专题8.3.2 向量的正交分解与向量线性运算的坐标表示 （4大知识点+8大题型+强化训练）提升讲义-2025-2026学年高一数学寒假班预修（沪教版必修第二册)

2025-2026学年高一数学寒假班预修提升讲义 专题8.3.2 向量的正交分解与向量线性运算的坐标表示 知识点一、向量的正交分解与坐标表示 1.正交分解：将向量分解为两个互相垂直的向量的线性组合（通常取轴、轴正方向的单位向量、）. 如果基底的两个基向量、互相垂直，则称这个基底为正交基底，在正交基底下分解向量，叫做正交分解，事实上，正交分解是平面向量基本定理的特殊形式． 2.坐标表示：如图，在平面直角坐标系内，分别取与轴、轴方向相同的两个单位向量、作为基底，对于平面上的一个向量，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数，使得=．这样，平面内的任一向量都可由唯一确定，我们把有序数对叫做向量的（直角）坐标，记作=，x叫做在轴上的坐标，叫做在轴上的坐标．把叫做向量的坐标表示．给出了平面向量的直角坐标表示，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都可以用一有序数对唯一表示，从而建立了向量与实数的联系，为向量运算数量化、代数化奠定了基础，沟通了数与形的联系． 3.位置向量：起点在原点的向量.其坐标与终点坐标相同； 诠释： （1）由向量的坐标定义知，两向量相等的充要条件是它们的坐标相等，即且，其中，． （2）要把点的坐标与向量坐标区别开来．相等的向量的坐标是相同的，但始点、终点的坐标可以不同．比如，若，，则；若，，则，，显然A、B、C、D四点坐标各不相同． （3）在直角坐标系中有双重意义，它既可以表示一个固定的点，又可以表示一个向量． 概念 区别 点的坐标 表示点的位置（如） 向量的坐标 表示向量的大小与方向（如） 知识点二、向量线性运算的坐标表示 设...则： 1.加法： 2.减法： 3.数乘： 4.向量的坐标表示：若、.则. 5.向量相等的坐标条件：且. 6.中点坐标公式：若是、的中点.则； 知识点三、向量模的坐标运算 1.设，则或 2.如果表示向量的有向线段的起点和终点的坐标分别为、，那么（平面内两点间的距离公式）． 知识点四、平面向量平行（共线）的坐标表示 1、平面向量平行（共线）的坐标表示 设非零向量，则，即，或． 若，则不能表示成因为分母有可能为0． 2、三点共线的判断方法 判断三点是否共线，先求每两点对应的向量，然后再按两向量共线进行判定，即已知 ，， 若则A，B，C三点共线． 题型一 向量的正交分解 【例1】1.平面直角坐标系内，为坐标原点，若点，则向量的向量正交分解形式是 ． 【答案】 【分析】根据向量的正交分解直接可得答案. 【解析】因为点，所以 故答案为： 2.若向量，则对应的位置向量的终点坐标是 ． 【答案】 【分析】利用向量运算法则进行求解即可. 【详解】，所以对应的位置向量的终点坐标是. 故答案为： 【跟踪训练】 1．如果用分别表示x轴和y轴正方向上的单位向量，且，则可以表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据向量的坐标表示求出，再根据正交分解即可得解. 【解析】因为，所以， 所以. 故选：C. 2.如图，是夹角为120°的两个单位向量，，且，．求在基下的坐标．    【解析】如图， 作平行四边形OBAC，则． 因为，， 所以，在中，，． 所以，即． 因此在基下的坐标为． 题型二 向量的坐标表示 【例2】如图，设为一组标准正交基，用这组标准正交基分别表示向量，，，，并求出它们的坐标．    【解析】由图可知： ，对应坐标为； ，对应坐标为； ，对应坐标为； ，对应坐标为. 【跟踪训练】 1.若，，则的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用向量的坐标运算求解即可 【详解】因为，， 所以， 故选：B. 2.如图，在平行四边形中，已知、、，其对角线交点为M.求： (1)向量与的坐标； (2)点D与M的坐标. 【答案】(1)，. (2)， 【分析】（1）根据向量的坐标运算即可求解；（2）利用中点坐标公式，然后求解M点坐标，再根据向量相等，即可利用坐标相等求解D点坐标. 【详解】（1）因为 所以， . （2）设，因为M为中点，、， 所以，所以. 设，则， 由得， 即所以即. 题型三 向量线性运算的坐标表示 【名师点拨】平面向量坐标运算的技巧 （1）若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差的运算法则进行． （2）若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算． 【例3】1.已知，，,则________ 【解题思路】根据给定条件，利用向量线性运算的坐标表示求解判断. 【解答过程】由，，，得， 所以. 2.若，，则的坐标为________ 【分析】由向量减法的坐标运算即可得解. 【详解】因为，， 所以. 3.已知向量，则________ 【解题思路】根据向量线性运算的坐标表示，可得答案. 【解答过程】由题意可得. 【例4】已知，若，则等于（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据向量线性运算的坐标表示求解即可. 【解答过程】由题意得， 因为， 所以⇒ 故. 故选：A. 【跟踪训练】 1．已知，则 . 【答案】 【分析】首先表示出，，再根据线性运算的坐标表示计算可得. 【解析】因为， 所以，， 所以. 故答案为： 2.已知 ，且 ，则 ______ 【分析】利用向量数乘的运算法则可得答案. 【详解】. 3.已知，，求，，的坐标． 【解析】由题意，， ， . 4.设向量绕点逆时针旋转得向量，且，则向量_____ 【分析】设，求出，求出，求出和即可求解. 【详解】设，则， 所以， 即，解得， 因此，，． 故选：B． 5.已知，，，若，则 . 【答案】 【解析】根据题意，由向量的坐标表示，列出方程，求出，，即可得出结果.因为，，， 若，则，解得，所以. 故答案为：. 6.已知，，求，的坐标． 【解析】因为，，则， . 7.设x，y为实数，已知点A（l，2），B（3，2），向量与相等，求x，y的值． 【答案】 【分析】先求得，再根据向量与相等求解. 【详解】因为点A（l，2），B（3，2）， 所以， 又因为向量与相等， 所以， 解得． 题型四 利用向量坐标运算求点的坐标 【名师点拨】1、在进行平面向量的坐标运算时，应先将平面向量用坐标的形式表示出来，再根据两个向量的和、差运算法则进行计算；2、在求一个向量时，可以首先求出这个向量的起点坐标和终点坐标，再运用终点坐标减去起点坐标得到该向量的坐标；3、求一个点的坐标，可以转化为求以原点为起点，该点为终点的向量的坐标； 【例5】已知点、，且，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据向量的线性运算求得的坐标. 【详解】设为坐标原点， , 整理得. 故选：A 【跟踪训练】 1.已知点，，且，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用平面向量的坐标运算即可求解. 【详解】设，则，. 因为，所以，解得， 所以点的坐标为. 故选：B. 2.已知，是直线上一点，若，求点的坐标. 【答案】 【分析】设，根据向量共线的坐标运算求解. 【详解】因为， 所以， 因为， 所以， 解得， 即 3.已知平面上两点的坐标分别是是直线上的一点，且，则点的坐标是 ． 【答案】 【解析】设，则， 故，即，解得， 故点的坐标为. 故答案为：. 4.已知，，，则点的坐标为 【答案】 【分析】根据平面向量线性运算的坐标表示即可求解. 【详解】设点， 则，， 因为，所以，解得， 所以点的坐标为. 故答案为：. 5.已知点，向量，，，则P点坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用向量线性运算的坐标表示求出即可. 【详解】向量，，，可得：, 则, 因为点，则P点坐标为 故选：A 题型五 向量模的坐标运算 【例6】已知，，则 ． 【答案】 【分析】先根据向量的加法坐标运算求出，再根据向量的模计算公式即可求解. 【详解】， ． 故答案为：. 【例7】已知向量，则的最大值为 . 【答案】 【解析】因为， 所以， 所以 ， 所以当，即时取得最大值，且. 故答案为： 【跟踪训练】 1．已知向量和满足，则 . 【答案】 【解析】由，得， 根据向量模长公式. 故答案为：. 2.已知向量，满足，，则 ． 【答案】 【分析】根据向量的坐标运算得出的坐标，再根据求模公式计算. 【详解】法1：由题意可得，， ， 故，， 故. 法2：由题意可得，. 故答案为： 题型六 单位向量的坐标表示 【例8】已知两点，则与向量同向的单位向量是 ． 【答案】 【解析】因为 所以，所以 与向量同向的单位向量是． 故答案为：． 【跟踪训练】 1.已知，则的单位向量坐标为 ． 【答案】 【分析】先求，在根据单位向量的公式求解. 【详解】. 故答案为： 2.已知向量，则与共线且反向的单位向量为（    ） A． B． C．或 D． 【答案】B 【分析】根据单位向量及相反向量的定义计算即可. 【详解】与共线且反向的单位向量为. 故选：B 题型七 向量共线的坐标表示 【例9】若两个非零向量，，则是与共线的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】利用向量共线的意义，结合充分条件、必要条件的定义直接判断. 【详解】令，则，，即向量与共线； 取，，满足与共线，而不成立， 所以是与共线的充分不必要条件. 故选：A 【例10】已知向量，与平行，则的值为 ． 【答案】/ 【分析】根据题意，得到，结合与，列出方程，即可求解. 【详解】由向量，可得， 因为与，可得，解得. 故答案为：. 【例11】若三点共线，则实数的值为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【分析】由三点共线，可知存在唯一实数，使得，根据向量的共线定理，建立方程组即可解得. 【详解】因为，，三点共线，所以存在唯一实数，使得， 又因为，， 所以，即，解得， 所以的值为. 故选：A 【跟踪训练】 1.已知向量满足，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意，可求，，即可判断A；根据模长公式判断B；由垂直的坐标表达式判断C，进而判断D. 【详解】对于A，因为， 所以，，故A错误； 对于B，，所以，故B错误； 对于C，，所以，故C正确； 对于D，，故D错误. 故选：C 2.已知向量．若为实数，且，则（   ） A．1 B．2 C． D． 【答案】D 【分析】根据平面向量运算的坐标表示和向量共线的坐标公式计算即可. 【详解】因为向量， 所以. 因为，所以，解得. 故选：D. 3.已知向量，若三点共线，则（    ） A． B．49 C．21 D． 【答案】D 【分析】根据共线向量的坐标表示公式计算即得. 【详解】由，可得， 因三点共线，则与共线， 故有，解得. 故选：D. 4.已知O为坐标原点，若不重合的三点，，共线，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由共线求出，检验即可得解. 【详解】因为，，， 所以， 若不重合的三点，，共线， 则，解得或， 当时，重合，矛盾， 当时，都不重合，故满足题意， 所以. 故选：A. 题型八 向量坐标运算的几何应用 【例12】在平面四边形ABCD中，，若 ，则（　　） A． B．2 C． D． 【答案】A 【解题思路】建立坐标系，利用平面向量的坐标法求解. 【解答过程】以AC所在直线为x轴，AC的垂直平分线为y轴， 建立平面直角坐标系（点D在x轴上方）， 设，则， ， 因为 ，所以 所以，解得，所以. 故选：A. 【例13】如图，平面上A，B，C三点的坐标分别为.    (1)写出向量的坐标; (2)如果四边形ABCD是平行四边形，求点的坐标. 【答案】(1)，， (2) 【解题思路】(1) 由向量的坐标运算即可求解； (2) 由平行四边形的性质结合向量相等即可求出D的坐标. 【解答过程】（1）， ， . （2）设，由，可得， 所以，故. 一、选择题 1.已知，分别为的边，的中点，若，，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据向量的数乘运算，向量坐标与终点、始点的关系求解. 【详解】因为，分别为AB，AC的中点，所以. 设，又，所以，即解得 即点的坐标为. 故选：A. 2．已知点、，且，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据向量的线性运算求得的坐标. 【详解】设为坐标原点， , 整理得. 故选：A 3.已知，，则（    ） A．2 B． C．4 D．8 【答案】B 【分析】根据向量的坐标表示和向量的模进行求解即可. 【详解】因为， 所以. 所以. 故选：B. 4.已知向量，若，则实数（    ） A． B． C．11 D．2 【答案】D 【解析】，因为， 则，解得. 故选：D. 5.已知向量，，，若，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意可得，，且， 由可得，解得. 故选：B 二、填空题 6.向量的坐标表示为 ；坐标为的向量，用正交分解表示为 【答案】 ；； 【解析】根据向量的坐标表示，可得向量的坐标表示为， 坐标为的向量为，即坐标为的向量的正交分解为. 故答案为：， 7.已知，分别表示x轴和y轴方向上的单位向量，且＝4－3，则向量的坐标为 【答案】(4，－3)； 【解析】由＝4－3，得＝(4，－3)； 8.如图，向量，是两个互相垂直的单位向量，向量与的夹角是30°，且，以为原点，向量，为基底，则向量 【答案】＝2＋2 【解析】由图；，由； 9.知点A(0，1)，B(3，2)，向量＝(－4，－3)，则向量＝ 【答案】(－7，－4)； 【解析】方法1：设C(x，y)，则＝(x，y－1)＝(－4，－3)，所以 从而＝(－4，－2)－(3，2)＝(－7，－4)；故选A； 方法2：＝(3，2)－(0，1)＝(3，1)，＝－＝(－4，－3)－(3，1)＝(－7，－4)； 10.已知点A(2,1)，B(－2,3)，且＝，则点C的坐标为 【答案】(0，2) 【解析】设C(x，y)，则(x－2，y－1)＝(－4，2)＝(－2，1)，所以，x＝0，y＝2； 11.已知平面向量，，则向量__________． 【答案】 【分析】根据平面向量的坐标运算计算即可. 【详解】因为， 所以 故答案为：. 13.已知向量、满足，，则 ． 【答案】 【解析】因为，故． 故答案为：． 14.已知两点A(4，1)，B(7，－3)，则与向量同向的单位向量是 【答案】； 【解析】因为与同向的单位向量为，＝(7，－3)－(4,1)＝(3，－4)， ||＝＝5，所以＝； 15．已知向量 ，且，则 ， ． 【答案】 0 【解析】由得 ，即，解得 故答案为：；0 16.已知向量，，则与共线，则实数_________． 【答案】 【分析】根据向量平行得到，解得答案. 【详解】向量，，与共线，则，解得. 故答案为： 17.已知向量，则向量的单位向量______． 【答案】或 18.已知向量，若，则 . 【答案】． 【解析】因为向量， 若，则，解得， 即，所以． 故答案为：． 19.已知向量，且，则 . 【答案】 【解析】， 因为，所以，解得， 所以. 故答案为：. 3、 解答题 20.已知点A（1，2），B（4，5），O（0，0）及． （1）当m为何值时，P在x轴上？P在y轴上？P在第四象限？ （2）四边形OABP能否成为平行四边形？若能，求出相应的m的值；若不能，说明为什么． 【解析】（1）因为点A（1，2），B（4，5），O（0，0）及 所以. 若P在x轴上，则，解得：； 若P在y轴上，则，解得：； 若P在第四象限，则，解得：； 综上所述：当时，P在x轴上；当时，P在y轴上；当时， P在第四象限； （2）假设四边形OABP能构成为平行四边形，则； 因为，所以，解得：m=0. 所以m=0时，四边形OABP能构成为平行四边形； 21．（23-24高一下·河北邢台·期中）已知向量满足，． (1)求； (2)求； (3)若向量与向量的方向相反，求实数的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）首先求出、的坐标，从而得到的坐标，再根据数量积的坐标表示计算可得； （2）求出的坐标，利用坐标法计算可得； （3）首先求出与的坐标，根据向量共线的坐标表示求出，再代入检验. 【详解】（1）因为，， 所以，则， 所以， 所以， 所以； （2）因为， 所以； （3）因为，， 所以， ， 因为与共线， 则，解得或， 当时，，，则， 此时与方向相同，不符题意； 当时，，，则， 此时与方向相反，符合题意； 综上可得． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学寒假班预修提升讲义 专题8.3.2 向量的正交分解与向量线性运算的坐标表示 知识点一、向量的正交分解与坐标表示 1.正交分解：将向量分解为两个互相垂直的向量的线性组合（通常取轴、轴正方向的单位向量、）. 如果基底的两个基向量、互相垂直，则称这个基底为正交基底，在正交基底下分解向量，叫做正交分解，事实上，正交分解是平面向量基本定理的特殊形式． 2.坐标表示：如图，在平面直角坐标系内，分别取与轴、轴方向相同的两个单位向量、作为基底，对于平面上的一个向量，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数，使得=．这样，平面内的任一向量都可由唯一确定，我们把有序数对叫做向量的（直角）坐标，记作=，x叫做在轴上的坐标，叫做在轴上的坐标．把叫做向量的坐标表示．给出了平面向量的直角坐标表示，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都可以用一有序数对唯一表示，从而建立了向量与实数的联系，为向量运算数量化、代数化奠定了基础，沟通了数与形的联系． 3.位置向量：起点在原点的向量.其坐标与终点坐标相同； 诠释： （1）由向量的坐标定义知，两向量相等的充要条件是它们的坐标相等，即且，其中，． （2）要把点的坐标与向量坐标区别开来．相等的向量的坐标是相同的，但始点、终点的坐标可以不同．比如，若，，则；若，，则，，显然A、B、C、D四点坐标各不相同． （3）在直角坐标系中有双重意义，它既可以表示一个固定的点，又可以表示一个向量． 概念 区别 点的坐标 表示点的位置（如） 向量的坐标 表示向量的大小与方向（如） 知识点二、向量线性运算的坐标表示 设...则： 1.加法： 2.减法： 3.数乘： 4.向量的坐标表示：若、.则. 5.向量相等的坐标条件：且. 6.中点坐标公式：若是、的中点.则； 知识点三、向量模的坐标运算 1.设，则或 2.如果表示向量的有向线段的起点和终点的坐标分别为、，那么（平面内两点间的距离公式）． 知识点四、平面向量平行（共线）的坐标表示 1、平面向量平行（共线）的坐标表示 设非零向量，则，即，或． 若，则不能表示成因为分母有可能为0． 2、三点共线的判断方法 判断三点是否共线，先求每两点对应的向量，然后再按两向量共线进行判定，即已知 ，， 若则A，B，C三点共线． 题型一 向量的正交分解 【例1】1.平面直角坐标系内，为坐标原点，若点，则向量的向量正交分解形式是 ． 2.若向量，则对应的位置向量的终点坐标是 ． 【跟踪训练】 1．如果用分别表示x轴和y轴正方向上的单位向量，且，则可以表示为（    ） A． B． C． D． 2.如图，是夹角为120°的两个单位向量，，且，．求在基下的坐标．    题型二 向量的坐标表示 【例2】如图，设为一组标准正交基，用这组标准正交基分别表示向量，，，，并求出它们的坐标．    【跟踪训练】 1.若，，则的坐标是（    ） A． B． C． D． 2.如图，在平行四边形中，已知、、，其对角线交点为M.求： (1)向量与的坐标； (2)点D与M的坐标. 题型三 向量线性运算的坐标表示 【名师点拨】平面向量坐标运算的技巧 （1）若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差的运算法则进行． （2）若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算． 【例3】1.已知，，,则________ 2.若，，则的坐标为________ 3.已知向量，则________ 【例4】已知，若，则等于（　　） A． B． C． D． 【跟踪训练】 1．已知，则 . 2.已知 ，且 ，则 _______ 3.设x，y为实数，已知点A（l，2），B（3，2），向量与相等，求x，y的值． 4.设向量绕点逆时针旋转得向量，且，则向量______ 5.已知，，，若，则 . 6.已知，，求，，的坐标． 7.已知，，求，的坐标． 题型四 利用向量坐标运算求点的坐标 【名师点拨】1、在进行平面向量的坐标运算时，应先将平面向量用坐标的形式表示出来，再根据两个向量的和、差运算法则进行计算；2、在求一个向量时，可以首先求出这个向量的起点坐标和终点坐标，再运用终点坐标减去起点坐标得到该向量的坐标；3、求一个点的坐标，可以转化为求以原点为起点，该点为终点的向量的坐标； 【例5】已知点、，且，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练】 1.已知点，，且，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 2.已知，是直线上一点，若，求点的坐标. 3.已知平面上两点的坐标分别是是直线上的一点，且，则点的坐标是 ． 4.已知，，，则点的坐标为 5.已知点，向量，，，则P点坐标为（   ） A． B． C． D． 题型五 向量模的坐标运算 【例6】已知，，则 ． 【例7】已知向量，则的最大值为 . 【跟踪训练】 1．已知向量和满足，则 . 2.已知向量，满足，，则 ． 题型六 单位向量的坐标表示 【例8】已知两点，则与向量同向的单位向量是 ． 【跟踪训练】 1.已知，则的单位向量坐标为 ． 2.已知向量，则与共线且反向的单位向量为（    ） A． B． C．或 D． 题型七 向量共线的坐标表示 【例9】若两个非零向量，，则是与共线的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【例10】已知向量，与平行，则的值为 ． 【例11】若三点共线，则实数的值为（    ） A． B． C．1 D． 【跟踪训练】 1.已知向量满足，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 2.已知向量．若为实数，且，则（   ） A．1 B．2 C． D． 3.已知向量，若三点共线，则（    ） A． B．49 C．21 D． 4.已知O为坐标原点，若不重合的三点，，共线，则（   ） A． B． C． D． 题型八 向量坐标运算的几何应用 【例12】在平面四边形ABCD中，，若 ，则（　　） A． B．2 C． D． 【例13】如图，平面上A，B，C三点的坐标分别为.    (1)写出向量的坐标; (2)如果四边形ABCD是平行四边形，求点的坐标. 一、选择题 1.已知，分别为的边，的中点，若，，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 2．已知点、，且，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 3.已知，，则（    ） A．2 B． C．4 D．8 4.已知向量，若，则实数（    ） A． B． C．11 D．2 5.已知向量，，，若，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 6.向量的坐标表示为 ；坐标为的向量，用正交分解表示为 7.已知，分别表示x轴和y轴方向上的单位向量，且＝4－3，则向量的坐标为 8.如图，向量，是两个互相垂直的单位向量，向量与的夹角是30°，且，以为原点，向量，为基底，则向量 9.知点A(0，1)，B(3，2)，向量＝(－4，－3)，则向量＝ 10.已知点A(2,1)，B(－2,3)，且＝，则点C的坐标为 11.已知平面向量，，则向量__________． 13.已知向量、满足，，则 ． 14.已知两点A(4，1)，B(7，－3)，则与向量同向的单位向量是 15．已知向量 ，且，则 ， ． 16.已知向量，，则与共线，则实数_________． 17.已知向量，则向量的单位向量______． 18.已知向量，若，则 . 19.已知向量，且，则 . 3、 解答题 20.已知点A（1，2），B（4，5），O（0，0）及． （1）当m为何值时，P在x轴上？P在y轴上？P在第四象限？ （2）四边形OABP能否成为平行四边形？若能，求出相应的m的值；若不能，说明为什么． 21．（23-24高一下·河北邢台·期中）已知向量满足，． (1)求； (2)求； (3)若向量与向量的方向相反，求实数的值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $