专题01 平行线的判定与性质的五种模型（高效培优专项训练）数学新教材北师大版七年级下册

专题01 平行线的判定与性质的五种模型 目录 题型一：由平行线的判定与性质进行计算 1 题型二：由平行线的判定与性质探究角度之间的关系 4 题型三：由平行线的判定与性质确定角度定值问题 11 题型四：由平行线的判定与性质解决三角尺问题 19 题型五：由平行线的判定与性质解决旋转问题 28 题型一：由平行线的判定与性质进行计算 1．（25-26七年级上·江苏无锡·期末）如图，，与交于点． (1)若，求的度数； (2)若，，试判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】本题考查了垂直的定义，平行线的判定方法及性质等； （1）由同位角相等，两直线平行得，由两直线平行，同位角相等得，即可求解； （2）由两直线平行，同位角相等得，由平行线的性质得，即可得证； 掌握平行线的判定方法及性质是解题的关键． 【详解】（1）解：， ， ， ， ； （2）解：，理由如下： ， ， ， ， ， 由（1）可知，， ， ． 2．（25-26七年级上·江苏无锡·期末）如图，在四边形中，是延长线的一点．连接交于点．若． (1)求证：； (2)若．求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质，补角的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据，，得出，再根据平行线的判定方法进行求解即可； （2）由平行线的性质可得，根据，得出，根据平行线的判定得出，根据平行线的性质求出结果即可． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 3．（25-26八年级上·广东茂名·期末）如图，在三角形中，点D、F在边上，点E在边上，点G在边上，与的延长线交于点H，，． (1)求证：； (2)若，且，求的度数． 【答案】(1)证明见详解 (2) 【分析】本题主要考查平行线的性质与判定，根据平行线得到角度关系是解题的关键． （1）首先根据得到，再根据进行角度转化计算即可得到，进而证明； （2）首先根据得到，进行角度转化得到进而得到，再结合即可求出的度数． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， 由（1）得：， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴． 4．（25-26八年级上·河北保定·期末）如图，点是上一点，，，，． (1)___________； (2)求证：直线； (3)若，求的度数． 【答案】(1)70 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，解题的关键是： （1）根据两直线平行，内错角相等求解即可； （2）先求出，结合已知可得出，然后根据同旁内角互补，两直线平行即可得证； （3）根据平行线的传递性得出，然后根据平行线的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， 故答案为：70； （2）证明：∵，， ∴， 又， ∴， ∴； （3）解：∵，， ∴， ∴， 又， ∴， 又， ∴． 题型二：由平行线的判定与性质探究角度之间的关系 5．（25-26七年级上·安徽六安·月考）如图，已知，点是射线上一动点（与点不重合），、分别平分和，且分别交射线于点、． (1)当 时，直接填空：___________，____________； (2)点运动过程中，的值是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，求出它的比值； (3)当，时，求的度数． 【答案】(1)； (2)不变， (3) 【分析】本题主要考查了平行线的性质，有关角平分线的计算，熟练掌握平行线的性质定理是解题的关键． （1）根据，由同旁内角互补得，因为、分别平分和，根据角度等量关系可得，即可解出答案； （2）由角平分线与平行线的性质，可得，故得的比值不变； （3）根据角度之间的倍数关系，证出以及，根据平行线同旁内角互补以及角度关系转换可得出，故可求出的度数． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵、分别平分和， ∴，， ∴， 故答案为：；． （2）解：的值不发生变化． 理由如下： ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵平分，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴． 6．（25-26八年级上·山东青岛·期末）（1）基础问题：如图（1），若，，，则的度数为____________°． （2）问题迁移：如图（2），若，点P在的上方，问：、、之间有什么数量关系？请说明理由． （3）联想拓展：如图（3），在（2）的条件下，已知，，的角平分线和的平分线交于点G，则____________°（用含有、的代数式表示）． 【答案】（1）90；（2），理由见解析；（3） 【分析】本题主要考查平行线的性质与判定，角平分线的计算，灵活运用平行线的性质与判定是解题的关键． （1）过点作，根据平行线的性质与判定可求解； （2）过P点作，则，可得，进而可得，即可求解； （3）过点G作的平行线，利用平行线的判定与性质、角平分线的性质求解即可． 【详解】解：（1）如图1，过点作． ， ， ∵， ，． ， 故答案为：90； （2）．理由如下： 如图2，过点作， ， ， ，， ； （3）如图3，过点G作的平行线． ，， ， ，， 又的平分线和的平分线交于点G，， ，， 由（2）得，， ∴， ， ． 故答案为：． 7．（25-26七年级上·重庆万州·月考）如图1，由线段，，，组成的图形像“∑”形，称为“∑形”． (1)如图2，在“∑形”中，若，，求出的度数． (2)如图3，连接，若，，试猜想与之间的数量关系，并说明理由． (3)如图4，在（2）的条件下，当点M在线段的延长线上从上向下移动时，请直接写出与之间所有可能满足的数量关系． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)或 【分析】本题考查了平行线的性质与判定． （1）过作，利用平行线的性质计算可求求解； （2）过点作交于点，利用平行线的性质可求得，结合（1）的结论可求解； （3）可分两种情况：当，位于两侧时，当，位于同侧时，利用平行线的性质分别计算求解． 【详解】（1）解：过作， ， ， ，， ； （2）， 理由：过点作交于点，过点作 ， ，， 由（）可得， ， ， ； （3）解：如图，当，位于两侧时，过作，过点作 ，， ， ，，， ， 即； 当，，三点共线时，， ； 当，位于同侧时， ，， ， 同理可得，，， ， 即， 综上，或． 8．（25-26七年级上·福建漳州·期末）在学完《相交线和平行线》后，为继续深入探索平行线中的一些角度关系，七年级数学兴趣小组的同学通过图形开展探究，具体步骤如下： 【探究一】如图①，已知，测得，求的度数； 【探究二】保持，改变其他线段的位置，得到图②的形状，猜想之间具有什么数量关系？探究并说明理由； 【探究三】在图②的基础上，分别作、的角平分线并相交于点，从而得到图③的形状．若，求的度数． 【答案】【探究一】，，；【探究二】，理由见解析；【探究三】． 【分析】本题考查平行线的性质，两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补；正确作出辅助线是解题关键． 【探究一】根据平行线的性质即可得答案； 【探究二】过点作，过点作，根据平行线的性质得出，利用对顶角相等即可得答案； （3）过点作，交于，，根据平行线点性质得出，，，，利用（2）中所得结论即可得答案． 【详解】解：[探究一]∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． [探究二]如图，过点作，过点作， ∵， ∴， ∴，，， ∴，即， ∴ [探究三]如图，过点作，交于，， ∴，，，， ∵、的角平分线并相交于点， ∴，， 由（2）可知，， ∴， ∴， ∴． 题型三：由平行线的判定与性质确定角度定值问题 9．（24-25七年级下·广东广州·期中）如图，已知射线，连接，点是射线上的一个动点（与点不重合），分别平分和，分别交射线于点． (1)当时，求的度数； (2)判断是否为定值？若是定值，请求出这个定值；若不是，请说明理由； (3)当时，求的度数． 【答案】(1) (2)为定值，这个定值为 (3)当时，的度数为 【分析】本题主要考查平行线的性质，角平分线的定义，掌握以上知识，数形结合分析是关键． （1）根据平行线的性质得到，根据角平分线的定义得到，由此即可求解； （2）根据提议设，则，由此即可求解； （3）设，根据平行线的性质，角平分线的定义得到，，则，由此即可求解． 【详解】（1）解：， ， ∵分别平分和， ； （2）解：为定值， ∵平分， ∴设， ， ， ， 为定值，这个定值为2； （3）解：∵平分， ∴设， 由（2）知：， ， ，， ， ， ， ， 又， ． ∴当时，的度数为． 10．（24-25七年级下·湖北武汉·月考）如图1，已知直线．点A、B在直线上，点C、D在上．线段交点E，且． (1)求的值； (2)如图2，当F、G分别在线段上，，，标记为，为． ①若，求的度数： ②当_______时，为定值，此时定值为_______°． 【答案】(1) (2)①；②当时，为定值，此时定值为 【分析】本题考查平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解答本题的关键． （1）利用平行线的性质解答即可； （2）①设，则，结合平行线的性质，利用方程的思想方法，依据已知条件列出方程组即可求解； ②利用①中的方法，设，则，通过计算，令计算结果中的的系数为 0 即可求得结论． 【详解】（1）证明：如图，作， ∴， ∵， ∴， ∴， ， ． （2）解：设， ， ， ， ， 由（1）可得：，，， ， ， ①， ， ， ； ② ， 当，即时，， ∴当时，为定值，此时定值为． 11．（24-25七年级下·山东济南·期中）如图1，，点A、C分别在射线和上，． (1)若，则 ； (2)小明同学发现：无论如何变化，的值始终为定值，并给出了一种证明该发现的辅助线作法：如图2，过作A作，交于M．请你根据小明同学提供的辅助线（或自己添加其它辅助线），确定该定值，并说明理由； (3)如图3，若把题干中的“改为“”，其它条件保持不变，试猜想与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)．理由解解析 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定： （1）过点F作，如图，由已知，，根据平行线的性质可计算出的度数，由，可计算出的度数，由平行线的性质即可得出答案； （2）由已知条件，根据平行线的性质可得，计算出的度数，由平行线的性质可得，由即可得出答案； （3）过点A作与相交与点N，再同（2）求解即可． 【详解】（1）解：过点F作，如图所示， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：； （2）解：该定值为．理由如下： ∵，， ∴，． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴无论如何变化，的值始终为定值，且该定值为． （3）解：．理由如下： 过点A作，交于点N，如图所示， ∵，， ∴，． ∵， ∴． ∴． ∴． 12．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期中）在综合与实践课上，同学们以“一个含的直角三角尺和两条平行线”为背景开展数学活动． (1)【问题初探】 如图1，两直线，和直角三角形，其中，，，若，则的度数为______________； (2)【实践探究】 如图2，创新小组的同学把直线向上平移，发现是一个定值，这个定值是________________； 为了说明理由，同学们根据“过拐点作平行线”的思路，很快想到辅助线的作法，过点作，请你在图2中补全辅助线并完成关于这个定值的证明过程． (3)【拓展延伸】 如图3，，点在上，，，设，请直接用含的代数式表示． 【答案】(1) (2)，见解析 (3) 【分析】本题主要考查平行线的判定和性质，掌握平行线的性质求角度的计算是关键． （1）根据平角得到，根据两直线平行，同旁内角互补得到，即可求解； （2）如图所示，过点作，则，可得，，由，即可求解； （3）如图所示，过点作，过点作，则，可得，，，根据，代入计算即可求解． 【详解】（1）解：如图所示， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：，证明如下， 证明：如图所示，过点作，则， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：如图所示，过点作，过点作，则， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，则， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 题型四：由平行线的判定与性质解决三角尺问题 13．（24-25七年级下·福建福州·期末）如图，将一副三角板的直角顶点重合在一起放置，其中，，，． (1)求证； (2)试判断与之间的数量关系，并证明； (3)将三角板固定不动，改变三角板的位置，但始终保持两个三角板的顶点重合．当三角板的边与平行或和重叠时，三角板可以有几种不同的放置位置？请在备用图中画出其中一种，并求出此时的度数． 【答案】(1)详见解析 (2)，证明见解析 (3)三角板可以有4种不同的放置位置，图见解析，分别为、、、 【分析】本题考查了平行线的性质、三角板中角度的计算，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用数形结合与分类讨论的思想是解此题的关键． （1）根据即可得解； （2）根据，并结合计算即可得解； （3）分四种情况，利用平行线的性质求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴，即； （2）解：，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴； （3）解：三角板可以有4种不同的放置位置， 如图，当时，过点作， 则，， ∴， ∴； 如图，当时，过点作， 则，， ∴， ∴； 如图，当和重合时，过点作， 则，， ∴， ∴； 如图，当和重合时，过点作， 则，， ∴， ∴． 14．（24-25七年级下·河北保定·期中）综合与实践 动手操作可提高我们的思维能力，王老师和同学们利用两块直角三角板（含的直角三角板DEF和含的直角三角板）不同的摆放方式探究平行线的相关问题． 初步认知 （1）如图1，将三角板直角顶点A与E重合，若，则______． 深入探究 王老师让同学们改变三角板的位置，提出新的问题并作出解答． （2）“智慧小组”提出问题：如图2，将三角板的顶点B放在三角板的边上，若，平分吗？请说明理由． （3）“善思小组”提出问题：将图2位置的三角板不动，三角板绕点B旋转一周，在此过程中与三角板的某一边平行（不共线）时，请直接写出的度数． 【答案】（1）；（2）平分，理由见解析；（3）或或或 【分析】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解答本题的关键． （1）先根据两直线平行，内错角相等求出，进而可求出的度数； （2）先根据两直线平行，内错角相等求出，进而可求出平分； （3）依题意有以下4中情况：①当，且点C在的右侧时，则，由此可得出的度数；②当，且点C在的上方时，则；③当，且点C在的左侧时，则，④当，且点C在的下方时，则，由此可得出的度数，综上所述即可得出答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴； （2）平分； 证明：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴平分； （3）依题意有以下4中情况： ①当，且点C在的右侧时，如图①所示： ∴， ∴； ②当，且点C在的上方时，如图②所示： ∴； ③当，且点C在的左侧时，如图③所示： ∴， ④当，且点C在的下方时，如图④所示： ∴， ∴， 综上所述：的度数是或或或． 15．（25-26七年级上·江苏无锡·期末）动手实践：将三角板绕某点旋转能形成丰富的图形，可得到许多有趣的结论． 小宁与小周两位同学用一副三角板和两条平行线进行了如下探究： 三角板与三角板如图1所示摆放，其中，，，，点，在直线上，点，在直线上． 【操作一】小宁固定三角板不动，小周将三角板绕点以每秒的速度逆时针旋转，设时间为秒，且． （1）当与平行时，则的值为________； （2）当与平行时，求的值； 【操作二】小宁和小周同时旋转两块三角板，小周将三角板绕点以每秒的速度逆时针旋转，小宁将三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转，设时间为秒，且，当与平行时，则的值为________． 【答案】（1）； （2）； （3）或 【分析】操作一： （1）利用和推出，结合三角板的内角得，根据旋转性质得旋转角，再由平行线的内错角相等建立方程求解； （2）通过延长线段、作平行线构造平行关系，利用平行线的同位角、内错角相等，结合三角板的固定角度算出旋转角的度数，进而建立关于的方程求解； 操作二：分与反向平行、同向平行两种情况，先作平行线构造平行关系，结合旋转性质表示出相关角度，再利用平行线的性质和直角三角形的内角关系推出的表达式，结合的旋转角度表示出． 【详解】操作一： （1）解：∵，， ∴． ∵中，，， ∴． 由旋转可知，绕点逆时针旋转的角度为，即． ∵， ∴， ∴，解得； （2）解：如图，延长线段，交直线于点，过点作直线，使，由平行公理可得． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． 又∵绕点逆时针旋转的角度为，即， ∴，解得． 操作二： 解：①如图，当时，与反向平行，过点作直线，交于点，延长，交于点，则． ∵， ∴． 又∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． 在中，， ∴． ∵， ∴． 又∵， ∴， 解得； ②如图，当时，与同向平行，过点作直线，交于点，交于点，则． 同理． ∵， ∴． 在中，， ∴． ∵， ∴， ∴，解得； 综上，的值为或． 16．（24-25七年级下·湖北荆门·期中）如图，直线，P是截线上的一点． (1)若，求； (2)如图1，当点P在线段上运动时，与的平分线交于Q，问是否为定值，若是定值，请求出；若不是定值，请说明理由； (3)如图2，若T是直线上且位于M点的上方的一点，如图所示，当点P在射线上运动时，与的平分线交于Q，问的值是否和（2）问中的情况一样呢？请你写出探究过程，说明理由． 【答案】(1) (2)是为定值，定值为 (3)和（2）的结论仍成立，探究过程，理由见解析 【分析】（1）过点P作，根据平行线的传递性可得，再根据平行线的性质和角的和差进行求解即可； （2）由平行线的性质及角的和差可得，再根据角平分线的定义可得，进而求解即可； （3）过点P作，过点Q作，由平行线的性质及角的和差可得，再根据角平分线的定义可得，进而求解即可． 【详解】（1）如图1，过点P作， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）由（1）得，，， ∴， ∴， ∵与的平分线交于Q， ∴， 同理，， ∴， ∴是为定值，定值为； （3）如图2，过点P作，过点Q作， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵与的平分线交于Q， ∴， 同理，， ∴，即（2）的结论仍然成立． 题型五：由平行线的判定与性质解决旋转问题 17．（24-25七年级下·江苏扬州·期中）如图，，、分别为直线、上两点，且，若射线绕点顺时针旋转至后立即回转，转至后停止旋转；射线绕点逆时针旋转至后停止旋转．若射线转动的速度是/秒，射线转动的速度是/秒，且、满足． (1) ， ； (2)若射线、射线同时旋转，问至少旋转多少秒时，射线、射线互相垂直？ (3)若射线绕点顺时针先转动秒，射线才开始绕点逆时针旋转，在射线到达之前，问射线转动多少秒时，射线、射线互相平行？ 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】本题主要考查了平行线的性质，非负数的性质以及角的和差关系的运用，解决问题的关键是运用分类思想进行求解，解题时注意：若两个非负数的和为，则这两个非负数均等于． （1）依据，即可得到,的值； （2）依据，，即可得到射线、射线第一次互相垂直的时间； （3）分两种情况讨论，依据时，，列出方程即可得到射线、射线互相平行时的时间． 【详解】（1）解：， ，， ，， 故答案为：，； （2）解：设至少旋转秒时，射线、射线互相垂直， 如图，设旋转后的射线、射线交于点，则， ， ， ， ， 又，， ， 解得， 故至少旋转秒时，射线、射线互相垂直； （3）设射线转动秒时，射线、射线互相平行， 如图，射线绕点顺时针先转动秒后，转动至的位置，， ①当到达前，，， ， ， ， ，， 当时，， 此时，， 解得； ②当到达后，，，， ， ， 当时，， 此时，， 解得； 综上所述，射线再转动秒或秒时，射线、射线互相平行． 18．（24-25九年级上·辽宁铁岭·期中）将一副直角三角板如图1，摆放在直线上（直角三角板和直角三角板，，，，），保持三角板不动，将三角板绕点以每秒的速度逆时针旋转，旋转时间为秒，当与射线重合时停止旋转． (1)如图2，当为的角平分线时，求此时的值； (2)当旋转至的外部时，求与的数量关系； (3)在旋转过程中，当三角板的其中一边平行于三角板的某一边时，求此时等于______（直接写出答案即可）． 【答案】(1)3秒 (2)当旋转角大于且不大于时，；当旋转角大于且不大于时，； (3)15或24或27或33 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，是典型的实际操作问题，将两个三角板按照题意进行摆放，旋转，清楚每一时刻各个角的度数是多少和各角之间的关系． （1）先计算的度数，再根据角平分线的定义和旋转的速度可得的值； （2）分别表示与的度数，相减可得数量关系； （3）分四种情况讨论：分别和三边平行，还有，计算旋转角并根据速度列方程可得结论． 【详解】（1）解：如图，，， ， 平分， ， ， 答：此时的值是3秒； （2）解：当旋转至的内部时， 当旋转角大于且不大于时，如图， ∵， ∴； 当旋转角大于且不大于时，如图， ∵， ∴； 综上，当旋转角大于且不大于时，；当旋转角大于且不大于时，； （3）解：分四种情况： ①当时，如图，， ； ②当时，如图，则， ， ； ③当时，如图，则，此时，， ， ； ④当时，如图，则， ， ； 综上，的值是15秒或24秒或27秒或33秒． 故答案为：15或24或27或33． 19．（25-26七年级上·江苏扬州·期末）【操作拼图】已知一副直角三角尺先按如图的方式拼接在一起，其中与直线重合，，． （1）在上述所拼图形中，的度数为 °． 【问题探究】 （2）在上述所拼图形基础上，让三角板固定不动，将三角板绕着点O以每秒的速度顺时针方向旋转，且两块三角板均在直线的上方．设三角板的旋转时间为t秒，在旋转过程中，请求出当时，旋转时间t的值； 【拓展延伸】 （3）在按照【操作拼图】要求拼好图后，让三角尺绕着点以每秒的速度按顺时针方向旋转的同时，三角尺也绕着点以每秒的速度按逆时针方向旋转．在旋转过程中，两块三角尺均在直线的上方，且当三角尺停止旋转时，三角尺也停止旋转．设三角尺的旋转时间为．在旋转过程中，当与三角尺的某一边平行时，请直接写出t的值． 【答案】【操作拼图】；【问题探究】或；【拓展延伸】，， 【分析】本题主要考查了平行线的性质，正确判断角的数量关系是本题解题的关键． （1）根据平角的定义求解即可； （2）根据，的位置分类讨论，列出等式求解即可； （3）根据与边平行的边不同分类讨论，根据平行线的性质进行求解即可． 【详解】解：（1）∵与直线重合， ∴， ∵， ∴ 故答案为：75； （2）三角板以每秒的速度顺时针旋转t秒后， ，， ， ； ∵， ∴当时，， 解得； 当时，， 解得， 综上，t的值为9或17； （3）∵三角板顺时针旋转，三角板逆时针旋转， ∴，， 当时， ∵，， 又， ∴， 解得：； 当时，则， ∴， ∵， ∴， 解得：； 当时，则， ∴， 解得， 综上，t的值为5，10或20． 20．（24-25七年级下·福建龙岩·期中）如图，某水域的两岸是互相平行的直线，在两岸的，处分别设置了一盏可以不断匀速旋转的探照灯．设两岸，垂直于河岸，点处探照灯射出的光线自开始顺时针旋转，点处探照灯射出的光线自开始顺时针旋转，当两灯射出的光线旋转至各自岸边时立即反向旋转，旋转中常常出现交叉照射，若点处射出的光线每秒旋转，点处射出的光线每秒旋转，设点处探照灯旋转的时间记为，单位： (1)如图1，若点处探照灯先旋转后，点处探照灯才开始旋转． ①填空：当时， ， ． ②探究：能否出现两盏探照灯射出的光线互相平行的情形？若能，求出所有满足条件的值；若不能，请说明理由． (2)设两灯同时开始旋转，当两盏探照灯射出的光线在河面上的点处互相垂直时，请你直接写出符合题意的值（温馨提醒：本小题可不必书写解题过程！） 【答案】(1)①20，60；②会出现两盏探照灯射出的光线互相平行，或或； (2)的值为或． 【分析】本题考查了平行线的性质，角度的计算等知识，掌握平行线的性质是解题的关键． （1）①由题意得到，当时，，即可求出，求出旋转的时间，即可求出； ②根据题意分情况讨论求解即可； （2）设两灯同时开始旋转，若两盏探照灯射出的光线在河面上点处互相垂直，分情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：①当时，， ∵两岸，垂直于河岸， ∴， ∴， 由题意可得：旋转的时间为：， ∴， 故答案为：； ②会出现两盏探照灯射出的光线互相平行， ∵， ∴， ∴即从开始旋转到后又反向旋转回到了，即：旋转了， ∵， ∴即从开始旋转两次到后又反向旋转了，即：旋转了， 当时，如图①： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：， 当时，如图②： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：， 当时，如图③： 类同可得： ， ∴， 解得：(不合题意，舍去)， 当时，如图③： 类同可得：， ∴， 解得：， 当时，如图③： 类同可得：， ∴， 解得：(不合题意，舍去)， 当 时，如图④： 类同可得：， ∴， 解得：(不合题意，舍去)， 综上：或或； （2）解：设两灯同时开始旋转，若两盏探照灯射出的光线在河面上点处互相垂直， ①当时，如图，过点作， ∵， ∴， ∴， ∵， ， ∴， ∴， 即， 解得：，此时，两光线交于点，不符合题意； 当时，如图，过点作， 两盏探照灯射出的光线在河面上点处互相直时， 由题意得：，， ∴， 解得：； 当时，如图，过点作， 两盏探照灯射出的光线在河面上点处互相直时， 由题意得：，， ∴， 解得：； 当时，如图，过点作， 两盏探照灯射出的光线在河面上点处互相直时， 由题意得：，， ∴， 解得：，此时，两光线交于点，不符合题意； 综上，的值为或． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 专题01平行线的判定与性质的五种模型 题型归纳 目录 题型一：由平行线的判定与性质进行计算 .1 题型二：由平行线的判定与性质探究角度之间的关系… 题型三：由平行线的判定与性质确定角度定值问题11 题型四：由平行线的判定与性质解决三角尺问题…19 题型五：由平行线的判定与性质解决旋转问题… …28 题型专练 题型一：由平行线的判定与性质进行计算 1.(25-26七年级上江苏无锡期末)如图，∠2=∠B,BE与DF交于点P, A F B E (1)若∠1=52°，求∠C的度数： (2)若∠2+∠D=90°，AB∥CD,试判断BE与DF的位置关系，并说明理由 2.(25-26七年级上江苏无锡期末)如图，在四边形ABCD中，E是BC延长线的一点.连接AE交CD于 点F.若∠B=∠D,∠1+∠2=180°」 (I)求证：AB∥CD; (2)若∠E=27°.求∠DAE的度数， 3.(25-26八年级上广东茂名·期末)如图，在三角形ABC中，点D、F在BC边上，点E在AB边上，点G 在AC边上，EF与GD的延长线交于点H,∠1=∠B,∠2+∠3=180°. 1/9 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B D 4 G (I)求证：EH∥AD; (2)若LDGC=58,且∠H-∠4=10°，求∠H的度数， 4.(25-26八年级上河北保定期末)如图，点E是AC上一点，CD∥AB,∠DCB=70°，∠CBF=20°， ∠EFB=130°. C D (1)∠ABC= 0 (2)求证：直线EF∥CD; (3)若∠CEF=60°，求∠ACB的度数. 题型二：由平行线的判定与性质探究角度之间的关系 5.(25-26七年级上，安徽六安·月考)如图，已知AB‖CD,点E是射线AB上一动点（与点A不重合）， CM、CN分别平分∠ACE和LDCE,且分别交射线AB于点M、N. -B N (1)当∠A=50°时，直接填空：∠ACD= ∠MCN= (②)点E运动过程中，∠AEC:∠AWC的值是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，求出它的比值； (3)当∠A=3∠ACM,∠CMN=2∠CNM时，求∠A的度数， 6.(25-26八年级上山东青岛期末)(1)基础问题：如图(1)，若AB∥CD,∠BEP=140°，∠PFC=50°， 则∠EPF的度数为 (2)问题迁移：如图(2)，若AB∥CD,点P在AB的上方，问：∠PEA、LPFC、∠EPF之间有什么数 量关系？请说明理由。 (3)联想拓展：如图(3)，在(2)的条件下，已知∠EPF=α°，∠PFC=B°，∠PEA的角平分线和 2/9 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ∠PFC的平分线交于点G,则∠G= 。(用含有、B的代数式表示). B D 图(1) 图(2) 图(3) 7.(25-26七年级上重庆万州月考)如图1，由线段AB,AM,CM,CD组成的图形像“∑形，称为“ 形BAMCD”. B 图1 图2 图3 图4 (1)如图2，在“∑形BAMCD”中，若AB∥CD,∠AMC=60°，求出∠A+∠C的度数. (2)如图3，连接BD,若∠ABD+∠BDC=160°，∠AMC=a,试猜想∠BAM与∠MCD之间的数量关系，并 说明理由 (3)如图4，在(2)的条件下，当点M在线段BD的延长线上从上向下移动时，请直接写出∠BAM与 ∠MCD之间所有可能满足的数量关系. 8.(25-26七年级上·福建漳州·期末)在学完《相交线和平行线》后，为继续深入探索平行线中的一些角度 关系，七年级数学兴趣小组的同学通过图形开展探究，具体步骤如下： 【探究一】如图①，已知AB∥CD∥EF,BC∥DE,测得LB=98°，求∠C,LD,LE的度数； 【探究二】保持AB∥EF,改变其他线段的位置，得到图②的形状，猜想∠ABC,∠BCD,∠CDE,∠DEF之间 具有什么数量关系？探究并说明理由： 【探究三】在图②的基础上，分别作∠BCD、∠DEF的角平分线并相交于点P,从而得到图③的形状.若 ∠B=106°，∠D=70°，求∠P的度数， D E 图① 图② 图③ 题型三：由平行线的判定与性质确定角度定值问题 9.(24-25七年级下·广东广州期中)如图，己知射线AM∥BN,连接AB,点P是射线AM上的一个动点 (与点A不重合)，BC,BD分别平分∠ABP和LPBN,分别交射线AM于点C,D, 3/9 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 N B M D P C (1)当∠A=50°时，求∠CBD的度数； (2)判断∠APB 是否为定值？若是定值，请求出这个定值；若不是，请说明理由； ∠ADB 3)当∠ACB=LABD时，求∠ADB+∠A的度数. 10.(24-25七年级下，湖北武汉·月考)如图1，已知直线l∥12.点A、B在直线4上，点C、D在上.线 段AD、BC交点E,且∠BED=63°. B 6 B G 图1 图2 (I)求∠ABE+∠EDC的值； (2)如图2，当F、G分别在线段AE、EC上，∠ABF=2LFBE,LEDG=2LGDC,标记∠BFE为∠1， LBGD为∠2 ①若∠1-∠2=12°，求∠ABC的度数： ②当k= 时，∠1+k∠2为定值，此时定值为 11.(24-25七年级下山东济南期中)如图1，∠EFH=90°，点A、C分别在射线FE和FH上，AB∥CD. E A一E B A B F D H 图1 图2 图3 (1)若LFAB=150°，则∠HCD=- (2)小明同学发现：无论∠FAB如何变化，LFAB-∠HCD的值始终为定值，并给出了一种证明该发现的辅助 线作法：如图2，过作A作AM∥FH,交CD于M.请你根据小明同学提供的辅助线（或自己添加其它辅 助线)，确定该定值，并说明理由； (3)如图3，若把题干中的“∠EFH=90°改为“∠EFH=120°”，其它条件保持不变，试猜想∠FAB与LHCD的 数量关系，并说明理由 12.(24-25七年级下·辽宁沈阳·期中)在综合与实践课上，同学们以“一个含60°的直角三角尺和两条平行线” 4/9 画学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 为背景开展数学活动。 B 图1 图2 图3 (1)【问题初探】 如图1，两直线m,n和直角三角形ABC,其中m∥n,∠BCA=90°，∠ABC=60°，若∠1=40°，则∠2的 度数为 (2)【实践探究】 如图2，创新小组的同学把直线m向上平移，发现∠2-∠1是一个定值，这个定值是 为了说明理由，同学们根据“过拐点作平行线”的思路，很快想到辅助线的作法，过点B作BH∥m,请你在 图2中补全辅助线并完成关于这个定值的证明过程 (3)【拓展延伸】 如图3，AB∥CD,点E在CD上，∠ABG=,∠ABF,3LCEG+∠FED=180°，设∠BFE=a,请直接用含 31 a的代数式表示∠BGE. 题型四：由平行线的判定与性质解决三角尺问题 13.(24-25七年级下·福建福州期末)如图，将一副三角板的直角顶点C重合在一起放置，其中 ∠A=∠B=45°，∠D=30°，∠E=60°，∠ACB=∠DCE=90°. B 备用图 (I)求证∠ACE=∠BCD; (2)试判断LACD与LBCE之间的数量关系，并证明； (3)将三角板ABC固定不动，改变三角板DCE的位置，但始终保持两个三角板的顶点C重合.当三角板 DCE的边DE与AB平行或和重叠时，三角板DCE可以有几种不同的放置位置？请在备用图中画出其中一 种，并求出此时∠BCE的度数 14.(24-25七年级下·河北保定·期中)综合与实践动手操作可提高我们的思维能力，王老师和同学们利用 两块直角三角板（含30°的直角三角板DEF和含45°的直角三角板ABC)不同的摆放方式探究平行线的相 关问题. 5/9 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 初步认知 (1)如图1，将三角板 图1 备用图1 备川图2 直角顶点A与E重合，若AF∥BC,则∠CAD= 深入探究王老师让同学们改变三角板的位置，提出新的问题并作出解答. (2)“智慧小组”提出问题：如图2，将三角板ABC的顶点B放在三角板DEF的边DF上，若AC∥DF, BC平分∠ABF吗？请说明理由. (3)“善思小组”提出问题：将图2位置的三角板DEF不动，三角板ABC绕点B旋转一周，在此过程中BC 与三角板DEF的某一边平行（不共线）时，请直接写出∠CBD的度数， 15.(25-26七年级上江苏无锡期末)动手实践：将三角板绕某点旋转能形成丰富的图形，可得到许多有趣 的结论 小宁与小周两位同学用一副三角板和两条平行线进行了如下探究： 三角板ABC与三角板DEF如图1所示摆放，其中∠ACB=∠EDF=90°，∠BAC=30°，∠DEF=45°， GH∥MN,点A,B在直线GH上，点E,F在直线MN上. G A G H G H M N M 图1 备用图 备用图 【操作一】小宁固定三角板ABC不动，小周将三角板DEF绕点E以每秒3°的速度逆时针旋转，设时间为1 秒，且0≤1≤60 (1)当DF与AB平行时，则t的值为 (2)当DF与AC平行时，求t的值： 【操作二】小宁和小周同时旋转两块三角板，小周将三角板DEF绕点E以每秒3°的速度逆时针旋转，小宁 将三角板ABC绕点A以每秒2°的速度顺时针旋转，设时间为t秒，且0≤1≤60，当DF与BC平行时，则t的 值为 16.(24-25七年级下·湖北荆门期中)如图，直线AB∥CD,P是截线MN上的一点. 6/9 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 D 图1 图2 1)若∠MNB=45°，∠MDP=20°，求∠MPD: 2如图1，当点P在线段MN上运动时，∠CDP与∠ABP的平分线交于Q,问9是否为定值，若是定 ∠DPB 值，请求出；若不是定值，请说明理由； (3)如图2，若T是直线MW上且位于M点的上方的一点，如图所示，当点P在射线MT上运动时，∠CDP与 ∠ABP的平分线交于Q,问∠Q的值是否和(2)问中的情况一样呢？请你写出探究过程，说明理由. ∠DPB 题型五：由平行线的判定与性质解决旋转问题 17.(24-25七年级下·江苏扬州期中)如图，PQ∥MN,A、B分别为直线MN、PQ上两点，且 ∠BAN=40°，若射线AM绕点A顺时针旋转至AN后立即回转，转至AM后停止旋转；射线BQ绕点B逆时 针旋转至BP后停止旋转.若射线AM转动的速度是a°/秒，射线BQ转动的速度是b/秒，且a、b满足 a-4+(b-1)2=0 B B Q -P D M N M A A 备用图 (1)a=-,b=-; (②)若射线AM、射线BQ同时旋转，问至少旋转多少秒时，射线AM、射线BQ互相垂直？ (3)若射线AM绕点A顺时针先转动18秒，射线BQ才开始绕点B逆时针旋转，在射线BQ到达BA之前，问 射线BQ转动多少秒时，射线AM、射线BQ互相平行？ 18.(24-25九年级上·辽宁铁岭期中)将一副直角三角板如图1，摆放在直线MN上（直角三角板ABC和直 角三角板EDC,LEDC=90°，∠DEC=60°，LABC=90°，LBAC=45°)，保持三角板EDC不动，将三角 板ABC绕点C以每秒5°的速度逆时针旋转，旋转时间为t秒，当AC与射线CN重合时停止旋转. 7/9 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B B A E M E N D D 图1 图2 (I)如图2，当AC为∠DCE的角平分线时，求此时t的值； (2)当AC旋转至∠DCE的外部时，求LDCA与∠ECB的数量关系； (3)在旋转过程中，当三角板ABC的其中一边平行于三角板EDC的某一边时，求此时t等于 (直接写 出答案即可). 19.(25-26七年级上江苏扬州期末)【操作拼图】己知一副直角三角尺先按如图的方式拼接在一起，其中 0C与直线MN重合，∠A0M=∠C0D=30°，∠A0B=45°. D A◇ 30T (1)在上述所拼图形中，∠B0D的度数为_°. 【问题探究】 (2)在上述所拼图形基础上，让三角板COD固定不动，将三角板AOB绕着点O以每秒5°的速度顺时针方 向旋转，且两块三角板均在直线MN的上方.设三角板AOB的旋转时间为t秒，在旋转过程中，请求出当 ∠B0C=2∠B0D时，旋转时间t的值； 【拓展延伸】 (3)在按照【操作拼图】要求拼好图后，让三角尺AOB绕着点O以每秒5°的速度按顺时针方向旋转的同 时，三角尺COD也绕着点O以每秒1°的速度按逆时针方向旋转.在旋转过程中，两块三角尺均在直线MN的 上方，且当三角尺AOB停止旋转时，三角尺COD也停止旋转.设三角尺AOB的旋转时间为s.在旋转过 程中，当AB与三角尺COD的某一边平行时，请直接写出t的值. 20.(24-25七年级下·福建龙岩期中)如图，某水域的两岸是互相平行的直线，在两岸的M，N处分别设 置了一盏可以不断匀速旋转的探照灯.设两岸AB∥CD,MN垂直于河岸，点M处探照灯射出的光线自MB 开始顺时针旋转，点N处探照灯射出的光线自NC开始顺时针旋转，当两灯射出的光线旋转至各自岸边时立 即反向旋转，旋转中常常出现交叉照射，若点M处射出的光线每秒旋转2°，点N处射出的光线每秒旋转4° ,设点M处探照灯旋转的时间记为t(0≤1≤180)，单位： 8/9 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 M B M B D D 图1 备用图 (1)如图1，若点M处探照灯先旋转20(s后，点N处探照灯才开始旋转. ①填空：当1=35时，∠PMW=_°，∠ONC=_°. ②探究：能否出现两盏探照灯射出的光线互相平行的情形？若能，求出所有满足条件t的值；若不能，请说 明理由， (②)设两灯同时开始旋转，当两盏探照灯射出的光线在河面上的点F处互相垂直时，请你直接写出符合题意 的1值（温馨提醒：本小题可不必书写解题过程！） 9/9