专题8.2 向量的数量积（高效培优讲义）数学沪教版高一必修第二册

专题8.2 向量的数量积 教学目标 1.理解平面向量数量积的概念及其物理意义，会计算平面向量的数量积。 2.了解平面向量投影的概念与投影向量的意义。 3.会用数量积判断两个平面向量的垂直关系。 4.会用向量方法解决简单的平面几何问题、力学问题以及其它实际问题，体会向量在解决数学和实际问题中的作用。 教学重难点 1.重点 （1）平面向量的数量积的概念与应用； （2）平面向量的投影与投影向量的计算与应用； 2.难点 （1）平面向量中数量积、投影与投影向量的计算与应用； （2）平面向量中的最值与范围问题。 知识点01 平面向量的数量积 （1）平面向量数量积的定义 已知两个非零向量与，我们把数量叫做与的数量积（或内积），记作，即=，规定：零向量与任一向量的数量积为0．　　　　　　　　　　　　 （2）平面向量数量积的几何意义 ①向量的投影：叫做向量在方向上的投影数量，当为锐角时，它是正数；当为钝角时，它是负数；当为直角时，它是0． ②的几何意义：数量积等于的长度与在方向上射影的乘积． ③设，是两个非零向量，它们的夹角是与是方向相同的单位向量，，过的起点和终点，分别作所在直线的垂线，垂足分别为，得到，我们称上述变换为向量向向量投影，叫做向量在向量上的投影向量．记为． 【即学即练】 1．（24-25高一下·甘肃临夏·期末）已知且，则向量在向量上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高一下·全国·课后作业）已知在方向上的投影数量是，则 ． 知识点02 平面向量的数量积的运算律 已知向量、、和实数，则： ①；②；③． 【即学即练】 1．（25-26高一下·全国·课后作业）下面给出的关系式中，错误的有（   ） A． B． C． D． 知识点03 平面向量数量积的性质 设、都是非零向量，是与方向相同的单位向量，是与的夹角，则 ①．②． ③当与同向时，；当与反向时，． 特别地，或．④．⑤． 【即学即练】 1．（2026·陕西咸阳·模拟预测）已知，则，设所成的角为，则（    ） A．1 B．2 C． D．3 2．（24-25高二上·贵州遵义·月考）已知单位向量，满足，且，则正数的值为 . 知识点04 数量积的坐标运算 已知非零向量，，为向量、的夹角． 结论 几何表示 坐标表示 模 数量积 夹角 的充要 条件 的充要 条件 与 的关系 （当且仅当时等号成立） 题型01 求投影向量 【典例1】．（2025·江西宜春·模拟预测）已知向量、满足，，若在上的投影向量为，则（   ） A． B． C． D． 【变式1】．（25-26高三上·安徽六安·月考）已知平面向量和满足，且，则在方向上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【变式2】．（25-26高三上·黑龙江哈尔滨·月考）已知向量，满足，且，则向量在向量方向上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【变式3】．（25-26高三上·甘肃天水·月考）已知中，，，，则在方向上的投影为 ． 【变式4】．（25-26高三上·吉林长春·月考）已知向量满足，且向量的夹角为，则在方向上的投影向量是 . 题型02 求向量的数量积 【典例2】．（2026·云南·模拟预测）已知正六边形的边长为1，则 . 【变式1】．（2025·广西·模拟预测）如图，正五边形ABCDE的边长为1，则 ． 【变式2】．（25-26高三上·贵州贵阳·月考）如图，在边长为2的菱形中，，，则 【变式3】．已知，，与的夹角为，则（   ） A． B．2 C． D． 【变式4】．（25-26高三上·江西景德镇·期末）已知向量与的夹角为，则等于（    ） A． B． C． D．2 题型03 平面向量数量积的运算律 【典例3】．（24-25高一下·甘肃天水·月考）下列命题中错误的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，且，则 D．若非零向量，满足，则 【变式1】．（24-25高一下·吉林长春·月考）下列关于平面向量的说法错误的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．已知，，是三个非零向量，若，则 D．若，则 【变式2】．（24-25高一下·江苏南通·月考）设，，是非零向量，且相互不共线，则下列命题正确的有（   ） A． B． C． D．若，则 【变式3】．（25-26高三上·江西赣州·期末）已知平面上的非零向量、，定义运算：，对于平面上任意非零向量、、，则（   ） A． B．若与不垂直，则 C． D．若，则 题型04 已知平面向量的数量积，求模或参数 【典例4】．（2026·广东湛江·一模）设为单位向量，且，则（   ） A．1 B． C． D．2 【变式1】．（2024高三·全国·专题练习）已知，都是单位向量，若与垂直，且，则的值为（    ） A．1 B． C．2 D． 【变式2】．（25-26高三上·山西晋中·期末）已知向量，满足，，则 . 【变式3】．（25-26高二上·湖南长沙·月考）已知平面向量满足 且 则 题型05 垂直关系的向量表示 【典例5】．（2026·河南鹤壁·一模）已知是夹角为的两个单位向量，若，则实数 ． 【变式1】．（25-26高三上·安徽阜阳·期末）已知向量与满足，，向量与的夹角为，，则实数= . 【变式2】．（2024·辽宁葫芦岛·一模）已知向量的夹角为，且，若，则（    ） A． B． C． D． 【变式3】．（25-26高三上·云南曲靖·月考）已知，，，与垂直，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【变式4】．（25-26高二上·云南·期中）非零向量满足，且向量在向量上的投影向量为，若，则实数的值为（    ） A． B． C． D．2 题型06 向量夹角的计算 【典例1】．（25-26高一下·全国·单元测试）已知向量，满足，，，则（   ） A． B． C． D． 【变式1】．（2026高一下·全国·专题练习）若是夹角为的两个单位向量，则和的夹角的余弦值是（    ） A． B． C． D． 【变式2】．（25-26高三上·江西景德镇·期末）已知，，则（   ） A． B． C． D． 【变式3】．（25-26高三上·河北邯郸·期中）已知向量，满足，，的夹角是，则与的夹角是 ． 【变式4】．（24-25高一下·甘肃天水·月考）已知非零向量、满足，且，则与的夹角为 （用弧度表示）． 题型07 综合应用 【典例7】．（25-26高一上·江苏盐城·期末）设是两个不共线的向量，． (1)若三个向量的起点相同，且终点在同一直线上，求； (2)若，且与的夹角为，那么为何值时，的值最小？ 【变式1】．（25-26高一上·浙江台州·期末）在中，点为上一点且满足，设，，，. (1)用、表示向量； (2)若，求边的长度. 【变式2】．（25-26高三上·浙江金华·期末）如图，圆的半径为2，为圆的直径，为圆上的两点且.若，则的值为（   ）    A． B． C．2 D．3 【变式3】．（25-26高一上·广东深圳·期末）若平面向量，满足，，则当最小时， ；记与的夹角为，则的最大值为 . 一、单选题 1．（2025·四川凉山·一模）已知向量，满足，，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一下·全国·课后作业）已知，在上的投影数量为，则的值为（   ） A． B． C． D． 3．（2026·贵州·模拟预测）已知正方形ABCD的边长为6，点满足，则（   ） A． B． C． D． 4．（2026·陕西铜川·一模）已知向量为单位向量，，则的夹角为（    ） A． B． C． D． 5．已知，方向相同，且，，则（   ） A．10 B．100 C．11 D．121 6．已知平面向量，，的夹角为，，则实数（    ） A． B．1 C． D． 7．（25-26高三上·陕西咸阳·期末）已知向量，满足，，且，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 8．（25-26高三上·浙江·期末）已知向量满足，且，则（   ） A． B． C． D．2 9．（2026·云南红河·模拟预测）已知非零向量，的夹角为，且，，则（    ） A． B． C． D． 10．（2025高三·全国·专题练习）已知等腰梯形中，，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 11．已知，，且，则在方向上的投影数量为 ． 12．（25-26高一上·江苏盐城·期末）已知，在上的投影向量为，则的值为 . 13．（25-26高三上·上海·开学考试）若单位向量满足，则在方向上的数量投影为 . 14．（25-26高三上·上海松江·期中）在等边中，是边上的点.若，则 . 15．（2026·山东济南·一模）若向量满足，且，则的值为 . 16．已知向量，的夹角为，，，若，则 ． 17．（25-26高三上·湖北咸宁·期末）已知，，与的夹角为，若，则 ． 18．设，，则与的夹角 ． 19．