专题8.3 向量的坐标表示（高效培优讲义）数学沪教版高一必修第二册

专题8.3 向量的坐标表示 教学目标 1.理解平面向量基本定理及其意义。 2.借助平面直角坐标系，掌握平面向量的正交分解及坐标表示。 3.会用坐标表示平面向量的加、减运算与数乘运算。 4.能用坐标表示平面向量垂直与共线的条件。 教学重难点 1.重点 （1）平面向量的坐标运算； （2）平面向量的数量积； （3）平面向量平行与垂直的坐标表示。 2.难点 （1）平面向量的数量积及其应用； （2）有关平面向量的最值与范围问题。 知识点01 平面向量的基本定理与性质 （1）平面向量的坐标表示． 在平面直角坐标中，分别取与轴，轴正半轴方向相同的两个单位向量作为基底，那么由平面向量基本定理可知，对于平面内的一个向量，有且只有一对实数使，我们把有序实数对叫做向量的坐标，记作． （2）向量的坐标表示和以坐标原点为起点的向量是一一对应的，即有 向量向量点． （3）设，，则，，即两个向量的和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差． 若，为实数，则，即实数与向量的积的坐标，等于用该实数乘原来向量的相应坐标． （4）设，，则=，即一个向量的坐标等于该向量的有向线段的终点的坐标减去始点坐标． 【即学即练】 1．在正方形中，为的中点，为的中点，则（   ） A． B． C． D． 2．已知，， （，是同一平面内的两个不共线向量），则为 （用，表示）． 知识点02 平面向量的坐标表示 （1）已知点，，则， （2）已知，，则，， （3），． （4）， 【即学即练】 1．已知，，则 ． 2．（2025高一下·江苏南京·专题练习）已知点，，且，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 知识点03 平面向量数量积的坐标运算 已知非零向量，，为向量、的夹角． 结论 几何表示 坐标表示 模 数量积 夹角 的充要 条件 的充要 条件 与 的关系 （当且仅当时等号成立） 【即学即练】 1．（25-26高二上·云南昭通·期末）已知向量，，则（    ） A．2 B．4 C． D． 2．（25-26高三上·河北秦皇岛·期末）已知向量满足，则与的夹角为 题型01 平面向量的基本定理 【典例1】．如图，在中，，则（    ） A． B． C． D． 【变式1】．如图，在平行四边形ABCD中，M是AB的中点，DM与AC交于点N，设，则（   ） A． B． C． D． 【变式2】．（25-26高三上·辽宁大连·期中）设，是两个不共线的向量，且，，，且，则 . 题型02 平面向量的坐标运算 【典例2】．（25-26高一下·全国·课后作业）已知向量，，那么向量的坐标是 ． 【变式1】．（25-26高三上·新疆·期中）已知，，，若，则 . 【变式2】．（25-26高一下·全国·课后作业）已知点，则向量（    ） A． B． C． D． 【变式3】．（25-26高一下·全国·课后作业）若，，，则（   ） A． B．0 C．1 D．2 【变式4】．（25-26高一上·浙江台州·期末）已知，，则的坐标为（    ） A． B． C． D． 题型03 向量共线的坐标表示 【典例3】．（25-26高三上·浙江·期末）已知为实数，，则“”是“向量共线”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式1】．（25-26高三上·黑龙江·期末）已知向量，，，则（   ） A．3 B．2 C． D． 【变式2】．（24-25高一下·北京朝阳·月考）已知两个不共线的向量，，且，，，若A，B，D三点共线，则的值为（   ） A． B． C． D． 【变式3】．（25-26高三上·陕西·期末）已知向量，，，若与共线，则实数的值为 ． 【变式4】．（24-25高一下·北京朝阳·期中）如果向量，共线，则等于 ． 题型04 向量垂直的坐标表示 【典例4】．（24-25高一下·吉林延边·月考）已知向量，若，则 . 【变式1】．（24-25高一下·浙江杭州·月考）已知向量，若，则 . 【变式2】．（25-26高三上·重庆·月考）已知，若，则的值为（    ） A． B．3 C． D． 【变式3】．（25-26高三上·湖北·月考）已知向量，若，则（   ） A．-5 B． C． D．5 【变式4】．（25-26高三上·青海西宁·开学考试）已知向量，若，则的值为（   ） A． B． C． D． 题型05 求向量的数量积 【典例5】．已知向量，则（    ） A．1 B． C．3 D． 【变式1】．（25-26高二上·云南玉溪·期末）已知，，则（   ） A．5 B．6 C．12 D．16 【变式2】．（25-26高三上·山西太原·期末）在中，，，点满足，则（    ） A． B． C．12 D．18 【变式3】．（25-26高三上·重庆·月考）已知平面向量，向量与夹角的余弦值为，且，为实数，则 . 【变式4】．（24-25高二上·浙江绍兴·期末）已知向量，，若与垂直，则 . 题型06 求模 【典例6】．（2026·重庆·一模）已知向量，若，则 ． 【变式1】．（25-26高三上·吉林·月考）已知向量，向量，且，则 ． 【变式2】．（25-26高三上·安徽·期末）已知向量，，若，则（   ） A． B．5 C． D．8 【变式3】．（25-26高三上·湖北黄石·期末）已知向量，若，则（    ） A． B．2 C．5 D． 【变式4】．（25-26高三上·陕西咸阳·月考）已知向量，向量满足，则的取值范围是 . 题型07 求夹角 【典例7】．（25-26高三上·陕西商洛·期末）已知向量，则向量与夹角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【变式1】．（25-26高三上·江西鹰潭·月考）已知向量，，则（    ） A． B． C． D． 【变式2】．设λ为实数，已知向量．若，则向量与的夹角的余弦值为 【变式3】．（24-25高一下·山东枣庄·期末）已知，，则 ． 【变式4】．（2025·广东·模拟预测）已知向量，，在正方形网格中的位置如图所示，则 . 题型08 综合应用 【典例8】．（25-26高一下·全国·课后作业）已知． (1)求与夹角的余弦值； (2)若，求实数的值． 【变式1】．（25-26高一上·湖南长沙·期末）如图，已知和为直角三角形，，与交于点，若，则 . 【变式2】．（25-26高一上·江苏南京·期末）设，已知是平面内两个不共线的向量，，且，，三点共线. (1)求的值： (2)若， ①求向量与的夹角的余弦值； ②已知点的坐标为，若四边形为平行四边形.求点的坐标. 【变式3】．（2025·江苏苏州·模拟预测）已知平面向量，（），记与的夹角是，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【变式4】．（25-26高三上·河北秦皇岛·月考）在平面直角坐标系中，已知点关于轴的对称点为， ， 若且有， 则（   ） A． B． C． D． 一、单选题 1．（2025高二上·河南·学业考试）平行四边形的两条对角线相交于点，．若用表示，则（    ） A． B． C． D． 2．如图，在中，已知为中点，则（    ） A． B． C． D．7 3．（25-26高一下·全国·课堂例题），，则的坐标是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高一下·全国·课堂例题）若，，，则（   ） A． B．0 C．1 D．2 5．（25-26高三上·浙江嘉兴·期末）已知向量，若，则（   ） A． B． C． D．或 6．（24-25高二下·浙江·月考）已知，且，则实数（   ） A． B．0 C．1 D．任何实数 7．（24-25高一下·广东·月考）给定两个向量，若，则等于（   ） A．3 B． C． D． 8．（25-26高三上·河南·月考）已知平面向量，则（    ） A． B． C． D． 9．（25-26高一上·江苏南京·期末）若向量与垂直，则（    ） A． B． C． D． 10．（25-26高三上·吉林长春·月考）已知非零向量、满足，，则（ ） A． B． C． D． 11．（2026高三·全国·专题练习）已知平面向量满足，则的最小值为（　　） A．1 B． C．2 D．3 12．（2026·辽宁辽阳·一模）已知向量，满足，则向量与的夹角为（    ） A． B． C． D． 13．（江西省重点中学协作体2026届高三第一次联考数学试题）已知，，，若点A，B，C能构成三角形，则实数t不能取的值为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 14．（2026高三·全国·专题练习）已知向量 ，且，则 ， ． 15．（25-26高一下·全国·课堂例题）已知，，且，则x的值为 ． 16．（2024·上海·高考真题）已知，且，则的值为 ． 17．（25-26高一下·浙江台州·开学考试）若向量，，则 . 18．（25-26高三上·山东聊城·期末）已知向量在上的投影向量的坐标为，则为 ． 19．（25-26高三上·山东菏泽·月考）已知向量，，则在方向上的投影向量的坐标为 ． 20．（25-26高三上·贵州黔西南·月考）已知，则在上的投影向量为 . 21．（25-26高三上·天津蓟州·月考）已知向量，，则向量在向量上的投影向量是 . 22．（2026·湖北省直辖县级单位·模拟预测）已知平面向量，若，则 ． 23．（25-26高一下·全国·单元测试）已知向量，且，则的值为 ． 三、解答题 24．（25-26高一上·江苏南通·月考）在平面直角坐标系中，已知． (1)若为轴上的一动点，点．当三点共线时，求点的坐标； (2)若为直线OA的一动点，求的最小值及此时P的坐标； (3)若，且与的夹角，求的取值范围． 25．（25-26高一下·全国·课后作业）已知向量，． (1)若，试求锐角的值； (2)若，且，求的值． 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题8.3 向量的坐标表示 教学目标 1.理解平面向量基本定理及其意义。 2.借助平面直角坐标系，掌握平面向量的正交分解及坐标表示。 3.会用坐标表示平面向量的加、减运算与数乘运算。 4.能用坐标表示平面向量垂直与共线的条件。 教学重难点 1.重点 （1）平面向量的坐标运算； （2）平面向量的数量积； （3）平面向量平行与垂直的坐标表示。 2.难点 （1）平面向量的数量积及其应用； （2）有关平面向量的最值与范围问题。 知识点01 平面向量的基本定理与性质 （1）平面向量的坐标表示． 在平面直角坐标中，分别取与轴，轴正半轴方向相同的两个单位向量作为基底，那么由平面向量基本定理可知，对于平面内的一个向量，有且只有一对实数使，我们把有序实数对叫做向量的坐标，记作． （2）向量的坐标表示和以坐标原点为起点的向量是一一对应的，即有 向量向量点． （3）设，，则，，即两个向量的和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差． 若，为实数，则，即实数与向量的积的坐标，等于用该实数乘原来向量的相应坐标． （4）设，，则=，即一个向量的坐标等于该向量的有向线段的终点的坐标减去始点坐标． 【即学即练】 1．在正方形中，为的中点，为的中点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】用基底表示向量、向量的线性运算的几何应用、向量加法法则的几何应用 【分析】根据图形结合向量的线性运算求解. 【详解】因为为的中点，为的中点， 所以. 故选：C. 2．已知，， （，是同一平面内的两个不共线向量），则为 （用，表示）． 【答案】 【难度】0.94 【知识点】用基底表示向量 【分析】由题意结合向量加减法运算即可分析求解. 【详解】由题可得. 故答案为： 知识点02 平面向量的坐标表示 （1）已知点，，则， （2）已知，，则，， （3），． （4）， 【即学即练】 1．已知，，则 ． 【答案】 【难度】0.94 【知识点】平面向量线性运算的坐标表示 【分析】利用平面向量的线性运算的坐标表示计算即得. 【详解】依题意，． 故答案为：. 2．（2025高一下·江苏南京·专题练习）已知点，，且，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】平面向量线性运算的坐标表示 【分析】利用平面向量的坐标运算即可求解. 【详解】设，则，. 因为，所以，解得， 所以点的坐标为. 故选：B. 知识点03 平面向量数量积的坐标运算 已知非零向量，，为向量、的夹角． 结论 几何表示 坐标表示 模 数量积 夹角 的充要 条件 的充要 条件 与 的关系 （当且仅当时等号成立） 【即学即练】 1．（25-26高二上·云南昭通·期末）已知向量，，则（    ） A．2 B．4 C． D． 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】数量积的坐标表示 【分析】利用平面向量数量积的坐标运算即可求解. 【详解】因为，， 所以. 故选：A． 2．（25-26高三上·河北秦皇岛·期末）已知向量满足，则与的夹角为 【答案】/ 【难度】0.85 【知识点】平面向量线性运算的坐标表示、向量夹角的坐标表示 【分析】首先求向量和，再代入向量的夹角公式，即可求解. 【详解】，所以， 则，即. 所以与的夹角为. 故答案为： 题型01 平面向量的基本定理 【典例1】．如图，在中，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】用基底表示向量 【分析】根据平面向量的线性运算可得答案. 【详解】由，可得， 所以. 故选：D. 【变式1】．如图，在平行四边形ABCD中，M是AB的中点，DM与AC交于点N，设，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】平面向量基本定理的应用、用基底表示向量 【分析】根据平行四边形ABCD中，M是AB的中点，得到，从而利用向量基本定理得到. 【详解】平行四边形ABCD中，M是AB的中点，故， 则，所以， . 故选：A 【变式2】．（25-26高三上·辽宁大连·期中）设，是两个不共线的向量，且，，，且，则 . 【答案】5 【难度】0.85 【知识点】用基底表示向量 【分析】将，代入，根据向量相等的条件列出方程组解出即可得解. 【详解】，代入，并整理得， 又，所以，解得， 所以. 故答案为：5. 题型02 平面向量的坐标运算 【典例2】．（25-26高一下·全国·课后作业）已知向量，，那么向量的坐标是 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】平面向量线性运算的坐标表示 【分析】根据平面向量线性运算的坐标进行计算即可. 【详解】已知向量，， 所以. 故答案为：. 【变式1】．（25-26高三上·新疆·期中）已知，，，若，则 . 【答案】0 【难度】0.85 【知识点】平面向量线性运算的坐标表示 【分析】根据平面向量坐标运算计算即可求解. 【详解】因为，，，若， 则， 即，解得， 所以. 故答案为：0 【变式2】．（25-26高一下·全国·课后作业）已知点，则向量（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.95 【知识点】平面向量有关概念的坐标表示 【分析】根据坐标得出向量的坐标表示即可. 【详解】因为点，， 所以， 故选：B 【变式3】．（25-26高一下·全国·课后作业）若，，，则（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】D 【难度】0.76 【知识点】向量加法的法则、平面向量线性运算的坐标表示 【分析】由，结合向量坐标运算计算即可求解. 【详解】因为， 所以. 故选：D 【变式4】．（25-26高一上·浙江台州·期末）已知，，则的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】平面向量线性运算的坐标表示 【分析】根据平面向量的坐标运算即可求解． 【详解】依题意，则． 故选：D． 题型03 向量共线的坐标表示 【典例3】．（25-26高三上·浙江·期末）已知为实数，，则“”是“向量共线”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】判断命题的充分不必要条件、由向量共线（平行）求参数 【分析】根据充分、必要条件的定义及向量共线判断求解. 【详解】若，则，，即向量共线， 所以“”是“向量共线”的充分条件； 若“共线”，则，解得或， 所以“”不是“向量共线”的必要条件. 所以“”是“向量共线”的充分不必要条件. 故选：A. 【变式1】．（25-26高三上·黑龙江·期末）已知向量，，，则（   ） A．3 B．2 C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】由向量共线（平行）求参数 【分析】运用向量共线的坐标表示即可得解. 【详解】因为，， 所以，解得， 故选：D. 【变式2】．（24-25高一下·北京朝阳·月考）已知两个不共线的向量，，且，，，若A，B，D三点共线，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】由向量共线（平行）求参数 【分析】由平面向量的线性表示与共线定理求解即可. 【详解】由，，， 所以， 因为A，B，D三点共线，所以存在实数，使得， 则， 因为向量，不共线， 所以，解得：， 故选：D 【变式3】．（25-26高三上·陕西·期末）已知向量，，，若与共线，则实数的值为 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】平面向量线性运算的坐标表示、由向量共线（平行）求参数 【分析】根据平面向量共线的坐标表示公式，结合平面向量线性运算的坐标表示公式进行求解即可. 【详解】因为向量，，， 所以，， 因为与共线， 所以，解得． 故答案为： 【变式4】．（24-25高一下·北京朝阳·期中）如果向量，共线，则等于 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】由向量共线（平行）求参数 【分析】由向量共线判定定理即可求解. 【详解】因为向量，共线， 所以存在，使得， 即， 则， 解得或， 所以． 故答案为： 题型04 向量垂直的坐标表示 【典例4】．（24-25高一下·吉林延边·月考）已知向量，若，则 . 【答案】 【难度】0.85 【知识点】已知向量垂直求参数、数量积的坐标表示 【分析】依题意，根据数量积的坐标表示计算可得. 【详解】因为且， 所以，解得. 故答案为：. 【变式1】．（24-25高一下·浙江杭州·月考）已知向量，若，则 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】平面向量线性运算的坐标表示、已知向量垂直求参数 【分析】由向量加法的坐标运算及垂直的坐标表示列方程求参数值. 【详解】由题设，且， 所以，则. 故答案为： 【变式2】．（25-26高三上·重庆·月考）已知，若，则的值为（    ） A． B．3 C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】平面向量线性运算的坐标表示、已知向量垂直求参数 【分析】应用向量线性关系的坐标运算，结合向量垂直的坐标表示列方程求参数. 【详解】由题设，又， 所以，可得. 故选：C 【变式3】．（25-26高三上·湖北·月考）已知向量，若，则（   ） A．-5 B． C． D．5 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】已知向量垂直求参数 【分析】首先根据向量的坐标运算求解，然后再根据向量垂直的判断条件求解参数即可. 【详解】由题意可得，则， 即，解得． 故选：C 【变式4】．（25-26高三上·青海西宁·开学考试）已知向量，若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】平面向量线性运算的坐标表示、数量积的坐标表示、坐标计算向量的模、已知向量垂直求参数 【分析】法一：应用向量模长、数量积的坐标运算及垂直的坐标表示列方程求参数值；法二：运用向量线性关系的坐标运算求出的坐标，再由向量垂直的坐标表示列方程求参数值. 【详解】解法一：因为，所以， 因为，所以，即， 所以，解得； 解法二：因为，所以， 因为，所以， 即，解得． 故选：A 题型05 求向量的数量积 【典例5】．已知向量，则（    ） A．1 B． C．3 D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】平面向量线性运算的坐标表示、数量积的坐标表示 【分析】根据向量加减的坐标运算求出，再根据向量数量积的坐标运算即可求解. 【详解】由，，两式联立可得，， . 故选：B. 【变式1】．（25-26高二上·云南玉溪·期末）已知，，则（   ） A．5 B．6 C．12 D．16 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】平面向量线性运算的坐标表示、数量积的坐标表示 【分析】根据向量的加减以及数量积的坐标表示求解，即可得出答案. 【详解】由已知可得，， 所以. 故选：D. 【变式2】．（25-26高三上·山西太原·期末）在中，，，点满足，则（    ） A． B． C．12 D．18 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】数量积的坐标表示 【分析】根据题意，建立平面直角坐标系，利用坐标法求解即可. 【详解】如图，以点为坐标原点建立平面直角坐标系，则， 设，由得：，即 解得，故， 所以， 故选：C 【变式3】．（25-26高三上·重庆·月考）已知平面向量，向量与夹角的余弦值为，且，为实数，则 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】数量积的运算律、向量夹角的坐标表示、已知向量垂直求参数 【分析】根据已知及向量夹角、垂直的坐标表示得、，即可得. 【详解】由夹角公式， 又， . 故答案为： 【变式4】．（24-25高二上·浙江绍兴·期末）已知向量，，若与垂直，则 . 【答案】 【难度】0.85 【知识点】已知向量垂直求参数、坐标计算向量的模、平面向量线性运算的坐标表示 【分析】由向量线性运算、垂直的坐标表示列方程求得，再应用坐标公式求. 【详解】由题设，又与垂直， 所以，可得. 所以. 故答案为： 题型06 求模 【典例6】．（2026·重庆·一模）已知向量，若，则 ． 【答案】5 【难度】0.85 【知识点】坐标计算向量的模、向量垂直的坐标表示 【分析】先由向量垂直的坐标表示求出参数，再由向量模长公式即可计算求解. 【详解】因为向量，， 所以. 所以． 故答案为：5 【变式1】．（25-26高三上·吉林·月考）已知向量，向量，且，则 ． 【答案】5 【难度】0.85 【知识点】平面向量线性运算的坐标表示、已知数量积求模、坐标计算向量的模 【分析】先根据向量数量积的坐标运算求出，再求出的坐标，最后根据向量模的计算公式求出. 【详解】，即，解得. ∴，， ∴， ∴. 故答案为：5 【变式2】．（25-26高三上·安徽·期末）已知向量，，若，则（   ） A． B．5 C． D．8 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】数量积的坐标表示、坐标计算向量的模、向量垂直的坐标表示 【分析】先根据向量垂直和向量数量积的坐标表示求出，进而根据向量的模的公式求出结果. 【详解】因为向量，，所以. 由于，所以， 所以，解得. 所以，所以. 故选：C. 【变式3】．（25-26高三上·湖北黄石·期末）已知向量，若，则（    ） A． B．2 C．5 D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】数量积的坐标表示、坐标计算向量的模 【分析】先通过数量积的坐标运算求得的值，再由模的计算公式即得答案. 【详解】∵， ∴，解得. ∴， 故选：A. 【变式4】．（25-26高三上·陕西咸阳·月考）已知向量，向量满足，则的取值范围是 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】辅助角公式、平面向量线性运算的坐标表示、坐标计算向量的模、由向量线性运算解决最值和范围问题 【分析】设，根据已知条件可得：，然后利用三角换元令，最后通过求解三角函数的最值进而求解的取值范围. 【详解】设，因为， 所以，因为， 所以，即， 令， 所以，其中， 因为，所以， 因为，所以. 故答案为：. 题型07 求夹角 【典例7】．（25-26高三上·陕西商洛·期末）已知向量，则向量与夹角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】数量积的坐标表示、坐标计算向量的模、向量夹角的坐标表示 【分析】根据题设条件先求出的坐标，再由两向量夹角的坐标公式计算即得. 【详解】因为， 所以． 故选：A. 【变式1】．（25-26高三上·江西鹰潭·月考）已知向量，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】平面向量线性运算的坐标表示、向量夹角的坐标表示 【分析】由坐标计算向量夹角的余弦可得. 【详解】由，得，， 所以. 故选：A 【变式2】．设λ为实数，已知向量．若，则向量与的夹角的余弦值为 【答案】 【难度】0.85 【知识点】向量垂直的坐标表示、向量夹角的坐标表示 【分析】根据向量垂直的坐标公式求得，然后由向量夹角坐标计算公式可得答案. 【详解】因，则，则， 从而，则. 故答案为：. 【变式3】．（24-25高一下·山东枣庄·期末）已知，，则 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】数量积的坐标表示、向量模的坐标表示、向量夹角的坐标表示 【分析】根据题意利用向量的坐标运算可得，，，即可得结果. 【详解】因为，， 则，，， 所以. 故答案为：. 【变式4】．（2025·广东·模拟预测）已知向量，，在正方形网格中的位置如图所示，则 . 【答案】/ 【难度】0.94 【知识点】平面向量线性运算的坐标表示、数量积的坐标表示、向量夹角的坐标表示 【分析】建立平面直角坐标系，直接计算向量的夹角的余弦值. 【详解】以的起点为坐标原点，小正方形的边长为1个单位长度建立直角坐标系，如图： 则，，， 所以，， ，. 所以. 故答案为：. 题型08 综合应用 【典例8】．（25-26高一下·全国·课后作业）已知． (1)求与夹角的余弦值； (2)若，求实数的值． 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】平面向量线性运算的坐标表示、数量积的运算律、垂直关系的向量表示、向量夹角的坐标表示 【分析】（1）利用向量线性运算的坐标表示及向量夹角的坐标表示求解. （2）利用垂直关系的向量表示及向量数量积的运算律列式求解. 【详解】（1）由，得， 设与的夹角为，则， 所以与夹角的余弦值为. （2）由，得， 即，而， 则，所以． 【变式1】．（25-26高一上·湖南长沙·期末）如图，已知和为直角三角形，，与交于点，若，则 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】二倍角的正切公式、用基底表示向量、利用平面向量基本定理求参数 【分析】建立空间直角坐标系，得出向量坐标列式结合二倍角正切公式计算求解. 【详解】以为坐标原点，所在直线分别为轴建立如图所示的坐标系， 由题意得，则 ， 因为，故， 因为，所以（负值舍去）， 所以，故. 又，则， 因为， 所以， 解得，所以. 故答案为： 【变式2】．（25-26高一上·江苏南京·期末）设，已知是平面内两个不共线的向量，，且，，三点共线. (1)求的值： (2)若， ①求向量与的夹角的余弦值； ②已知点的坐标为，若四边形为平行四边形.求点的坐标. 【答案】(1) (2)①；② 【难度】0.65 【知识点】已知向量共线（平行）求参数、向量夹角的坐标表示 【分析】（1）求出，根据，，三点共线满足的关系求解即可； （2）①利用平面向量夹角的余弦公式求解即可‘ ②由平行四边形得，利用相等向量满足的关系即可求解. 【详解】（1）由已知得， 因为三点共线，所以，即； （2）由已知得， ①； ②由平行四边形得，又， 所以解得，即. 【变式3】．（2025·江苏苏州·模拟预测）已知平面向量，（），记与的夹角是，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.4 【知识点】基本不等式求和的最小值、向量夹角的坐标表示 【分析】根据向量夹角公式表示出，再根据同角三角函数关系表示出，利用换元法和基本不等式即可求解． 【详解】∵， ， ∴， ∵，， ∴， ∴， 令， 则， ∴， 当且仅当，即2（此时）时等号成立． 即的最大值为． 故选：C． 【变式4】．（25-26高三上·河北秦皇岛·月考）在平面直角坐标系中，已知点关于轴的对称点为， ， 若且有， 则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】平面向量线性运算的坐标表示、利用向量垂直求参数 【分析】由题知，进而得，再根据向量垂直关系求解即可. 【详解】因为点关于轴的对称点为，所以， 所以， 所以， 因为， 所以，解得 故选：A 一、单选题 1．（2025高二上·河南·学业考试）平行四边形的两条对角线相交于点，．若用表示，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】用基底表示向量 【分析】根据平行四边形的性质，结合向量的加减法运算规则计算求解． 【详解】 是平行四边形，点是对角线的交点， ， ， ，故A正确． 故选：A． 2．如图，在中，已知为中点，则（    ） A． B． C． D．7 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】用基底表示向量、数量积的运算律 【分析】根据给定条件，利用表示，再利用数量积的运算律计算得解. 【详解】在中，由为中点，得， 所以. 故选：C 3．（25-26高一下·全国·课堂例题），，则的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】用坐标表示平面向量 【分析】利用向量坐标的定义计算即得. 【详解】因，，则. 故选：C. 4．（25-26高一下·全国·课堂例题）若，，，则（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】向量减法的法则、平面向量线性运算的坐标表示 【分析】利用向量加减法的坐标表示计算即得. 【详解】由， 则，，故． 故选：C. 5．（25-26高三上·浙江嘉兴·期末）已知向量，若，则（   ） A． B． C． D．或 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】由向量共线（平行）求参数 【分析】根据向量平行列出方程，即可求解. 【详解】根据题意知，则，解之可得. 故选： 6．（24-25高二下·浙江·月考）已知，且，则实数（   ） A． B．0 C．1 D．任何实数 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】已知向量垂直求参数 【分析】根据向量垂直的数量积坐标运算计算即可得解. 【详解】已知，且，那么，即． 故选：B． 7．（24-25高一下·广东·月考）给定两个向量，若，则等于（   ） A．3 B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】平面向量线性运算的坐标表示、已知向量垂直求参数 【分析】由向量加减法的坐标运算及垂直的坐标表示列方程求参数值. 【详解】由题设 故选：C 8．（25-26高三上·河南·月考）已知平面向量，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】数量积的坐标表示、坐标计算向量的模 【分析】根据模长关系可得，结合数量积的坐标运算求解. 【详解】因为，， 则，解得或（舍去）， 即，所以. 故选：D. 9．（25-26高一上·江苏南京·期末）若向量与垂直，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】坐标计算向量的模、向量垂直的坐标表示 【分析】利用两向量垂直的坐标关系求出，再利用向量模长的计算公式求解. 【详解】，所以，所以， 所以. 故选：A 10．（25-26高三上·吉林长春·月考）已知非零向量、满足，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】数量积的运算律、已知数量积求模、垂直关系的向量表示、坐标计算向量的模 【分析】由条件结合向量垂直则数量积为可得，再应用模长公式及数量积运算律即可求解. 【详解】因为，则，即， 又，即， 又，所以， 所以. 故选：D 11．（2026高三·全国·专题练习）已知平面向量满足，则的最小值为（　　） A．1 B． C．2 D．3 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】坐标计算向量的模、基本不等式求和的最小值、利用数量积求参数、平面向量综合 【分析】在平面直角坐标系中设出，再根据所给条件列出方程，再运用重要不等式，即可得解. 【详解】在平面直角坐标系中，设， ， ，得. 由， 得， 当且仅当时，等号成立. 因此，的最小值为. 故选：D. 12．（2026·辽宁辽阳·一模）已知向量，满足，则向量与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】向量夹角的计算、数量积的坐标表示、向量夹角的坐标表示 【分析】利用向量坐标运算求出，再利用向量数量积公式求向量的夹角. 【详解】因为， 所以，解得， 所以， 所以，又， 所以向量与的夹角为， 故选：B 13．（江西省重点中学协作体2026届高三第一次联考数学试题）已知，，，若点A，B，C能构成三角形，则实数t不能取的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】平面向量线性运算的坐标表示、由坐标解决三点共线问题 【分析】若点能构成三角形，则三点不共线，即向量与不共线，计算两个向量的坐标，根据向量共线的坐标表示可得实数t不能取的值. 【详解】由题可知，，. 若点能构成三角形，则三点不共线，即向量与不共线， 所以，即，所以. 故选：C. 二、填空题 14．（2026高三·全国·专题练习）已知向量 ，且，则 ， ． 【答案】 0 【难度】0.65 【知识点】平面向量线性运算的坐标表示、利用平面向量基本定理求参数 【分析】由，列方程求解的值即可. 【详解】由得 ，即，解得 故答案为：；0 15．（25-26高一下·全国·课堂例题）已知，，且，则x的值为 ． 【答案】3或 【难度】0.65 【知识点】由向量共线（平行）求参数 【分析】根据平面向量平行的坐标表示求解即可. 【详解】已知，，且， 所以有，化简得， 解得或. 故答案为：3或-1. 16．（2024·上海·高考真题）已知，且，则的值为 ． 【答案】15 【难度】0.85 【知识点】由向量共线（平行）求参数 【分析】根据向量平行的坐标表示得到方程，解出即可. 【详解】，，解得． 故答案为：15． 17．（25-26高一下·浙江台州·开学考试）若向量，，则 . 【答案】 【难度】0.7 【知识点】向量夹角的计算、数量积的坐标表示、向量夹角的坐标表示 【分析】由向量夹角的坐标表示，代入数据即可求解. 【详解】由，， 得， 则，，， 所以， 又， 所以， 故答案为： 18．（25-26高三上·山东聊城·期末）已知向量在上的投影向量的坐标为，则为 ． 【答案】58 【难度】0.65 【知识点】数量积的坐标表示、求投影向量 【分析】根据投影向量的定义进行计算即可. 【详解】因为在上的投影向量为， 所以，所以， 故答案为：58 19．（25-26高三上·山东菏泽·月考）已知向量，，则在方向上的投影向量的坐标为 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】平面向量线性运算的坐标表示、数量积的坐标表示、坐标计算向量的模、求投影向量 【分析】应用向量数量积、模长的坐标运算，结合投影向量的定义求坐标即可. 【详解】由题设， 所以在方向上的投影向量的坐标为. 故答案为： 20．（25-26高三上·贵州黔西南·月考）已知，则在上的投影向量为 . 【答案】或者写为 【难度】0.94 【知识点】数量积的坐标表示、坐标计算向量的模、求投影向量 【分析】利用向量的数量积坐标运算，结合投影向量的定义来进行求解即可. 【详解】由可得， 又因为，所以， 则在上的投影向量为， 或者表示为： 故答案为：或者写为 21．（25-26高三上·天津蓟州·月考）已知向量，，则向量在向量上的投影向量是 . 【答案】 【难度】0.85 【知识点】数量积的坐标表示、坐标计算向量的模、求投影向量 【分析】根据投影向量的计算公式计算即可. 【详解】向量在向量上的投影向量为. 故答案为：. 22．（2026·湖北省直辖县级单位·模拟预测）已知平面向量，若，则 ． 【答案】或 【难度】0.85 【知识点】坐标计算向量的模、利用向量垂直求参数 【分析】根据向量垂直的坐标运算求参数，进而分类求解即可. 【详解】根据题意，又，则， 所以，解得或. 当时，，则； 当时，，则. 故答案为：或. 23．（25-26高一下·全国·单元测试）已知向量，且，则的值为 ． 【答案】/ 【难度】0.5 【知识点】sinα±cosα和sinα·cosα的关系、二倍角的余弦公式、辅助角公式、向量模的坐标表示 【分析】利用平面向量坐标加法公式先求出，进一步利用平面向量模的坐标公式得出，然后根据，得出，最后利用余弦二倍角公式及角的范围得出结果. 【详解】因为， 所以， 所以 ， 由，所以，即， 所以, 解得，又， 所以, 故答案为：. 三、解答题 24．（25-26高一上·江苏南通·月考）在平面直角坐标系中，已知． (1)若为轴上的一动点，点．当三点共线时，求点的坐标； (2)若为直线OA的一动点，求的最小值及此时P的坐标； (3)若，且与的夹角，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【难度】0.65 【知识点】由向量共线（平行）求参数、数量积的坐标表示、基本不等式求和的最小值 【分析】（1）设，根据题意，可得坐标，根据三点共线，可得与共线，根据向量共线的坐标运算，即可求得答案； （2）转化为二次函数最小值即可求解； （3）根据题意，求得坐标，根据题意可得恒成立，可得恒成立，令，利用换元法，可得恒成立，结合对勾函数的性质，即可得答案． 【详解】（1）设，则， 所以， 因为与共线，所以，解得， 所以当三点共线时，点的坐标为； （2）由题可知，， 因为P为直线的一动点，所以设点， 则， 当时，， 此时P点坐标为； （3）因为，所以， 所以； 因为与的夹角，所以恒成立， 所以， 又因为，所以， 所以， 即恒成立， 又因为，所以恒成立， 令，则， 换元可得， 因为，当且仅当时等号成立， 所以当时，有最小值5， 所以的取值范围是： 25．（25-26高一下·全国·课后作业）已知向量，． (1)若，试求锐角的值； (2)若，且，求的值． 【答案】(1) (2)． 【难度】0.66 【知识点】三角恒等变换的化简问题、由向量共线（平行）求参数、向量垂直的坐标表示 【分析】（1）因为，所以化简即可求解； （2）因为，所以，即，化简可得，利用同角的三角函数关系求得,再利用两角差的余弦公式求解即可. 【详解】（1）因为，所以，所以， 即，解得或（舍去）， 又是锐角，故． （2）因为，所以，即，，即． 因为，所以， 从而． 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $