8.3.3向量的坐标表示及其运算讲义-2021-2022学年高一下学期数学沪教版（2020）必修第二册

向量的坐标表示及其运算 1、基本单位向量：在平面直角坐标系中，方向与轴和轴正方向分别相同的的两个单位向量叫做基本单位向量，分别记为。 2、向量的正交分解 ：将向量表示成两个相互垂直的基本单位向量的线性组合，这种向量的表示方法我们称为向量的正交分解. 即，抽象成坐标 3、位置向量：以原点O为起点的向量为位置向量， 即为一个位置向量. 由练习可知：任意位置向量都能用表示，即 向量的坐标表示 通过向量平移后两向量相等，可知：在平面直角坐标系内，任意一个向量都存在一个与它相等的位置向量.所以，我们研究向量的性质就可以通过研究其相应的位置向量. 平面内任意的一个向量都可以正交分解为基本单位向量的线性组合.即： == 不仅是向量的坐标，而且也是与相等的位置向量的终点的坐标。当将向量的起点置于坐标原点时，其终点A的坐标是唯一的，所以向量的坐标也是唯一的. 显然，依上面的表示法，我们有：. 向量的坐标表示的运算 设是一个实数， 因为 所以（1） （2） （3）向量 的模： （4）两向量相等：例1.如图，写出向量的坐标. 例2.如下图左，设、是平面直角坐标系内的任意两点，如何用P、Q的坐标来表示向量？ 总结：任意向量坐标=终点坐标-起点坐标 例3.如图，平面上、、三点的坐标分别为、、. （1）写出向量的坐标； （2）如果四边形是平行四边形，求的坐标。 例4、已知向量与，求的坐标。 例5、已知平面内两点的坐标分别为，求的单位向量 数量积的定义： 已知两个非零向量与，它们的夹角为，我们把数量叫做与的数量积（或内积），记作：·，即：·= 例题1、如图，平行四边形的两条对角线相交于点，且，，用分别表示、、、． 例2．已知为两不平行非零向量，，，，试用表示． 例3．如图，在中，，，， 是边上一点，，求 平面向量的坐标表示（总结） 1、 知识要点 1、 平面向量的基本概念 （1） 定义：既有大小又有方向的量叫做向量，一般地，以点A为始点，点B为终点的向量记作，也可以记作，在建立坐标系后，向量还可以用坐标表示． （2） 零向量：模为0的向量叫做零向量，记作；它的方向是不确定的． （3） 向量的大小，即长度，叫做向量的模，记作． （4