已知平面向量与均为单位向量，，则与的夹角为 . 20．（25-26高三上·天津河西·期中）在中，，，，且，，与交于点，则 ； . 三、解答题 21．已知向量，，，满足，且，，． (1)求与的夹角； (2)是否存在实数使与垂直？ 22．（25-26高一上·安徽·期末）已知，且. (1)求向量与的夹角； (2)求. 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题8.2 向量的数量积 教学目标 1.理解平面向量数量积的概念及其物理意义，会计算平面向量的数量积。 2.了解平面向量投影的概念与投影向量的意义。 3.会用数量积判断两个平面向量的垂直关系。 4.会用向量方法解决简单的平面几何问题、力学问题以及其它实际问题，体会向量在解决数学和实际问题中的作用。 教学重难点 1.重点 （1）平面向量的数量积的概念与应用； （2）平面向量的投影与投影向量的计算与应用； 2.难点 （1）平面向量中数量积、投影与投影向量的计算与应用； （2）平面向量中的最值与范围问题。 知识点01 平面向量的数量积 （1）平面向量数量积的定义 已知两个非零向量与，我们把数量叫做与的数量积（或内积），记作，即=，规定：零向量与任一向量的数量积为0．　　　　　　　　　　　　 （2）平面向量数量积的几何意义 ①向量的投影：叫做向量在方向上的投影数量，当为锐角时，它是正数；当为钝角时，它是负数；当为直角时，它是0． ②的几何意义：数量积等于的长度与在方向上射影的乘积． ③设，是两个非零向量，它们的夹角是与是方向相同的单位向量，，过的起点和终点，分别作所在直线的垂线，垂足分别为，得到，我们称上述变换为向量向向量投影，叫做向量在向量上的投影向量．记为． 【即学即练】 1．（24-25高一下·甘肃临夏·期末）已知且，则向量在向量上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】求投影向量 【分析】根据投影向量的定义即可求解． 【详解】因为且， 所以向量在向量上的投影向量为． 故选：D． 2．（25-26高一下·全国·课后作业）已知在方向上的投影数量是，则 ． 【答案】2 【难度】0.85 【知识点】平面向量数量积的几何意义、用定义求向量的数量积 【分析】利用向量数量积的几何意义计算. 【详解】由已知，， 则． 故答案为：2 知识点02 平面向量的数量积的运算律 已知向量、、和实数，则： ①；②；③． 【即学即练】 1．（25-26高一下·全国·课后作业）下面给出的关系式中，错误的有（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.75 【知识点】向量数乘的有关计算、用定义求向量的数量积、数量积的运算律 【分析】利用数乘向量可判断A选项；利用平面向量数量积的定义可判断BCD选项. 【详解】对于A选项，，A错； 对于B选项，，B对； 对于C选项，，C对； 对于D选项，设，，则，这个向量与共线， ，这个向量与共线， 因为、不一定共线，故与不一定相等，D错. 知识点03 平面向量数量积的性质 设、都是非零向量，是与方向相同的单位向量，是与的夹角，则 ①．②． ③当与同向时，；当与反向时，． 特别地，或．④．⑤． 【即学即练】 1．（2026·陕西咸阳·模拟预测）已知，则，设所成的角为，则（    ） A．1 B．2 C． D．3 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】已知数量积求模、用定义求向量的数量积 【分析】由，计算，结合数量积定义，即可解出. 【详解】因为，所以，即. 又因为，所成的角为，所以，解得. 故选：B. 2．（24-25高二上·贵州遵义·月考）已知单位向量，满足，且，则正数的值为 . 【答案】 【难度】0.85 【知识点】已知模求参数、数量积的运算律 【分析】由数量积的定义求出，再对两边同时平方代入化简即可得出答案. 【详解】因为，是单位向量，且， 所以， 所以， 所以，解得：或. 则正数的值为. 故答案为：. 知识点04 数量积的坐标运算 已知非零向量，，为向量、的夹角． 结论 几何表示 坐标表示 模 数量积 夹角 的充要 条件 的充要 条件 与 的关系 （当且仅当时等号成立） 题型01 求投影向量 【典例1】．（2025·江西宜春·模拟预测）已知向量、满足，，若在上的投影向量为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】求投影向量 【分析】利用投影向量的定义可得出的值. 【详解】由题意可知在上的投影向量为，故. 故选：D. 【变式1】．（25-26高三上·安徽六安·月考）已知平面向量和满足，且，则在方向上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】求投影向量 【分析】利用投影向量的公式求解即可. 【详解】由题设，在方向上的投影向量为； 故选：D 【变式2】．（25-26高三上·黑龙江哈尔滨·月考）已知向量，满足，且，则向量在向量方向上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】数量积的运算律、垂直关系的向量表示、求投影向量 【分析】先利用向量垂直的性质得出向量的数量积为0，从而得出的关系，再根据投影向量公式计算． 【详解】， ，解得， 向量在向量方向上的投影向量为：， 故选：B． 【变式3】．（25-26高三上·甘肃天水·月考）已知中，，，，则在方向上的投影为 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】平面向量数量积的几何意义 【分析】借助向量投影定义与数量积公式计算即可得. 【详解】. 故答案为：. 【变式4】．（25-26高三上·吉林长春·月考）已知向量满足，且向量的夹角为，则在方向上的投影向量是 . 【答案】 【难度】0.85 【知识点】求投影向量 【分析】利用数量积定义和投影向量公式直接求解即可. 【详解】， 在方向上的投影向量为. 故答案为：. 题型02 求向量的数量积 【典例2】．（2026·云南·模拟预测）已知正六边形的边长为1，则 . 【答案】3 【难度】0.85 【知识点】用定义求向量的数量积 【分析】结合正六边形的性质以及向量数量积运算求得正确答案. 【详解】根据正六边形的性质可知， 则. 故答案为： 【变式1】．（2025·广西·模拟预测）如图，正五边形ABCDE的边长为1，则 ． 【答案】/ 【难度】0.85 【知识点】用定义求向量的数量积 【分析】根据向量数量积的定义，把转化为在上的投影与的乘积，即可求解. 【详解】如图所示，正五边形的边长为，过点作于， 则. 故答案为： 【变式2】．（25-26高三上·贵州贵阳·月考）如图，在边长为2的菱形中，，，则 【答案】 【难度】0.4 【知识点】用定义求向量的数量积 【分析】选取，为基底，根据向量的加法减法运算，利用数量积公式计算即可. 【详解】设，，且，， 因为，可得， 所以. 故答案为： 【变式3】．已知，，与的夹角为，则（   ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【难度】0.95 【知识点】用定义求向量的数量积 【分析】由数量积公式求解即可. 【详解】由题意得. 故选：A． 【变式4】．（25-26高三上·江西景德镇·期末）已知向量与的夹角为，则等于（    ） A． B． C． D．2 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】用定义求向量的数量积 【分析】根据数量积公式代入计算即可. 【详解】因为向量与的夹角为， 所以. 故选：B. 题型03 平面向量数量积的运算律 【典例3】．（24-25高一下·甘肃天水·月考）下列命题中错误的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，且，则 D．若非零向量，满足，则 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】相等向量、平行向量（共线向量）、数量积的运算律、垂直关系的向量表示 【分析】对A，若，则与不一定平行；对B，由向量相等的定义判断；对C，利用向量数量积的运算性质判断；对D，根据数量积的运算律及垂直的向量表示判断. 【详解】对于A，由于，，．则．故正确； 对于B，由向量相等的定义可知B正确； 对于C，若，即，但不一定成立，故C错误； 对于D，由，则，即， 整理得，又是非零向量，所以，故D正确. 故选：C. 【变式1】．（24-25高一下·吉林长春·月考）下列关于平面向量的说法错误的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．已知，，是三个非零向量，若，则 D．若，则 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】数量积的运算律、平行向量（共线向量）、相等向量 【分析】直接用向量的概念，向量的共线及向量的数量积的定义判断可得. 【详解】因为，则，故A错误； 若，则是错误的，如若，则与不一定相等，故B错误； 若，则是错误的，如与是相反向量，且为非零向量就不成立，故D错误. 故选：C. 【变式2】．（24-25高一下·江苏南通·月考）设，，是非零向量，且相互不共线，则下列命题正确的有（   ） A． B． C． D．若，则 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】垂直关系的向量表示、数量积的运算律 【分析】对于AD，举反例即可判断；对于BC，由数量积的运算律验算即可. 【详解】对于A，令，不垂直，此时，故A错误； 对于B，，故B正确； 所以，故C正确； 对于D，让互为相反向量，且，则有，但是此时不成立，故D错误. 故选：B. 【变式3】．（25-26高三上·江西赣州·期末）已知平面上的非零向量、，定义运算：，对于平面上任意非零向量、、，则（   ） A． B．若与不垂直，则 C． D．若，则 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】向量新定义、垂直关系的向量表示、数量积的运算律 【分析】利用题中新定义运算可判断A选项；利用特例法可判断B选项；利用题中定义结合平面向量数量积的运算性质可判断CD选项. 【详解】对于A选项，由题中定义得与共线，与共线， 所以，A错； 对于B选项，不妨取，，， 则， 所以， ， 所以， 故，B错； 对于C选项，，C对； 对于D选项，若，则， 即， 因为为非零向量，所以，所以或当时，，D错. 故选：C. 题型04 已知平面向量的数量积，求模或参数 【典例4】．（2026·广东湛江·一模）设为单位向量，且，则（   ） A．1 B． C． D．2 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】已知模求数量积、已知数量积求模 【分析】根据向量模的关系得，再计算即可. 【详解】因为为单位向量，所以， 因为，平方得，即， 所以，即. 故选：B． 【变式1】．（2024高三·全国·专题练习）已知，都是单位向量，若与垂直，且，则的值为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】已知模求参数、垂直关系的向量表示、用定义求向量的数量积 【分析】先由题意结合向量垂直的表示得，再由题设两边平方计算即可得解. 【详解】由于与垂直， 所以，所以. 又由①，两边平方并化简得， 即，故，即或（不满足①，舍去）， 所以的值为. 故选：D. 【变式2】．（25-26高三上·山西晋中·期末）已知向量，满足，，则 . 【答案】2 【难度】0.65 【知识点】垂直关系的向量表示、已知数量积求模、数量积的运算律 【分析】根据向量垂直可得其数量积为零，利用数量积运算的分配律可得，再利用数量积求向量的模可得结果. 【详解】由题可知，，即 所以. 故答案为：2. 【变式3】．（25-26高二上·湖南长沙·月考）已知平面向量满足 且 则 【答案】2 【难度】0.65 【知识点】数量积的运算律、已知数量积求模、垂直关系的向量表示 【分析】根据向量垂直得出数量积为0，再应用模长公式及性质计算求解. 【详解】平面向量满足 且 ， 则 ， 所以，所以. 故答案为：2. 题型05 垂直关系的向量表示 【典例5】．（2026·河南鹤壁·一模）已知是夹角为的两个单位向量，若，则实数 ． 【答案】4 【难度】0.85 【知识点】用定义求向量的数量积、数量积的运算律、垂直关系的向量表示 【分析】根据给定条件，利用数量积的运算律及数量积定义求解即得. 【详解】由是夹角为的两个单位向量，得， 由，得，即，所以. 故答案为：4 【变式1】．（25-26高三上·安徽阜阳·期末）已知向量与满足，，向量与的夹角为，，则实数= . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】垂直关系的向量表示、数量积的运算律 【分析】先根据向量点积公式计算出的值，再利用向量垂直的点积为这一性质，建立方程求解出实数. 【详解】由题可知， 因为，所以， 即，解得. 故答案为：. 【变式2】．（2024·辽宁葫芦岛·一模）已知向量的夹角为，且，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】已知模求参数、垂直关系的向量表示 【分析】利用平面向量的数量积运算公式结合已知直接计算即可. 【详解】因为， 所以，即， 因为，向量的夹角为， 所以， 所以，即. 故选：A. 【变式3】．（25-26高三上·云南曲靖·月考）已知，，，与垂直，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】垂直关系的向量表示、数量积的运算律 【分析】由结合数量积的定义即可求解. 【详解】因为与垂直， 所以， 解得， 故选：A 【变式4】．（25-26高二上·云南·期中）非零向量满足，且向量在向量上的投影向量为，若，则实数的值为（    ） A． B． C． D．2 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】求投影向量、垂直关系的向量表示、数量积的运算律 【分析】先利用投影向量求出，再利用向量垂直关系计算向量数量积构造关于实数的方程，最后结合及解方程求出实数． 【详解】向量在向量上的投影向量为， ， ， ， 又， ， 是非零向量，， ，解得， 故选：A． 题型06 向量夹角的计算 【典例1】．（25-26高一下·全国·单元测试）已知向量，满足，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】数量积的运算律、向量夹角的计算 【分析】计算、，再利用向量的夹角公式计算. 【详解】由题意得，，， 所以． 故选：D 【变式1】．（2026高一下·全国·专题练习）若是夹角为的两个单位向量，则和的夹角的余弦值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.4 【知识点】数量积的运算律、向量夹角的计算、已知模求数量积 【分析】由条件，根据数量积定义求，再利用向量夹角公式和数量积的性质求结论. 【详解】因为是夹角为的两个单位向量， 所以，， 设为的夹角， ， 故选：A. 【变式2】．（25-26高三上·江西景德镇·期末）已知，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】垂直关系的向量表示、向量夹角的计算、已知数量积求模、数量积的运算律 【分析】利用向量的数量积运算，即可求出模长，从而可求向量的夹角余弦值. 【详解】因为， 所以，两式相减得：，所以； 因为，所以； 代入，得到； ， 故选：D 【变式3】．（25-26高三上·河北邯郸·期中）已知向量，满足，，的夹角是，则与的夹角是 ． 【答案】/ 【难度】0.65 【知识点】向量夹角的计算 【分析】根据向量的夹角公式求解，即可得答案. 【详解】由题意得，故， 则， 结合，故与的夹角是． 故答案为： 【变式4】．（24-25高一下·甘肃天水·月考）已知非零向量、满足，且，则与的夹角为 （用弧度表示）． 【答案】/ 【难度】0.65 【知识点】数量积的运算律、向量夹角的计算 【分析】由题意得，，然后再结合夹角公式即可求解. 【详解】因为，且， 所以，所以， 因为，所以. 故答案为：. 题型07 综合应用 【典例7】．（25-26高一上·江苏盐城·期末）设是两个不共线的向量，． (1)若三个向量的起点相同，且终点在同一直线上，求； (2)若，且与的夹角为，那么为何值时，的值最小？ 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】已知向量共线（平行）求参数、数量积的运算律、已知模求参数 【分析】（1）根据平面向量共线定理进行求解即可； （2）根据平面向量数量积的运算性质和定义进行求解即可. 【详解】（1）由已知可得， ∵不共线，∴， 解得．∴当时，向量终点在同一直线上. （2）， 故当时，最小. 【变式1】．（25-26高一上·浙江台州·期末）在中，点为上一点且满足，设，，，. (1)用、表示向量； (2)若，求边的长度. 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】用基底表示向量、数量积的运算律、已知数量积求模 【分析】（1）利用平面向量的线性运算可得出关于、的表达式； （2）利用平面向量数量积的运算性质可求得的值，再利用平面向量数量积的性质可求得的值. 【详解】（1）. （2）因为， ； 由题意得，解得， 所以 . 【变式2】．（25-26高三上·浙江金华·期末）如图，圆的半径为2，为圆的直径，为圆上的两点且.若，则的值为（   ）    A． B． C．2 D．3 【答案】D 【难度】0.4 【知识点】用定义求向量的数量积、数量积的运算律、已知数量积求模、向量夹角的计算 【分析】先分解向量，用圆心出发的向量表示所有待处理向量（利用圆的半径、直径性质），再用数量积分配律展开化简，代入模长、夹角等已知条件，将式子转化为包含目标向量点积的形式，随后求解即可. 【详解】因为圆 半径 ，， 所以， 因为，所以， 所以 因为， 所以 又因为 ， 代入得， 所以， 即， 又因为 ， 所以 故选：D. 【变式3】．（25-26高一上·广东深圳·期末）若平面向量，满足，，则当最小时， ；记与的夹角为，则的最大值为 . 【答案】 1 【难度】0.4 【知识点】向量夹角的计算、已知数量积求模、数量积的运算律 【分析】①先根据已知条件求出，然后化简，然后根据数量积的定义确定其最值.②先利用向量夹角的余弦公式求出，然后利用同角的三角函数关系式求出，进而列出的表达式，然后进行化简、换元，根据基本不等式的性质确定最大值. 【详解】因为平面向量，满足，所以等式两边平方得 ，展开化简得. 因为，所以. 所以， 设向量的夹角为时，， 所以，所以. 由于取最小值时，取最大值， 所以此时，所以. 因为，所以. 所以. 令 ，则 ，令 ，则 . 由基本不等式，当 即 时， 取得最大值 . 故答案为：①1；②. 一、单选题 1．（2025·四川凉山·一模）已知向量，满足，，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】求投影向量 【分析】由投影向量的公式计算可得. 【详解】因，， 则在上的投影向量为. 故选：A. 2．（25-26高一下·全国·课后作业）已知，在上的投影数量为，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.8 【知识点】平面向量数量积的几何意义、用定义求向量的数量积 【分析】根据平面向量数量积的几何意义可求得的值. 【详解】由题意可知在上的投影的数量为， 又因为，故. 故选：B. 3．（2026·贵州·模拟预测）已知正方形ABCD的边长为6，点满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】用定义求向量的数量积、数量积的运算律 【分析】分析可知为BC的中点，结合向量的线性运算转化可得，进而求解. 【详解】因为，可知为BC的中点， 因为正方形ABCD的边长为6，则，， 可得，， 所以. 故选：B. 4．（2026·陕西铜川·一模）已知向量为单位向量，，则的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】垂直关系的向量表示、向量夹角的计算、用定义求向量的数量积 【分析】根据向量垂直的计算公式和向量数量积的定义求出，结合两向量夹角的范围即可求得答案. 【详解】由可得， 解得，因，则. 故选：C. 5．已知，方向相同，且，，则（   ） A．10 B．100 C．11 D．121 【答案】A 【难度】0.7 【知识点】数量积的运算律、已知数量积求模、已知模求数量积 【分析】根据题意，两向量方向相同，结合向量的模性质求解即可. 【详解】由题意可得：因为，同向，所以向量夹角为零.且， 所以. 故选：A. 6．已知平面向量，，的夹角为，，则实数（    ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】已知模求参数、已知数量积求模 【分析】对两边平方，再由数量积公式计算可得答案. 【详解】因为，所以， 即，解得. 故选：A. 7．（25-26高三上·陕西咸阳·期末）已知向量，满足，，且，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】垂直关系的向量表示、向量夹角的计算、数量积的运算律 【分析】先由向量的垂直可得，进而再由夹角公式可得. 【详解】由，得，又， 所以，，且, 所以， 故选：C. 8．（25-26高三上·浙江·期末）已知向量满足，且，则（   ） A． B． C． D．2 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】已知数量积求模、垂直关系的向量表示 【分析】根据向量模的计算公式及向量垂直的条件可得结果. 【详解】因为，所以， 两式相减得，即． 又，所以，联立，解得,即． 故选：C． 9．（2026·云南红河·模拟预测）已知非零向量，的夹角为，且，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】向量夹角的计算、数量积的运算律、用定义求向量的数量积 【分析】根据数量积的定义及运算律计算可得. 【详解】因为，所以，即，即． 又因为，所以，又， 解得． 故选：D． 10．（2025高三·全国·专题练习）已知等腰梯形中，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.4 【知识点】向量加法法则的几何应用、向量减法的法则、用定义求向量的数量积、数量积的运算律 【分析】应用向量的加减法结合数量积运算律计算求解. 【详解】如图，设的中点为，则为平行四边形． 于是， 且， 又因为且，所以为等边三角形， 所以， 从而， 故选：B． 二、多选题 11．已知，，且，则在方向上的投影数量为 ． 【答案】4 【难度】0.85 【知识点】平面向量数量积的几何意义、求投影向量 【分析】由条件结合投影数量的定义求解即可. 【详解】由投影数量的定义可知在方向上的投影数量为． 故答案为：. 12．（25-26高一上·江苏盐城·期末）已知，在上的投影向量为，则的值为 . 【答案】2 【难度】0.85 【知识点】平面向量数量积的几何意义、求投影向量 【分析】利用投影向量的定义可得答案. 【详解】由投影向量公式，在上的投影向量为， 由题意得 又，代入得即 故答案为：2 13．（25-26高三上·上海·开学考试）若单位向量满足，则在方向上的数量投影为 . 【答案】 【难度】0.85 【知识点】平面向量数量积的几何意义 【分析】对已知等式进行平方，结合平面向量的数量积运算公式、数量投影定义进行求解即可. 【详解】 ， 则在方向上的数量投影为. 故答案为： 14．（25-26高三上·上海松江·期中）在等边中，是边上的点.若，则 . 【答案】14 【难度】0.65 【知识点】数量积的运算律、用定义求向量的数量积 【分析】应用平面向量数量积定义及数量积运算律计算求解. 【详解】在等边中，， 则. 故答案为：. 15．（2026·山东济南·一模）若向量满足，且，则的值为 . 【答案】 【难度】0.85 【知识点】数量积的运算律、已知数量积求模 【分析】先利用向量的数量积的运算律得，然后再利用数量积的运算律及模长公式求解即可. 【详解】因为，所以两边平方得，则， 因为，所以. 故答案为： 16．已知向量，的夹角为，，，若，则 ． 【答案】/ 【难度】0.65 【知识点】垂直关系的向量表示、已知数量积求模、数量积的运算律、用定义求向量的数量积 【分析】根据向量的数量积运算及向量垂直的充要条件，列出相应的方程，求解可得. 【详解】因为向量，的夹角为，，， . ， ， 解得． 故答案为：. 17．（25-26高三上·湖北咸宁·期末）已知，，与的夹角为，若，则 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】已知数量积求模、垂直关系的向量表示 【分析】利用向量垂直的充要条件数量积为0，转化为数量积运算求得的值，再根据，利用向量数量积的运算律求得结果. 【详解】因为，，与的夹角为，所以， 因为， 所以，即，. 所以. 故答案为：. 18．设，，则与的夹角 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】向量夹角的计算 【分析】应用平面向量的夹角余弦公式计算结合夹角范围计算求角. 【详解】因为，， 设与的夹角为，， 所以，所以． 故答案为：． 19．已知平面向量与均为单位向量，，则与的夹角为 . 【答案】/ 【难度】0.65 【知识点】数量积的运算律、向量夹角的计算 【分析】根据题设，结合平面向量数量积的定义及运算律求解即可. 【详解】由题意，，， 则，即， 则，所以， 又，则. 故答案为：. 20．（25-26高三上·天津河西·期中）在中，，，，且，，与交于点，则 ； . 【答案】 / 【难度】0.65 【知识点】向量夹角的计算、数量积的运算律、用定义求向量的数量积 【分析】先应用向量的数量积公式计算，再应用数量积的运算律计算求解；结合模长公式及向量夹角余弦公式计算求解. 【详解】在中，，，，所以， 又因为，， 所以， 所以 ； 因为与交于点，所以所成角等于所成角， 所以， ， 所以. 故答案为：；. 三、解答题 21．已知向量，，，满足，且，，． (1)求与的夹角； (2)是否存在实数使与垂直？ 【答案】(1) (2)存在 【难度】0.72 【知识点】数量积的运算律、向量夹角的计算、垂直关系的向量表示 【分析】（1）由已知得，再平方后由数量积的定义求解； （2）利用求得即可. 【详解】（1）， ，， ，即， ． 又， ， ，又，所以； （2）若，则， 即， ，， ∴存在使得与垂直． 22．（25-26高一上·安徽·期末）已知，且. (1)求向量与的夹角； (2)求. 【答案】(1)； (2). 【难度】0.65 【知识点】数量积的运算律、已知数量积求模、向量夹角的计算 【分析】（1）根据向量数量积运算，结合已知条件，直接计算即可； （2）由（1）中所求数量积，结合数量积运算律，求解即可. 【详解】（1）由，得， 即，解得，又，所以. （2）由（1）得，，故可得：， 则. 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $