第一章 整式的乘除章节复习（5大考点+15大题型+强化训练）（高效培优讲义）数学新教材北师大版七年级下册

第一章 整式的乘除章节复习 教学目标 1. 掌握幂的运算性质（同底数幂乘除、幂的乘方、积的乘方），理解零指数与负整数指数幂的意义。 2. 熟练进行整式乘法（含平方差、完全平方公式）与除法运算，理解运算法则的算理。 3. 能综合运用整式乘除解决实际问题，发展符号意识与运算能力，体会转化与数形结合思想。 教学重难点 重点： 1. 幂的运算性质与整式乘除法则的熟练掌握，特别是乘法公式的结构识别与灵活运用。 2. 综合运用整式乘除知识进行化简、求值及解决简单实际问题。 难点： 1. 负整数指数幂的理解与转化，及混合运算中幂的运算法则的准确选择。 2. 乘法公式中各项符号的处理，以及在复杂式子中正确识别公式结构并应用。 知识点01 幂的运算 1.同底数幂的乘法性质：(其中都是正整数).即同底数幂相乘，底数不变，指数相加. 要点诠释：（1）同底数幂是指底数相同的幂，底数可以是任意的实数，也可以是单项式、多项式. （2）三个或三个以上同底数幂相乘时，也具有这一性质， 即（都是正整数）. 2.同底数幂的乘法的逆用公式：把一个幂分解成两个或多个同底数幂的积，其中它们的底数与原来的底数相同，它们的指数之和等于原来的幂的指数.即（都是正整数）. 3.幂的乘方法则： (其中都是正整数).即幂的乘方，底数不变，指数相乘. 要点诠释：公式的推广： (，均为正整数) 4.幂的乘方法则逆用公式： ，根据题目的需要常常逆用幂的乘方运算能将某些幂变形，从而解决问题. 5.积的乘方法则： (其中是正整数).即积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘. 要点诠释：公式的推广： (为正整数). 6.积的乘方法则逆用公式：逆用公式适当的变形可简化运算过程，尤其是遇到底数互为倒数 时，计算更简便.如： 7.同底数幂的除法：(其中都是正整数).即同底数幂相除，底数不变，指数相减. 要点诠释：（1）同底数幂是指底数相同的幂，底数可以是任意的实数，也可以是单项式、多项式. （2） 逆用公式：即（都是正整数）. 知识点02 零指数幂、负指数幂、科学记数法 1.零指数幂：（a≠0） 2.负指数幂：（a≠0，p是正整数） 3.科学记数法：我们可以利用10 的负整数指数幂，用科学记数法表示一些绝对值较小的数，即将它们表示成a×10-n的形式，其中n是正整数，. 知识点03 整式的乘法 1.单项式与单项式相乘： 单项式乘法法则：单项式相乘，把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，连同它的指数作为积的一个因式. 　 单项式乘法法则在运用时要注意以下几点： 　 ①积的系数等于各因式系数积，先确定符号，再计算绝对值.这时容易出现的错误的是，将系数相乘与指数相加混淆； 　　 ②相同字母相乘，运用同底数的乘法法则； 　 ③只在一个单项式里含有的字母，要连同它的指数作为积的一个因式； 　　 ④单项式乘法法则对于三个以上的单项式相乘同样适用； 　　 ⑤单项式乘以单项式，结果仍是一个单项式. 2.单项式与多项式相乘： 单项式乘以多项式，是通过乘法的分配律，把它转化为单项式乘以单项式，即单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加. 即（a+b+c)m=am+bm+cm　　 单项式与多项式相乘时要注意以下几点： 　 ①单项式与多项式相乘，积是一个多项式，其项数与多项式的项数相同； 　 ②运算时要注意积的符号，多项式的每一项都包括它前面的符号； 　 ③在混合运算时，要注意运算顺序. 3.多项式与多项式相乘： 多项式与多项式相乘，先用一个多项式中的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加. 即（a+b)(m+n)=am+an+bm+bn 　 多项式与多项式相乘时要注意以下几点： 　　 ①多项式与多项式相乘要防止漏项，检查的方法是：在没有合并同类项之前，积的项数应等于原两个多项式项数的积； 　　 ②多项式相乘的结果应注意合并同类项； 　　 ③对含有同一个字母的一次项系数是1的两个一次二项式相乘 ，其二次项系数为1，一次项系数等于两个因式中常数项的和，常数项是两个因式中常数项的积.即(x+a)(x+b)=x²+（a+b)x+ab 对于一次项系数不为1的两个一次二项式(mx+a)和(nx+b)相乘可以得到. 知识点04 乘法公式 1.平方差公式:两个数的和与这两个数的差的积,等于这两个数的平方差.即(a+b)(a-b)=a²-b² 　 公式的几种变化： ①位置变化：（b+a)（-b+a）=(a+b)(a-b)=a²-b²； （-a-b）(a-b)=(-b-a)(-b+a)=(-b+a)(-b-a)=(-b)²-a²=b²-a² ②系数变化：（2a+3b）(2a-3b)=(2a)²-(3b)²=4a²-9b² ③指数变化：（a²+b²）(a²-b²)=（a²）²-（b²）²= ④增项变化：（a-b-c）(a-b+c)=(a-b)²-c² ⑤连用公式变化：（a+b）(a-b)(a²+b²)=（a²-b²）(a²+b²)=（a²）²-（b²）²= ⑥公式逆运算：a²-b² =(a+b)(a-b) 2.完全平方公式:两数和(差)的平方,等于它们的平方和,加(减)它们积的2倍. 即完全平方和 (a+b)²=a²+2ab+b² ；完全平方差 (a-b)²=a²-2ab+b² （1）公式的特征：前平方，后平方，中间是乘积的2倍 （2）公式的变化：①a²+b²=(a+b)²-2ab；②a²+b²=(a-b)²+2ab； ③(a+b)²=(a-b)²+4ab； ④ (a-b)²=(a+b)²-4ab；⑤(a+b)²-(a-b)²=4ab. 知识点05 整式的除法 （1）单项式÷单项式：系数相除，同底数幂指数相减，独含字母照搬 （2）多项式÷单项式：各项分别除单项式再求和 （3）易错：漏符号、漏单独字母、指数算错 题型01 判断整式运算是否正确 【典例1】（25-26八年级上·江西赣州·期末）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查幂的运算法则，包括幂的乘方、同底数幂的乘除、积的乘方，需依据各法则逐一判断选项的正误． 【详解】解：幂的乘方法则为 对于选项A，，运算正确． 同底数幂相乘法则为 选项B中，运算错误． 积的乘方法则为 选项C中，运算错误． 同底数幂相除法则为 选项D中，运算错误． 故选：A． 【变式1】（25-26八年级上·福建福州·期末）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了整式的运算，根据合并同类项法则、幂的乘方法则、同底数幂的乘除运算法则逐一判断即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：、，该选项运算错误，不符合题意； 、，该选项运算错误，不符合题意； 、，该选项运算错误，不符合题意； 、，该选项运算正确，符合题意； 故选：． 【变式2】（25-26八年级上·福建龙岩·期末）下列各式中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查整式的运算，根据合并同类项、幂的乘方与积的乘方、同底数幂的乘除法则，对各选项逐一分析判断． 【详解】，故A错误； ，故B错误； ，故C错误； ，故D正确． 故选：D． 【变式3】（25-26八年级上·山东烟台·期末）下列式子运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了合并同类项、同底数幂的乘法、同底数幂的除法与积的乘方，解决本题的关键是牢记相关运算法则． 直接利用合并同类项法则、同底数幂的乘法法则、同底数幂的除法法则、积的乘方运算法则依次判断即可． 【详解】解：A．，故不正确； B．，故不正确； C．，故不正确； D．，正确． 故选D． 题型02 判断是否可用平方差或完全平方公式运算 【典例2】（25-26八年级上·安徽阜阳·期末）下列多项式乘法中，可以用平方差公式计算的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了平方差公式，解题的关键是掌握平方差公式的形式． 根据平方差公式的结构特征，判断各选项是否符合“两个二项式相乘，一项完全相同，另一项互为相反数”的条件． 【详解】解：A选项：中，含的项分别为和，既不相同也不互为相反数，不符合平方差公式结构； B选项：=，两项均互为相反数，不符合平方差公式结构； C选项：=，两项均互为相反数，不符合平方差公式结构； D选项：=，其中相同项为，互为相反数的项为与，符合平方差公式结构，可计算为； 故选：D． 【变式1】（25-26八年级上·福建龙岩·期末）下列各多项式相乘，不能用平方差公式计算的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平方差公式的应用，根据平方差公式为逐项判断即可． 【详解】解：选项A：，相同项为，相反项为与，符合平方差公式形式，能用平方差公式计算； 选项B：， 两项均互为相反数，无相同项，不符合平方差公式形式，不能用平方差公式计算； 选项C：，相同项为，相反项为与，符合平方差公式形式，能用平方差公式计算； 选项D：，相同项为，相反项为与，符合平方差公式形式，能用平方差公式计算． 故选：B． 【变式2】（24-25八年级上·江西南昌·期末）下列各式中，能用完全平方公式计算的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查“完全平方式的定义”，熟练掌握完全平方式的形式是解题关键． 根据完全平方式的定义，两个因式需完全一致或其中一个式子是另一个式子的因式，才能应用完全平方式，根据定义判断即可． 【详解】 A选项： 中，不满足定义，不能用完全平方公式； B选项：，两项都相等，符合完全平方公式； C选项： 中，不满足定义，不能用完全平方公式； D选项： 中，两项无共同点，不满足定义，不能用完全平方公式； 故选：B． 【变式3】（24-25七年级下·山东菏泽·期中）下列各式中，可以用乘法公式计算的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查乘法公式的应用，包括完全平方公式和平方差公式．通过观察各选项的形式，判断是否可以直接应用公式． 【详解】A. 不符合乘法公式的形式； B. ，可以用完全平方公式； C. 不符合乘法公式的形式； D. 不符合乘法公式的形式． 故选：B． 题型03 幂的混合运算及逆运算 【典例3】（25-26七年级上·上海闵行·期末）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了积的乘方，同底数幂相乘，同底数幂相除，合并同类项，先运算积的乘方，然后运算同底数幂相乘，再运算同底数幂相除，最后合并同类项，即可作答． 【详解】解： ． 【变式1】（25-26八年级上·河北廊坊·月考）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了幂的运算（同底数幂的乘除、幂的乘方、积的乘方），解题关键是熟练掌握幂的各种运算法则并准确运算． （1）先分别用幂的乘方、积的乘方化简各项，再算同底数幂的乘除，最后合并同类项； （2）同理，先化简幂的乘方、积的乘方，再算同底数幂的乘除，最后合并同类项． 【详解】（1）解： ， ， ． （2）解： ， ， ． 【变式2】（25-26八年级上·新疆阿克苏·月考）计算： (1)已知求的值； (2)已知，求的值 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了同底数幂的除法，同底数幂乘法的逆用，幂的乘方的逆用． （1）逆用同底数幂的除法法则计算即可； （2）先逆用同底数幂乘法得到，再逆用幂的乘方计算即可． 【详解】（1）解：∵ ∴ ； （2）解：∵， ∴ ． 【变式3】（25-26八年级上·湖南衡阳·月考）（1）已知，，求①；②的值． （2）已知，求的值． 【答案】（1）①12；②；（2）16 【分析】本题主要考查了同底数幂除法及其逆运算，幂的乘方及其逆运算，熟知相关计算法则是解题的关键． （1）分别根据同底数幂乘法和同底数幂除法的逆运算求解即可； （2）先根据幂的乘方得到原式，再根据同底数幂除法的法则求解即可． 【详解】解：（1）∵，， ①； ②； （2）∵， ∴， ∴ ． 题型04 零指数幂、负整数指数幂综合计算 【典例4】（25-26八年级上·北京门头沟·期末）计算：． 【答案】 【分析】本题考查绝对值，零指数，负指数，乘方运算，掌握相关知识是解决问题的关键．先计算绝对值，零指数，负指数，乘方运算，再进行加减运算即可． 【详解】解： ． 【变式1】（25-26八年级上·北京海淀·期末）计算：． 【答案】 【分析】先算乘方，再算加减法． 本题考查了实数的混合运算，掌握实数运算法则是解题关键． 【详解】解： ． 故答案为：． 【变式2】（25-26九年级上·湖南长沙·期中）计算：． 【答案】 【分析】此题考查了幂的混合运算，熟练掌握相关幂的运算法则是解题的关键． 先计算幂的运算、负整数指数幂、零指数幂及绝对值，再进行加减计算即可． 【详解】解： ． 【变式3】（25-26八年级上·全国·课后作业）计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了实数的混合运算，有理数乘方，负整数幂，零次幂等知识点，灵活运用相关运算法则成为解题的关键． 先根据有理数乘方、负整数次幂、零次幂等知识点化简，然后再计算即可 【详解】解： 题型05 用科学计数法表示绝对值小于1的数 【典例5】（25-26七年级上·河南商丘·期末）《哪吒之魔童闹海》是中国影史首部百亿票房影片，为在影片中呈现细腻的法术光芒，在特效制作中对单个粒子的渲染精度要求极高，其中某关键特效粒子的半径为0.0000025米，其中数据0.0000025用科学记数法可表示为 ． 【答案】 【分析】本题考查了负整数指数科学记数法，对于一个绝对值小于1的非0小数，用科学记数法写成的形式，其中，n是整数，n的绝对值等于小数点移动的位数． 【详解】解：． 故答案为：． 【变式1】（25-26九年级上·重庆·期末）气凝胶属于纳米级多孔固态材料，是目前已知密度最低的固体，质量为的某种二氧化硅气凝胶的体积约为．将数据用科学记数法表示为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查科学记数法，根据科学记数法的表示方法求解即可． 科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．解题关键是正确确定a的值以及n的值． 【详解】解：． 故答案为：． 【变式2】（25-26八年级上·湖北随州·期末）2025年，我国大科学装置取得重大进展，在其捕捉到的一种极端微弱信号中，某个关键参数的强度值为个单位，数值用科学记数法可表示为 ． 【答案】 【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．根据绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定，进行求解即可． 【详解】解：用科学记数法表示为． 故答案为：． 【变式3】（25-26八年级上·湖北武汉·期末）制造高性能显示屏时，需要使用一种掺杂了稀土元素铕（）的超薄有机膜．经测量，该薄膜的厚度非常薄，仅为毫米，数值用科学记数法表示为 ． 【答案】 【分析】本题考查科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，熟练掌握以上知识点是解题的关键．将用科学记数法表示，需确定系数和指数即可解答． 【详解】解：由题意，将的小数点向右移动5位得到， ，即， 故答案为：． 题型06 完全平方式中的字母参数问题 【典例6】（25-26八年级上·山西临汾·期末）若是完全平方式，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方式是解本题的关键． 利用完全平方式的结构特征判断即可确定出m的值． 【详解】解：∵是完全平方式，即， ∴， 故答案为：． 【变式1】（25-26七年级上·上海杨浦·期末）若关于的整式是某一个整式的平方，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式的结构特点是解本题的关键． 根据完全平方公式的结构特点，设原式为某个整式的平方，通过比较系数建立方程组求解 【详解】设整式为，则其平方为，与原式比较系数，得：，，，， 由得， 由且得， 代入得， 将代入得， 即， 解得， 则， 故答案为：． 【变式2】（25-26八年级上·黑龙江伊春·期末）若是完全平方式，则 ． 【答案】1或 【分析】本题主要考查了求完全平方式中的系数，根据所给多项式可确定两平方项，则可确定一次项，据此比较系数求解的值． 【详解】解：∵是完全平方式， ∴一次项为， ∴， ∴， ∴或， 故答案为：1或． 【变式3】（25-26八年级上·四川眉山·月考）已知是一个完全平方式，那么k的值为 ． 已知M是含字母x的单项式，要使多项式是某个多项式的平方，则M为 ． 【答案】 或 【分析】本题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．对于第一问，利用完全平方公式的结构特征即可求解，对于第二问，考虑两种情形：M作为中间项或平方项两种情况，然后分类讨论求解． 【详解】解：对于第一问：∵是完全平方式，且，， ∴．故． 故答案为：． 对于第二问：解：要使是某个多项式的平方，有两种情况： ①当它是完全平方式时，可表示为，所以． ②当它是另一个多项式的平方时，如设为． 与比较，得，， 为M中的系数． 由，代入，得， 所以，． 故答案为：或． 题型07 已知多项式乘积不含某项求字母的值 【典例7】（25-26七年级上·上海·期中）已知关于x的整式与的乘积中不含项和x项，则 ． 【答案】 【分析】本题考查多项式与多项式的乘积，熟练掌握合并同类项是解题的关键． 将两整式相乘，展开后合并同类项，根据不含项和项，即对应项系数为零，列方程组求解和，再计算即可． 【详解】解： ， ， 由于乘积中不含项和项， 则, 解得, 因此， 故答案为：． 【变式1】（25-26八年级上·天津蓟州·月考）若代数式展开后不含项，求的值是 ． 【答案】2 【分析】本题考查多项式乘多项式，将多项式展开后，合并同类项，令项的系数为零，解方程求． 【详解】解：： ， 展开后不含项， ， 解得， 故答案为：2． 【变式2】（25-26八年级上·四川眉山·期中）已知代数式，． (1)A与B的积中不含x的二次项，且常数项为，求m、n的值； (2)在（1）的条件下，求的值． 【答案】(1) (2)7 【分析】本题考查了多项式乘多项式，正确掌握相关运算法则是解题关键． （1）直接利用多项式乘多项式将原式变形，再根据积中不含x的二次项，且常数项为，进而得出m、n的值； （2）先将原式进行化简，然后将m、n的值代入原式即可求出答案． 【详解】（1）解：，， ， ∵A与B的积中不含x的二次项，且常数项为， ， 解得：； （2）解： ， 把代入，则． 【变式3】（25-26八年级上·四川资阳·期中）若的展开式中不含和的项． (1)求、的值； (2)求代数式的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查多项式不含某项、代数式化简求值等知识，熟记整式运算法则是解决问题的关键． （1）先由多项式乘以多项式运算法则展开，再根据的展开式中不含和的项，得到，，解方程即可得到答案； （2）由（1）知，，先化简代数式得到，再将，代入计算即可得到答案． 【详解】（1）解： ， 的展开式中不含和的项， ，， 解得； （2）解：由（1）知，， ， ， 原式 ． 题型08 整式乘除混合运算 【典例8】（25-26八年级上·重庆开州·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了整式的混合运算． （1）首先计算同底数幂的乘法，积的乘方和幂的乘方，然后合并即可； （2）首先计算单项式乘以多项式，平方差公式，再计算多项式除以单项式的法则计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式1】（25-26八年级上·天津和平·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的乘除法，掌握其运算法则是解题的关键． （1）运用平方差、完全平方公式化简，再合并同类项即可； （2）先计算括号，再计算除法即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【变式2】（25-26八年级上·山东临沂·期末）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则和乘法公式是解答此题的关键． （1）先计算积的乘方，再计算乘除即可； （2）利用多项式除以单项式运算法则和平方差公式分别把括号展开，然后再合并同类项即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【变式3】（25-26八年级上·天津和平·月考）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查整式的混合运算，包括完全平方公式、平方差公式、幂的运算和整式的乘除．解题时需熟练掌握相关运算法则，逐步计算． （1）先根据完全平方公式计算，再去括号即可； （2）先算积的乘方，再算单项式的乘法和除法，然后合并同类项即可； （3）先根据乘法公式计算，再去括号合并同类项； （4）先算括号里，再算除法即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 题型09 整式乘法混合运算——化简求值 【典例9】（24-25八年级上·四川眉山·期末）化简求值：，其中，． 【答案】，值为3 【分析】本题考查的是整式的混合运算，化简求值．先计算括号内整式的乘法运算，再合并，最后计算整式的除法运算，最后代入计算即可． 【详解】解： 当，时， 原式． 【变式1】（25-26八年级上·福建漳州·期末）先化简，再求值：，其中． 【答案】，4 【分析】本题考查了整式混合运算及求值；先在括号内利用完全平方公式、平方差公式进行运算，再进行加减运算，然后进行除法运算，最后代值计算，即可求解． 【详解】解：原式 ； 当时， 原式． 【变式2】（25-26八年级上·四川广安·期末）先化简，再求值；，其中，． 【答案】， 【分析】本题考查整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答的关键． 先利用乘法公式计算括号内，再利用整式除法化简原式，然后代值求解即可． 【详解】解： ． 当，时，原式． 【变式3】（25-26八年级上·四川宜宾·期末）先化简，再求值：，其中，． 【答案】化简结果为；值为1 【分析】本题考查整式的混合运算化简求值，涉及完全平方公式、平方差公式、合并同类项及多项式除以单项式的运算法则． 【详解】解：原式 ． 当，时，原式． 题型10 利用乘法公式简便运算 【典例10】（25-26八年级上·全国·课后作业）利用平方差公式简便运算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了平方差公式的应用． （1）先将原式变形为，再利用平方差公式计算即可； （2）先将变形为，再利用平方差公式计算即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式． 【变式1】（25-26八年级上·全国·课后作业）简便运算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查利用平方差公式计算，熟记平方差公式是解决问题的关键． （1）先将恒等变形为，再由平方差公式计算即可得到答案； （2）先由乘法分配律的逆运算得到，再由平方差公式计算即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式2】（24-25七年级下·陕西咸阳·期中）运用乘法公式进行简便运算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了完全平方公式，平方差公式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先整理原式，再运用完全平方公式进行简便运算，即可作答． （2）先整理原式，再运用平方差公式进行简便运算，即可作答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式3】（24-25七年级下·山东菏泽·月考）乘法公式可以帮助我们对数进行简便运算，请用你学过的公式完成题目． (1)； (2)． 【答案】(1)1 (2)98 【分析】点评：主要考查利用平方差公式简便运算，构造成平方差公式结构形式是解题的关键． 本题考查利用平方差公式、完全平方公式进行简便运算，掌握平方差公式、完全平方公式是解题的关键．（1）将99化为，将101化为，正好构造成平方差公式，再利用公式计算即可． （2）将原式变形为，利用完全平方公式展开计算． 【详解】（1）解：． （2）解：． 题型11 通过对完全平方公式变形求值 【典例11】（25-26七年级上·陕西西安·期末）若，且． (1)求的值； (2)求的值； 【答案】(1)3 (2)10 【分析】本题考查了完全平方公式的变形，多项式乘多项式，已知式子的值求代数式的值，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据多项式乘多项式的运算法则得，又因为，故，即可作答． （2）把，代入，进行计算，即可作答． 【详解】（1）解：∵， ∴， 则， ∵， ∴； （2）解：由（1）得， ∵ ∴ ． 【变式1】（25-26八年级上·河南许昌·期末）已知，求下列代数式的值： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了完全平方公式的变形求值，熟知完全平方公式及其变形是解题的关键． （1）根据计算求解即可； （2）根据计算求解即可； （3）根据计算求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：∵， ∴； （3）解：由（1）得 ∴ ． 【变式2】（25-26八年级上·湖北荆门·期末）已知，是实数，定义关于“”的一种运算如下：． (1)化简： ； (2)若，，求下列式子的值： ①； ②； (3)若，求的值． 【答案】(1) (2)①② (3) 【分析】本题考查定义新运算，完全平方公式的变形应用，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）根据新定义，化简计算即可； （2）因为，由（1）知，则，又已知，则变形计算即可：①②； （3）令，则，由得，求即求即可． 【详解】（1）解：由新定义运算可知： ； 故答案为：； （2）解：∵ 由（1）知， 即， ， 又∵， ①； ②， ∴； （3）解：令 则， 由得， ∴， 即． 【变式3】（25-26八年级上·安徽阜阳·期末）拓展探究： 材料：我们知道，，两式相减可得：，由此可得公式：． (1)已知，，求的值： (2)探究：已知，，求（用m 、n 表示）； (3)已知，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了利用完全平方公式变形求代数式的值． (1)利用完全平方公式可得：，，把等式两边分别相减即可求出的值； (2)利用完全平方公式可得：，根据，即可求出； (3)利用完全平方公式可得：，把代入即可求代数式的值． 【详解】（1）解：， ， 整理得：， ， ， 整理得：， 得：， 解得：； （2）解：， ， 整理得：， 又， ， ， 故答案为：； （3）解： ， ， 原式. 题型12 多项式乘法中的规律性问题 【典例12】（25-26八年级上·河南信阳·月考）观察下列各式． (1)根据以上规律，则 _______； (2)你能否由此归纳出一般规律_______； (3)根据以上规律求： 的结果． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了多项式乘法中的规律型问题，弄清题意、发现数字的变化规律是解答本题的关键． （1）仿照已知等式写出答案即可； （2）先归纳总结出规律，然后按规律解答即可； （3）先利用得出规律的变形，然后利用规律解答即可． 【详解】（1）解：观察题中已有等式规律，可得出： ， ， ， ， ， 故答案为：． （2）解：通过观察总结可知：当前面的多项式最高次数为n时，得数的x次数应该为n+1， ． 故答案为：． （3）解： 根据（2）的结论，有， 因此，原式． 【变式1】（24-25七年级下·山西太原·月考）① ② ③ …… (1)按照上面的规律，迅速写出答案． ________； ________； ________； ________． (2)用公式证明上面所发现的规律． 【答案】(1)7209；5621；2025；4224 (2)见解析 【分析】本题考查了多项式乘法的规律性问题，理解题意，找出题中的规律是解题的关键． （1）根据一系列等式，归纳总结规律，利用得出的规律快速计算即可得到结果； （2）设这两个两位数分别为，，其中，再利用题干的公式证明即可． 【详解】（1）解：； ； ； ； 故答案为：7209；5621；2025；4224； （2）证明：设这两个两位数分别为，，其中， 左边 ， 右边 ， ∴左边右边， ∴． 【变式2】（25-26七年级上·河北保定·月考）我国南宋时期杰出的数学家杨辉是钱塘人，如图所示的图表是他在《详解九章算法》中记载的“杨辉三角”． 此图揭示了（为非负整数）的展开式的项数及各项系数的有关规律，由此规律可解决如下问题： (1)请在图中括号内的数为________； (2)展开式中共有________项，第19项系数为________； (3)根据上面的规律，写出的展开式：________； (4)利用上面的规律计算：； 【答案】(1)6 (2)， (3) (4) 【分析】本题考查了多项式乘以多项式中的规律，数字的变化规律，解题关键是找出规律． （1）根据表中数据特点解题即可； （2）先找出规律，用表示出展开式中共项数，当时，用表示出倒数第项的系数，代入数据计算即可； （3）根据图示顺推即可得到展开式； （4）根据展开式，令，时代入展开式即可得到所求代数式的值； 【详解】（1）解：图中括号内的数为， 故答案为：6； （2）展开式有项， ，展开式有项，倒数第三项系数为； ，展开式有项，倒数第3项系数为3，倒数第三项系数为； ，展开式有项，倒数第3项系数为6，倒数第三项系数为； 展开式有项，倒数第3项系数为，倒数第三项系数为； ……； 以此类推，展开式中共有项，倒数第三项的系数， ∴展开式共有项，第项系数为， 故答案为：，； （3）根据图示，， 故答案为：； （4）∵， 当，时，， ∴． 【变式3】（25-26八年级上·山东日照·月考）阅读材料一：可以展开成一个有规律的多项式： ； ； ； ； 阅读材料二：杨辉三角是中国古代数学的杰出研究成果之一，它把二项式系数图形化．下面我们依次对展开式的各项系数进一步研究发现，当n取正整数时可以单独列成表中的形式，表中每个数等于它上方两数之和．例如，在三角形中第三行的三个数1，2，1，恰好对应展开式中的系数．                                                      1      1  1                                        1  2  1                               1  3  3  1                      1  4  6  4  1         1  5  10  10  5  1 (1)观察的展开式，各项系数和是______；猜想多项式（n取正整数）的展开式的各项系数之和______（结果用含字母n的代数式表示）； (2)利用材料中的规律计算： ①写出的展开式 ② 【答案】(1)64， (2)①，②1 【分析】本题考查了数字的变化类、列代数式、多项式，解答本题的关键是明确题意，发现多项式系数的变化特点，求出所求式子的值． （1）由已知式子列出的展开式，再计算出各项系数和即可；根据规律发现可知，（n取正整数）的展开式的各项系数之和为； （2）①根据前面发现的规律，将所求式子变形，即可运用发现的规律解答本题即可； ②利用的展开式，将式子转化为，计算得1． 【详解】（1）解：， ∴各项系数和为：， ∵的展开式的各项系数之和为， 的展开式的各项系数之和为， 的展开式的各项系数之和为， 的展开式的各项系数之和为， 的展开式的各项系数之和为， ……， ∴（n取正整数）的展开式的各项系数之和为， 故答案为：64，． （2）解：① ； ②观察式子， 将原式与进行比较，可发现当，时，两者形式完全相同， ∴原式． 题型13 单项式乘多项式、多项式乘多项式与图形面积 【典例13】（25-26八年级上·陕西安康·期末）对联是中华传统文化的瑰宝．如图所示，对联装裱后卷轴的总宽度为b，总长度为，对联上方留白称为天头，长为，下方留白称为地头，图中天头和地头的长度之比为，左、右两边的边宽均为天头与地头长度之和的． (1)这副对联画心（即图中阴影部分）的纵向长度为________，横向宽度为________；（用含a、b的代数式表示，并将结果化为最简） (2)求这副对联画心（即图中阴影部分）的面积．（用含a、b的代数式表示，并将结果化为最简） 【答案】(1)； (2) 【分析】本题主要考查了列代数式，多项式乘法在几何图形中的应用，正确理解题意表示出这副对联画心（即图中阴影部分）的纵向长度和横向宽度是解题的关键． （1）根据题意求出地头的长，进而可求出左、右两边的边宽，再结合图形可得答案； （2）根据长方形面积公式求解即可． 【详解】（1）解：∵天头和地头的长度之比为，且天头长为， ∴地头长为， ∴这副对联画心（即图中阴影部分）的纵向长度为； ∵左、右两边的边宽均为天头与地头长度之和的， ∴这副对联画心（即图中阴影部分）的横向宽度为； （2）解： ， ∴这副对联画心（即图中阴影部分）的面积为． 【变式1】（25-26八年级上·新疆吐鲁番·期末）如图，有一块长、宽的长方形地块，现计划在中间修筑一个长、宽的长方形塑像基台（空白部分），其余部分（阴影部分）铺上草坪． (1)用含的代数式表示草坪的面积；（结果需化简） (2)当时，求草坪的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了长方形面积公式，多项式乘法法则及整式的加减运算． （1）根据长方形面积公式求出长方形地块和塑像的面积，再通过两者面积的关系求出草坪的面积， （2）将a、b的值代入草坪面积的表达式中求出具体数值即可． 【详解】（1）解：由图可知，草坪的面积是： ， 答：草坪面积为； （2）解：当时， ， 答：草坪的面积是． 【变式2】（25-26八年级上·陕西榆林·期末）书籍是人类进步的阶梯！为了爱护书籍，人们常用封皮进行包裹．现有一本数学课本（如图1），其长为、宽为、厚为．小军用一张长方形纸（如图2）包好了这本数学书，图中虚线为折痕，阴影部分是裁掉区域，四角均为大小相同的正方形，正方形的边长（）即为折叠进去的宽度．请解答下列问题：（用含x的代数式表示，并化为最简） (1)图2中这张长方形包书纸（含裁掉区域）的长为______，宽为______； (2)求图2中这张长方形包书纸（含裁掉区域）的总面积． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查了列代数式，多项式乘以多项式与几何图形，明确题意，准确列出代数式是解题的关键． （1）根据题意，列出代数式，即可求解； （2）利用长方形的面积公式得到，即可求解． 【详解】（1）解：由题意得，长为，宽为， 故答案为：，； （2）解：由题意得， 【变式3】（25-26八年级上·贵州黔西·期末）如图1，吊脚楼在贵州是一道独特的风景线，它设计巧妙，顺应山势，其部分结构是接地而非全悬空的，通过正屋实地建造与厢房悬空的特殊设计，巧妙地将建筑与自然融为一体．如图2是某吊脚楼的侧面设计示意图，把它抽象为如图3所示的几何图形（单位：m）． (1)请用含字母a，b的代数式表示图3的面积． (2)若，，此时图3的面积是多少平方米？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的混合运算的应用． （1）根据梯形的面积公式计算即可； （2）将，代入（1）中结果计算即可． 【详解】（1）解：面积为： ； （2）解：当，时，原式=， 故此时图3的面积是． 题型14 乘法公式中几何图形的应用 【典例14】（24-25六年级下·全国·单元测试）推理能力如图①所示，在边长为的正方形中作一个边长为的正方形，则余下的阴影部分面积等于一个以为长、为宽的长方形面积，如图②所示． 【探究】 （1）请列式表示：图①中阴影部分的面积为___________，图②中阴影部分的面积为___________；根据两图中阴影部分的面积相等，可以得到乘法公式___________． 【应用】 （2）根据（1）中的公式解决如下问题： ①若，，求的值． ②计算：． 【答案】（1），，；（2）①8，② 【分析】本题主要考查了列代数式，平方差公式的几何背景及应用，熟练掌握平方差公式的推导过程和构造使用条件是解题的关键． （1）图①阴影部分的面积用大正方形面积减去小正方形面积表示；图②阴影部分的面积用长方形面积公式表示；根据面积相等推导出平方差公式； （2）①直接代入（1）中得到的平方差公式计算；②先在算式前乘以构造平方差公式的使用条件，再连续应用平方差公式逐步化简计算． 【详解】解：（1）由题意得，图①中阴影部分的面积为，图②中阴影部分的面积为， 根据两图中阴影部分的面积相等，可以得到乘法公式． 故答案为：，，． （2）①因为，，且， 所以，即． ② ． 【变式1】（25-26八年级上·广西北海·期末）边长为的正方形剪掉一个边长为的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． (1)上述操作能验证的等式是________（请选择正确的一个选项） A．    B． C．        D． (2)若，，求的值； (3)计算：． 【答案】(1)B (2) (3) 【分析】本题主要考查平方差公式的几何背景，熟练掌握平方差公式是解题的关键． （1）结合图①和图②阴影部分面积相等建立等式即可． （2）利用平方差公式计算即可． （3）利用平方差公式展开计算化简，最后求值． 【详解】（1）解：边长为a的正方形面积是，边长为b的正方形面积是， ∴图①阴影部分面积为；图②长方形面积为； 则验证的等式是， 故答案为：B； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解： ． 【变式2】（25-26八年级上·江西赣州·期末）观察图1，用等式表示图中图形的面积的运算为． 【探究】 （1）观察图2，用等式表示图中阴影部分图形的面积和的运算：___________； 【应用】 （2）根据图②所得的公式，若，求的值； （3）若满足，求的值； 【拓展】 （4）如图3，某学校有一块梯形空地，于点，，，该校计划在和区域内种花，在和的区域内种草，经测量种花区域的面积和为102平方米，米，求种草区域的面积和． 【答案】 （1）； （2）； （3）3； （4）种草区域的面积和为60平方米． 【分析】本题考查几何背景下的完全平方公式，通过对完全平方公式变形求值，已知式子的值，求代数式的值． （1）根据图2中阴影部分的面积即可求解； （2）将已知条件整体代入（1）的结论，计算即可； （3）设，则，由（1）可得，整体代入，计算即可； （4）设，，则种花区域的面积，由此得，由（1）的结论得，进而得种草区域的面积和． 【详解】（1）解：图2中大正方形的边长为，阴影部分两个正方形的边长分别为，两个长方形的宽和长分别为， 大正方形的面积为，阴影部分两个正方形的面积分别为，，长方形的面积为， 又阴影部分两个正方形的面积之和大正方形的面积-两个长方形的面积， ， 故答案为：； （2）解：由（1）的结论得：， 又， ； （3）解：设，则， ，即， ； （4）解：设， 于点米， （平方米），（平方米），（平方米），（平方米），（米）， 种花区域的面积和为102平方米， ， ， 由（1）的结论得：， ， ， 种草区域的面积和为：（平方米）． 种草区域的面积和为60平方米． 【变式3】（25-26八年级上·湖北荆门·期末）阅读以下解法： “若满足，求的值”．解：设，则，则，即． 解决以下问题： (1)若满足，则_______； (2)若满足，求的值； (3)如图，在长方形中，分别是上的点，且，分别以为边在长方形外侧作正方形和正方形，若长方形的面积为，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查完全平方公式与图形的面积，熟练掌握完全平方公式，是解题的关键． ()设，利用题干中给出的方法，结合完全平方公式，求解即可； ()设，利用完全平方公式变形求解即可； ()利用阴影部分的面积等于两个正方形的面积和，列出代数式，再利用完全平方公式，进行求解即可． 【详解】（1）解：设，则， ∴根据完全平方公式：代入数值： ， 所以， 故答案为：； （2）解：设，则， ∴根据完全平方公式：代入数值：， 解得：， ∴； （3）解：如图可得：， 设，则，且， 根据完全平方公式：， ∴． 题型15 整式的运算中的新定义型问题 【典例15】（25-26八年级上·全国·课后作业）定义：若，则称与是关于1的单位数． (1)3与______是关于1的单位数，与______（填一个含的式子）是关于1的单位数； (2)若，，判断与是否是关于1的单位数，并说明理由． 【答案】(1)4或2；或 (2)A与B是关于1的单位数．理由见解析 【分析】本题考查整式的运算，熟练掌握相关运算法则，正确的计算是解题的关键： （1）根据新定义，进行求解即可； （2）求出的值，进行判断即可． 【详解】（1）解：∵或， ∴3与4或2是关于1的单位数； ∵，， ∴与或是关于1的单位数， 故答案为：4或2；或； （2）解： ； 故与是关于1的单位数． 【变式1】（24-25七年级下·全国·期中）定义，如．已知（n为常数），． (1)若，则x的值为 ； (2)若A的代数式中不含x的一次项，当，求的值； (3)若A中的n满足，且时，求的值． 【答案】(1)1 (2)9 (3)13 【分析】本题考查了新定义下整式的运算. （1）根据定义，得到代数式，转化为方程解答即可； （2）先化简A，令其代数式中含x的一次项的系数为0，结合，求的值即可； （3）根据，得到，结合定义，已知求解即可． 【详解】（1）解： ∵， ∴， ∴； 故答案为：1； （2）解： ∵A的代数式中不含x的一次项， ∴， ∵， ∴， ∴时， ； （3）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴ 【变式2】（25-26八年级上·河北邯郸·月考）定义：一个多项式乘一个多项式，运算结果化简后得到多项式，若的项数比的项数多1，则称是的“友好多项式”；若的项数与的项数相同，则称是的“特别友好多项式”． (1)若，，请判断是否为的“友好多项式”，并说明理由． (2)若，均是关于的多项式，且是的“特别友好多项式”，求的值． 【答案】(1)是的“友好多项式”，理由见解析 (2) 【分析】本题主要考查了多项式乘多项式和新定义； （1）先根据题意，利用多项式乘多项式法则，求出C，然后根据已知条件中的新定义进行判断即可； （2）先计算，再根据是的“特别友好多项式”，得到的结果只有两项，据此求解即可． 【详解】（1）解：是的“友好多项式” 理由如下： ，， ， ∴满足的项数比的项数多1， 是的“友好多项式”； （2） ， 是的“特别友好多项式”， 且， 解得． 【变式3】（25-26八年级上·北京·期中）小聪学习多项式研究了多项式值为0的问题，发现当或时，多项式的值为0，把此时x的值称为多项式A的零点． (1)已知多项式，则此多项式的零点为和______． (2)已知多项式有一个零点为2，求多项式B的另一个零点； (3)小聪继续研究，及等，发现在x轴上表示这些多项式零点的两个点关于直线对称，他把这些多项式称为“系多项式”．若关于x的多项式是“系多项式”，则______． 【答案】(1)3 (2) (3) 【分析】本题考查了整式乘法的应用； （1）根据题意，令，解方程得出的值，即可得出答案； （2）根据题意，把代入多项式，得，然后解关于的方程即可得出的值，再把的值代入，进而得出答案； （3）根据题意，由“系多项式”定义，进而得出答案． 【详解】（1）解：根据题意，令， 或， 解得：或， 故答案为：3 ； （2）解：根据题意，把代入，得， 解得：， 把代入，得， 令， 解得：， ∴多项式的另一个零点是； （3）解：， ∴的两个零点分别是和7， 根据“系多项式”的定义，有， ， 故答案为：． 一、单选题 1．（25-26八年级上·河南周口·期末）计算的结果是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了积的乘方与幂的乘方运算，解题的关键是熟练运用积的乘方法则和幂的乘方法则． 先运用积的乘方法则，将展开为；再分别计算各项，其中，，最后合并得到结果． 【详解】解：． 故选：． 2．（25-26八年级上·河南南阳·期末）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查整式的加减、乘除及乘方运算，需根据同类项合并法则、多项式乘多项式法则、同底数幂除法法则、积的乘方法则逐一判断选项 【详解】解：A、 ，故该选项正确，符合题意；     B、 ，故该选项不正确，不符合题意； C、，故该选项不正确，不符合题意；     D、 ，故该选项不正确，不符合题意； 故选：A． 3．（25-26八年级上·河南商丘·期末）已知，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查负整数指数幂与零指数幂的运算，先分别计算出a、b、c的值，再比较大小即可． 【详解】解：负整数指数幂法则：，零指数幂法则： ，，， ， 故答案选：D． 4．（25-26八年级上·福建泉州·期末）小明利用完全平方公式进行因式分解“ ”时，“ ”中的运算符号被墨迹染黑了，则的取值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了因式分解—运用公式法，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． 根据完全平方公式分解因式即可． 【详解】解：， ∴， 故选D． 5．（25-26八年级上·山东烟台·期末）如果规定表示单项式，表示多项式，则计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了单项式乘以多项式，根据新定义和单项式乘以多项式法则计算即可.先分别表示三角形和矩形所代表的单项式和多项式，再进行计算． 【详解】解：根据题意，三角形表示单项式的形式，即把三角形内的字母代入，得：， 矩形表示多项式， 因此对矩形计算得：， 将两个结果相乘并展开得， 综上，计算结果为． 故选：C． 二、填空题 6．（25-26八年级上·河南三门峡·期末）计算： ． 【答案】1 【分析】本题考查了积的乘方逆运算，根据积的乘方法则将原式化为，然后计算乘法，再计算乘方． 【详解】解： ， 故答案为：． 7．（25-26八年级上·山东德州·期末）“池上无风有落晖，杨花晴后自飞飞．为将纤质凌清镜，湿却无穷不得归”这是韩愈描写柳絮的《池上絮》．每年的四五月份是我国北方柳絮纷飞的季节，据统计每枚柳絮的质量最轻只有．将数据用科学记数法可表示为 ． 【答案】 【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数． 此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值． 【详解】解：将数据用科学记数法可表示为． 故答案为： 8．（25-26八年级上·河南南阳·期末）小力计算一道整式乘法的题：，由于抄错了第一个多项式中前面的符号，把“”写成“”，得到的结果为这道整式乘法的正确结果是 ． 【答案】 【分析】本题考查整式的乘法运算，通过错误的计算结果逆向求出参数的值，再代入正确的整式乘法式子计算正确结果． 【详解】解： ∴， 解得． ∴ 故答案为：． 9．（25-26八年级上·湖北随州·期末）设是实数，定义关于“”的一种运算： ，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了平方差公式，代数式求值． 根据新定义简化得到，由给定条件求出的值，再计算即可． 【详解】解：由新定义可知，． ∵， ∴， 即， ∴． 故答案为：． 10．（25-26八年级上·江西赣州·期末）已知等式成立，则实数的值为 ． 【答案】 5或3或 【分析】此题考查了零指数幂的性质以及有理数的乘方，正确分类讨论是解题关键．考虑等式成立的三种情况：底数且指数为任意实数；底数且指数为偶数；指数且底数，分别求解对应方程． 【详解】解：情况一：当底数时，解得，此时指数，有，等式成立； 情况二：当底数时，解得，此时指数，为偶数，有，等式成立； 情况三：当指数时，解得，此时底数，有，等式成立； 综上，实数的值为5或3或． 故答案为：5或3或． 三、解答题 11．（25-26七年级上·山东济南·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)20 (2) 【分析】此题考查了零指数幂，负整数指数幂，绝对值，同底数幂的乘除，解题的关键是掌握以上运算法则． （1）首先计算零指数幂，负整数指数幂，绝对值，然后计算加减； （2）首先计算同底数幂的乘除，然后计算加减． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 12．（25-26八年级上·福建厦门·期末）计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则． （1）利用平方差公式和完全平方公式计算即可； （2）利用平方差公式和完全平方公式计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 13．（25-26八年级上·福建泉州·期末）先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】本题考查完全平方公式，平方差公式，整式的加减运算，准确运用公式和合并同类项法则是解题关键． 先利用完全平方公式和平方差公式展开，再合并同类项，最后用括号内的每一项分别除以，化简后代入数值计算． 【详解】解： ， 当，， ． 14．（25-26七年级上·陕西西安·期末）如图，某校园内有一块长为，宽为的长方形活动场地．计划在场地中间开辟一个长为，宽为的长方形舞台用于文艺表演，舞台之外的阴影部分将铺设塑胶跑道供学生活动． (1)求铺设塑胶跑道区域（阴影部分）的面积； (2)若，，铺设塑胶跑道的价格为元，则铺设塑胶跑道共需多少元？ 【答案】(1) (2)元 【分析】本题考查了多项式乘法的应用、求代数式的值，根据题意正确列出代数式是解题的关键． （1）用长方形活动场地的面积减去长方形舞台的面积即可得答案； （2）把，代入（1）中所求代数式，得出塑胶跑道的面积，再乘以单价即可得答案． 【详解】（1）解：∵长方形活动场地的长为，宽为， ∴长方形活动场地的面积为， ∵长方形舞台的长为，宽为， ∴长方形舞台的面积为， ∴塑胶跑道的面积为． （2）解：∵，， ∴塑胶跑道的面积， ∵铺设塑胶跑道的价格为元， ∴铺设塑胶跑道共需（元）． 15．（2026七年级下·江苏·专题练习）若（且），则． (1)如果，求x的值； (2)已知x满足，求x的值． 【答案】(1)2 (2) 【分析】本题考查了同底数幂相乘，同底数幂乘法的逆用，幂的乘方的逆用等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． （1）根据幂的乘方的逆用、同底数幂相乘法则，列出关于x的方程求解； （2）利用同底数幂乘法的逆用和分配律的逆用，列出关于x的方程求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：． 16．（25-26八年级上·河北邯郸·期末）请观察下列关于正整数的平方拆分等式： ①；②；③；④． (1)请用上面的拆分方法拆分__________； (2)用含有字母（是正整数）的等式表示这一规律：__________；并借助运算证明这个结论是正确的； 【答案】(1) (2)，证明见详解 【分析】本题主要考查了数字规律型问题，还考查了整式的混合运算和乘法公式．熟练掌握等式所反映的规律，是解题的关键． （1）依据材料中等式的规律解答即可； （2）根据依据材料中发现等式的规律写出含的等式证明成立即可． 【详解】（1）解：∵①；②；③；④； ∴； （2）解：∵①；②；③；④； ∴． 理由：∵右边， 左边， ∴左边右边， 成立． 17．（25-26七年级上·河北沧州·期末）定义一种新运算：对任意有理数，都有．例如：． (1)求的值． (2)化简并求值：，其中，互为相反数，是最大的负整数． (3)已知与的差中不含项，求的值． 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】本题主要考查了新定义运算、整式的化简求值、多项式中不含某一项的条件应用，熟练掌握根据新运算定义转化为常规运算，以及利用多项式不含某一项则其系数为0的性质是解题的关键． （1）根据新运算定义，直接代入和进行计算． （2）先按照新运算定义展开，再通过去括号、合并同类项化简，最后利用、互为相反数及是最大的负整数的条件代入求值． （3）先根据新运算定义分别表示出与，再计算它们的差，合并同类项后，根据差中不含项，令项的系数为0，解方程求出的值． 【详解】（1）解：． （2）解： ， 由题意得，， 原式． （3）解：由题意得 ， 与的差中不含项， ， 解得． 18．（25-26八年级上·湖北荆州·期末）综合与实践：月历中的奥秘 【提出问题】月历上的数每行、每列之间都存在一定的规律，那这些数字经过运算得到的结果是否也存在规律呢？ 【初步探究】 （1）如图1是2026年1月的月历，小芝在月历中用如图2中所示的“Z型框”框住四个数a，b，c，d．（1）用含a的代数式表示 ； ． 【拓展探究】 （2）探究的值的规律，写出你发现的结论，并说明理由． 【迁移运用】 （3）受月历中日期排列启发，小明研究形如的多项式，其中a，b是正整数且．若a，b可表示某月中两个日期的编号（1～31），请求出所有可能的m值． 【答案】（1），；（2），理由见解析；（3）18或12 【分析】本题主要考查了数字变化的规律及列代数式，能根据题意得出所框月历中四个数的关系是解题的关键． （1）根据所给“Z型框”的特征，用含a的代数式分别表示出b和d即可； （2）根据题意，用a分别表示出其余字母，再据此进行计算即可； （3）根据及a，b为正整数且a，b可表示某月中两个日期的编号（1～31），求出a和b的值，据此得出m的值即可． 【详解】解：（1）由题意得：； 故答案为：，； （2），理由如下： ∵， ∴； （3）因为，a，b为正整数且a，b可表示某月中两个日期的编号（1～31）， 所以或或或． 又因为， 所以或12， 即所有可能的m值为18或12． 19．观察图①，用等式表示图中图形的面积的运算为， (1)观察图②，用等式表示图中阴影部分图形的面积的运算为 ． 【应用】 (2)根据图②所得的公式，若，，求的值． (3)若满足，求的值． 【拓展】 (4)如图③，某学校有一块梯形空地，于点，，，该校计划在和区域内种花，在和的区域内种草，经测量种花区域的面积和为平方米，种草区域的面积和为平方米，求的长． 【答案】(1) (2) (3) (4)长为米 【分析】本题考查完全平方公式的实际应用，利用完全平方式的变形求值是解题关键． （1）阴影面积为两个小正方形，也可以看作大正方形减去两个矩形，由此得到等式； （2）利用（1）的结论进行计算即可； （3）将看作，看作，则，，利用（1）的结论进行计算即可． （4）设，，由题意可得，，利用完全平方公式计算得． 【详解】（1）解：观察图②可知，阴影部分为两个小正方形，面积和为，也可以用大正方形减去两个矩形得到，即， ∴运算为：； （2）解：由（1）的结论得：， 又∵，， ∴； （3）解：设，，则， ∴， ∵， ∴， 由（1）的结论得：， ∴， ∴； （4）解：设，， ∵于点， ∴（平方米），（平方米），（平方米），平方米， ∵种花区域的面积和为平方米，种草区域的面积和为平方米， ∴，， ∴，， 由（1）的结论得：， ∴， ∴，即米， 答：长为米． 20．（25-26八年级上·山东日照·期末）小明和小红学习了用图形面积研究整式乘法的方法后，分别进行了如下数学实践：材料准备：如图1所示的若干个、的小正方形以及的小长方形硬纸片． 【实践1】小明选取部分硬纸片拼成一个图形，证明公式：． （1）请你帮小明完成拼图设计； （2）应用上述公式解决如下问题： ①已知，，求的值； ②若，则______． 【实践2】小红将的小正方形中裁剪掉一个边长为a的正方形，然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． （3）上述操作能验证的公式是______； （4）计算：． 【答案】（1）见解析；（2）①；②3；（3）；（4） 【分析】（1）根据大正方形的面积也可以表示成两个小正方形面积与两个长方形的面积之和证明完全平方公式； （2）①利用完全平方公式变形计算即可求解； ②设，，求得，，再利用完全平方公式变形计算即可求解； （3）分别表示出两个图形中阴影部分的面积，即可列出等式； （4）利用（3）得出的等式化简各个括号内的式子，再计算有理数的加减法与乘法即可得到答案． 【详解】（1）解：如图， 大正方形的面积可以表示为，同时大正方形的面积也可以表示成两个小正方形面积与两个长方形的面积之和，即． 从而验证了完全平方公式：； （2）①∵，，， ∴， ∴； ②设，， ∴，， ∵， ∴， 解得， ∴； 故答案为：3； （3）解：由图2中剩余部分的面积为；图2中长方形的面积为：， ， 故答案为：； （4）解： ． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 整式的乘除 教学目标1.掌握幂 www.zxxk.com 上好每一堂课 第一章整式的乘除章节复习 内容概览 教学目标、教学重难点 知识点01幂的运算 知识点02零指数幂、负指数幂、科学记数法 知识点03整式的乘法 知识清单 知识点04乘法公式 知识点05整式的除法 题型01判断整式运算是否正确 题型02判断是否可用平方差或完全平方公式运算 题型03幂的混合运算及逆运算 题型04零指数幂、负整数指数幂综合计算 题型05用科学计数法表示绝对值小于1的数 题型06完全平方式中的字母参数问题 题型07已知多项式乘积不含某项求字母的值 题型08整式乘除混合运算 题型精讲 题型09整式乘法混合运算一化简求值 题型I0利用乘法公式简便运算 题型1通过对完全平方公式变形求值 题型12多项式乘法中的规律性问题 题型3单项式乘多项式、多项式乘多项式与图形面积 题型14乘法公式中几何图形的应用 题型5整式的运算中的新定义型问题 强化训练 教学目标、教学重难点 的运算性质（同底数幂乘除、幂的乘方、积的乘方），理解零指数与负整数 1/19 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 指数幂的意义。 2.熟练进行整式乘法（含平方差、完全平方公式）与除法运算，理解运算法则的算 理。 3.能综合运用整式乘除解决实际问题，发展符号意识与运算能力，体会转化与数形结 合思想。 重点： 1.幂的运算性质与整式乘除法则的熟练掌握，特别是乘法公式的结构识别与灵活运 用。 教学重难点 2.综合运用整式乘除知识进行化简、求值及解决简单实际问题。 难点： 1.负整数指数幂的理解与转化，及混合运算中幂的运算法则的准确选择。 2.乘法公式中各项符号的处理，以及在复杂式子中正确识别公式结构并应用。 知识清单 知识点01幂的运算 1.同底数幂的乘法性质：Q”·a”=a+“(其中m,n都是正整数).即同底数幂相乘，底数不变，指数相加。 要点诠释：(1)同底数幂是指底数相同的幂，底数可以是任意的实数，也可以是单项式、多项式 (2)三个或三个以上同底数幂相乘时，也具有这一性质，即a"·a”,aP=am+m*p( m,n,P都是正整数)· 2.同底数幂的乘法的逆用公式：把一个幂分解成两个或多个同底数幂的积，其中它们的底数与原来的底数 相同，它们的指数之和等于原来的幂的指数.即a"=a·a”(m,n都是正整数). 3.幂的乘方法则：(a)”=a(其中m,n都是正整数).即幂的乘方，底数不变，指数相乘 要点诠释：公式的推广：(a"))P=aw (a≠0，m,n,P均为正整数) 乘方法则逆用公武：Q=Q口，根据题目的需要宿定逆用暴的乘方运算能将果 形，从而解决问题。 5.积的乘方法则：(ab)=a.b” (其中是正整数).即积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再 把所得的幂相乘 要点诠释：公式的推广：(abc)”=a·b”·c”(n为正整数). 6,积的乘方法则逆用公式：Qb"=(b)“逆用公式适当的变形可简化运算过程，尤其是遇到底数互为倒数 10 5×2=1 时，计算更简便.如： 2 （2 2/19 ©命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 7.同底数幂的除法：a”÷a”=am”(其中m,n都是正整数).即同底数幂相除，底数不变，指数相减。 要点诠释：(1)同底数幂是指底数相同的幂，底数可以是任意的实数，也可以是单项式、多项式。 (2)逆用公式：即am-"=a"÷a”(m,n都是正整数). 知识点02零指数幂、负指数幂、科学记数法 1.零指数幂：a°=1(a≠0) a p=_ 2.负指数幂： ap (a≠0，p是正整数) 3科学记数法：我们可以利用10的负整数指数幂，用科学记数法表示一些绝对值较小的数，即将它们表示 成a×I0的形式，其中n是正整数， 1≤0<10 知识点03整式的乘法 1.单项式与单项式相乘： 单项式乘法法则：单项式相乘，把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字 母，连同它的指数作为积的一个因式. 单项式乘法法则在运用时要注意以下几点： ①积的系数等于各因式系数积，先确定符号，再计算绝对值.这时容易出现的错误的是，将系数相乘与 指数相加混淆； ②相同字母相乘，运用同底数的乘法法则： ③只在一个单项式里含有的字母，要连同它的指数作为积的一个因式： ④单项式乘法法则对于三个以上的单项式相乘同样适用： ⑤单项式乘以单项式，结果仍是一个单项式. 2.单项式与多项式相乘： 单项式乘以多项式，是通过乘法的分配律，把它转化为单项式乘以单项式，即单项式与多项式相乘，就 是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.即(a+b+c)m=am+bm+cm 单项式与多项式相乘时要注意以下几点： ①单项式与多项式相乘，积是一个多项式，其项数与多项式的项数相同； ②运算时要注意积的符号，多项式的每一项都包括它前面的符号： ③在混合运算时，要注意运算顺序. 3多项式与多项式相乘： 多项式与多项式相乘，先用一个多项式中的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加. (a+b)(m+n)=am+an+bm+bn 多项式与多项式相乘时要注意以下几点： 3/19 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ①多项式与多项式相乘要防止漏项，检查的方法是：在没有合并同类项之前，积的项数应等于原两个多 项式项数的积 ②多项式相乘的结果应注意合并同类项： ③对含有同一个字母的一次项系数是1的两个一次二项式相乘，其二次项系数为1，一次项系数等于两 个因式中常数项的和，常数项是两个因式中常数项的积.即(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab 对于一次项系数不为1的两个一次二项式(mx+a)和(x+b)相乘可以得到. 知识点04乘法公式 1.平方差公式：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.即(a+b)(a-b)=a2-b2 公式的几种变化： ①位置变化：(bta)(-b+a)=(a+b)(a-b)=a2-b2: (-a-b)(a-b)=(-b-a)(-b+a)=(-b+a)(-b-a)=(-b)2-a2=b2-a2 ②系数变化：（2a+3b)(2a-3b)=(2a)2-(3b)2=4a2-9b2 ③指数变化：(a2+h2)(d2-b)=(a2)2-(b)2=a4-b4 ④增项变化：(a-b-c)(a-b+c)=(a-b)2-c2 ⑤连用公式变化：(a+b)(a-b)(a2+b2)=(a2-b)(a+b)=(a2)2-(b)2=a4-b ⑥公式逆运算：a2-b2=(a+b)(a-b) 2.完全平方公式：两数和（差）的平方，等于它们的平方和，加（减）它们积的2倍. 即完全平方和(a+b)2=a2+2ab+b2;完全平方差(a-b)2=a2-2ab+b2 (1)公式的特征：前平方，后平方，中间是乘积的2倍 (2)公式的变化：①a2+b2=(a+b)2-2ab:②a2+b2=(a-b)2+2ab:③(a+b)2=(a-b)2+4ab: ④(a-b)2=(a+b)2-4ab:⑤(a+b)2-(a-b)2=4ab. 知识点05整式的除法 (1)单项式÷单项式：系数相除，同底数幂指数相减，独含字母照搬 (2)多项式：单项式：各项分别除单项式再求和 (3)易错：漏符号、漏单独字母、指数算错 题型精讲 题型01判断整式运算是否正确 【典例1】(25-26八年级上·江西赣州期末)下列运算正确的是() A.(a2）'=a5 B.a2.a3=a6 C.(2a)'=2a3 D.a0÷a2=a 【变式1】(25-26八年级上·福建福州·期末)下列运算正确的是() 4/19 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.a+a=a B.(-a23=a C.a4.a4=a6 D.a4÷a8=a4 【变式2】(25-26八年级上·福建龙岩·期末)下列各式中正确的是() A.a2+a2=2a B.(-2a213=-6a5 C.a6÷a3=a2 D.a2.a=as 【变式3】(25-26八年级上山东烟台·期末)下列式子运算正确的是() A.a2xa=a8 B.(2a22-2a C.a5÷a2=a D.a+a}2=2a 题型02判断是否可用平方差或完全平方公式运算 【典例2】(25-26八年级上·安徽阜阳·期末)下列多项式乘法中，可以用平方差公式计算的是（) A.(a+b)(a-2b)B.(a-b)(b-a) C.(a+b)(-a-b)D.(a+b)(b-a) 【变式1】(25-26八年级上·福建龙岩·期末)下列各多项式相乘，不能用平方差公式计算的是() A.(a+b)(a-b) B.(m-1(1-m C.(-2x+1)(-2x-1) D.(x+p)(p-x) 【变式2】(24-25八年级上江西南昌·期末)下列各式中，能用完全平方公式计算的是() A.(2a-3b)(-2a-3b) B.(a+3b)(a+3b) C.(a-3b)(a+3b) D.(3a-4b)(4a+3b) 【变式3】(24-25七年级下山东菏泽·期中)下列各式中，可以用乘法公式计算的是() A.（a+2b)2a+b) B.（a-2b(-a+2b) C.(a-2b)(b+2a D.(a+2b)(2a-b 题型03幂的混合运算及逆运算 【典例3】(25-26七年级上·上海闵行期末)计算：(-2x2)+-3)-(-x)°x÷-x). 【变式1】(25-26八年级上河北廊坊·月考)计算： a.a3+2a2)4--a°÷a22 2)2a3-a2.a+-2a2÷a2 【变式2】(25-26八年级上·新疆阿克苏月考)计算： 5/19 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)已知xm=64,x”=8,求xm-"的值： (2)已知2m=a,2”=b,求23m+10m的值 【变式3】(25-26八年级上湖南衡阳·月考)(1)已知xm=6,x”=2,求①xm+";②x2m-3"的值. (2)已知x-2y-1=0,求2÷4"×8的值. 题型04零指数幂、负整数指数幂综合计算 【典例4】(2526八年级上北京门头海期未)计算：+云-°-眉)-。 【变式】(2526八年级上北京海淀期末)计算：(0+-2026°+目. 【变式2】(25-26九年级上·湖南长沙期中)计算：(-1)225 【变式3】(2526八年级上全国误后作业)计算：(-2025r-2-(-(←3驴. 题型05用科学计数法表示绝对值小于1的数 【典例5】(25-26七年级上河南商丘·期末)《哪吒之魔童闹海》是中国影史首部百亿票房影片，为在影 片中呈现细腻的法术光芒，在特效制作中对单个粒子的渲染精度要求极高，其中某关键特效粒子的半径为 0.0000025米，其中数据0.0000025用科学记数法可表示为一. 【变式1】(25-26九年级上·重庆·期末)气凝胶属于纳米级多孔固态材料，是目前已知密度最低的固体， 质量为1g的某种二氧化硅气凝胶的体积约为0.0000223m3.将数据0.0000223用科学记数法表示为 【变式2】(25-26八年级上·湖北随州期末)2025年，我国大科学装置取得重大进展，在其捕捉到的一种 极端微弱信号中，某个关键参数的强度值为0.0000015个单位，数值0.0000015用科学记数法可表示为 【变式3】(25-26八年级上·湖北武汉·期末)制造高性能LED显示屏时，需要使用一种掺杂了稀土元素铕 (Eu)的超薄有机膜.经测量，该薄膜的厚度非常薄，仅为0.0000405毫米，数值0.0000405用科学记数 法表示为一。 题型06完全平方式中的字母参数问题 【典例6】(25-26八年级上·山西临汾·期末)若x2+x+25是完全平方式，则m的值是一 【变式1】(25-26七年级上·上海杨浦·期末)若关于x的整式ax+x2+16是某一个整式的平方，则a的值 是一 【变式2】(25-26八年级上黑龙江伊春期末)若x2-2(m+3列x+16是完全平方式，则m=一· 6/19 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【变式3】(25-26八年级上：四川眉山月考)已知4x2+x+9是一个完全平方式，那么k的值为 已知M是含字母x的单项式，要使多项式16x2+M+1是某个多项式的平方，则M为一 题型07已知多项式乘积不含某项求字母的值 【典例7】(25-26七年级上·上海·期中)已知关于x的整式x2-x+n与x-2的乘积中不含x2项和x项， 则mn=一。 【变式1】(25-26八年级上天津蓟州月考)若代数式x2+x2-2x+m展开后不含x2项，求m的值是. 【变式2】(25-26八年级上四川眉山期中)已知代数式A=x2+mx-3,B=2x+n. (I)A与B的积中不含x的二次项，且常数项为6，求m、n的值： (2)在(1)的条件下，求(m+n(m2-mn+n2)的值. 【变式3】(25-26八年级上·四川资阳期中)若x2+px+ 》女-3x+到的展开式中不含和的项 (1)求P、9的值： (2)求代数式-2pq+6pq+p24q2025的值. 题型08整式乘除混合运算 【典例8】(25-26八年级上·重庆开州期末)计算： ①a3.a2+a2)-2a': (2)[2x+y川2x-y)+y(y-6x]÷2x. 【变式1】(25-26八年级上·天津和平·期末)计算： (1)2x-5)(2x+5)-(-2x+5: 2)(x-yx-2y-3r3-6r2y÷3x]÷2y. 【变式2】(25-26八年级上山东临沂·期末)计算： wl-3x1-2-2r 2)2a3+4a2）÷(2a-(2a-1(2a+1 【变式3】(25-26八年级上·天津和平·月考)计算： (1)2(a-2b): (22xy-2.xy+-2xy÷2x2 7/19 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (3)2x-32-(2x+3)(2x-3): (4)（a-2bj(2b+a-2(2a2-2b2)]÷2a. 题型09整式乘法混合运算—化简求值 【典例9】(24-25八年级上四川眉山-期未)化简求值：(a-2b2+2a-b)(b+2a)-5a(a-2b)]÷(-2b), 其中a=1,b=-4. 【变式1】(25-26八年级上·福建漳州·期末)先化简，再求值： [(a+b12+(a-2b(a+2b)-2a2÷2b,其 中a=1,b=-2 【变式2】(25-26八年级上四川广安·期末)先化简，再求值： [(2x-y2+(x+(x-y=2x,其中 x=2,y=3. 【变式3】(25-26八年级上四川宜宾期末)先化简，再求值： [(x-2y)2+(x-2y)(2y+x)-2x(2x-y]÷2x,其中x=2,y=-3. 题型10利用乘法公式简便运算 【典例10】(25-26八年级上·全国·课后作业)利用平方差公式简便运算： (1)1.03×0.97: (2)602-58×62. 【变式1】(25-26八年级上·全国课后作业)简便运算： (1)1007×993: 26652×-35× 11 11 【变式2】(24-25七年级下·陕西咸阳·期中)运用乘法公式进行简便运算： (1)2012: (2)49×51-2500 【变式3】(24-25七年级下·山东菏泽·月考)乘法公式可以帮助我们对数进行简便运算，请用你学过的公 式完成题目. (1)1002-99×101: 题型11通过对完全平方公式变形求值 8/19 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【典例11】(25-26七年级上·陕西西安期末)若x+y=4,且(x+1(y+1=8. (1)求y的值： (2)求x2+y的值： 【变式1】(25-26八年级上·河南许昌期末)已知x+y=5,y=3,求下列代数式的值： ()x2+y2: 2(x-y2: 3)x+y. 【变式2】(25-26八年级上湖北荆门·期末)已知a,b是实数，定义关于“△”的一种运算如下： aab=(a+b)2-(a-b)2. (I)化简：aab=_; (2)若aab=-20,a+b=4,求下列式子的值： ①a2+b2: ②a-b: (3)若(2025-m)am-2026)=-24，,求(2025-m)+(m-2026)的值. 【变式3】(25-26八年级上·安徽阜阳期末)拓展探究： 材料：我们知道(a+b)=a2+2ab+b2,(a-b)2=a2-2ab+b2,两式相减可得：（a+b)2-(a-b)2=4ab, 由此可得公式：b=a+b-(a-b)2 4 (I)已知a+b=7,a-b=3,求ab的值： (2)探究：已知a+b=m,a2+b=n,求ab(用m、n表示)： (3)已知2025-4(a-2024)=-1,求(2025-a2+(a-2024)的值. 题型12多项式乘法中的规律性问题 【典例12】(25-26八年级上河南信阳·月考)观察下列各式. (x-1(x+1=x2-1 (x-1x2+x+1=x3-1 (x-1x3+x2+x+1=x4-1 ()根据以上规律，则(-川+x+x+x+x+x+刂= (2)你能否由此归纳出一般规律(x-(x”+x++x+1= 9/19 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (3)根据以上规律求：524+52023+5202++52+5的结果. 【变式1】(24-25七年级下山西太原·月考)①16×14=224=1×1+1)×100+6×4 ②23×27=621=2×2+1×100+3×7 ③32×38=1216=3×3+1×100+2×8 (I)按照上面的规律，迅速写出答案. 81×89= 73×77= 45×45= 64×66= (2)用公式(x+a(x+b)=x2+(a+b)x+ab证明上面所发现的规律， 【变式2】(25-26七年级上河北保定·月考)我国南宋时期杰出的数学家杨辉是钱塘人，如图所示的图表 是他在《详解九章算法》中记载的“杨辉三角”. ..(a+b)=a+b ..(a+b)2=a2+2ab+b2 (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b …(a+b)4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4 此图揭示了(a+b)”(n为非负整数)的展开式的项数及各项系数的有关规律，由此规律可解决如下问题： (1)请在图中括号内的数为 (2a+b)”展开式中共有 项，第19项系数为 (3)根据上面的规律，写出(a+b)°的展开式： (4)利用上面的规律计算：3-5×34+10×33-10×32+5×3-1： 【变式3】(25-26八年级上山东日照·月考)阅读材料一：(a+b可以展开成一个有规律的多项式： (a+b)=a+b: (a+b)2=a2+2ab+b2: (a+b3=a3+3a2b+3ab2+b3: (a+b)4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4; 阅读材料二：杨辉三角是中国古代数学的杰出研究成果之一，它把二项式系数图形化.下面我们依次对 10/19