际问题时，自变量的取值会受到限制，此时函数图像不再是一条直线，有可能是线段、射线，也有可能是间断的点. 4.一次函数的图像与表达式之间的关系：一次函数的图像与函数表达式是一一对应的，即函数图像上任意一点P（x，y）中的x，y的值满足函数表达式；反之，满足函数表达式的任意一对有序实数（x，y）所对应的点一定在函数图像上. 5.通过描点法画出对应一次函数的步骤： （1）列表：恰当地选取自变量x的一部分值，并计算出函数y相应的值，同时都填入列出的表中； （2）描点：以表中的有序数对（x，y）为点的坐标，在平面直角坐标系中描出相应的点； （3）连线：将所描的点用直线连接起来. 一次函数的性质 一次函数 y＝kx＋b（k、b为常数，且k≠0） k、b的符号 k＞0 k＜0 b＞0 b＝0 b＜0 b＞0 b＝0 b＜0 图像 趋势 从左向右上升 从左向右下降 性质 函数值y随自变量x增大而增大 函数值y随自变量x增大而减小 与y轴交点的位置 正半轴 原点 负半轴 正半轴 原点 负半轴 经过的象限 第一、二、三象限 第一、三象限 第一、三、四象限 第一、二、四象限 第二、四象限 第二、三、四象限 1.一次函数的图像经过的象限是由k和b的符号共同决定的，一次函数的增减性取决于k，与y轴的交点取决于b，反之，由一次函数的图像特征也可判断k、b的符号. 2.|k|的大小决定直线y＝kx＋b的倾斜程度，|k|越大，直线与x轴相交所成的锐角越大，直线越陡；|k|越小，直线与x轴相交所成的锐角越小，直线越缓. 知识点04 一次函数图象的平移问题 1.正比例函数y＝kx的图像是经过原点的一条直线，一次函数y＝kx＋b的图像可以看成是由正比例函数图像向上（b＞0）或向下（b＜0）平移|b|个单位长度得到的. 2.一次函数图像的平移规律 （1）上、下平移：直线y＝kx＋b（k≠0）向上平移n（n＞0）个单位长度得到直线y＝kx＋b＋n（k≠0）；直线y＝kx＋b（k≠0）向下平移n（n＞0）个单位长度得到直线y＝kx＋b－n（k≠0）.（上加下减） （2）左、右平移：直线y＝kx＋b（k≠0）向左平移m（m＞0）个单位长度得到直线y＝k（x+m）＋b（k≠0）；直线y＝kx＋b（k≠0）向右平移m（m＞0）个单位长度得到直线y＝k（x－m）＋b（k≠0）.（左加右减）. 知识点05 一次函数的应用 应用一次函数解决实际问题时，首先，要判断问题中的两个变量之间是否是一次函数关系；其次，当确定是一次函数关系时，可先求出一次函数表达式，再应用一次函数的相关知识去解决与其相关的实际问题. 1.判断两个变量之间是不是一次函数关系的步骤： （1）通过实验、测量获得数量足够多的两个变量的对应值； （2）建立适当的平面直角坐标系，画出图像； （3）观察图像特征，判断函数的类型. 2.建立一次函数表达式的常用方法 （1）根据基本的量之间存在的关系列函数表达式； （2）若题目中已明确给出两个变量的函数关系，则可用待定系数法求出函数表达式； 用一次函数解决问题的关键是建立数学模型，数学建模的关键是将实际问题数学化，从而得到解决问题的最佳方案、最佳策略.在建模的过程中，为了既合乎实际问题又能求解，这就要求在诸多因素中抓住主要因素进行抽象化简，而这一过程恰是我们的分析、抽象、综合、表达能力的体现.函数建模最困难的环节是将实际情景通过数学转化为什么样的函数模型. 知识点06 一次函数与方程、不等式的关系 一次函数与二元一次方程的关系 1.一次函数y＝kx＋b的图像上任意一点的坐标都是二元一次方程kx－y＋b＝0的解，以二元一次方程kx－y＋b＝0的解为坐标的点都在一次函数y＝kx＋b的图像上. 2.二元一次方程与一次函数的区别： （1）二元一次方程有两个未知数，而一次函数有两个变量； （2）二元一次方程是用一个等式表示两个未知数的关系，而一次函数既可以用一个等式表示两个变量的关系，又可以用列表法或图像法表示两个变量间的关系. 3.二元一次方程的解与一次函数图像上点的坐标之间的关系是一一对应的，以二元一次方程的解为坐标的点所组成的图形与其相应的一次函数的图像完全重合（一条直线）. 一次函数与二元一次方程组 1.如果两个一次函数的图像有一个交点，那么交点的坐标就是相应的二元一次方程组的解. 2.在同一直角坐标系中，两个一次函数图象的交点坐标就是相应的二元一次方程组的解. 3.用一次函数的图像求二元一次方程组的解的方法称为二元一次方程组的图像解法. 4.当二元一次方程组无解时，相应的两个一次函数在直角坐标系中的直线就没有交点，则两个一次函数的直线就平行.反过来，当两个一次函数直线平行时，相应的二元一次方程组就无解，反之也成立. 5.当二元一次方程组有无数解时，则相应的两个一次函数在直角坐标系中的直线重合，反之也成立. 6.方程组解的几何意义 （1）方程组的解的几何意义：方程组的解对应两个函数的图象的交点坐标； （2）根据坐标系中两个函数图象的位置关系，可以看出对应的方程组的解情况；（） （3）根据交点的个数，看出方程组的解的个数； （4）对于一个复杂方程组，特别是变化不定的方程组，用图象法可以很容易观察出它的解的个数. 一次函数与一元一次方程 1.一次函数y＝kx＋b（k≠0，b为常数），当函数y＝0时，就得到了一元一次方程kx＋b＝0，此时自变量x的值就是方程kx＋b＝0的解.所以解一元一次方程就可以转化为：当某一个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值. 2.从图象上看，这相当于已知直线y＝kx＋b（k≠0，b为常数），确定它与x轴交点的横坐标的值. 3.对于一次函数y＝kx＋b（k≠0），已知x的值求y的值，或已知y的值求x的值时，就是把问题转化为关于y或x的一元一次方程来求解. 一次函数与一元一次不等式 由于任何一个一元一次不等式都可以转化为ax＋b＞0或ax＋b＜0或ax＋b≥0或ax＋b≤0（a、b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数y＝ax＋b的值大于0（或小于0或大于等于0或小于等于0）时求相应的自变量的取值范围. 利用解一元一次不等式可确定相应的函数值对应的自变量的取值范围，具体的对应关系如下： 1.不等式kx＋b＞0（k≠0）的解集直线 y＝kx＋b（k≠0）在x轴上方的部分所对应的x的取值范围； 2.不等式kx＋b＜0（k≠0）的解集直线 y＝kx＋b（k≠0）在x轴下方的部分所对应的x的取值范围； 3.不等式kx＋b＞a（k≠0）的解集直线 y＝kx＋b（k≠0）在直线y＝a上方的部分所对应的x的取值范围； 4.不等式kx＋b＜a（k≠0）的解集直线 y＝kx＋b（k≠0）在直线y＝a下方的部分所对应的x的取值范围； 5.不等式k1x＋b1＞k2x＋b2（k1k2≠0）的解集直线 y＝k1x＋b1（k1≠0）在直线y＝k2x＋b2（k2≠0）上方的部分所对应的x的取值范围； 6.不等式k1x＋b1＜k2x＋b2（k1k2≠0）的解集直线 y＝k1x＋b1（k1≠0）在直线y＝k2x＋b2（k2≠0）下方的部分所对应的x的取值范围. 题型一 变量与常量 易｜错｜点｜拨 常量不一定是具体数字，也可以是固定字母（如 π、题目给定的常数）。 变量不止一个，变化过程中变化的量都叫变量，不要只写一个。 区分谁是自变量、谁是函数：一个自变量只能对应唯一函数值，否则不是函数关系。 实际问题中，变量往往有取值范围（非负、整数、有上下限等），容易漏写。 不要把 “不变的字母” 当成变量，如 y=kx 中，若 k 为定值，则k 是常量，x、y 是变量。 1．摄氏温度与华氏温度之间的对应关系为，则其中变量是________，常量是________. 2．设路程为s km，速度为v km/h，时间为t h，指出下列各式中的常量与变量． (1)v＝； (2)s＝15t－2t2；   (3)vt＝100. 3．写出下列各问题中的关系式中的常量与变量： （1）时针旋转一周内，旋转的角度n（度）与旋转所需要的时间t（分）之间的关系式n=6t； （2）一辆汽车以40千米/时的速度向前匀速直线行驶时，汽车行驶的路程S（千米）与行驶时间t（时）之间的关系式s=40t． 题型二 函数的概念 易｜错｜点｜拨 判断函数只看一点：给一个 x，是否只有唯一一个 y 对应。多对一可以，一对多不是函数。 图像判断法：用竖线（垂直 x 轴）去截图像，最多一个交点才是函数，两个及以上就不是。 解析式里分母、根号易错： 分母≠0 二次根号下被开方数≥0容易漏写自变量取值范围。 别把 “常数函数” 当成不是函数：比如 y=3，每个 x 都对应唯一 y，是函数。 实际问题必带范围：时间、长度、人数等不能为负，取值范围不写直接扣分。 分清自变量和函数：题目问 “y 是不是 x 的函数”，只看 x→y 的对应关系，别搞反。 4．下列各图象中，不能表示是的函数的是（    ） A． B． C． D． 5．下列4个关系式中：① ② ③ ④，y不是x的函数的有_________个． 6．下列是关于变量与的八个解析式：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧．其中不是关于的函数的是________________（填序号）． 题型三 自变量取值范围、函数值 7．在函数中，自变量的取值范围是_______． 8．小球从离地面为h（单位：m）的高处自由下落，落到地面所用的时间为t（单位：s）．经过实验，发现h与成正比例关系，且当时，．则当时，t的值是_________． 9．定义，即当时，；当时，，则_____． 题型四 函数的表示法 10．已知长方形的周长为，它的长为，宽为，则与之间的函数关系式为_________． 11．若等腰三角形的周长为，底边长为，一腰长为，则与的函数解析式是_____ ，自变量的取值范围是_____ ． 12．吉林市松江桥安装的护栏平面示意图如图所示，假如每根立柱宽为0.2米，立柱间距为3米．设有根立柱，护栏总长度为米． (1)根据如图，将表格补充完整． 立柱根数（根） 1 2 3 4 5 …… 护栏总长度（米） 0.2 3.4 9.8 …… (2)在这个变化过程中，变量为___________，常量为___________； (3)写出与之间的关系式，并化简； (4)求护栏总长度为61米时立柱的根数． 题型五 平面直角坐标系 13．已知点，分别根据下列条件求点的坐标． (1)点在轴上； (2)点的坐标为，直线轴． 14．如图，在平面直角坐标系中，已知，，且，满足． (1)______，______； (2)如果在第三象限内有一点，请用含的式子表示三角形的面积； (3)在（2）的条件下，当时，在轴上有一点，使得三角形的面积等于三角形的面积的，请求出点的坐标． 15．在平面直角坐标系中，已知点，，． (1)在坐标系中描出点A、B、C的位置（无需画图，直接写出坐标对应位置描述即可）； (2)求的面积； (3)若将向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到，写出点、、的坐标． 题型六 坐标的平移问题 16．如图，在平面直角坐标系中，A、B、C三点的坐标分别为、、． (1)画出三角形，并求其面积； (2)如图，是由经过平移得到的．已知点为内的一点，则点P在内的对应点的坐标是_____________． 17．在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别是，，． (1)在平面直角坐标系中画出； (2)平移，使点B与点O重合，，分别是A，C的对应点，请写出，的坐标； (3)已知是上一点，求平移后的对应点的坐标． 18．如图，在平面直角坐标系中点在轴的正半轴上，点的坐标为，点的坐标为的面积为15． (1)求出点的坐标； (2)线段是由线段平移所得，其中点与点对应，点与点对应，与轴的交点为点，求的长； (3)在（2）的条件下，若点为轴上的一个动点，且点的横坐标为，并且满足，请写出的取值范围___________． 题型六 坐标的平移问题 题型七 描点法画函数图象 易｜错｜点｜拨 三步不能乱：列表 → 描点 → 连线，顺序错、步骤漏直接扣分。 列表易错 取值太少、太密或只取正数，图像画不全。 实际问题要按自变量范围取点，不能超出范围。 描点易错 横纵坐标搞反（先 x 后 y），点的位置画错。 小数、分数点估算不准，导致图像变形。 连线易错 用折线连、画成折线图，正确应为平滑曲线 / 直线。 该延伸的不延伸，不该延伸的乱画出头。 细节扣分点 不标坐标轴、不标单位、不写函数解析式。 端点空心、实心分不清：有等号实心，无等号空心。 19．问题：探究函数的图象与性质．小东根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究． 下面是小东的探究过程，请补充完整： (1)在函数中，自变量x可以是任意实数； 下表是y与x的几组对应值． x … 0 1 2 3 4 … y … 6 5 n 3 2 1 2 3 m … ①求m，n的值； ②在平面直角坐标系中，描出上表中各对对应值为坐标的点．并根据描出的点，画出该函数的图象； (2)结合函数图象，直接写出y的最小值__________． 20．探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画出函数图像，观察分析图像特征，概括函数性质的过程．结合已有的学习经验，请画出函数的图像并探究该函数的性质． (1)函数的自变量的取值范围是 ，的取值范围是 ． (2)绘制函数图像 ①列表：下表是与的几组对应值，其中 ； … 0 1 2 3 4 5 … … 1 2 3 6 3 2 1 … ②描点：根据表中的数值描点； ③连线：用平滑的曲线顺次连接各点，画出函数图像． (3)探究函数性质 写出函数的两条性质： ， ． (4)运用函数图像及性质 ①观察你所画的函数图像，回答问题：若点，为该函数图像上不同的两点，则 ； ②根据函数图像，写出时自变量的取值范围 ． 21．画出函数的图象． … … … … (1)根据列表， ． (2)根据列表，在如图所示的平面直角坐标系中描点并连接． (3)若点在函数的图象上，求出的值． 题型八 一次函数基本概念 22．在平面直角坐标系中，有一点． (1)若点在轴上，求点的坐标； (2)将点向左平移6个单位得到点，若点在直线上，求点的坐标． 23．已知y与成正比例函数关系，且当时，． (1)求出y与x之间的函数解析式； (2)若点在这个函数的图象上，求a的值． 24．已知与成正比例，且当时，； (1)求出与之间的函数关系式； (2)当时，求的值； (3)当时，求的值． 题型九 正比例函数基本概念 25．已知与成正比例，且当时，，求： (1)与的函数关系式； (2)当时，求的值． 26．已知正比例函数 的图象经过点． (1)求这个函数的解析式； (2)画出这个函数图象； (3)判断点，是否在这个函数图象上． 27．已知y与x成正比例，当时，． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)请判断点是否在这个函数的图象上，并说明理由． (3)如果，是这个函数图象上的两点，请比较与的大小． 题型十 正比例函数的图象与性质 易｜错｜点｜拨 解析式：y=kx（k=0），必过原点 (0,0)，容易漏写 k=0。 图象形状：是一条过原点的直线，不是射线、线段。 象限与增减性 k>0：过一、三象限，y 随 x 增大而增大 k<0：过二、四象限，y 随 x 增大而减小 ∣k∣ 意义：∣k∣ 越大，直线越靠近 y 轴，越陡。 易错点 把 “y 随 x 增大而增大” 说成 “x 随 y 增大而增大” 忽略 k=0，导致判断出错 只看象限不看增减，或只看增减不看象限 28．在所给的平面直角坐标系中画出函数的图象．（先填写下表，再描点、连线）    29．已知，且y是关于x的正比例函数． (1)求y关于x的函数关系式； (2)已知点，点B在该函数图象上，若的面积为4，求点B的坐标． 30．已知：正比例函数的图像经过点，过图像上一点作轴的垂线，垂足为，求的面积． 题型十一 一次函数的解析式 易｜错｜点｜拨 标准形式：y=kx+b（k=0），最容易漏掉 k=0 这个条件。 正比例函数是特殊一次函数：b=0 时为 y=kx，别把二者混淆。 求解析式核心方法：待定系数法 设：设 y=kx+b 代：代入两点坐标 解：解方程组求k、b 写：写出解析式 易错点 只给一个点就想求完整解析式（至少要两个点） 代入坐标时横纵坐标弄反 计算k、b时符号、分数出错 实际问题忘记写自变量取值范围 特殊情况 平行直线：k 相等，b 不等 过原点：b=0，是正比例函数 31．已知直线（为常数，且）经过点，求的值及直线与坐标轴的交点坐标． 32．已知一次函数的图象经过点和点． (1)求该一次函数的解析式； (2)判断点是否在该一次函数的图象上，并说明理由． 33．如图，直线：与轴相交于点，与轴相交于点．直线与轴相交于点，直线轴，交直线于点，且． (1)求点、点的坐标； (2)求直线的解析式． 题型十二 已知函数经过的象限求参数范围 易｜错｜点｜拨 根据 k、b 的符号，判断直线经过的象限，反之由经过的象限确定 k、b 的取值范围。 34．已知一次函数． (1)当为何值时，函数图象经过原点； (2)当为何值时，图象经过第二、三、四象限． 35．若两个一次函数（），（），则称函数为这两个函数的组合函数． (1)一次函数与的组合函数为_____； (2)若一次函数，的组合函数为，则_____，_____； (3)若一次函数与的组合函数的图象经过第一、二、四象限，求k、b的取值范围． 36．已知一次函数，求： (1)为何值时，图象经过第一、三、四象限？ (2)若函数图象经过原点，求m的值． 题型十三 一次函数图形与坐标轴的交点问题 易｜错｜点｜拨 求与 y 轴交点代 x=0，求与 x 轴交点代 y=0，注意坐标顺序与符号易错。 37．如图，直线与轴、轴分别交于点、，以为底边在轴右侧作等腰，将点向左平移9个单位，若其对应点在直线上，点的坐标是（     ） A． B． C． D． 38．如图直线分别交轴、轴于点，点为坐标原点，若以点，，为顶点的三角形与全等，（点不与点重合），则点的坐标为_____． 39．已知一次函数的图象经过，两点． (1)求，的值； (2)若一次函数的图象与轴的交点为，求一次函数的图象与坐标轴围成三角形的面积； (3)当时，求的取值范围． 题型十四 一次函数图象平移问题 易｜错｜点｜拨 左加右减自变量，上加下减常数项，平移不改变 k 值。 40．直线经过和与直线：交于点P，直线，与x轴，，分别交于点A，B，C． (1)求直线解析式； (2)将直线向上平移4个单位得直线，直接写出直线的解析式； (3)①若点B，C关于点A对称，求n值； ②若直线与直线，不能围成三角形，直接写出n值． 41．已知一次函数，当时，；当时，． (1)在所给坐标系中画出一次函数的图象； (2)求，的值； (3)若点，在该函数的图象上，请比较与的大小． (4)将一次函数的图象向上平移个单位长度，求所得到新的函数图象与轴、轴的交点坐标． 42．已知：与成正比例，且当时，y的值为4． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)若点、点是该函数图象上的两点，其中，试比较、的大小，并说明理由； (3)将所得的函数图象平移，使它经过点，求平移后的函数解析式． 题型十五 一次函数的增减性求参数 易｜错｜点｜拨 由 y 随 x 的增减直接判断 k 的符号，进而求出参数范围。 43．已知是的一次函数，其图象经过点，． (1)求这个函数的表达式． (2)当时，求的取值范围． 44．一次函数，求： (1)m为何值时，y随x增大而增大？ (2)m，n为何值时，函数图象与y轴的交点在x轴的下方？ (3)若，时，求一次函数与两坐标轴所围成的三角形的面积． 45．已知关于的一次函数． (1)若该一次函数的图象过，求一次函数表达式： (2)当该一次函数的随的增大而减小，且图象经过第三象限时，求实数的取值范围． 题型十六 比较一次函数值的大小 46．一次函数的图象经过点，，，且，则的值可能为（　　　） A． B． C． D． 47．如果点，都在一次函数的图象上，那么______．（填“＞”或“＜”） 48．已知∶ 且与x成正比例，与成正比例，当时，，当时，． (1)求出y与x之间的函数关系式： (2)点, 点在的图像上，当时，请比较与的大小． 题型十七 一次函数的规律探究问题 49．在平面直角坐标系中，点P从出发，按“上1、右1、下2、右1、上3、右1、下4、右1……”的规律移动（即：第1次向上移动1个单位，第2次向右移动1个单位，第3次向下移动2个单位，第4次向右移动1个单位，以此类推，如图），若第n次移动后，点P恰好落在直线上，则满足条件的所有n的和（   ） A．5 B．8 C．13 D．21 50．正方形，，按如图所示的方式放置，点，，和点，，，分别在直线（）和轴上，已知点，点的坐标是________． 51．如图，直线与y轴相交于点，过点作x轴的平行线交直线于点，过点作y轴的平行线交直线于点，再过点作x轴的平行线交直线于点，过点作y轴的平行线交直线于点，依此类推，得到直线上的点，与直线上的点． （1）的纵坐标为_____； （2）的长为_____（用含有n的式子表示）． 题型十八 一次函数与方程 52．如图，一次函数（为常数）的图象与轴交于点，与一次函数的图象交于点，设点的横坐标为． (1)当时，求的值和点的坐标． (2)当时，求的取值范围． 53．如图直线：经过点，．若直线：与直线相交于点M，与x轴相交于点D． (1)求直线的函数解析式； (2)连接，求的面积． 54．如图所示，在同一坐标系中一次函数和的图象，分别与x轴交于点A、B，两直线交于点C，已知点A坐标为，点B坐标为，观察图象并回答下列问题： (1)关于x的方程的解是 ，关于x的不等式的解集是 ． (2)若点C坐标为，关于x的不等式的解集是 ． (3)在（2）的条件下，求四边形的面积． 题型十九 一次函数与不等式 55．已知一次函数的图象经过点． (1)求一次函数的表达式； (2)画出一次函数的图象； (3)点在直线上，那么m_____n（填“＞”或“＜”号）； (4)结合图象回答：当时，x的取值范围是________________． 56．已知函数 (1)填表，并画出这个函数的图象： … 0 ________ … … ________ 0 … (2)根据你画的图象，写出该函数图象的一条性质：________． (3)根据函数的性质或图象，直接写出取________时，． 57．在平面直角坐标系中，函数的图象由函数的图象平移得到，且经过点． (1)求出这个函数的表达式，并在坐标系中画出该函数的图象； (2)直接写出该函数图象与两坐标轴围成的三角形的面积； (3)当时，对于的每一个值，函数的值大于函数的值，直接写出的取值范围． 题型二十 分配方案问题 58．某景区需要购买A、B两种型号的帐篷，已知用2400元购买A种帐篷的数量与用4000元购买B种帐篷的数量相等，且B种帐篷的单价比A种帐篷的单价多400元． (1)求A、B两种帐篷的单价各多少元？ (2)若该景区需要购买A、B两种型号的帐篷共28顶（两种型号的帐篷均需购买），且购买B种型号帐篷的数量不少于A种型号帐篷数量的，则购买A、B两种型号的帐篷各多少顶时，总费用最低？最低总费用是多少元？ 59．综合与实践 背景 第十五届运动会的吉祥物“喜洋洋”和“乐融融”，以珠江口栖息的中华白海豚为原型，头顶木棉红、紫荆紫和莲花绿三朵小水花，寓意广东、澳门和香港三地同心，传递团结拼搏与团圆和美的愿景． 图片 素材一 某中学准备举行“第十五届全运会”知识竞赛活动，拟购买30套吉祥物“喜洋洋”和“乐融融”作为竞赛奖品，某商店有甲、乙两种规格，其中乙规格比甲规格每套贵20元． 素材二 用700元购买甲规格与用900元购买乙规格的数量相同 素材三 购买甲规格数量不超过乙规格数量的2倍 问题一 (1)甲、乙两种规格每套吉祥物的价格分别是多少？ 问题二 (2)如何购买才能使总费用最少？ 60．【问题背景】2026年4月23日是第31个“世界读书日”，为给师生提供更加良好的阅读环境，学校决定扩大图书馆面积，增加藏书数量，现需购进30个书架用于摆放书籍． 【素材呈现】 素材一：有A，B两种书架可供选择，A种书架的单价比B种书架单价高10%； 素材二：用17600元购买A种书架的数量比用10000元购买B种书架的数量多6个； 素材三：A种书架数量不少于B种书架数量的． (1)问题一：求出A，B两种书架的单价； (2)问题二：设购买个A种书架，购买总费用为w元，求w与a的函数关系式，并求出费用最少时的购买方案． 题型二十一 最大利润问题 61．为了进一步抓好“三农”工作，助力乡村振兴，某经销商计划从建档贫困户家购进A，B两种农产品．已知购进A种农产品3件，B种农产品2件，共需710元；购进A种农产品4件，B种农产品1件，共需680元． (1)A，B两种农产品每件的价格分别是多少元？ (2)该经销商计划用不超过6000元购进A，B两种农产品共40件，且A种农产品的件数不超过B种农产品件数的3倍．如果该经销商将购进的农产品按照A种每件180元，B种每件220元的价格全部售出，那么购进A，B两种农产品各多少件时获利最多？ 62．确山瓦岗红薯依托得天独厚的水土条件，薯肉软糯香甜、营养丰富，是当地地理标志农产品，美名远扬．西瓜味红薯鲜嫩清香；板栗味红薯绵密醇厚，香味浓郁．西瓜味红薯每千克进价比板栗味红薯进价多2元，3千克板栗味红薯与2千克西瓜味红薯共需29元． (1)求西瓜味红薯、板栗味红薯每千克的进价各是多少元； (2)某农产品商店计划购进西瓜味红薯和板栗味红薯共240千克进行试销售，且要求西瓜味红薯不少于板栗味红薯质量的，板栗味红薯每千克售价为8元，西瓜味红薯每千克售价为9元．问怎样进货才能使销售完后获得的利润最大，最大利润是多少元？ 63．随着体育科技的不断发展，智能羽毛球拍凭借精准数据监测功能深受运动爱好者青睐．某体育用品专卖店计划购进，两种型号的智能羽毛球拍，已知每副型球拍的进价比型球拍多元，用元购进型球拍的数量与用元购进型球拍的数量相同． (1)每副，型球拍的进价分别是多少？ (2)该专卖店准备用不超过元的资金购进副，型号球拍．已知销售一副型球拍比销售一副型球拍多获利元，若该专卖店将这副球拍全部售出，可获得的最大利润是元，求销售一副型球拍的利润． 题型二十二 行程问题 64．4月19日，2026北京亦庄半程马拉松暨人形机器人半程马拉松举行，上演了一场“人机大战”，如图1，102支赛队和万名跑者同场参赛，全程为21公里，小明和机器人“逍遥”一起参赛，因赛前临时检修，机器人“逍遥”比小明晚出发了小时，追上小明后休息了一段时间，继续以相同的速度跑步，他们离出发点的路程关于时间的变化情况如图2所示． (1)分别求出机器人“逍遥”和小明跑步的速度． (2)求图2中线段所在直线的函数表达式． (3)当机器人“逍遥”第二次追上小明时，他们距离终点的路程是多少？ 65．甲、乙两台智能机器人从同一地点出发，沿着笔直的路线行走了．甲比乙先出发，并且匀速走完全程，乙出发一段时间后速度提高为原来的倍．设甲行走的时间为，甲、乙行走的路程分别为、，、与之间的函数图像如图所示，根据图像所提供的信息解答下列问题： (1)乙比甲晚出发________，乙提速前的速度是每秒________，________，________； (2)求出何时乙恰好追上甲？ 66．某汽车公司在有A、B、C三点一条笔直的公路上测试两辆无人驾驶汽车，两车同时出发，无人快递车从A地出发，以m千米/时的速度匀速驶向B地，到达B地用0.5小时卸货后按原速继续驶向C地；无人出租车从B地出发，以n千米/时的速度匀速驶向C地，到达C地后立即调头（调头时间忽略不计），以原速匀速经过B地驶向A地，快递车比出租车晚小时到达目的地．两车与B地的距离y（单位：千米）与无人快递车行驶时间x（单位：小时）之间的函数关系如图所示．请结合图象信息，解答下列问题： (1)A，B两地之间的距离是________千米，________； (2)求图中线段所在直线的函数解析式； (3)无人快递车出发多少小时，无人快递车与无人出租车之间相距210千米？请直接写出答案． 题型二十三 梯度计价问题 67．某景区门口有两个停车场，按停车小时数收费．A停车场，每小时收费3元，B停车场，前3小时收费10元，超过3小时的部分，每小时收费2元． (1)设A停车场停车小时，收费元，B停车场停车小时，收费元，分别写出与，与的函数解析式，并写出的取值范围； (2)王老师要停车5小时，选择哪个停车场更省钱？请说明理由； (3)当停车多少小时时，两个停车场收费相差3元？ 68．“兰陵大蒜”是山东知名特色农产品，也是国家地理标志产品．为推动乡村产业高质量发展，拓宽优质农产品销售渠道，某电商平台联合当地农民专业合作社开展助农专场促销活动，对兰陵大蒜实行分段计价销售：一次性购买大蒜不超过时，按原价销售；超过时，超过部分享受助农优惠价．如图为购买大蒜消费金额（元）与购买量之间的函数图象． (1)①大蒜的原价为_________元；②求当时，与之间的函数关系式． (2)某餐馆为储备食材，在活动期间一次性购买大蒜，求该餐馆比按原价购买节省多少元？ (3)某农产品经销商通过该活动采购大蒜，共支付270元，求该经销商本次采购大蒜多少千克？ 69．甲、乙两商场以同样的价格出售同样的商品，并且又各自推出不同的优惠方案： 甲商场：所有商品打折； 乙商场：一次性购物不超过元不打折，超过元时，超出的部分打折． (1)设原价为元，甲、乙两个商场的购物金额分别，，请直接分别写出与，与之间的表达式； (2)请你按照下表中自变量的值代入（1）中的表达式计算，分别得到了，的几组对应值： x/元 /元 /元 则表格中， ， (3)在如图所示的同一平面直角坐标系中，描出（2）中补全后的表格里各组数值所对应的点，并画出，函数的图象．    (4)根据以上分析，在购买原价相同的同种商品时，应该如何选择这两家商场购物更省钱？请写出购物更省钱的方案（直接写出结论）． 题型二十四 一次函数与几何综合 70．如图，已知直线的解析式为，经过定点． (1)直接写出点的坐标__________； (2)当时，直线与轴，轴分别交于点，． ①如图1，为轴正半轴上一点，过点的直线经过的中点，点为轴上一动点，过作轴分别交直线、于、，且，求的值； ②如图2，已知点，点为直线左侧一点，且满足，求点的坐标． 71．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别交轴，轴于点，与直线相交于第一象限，交点为点，且点的纵坐标为4． (1)点的坐标为_____________，点的坐标为_____________； (2)点C为直线上一点，且点C在第二象限，若的面积与的面积相等，求直线的函数表达式； (3)在（2）的条件下，点为线段上一点，过点作轴的平行线，与直线，直线分别相交于点，若，求点的坐标． 72．如图，直线与x、y轴分别交于E、F．点E坐标为，点A的坐标为，是直线上的一个动点． (1)求k的值； (2)若点P是第二象限内的直线上的一个动点，当点P运动过程中，试写出三角形的面积S与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； (3)探究：当P运动到什么位置时，三角形的面积为，并说明理由． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．已知点和点在一次函数的图象上，且，下列四个选项中的值可能是（     ） A． B． C．1 D．3 2．在平面直角坐标系中，将某个一次函数的图象向下平移2个单位后，恰好经过点和，则这个一次函数的表达式为（     ） A． B． C． D． 3．已知平面内有两条直线，交于点A，与x轴分别交于B、C，落在内部（不含边界），则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．小明步行从家出发经过学校前往图书馆，途中一直保持匀速运动．如图是小明步行时离学校的距离y（米）与行走时间x（分）之间的函数关系的图象． 下列说法一定正确的是（     ） ①小明从家到学校的距离为240米；②图中a的值是18； ③线段所表示的y与x之间的函数表达式为； ④小明与学校相距100米时，用时3.5分钟． A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①②③④ 5．如图，直线与直线为常数，且相交于点，则不等式的解集是__________． 6．如图，在平面直角坐标系中，是以为斜边的等腰直角三角形，，点的坐标为．若将向左平移，使点落在直线上，则平移的距离是________． 7．若点在第二象限，则整数a的值为______． 8．在平面直角坐标系中，给出如下定义：点A到x轴、y轴距离的较大值，称为点A的“长距”，当点P的“长距”等于点Q的“长距”时，称P、Q两点为“等距点”．若、两点为“等距点”，且点Q在第三象限，则k的值为______． 9．已知一次函数的图象过点与，求这个一次函数的解析式． 10．已知y是x的一次函数，当时，；当时，． (1)求出y与x之间的函数解析式； (2)若该一次函数的函数值为，求的值． 11．有这样一个问题：探究函数的图象与性质．小彤根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究．下面是小彤探究的过程，请补充完整： (1)函数的自变量的取值范围是_________； (2)表格是与的几组对应值： 则的值为_________； (3)请在下面的平面直角坐标系中，画出函数的图象； (4)观察图象，写出该函数的两条性质． 12．为探究不同材质保温材料的保温性能，某物理兴趣小组选取甲、乙两种保温材料，制作了除保温层材质外，其余结构、容量均完全相同的两个保温杯进行实验．他们向两个保温杯中装入质量相同的水，用电加热器同时将两杯水加热至相同的初始温度后停止加热，并立即盖紧杯盖．记以甲材料为保温层的为1号杯，以乙材料为保温层的为2号杯，将两个保温杯置于恒定的相同室温环境中．在实验的第（从停止加热开始计时），记录1号、2号杯中水的温度分别为，（单位：），实验所得部分数据如表： 0 5 10 15 20 25 35 45 55 65 80 80.0 72.1 65.2 59.2 54.0 49.5 42.1 36.7 32.6 29.4 26.0 80.0 66.4 55.9 47.8 41.6 36.7 30.0 26.0 23.6 22.1 20.9 通过分析数据，发现可以用函数刻画与，与之间的关系． (1)在同一平面直角坐标系中，已画出与的函数图象，且已描出与的部分对应点．请根据表格中的数据，补全表格中未描出的其余对应点，并用平滑的曲线画出与的完整函数图象． (2)根据以上数据与函数图象，解决以下问题： ①当时，1号杯和2号杯的水温相差________（精确到个位）； ②某种茶叶用的水冲泡，待茶水温度降至时饮用口感最佳．小石直接向1号杯和2号杯中分别倒入的水冲泡该茶叶（忽略冲泡过程中的热量损失）．从盖紧杯盖开始计时，1号杯茶水经过约________（精确到个位）后饮用口感最佳，此时2号杯中茶水的温度为________（精确到个位）． 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 13．将直线向下平移3个单位长度后，正好经过点，则下列点中一定不在直线的图象上的是（     ） A． B． C． D． 14．当时，一次函数最小值为6，则实数的值为（     ） A．0 B．1 C．0或1 D．0或 15．如图，直线与直线相交于点，与轴交于点，则关于的不等式组的解集是（    ） A． B． C． D．或 16．如图，在平面直角坐标系中，直线与直线的交点为，则关于x的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 17．如图，从光源发出一束光，经轴上的一点反射后，得到光线，光线经轴上一点反射后，得到光线．若，且光线所在直线的函数解析式为，则光线所在直线的函数解析式为（     ） A． B． C． D． 18．某商家以成本价每件28元购进某款衣服100件，如图为利润y与销售件数x的函数关系图．结合图象信息：商家至少需销售________件，才不会亏本（利润为负表示亏本）． 19．如图，一束光线从点出发，经过轴上的点反射后经过点，则点的坐标是______． 20．已知一次函数和，当时，对于x的每一个值，函数的值大于函数的值且小于的值，则m的取值范围是______． 21．如图，已知一次函数与轴相交于点A，与轴交于点B． (1)求出点A和点B的坐标； (2)若点C的坐标是： ①是_____三角形（按角分类）； ②点P是轴上的点，若，请求出点P的坐标． 22．在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和． (1)求，的值； (2)当时，对于的每一个值，函数的值都小于函数的值，直接写出的取值范围． 23．【项目背景】 某学习小组在学习声现象时，知道了振动频率越高，音调就越高；振动频率越低，音调也越低．由此他们联想到在敲击装有水的玻璃杯时，杯中水位不同，音调也会不同．于是他们计划探究水位高度与振动频率之间的关系，并依此制作水杯琴． 【实验操作】 该学习小组设计了如下实验：先在圆柱形玻璃杯中加水，加到水位高度为时，敲击玻璃杯口，同时利用声学设备测量其振动频率；继续加水，并测量不同水位高度时的振动频率．为减小误差，同一水位高度下，多次敲击、测量振动频率并计算它们的平均值，获得的数据如表一． 表一 水位高度（） 频率（） 【数据查询】 通过查阅资料得知，七个音阶对应的频率如表二． 表二 音阶 频率（） 根据以上信息，解答下列问题： (1)求一个能近似描述频率与水位高度的关系的函数解析式； (2)用实验中同种型号的玻璃杯制作水杯琴时，请估计发出音阶为和的两个玻璃杯中水位高度差为多少？ 24．如图，已知直线交x轴于点，交y轴于点B，直线交x轴于点D，与直线相交于点． (1)求m的值与直线的函数解析式； (2)根据图象，直接写出关于x的不等式的解集； (3)求四边形的面积． 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 25．一条公路上依次有、、三地，一辆轿车从地出发途经地接人，停留一段时间后原速驶往地；一辆货车从地出发，送货到达地后立即原路原速返回地（卸货时间忽略不计）．两车同时出发，轿车比货车晚分钟到达终点，两车均按各自速度匀速行驶．如图是轿车和货车距各自出发地的距离（单位：千米）与轿车的行驶时间（单位：小时）之间的函数图象，结合图象下列结论正确的有：（     ） ①轿车的速度是； ②，； ③货车的速度是； ④轿车从地到地三次与货车相距． A．个 B．个 C．个 D．个 26．如图，在长方形电子屏中，，，一条公益广告画面的动态效果设计如下：动点从点出发沿边，以的速度向点运动，随着的移动，画面逐渐展开．当时，展开的广告画面面积比它后一秒少时，此时的值（     ）． A． B． C． D． 27．如图，在平面直角坐标系中，从点，，依次扩展下去，则的坐标为（     ） A． B． C． D． 28．如图，一次函数过点和点，将线段绕点C顺时针旋转得到线段，连接，点D在线段上，点E在线段上，且，当最小值为时，则k的值为（   ） A． B． C． D．1 29．如图，点、，直线l经过原点，与线段交于点C，把的面积分成两部分，则直线l的解析式为：_________________． 30．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，点的坐标为．点在线段上，连接，使，则点的坐标为________． 31．如图，直线和轴、轴分别交于点、点，以线段为直角边在第一象限内作等腰直角，，如果在直角坐标平面内有一点，且的面积与的面积相等，则的值为________． 32．如图，在平面直角坐标系中，边长为3的正方形由9块边长为1的小正方形拼成，图中阴影矩形记为区域（包含边界）．对于正方形边上的一点P，若点Q在正方形内部且线段PQ与区域有公共点，则称点Q是点P的“盲点”．点P的所有“盲点”组成的区域称为点P的“盲区”，其面积记为． (1)点的“盲区”的面积是_______； (2)若点在线段上，且，则点的“盲区”的面积______（用含的代数式表示）． 33．如图，已知在平面直角坐标系中，，，，其中，满足．点是轴的上方距离轴的距离为的直线上的任意一点． (1)点的坐标为______________，点的坐标为______________，点的坐标为______________； (2)画出直线，与直线相交于点． ①求出点的坐标； ②若点的横坐标为1，连接，，则三角形的面积为______________； (3)是否存在点，使三角形的面积等于的面积？如果存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 34．如图，在平面直角坐标系中，点，，直线与直线交于点，与轴交于点． (1)求直线的函数表达式； (2)点是直线上一点，若，求点坐标． 35．某数学小组成员利用探测气球探究气温与海拔高度的关系．甲气球从海拔5米处出发，以1米/分钟的速度匀速上升；与此同时，乙气球从海拔15米处出发，以0.5米/分钟的速度匀速上升．飞行a分钟后，两个气球到达同一高度．从两气球首次同高的时刻起，又经过t分钟后，甲气球的海拔高度比乙气球高5米，此时甲气球出现故障，停止上升并在当前高度进行维修．甲气球停止上升10分钟后，乙气球恰好上升至甲气球的维修高度；随即甲气球维修完成，立即匀速下降，经过40分钟后降落到出发点（海拔5米处）．设甲、乙气球在整个飞行过程中的海拔高度分别为（米）、（米），飞行时间为x（分钟），其函数图象如图所示． (1)求出a和t的值； (2)求出线段对应的关于x的函数解析式； (3)从两气球出发，到甲气球返回出发点的整个时间段内，两气球高度之差S不超过2米的总时长是多少分钟？请直接写出结果． 36．如图，平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点． (1)求直线的表达式和点的坐标； (2)直线垂直平分交于点，交轴于点，点是直线上一动点，且在点的上方，设点的纵坐标为． ①用含的代数式表示的面积； ②当时，求点的坐标； ③在②的条件下，在平面直角坐标系中是否存在点，使得是以为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 一次函数（期末复习讲义） 内 容 导 航 明·期末考情 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 变量与常量 题型02 函数的概念 题型03 自变量取值范围、函数值 题型04 函数的表示法 题型05 平面直角坐标系 题型06 坐标的平移问题 题型07 描点法画函数图象 题型08 一次函数基本概念 题型09 正比例函数基本概念 题型10 正比例函数的图象与性质 题型11 一次函数的解析式 题型12 已知函数经过的象限求参数范围 题型13 一次函数图形与坐标轴的交点问题 题型14 一次函数图象平移问题 题型15 一次函数的增减性求参数 题型16 比较一次函数值的大小 题型17 一次函数的规律探究问题 题型18 一次函数与方程 题型19 一次函数与不等式 题型20 分配方案问题 题型21 最大利润问题 题型22 行程问题 题型23 梯度计价问题 题型24 一次函数与几何综合 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 常量和变量 理解常量与变量的意义，能识别、表示并正确运用二者解决简单问题。 基础常考点，一般在小题考查，分值在2分左右 函数基本概念 理解函数的定义与三要素，能判断函数关系、确定自变量取值范围，并会用三种形式表示函数。 基础常考点，一般在小题考查，分值在2分左右 函数的表示法 掌握函数的列表、解析式、图像三种表示法，能相互转化、灵活选用，并读懂每种表示法中的函数信息。 基础常考点，一般在小题考查，分值在2分左右 函数图象的画法 掌握函数图像的列表、描点、连线基本画法，能规范绘制简单函数图像，并根据图像分析函数基本特征。 重要常考点，一般在解答题考查，分值在3分左右 一次函数的概念、自变量或函数值 理解一次函数的定义及一般形式，能准确判断一次函数与正比例函数，熟练求自变量取值范围和对应的函数值。 基础常考点，选填考查比较多，分值在3分左右 正比例函数的概念、图象与性质 理解正比例函数概念与解析式，掌握其图象特征与增减性，能结合图象分析性质并进行简单应用。 基础常考点，一般在小题考查，分值3分 已知函数经过的象限求参数范围 掌握根据一次函数图象经过的象限，判断斜率 k 和截距 b 的符号，进而求出参数取值范围的方法。 重要考点，一般在小题考查 一次函数图象与坐标轴的交点问题 熟练掌握一次函数与 x 轴、y 轴交点坐标的求法，能利用交点解决图像位置、长度及面积相关问题。 核心考点，一般在解答题考查，与其他题型综合考查，分值在5分左右 一次函数解析式 掌握待定系数法求一次函数解析式，能根据已知点坐标、图像或实际问题列出并求解函数表达式。 核心考点，一般在解答题第一问考查，2分左右 一次函数图象的平移问题 掌握一次函数图象上下、左右平移的规律，能根据平移方向与距离写出新解析式，或由新图象反推平移方式。 核心考点，易出难题，4分左右 一次函数的增减性求参数 掌握一次函数增减性与系数 k 的关系，能根据函数增减情况判断 k 的符号，进而求出参数的取值范围。 核心考点，一般在解答题考查，3分左右 一次函数与方程 理解一次函数与一元一次方程的内在联系，能利用函数图象求方程的解，并结合图像分析方程解的意义。 核心考点，一般在解答题考查，5分左右 一次函数与不等式 理解一次函数与一元一次不等式的关系，能借助函数图象确定不等式的解集，并运用数形结合解决简单不等关系问题。 核心考点，一般在解答题考查，5分左右 一次函数的实际应用 能从实际问题中抽象出一次函数模型，确定自变量范围，利用解析式、图像与性质解决行程、利润、方案选择等实际问题。 核心必考点，一般在解答题考查，8分左右 知识点01 函数的相关概念 变量与常量 1.在一个变化过程中，我们称数值发生变化的量为变量.数值保持不变的量叫做常量. 2.判断一个物体是常量还是变量的方法：看这个量的值在某一变化过程中是否发生改变，若在变化过程中这个量的值不变，则这个量就是常量，若这个量的值会发生改变，则这个量就是变量. 3.常量不等于是常数，它可以用一个数值不改变的字母来表示. 函数的概念 1.函数：一般地，在一个变化过程中. 如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值， 都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数. 2.确定函数与自变量的方法：在某个变化过程中处于主导地位的变量是自变量，随之变化且对应值唯一确定的变量是该变量的函数. 3.函数具有唯一对应性，判断两个变量是否具有函数关系，不能只看是否有关系式存在，还要看对应给定的x的每一个值，y是否有唯一值与之对应. 4.函数是一个变量相对于另一个变量而言的，如果两个变量x与y，若y是x的函数，就不能说成x是y的函数. 函数的三种常见表示方法 表示法 定义 优点 缺点 列表法 把自变量x的一系列值和函数y的对应值列成一个表，这种表示函数关系的方法叫做列表法 一目了然，对表格中已有自变量的每一个值，可直接查出与之对应的函数的值 列出的对应值是有限的，而且在表格中也不容易看出自变量与函数的变化规律 解析法 两个变量之间的函数关系可以用等式来表示，这种表示两个变量之间函数关系的式子称为函数表达式，用函数表达式表示函数的方法叫做解析法 能准确地反映整个变化过程中自变量与函数的对应关系 求对应值时，往往要经过比较复杂的计算，有些函数不能用表达式表示出来 图像法 用图像来表示函数关系的方法叫做图像法 能直观、形象地反映出函数关系变化的趋势 由自变量的值常常难以找到对应函数的准确值 函数的三种表示方法各有不同的长处.解析式法能揭示出变量之间的内在联系，但较抽象，不是所有的函数都能列出解析式；列表法可以清楚地列出一些自变量和函数值的对应值，这会对某些特定的数值带来一目了然的效果，例如火车的时刻表，平方表等；图象法可以直观形象地反映函数的变化趋势，而且对于一些无法用解析式表达的函数，图象可以充当重要角色. 函数的图像 在平面直角坐标系中，以函数的自变量的值为横坐标，对应的函数值为纵坐标的点所组成的图形叫做这个函数的图像. 函数的自变量与函数值 1.自变量的取值范围：使函数有意义的自变量的取值的全体实数叫自变量的取值范围. 2.常见函数自变量取值范围的确定： （1）当解析式是整式时，自变量的取值范围是全体实数； （2）当解析式是分式时，自变量的取值范围是使分母不为零的实数； （3）当解析式是二次根式时，自变量的取值范围是使被开方数不小于零的实数； （4）当解析式中含有零指数幂或负整数指数幂时，自变量的取值应使相应的底数不为零； （5）当解析式表示实际问题时，自变量的取值必须使实际问题有意义. 3.函数值：y是x的函数，如果当x＝a时y＝b，那么b就叫做当自变量为a时的函数值. （1）一个函数的函数值随着自变量值的变化而变化，因此在求函数值时，一定要明确是求自变量为多少时的函数值. （2）对于每个确定的自变量值，函数值是唯一的，但反过来，可以不唯一，即一个函数值对应的自变量可以是多个. 知识点02 一次函数、正比例函数 1.一次函数：一般地，形如y＝kx＋b（k、b为常数且k≠0）的函数叫做一次函数，其中x是自变量，y是x的函数. 2.正比例函数：当b＝0时，即y＝kx（k为常数且k≠0），y叫做x的正比例函数. 3.正比例函数是一次函数的特例，即正比例函数是一次函数，而一次函数不一定是正比例函数. 4.一般地，一次函数中自变量x的取值范围是任意实数，但在实际问题中x的取值范围要根据具体问题的实际意义来确定. 5.判断一次函数的方法：式子经过恒等变形后，若满足：（1）等号右边是关于x的整式；（2）自变量x的最高次数是1；（3）一次项系数k≠0这三个条件，则是一次函数，否则就不是一次函数. 确定一次函数的表达式 1.待定系数法：一次函数y＝kx＋b（k、b为常数且k≠0）中有两个待定系数k、b，需要两个两个独立条件确定两个关于k、b的方程，这两个条件通常为两个点或两对x、y的值. 2.用待定系数法确定一次函数表达式的步骤： （1）设：设一次函数的表达式为y＝kx＋b（k≠0）； （2）列：将已知条件代入表达式，列出关于k、b的方程（组）； （3）解：解方程（组），求出k、b的值； （4）代：将k、b的值代回所设的函数表达式. 知识点03 一次函数的图像与性质 1.一次函数的图像：一次函数y＝kx＋b（k、b为常数，且k≠0）的图像是一条直线. 2.正比例函数的图像：正比例函数y＝kx（k≠0）的图像是经过原点的一条直线. 3.一次函数的图像是一条直线，但不是所有的直线都是一次函数的图像，在利用一次函数的图像解决实际问题时，自变量的取值会受到限制，此时函数图像不再是一条直线，有可能是线段、射线，也有可能是间断的点. 4.一次函数的图像与表达式之间的关系：一次函数的图像与函数表达式是一一对应的，即函数图像上任意一点P（x，y）中的x，y的值满足函数表达式；反之，满足函数表达式的任意一对有序实数（x，y）所对应的点一定在函数图像上. 5.通过描点法画出对应一次函数的步骤： （1）列表：恰当地选取自变量x的一部分值，并计算出函数y相应的值，同时都填入列出的表中； （2）描点：以表中的有序数对（x，y）为点的坐标，在平面直角坐标系中描出相应的点； （3）连线：将所描的点用直线连接起来. 一次函数的性质 一次函数 y＝kx＋b（k、b为常数，且k≠0） k、b的符号 k＞0 k＜0 b＞0 b＝0 b＜0 b＞0 b＝0 b＜0 图像 趋势 从左向右上升 从左向右下降 性质 函数值y随自变量x增大而增大 函数值y随自变量x增大而减小 与y轴交点的位置 正半轴 原点 负半轴 正半轴 原点 负半轴 经过的象限 第一、二、三象限 第一、三象限 第一、三、四象限 第一、二、四象限 第二、四象限 第二、三、四象限 1.一次函数的图像经过的象限是由k和b的符号共同决定的，一次函数的增减性取决于k，与y轴的交点取决于b，反之，由一次函数的图像特征也可判断k、b的符号. 2.|k|的大小决定直线y＝kx＋b的倾斜程度，|k|越大，直线与x轴相交所成的锐角越大，直线越陡；|k|越小，直线与x轴相交所成的锐角越小，直线越缓. 知识点04 一次函数图象的平移问题 1.正比例函数y＝kx的图像是经过原点的一条直线，一次函数y＝kx＋b的图像可以看成是由正比例函数图像向上（b＞0）或向下（b＜0）平移|b|个单位长度得到的. 2.一次函数图像的平移规律 （1）上、下平移：直线y＝kx＋b（k≠0）向上平移n（n＞0）个单位长度得到直线y＝kx＋b＋n（k≠0）；直线y＝kx＋b（k≠0）向下平移n（n＞0）个单位长度得到直线y＝kx＋b－n（k≠0）.（上加下减） （2）左、右平移：直线y＝kx＋b（k≠0）向左平移m（m＞0）个单位长度得到直线y＝k（x+m）＋b（k≠0）；直线y＝kx＋b（k≠0）向右平移m（m＞0）个单位长度得到直线y＝k（x－m）＋b（k≠0）.（左加右减）. 知识点05 一次函数的应用 应用一次函数解决实际问题时，首先，要判断问题中的两个变量之间是否是一次函数关系；其次，当确定是一次函数关系时，可先求出一次函数表达式，再应用一次函数的相关知识去解决与其相关的实际问题. 1.判断两个变量之间是不是一次函数关系的步骤： （1）通过实验、测量获得数量足够多的两个变量的对应值； （2）建立适当的平面直角坐标系，画出图像； （3）观察图像特征，判断函数的类型. 2.建立一次函数表达式的常用方法 （1）根据基本的量之间存在的关系列函数表达式； （2）若题目中已明确给出两个变量的函数关系，则可用待定系数法求出函数表达式； 用一次函数解决问题的关键是建立数学模型，数学建模的关键是将实际问题数学化，从而得到解决问题的最佳方案、最佳策略.在建模的过程中，为了既合乎实际问题又能求解，这就要求在诸多因素中抓住主要因素进行抽象化简，而这一过程恰是我们的分析、抽象、综合、表达能力的体现.函数建模最困难的环节是将实际情景通过数学转化为什么样的函数模型. 知识点06 一次函数与方程、不等式的关系 一次函数与二元一次方程的关系 1.一次函数y＝kx＋b的图像上任意一点的坐标都是二元一次方程kx－y＋b＝0的解，以二元一次方程kx－y＋b＝0的解为坐标的点都在一次函数y＝kx＋b的图像上. 2.二元一次方程与一次函数的区别： （1）二元一次方程有两个未知数，而一次函数有两个变量； （2）二元一次方程是用一个等式表示两个未知数的关系，而一次函数既可以用一个等式表示两个变量的关系，又可以用列表法或图像法表示两个变量间的关系. 3.二元一次方程的解与一次函数图像上点的坐标之间的关系是一一对应的，以二元一次方程的解为坐标的点所组成的图形与其相应的一次函数的图像完全重合（一条直线）. 一次函数与二元一次方程组 1.如果两个一次函数的图像有一个交点，那么交点的坐标就是相应的二元一次方程组的解. 2.在同一直角坐标系中，两个一次函数图象的交点坐标就是相应的二元一次方程组的解. 3.用一次函数的图像求二元一次方程组的解的方法称为二元一次方程组的图像解法. 4.当二元一次方程组无解时，相应的两个一次函数在直角坐标系中的直线就没有交点，则两个一次函数的直线就平行.反过来，当两个一次函数直线平行时，相应的二元一次方程组就无解，反之也成立. 5.当二元一次方程组有无数解时，则相应的两个一次函数在直角坐标系中的直线重合，反之也成立. 6.方程组解的几何意义 （1）方程组的解的几何意义：方程组的解对应两个函数的图象的交点坐标； （2）根据坐标系中两个函数图象的位置关系，可以看出对应的方程组的解情况；（） （3）根据交点的个数，看出方程组的解的个数； （4）对于一个复杂方程组，特别是变化不定的方程组，用图象法可以很容易观察出它的解的个数. 一次函数与一元一次方程 1.一次函数y＝kx＋b（k≠0，b为常数），当函数y＝0时，就得到了一元一次方程kx＋b＝0，此时自变量x的值就是方程kx＋b＝0的解.所以解一元一次方程就可以转化为：当某一个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值. 2.从图象上看，这相当于已知直线y＝kx＋b（k≠0，b为常数），确定它与x轴交点的横坐标的值. 3.对于一次函数y＝kx＋b（k≠0），已知x的值求y的值，或已知y的值求x的值时，就是把问题转化为关于y或x的一元一次方程来求解. 一次函数与一元一次不等式 由于任何一个一元一次不等式都可以转化为ax＋b＞0或ax＋b＜0或ax＋b≥0或ax＋b≤0（a、b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数y＝ax＋b的值大于0（或小于0或大于等于0或小于等于0）时求相应的自变量的取值范围. 利用解一元一次不等式可确定相应的函数值对应的自变量的取值范围，具体的对应关系如下： 1.不等式kx＋b＞0（k≠0）的解集直线 y＝kx＋b（k≠0）在x轴上方的部分所对应的x的取值范围； 2.不等式kx＋b＜0（k≠0）的解集直线 y＝kx＋b（k≠0）在x轴下方的部分所对应的x的取值范围； 3.不等式kx＋b＞a（k≠0）的解集直线 y＝kx＋b（k≠0）在直线y＝a上方的部分所对应的x的取值范围； 4.不等式kx＋b＜a（k≠0）的解集直线 y＝kx＋b（k≠0）在直线y＝a下方的部分所对应的x的取值范围； 5.不等式k1x＋b1＞k2x＋b2（k1k2≠0）的解集直线 y＝k1x＋b1（k1≠0）在直线y＝k2x＋b2（k2≠0）上方的部分所对应的x的取值范围； 6.不等式k1x＋b1＜k2x＋b2（k1k2≠0）的解集直线 y＝k1x＋b1（k1≠0）在直线y＝k2x＋b2（k2≠0）下方的部分所对应的x的取值范围. 题型一 变量与常量 易｜错｜点｜拨 常量不一定是具体数字，也可以是固定字母（如 π、题目给定的常数）。 变量不止一个，变化过程中变化的量都叫变量，不要只写一个。 区分谁是自变量、谁是函数：一个自变量只能对应唯一函数值，否则不是函数关系。 实际问题中，变量往往有取值范围（非负、整数、有上下限等），容易漏写。 不要把 “不变的字母” 当成变量，如 y=kx 中，若 k 为定值，则k 是常量，x、y 是变量。 1．摄氏温度与华氏温度之间的对应关系为，则其中变量是________，常量是________. 【答案】 C,F 【分析】根据在一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量；数值始终不变的量称为常量，即可答题． 【详解】,则其中的变量是C,F,常量是， 故答案为C,F; ； 【点睛】此题考查常量与变量，解题关键在于掌握其定义 2．设路程为s km，速度为v km/h，时间为t h，指出下列各式中的常量与变量． (1)v＝； (2)s＝15t－2t2；   (3)vt＝100. 【答案】（1）见解析（2）见解析（3）见解析 【分析】根据常量与变量的性质进行作答. 【详解】(1)常量是60，变量是v，s (2)常量是15，－2，变量是s，t (3)常量是100，变量是v，t 【点睛】本题考查了常量与变量的性质，熟练掌握常量与变量的性质是本题解题关键. 3．写出下列各问题中的关系式中的常量与变量： （1）时针旋转一周内，旋转的角度n（度）与旋转所需要的时间t（分）之间的关系式n=6t； （2）一辆汽车以40千米/时的速度向前匀速直线行驶时，汽车行驶的路程S（千米）与行驶时间t（时）之间的关系式s=40t． 【答案】（1）常量：6；变量：n，t;（2）常量：40；变量：s，t． 【分析】根据在一个变化的过程中,数值发生变化的量称为变量;数值始终不变的量称为常.据此判断即可. 【详解】解：（1）∵n=6t， ∴常量是6，变量是n，t; （2）∵s=40t， ∴常量是40，变量是s，t. 题型二 函数的概念 易｜错｜点｜拨 判断函数只看一点：给一个 x，是否只有唯一一个 y 对应。多对一可以，一对多不是函数。 图像判断法：用竖线（垂直 x 轴）去截图像，最多一个交点才是函数，两个及以上就不是。 解析式里分母、根号易错： 分母≠0 二次根号下被开方数≥0容易漏写自变量取值范围。 别把 “常数函数” 当成不是函数：比如 y=3，每个 x 都对应唯一 y，是函数。 实际问题必带范围：时间、长度、人数等不能为负，取值范围不写直接扣分。 分清自变量和函数：题目问 “y 是不是 x 的函数”，只看 x→y 的对应关系，别搞反。 4．下列各图象中，不能表示是的函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数的定义：对于的每一个取值，都有唯一确定的值与之对应即可． 【详解】解：、对每一个的值，都有唯一确定的值与之对应，故是的函数，不符合题意； 、对每一个的值，并不是有唯一确定的值与之对应，故不是的函数，符合题意； 、对每一个的值，都有唯一确定的值与之对应，故是的函数，不符合题意； 、对每一个的值，都有唯一确定的值与之对应，故是的函数，不符合题意． 5．下列4个关系式中：① ② ③ ④，y不是x的函数的有_________个． 【答案】1 【分析】根据函数的定义，判断每个关系式中，对的任意一个确定的值，y是否有唯一确定的值与之对应，统计不满足条件的个数即可得到结果． 【详解】解：根据函数的定义，在一个变化过程中，有两个变量和，对于的每一个确定的值，都有唯一确定的值与之对应，则称是的函数， ① ，对于的每一个确定的值，有唯一确定的值与之对应，因此是的函数； ② ，对于的每一个不为的确定的值，有唯一确定的值与之对应，因此是的函数； ③ ，当取任意一个正数时，有两个不同的确定的值与之对应，因此不是的函数； ④ ，对于的每一个确定的值，有唯一确定的值与之对应，因此是的函数； 综上，不是的函数的有个． 6．下列是关于变量与的八个解析式：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧．其中不是关于的函数的是________________（填序号）． 【答案】②④⑦ 【分析】根据函数的定义：对于的每一个确定的值，都有唯一确定的值与之对应，据此逐一分析每个解析式． 【详解】解：①：对于每一个的值，都有唯一的值对应，是的函数； ②：当 取一个正数时，有两个值（正、负）与之对应，不满足“唯一确定”，不是的函数； ③，即：对于每一个的值，都有唯一的值对应，是的函数； ④，即：当取正数时，有两个值与之对应，不满足“唯一确定”，不是的函数； ⑤：对于每一个的值，都有唯一的值对应，是的函数； ⑥：对于每一个的值，都有唯一的值对应，是的函数； ⑦：当 取一个正数时，有两个值（正、负）与之对应，不满足“唯一确定”，不是的函数； ⑧，即：对于每一个不为的值，都有唯一的值对应，是的函数． ∴，不是的函数的是②④⑦． 故答案为：②④⑦． 【点睛】本题考查了函数的定义，解题关键是紧扣“对于的每一个确定值，有唯一确定的值对应”这一核心条件，判断每个解析式是否满足该要求． 题型三 自变量取值范围、函数值 7．在函数中，自变量的取值范围是_______． 【答案】 【分析】根据二次根式被开方数非负，分式分母不为零，列不等式组，即可得到自变量的取值范围． 【详解】解：根据题意可得， 解不等式，得，     解不等式，得， 综上，自变量的取值范围是． 8．小球从离地面为h（单位：m）的高处自由下落，落到地面所用的时间为t（单位：s）．经过实验，发现h与成正比例关系，且当时，．则当时，t的值是_________． 【答案】 【分析】根据与成正比例关系，利用待定系数法求出函数解析式，再将代入解析式求解的值． 【详解】解：设 ， 将，代入得： ， 解得， 因此函数解析式为， 当时，代入得， 整理得 ， 由时间为正数，得． 9．定义，即当时，；当时，，则_____． 【答案】 2027 【分析】先推导得到，且，据此对原式两两配对，再加上的值即可得到结果． 【详解】解：∵， ∴，， 原式 ． 题型四 函数的表示法 10．已知长方形的周长为，它的长为，宽为，则与之间的函数关系式为_________． 【答案】/ 【分析】本题考查列函数关系式，掌握长方形的周长公式是解题关键，根据长方形周长公式建立等式，整理得到与的函数关系式即可． 【详解】解：由长方形周长公式可得， 等式两边同除以得， 移项得． 11．若等腰三角形的周长为，底边长为，一腰长为，则与的函数解析式是_____ ，自变量的取值范围是_____ ． 【答案】 【分析】本题考查函数解析式，自变量的取值范围，等腰三角形的性质，三角形三边关系．根据等腰三角形的定义及三角形周长公式列出函数解析式，再结合三角形三边关系确定自变量x的取值范围，即可求解． 【详解】解：由题意可得，， 整理得：， 即． 根据题意可得：， 将代入， 得：， 解得， 又∵， ∴， ∴y与x的函数解析式是，自变量x的取值范围是． 12．吉林市松江桥安装的护栏平面示意图如图所示，假如每根立柱宽为0.2米，立柱间距为3米．设有根立柱，护栏总长度为米． (1)根据如图，将表格补充完整． 立柱根数（根） 1 2 3 4 5 …… 护栏总长度（米） 0.2 3.4 9.8 …… (2)在这个变化过程中，变量为___________，常量为___________； (3)写出与之间的关系式，并化简； (4)求护栏总长度为61米时立柱的根数． 【答案】(1)，13 (2)立柱根数和护栏总长度；3和0.2 (3) (4)20 【分析】（1）根据图示列出式子求解即可． （2）根据变量、常量的定义即可求解； （3）有x个立柱，则有个立柱间距，据此即可列函数关系式； （4）把代入函数解析式求解即可． 【详解】（1）解：立柱根数是3根时， ， 立柱根数是5根时， ， （2）解：在这个变化过程中，变量为：立柱根数和护栏总长度，常量为：3和0.2 （3）解：由题意得与之间的关系式为： ， 即． （4）当时， ， 解得． 答：护栏总长度为61米时立柱的根数为20． 题型五 平面直角坐标系 13．已知点，分别根据下列条件求点的坐标． (1)点在轴上； (2)点的坐标为，直线轴． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据点在轴上得到，求出，然后求解即可； （2）根据直线轴得到，求出，然后求解即可． 【详解】（1）解：∵点在轴上 ∴ ∴ ∴ ∴点的坐标为； （2）解：∵点的坐标为，直线轴 ∴ ∴ ∴ ∴点的坐标为． 14．如图，在平面直角坐标系中，已知，，且，满足． (1)______，______； (2)如果在第三象限内有一点，请用含的式子表示三角形的面积； (3)在（2）的条件下，当时，在轴上有一点，使得三角形的面积等于三角形的面积的，请求出点的坐标． 【答案】(1)，5； (2)； (3)点的坐标为或． 【分析】（1）根据非负数的性质作答即可； （2）先求出，，再根据三角形面积公式计算即可； （3）根据题意得到，设，则，根据三角形面积公式列绝对值方程求解即可． 【详解】（1）解：， ，， ，； （2）解：过点作轴于点， 由（1）得，， ，， ， 又点在第三象限， ， ； （3）解：当时，， ， 设，则， ， ， 解得或， 点的坐标为或． 15．在平面直角坐标系中，已知点，，． (1)在坐标系中描出点A、B、C的位置（无需画图，直接写出坐标对应位置描述即可）； (2)求的面积； (3)若将向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到，写出点、、的坐标． 【答案】(1)点A在第二象限，点B在第一象限，点C在第四象限 (2)的面积 (3)，， 【分析】（1）根据坐标判断其象限即可； （2）根据点坐标，可知轴，，接着直接利用面积公式计算即可； （3）根据平移规则写出坐标即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴点A在第二象限，点B在第一象限，点C在第四象限． （2）解：如图， ∵点，，， ∴ 轴，，点C到的距离为， ∴ 的面积 ． （3）解：平移规律：向右平移2个单位，横坐标加2；向下平移1个单位，纵坐标减1， ，，． 题型六 坐标的平移问题 16．如图，在平面直角坐标系中，A、B、C三点的坐标分别为、、． (1)画出三角形，并求其面积； (2)如图，是由经过平移得到的．已知点为内的一点，则点P在内的对应点的坐标是_____________． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据点的坐标画出三角形即可，利用割补法求出三角形面积即可； （2）利用平移变换的性质求解即可． 【详解】（1）解：的面积； （2）解：由点，可得平移方式为：先向右平移4个单位，再向下平移3个单位， 所以，点的坐标是． 17．在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别是，，． (1)在平面直角坐标系中画出； (2)平移，使点B与点O重合，，分别是A，C的对应点，请写出，的坐标； (3)已知是上一点，求平移后的对应点的坐标． 【答案】(1)见解析； (2)见解析，，； (3) 【详解】（1）解：即为所求作； （2）由题意，平移得， 故， （3）由题意可知，向左平移1个单位，向下平移1个单位使点B与点O重合，故点平移后对应点坐标． 18．如图，在平面直角坐标系中点在轴的正半轴上，点的坐标为，点的坐标为的面积为15． (1)求出点的坐标； (2)线段是由线段平移所得，其中点与点对应，点与点对应，与轴的交点为点，求的长； (3)在（2）的条件下，若点为轴上的一个动点，且点的横坐标为，并且满足，请写出的取值范围___________． 【答案】(1)； (2)； (3)或． 【分析】（1）首先根据题意确定的长度，结合三角形面积公式计算的长度，即可获得答案； （2）根据平移的性质，可得，然后结合求解即可； （3）首先确定点的纵坐标为，结合题意可得，进而可得，根据的面积为15建立关于t的不等式并整理，可得，然后分情况讨论，即可获得答案． 【详解】（1）解：∵点的坐标为，点的坐标为， ∴， ∵的面积为15，即， ∴，解得， ∵点在轴的正半轴上， ∴； （2）解：∵点的坐标为， ∴， ∵线段是由线段平移所得， ∴， ∵， ∴， 即， 解得； （3）解：由（2）可知，， ∴， ∴点的纵坐标为， ∴点的纵坐标为， ∵点为轴上的一个动点，且点的横坐标为， ∴， ∴， 若，可得， 整理可得， 当时，可得，解得， 当时，可得，解得， 综上所述，的取值范围为或． 【点睛】解题的关键是运用数形结合的思想和分类讨论的思想分析问题，避免遗漏． 题型六 坐标的平移问题 题型七 描点法画函数图象 易｜错｜点｜拨 三步不能乱：列表 → 描点 → 连线，顺序错、步骤漏直接扣分。 列表易错 取值太少、太密或只取正数，图像画不全。 实际问题要按自变量范围取点，不能超出范围。 描点易错 横纵坐标搞反（先 x 后 y），点的位置画错。 小数、分数点估算不准，导致图像变形。 连线易错 用折线连、画成折线图，正确应为平滑曲线 / 直线。 该延伸的不延伸，不该延伸的乱画出头。 细节扣分点 不标坐标轴、不标单位、不写函数解析式。 端点空心、实心分不清：有等号实心，无等号空心。 19．问题：探究函数的图象与性质．小东根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究． 下面是小东的探究过程，请补充完整： (1)在函数中，自变量x可以是任意实数； 下表是y与x的几组对应值． x … 0 1 2 3 4 … y … 6 5 n 3 2 1 2 3 m … ①求m，n的值； ②在平面直角坐标系中，描出上表中各对对应值为坐标的点．并根据描出的点，画出该函数的图象； (2)结合函数图象，直接写出y的最小值__________． 【答案】(1)①4；4；②函数图象如图： (2)1 【分析】（1）①把分别代入函数解析式，求出y的值即可得到；②在坐标系内描出各点，再顺次连接即可； （2）根据函数图象即可得出结论． 【详解】（1）解：①当时，， 当时，， ②略 （2）解：根据函数图象得时，有最小值． 20．探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画出函数图像，观察分析图像特征，概括函数性质的过程．结合已有的学习经验，请画出函数的图像并探究该函数的性质． (1)函数的自变量的取值范围是 ，的取值范围是 ． (2)绘制函数图像 ①列表：下表是与的几组对应值，其中 ； … 0 1 2 3 4 5 … … 1 2 3 6 3 2 1 … ②描点：根据表中的数值描点； ③连线：用平滑的曲线顺次连接各点，画出函数图像． (3)探究函数性质 写出函数的两条性质： ， ． (4)运用函数图像及性质 ①观察你所画的函数图像，回答问题：若点，为该函数图像上不同的两点，则 ； ②根据函数图像，写出时自变量的取值范围 ． 【答案】(1)全体实数； (2)①；②描点如图③作图如图 (3)当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小（答案不唯一） (4)①0 ；②或 【分析】（1）根据绝对值的性质求解自变量的取值范围； （2）①将代入函数解析式求解即可； ②根据表格的点的坐标描点即可； ③根据描点连线作图即可． （3）根据图像得到函数的性质即可． （4）①将与代入函数解析式求解即可； ②令，求解出的值，结合函数图像求解范围即可． 【详解】（1）解：∵，则， ∴分母不会为零，故自变量的取值范围是全体实数， ∵， ∴，即， ∴的取值范围是． （2）解：①将代入中，即， 故； ②③略 （3）解：略． （4）解：①∵点，为该函数图像上不同的两点， ∴，， ∴； ②令，则， 可得，即，解得， 由图像可知，时自变量的取值范围是当或． 21．画出函数的图象． … … … … (1)根据列表， ． (2)根据列表，在如图所示的平面直角坐标系中描点并连接． (3)若点在函数的图象上，求出的值． 【答案】(1) (2)见解析 (3)5 【分析】（1）将值代入求解即可得到答案； （2）根据表描点，连线即可得到答案； （3）将点代入求解即可得到答案． 【详解】（1）解：当时，， ∴； （2）解：描点并连接，画出图象如下： （3）解：∵点在函数的图象上， ∴， 解得：． 题型八 一次函数基本概念 22．在平面直角坐标系中，有一点． (1)若点在轴上，求点的坐标； (2)将点向左平移6个单位得到点，若点在直线上，求点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据坐标轴上点的坐标特征列出方程求解； （2）根据平移的性质以及函数解析式求解． 【详解】（1）解：点在轴上， ， ， ， 点的坐标为； （2）解：点向左平移6个单位得点， 点的坐标为， 点的坐标为在图像上， ， ， ， 点的坐标为． 23．已知y与成正比例函数关系，且当时，． (1)求出y与x之间的函数解析式； (2)若点在这个函数的图象上，求a的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据正比例的定义设，将把，代入求出即可； （2）把点代入即可求解． 【详解】（1）解：∵y与成正比例函数关系， ∴设， 把，代入得，， 解得， ∴； （2）解：把代入，得 解得． 24．已知与成正比例，且当时，； (1)求出与之间的函数关系式； (2)当时，求的值； (3)当时，求的值． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】（）利用待定系数法求函数的解析式即可； （）把代入解析式，便可求出的值； （）把代入解析式，便可求出的值． 【详解】（1）解：∵与成正比例， ∴设， ∴，解得：， ∴， ∴与之间的函数关系式； （2）解：把代入得，； （3）解：把代入得，， ∴． 题型九 正比例函数基本概念 25．已知与成正比例，且当时，，求： (1)与的函数关系式； (2)当时，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据成正比例的定义，设，然后把已知的一组对应值代入求出的值，从而得到与的函数关系式； （2）利用（1）中的关系式，求出函数值为所对应的自变量的值即可． 【详解】（1）解：设， 把代入得， 解得， ， 与的函数关系式为； （2）解：当时，， 解得． 26．已知正比例函数 的图象经过点． (1)求这个函数的解析式； (2)画出这个函数图象； (3)判断点，是否在这个函数图象上． 【答案】(1) (2)见解析 (3)点不在函数图象上；点在函数图象上 【分析】（1）将代入解析式，即可求解； （2）过原点和画出函数图象即可求解； （3）分别将，，代入解析式，求得函数值，即可求解． 【详解】（1）解：正比例函数()的图象经过点， ， 解得：， 这个函数的解析式为：． （2）当时， 如图： （3）将，代入中，得 ， 点不在函数图象上； 将 ，代入中，得， 点在函数图象上 27．已知y与x成正比例，当时，． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)请判断点是否在这个函数的图象上，并说明理由． (3)如果，是这个函数图象上的两点，请比较与的大小． 【答案】(1) (2)点不在这个函数的图象上． 理由如下：将代入，得， 所以点不在这个函数的图象上． (3) 【分析】（1）根据题意，设，将，代入求解即可； （2）将代入函数解析式，求得，即可求解； （3）根据可得y随x的增大而减小，再根据横坐标的大小关系，即可求解． 【详解】（1）解：已知y与x成正比例可得，设y与x的函数关系式为， 将，代入，得， 所以y与x之间的函数关系式为． （2）略 （3）∵，， ∴y随x的增大而减小． ∵，是这个函数图象上的两点，且， ∴． 【点睛】本题考查了正比例函数的性质，解题的关键是正确求得正比例函数的解析式以及掌握正比例函数的性质． 题型十 正比例函数的图象与性质 易｜错｜点｜拨 解析式：y=kx（k=0），必过原点 (0,0)，容易漏写 k=0。 图象形状：是一条过原点的直线，不是射线、线段。 象限与增减性 k>0：过一、三象限，y 随 x 增大而增大 k<0：过二、四象限，y 随 x 增大而减小 ∣k∣ 意义：∣k∣ 越大，直线越靠近 y 轴，越陡。 易错点 把 “y 随 x 增大而增大” 说成 “x 随 y 增大而增大” 忽略 k=0，导致判断出错 只看象限不看增减，或只看增减不看象限 28．在所给的平面直角坐标系中画出函数的图象．（先填写下表，再描点、连线）    【答案】 函数图象如图：    【分析】本题考查用列表法画正比例函数图象，解题思路为将已知值代入函数解析式求出对应值完成填表，再根据得到的点的坐标在坐标系中描点，最后连线即可得到函数图象，即可求解． 【详解】略 29．已知，且y是关于x的正比例函数． (1)求y关于x的函数关系式； (2)已知点，点B在该函数图象上，若的面积为4，求点B的坐标． 【答案】(1) (2)点的坐标为或 【分析】（1）根据正比例函数的定义，得到的次数为，系数不为，求解的值后代入即可得到函数关系式； （2）先确定的长度，利用三角形面积公式求出点纵坐标的绝对值，再代入函数解析式求出横坐标，即可得到点的坐标． 【详解】（1）解：是关于的正比例函数， ， 由得， 解得 又，即， 代入得； （2）由题意得，为坐标原点，， ， 设点的坐标为， ， ，代入得， 解得，即或， 当时，代入得， 解得，此时； 当时，代入得， 解得，此时． 综上，点的坐标为或． 30．已知：正比例函数的图像经过点，过图像上一点作轴的垂线，垂足为，求的面积． 【答案】36 【分析】先设出正比例函数解析式，利用已知点坐标求出函数解析式， 再根据垂直于轴的直线上点的坐标特征得到点的纵坐标，最后利用三角形面积公式计算得到结果． 【详解】设正比例函数解析式为（）， 将点 代入解析式得：， 解得 ， ∴正比例函数解析式为 ， ∵ 轴，垂足为 ， ∴点 的纵坐标为， 将 代入得 ：， 解得， ∴点坐标为 ， ∴，， ∴ ． 题型十一 一次函数的解析式 易｜错｜点｜拨 标准形式：y=kx+b（k=0），最容易漏掉 k=0 这个条件。 正比例函数是特殊一次函数：b=0 时为 y=kx，别把二者混淆。 求解析式核心方法：待定系数法 设：设 y=kx+b 代：代入两点坐标 解：解方程组求k、b 写：写出解析式 易错点 只给一个点就想求完整解析式（至少要两个点） 代入坐标时横纵坐标弄反 计算k、b时符号、分数出错 实际问题忘记写自变量取值范围 特殊情况 平行直线：k 相等，b 不等 过原点：b=0，是正比例函数 31．已知直线（为常数，且）经过点，求的值及直线与坐标轴的交点坐标． 【答案】；直线与轴的交点坐标为，与轴的交点坐标为． 【分析】先将已知点的坐标代入直线解析式求出的值，再分别令、，求出直线与坐标轴的交点坐标． 【详解】解：把点代入中， 得，解得， 所以直线的函数解析式为， 当时，， 当时，， 则直线与轴的交点坐标为，与轴的交点坐标为． 32．已知一次函数的图象经过点和点． (1)求该一次函数的解析式； (2)判断点是否在该一次函数的图象上，并说明理由． 【答案】(1) (2)点C在该一次函数的图象上，理由见解析 【分析】（1）利用待定系数法求解； （2）将代入，根据计算得到的y值与的纵坐标是否相等进行判断． 【详解】（1）解：设该一次函数的解析式为， 将点和点代入，得：， 解得， 故该一次函数的解析式为； （2）解：点C在该一次函数的图象上．理由如下： 将代入，得： ∵计算得到的y值与的纵坐标相等， 点C在该一次函数的图象上． 33．如图，直线：与轴相交于点，与轴相交于点．直线与轴相交于点，直线轴，交直线于点，且． (1)求点、点的坐标； (2)求直线的解析式． 【答案】(1)点的坐标为，点的坐标为 (2) 【分析】（1）点在轴上，纵坐标为0，点在轴上，横坐标为0，根据此特点和直线解析式可求出点、点的坐标； （2）根据证明出，从而求出点、坐标，从而利用待定系数法求出直线的解析式． 【详解】（1）解：已知直线：与轴相交于点，与轴相交于点． 令，得， 故点的坐标为． 令，即，得， 故点的坐标为． （2）解：过点作轴于点， 轴且交直线于点， ， 四边形是矩形， 点的坐标为， 点的纵坐标为3， ， ， 在和中，有， ， ， 点，点， ，故点， 设直线的解析式为（），把点，点代入，得： ， 解得， 直线的解析式为． 题型十二 已知函数经过的象限求参数范围 易｜错｜点｜拨 根据 k、b 的符号，判断直线经过的象限，反之由经过的象限确定 k、b 的取值范围。 34．已知一次函数． (1)当为何值时，函数图象经过原点； (2)当为何值时，图象经过第二、三、四象限． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意得到，然后求解即可； （2）根据题意得到，然后求解即可． 【详解】（1）解：∵函数图象经过原点， ∴ 解得； （2）解：∵函数图象经过第二、三、四象限， ∴， 解得． 35．若两个一次函数（），（），则称函数为这两个函数的组合函数． (1)一次函数与的组合函数为_____； (2)若一次函数，的组合函数为，则_____，_____； (3)若一次函数与的组合函数的图象经过第一、二、四象限，求k、b的取值范围． 【答案】(1) (2)4， (3)且， 【详解】（1）解：由组合函数定义可得，一次函数与的组合函数为； （2）解：由组合函数定义可得，一次函数，的组合函数为， ∴， 解得； （3）解：∵一次函数， ∴， 由组合函数定义可得，一次函数，的组合函数为， ∵组合函数的图象经过第一、二、四象限， ∴， 解得，， 综上所述，且，． 36．已知一次函数，求： (1)为何值时，图象经过第一、三、四象限？ (2)若函数图象经过原点，求m的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了一次函数图象与系数的关系，一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数图象上各点一定适合此函数的解析式是解答此题的关键． 对于，根据一次函数的性质列出关于m的不等式组，求出m的取值范围即可； 对于，直接把代入求出m的值即可． 【详解】（1）解：∵这个函数的图象经过第一、三、四象限， ∴， 解得； （2）解：∵这个函数的图象经过原点， 当时，， 即， 解得 题型十三 一次函数图形与坐标轴的交点问题 易｜错｜点｜拨 求与 y 轴交点代 x=0，求与 x 轴交点代 y=0，注意坐标顺序与符号易错。 37．如图，直线与轴、轴分别交于点、，以为底边在轴右侧作等腰，将点向左平移9个单位，若其对应点在直线上，点的坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先利用一次函数图象上点的坐标特征求出点的坐标，根据等腰三角形三线合一的性质得出点的纵坐标，再结合平移规律和一次函数解析式求出点的横坐标． 【详解】解：当时，， 点的坐标为， ， 是以为底边的等腰三角形， 点的纵坐标为， 将点向左平移个单位得到点， 点的纵坐标为， 点在直线上， 当时，，解得， 点的坐标为， 点的横坐标为， 点的坐标为． 38．如图直线分别交轴、轴于点，点为坐标原点，若以点，，为顶点的三角形与全等，（点不与点重合），则点的坐标为_____． 【答案】或或 【分析】先得出，，再根据以点，，为顶点的三角形与全等，（点不与点重合），分三种情况讨论即可． 【详解】解：直线分别交轴、轴于点， 当时，即，解得，； 当时，， ，， ，． 若以点，，为顶点的三角形与全等，（点不与点重合），则分情况如下： ①当，且点在点右侧时，如图所示： 则， ． ， ； ②当时，如图所示： 则， ， ； ③当，且点在点左侧时，如图所示： 则， ． ， ． 综上，点的坐标为或或． 39．已知一次函数的图象经过，两点． (1)求，的值； (2)若一次函数的图象与轴的交点为，求一次函数的图象与坐标轴围成三角形的面积； (3)当时，求的取值范围． 【答案】(1)，； (2)； (3)． 【分析】（）利用待定系数法即可求解； （）由（）得，，即，然后求出，则，同理，再根据面积为即可求解； （）由（）知一次函数表达式为，由，则随的增大而增大，所以通过当时，，当时，，即可求出的取值范围． 【详解】（1）解：把，两点坐标代入， 得， 解得； （2）解：由（）得，，即， 把代入，得， 解得； ∴， ∴， ∵， ∴， ∴图象与坐标轴围成的面积为； （3）解：由（）知，一次函数表达式为：， ∵， ∴随的增大而增大， 当时，，当时，， ∴当时，， ∴的取值范围为． 题型十四 一次函数图象平移问题 易｜错｜点｜拨 左加右减自变量，上加下减常数项，平移不改变 k 值。 40．直线经过和与直线：交于点P，直线，与x轴，，分别交于点A，B，C． (1)求直线解析式； (2)将直线向上平移4个单位得直线，直接写出直线的解析式； (3)①若点B，C关于点A对称，求n值； ②若直线与直线，不能围成三角形，直接写出n值． 【答案】(1)直线解析式为； (2)直线的解析式为； (3)①；②． 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）根据平移的性质即可求解； （3）①求得，，根据题意得，据此计算即可求解； ②由题意知直线经过交点，联立求得点的坐标，据此求解即可． 【详解】（1）解：设直线解析式为， 将和代入得， 解得， ∴直线解析式为； （2）解：将直线：向上平移4个单位得直线， 则直线的解析式为； （3）解：①由题意得，， ∵点，关于点对称， ∴， 解得； ②∵直线与直线，不能围成三角形， ∴直线经过交点， 联立得， 解得， ∴当时，直线与直线，不能围成三角形． 41．已知一次函数，当时，；当时，． (1)在所给坐标系中画出一次函数的图象； (2)求，的值； (3)若点，在该函数的图象上，请比较与的大小． (4)将一次函数的图象向上平移个单位长度，求所得到新的函数图象与轴、轴的交点坐标． 【答案】(1)一次函数图象如图所示． (2) (3) (4)与x轴、y轴的交点坐标分别为， 【分析】（1）描出点，，根据两点确定一条直线，即可画出图形； （2）采用待定系数法求解即可； （3）一次函数的图象是一条直线，当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小； （4）根据一次函数的平移规律：上加下减，左加右减，先求得平移后的函数表达式，即可求得答案． 【详解】（1）略 （2）解：当时，，当，，可得 ． 解得． （3）解：由（2）可知一次函数， ∵， ∴随的增大而增大． ∵点，在该函数的图象上，， ∴． （4）解：∵将一次函数的图象向上平移2个单位长度，可得到新的一次函数的表达式为， 令，则；令，则，解得， ∴该新的函数图象与x轴、y轴的交点坐标分别为，． 42．已知：与成正比例，且当时，y的值为4． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)若点、点是该函数图象上的两点，其中，试比较、的大小，并说明理由； (3)将所得的函数图象平移，使它经过点，求平移后的函数解析式． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3) 【分析】（1）设，再将，代入计算即可得出结果； （2）由（1）可得，由，得出随着的增大而增大，由一次函数的性质即可得出结果； （3）设平移后的函数解析式为，将代入解析式计算即可得出结果． 【详解】（1）解：∵与成正比例， ∴设， ∵当时，y的值为4， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： 由（1）可得， ∵， ∴随着的增大而增大， ∵点、点是该函数图象上的两点，且， ∴； （3）解：设平移后的函数解析式为， 将代入解析式可得， 解得， ∴平移后的函数解析式为． 题型十五 一次函数的增减性求参数 易｜错｜点｜拨 由 y 随 x 的增减直接判断 k 的符号，进而求出参数范围。 43．已知是的一次函数，其图象经过点，． (1)求这个函数的表达式． (2)当时，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）运用待定系数法求解即可； （2）分别求出时和时的函数值，根据函数的增减性即可求解． 【详解】（1）解：∵是的一次函数， ∴设该函数的表达式为， ∵其图象经过点，， ∴，解得， ∴这个函数的表达式为． （2）解：当时，， 当时，， ∵函数中，， ∴y随x的增大而增大， ∴当时，． 44．一次函数，求： (1)m为何值时，y随x增大而增大？ (2)m，n为何值时，函数图象与y轴的交点在x轴的下方？ (3)若，时，求一次函数与两坐标轴所围成的三角形的面积． 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】（1）根据一次函数性质得，然后解不等式； （2）根据一次函数图象与系数的关系得到，，然后解两个不等式； （3）先确定一次函数解析式，然后利用x轴和y轴上点的坐标特征求一次函数与坐标轴的交点坐标，从而利用三角形面积公式计算． 【详解】（1）解：当时，即， y随x的增大而增大； （2）解：当，时， 即，，函数图象与y轴的交点在x轴下方； （3）解：，， 一次函数为， 当时，，则一次函数与y轴的交点为； 当时，，解得，则一次函数与x轴的交点坐标为， ∴一次函数与两坐标轴所围成的三角形的面积：． 45．已知关于的一次函数． (1)若该一次函数的图象过，求一次函数表达式： (2)当该一次函数的随的增大而减小，且图象经过第三象限时，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）理解题意，直接把代入计算，即可作答． （2）结合一次函数的性质以及一次函数的随的增大而减小，且图象经过第三象限，列出不等式组，再解得，即可作答． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象过， ∴， ∴， 解得． ∴． （2）解：∵该一次函数的随的增大而减小，且图象经过第三象限， ∴， ∴． 题型十六 比较一次函数值的大小 46．一次函数的图象经过点，，，且，则的值可能为（　　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据已知不等式判断一次函数的增减性，得到的取值范围，再代入点的坐标求出的范围，最后结合选项得到答案． 【详解】解：， 与异号， 随增大而减小， 一次函数中， 把代入函数解析式得：， ， ， ， 的值可能为． 47．如果点，都在一次函数的图象上，那么______．（填“＞”或“＜”） 【答案】 ＜ 【详解】解：在一次函数中， ， 随的增大而减小， 点，都在该一次函数的图象上，且， . 48．已知∶ 且与x成正比例，与成正比例，当时，，当时，． (1)求出y与x之间的函数关系式： (2)点, 点在的图像上，当时，请比较与的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先设，，推导出，整理得，将和分别代入上式，求出 ，得到，即可解答； （2）由(1)可知，是一次函数，且一次项系数，进而根据一次函数的性质比较和的大小即可． 【详解】（1）解：与成正比例， 设， 整理得， 与成正比例， 设， ， ， 整理得， 将和分别代入上式， 得方程组： 解得 ， 将代入，得， 即与之间的函数关系式为． （2）解：由(1)可知，是一次函数，且一次项系数， 随的增大而增大， ， ． 题型十七 一次函数的规律探究问题 49．在平面直角坐标系中，点P从出发，按“上1、右1、下2、右1、上3、右1、下4、右1……”的规律移动（即：第1次向上移动1个单位，第2次向右移动1个单位，第3次向下移动2个单位，第4次向右移动1个单位，以此类推，如图），若第n次移动后，点P恰好落在直线上，则满足条件的所有n的和（   ） A．5 B．8 C．13 D．21 【答案】C 【分析】根据已知条件和图形可以发现：对于点P，在移动方向上“每移动4次为一个周期”，同时两个相邻周期内同一个位置上两点的坐标有关联．然后结合坐标系表示出这些点的坐标，再代入直线即可确定满足条件的点． 【详解】解：点P第n次移动后记为，结合图形可以发现，点P“每移动4次为一个周期”，按着“上、右、下、右……”的规律移动，这四个位置的点分别用表示，其中k取自然数． 如图，观察的坐标可以发现，后一个点的横坐标总比前一个点的横坐标多2，纵坐标多1，因为，所以的坐标为．若点在直线，则有，解得，此时． 根据同一个周期内四个点的坐标关系，易知的坐标为、的坐标为，的坐标为． 若，，点在直线，则有 ①，解得，此时不是整数，不满足题意； ②，解得，此时不是整数，不满足题意； ③，解得，此时； 综上可知，满足条件的n的值为5和8， 所以满足条件的所有n的和为． 【点睛】本题考查了平面直角坐标系内点的坐标规律、一次函数．掌握图形规律题的常见类型，如差不变、比不变、周期等；能够结合图形，最终把几何问题转化为代数问题是解题的关键． 50．正方形，，按如图所示的方式放置，点，，和点，，，分别在直线（）和轴上，已知点，点的坐标是________． 【答案】 【分析】首先求出，根据待定系数法，可得直线的解析式，然后求出，，，，得到点Q横纵坐标的规律，进而求解即可． 【详解】解：∵ ∴， ∴ ∴ 将代入，得 ∴直线的解析式是 将代入 ∴， ∴，， ∴， 同理可得，， ．．．．．．， ∴． ∴点的坐标是． 51．如图，直线与y轴相交于点，过点作x轴的平行线交直线于点，过点作y轴的平行线交直线于点，再过点作x轴的平行线交直线于点，过点作y轴的平行线交直线于点，依此类推，得到直线上的点，与直线上的点． （1）的纵坐标为_____； （2）的长为_____（用含有n的式子表示）． 【答案】 2 【分析】本题考查了一次函数的性质及点的坐标求解． （1）先求出的坐标，再根据平行于x轴求出的纵坐标； （2）通过求出前几个的长度，找出规律，进而得到的表达式． 【详解】解：（1）∵平行于x轴， ∴点的纵坐标与点的纵坐标相同， 当时，， ∴， ∴点的纵坐标为2， 故答案为：2； （2）把代入，得， 解得， ∴， 把代入，得， ∴， ∴， 把代入，得， 解得， ∴， 把代入，得， ∴， ∴， 通过观察可得：，， ∴， 故答案为：． 题型十八 一次函数与方程 52．如图，一次函数（为常数）的图象与轴交于点，与一次函数的图象交于点，设点的横坐标为． (1)当时，求的值和点的坐标． (2)当时，求的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）将 代入 得 ，代入 解得 ，令 得 ； （2）联立 与 得交点横坐标 ，由 得 ，解得 . 【详解】（1）解：由题意，点是一次函数上的点，且横坐标为， 将代入，可得， 点的坐标为； 将 代入 ，可得，解得． 点是一次函数与轴的交点，此时， 代入，可得，解得， ． （2）联立两个一次函数：， 令，解得， 即交点的横坐标， ， ， ， 的取值范围为． 53．如图直线：经过点，．若直线：与直线相交于点M，与x轴相交于点D． (1)求直线的函数解析式； (2)连接，求的面积． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）利用待定系数法即可求出答案； （2）求出和，根据进行解答即可． 【详解】（1）解：将，代入得， ，解得，， ∴直线的表达式为； （2）解：联立， 解得，， ∴， 当时，， 解得，， ∴， ∴， ∴． 54．如图所示，在同一坐标系中一次函数和的图象，分别与x轴交于点A、B，两直线交于点C，已知点A坐标为，点B坐标为，观察图象并回答下列问题： (1)关于x的方程的解是 ，关于x的不等式的解集是 ． (2)若点C坐标为，关于x的不等式的解集是 ． (3)在（2）的条件下，求四边形的面积． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）利用一次函数上的点，其纵坐标为值，横坐标为值得到答案． （2）根据一次函数图象的所求图象在某点的左侧，则小于该点的横坐标，在某点的右侧，则大于该点的横坐标得到答案． （3）根据点的左边，得出对应线段的长度，用割补法求出答案． 【详解】（1）解：∵一次函数过点， ∴当时，； ∵一次函数过点， ∴当时，， 根据图象可知，当时，一次函数的图象在点的右侧， ∴． （2）解：由图象可知当时，一次函数在点的右侧， ∴， ∵点时一次函数和的交点， ∴当时，两个一次函数的函数值相等， 当时，图象在点的左侧， ∴， 综上所述，． （3）解：∵一次函数过点和点， ∴将两点代入到一次函数中， ， 解得，一次函数表达式为：， 令，解得，即点， 如图所示，过点作垂直于轴交轴于点， 由题意知：， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式的综合问题，解题关键是能将点的坐标与一次函数的关系理清楚． 题型十九 一次函数与不等式 55．已知一次函数的图象经过点． (1)求一次函数的表达式； (2)画出一次函数的图象； (3)点在直线上，那么m_____n（填“＞”或“＜”号）； (4)结合图象回答：当时，x的取值范围是________________． 【答案】(1) (2)解：如图所示，直线即为所求； (3) (4) 【分析】（1）根据待定系数法进行求解即可； （2）先在平面直角坐标系中描出点，再连接成直线即可； （3）根据一次函数的图象与性质进行求解即可； （4）根据一次函数的图象与性质进行求解即可． 【详解】（1）解：将代入，得 ， 解得， ∴一次函数的表达式为； （2）略 （3）解：∵， ∴一次函数的y随着x的增大而减小， ∵点在直线上，且， ∴； （4）解：由图象，可得 当时，． 56．已知函数 (1)填表，并画出这个函数的图象： … 0 ________ … … ________ 0 … (2)根据你画的图象，写出该函数图象的一条性质：________． (3)根据函数的性质或图象，直接写出取________时，． 【答案】(1)见解析 (2)y随x的增大而减小（答案不唯一） (3) 【分析】（1）先列表，再描点，连线画出对应的函数图象即可； （2）根据函数图象可得答案； （3）求出时，x的值，再根据函数图象可得答案． 【详解】（1）解： … 0 2 … … 4 0 … 函数图象如下所示： （2）解：由函数图象可知，y随x的增大而减小（答案不唯一）； （3）解：当时，， ∴由函数图象可得当，． 57．在平面直角坐标系中，函数的图象由函数的图象平移得到，且经过点． (1)求出这个函数的表达式，并在坐标系中画出该函数的图象； (2)直接写出该函数图象与两坐标轴围成的三角形的面积； (3)当时，对于的每一个值，函数的值大于函数的值，直接写出的取值范围． 【答案】(1)；函数图象，如图所示： (2) (3) 【分析】（1）根据平移得到，再将，代入解析式即可得解； （2）求出直线与x轴的交点，然后求出三角形的面积即可； （3）根据题意，可得时直线在直线的上方，利用图象法求出的取值范围即可． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象由函数的图象平移得到， ∴， ∴， 把点代入得： ， 解得：， ∴这个一次函数的解析式是； 把代入得：， ∴直线与y轴的交点为， 过点，画出函数图象，函数图象略； （2）解：把代入得：， 解得：， ∴直线与x轴的交点为， ∴该函数图象与两坐标轴围成的三角形的面积为：； （3）解：由题意，得时直线在直线的上方， 当时，， 把代入，得，解得， 如图： ∴当时，对于的每一个值，函数的值大于函数的值． 题型二十 分配方案问题 58．某景区需要购买A、B两种型号的帐篷，已知用2400元购买A种帐篷的数量与用4000元购买B种帐篷的数量相等，且B种帐篷的单价比A种帐篷的单价多400元． (1)求A、B两种帐篷的单价各多少元？ (2)若该景区需要购买A、B两种型号的帐篷共28顶（两种型号的帐篷均需购买），且购买B种型号帐篷的数量不少于A种型号帐篷数量的，则购买A、B两种型号的帐篷各多少顶时，总费用最低？最低总费用是多少元？ 【答案】(1)A种帐篷的单价为600元，B种帐篷的单价为1000元 (2)当购买A种帐篷21顶，B种帐篷7顶时，总费用最低，最低总费用为19600元 【分析】（1）设A种帐篷的单价为x元，则B种帐篷的单价为元．根据题意列出分式方程，解方程即可得出结果； （2）设购买A种帐篷m顶，则B种帐篷顶，总费用为W元．根据题意求出，表示出，再结合一次函数的性质即可得出结果． 【详解】（1）解：设A种帐篷的单价为x元，则B种帐篷的单价为元． 由题意得：， 解得： 经检验：符合题意， ， 答：A种帐篷的单价为600元，B种帐篷的单价为1000元． （2）解：设购买A种帐篷m顶，则B种帐篷顶，总费用为W元． 由题意得：， 解得：． 又两种型号的帐篷均需购买，即为正整数， ， ， W随m的增大而减小， 当时，W取最小值，，此时， 答：当购买A种帐篷21顶，B种帐篷7顶时，总费用最低，最低总费用为19600元． 59．综合与实践 背景 第十五届运动会的吉祥物“喜洋洋”和“乐融融”，以珠江口栖息的中华白海豚为原型，头顶木棉红、紫荆紫和莲花绿三朵小水花，寓意广东、澳门和香港三地同心，传递团结拼搏与团圆和美的愿景． 图片 素材一 某中学准备举行“第十五届全运会”知识竞赛活动，拟购买30套吉祥物“喜洋洋”和“乐融融”作为竞赛奖品，某商店有甲、乙两种规格，其中乙规格比甲规格每套贵20元． 素材二 用700元购买甲规格与用900元购买乙规格的数量相同 素材三 购买甲规格数量不超过乙规格数量的2倍 问题一 (1)甲、乙两种规格每套吉祥物的价格分别是多少？ 问题二 (2)如何购买才能使总费用最少？ 【答案】(1)甲规格每套吉祥物70元，乙规格每套吉祥物90元 (2)购买甲规格的20套，乙规格的10套时，使总费用最少 【分析】本题考查分式方程、一元一次不等式、一次函数的应用，根据已知条件列出分式方程和不等式，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键． （1）设甲规格每套吉祥物x元，则乙规格每套吉祥物元，根据题意列出分式方程，解方程即可，注意检验是否为分式方程的解； （2）设甲规格购买了y套，乙规格购买了套，购买的总费用，根据题意列出不等式，求出购买的总费用，利用一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设甲规格每套吉祥物x元，则乙规格每套吉祥物元， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的根， 则， 答：甲规格每套吉祥物70元，乙规格每套吉祥物90元； （2）解：设甲规格购买了y套，乙规格购买了套，购买的总费用， 根据题意可得：， 解得：， 则购买的总费用是， ， 随着y的增大而减小， 当时，最少费用是（元）， 此时（套）， 答：购买甲规格的20套，乙规格的10套时，使总费用最少． 60．【问题背景】2026年4月23日是第31个“世界读书日”，为给师生提供更加良好的阅读环境，学校决定扩大图书馆面积，增加藏书数量，现需购进30个书架用于摆放书籍． 【素材呈现】 素材一：有A，B两种书架可供选择，A种书架的单价比B种书架单价高10%； 素材二：用17600元购买A种书架的数量比用10000元购买B种书架的数量多6个； 素材三：A种书架数量不少于B种书架数量的． (1)问题一：求出A，B两种书架的单价； (2)问题二：设购买个A种书架，购买总费用为w元，求w与a的函数关系式，并求出费用最少时的购买方案． 【答案】(1)A，B两种书架的单价分别为1100元，1000元 (2)w与a的函数关系式为，费用最少时购买A种书架12个，B种书架18个 【分析】（1）设B种书架的单价为x元，则A种书架的单价为元．根据购买书架所花费用÷书架单价=购买书架的数量，建立分式方程，解方程并检验，最后得出答案； （2）根据购买的书架单价×购买数量=购买书架所花费用，并将两种书架的费用相加，即可得到w与a之间的函数关系式，整理后，根据一次函数的增减性得到w随着a的增大而增大，结合“A种书架数量不少于B种书架数量的”，得到，最后求得费用最少时购买A种书架12个，B种书架18个． 【详解】（1）解：设B种书架的单价为x元，则A种书架的单价为元． 由题意得， 解得， 经检验，是分式方程的解，且符合题意， ， 答：A，B两种书架的单价分别为1100元，1000元． （2）解：当购买a个A种书架时， 购买总费用， 由题意得，， 解得， ∵， ∴w随着a的增大而增大， ∴当时，w的值最小，此时w的值为：， 此时， 答：w与a的函数关系式为，费用最少时购买A种书架12个，B种书架18个． 题型二十一 最大利润问题 61．为了进一步抓好“三农”工作，助力乡村振兴，某经销商计划从建档贫困户家购进A，B两种农产品．已知购进A种农产品3件，B种农产品2件，共需710元；购进A种农产品4件，B种农产品1件，共需680元． (1)A，B两种农产品每件的价格分别是多少元？ (2)该经销商计划用不超过6000元购进A，B两种农产品共40件，且A种农产品的件数不超过B种农产品件数的3倍．如果该经销商将购进的农产品按照A种每件180元，B种每件220元的价格全部售出，那么购进A，B两种农产品各多少件时获利最多？ 【答案】(1)A种农产品每件的价格是130元，B种农产品每件的价格是160元 (2)购进14件种农产品，26件种农产品时获利最多 【分析】（1）设A种农产品每件的价格是x元，B种农产品每件的价格是y元，根据题意列二元一次方程组求解即可； （2）设购进m件A种农产品，则购进件B种农产品，根据题意列出不等式组求出，设全部售出后的总利润为w元，表示出，然后利用一次函数的性质求解． 【详解】（1）解：设A种农产品每件的价格是x元，B种农产品每件的价格是y元， 根据题意得， 解得 答：A种农产品每件的价格是130元，B种农产品每件的价格是160元； （2）解：设购进m件A种农产品，则购进件B种农产品， 根据题意得， 解得 设全部售出后的总利润为w元，则 ∵ ∴w随m的增大而减小 ∴当m取最小正整数14时，w取得最大值，此时． 答：购进14件A种农产品，26件B种农产品时获利最多． 62．确山瓦岗红薯依托得天独厚的水土条件，薯肉软糯香甜、营养丰富，是当地地理标志农产品，美名远扬．西瓜味红薯鲜嫩清香；板栗味红薯绵密醇厚，香味浓郁．西瓜味红薯每千克进价比板栗味红薯进价多2元，3千克板栗味红薯与2千克西瓜味红薯共需29元． (1)求西瓜味红薯、板栗味红薯每千克的进价各是多少元； (2)某农产品商店计划购进西瓜味红薯和板栗味红薯共240千克进行试销售，且要求西瓜味红薯不少于板栗味红薯质量的，板栗味红薯每千克售价为8元，西瓜味红薯每千克售价为9元．问怎样进货才能使销售完后获得的利润最大，最大利润是多少元？ 【答案】(1)西瓜味红薯每千克的进价为元，板栗味红薯每千克的进价为元 (2)购进西瓜味红薯千克，购进板栗味红薯千克，销售完后利润最大，最大利润是元 【分析】（1）设板栗味红薯每千克的进价为元，西瓜味红薯每千克元，依据题意列出二元一次方程组解答即可； （2）设购进西瓜味红薯千克，销售完后利润为元，根据题意列出不等式求出m取值范围，再列出w和m的函数关系式，根据函数性质确定m的取值，求出最大利润即可． 【详解】（1）解：设板栗味红薯每千克的进价为元，西瓜味红薯每千克元，依据题意，得 解得 答：西瓜味红薯每千克的进价为元，板栗味红薯每千克的进价为元． （2）解：设购进西瓜味红薯千克，销售完后利润为元，由题意，得， 解得， ， ， ， ∴随的增大而减小， 当时，（元），（千克）， 即购进西瓜味红薯千克，购进板栗味红薯千克，销售完后利润最大，最大利润是元． 63．随着体育科技的不断发展，智能羽毛球拍凭借精准数据监测功能深受运动爱好者青睐．某体育用品专卖店计划购进，两种型号的智能羽毛球拍，已知每副型球拍的进价比型球拍多元，用元购进型球拍的数量与用元购进型球拍的数量相同． (1)每副，型球拍的进价分别是多少？ (2)该专卖店准备用不超过元的资金购进副，型号球拍．已知销售一副型球拍比销售一副型球拍多获利元，若该专卖店将这副球拍全部售出，可获得的最大利润是元，求销售一副型球拍的利润． 【答案】(1)每副A型球拍进价为420元，每副B型球拍进价为300元； (2)销售一副B型球拍的利润为100元． 【分析】（1）设B型球拍进价，根据两种球拍购进数量相等的等量关系列分式方程求解，检验后得到结果； （2）先根据资金限制求出A型球拍的最大购进数量，再根据总利润与A型球拍数量的一次函数关系，结合最大利润条件列方程求解得到B型球拍单利润． 【详解】（1）解：设每副B型球拍的进价为元，则每副A型球拍的进价为元， 根据题意，得， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ， 答：每副A型球拍进价为420元，每副B型球拍进价为300元． （2）设购进A型球拍副，则购进B型球拍副，设销售一副B型球拍的利润为元， 根据资金不超过18600元，得 ， 解得， 设总利润为，根据题意得 ， ∵， ∴随的增大而增大， 当取最大值时， 取得最大值，代入得 解得， 答：销售一副B型球拍的利润为100元． 题型二十二 行程问题 64．4月19日，2026北京亦庄半程马拉松暨人形机器人半程马拉松举行，上演了一场“人机大战”，如图1，102支赛队和万名跑者同场参赛，全程为21公里，小明和机器人“逍遥”一起参赛，因赛前临时检修，机器人“逍遥”比小明晚出发了小时，追上小明后休息了一段时间，继续以相同的速度跑步，他们离出发点的路程关于时间的变化情况如图2所示． (1)分别求出机器人“逍遥”和小明跑步的速度． (2)求图2中线段所在直线的函数表达式． (3)当机器人“逍遥”第二次追上小明时，他们距离终点的路程是多少？ 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）结合函数图象先求出小明的速度，据此得到机器人的跑步时间，根据速度路程时间求解即可； （2）先求出B点坐标，再用待定系数法求解即可； （3）用待定系数法求出小明的函数解析式，再联立两函数解析式，求出交点坐标，即可求解． 【详解】（1）解：小明的速度：， 机器人“逍遥”的速度：，， ； （2）解：，， 设线段的函数表达式为 把和代入， 得 解得， ； （3）解：设小明的函数解析式为， 把点代入，得， ， 联立得， 解得，， 离终点的路程为． 65．甲、乙两台智能机器人从同一地点出发，沿着笔直的路线行走了．甲比乙先出发，并且匀速走完全程，乙出发一段时间后速度提高为原来的倍．设甲行走的时间为，甲、乙行走的路程分别为、，、与之间的函数图像如图所示，根据图像所提供的信息解答下列问题： (1)乙比甲晚出发________，乙提速前的速度是每秒________，________，________； (2)求出何时乙恰好追上甲？ 【答案】(1)，，， (2)当秒时，乙追上了甲 【分析】（1）由图可知，乙比甲晚出发，由乙提速前的路程除以其时间即可得到乙提速前的速度，进而求出乙提速后的速度，得到乙提速后的所用的时间，即可得到，从而可求出甲的速度，最后根据路程除以速度可求出； （2）先分别求得段、段对应的函数关系式，根据题意列一元一次方程求解即可． 【详解】（1）解：由图可知，乙比甲晚出发，乙提速前的速度是， 乙提速后的速度是， 乙提速后的所用的时间为， ， 甲的速度为， ， 故答案为：，，，； （2）设段对应的函数关系式为， 在上， ， 解得， ． 设段对应的函数关系式为， 在上， ， 解得， ， 由乙追上了甲得， 解得． 答：当秒时，乙追上了甲． 66．某汽车公司在有A、B、C三点一条笔直的公路上测试两辆无人驾驶汽车，两车同时出发，无人快递车从A地出发，以m千米/时的速度匀速驶向B地，到达B地用0.5小时卸货后按原速继续驶向C地；无人出租车从B地出发，以n千米/时的速度匀速驶向C地，到达C地后立即调头（调头时间忽略不计），以原速匀速经过B地驶向A地，快递车比出租车晚小时到达目的地．两车与B地的距离y（单位：千米）与无人快递车行驶时间x（单位：小时）之间的函数关系如图所示．请结合图象信息，解答下列问题： (1)A，B两地之间的距离是________千米，________； (2)求图中线段所在直线的函数解析式； (3)无人快递车出发多少小时，无人快递车与无人出租车之间相距210千米？请直接写出答案． 【答案】(1)200，80 (2)线段所在直线的函数解析式为： (3)无人快递车出发0.25或1.55或3.85小时，无人快递车与无人出租车之间相距210千米 【分析】解题的关键是结合函数图象分析运动过程，理解各个节点的实际意义． （1）结合函数图象中点的坐标的实际意义求速度即可； （2）设线段所在直线的函数解析式为，把，代入 ，解方程组求值即可得答案； （3）当无人快递车开往B时，无人出租车开往C时；当无人快递车开往B时，无人出租车到达C后返回B处时；当无人快递车超过B处开往C处时，无人出租车到达B后开往A处时；然后列方程分别求解即可． 【详解】（1）解：根据函数关系图象可知A，B两地之间的距离是200千米， 根据题意知点的横坐标为， ∴； （2）解：根据快递车的速度和到达C处的时间可得的距离为：(千米)， ∵快递车比出租车晚小时到达目的地， ∴，出租车的速度为：(千米/小时)， ∴M的横坐标为(小时)，N的横坐标为 (小时)， ∴， 设线段所在直线的函数解析式为， ∴，解得， ∴线段所在直线的函数解析式为； （3）解：设无人快递车出发t小时，无人快递车与无人出租车之间相距210千米， ①当无人快递车开往B时，无人出租车开往C时，则，解得； ②当无人快递车开往B时，无人出租车到达C后返回B处时，则，解得； ③当无人快递车超过B处开往C处时，无人出租车到达B后开往A处时，则，解得； ∴无人快递车出发或或小时，无人快递车与无人出租车之间相距千米． 题型二十三 梯度计价问题 67．某景区门口有两个停车场，按停车小时数收费．A停车场，每小时收费3元，B停车场，前3小时收费10元，超过3小时的部分，每小时收费2元． (1)设A停车场停车小时，收费元，B停车场停车小时，收费元，分别写出与，与的函数解析式，并写出的取值范围； (2)王老师要停车5小时，选择哪个停车场更省钱？请说明理由； (3)当停车多少小时时，两个停车场收费相差3元？ 【答案】(1)， (2)选择B停车场更省钱，理由： 当时：A停车场：（元）； B停车场：， （元）， ， 选择B停车场更省钱． (3)当停车小时或小时时，两个停车场收费相差元 【分析】（1）根据A、B停车场的收费标准，分别写出不同时段的函数解析式； （2）将代入两个函数，计算收费并比较大小； （3）分和两种情况，根据收费相差3元列方程求解． 【详解】（1）解：A停车场：每小时收费3元，停车小时， ； B停车场：前3小时收费10元，超过3小时的部分每小时收费2元： 当时，； 当时，， ． （2）解：当时：A停车场：（元）； B停车场：， （元）， ， 选择B停车场更省钱． （3）解：分两种情况讨论： ①当时， ，收费相差3元，即 解得（不符合，舍去）或； ②当时： ，收费相差3元， 即， ， 解得或（不符合，舍去）， 综上，当停车小时或小时时，两个停车场收费相差元． 68．“兰陵大蒜”是山东知名特色农产品，也是国家地理标志产品．为推动乡村产业高质量发展，拓宽优质农产品销售渠道，某电商平台联合当地农民专业合作社开展助农专场促销活动，对兰陵大蒜实行分段计价销售：一次性购买大蒜不超过时，按原价销售；超过时，超过部分享受助农优惠价．如图为购买大蒜消费金额（元）与购买量之间的函数图象． (1)①大蒜的原价为_________元；②求当时，与之间的函数关系式． (2)某餐馆为储备食材，在活动期间一次性购买大蒜，求该餐馆比按原价购买节省多少元？ (3)某农产品经销商通过该活动采购大蒜，共支付270元，求该经销商本次采购大蒜多少千克？ 【答案】(1)18； (2)节省30元 (3)该经销商本次采购大蒜 【分析】（1）①根据图象可得答案；②根据图象，当时，与之间满足一次函数关系，利用待定系数法求解即可； （2）先分别求出原价花费和实际花费，再比较大小即可得答案； （3）将代入求得x值即可． 【详解】（1）解：①根据图象，当时，， ∴原价为（元）； ②根据图象，当时，与之间满足一次函数关系， 设时，与之间的函数关系式为， 将，代入，得，解得， 与之间的函数关系式为； （2）解：当时，原价花费：（元）； 实际花费：（元）； ∴（元）， 答：该餐馆比按原价购买节省30元； （3）解：， 当时，由解得． 答：该经销商本次采购大蒜． 69．甲、乙两商场以同样的价格出售同样的商品，并且又各自推出不同的优惠方案： 甲商场：所有商品打折； 乙商场：一次性购物不超过元不打折，超过元时，超出的部分打折． (1)设原价为元，甲、乙两个商场的购物金额分别，，请直接分别写出与，与之间的表达式； (2)请你按照下表中自变量的值代入（1）中的表达式计算，分别得到了，的几组对应值： x/元 /元 /元 则表格中， ， (3)在如图所示的同一平面直角坐标系中，描出（2）中补全后的表格里各组数值所对应的点，并画出，函数的图象．    (4)根据以上分析，在购买原价相同的同种商品时，应该如何选择这两家商场购物更省钱？请写出购物更省钱的方案（直接写出结论）． 【答案】(1)； (2)； (3)见解析 (4)①当时，，购买原价相同的同种商品时，选择在甲商场购物更省钱；②当时，，购买原价相同的同种商品时，在甲、乙商场购物花钱一样多；③当时，，购买原价相同的同种商品时，选择在乙商场购物更省钱 【分析】（1）根据题意，得；乙商场的费用：分类计算即可； （2）根据表达式代入计算即可； （3）根据表达式描点，画图，连线画图象即可； （4）根据题意，分类讨论即可； 【详解】（1）解：； ． （2）解：根据题意，得当时，（元）， 当时，（元）， （3）解：画图如下： （4）解：根据题意，得， 解得， ①当时，，购买原价相同的同种商品时，选择在甲商场购物更省钱； ②当时，，购买原价相同的同种商品时，在甲、乙商场购物花钱一样多； ③当时，，购买原价相同的同种商品时，选择在乙商场购物更省钱． 题型二十四 一次函数与几何综合 70．如图，已知直线的解析式为，经过定点． (1)直接写出点的坐标__________； (2)当时，直线与轴，轴分别交于点，． ①如图1，为轴正半轴上一点，过点的直线经过的中点，点为轴上一动点，过作轴分别交直线、于、，且，求的值； ②如图2，已知点，点为直线左侧一点，且满足，求点的坐标． 【答案】(1) (2)①或；② 【分析】（1）将直线的解析式整理为：，即可得定点的坐标为； （2）①当时，，求出，，则，将代入直线求出，则，，表示出​，，根据，列方程求解即可； ②在x轴上取一点，连接，作交直线于点K，作轴于  点L，再证出，得到直线的解析式为，将代入，得，可得出； 【详解】（1）解：将直线的解析式整理为：， 无论取何值，当，即时，，与无关， 因此定点的坐标为． （2）解：①当时，， 令，则， 令，则，解得， ∴，， ∵是中点， ∴， 将代入直线得，解得：， 即， ∵，轴， ∴，， ∴​，， ∵， ∴​，化简得， 当时，， 当时，​， 因此的值为或． ②在x轴上取一点，连接，作交直线于点K，作轴于  点L， ， ， ， ， ， ， ， ， ∵， ∴， ， ， ， ， ， ， ， 设直线的解析式为， 则，解得：， ∴直线的解析式为， 将代入，得，解得：， ∴点的坐标为． 71．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别交轴，轴于点，与直线相交于第一象限，交点为点，且点的纵坐标为4． (1)点的坐标为_____________，点的坐标为_____________； (2)点C为直线上一点，且点C在第二象限，若的面积与的面积相等，求直线的函数表达式； (3)在（2）的条件下，点为线段上一点，过点作轴的平行线，与直线，直线分别相交于点，若，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）将分别代入求出坐标； （2）先求得的坐标，根据面积相等得到的坐标，再用待定系数法求得直线的函数表达式； （3）先求出直线，然后设，则，，再分类讨论，根据列方程求解． 【详解】（1）解：一次函数的图象分别交轴，轴于点， 令，则， 解得：， ； 令，则， ； （2）解：∵点的纵坐标为， 把代入，则 得， ∴， 设， ∵的面积与的面积相等， ∴， 解得， ∴， 设直线的函数表达式为， 将代入，得，解得． ∴直线的函数表达式为． （3）解：∵， ∴设直线 则 解得 ∴直线， 设 ∵轴， ∴，， 如图1： ∵ ∴ 解得， ∴； 如图2： ∵ ∴ 解得 ∴ 综上所述，点的坐标为或． 72．如图，直线与x、y轴分别交于E、F．点E坐标为，点A的坐标为，是直线上的一个动点． (1)求k的值； (2)若点P是第二象限内的直线上的一个动点，当点P运动过程中，试写出三角形的面积S与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； (3)探究：当P运动到什么位置时，三角形的面积为，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)解：当点P的坐标为或时，三角形的面积为，理由如下， ，解得， ． 当时，，解得，故； 当时，，解得，故； 综上可知，当点P的坐标为或时，三角形的面积为． 【分析】（1）将点代入即可求解； （2）根据，结合（1）的结论即可求解； （3）根据（2）的结论列方程求出y值，再分情况讨论即可． 【详解】（1）解：点在直线上， ，解得； （2）解：由（1）得直线的解析式为， 点是第二象限内的直线上的一个动点，． 点A的坐标为， ， ． 三角形的面积S与x的函数关系式为：； （3）略． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．已知点和点在一次函数的图象上，且，下列四个选项中的值可能是（     ） A． B． C．1 D．3 【答案】D 【分析】先比较两点横坐标的大小，再结合判断函数增减性，得到关于的不等式，求解后匹配选项即可． 【详解】解： 点的横坐标为，点的横坐标为， ，即． 又， 一次函数中，随的增大而减小． 根据一次函数增减性，可得一次项系数小于，即， 解得． 观察各选项，只有D选项满足． 2．在平面直角坐标系中，将某个一次函数的图象向下平移2个单位后，恰好经过点和，则这个一次函数的表达式为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用待定系数法求出平移后一次函数的解析式，再根据一次函数图象平移“上加下减”的规律，求出原一次函数的表达式． 【详解】解：设平移后得到的一次函数解析式为， ∵平移后的图象经过点和， ∴将代入解析式，得， 将和代入解析式，得，解得， ∴平移后的一次函数解析式为， ∵原一次函数向下平移2个单位得到平移后的函数，根据平移“上加下减”的规律，将平移后的函数向上平移2个单位即可得到原函数， ∴原一次函数的表达式为． 3．已知平面内有两条直线，交于点A，与x轴分别交于B、C，落在内部（不含边界），则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】点P落在内部（不含边界），需满足P纵坐标在x轴上方，且同时在两条直线、下方，列不等式组即可求解． 【详解】解：∵点落在内部（不含边界），的边在x轴上， ∴P点纵坐标大于0，且P的纵坐标小于与在处的函数值，列不等式组得： ， 解不等式①得：， 解不等式②得：，即， 解不等式③得：， ∴不等式组的解集为． 4．小明步行从家出发经过学校前往图书馆，途中一直保持匀速运动．如图是小明步行时离学校的距离y（米）与行走时间x（分）之间的函数关系的图象． 下列说法一定正确的是（     ） ①小明从家到学校的距离为240米；②图中a的值是18； ③线段所表示的y与x之间的函数表达式为； ④小明与学校相距100米时，用时3.5分钟． A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①②③④ 【答案】A 【分析】观察图象可知小明家到学校的距离可判定①；根据速度、路程、时间的关系求出小明步行的速度，根据图象求出小明家到图书馆的距离，即可判定②；理用待定系数法求得线段可判定③；同理可得线段得解析式，最后分别计算小明到达学校前与离开学校后距离学校100米时所用时间即可判定④． 【详解】解：由图象可知：小明家到学校的距离为240米，即①正确； 小明步行的速度是（米/分）， 小明家到图书馆的距离为（米），则小明从家到新华书店所用时间为（分），即；故②正确； 设线段所表示的y与x之间的函数表达式为（k、b为常数，且）． 将坐标分别代入得： 得，解得， ∴线段所表示的y与x之间的函数表达式为，即③正确； 同理可得：线段所表示的y与x之间的函数表达式， 当时，，解得； 当时，，解得． ∴在分钟和分钟时，小明距离学校100米，故④不正确． 综上，正确的有①②③， 故选A． 5．如图，直线与直线为常数，且相交于点，则不等式的解集是__________． 【答案】 【分析】先把点的坐标代入直线求出的值，确定交点坐标，再根据函数图象，找出直线在直线上方部分对应的的取值范围即可． 【详解】解：点在直线上， ， 解得， 点的坐标为， 由图象可知，当时，直线的图象在直线的图象上方， 不等式的解集是． 6．如图，在平面直角坐标系中，是以为斜边的等腰直角三角形，，点的坐标为．若将向左平移，使点落在直线上，则平移的距离是________． 【答案】 【分析】过点作轴于点，根据等腰直角三角形的性质求出点的坐标，利用待定系数法求出直线的解析式，根据平移的性质可知平移后点的纵坐标不变，将其代入直线解析式求出横坐标，进而求出平移距离． 【详解】如图，过点作轴于点， 是以为斜边的等腰直角三角形， ，点的坐标为， 点的坐标为， 设直线的解析式为， 将，代入得 ， ，解得， 直线的解析式为， 设平移后点的对应点为，则点的纵坐标为， 将向左平移，使点落在直线上， 当时，，解得， 平移的距离为． 7．若点在第二象限，则整数a的值为______． 【答案】或 【分析】根据第二象限内点的坐标特征，建立关于的一元一次不等式组，解不等式组得到的取值范围，结合为整数即可求解． 【详解】解：由题意得，因为点在第二象限，第二象限内点的横坐标小于，纵坐标大于， 所以， 解不等式得， 解不等式得， 因此不等式组的解集为 又因为为整数， 所以整数的值为或． 8．在平面直角坐标系中，给出如下定义：点A到x轴、y轴距离的较大值，称为点A的“长距”，当点P的“长距”等于点Q的“长距”时，称P、Q两点为“等距点”．若、两点为“等距点”，且点Q在第三象限，则k的值为______． 【答案】 【分析】先求出点的“长距”，根据“等距点”定义得到点的“长距”，结合点在第三象限的限制条件求解即可． 【详解】解：点到轴的距离为，到轴的距离为， 点的“长距”为， ，为“等距点”， 点的“长距”为， ∵点到轴的距离为，到轴的距离为， ，解得或， 点在第三象限， 点的横坐标，即， ． 9．已知一次函数的图象过点与，求这个一次函数的解析式． 【答案】 【详解】解：设， 代入和得， 解得， ∴． 10．已知y是x的一次函数，当时，；当时，． (1)求出y与x之间的函数解析式； (2)若该一次函数的函数值为，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据y是x的一次函数，设，再运用待定系数法求解函数的解析式，即可作答． （2）结合，以及根据一次函数的函数值为，建立方程，再解得，即可作答． 【详解】（1）解：设y与x之间的函数解析式为， 由条件可得， 解得， ∴y与x之间的函数解析式为． （2）解：由（1）知y与x之间的函数解析式为， ∵一次函数的函数值为， 即， 故， 解得． 11．有这样一个问题：探究函数的图象与性质．小彤根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究．下面是小彤探究的过程，请补充完整： (1)函数的自变量的取值范围是_________； (2)表格是与的几组对应值： 则的值为_________； (3)请在下面的平面直角坐标系中，画出函数的图象； (4)观察图象，写出该函数的两条性质． 【答案】(1)全体实数 (2)2 (3)见解析 (4)当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小；当时，函数有最小值，最小值为． 【分析】（1）根据题意可知，自变量的取值范围为全体实数； （2）把代入中求出y的值即可得到答案； （3）先描点，再连线即可得到答案； （4）根据所画的函数图象写出其对应的性质即可． 【详解】（1）解：根据题意可知，自变量的取值范围为全体实数； （2）解：在中，当时，， ∴； （3）解：如图所示，即为所求； （4）解：由函数图象可知，当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小；当时，函数有最小值，最小值为． 12．为探究不同材质保温材料的保温性能，某物理兴趣小组选取甲、乙两种保温材料，制作了除保温层材质外，其余结构、容量均完全相同的两个保温杯进行实验．他们向两个保温杯中装入质量相同的水，用电加热器同时将两杯水加热至相同的初始温度后停止加热，并立即盖紧杯盖．记以甲材料为保温层的为1号杯，以乙材料为保温层的为2号杯，将两个保温杯置于恒定的相同室温环境中．在实验的第（从停止加热开始计时），记录1号、2号杯中水的温度分别为，（单位：），实验所得部分数据如表： 0 5 10 15 20 25 35 45 55 65 80 80.0 72.1 65.2 59.2 54.0 49.5 42.1 36.7 32.6 29.4 26.0 80.0 66.4 55.9 47.8 41.6 36.7 30.0 26.0 23.6 22.1 20.9 通过分析数据，发现可以用函数刻画与，与之间的关系． (1)在同一平面直角坐标系中，已画出与的函数图象，且已描出与的部分对应点．请根据表格中的数据，补全表格中未描出的其余对应点，并用平滑的曲线画出与的完整函数图象． (2)根据以上数据与函数图象，解决以下问题： ①当时，1号杯和2号杯的水温相差________（精确到个位）； ②某种茶叶用的水冲泡，待茶水温度降至时饮用口感最佳．小石直接向1号杯和2号杯中分别倒入的水冲泡该茶叶（忽略冲泡过程中的热量损失）．从盖紧杯盖开始计时，1号杯茶水经过约________（精确到个位）后饮用口感最佳，此时2号杯中茶水的温度为________（精确到个位）． 【答案】(1) (2)①；②； 【分析】本题考查了用描点法画函数图像以及利用函数图像解决实际问题： （1）将表格中的数据标在平面直角坐标系中，再用平滑曲线连接即可； （2）①观察图像得到1号杯和2号杯在时的水温，相减即可； ②观察图像，先找到1号杯降温至时的时间，再找到对应时间里2号杯的温度即可． 【详解】（1）解：略； （2）解：①由图可知，当时，1号杯的水温为，2号杯的水温为， 则水温相差为：； ②由图可知，1号杯茶水经过约后，温度降至，2号杯茶水此时的温度大约为， 即从盖紧杯盖开始计时，1号杯茶水经过约后饮用口感最佳，此时2号杯中茶水的温度为． 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 13．将直线向下平移3个单位长度后，正好经过点，则下列点中一定不在直线的图象上的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平移规则得到原直线解析式中k和b的关系，确定原直线过定点，再结合的条件，根据一次函数的性质判定即可． 【详解】解：直线向下平移3个单位后，解析式为． 将代入 得 ， 整理得 ， ∴直线经过定点． ∵， ∴随的增大而增大， A．，符合题意； B．，符合题意； C．，不符合题意； D．，符合题意． 14．当时，一次函数最小值为6，则实数的值为（     ） A．0 B．1 C．0或1 D．0或 【答案】B 【分析】根据一次函数的增减性，分一次项系数大于零、小于零、等于零三种情况讨论，计算出m，舍去不符合条件的解即可． 【详解】解：当，即时，随的增大而增大， ∴当时，取得最小值， 代入得， 解得，符合条件； 当，即时，随的增大而减小， ∴当时，取得最小值， 代入得， 解得，舍去； 当，即时，，不符合最小值为，舍去； 综上，． 15．如图，直线与直线相交于点，与轴交于点，则关于的不等式组的解集是（    ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】先把代入求出k的值，再求出点B的坐标，然后结合图象求解即可． 【详解】解：把代入，得 ， 解得， ∴， 当时，， 解得， ∴， ∴由图象可知，关于的不等式组的解集是． 16．如图，在平面直角坐标系中，直线与直线的交点为，则关于x的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先利用直线的解析式确定点A坐标，然后结合函数特征写出不等式的解集即可． 【详解】解：把代入得， 解得， 结合图象可得：当时，． 17．如图，从光源发出一束光，经轴上的一点反射后，得到光线，光线经轴上一点反射后，得到光线．若，且光线所在直线的函数解析式为，则光线所在直线的函数解析式为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】延长交轴于点，先根据待定系数法求出直线的解析式，求出点的坐标，根据全等三角形的判定和性质得出点的坐标为，根据两直线平行，值相等，结合点的坐标，求出直线的解析式即可． 【详解】解：延长交轴于点，如图， 把代入解析式，得， 解得：， 故光线所在直线的函数解析式为； 将代入，得， 故点的坐标为， ∴； 由光的反射可知：， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴点的坐标为， ∵， ∴设直线的解析式为：， 把代入，得； 故直线的解析式为：． 18．某商家以成本价每件28元购进某款衣服100件，如图为利润y与销售件数x的函数关系图．结合图象信息：商家至少需销售________件，才不会亏本（利润为负表示亏本）． 【答案】56 【分析】依据题意，设利润与销售件数的关系式为，又图象过，结合保本成本是（元），则图象过，求出函数解析式，进而计算出当时，的值，即可得解． 【详解】解：设利润与销售件数的关系式为， 成本为：（元）， ∴图象过， 将，，代入得： ，解得． ∴利润与销售件数的关系式为， 当时，，解得． ∴商家至少需销售56件，才不会亏本． 19．如图，一束光线从点出发，经过轴上的点反射后经过点，则点的坐标是______． 【答案】 【分析】延长交x轴于点D，证明，求得点D坐标，运用待定系数法求直线的解析式，从而求得点C坐标． 【详解】解：如图所示，延长交x轴于点D， ∵这束光线从点出发，经y轴上的点C反射后经过点， ∴设，由反射定律可知，， ∴， ∵于， ∴， ∴在和中， ， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为，则将点，点代入得 ， ∴， ∴直线为， 当时，， ∴点C坐标为． 20．已知一次函数和，当时，对于x的每一个值，函数的值大于函数的值且小于的值，则m的取值范围是______． 【答案】 【分析】根据题意画出函数图象，分别求出当直线过点时、点时，m的值，即可得解． 【详解】解：如图， 对于，当时，， 当直线过点时，， 解得：， 对于，当时，， 当直线过点时，， 解得：， ∴m的取值范围是． 21．如图，已知一次函数与轴相交于点A，与轴交于点B． (1)求出点A和点B的坐标； (2)若点C的坐标是： ①是_____三角形（按角分类）； ②点P是轴上的点，若，请求出点P的坐标． 【答案】(1)， (2)①直角；②或 【分析】（1）令可求出点A的坐标，令可求出点B的坐标； （2）①根据勾股定理及其逆定理判断即可；②根据求出长即可求解； 【详解】（1）解：∵当时， 解得， ∴， ∵当时，， ∴； （2）解：①∵，，点的坐标是， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是直角三角形； ②∵， ∴， ∴， ∴或． 22．在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和． (1)求，的值； (2)当时，对于的每一个值，函数的值都小于函数的值，直接写出的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）通过待定系数法将，代入解析式求解； （2）解含参不等式． 【详解】（1）解：将，代入，得 ，解得． （2）解：由（1）得，， 依题意得，，解得， ∴，解得． 23．【项目背景】 某学习小组在学习声现象时，知道了振动频率越高，音调就越高；振动频率越低，音调也越低．由此他们联想到在敲击装有水的玻璃杯时，杯中水位不同，音调也会不同．于是他们计划探究水位高度与振动频率之间的关系，并依此制作水杯琴． 【实验操作】 该学习小组设计了如下实验：先在圆柱形玻璃杯中加水，加到水位高度为时，敲击玻璃杯口，同时利用声学设备测量其振动频率；继续加水，并测量不同水位高度时的振动频率．为减小误差，同一水位高度下，多次敲击、测量振动频率并计算它们的平均值，获得的数据如表一． 表一 水位高度（） 频率（） 【数据查询】 通过查阅资料得知，七个音阶对应的频率如表二． 表二 音阶 频率（） 根据以上信息，解答下列问题： (1)求一个能近似描述频率与水位高度的关系的函数解析式； (2)用实验中同种型号的玻璃杯制作水杯琴时，请估计发出音阶为和的两个玻璃杯中水位高度差为多少？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）分别求出，音阶对应的水的高度，进而求出水位高度差． 【详解】（1）解：根据题意可得与为一次函数的关系， 设， 由题意得，， 解得， ； （2）解：在中，当时，则， 解得， 当时，则， 解得， 发出音阶为和的两个玻璃杯中水位高度差为． 故发出音阶为和的两个玻璃杯中水位高度差为． 24．如图，已知直线交x轴于点，交y轴于点B，直线交x轴于点D，与直线相交于点． (1)求m的值与直线的函数解析式； (2)根据图象，直接写出关于x的不等式的解集； (3)求四边形的面积． 【答案】(1)， (2) (3)5 【分析】（1）将代入得的值，再利用待定系数法即可求解直线的函数解析式； （2）根据（1）可知，结合图象即可求解； （3）根据题意可以将，的坐标求出来，四边形的面积为和的面积之差，据此即可求解． 【详解】（1）解：将代入得， ， 解得， 则， 将，代入得， ， 解得， 则； （2）解：由（1）得，， 由图象可知，当时，； （3）解：将代入得，则， 将代入得，则， ∵，， ∴． 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 25．一条公路上依次有、、三地，一辆轿车从地出发途经地接人，停留一段时间后原速驶往地；一辆货车从地出发，送货到达地后立即原路原速返回地（卸货时间忽略不计）．两车同时出发，轿车比货车晚分钟到达终点，两车均按各自速度匀速行驶．如图是轿车和货车距各自出发地的距离（单位：千米）与轿车的行驶时间（单位：小时）之间的函数图象，结合图象下列结论正确的有：（     ） ①轿车的速度是； ②，； ③货车的速度是； ④轿车从地到地三次与货车相距． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【分析】本题考查一次函数的实际应用，一元一次方程的应用，从函数图象获取有效信息，通过计算逐一判断每个结论的正确性，分情况讨论得到相距的次数即可． 【详解】解：判断①：由图象可知，轿车行驶，因此轿车速度为，故①正确． 判断②：由题意可得，、B距离为 ，、C距离为，因此A、C总距离，轿车全程行驶时间为，轿车总用时含停留为，因此停留时间为，轿车到达B，因此离开B的时间，故，②正确． 判断③：轿车比货车晚分钟即到达，因此货车到达终点的时间为，货车总路程为，因此货车速度为，故③正确． 判断④：分情况讨论两车相距： 依题意，当时， 当时， 1）当，即货车从C到B阶段，可得， 解得符合范围； 2）当时，货车和轿车同向运动，相距距离越来越小，且小于 3）当时，， 解得：符合范围； 4）当时， 解得：符合范围； 综上所述，轿车从地到地三次与货车相距，故④正确 故正确的有①②③④，共4个 26．如图，在长方形电子屏中，，，一条公益广告画面的动态效果设计如下：动点从点出发沿边，以的速度向点运动，随着的移动，画面逐渐展开．当时，展开的广告画面面积比它后一秒少时，此时的值（     ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据点在上运动和点在上运动分情况讨论，建立展开的画面面积关于的函数表达式，进而得到当时，展开的广告画面面积比它后一秒少的面积差，根据已知条件面积差为，得到面积差发生在点从运动到的过程中，进而建立面积差关于的一元一次方程，解得，并验证结论满足题意． 【详解】解：由题意可知，点的运动速度为， 当点在上运动时，， ∴，此时， 展开的画面面积， 当时，展开的广告画面面积比它后一秒少的面积：； 当点在上运动时，，， ∴，此时， 展开的画面面积， 当时，展开的广告画面面积比它后一秒少的面积：， ∵当时，展开的广告画面面积比它后一秒少，， ∴面积差发生在点从运动到的过程中， ∴当时，点仍在上，即， 后一秒时，点已进入上，即，解得：， ∴， ∴，解得：． 验证结果：，符合题意． 27．如图，在平面直角坐标系中，从点，，依次扩展下去，则的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】通过观察图形中点的坐标变化，找出下标 与4 的倍数关系所对应的象限及坐标数值规律是解题关键． 【详解】解：观察图形及已知点的坐标可知：，， ，， ⋯⋯ 可以发现规律： 当下标 是4的倍数时，即 （为正整数） ，点在第一象限，坐标为； 当下标除以4余1时，即，点在第二象限，坐标为； 当下标除以余 时，即，点 在第三象限，坐标为； 当下标除以余时，即 ，点 在第四象限，坐标为． ∵， ∴点符合的规律，且， ∴点 的横坐标为，纵坐标为， 即 ． 28．如图，一次函数过点和点，将线段绕点C顺时针旋转得到线段，连接，点D在线段上，点E在线段上，且，当最小值为时，则k的值为（   ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】过A作，使，连接，根据条件证明，得出对应边相等，当E在上时取最小值，最小值，由勾股定理确定，代入解析式即可得出答案． 【详解】解：过A作，使，连接， 由条件可知， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴当E在上时取最小值，最小值， ∴， ∵点和点， ∴， 解得或， ∵由图形可知在第一象限， ∴， ∴， ∴， 把和，代入得， 解得． 29．如图，点、，直线l经过原点，与线段交于点C，把的面积分成两部分，则直线l的解析式为：_________________． 【答案】或 【分析】先算出的面积为，直线的解析式为．按面积比分两种情况：①，算出，得直线解析式为；②，算出，得直线解析式为． 【详解】解：由题意得，，，是直角三角形， ∴， 设直线的解析式为， 将、代入， 得， 解得， ∴直线的解析式为， ∵点在上， ∴坐标为， ∵直线过原点，将分成面积比为的两部分， ∴可分为两种情况，如下： （1）， 此时，， ∴， 解得， 将代入中，得， ∴点的坐标为， （2）， 此时，， 同理可得，， 解得， 将代入，得， ∴点的坐标为， ∵直线过原点，设解析式为， 当时，代入得 解得， ∴， 当时，代入得， 解得， ∴， 综上所述，直线l解析式为或． 30．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，点的坐标为．点在线段上，连接，使，则点的坐标为________． 【答案】 【分析】先由直线求出与坐标轴的交点、，从而得，为等腰直角三角形，．由可推出．过点作交的延长线于点，过点作轴于点，则为等腰直角三角形，．通过同角的余角相等证明，进而证明，得到，，从而确定点的坐标为．再利用待定系数法求出直线$EB$的解析式，求其与轴的交点即可得点的坐标． 【详解】解：对于直线， 令，得， ， ； 令，得， ， ． ， ． ，， 为等腰直角三角形， ． ， ． 过点作交的延长线于点，过点作轴于点， 则． 在中，， ， 为等腰直角三角形， ． ， 又， ． 在和中： ， ， ，． ，， ， ， 点的坐标为． 设直线的解析式为， 把，代入得： ， 解得， 直线的解析式为． 令，得， ， 点的坐标为． 31．如图，直线和轴、轴分别交于点、点，以线段为直角边在第一象限内作等腰直角，，如果在直角坐标平面内有一点，且的面积与的面积相等，则的值为________． 【答案】 或6 【分析】由已知求出、的坐标，根据三角形全等的判定与性质求出点的坐标，由的面积与的面积相等，得点在过点且平行于直线的直线上；作点关于直线的对称点，点在过点且平行于直线的直线上；求出直线、的解析式，即可求出的值． 【详解】解：在直线中， 令，则， ∴； 令，则， ∴． ∴，． 如图，过点作轴于点， ∵，， ，， ． 又∵，， ． ，． ． ∵的面积与的面积相等， ∴点在过点且平行于直线的直线上． 设直线的解析式为， 将点代入得，，解得， ∴直线的解析式为． 将点代入得，，解得． 作点关于直线的对称点，则， 则的面积与的面积相等， ∴点在过点且平行于直线的直线上． 设直线的解析式为， 将点代入得，，解得， ∴直线的解析式为． 将点代入得，，解得． 综上所述，的值为或6． 32．如图，在平面直角坐标系中，边长为3的正方形由9块边长为1的小正方形拼成，图中阴影矩形记为区域（包含边界）．对于正方形边上的一点P，若点Q在正方形内部且线段PQ与区域有公共点，则称点Q是点P的“盲点”．点P的所有“盲点”组成的区域称为点P的“盲区”，其面积记为． (1)点的“盲区”的面积是_______； (2)若点在线段上，且，则点的“盲区”的面积______（用含的代数式表示）． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据“盲区”的定义表示出点的“盲区”，计算即可得出结果； （2）根据“盲区”的定义表示出点的“盲区”，设点与所在的直线交轴于点，求出点，计算即可得出结果． 【详解】（1）解：根据“盲区”的定义可得，点的“盲区”如图阴影部分所示： 故； （2）解：由题意可得，点的“盲区”如图阴影部分所示： 设点与所在的直线交轴于点， 设直线的表达式为， 将点，代入解析式可得， 解得， ∴直线的表达式为， 令，则， 解得，即， ∴点的“盲区”的面积． 33．如图，已知在平面直角坐标系中，，，，其中，满足．点是轴的上方距离轴的距离为的直线上的任意一点． (1)点的坐标为______________，点的坐标为______________，点的坐标为______________； (2)画出直线，与直线相交于点． ①求出点的坐标； ②若点的横坐标为1，连接，，则三角形的面积为______________； (3)是否存在点，使三角形的面积等于的面积？如果存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，， (2)①；② (3)存在满足条件的点P，坐标为或 【分析】（1）根据算术平方根和绝对值均非负性，得出，解方程即可解答； （2）先根据题意求出，直线的方程为，①求出直线的解析式，联立和，即可求出． ②先根据题意求出，再根据求解即可． （3）先求出，则，设，则，表示出，列出方程求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， 解得：​， ∴， ∴，，． （2）解：∵，， ∴， ∴， ∵点是轴的上方距离轴的距离为的直线上的任意一点， ∴直线的方程为． ①设直线的解析式为， 代入、，得， 解得：，， ∴直线的解析式为． 联立和， 解得​， ∴． ②∵点横坐标为1，在直线上， ∴， ∴． （3）解：∵，，， ∴，， ∴， ∴， 设， ∴， ∴， ∴，即， 解得：或． ∴存在满足条件的点P，坐标为或． 34．如图，在平面直角坐标系中，点，，直线与直线交于点，与轴交于点． (1)求直线的函数表达式； (2)点是直线上一点，若，求点坐标． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）利用待定系数法求函数表达式即可； （2）分在直线右侧和在直线左侧两种情况进行求解． 【详解】（1）解：设直线的函数表达式， ，解得， 则直线的函数表达式； （2）解：当在直线右侧时， ， ，又， 所以点的横坐标为， 时，， 此时； 当在直线左侧时，设直线与轴交于点， ， ，设， 又，， ，则， 在中，， 即，解得，则， 设直线的解析式为， ，解得， 则直线的解析式为， ，解得， 则； 综上，或． 35．某数学小组成员利用探测气球探究气温与海拔高度的关系．甲气球从海拔5米处出发，以1米/分钟的速度匀速上升；与此同时，乙气球从海拔15米处出发，以0.5米/分钟的速度匀速上升．飞行a分钟后，两个气球到达同一高度．从两气球首次同高的时刻起，又经过t分钟后，甲气球的海拔高度比乙气球高5米，此时甲气球出现故障，停止上升并在当前高度进行维修．甲气球停止上升10分钟后，乙气球恰好上升至甲气球的维修高度；随即甲气球维修完成，立即匀速下降，经过40分钟后降落到出发点（海拔5米处）．设甲、乙气球在整个飞行过程中的海拔高度分别为（米）、（米），飞行时间为x（分钟），其函数图象如图所示． (1)求出a和t的值； (2)求出线段对应的关于x的函数解析式； (3)从两气球出发，到甲气球返回出发点的整个时间段内，两气球高度之差S不超过2米的总时长是多少分钟？请直接写出结果． 【答案】(1)，； (2)； (3)分钟 【分析】（1）根据题意求出两个气球到达同一高度时的时间，即可求出a的值； （2）求出点D的坐标，点E的坐标为，再利用待定系数法求出的解析式即可； （3）根据题意求出两个气球高度之差s不超过2米时x的取值，即可求出总时长． 【详解】（1）解：由题意得， 解得， 由题意得， 解得； （2）解：当时，， ∴点D的坐标为， 根据题意得点E的坐标为， 设对应的解析式为， ， 解得， ∴对应的解析式为； （3）解：两气球高度之差是2米时，满足，，，， 即，； ，； ，； ，； 两个气球高度之差s不超过2米时的总时长为分． 36．如图，平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点． (1)求直线的表达式和点的坐标； (2)直线垂直平分交于点，交轴于点，点是直线上一动点，且在点的上方，设点的纵坐标为． ①用含的代数式表示的面积； ②当时，求点的坐标； ③在②的条件下，在平面直角坐标系中是否存在点，使得是以为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)直线AB的函数表达式为：；点的坐标为 (2)①；②点的坐标为；③存在，点的坐标为或 【分析】（1）利用待定系数法即可求解解析式，再求解B的坐标即可； （2）①由的长度结合直线的垂直平分，可求出，的长度，利用一次函数解析式求出点坐标，进而用含的式子表示点坐标，再利用面积公式即可求解； ②由①的结论，再建立方程求解即可； ③当点在点左边，当点在点右边，构造全等即可求解． 【详解】（1）解：将代入直线 得， 解得：， ∴直线AB的函数表达式为：， 当时，， 则点的坐标为：， （2）解：①∵直线垂直平分，, 则, 当时，， ∴点的坐标为：， ∵点的坐标为：， ∴， ； ②当， ∴， 解得：， ∴点的坐标为； ③存在． 当点在点左边，如图，过点作轴，过点作轴，交于点,过点作轴，交于点, ∴ ∵是等腰直角三角形， ∴,, ∴, ∴ 在和中， ∴， ∴, ∴， 当点在点右边，如图，过点作，交直线于点, ∴ ∵是等腰直角三角形， ∴,, ∴, ∴ 在和中， ∴， ∴, ∴， 综上，点的坐标为或． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $